Kapitel 1. Einführung. 1.1 Vorbemerkungen

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1 1 Kapitel 1 Einführung 1.1 Vorbemerkungen In Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik spielen Transport- und Austauschprozesse eine grosse Rolle. Sie erscheinen in einer unüberschaubaren Vielfalt: Strömungen durch ein Triebwerk, Verdampfung und Verbrennung von Treibstoff in einer Brennkammer, Mischen von Komponenten in einem Rührkessel, Blutströmung in einem künstlichen Herzen, Kristallwachstum in einer Schmelze oder Bildung von Nanopartikeln in einem Flammreaktor sind nur einige Beispiele. Oft sind es Strömungsvorgänge, die den Austausch von Masse, Impuls und Energie durch Konvektion und Diffusion bewerkstelligen. In anderen Fällen erfolgt der Transport durch reine Diffusion oder Wärmeleitung. Phänomene wie Turbulenz, Oberflächenspannung, Kapillarität, Präsenz mehrerer Phasen, die Phasenübergänge Schmelzen/Erstarren und Verdampfung/Kondensation, Strahlung, chemische Reaktionen (insbesondere Verbrennung), Massenkräfte, Fluid-Struktur-Wechselwirkung und viele mehr erfordern gegebenenfalls eine spezielle Modellierung und können die theoretische Beschreibung wesentlich erschweren. Oft spielen sich Phänomene gleichzeitig auf ganz unterschiedlichen Längen- und Zeitskalen ab (Mehrskalen-Probleme). Zu der dynamischen Komplexität der meist nichtlinear wechselwirkenden Phänomene kommt die geometrische Komplexität der in der Praxis vorkommenden Konfigurationen in Maschinen, Anlagen oder bei natürlichen Strukturen. Trotz des im Einzelfall hohen Schwierigkeitsgrads vieler Problemstellungen und erst unzureichend gelöster Probleme bei der Modellierung hat die numerische Berechnung oder Simulation in der Energie- und Verfahrenstechnik heute bereits eine zentrale Bedeutung erlangt, die in der Zukunft noch weiter zunehmen wird. Grund dafür ist der dringende Bedarf nach Analyse und Optimierung von Geräten und Prozessen in immer kürzerer Zeit und zu tragbaren Kosten.

2 1.1 Vorbemerkungen Einführung Man erhofft sich von der numerischen Berechnung, wenn sie denn hinreichend zuverlässig und effizient durchgeführt werden kann, grosse Vorteile im Vergleich zu einer Entwicklung allein auf der Basis von Laborexperimenten oder gar mit aufwendigen Versuchen auf Grossanlagen. Die mathematische Formulierung der Aufgabenstellungen führt oft auf ein System partieller Differentialgleichungen, das zusammen mit Rand- und gegebenenfalls Anfangsbedingungen gelöst werden muss. Dabei gibt es drei wichtige Grundtypen von Vorgängen, die anhand einfacher Modellgleichungen studiert werden können und sich in ihrer mathematischen Klassifikation unterscheiden: Konvektive Transportvorgänge (Modell: Advektions- oder Wellengleichung; hyperbolischer Typ) Diffusive Vorgänge (Modell: Wärmeleitungsgleichung; parabolischer Typ) Gleichgewichtszustände nach Abklingen von Transienten (Modell: Laplace- oder Poissongleichung; elliptischer Typ). Vor diesem Hintergrund befasst sich diese Vorlesung mit einer Einführung in die Methoden zur numerischen Lösung der genannten Grundaufgaben. Wir nehmen dabei meist Bezug auf Fragestellungen der Fluiddynamik oder des Wärmetransports. Die besprochenen Methoden sind jedoch universell und für eine Vielzahl von Problemen der Energie- und Verfahrenstechnik einsetzbar. Kapitel 2 der Vorlesung rekapituliert die Grundgleichungen und ihre Typklassifizierung, die wichtig ist für die mathematisch sachgemässe Formulierung des zu lösenden Problems. Sodann werden in Kapitel 3 die wesentlichen Diskretisierungsmethoden eingeführt. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den klassischen Differenzenverfahren. Besonderer Wert wird auf den Stabilitätsbegriff gelegt. In Kapitel 4 werden dann speziell für die einzelnen Gleichungstypen (hyperbolisch, elliptisch und parabolisch) geeignete Differenzenverfahren besprochen. Iterative Verfahren zur Lösung diskretisierter elliptischer Gleichungen werden eingeführt. Kapitel 3 und 4 bilden zusammen den Schwerpunkt der Vorlesung. Kapitel 5 befasst sich mit der Berechnung inkompressibler Strömungen, wo sich spezielle Fragen bei der Behandlung der Kontinuitätsgleichung und der damit zusammenhängenden Druckberechnung stellen. Kapitel 6 gibt schliesslich eine Übersicht über verschiedene Ansätze zur Modellierung der Turbulenz, die bei Strömungsberechnungen oft ein grosses Problem darstellt. 1.2 Numerische Fluiddynamik Die Numerische Fluiddynamik (engl. Computational Fluid Dynamics, CFD) befasst sich mit der Berechnung von Strömungen auf der Basis der grundlegenden Erhaltungsgleichungen der Fluiddynamik. Diese Erhaltungsgleichungen werden numerisch diskretisiert und mit Hilfe eines Computers näherungsweise gelöst. Neben analytischer Theorie und dem Experiment stellt die Numerische Fluiddynamik heute eine eigenständige Methode zur Erforschung und Vorhersage von Strömungsvorgängen dar. Sie hat sich seit etwa 1970 rasant entwickelt und heute eine zentrale Bedeutung gewonnen, in der Forschung ebenso wie in praktischen Anwendungen. Diese Entwicklung schreitet weiter rasch voran. Gründe dafür liegen zum einen in dem seit mehreren Jahrzehnten anhaltenden exponentiellen Wachstum der verfügbaren Rechnerleistungen, siehe Bild 1.1. Der weltweit schnellste Grossrechner leistete Anfang 2003 ca. 70 Tflop/s nominelle Spitzenleistung und ca. 30 Tflop/s für Anwendungsprogramme. Im Jahr 2009 wurde erstmals eine Spitzenleistung von 1Pflop/s (10 15 flop/s) erreicht. Wenn auch dem einzelnen Ingenieur an seinem Arbeitsplatz nur ein Bruchteil einer solch extremen Spitzenleistung zur Verfügung steht, steigt die für ihn verfügbare Leistung doch mit derselben Geschwindigkeit an. Ebenso bedeutend ist aber auch die Verbesserung der numerischen Techniken, wie in Bild 1.2 an einem Beispiel dargestellt Abbildung 1.1: Entwicklung der Rechnerleistung in Flop/s (floating point operations per second). N=1: Rechenleistung des weltweit schnellsten installierten Rechners, N=500: Rechenleistung des 500-schnellsten installierten Rechners, SUM: Summe der 500 schnellsten Rechner (siehe Ein wesentlicher Grund für den Einsatz von CFD in der industriellen Praxis liegt darin, dass CFD wesentlich schneller und kostengünstiger ist als herkömmli-

3 1.2 Numerische Fluiddynamik Einführung Abbildung 1.2: Entwicklung der Effizienz von numerischen Verfahren (aus [Sch99]) che Verfahren, die sich auf Laborexperimente mit eigens angefertigten Modellen abstützen. Geometrische Konfigurationen und Strömungsparameter können in der Simulation leicht variiert werden. Es lassen sich oft auch Parameterbereiche erschliessen, die im Labor nicht realisierbar sind. Berechnungen dreidimensionaler, reibungsbehafteter Strömungen in realistischen Konfigurationen sind heute möglich geworden, wobei aber noch wesentliche Einschränkungen gemacht werden müssen. CFD nach dem heutigen Stand ist immer noch keine ausgereifte Technologie, sondern ein Handwerk, dessen sachgerechte Ausübung viel Verständnis und Erfahrung erfordert, und zwar gleichermassen für die Strömungsvorgänge wie auch für die numerischen Methoden. Die Anwendung der Numerischen Fluiddynamik für komplexe Strömungsprobleme ist notorisch schwierig, und es gibt noch gravierende grundlegende Probleme zu lösen. Dementsprechend sind die Ergebnisse heutiger praktischer Strömungsberechnungen oft noch unsicher und deshalb mit Vorsicht zu verwenden. Es gibt mehrere Ursachen für die Schwierigkeiten mit CFD. Zum einen sind es unvollkommene theoretische oder mathematische Modelle für wesentliche Strömungsphänomene oder die Strömung beeinflussende Prozesse, z. B. Turbulenzmodellierung, inbesondere bei Strömungen mit Ablösung, Drall, laminar-turbulentem Übergang oder instationärem Verhalten Mehrstoff- und Mehrphasenströmungen ggf. mit Phasenübergängen Strömungen mit chemischen Reaktionen (z. B. Verbrennung) und viele mehr. Zum anderen gibt es auch numerisch-technische Probleme: Erzeugung geeigneter diskreter Gitter von guter Qualitätet Effizienz und Robustheit der iterativen Lösungsverfahren der erforderliche Rechenaufwand: Insbesondere bei dreidimensionalen (3- D) und erst recht bei 3-d instationären Problemen können die verfügbaren Ressourcen (Speicher, Rechenzeit) schnell um Grössenordnungen überfordert werden. Zwar gibt es heute vielfältige, kommerziell (z.b. [CFX, FLU, STA]) oder frei (z.b [OPE]) erhältliche CFD-Software, doch kann diese in der Regel nicht einfach im Sinn von black-box tools eingesetzt werden. Das Wissen um den sachgerechten Einsatz von CFD-Software ist das eigentliche Know-How eines Anwenders. Solches Erfahrungswissen wird auch teilweise bereits systematisch gesammelt und publiziert, siehe [ERC] und [QNE]. Umfangreiche Informationen zu verschiedenen Aspekten von CFD (Grundwissen, Literatur, Codes, Nutzerforen, und vieles mehr) findet man auf Zur numerischen Lösung eines Strömungsproblems sind grundsätzlich mehrere Schritte notwendig, von der Definition des Problems bis hin zur Auswertung der Ergebnisse. In Abbildung 1.3 sind die wichtigsten dieser Aufgaben schematisch dargestellt. Sie werden im folgenden näher erläutert. Definition des Strömungsproblems Als erstes muss das Strömungsproblem genau definiert werden. Hierbei müssen die Geometrie, die Randbedingungen, gegebenenfalls die Anfangsbedingungen und die Parameter festgelegt werden. Experimentelle Erkenntnisse beziehungsweise Erfahrungen aus bestehenden numerischen Simulationen geben Aufschluss, welche Strömungsphänomene zu erwarten sind und in Betracht gezogen werden müssen. Physikalische Modellierung Gewisse Eigenschaften des Fluids, insbesondere die Schubspannungen, müssen modelliert werden. Häufig wird für die Schubspannungen ein Newtonscher Ansatz verwendet, d.h. die Schubspannung ist proportional zur Scherrate und die Viskosität ist eine Stoffgrösse des Fluids. Für komplexere Fluide wie Polymere, Suspensionen, etc. müssen jedoch deren rheologische Eigenschaften berücksichtigt werden. Das Verhalten solcher Fluide

4 1.2 Numerische Fluiddynamik Einführung È Ý Ð ËØÖĐÓÑÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ È Ý Ð ÅÓ ÐÐ Ô Ý Ð ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ Ñ Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÄĐÓ ÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ ÖÙÒ Ê ÒÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø ÖÙÒ Ê ÒÙÒ ÆÙÑ Ö ÄĐÓ ÙÒ Î Ð ÖÙÒ Ð Ö Đ ØÞÙÒ Ë Ò Ð ØĐ Ø Ò ÐÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ö Ò Ð Ö ÖÙÒ»ÇÔØ Ñ ÖÙÒ Ù Û ÖØÙÒ Abbildung 1.3: Schritte zur numerischen Lösung eines Strömungsproblems ËØÖĐÓÑÙÒ Ô Ý Ð Ö Ò ist Gegenstand der Rheologie [Böh81]. Die Stoffgrössen wie Viskosität, Wärmeleitfähigkeit, etc. hängen im Allgemeinen von Druck und Temperatur ab. Für viele Strömungsprobleme kann diese Abhängigkeit allerdings vernachlässigt oder mit einfachen Gesetzen beschrieben werden. Bei reibungsbehafteten Strömungen unter Verwendung des Newtonschen Schubspannungsansatzes spricht man von den Navier-Stokes- Gleichungen. Für Strömungen, bei denen Reibung eine untergeordnete Rolle spielt, z. B. im Aussenbereich bei der Umströmung eines Körpers, kann die Reibung (Schubspannungen) vernachlässigt werden. In diesem Falle löst man die Euler-Gleichungen. Für drehungsfreie und reibungsfreie Strömungen kann man die Gleichungen weiter vereinfachen und die Strömung mit Hilfe eines skalaren Potentials beschreiben. Für kleine Strömungsgeschwindigkeiten im Verhältnis zur Schallgeschwindigkeit, d. h. für kleine Mach-Zahlen Ma, kann das Fluid als inkompressibel und oft auch die Dichte ρ als konstant angenommen werden. Im Falle grösserer Mach-Zahlen, insbesondere für Strömungsgeschwindigkeiten nahe der oder grösser als die Schallgeschwindigkeit, ist eine kompressible Beschreibung unter Berücksichtigung der Energiegleichung und Zustandsgleichung erforderlich. Dabei können Verdichtungsstösse auftreten, die spezielle Anforderungen an sachgerechte numerische Diskretisierungsverfahren stellen. Man beobachtet grundsätzlich verschiedene Strömungsformen, z. B. laminare, transitionelle und turbulente Strömungen. Insbesondere für die Berechnung turbulenter Strömungen müssen in der Regel modifizierte Gleichungen mit entsprechenden Modellen zur Behandlung der Turbulenz verwendet werden, wie z. B. Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen (Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations, RANS) oder gefilterte Gleichungen für die Grobstruktursimulation (Large-Eddy Simulation, LES). Aufwendiger, und nur für einfache modellhafte Strömungsprobleme bei niedrigen Reynoldszahlen durchführbar, sind Direkte Numerische Simulationen (Direct Numerical Simulations, DNS), bei denen alle turbulenten Skalen aufgelöst werden und kein Turbulenzmodell notwendig ist. Mathematische Modellierung Das physikalische Modell muss mathematisch formuliert werden. Dafür sind passende Grundgleichungen heranzuziehen. Im Falle inkompressibler Strömungen sind dies z. B. die inkompressiblen Navier-Stokes- Gleichungen (Massen- und Impulserhaltung) für die Strömungsgeschwindigkeiten und den Druck. Insgesamt besteht das mathematische Modell in der Regel aus einem Anfangs-Randwert-Problem für ein nichtlineares System von partiellen Differentialgleichungen für die Strömungsgrössen (Geschwindigkeiten, Druck, Dichte usw.) mit stoffabhängigen Parametern oder Zusatzbedingungen. Die sachgemässe Formulierung des mathematischen Modells, insbesondere der Randbedingungen, erfordert besondere

5 1.2 Numerische Fluiddynamik Einführung Aufmerksamkeit. Diskretisierung Für die numerische Lösung muss ein endliches Rechengebiet definiert und dieses gegebenenfalls auf ein einfacher zu behandelndes Gebiet transformiert werden. In diesem Rechenbereich wird ein diskretes Gitter erzeugt, auf dem die zunächst kontinuierlichen Gleichungen näherungsweise diskret gelöst werden. Dazu sind die Grundgleichungen mit einem geeigneten numerischen Verfahren, z. B. Finite-Differenzen- oder Finite-Volumen- Verfahren, zu diskretisieren. Man erhält so ein grosses, i. a. nichtlineares algebraisches Gleichungssystem für die diskretisierten Grössen. In Abhängigkeit von der Gitterfeinheit kann das Gleichungssystem sehr gross werden (bis zu vielen Millionen oder Milliarden von Unbekannten). Lösungsverfahren Das aus der Diskretisierung erhaltene Gleichungssystem muss mit Hilfe eines Algorithmus entweder direkt, oder iterativ bis zum Erreichen eines Abbruchkriteriums, näherungsweise gelöst werden. Um eine effiziente Berechnung zu ermöglichen, muss die Auswahl der Algorithmen auf die verwendete Rechnerarchitektur abgestimmt werden. Programmierung Vor der eigentlichen Programmierung des gesamten numerischen Prozesses ist ein Konzept (Programmstruktur) festzulegen. Aufgrund der grossen Menge an zu speichernden Daten (oft Gigabytes bis Terabytes) ist es wichtig, sowohl für Daten im Hauptspeicher als auch für Daten, die auf Massenspeichern (Festplatte, Band, etc.) ausgelagert werden, eine passende Datenstruktur zu verwenden. Finitisierung, Rechnung Die Darstellung der reellen Zahlen mit einer finiten Menge an Maschinenzahlen und das Abbrechen von unendlichen Reihen durch endlich viele Auswertungen (etwa zur Repräsentation elementarer Funktionen) kann man unter dem Begriff Finitisierung zusammenfassen. Insbesondere kommt hier der Einfluss von Rundungsfehlern ins Spiel. Die eigentliche Berechnung kann je nach Grösse des Problems, gewählten Modellen, Lösungsverfahren und Rechnerleistung für einfache Fälle in wenigen Sekunden erledigt sein oder aber bis zu mehreren Stunden oder gar Monaten dauern. Fehlerabschätzung Die Analyse der numerischen Fehler bei der Diskretisierung, Algorithmisierung und Finitisierung gibt Anhaltspunkte dafür, wie genau die numerische Lösung die exakte Lösung des mathematischen Modells approximiert. Die Approximation kann durch Verfeinerung des Gitters oder unter Umständen durch Änderungen im numerischen Verfahren verbessert werden. Realistische Fehlerabschätzungen sind aber in der Regel sehr schwierig. Validierung Die Validierung eines neu entwickelten Berechnungsprogramms und einer spezifischen numerischen Lösung erfolgt durch den Vergleich mit Referenzlösungen, mit analytischen Lösungen von Testproblemen, mit Ergebnissen anderer Codes und/oder mit Ergebnissen aus Experimenten. Falls notwendig, muss das mathematische Modell und das Lösungsverfahren angepasst oder korrigiert werden. Auswertung und Analyse Die Auswertung der numerischen Lösung erfolgt entweder parallel zur Ausführung des Programms (mitlaufend) oder in einem nachgeschalteten Schritt ( post-processing der gespeicherten Daten). Oft sind statistische Grössen wie Mittelwerte und turbulente Fluktuationen von Interesse. Falls die Ergebnisse nicht im Gültigkeitsbereich der physikalischen Modelle liegen, sind die Modelle dem Problem anzupassen und das Strömungsproblem ist mit geänderten physikalischen Modellen erneut zu simulieren. Ein Beispiel hierfür wäre, dass das Modell für die Schubspannung, respektive die Viskosität, nur in einem eingeschränkten Temperaturbereich gültig ist, jedoch die Lösung ausserhalb dieses Bereichs liegt. Referenzen [Böh81] G. Böhme. Strömungsmechanik nicht-newtonscher Fluide. Teubner, Stuttgart, [CFX]

6 1.2 Numerische Fluiddynamik [ERC] ERCOFTAC. Best Practice Guidelines for Industrial Computational Fluid Dynamics. [FLU] [OPE] [QNE] QNET-CFD. QNET-CFD Network Newsletter. [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin, [STA] Kapitel 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen Im folgenden werden die Grundgleichungen der Fluiddynamik und einige häufiger benutzte abgeleitete Gleichungen zusammengestellt. Zur Herleitung wird auf die Literatur verwiesen [TAP97, SK80, KC04, PR05, Hun97, Hab98]. Ferner werden Aussagen zur Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen wiedergegeben, die für die sachgemässe mathematische Formulierung von Berechnungsproblemen wichtig sind. 2.1 Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen Man bezeichnet die differentiellen Erhaltungsgesetze für Masse, Impuls und Energie mit einem linearen Ansatz für die Schubspannungen (Newtonsches Fluid) und für die Wärmeleitung (Ansatz von Fourier) oft auch generell als Navier-Stokes-Gleichungen. Manchmal wird diese Bezeichnung auch im engeren Sinn lediglich für die Impulserhaltungsgleichungen verwendet. Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich in kompakter Form schreiben als U t + (F F d ) x 1 + (G G d ) x 2 + (H H d ) x 3 = f, (2.1) wobei mit x i die Koordinatenrichtungen bezeichnet werden. In (2.1) sind folgende Definitionen verwendet: Vektor der Erhaltungsgrössen U = (, u, v, w, E) T, (2.2a) konvektiver Fluss in x 1 F = ( u, u 2 + p, uv, uw, u(e + p)) T, (2.2b)

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