Mikroökonomik B 6. Standardauktionen & Turniere

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1 Mikroökonomik B 6. Standardauktionen & Turniere Paul Schweinzer 14. Juli 2009, Vorabversion. 1 / 62

2 Literaturangaben Jehle, G. und P. Reny (2001), Kapitel 9 Varian, H. (2007), Kapitel 17 Krishna, V. (2002), Auction Theory, Academic Press Milgrom, P. (2004), Putting Auction Theory to Work, CUP Matthews, S. (1995), A Technical Primer on Auction Theory I: Independent Private Values, Northwestern University, DP / 62

3 Themen So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln a Allgemeines b Offenbarungsprinzip c Myerson-Satterthwaite Theorem d Erstpreis- (& Holländische) Auktion e Zweitpreis- (& Englische) Auktion f All-Pay Auktion g Tullock-Turnier 3 / 62

4 Anwendungen von Auktionen Verkauf öffentlicher Ressourcen, zb FCC Spektrum Auktionen The government is smoking something to think they are going to get $10 bn for these licenses. [$20 bn were raised] (MCI chairman Bert Roberts, 1993) The Greatest Auction in History (New York Times, 1995) The Auction of the Century (Liberation, 1995) The most dramatic example of game theory s new power. It was a triumph, not only for the FCC and the taxpayers, but also for game theory (and game theorists). (Fortune, 1995) Privatisierungen Aktienmärkte ( request for quote ) Immobilienverkauf ebay, GoogleAds US Treasury Bills... 4 / 62

5 Allgemeines Was machen Verkäufer wenn sie, anders als bisher angenommen, nur statistisch über die Wertschätzungen der Konsumenten informiert sind? Dies ist eine Neuinterpretation des Problems eines Monopolisten aus dem ersten Teil der Vorlesung. Die Frage nach dem für den Verkäufer optimalen Verkaufsmechanismus ist generell nicht gelöst und (ua) Gegenstand der Disziplin des Mechanismus Design. Die analysierten Verkaufsmechanismen heißen Auktionen. Wir werden uns hauptsächlich mit der Suche nach effizienten Allokationsmechanismen beschäftigen. 5 / 62

6 Taxonomie von Auktionstypen Das Standardszenario einer Verkaufsauktion beinhaltet einen Käufer und mehrere potentielle Käufer (Bieter). Bei Beschaffungs- (procurement) auktionen wird dieses Verhältnis umgekehrt. Einzel-Objekt: Ein Gut wird verkauft Englische Auktion: offene Gebote, steigende Preise Holländische Auktion: offene Gebote, fallende Preise Erstpreis Auktion mit versiegelten Geboten Zweitpreis (Vickrey) Auktion mit versiegelten Geboten All-pay Auktion. Multi-Objekt: Mehr als ein Gut wird verkauft Uniform-Preis Auktion: das höchste, nicht-gewinnende Gebot bestimmt den Preis (Verallgemeinerung der ZPA) Kombinatorische (Paket) Auktion. Doppelte Auktion: n Käufer bieten um Güter von m Verkäufern; jeder Käufer ist potentiell auch Verkäufer (& vv). 6 / 62

7 Einzel-Objekt Standardauktionen Wenn wir uns auf das Auktionieren eines einzigen Gutes beschränken, gibt es va unter der zusätzlichen Annahme von unabhängig verteilten und privaten Wertschätzungen eine Reihe von einfachen aber mächtigen Ergebnissen für die 4 sog Standardauktionen: 1. Erstpreisauktion 2. Holländische Auktion 3. Zweitpreisauktion 4. Englische Auktion. Unser Hauptkriterium zur Analyse dieser Auktionen ist Effizienz. Def. Wir sprechen von einem ex-post effizientem Mechanismus, wenn dieser das Gut an den Spieler mit der höchsten Wertschätzung gibt. 7 / 62

8 Unabhängig verteilte, private Wertschätzungen (IPV) 1. Ein Verkäufer verkauft ein einzelnes, unteilbares Objekt. 2. Wir betrachten n 1 potentielle Käufer ( Bieter ) und bezeichnen die Bietermenge mit N. 3. Die private Wertschätzungen der Bieter v i, i = {1,...,n}, werden vom Intervall V [0, 1] unabhängig gezogen. 4. Die Ziehung der Wertschätzung v i, i = {1,...,n}, folgt der Verteilungsfunktion F(v i ) mit Wahrscheinlichkeitsdichte f(v i ). 8 / 62

9 IPV Annahmen Der Verkäufer bemisst den Wert des Objektes mit Null. Alle Bieter sind risikoneutral. Jeder Käufer kennt seine eigene Wertschätzung v i (dh ist vom Typ v i ), aber er kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen der anderen Käufer F [0,1]. Der Verkäufer kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen der Käufer F [0,1]. Da die Wertschätzungen der potentiellen Käufer v i alle der gleichen Verteilungsfunktion F [0,1] folgen, spricht man von ex-ante symmetrischen Käufern. Die Verteilungsfunktion F(v i ) ist differenzierbar für alle v i (0,1). Wir benötigen bloß die schwächere Eigenschaft, daß die Verteilung atomlos (atomless) ist. Diese Bedingung werden wir später genauer besprechen. 9 / 62

10 Erstpreisauktion Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter der sein Gebot zahlt. Das optimale Bietverhalten hängt von den Geboten der anderen Bieter ab. Diese sind aber nicht beobachtbar! Wie soll sich ein Bieter i in diesem Spiel mit unvollständiger Information verhalten? Eine Strategie eines Bieters i ist es, ein Gebot für jede seiner möglichen Wertschätzungen des Objektes vorzusehen. Eine derartige Strategie heißt Bietfunktion b i : [0,1] R +. Wir suchen ein (symmetrisches) Bayesianisches NGw (SBNGw) dieser Bietfunktionen. 10 / 62

11 Annahmen an die EPA-Bietfunktion Wir wissen nicht besonders viel über diese Bietfunktionen b i (v i ). Die folgenden beiden Annahmen wirken aber natürlich. Annahme 1: Bieter mit höheren Wertschätzungen geben höhere Gebote ab, dh die Bietfunktion b i (v i ) ist streng monoton steigend für alle Bieter i N. Annahme 2: Ex-ante identische Bieter geben für gleiche Wertschätzungen die gleichen Gebote ab: b i (v i ) = b(v i ), für alle i N. Annahme 2 bedeutet, daß wir nach symmetrischen BNGw suchen. Die letzte Annahme betrifft die Verteilung und nicht die Bietfunktion. Im Gegensatz zu den ersten beiden Annahmen machen wir sie nur um die Darstellung einfach zu halten. Annahme 3: Wertschätzungen sind gleichverteilt, dh v i U [0,1] für alle Bieter i N. 11 / 62

12 BNGw Basierend auf der allgemeinen Definition in Abschnitt 4.1 Strategische Spiele (Folie 69) definieren wir ein symmetrisches BNGw als NGw Profil b = (b1,...,b n ) eines Spieles in dem für alle Spieler i N und alle v i V mit v = v 1,...,v n gilt, daß b i argmax b i [0, ) f(v)u i (b i,b(v i ) ) dv i dv i. 0 0 }{{} v i V i 1 Da die Spieler private Typen haben, müssen sie Beliefs über die Typen der Gegenspieler formen. Diese sind in den gegenständlichen Auktionen unabhängig voneinander und für alle Spieler identisch (iid) und deshalb gleich den allgemein bekannten ex-ante Wahrscheinlichkeiten F(v i ). 12 / 62

13 Exkurs 1 Offenbarungsprinzip ( Revelation Principle ) 13 / 62

14 Offenbarungsprinzip ( Revelation Principle ) Eine tatsächliche Bietstrategie kann ein kompliziertes Objekt sein, das von vielen Einflüssen abhängt. Wenn wir also einen effizienten (oder vielleicht sogar den besten) Mechanismus zum Verkauf eines Gutes finden möchten, dann müssen wir potentiell eine große Anzahl von verschiedenen Mechanismen untersuchen! Glücklicherweise besagt das folgende Resultat, daß wir uns bei der Suche nach der gewünschten Auktion auf einfache Mechanismen beschränken können in der Spieler nur einen Wert ˆv i aus ihrem Typenraum [0, 1] bekanntgeben. Zu jedem BNGw eines Spieles mit unvollständiger Information gibt es ein entsprechendes Spiel, in dem Strategien nur von den Spielertypen abhängen ( direct revelation game ). In diesem Spiel ist es ein BNGw seinen tatsächlichen Typ bekanntzugeben. Es hat die gleichen Auszahlungen wie das Originalspiel. 14 / 62

15 Ein Stellvertreter-Beispiel Nehmen wir an, wir hätten tatsächlich ein SBNGw b(v) gefunden. Per Definition ist b(v i ) auszahlungsmaximierend für Spieler i vom Typ v i, gegeben die Mitspieler bieten b(v i ) unter Benutzung der symmetrischen Bietfunktion. Bieter i kann an der Auktion nicht teilnehmen, schickt aber einen Stellvertreter. Dieser kennt & benutzt zwar die Gw-Bietfunktion der Spieler, kennt aber nicht i s Typ v i. i s Stellvertreter ruft Spieler i während der Auktion an und fragt nach dessen Wertschätzung. Welche Wertschätzung wird Spieler i seinem Stellvertreter in diesem (möglicherweise komplizierten) Spiel nennen? Natürlich v i, seine tatsächliche Wertschätzung! 15 / 62

16 Exkurs 2 Effiziente Handelsmechanismen: Myerson-Satterthwaite Theorem 16 / 62

17 Effizienter Handel: v > c Private Käufervaluation v U [0,1]. Private Kosten des Verkäufers c U [0,1]. Wir lassen keine Subventionen von Dritten zu. Wir suchen nach irgendeinem Mechanismus der freiwilligen Handel zustande bringt, wann immer dieser effizient ist, dh v > c. 17 / 62

18 Effizienter Mechanismus Der Mechanismus Fragt Käufer & Verkäufer nach ihren Typen v & c. Verlangt vom Käufer die Zahlung p(v,c). Gibt diese Zahlung p(v,c) an den Verkäufer. Wenn effizienter Handel stattfindet, dann ist der Handels- Überschuß (gain from trade) 1 v 0 0 (v c) dc dv = 1 0 v 2 2 dv = / 62

19 Problem des Käufers Niemand zwingt den Käufer dazu, dem Mechanismus seine tatsächliche Valuation v mitzuteilen. Betrachten wir also den Fall eines Käufers, der die tatsächliche Valuation v hat, dem Mechanismus aber ˆv mitteilt. Beachten sie, daß unter der Gleichverteilung v U [0,1], ein Käufer mit Mittelung ˆv den Zuschlag mit Wahrscheinlichkeit Pr(v ˆv) = ˆv erhält. Pr(v ˆv) 0 1 ˆv 19 / 62

20 Problem des Käufers d dv Der Käufers vom Typ v der ˆv mitteilt maximiert also arg maxu(ˆv,v) = vˆv E c [p(ˆv,c)]. ˆv Wie üblich erhalten wir als BEO u(ˆv,v) = 0. ˆv Wenn die Bekanntgabe des tatsächlichen Typs v für den Käufer optimal sein soll, dann muß der Käufernutzen für alle v durch die wahrheitsgemäße Mitteilung ˆv = v maximiert werden. Andernfalls kann ein Handel nicht effizient sein! u(ˆv = v,v) = ˆv u(ˆv,v) }{{} BEO=0 + v u(ˆv,v) = v u(ˆv,v) = ˆv = v. ˆv=v 20 / 62

21 Nutzen des erwarteten Käufers Wir benutzen partielle Integration f = u(v,v), g = 1, g = v 1 f g = f g g f und erhalten den erwarteten Käuferüberschuß indem wir über den Überschuß aller Käufertypen aus [0,1] aufsummieren u(v,v)dv = (v 1)u(v,v) (v 1) d u(v,v) dv dv 0 = 1 0 v=0 (1 v)v dv = 1 6. Wir nehmen dabei an, dass ein Käufer mit Wertschätzung v = 0 auch Nutzen u(0,0) = 0 erhalten muß. Das Resultat ist, daß ein Käufer, der seinen Typ wahrheitsgemäß mitteilen soll, den gesamten Überschuß erhalten muß! 0 21 / 62

22 Problem des Verkäufers Die Logik des Argumentes für den Verkäufer ist genau symmetrisch: auch er muß den gesamten Überschuß erhalten um seine Kosten wahrheitsgemäß mitzuteilen. Da es unmöglich ist sowohl dem Käufer als auch dem Verkäufer jeweils den gesamten Überschuß auszuzahlen, ist es nicht möglich einen Mechanismus zu finden der effizienten Handel mit privater Information organisiert! Intuition: Nur wenn der gesamte Überschuß einer einzelnen Partei gehört, dann wird sie durch ihre Handelsentscheidung auch versuchen diesen Überschuß zu maximieren. 22 / 62

23 Myerson-Satterthwaite Theorem Dieses Resultat ist unter dem Namen Myerson-Satterthwaite Theorem bekannt. Es besagt, daß effizienter Handel mit privater Information und überlappenden Typenräumen unmöglich ist. Käufer tendieren dazu, weniger als ihre tatsächliche Wertschätzung zu bieten. Verkäufer tendieren dazu, ihre Kosten als höher als tatsächlich vorhanden anzugeben. Das Result ist Ineffizienz. Die Auswirkungen sind schwach in großen Märkten, aber potentiell stark in kleinen Märkten (1:1 Verhandlungen). 23 / 62

24 Erstpreisauktion Zurück zur Erstpreisauktion. (Wir werden keine strategischen Verkäufer betrachten.) 24 / 62

25 Zurück zur Erstpreisauktion (EPA) Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot b i an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter und dieser zahlt sein Gebot. Wir suchen eine Bietfunktion b i : [0,1] R +, i N, also eine Strategie des Bieters die für jeden seiner möglichen Wertschätzungstypen ein Gebot spezifiziert. Wir wollen nun überprüfen, ob eine individuelle Abweichung vom symmetrischen BNGw dieses Spieles b (v i ) = b i (v i ) profitabel ist. 25 / 62

26 Auszahlungen EPA Es sei N die Menge von n Bietern. Wir bezeichnen mit v,b die Vektoren von Bieterwertschätzungen und Geboten. Gegeben die Wertschätzung v i [0,1], ist die Auszahlungsfunktion von Bieter i N gegeben als v i b i wenn b i > max{b i }, v u i (b,v) = i b i wenn b i = max{b i },. 2 0 wenn b i < max{b i }. Aus der Annahme einer atomlosen cfd F folgt, daß es sich beim zufälligen Ziehen zweier (oder mehrerer) gleicher Wertschätzungen um ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null handelt. Deshalb können wir den mit Wahrscheinlichkeit Null gewichteten Fall b i = max{b i } ignorieren. 26 / 62

27 Maximierungsproblem Wie immer ist die Bedingung für ein BNGw, daß die Gebote gegenseitig beste Antworten sind. Formell ist das Strategienprofil b(v) ein BNGw der EPA wenn gilt, daß b i = b(v i ) für jeden Spieler i N und jede Wertschätzung v i eine beste Antwort auf b(v i ) ist. Formal gilt für jeden Spieler i N, dass argmax b i (v i b i )Pr(b i > b(v j )) j =i. 27 / 62

28 Lineare Bietfunktion Wir vereinfachen die Analyse indem wir nach linearen und symmetrischen Bietfunktionen b(v i ) = α+γv i suchen. argmax b i (v i b i )Pr(b i > α+γv j ) j =i für α,β R. Sollten wir mit diesen linearen Bietfunktionen ein GW finden, dann ist dies keine Annahme sondern wir haben einfach gut geraten! 28 / 62

29 Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit ein höheres Gebot als j abzugeben ist ( Pr(b i > α+γv j ) = Pr v j < b ) i α γ was, da die Wertschätzungen der Bieter gleichverteilt sind, gegeben 0 bi α 1 ist durch γ ) Pr ( v j < b i α γ = b i α. γ Da wir n 1 unabhängig gezogene Wertschätzungen betrachten, ist im n-bieter Fall die Gewinnwahrscheinlichkeit für Bieter i Pr(b i > α+γv j ) j =i = b i αb i α b ( ) i α bi α n 1 =. γ γ γ γ }{{} für alle j =i, dh n 1 mal vj < 29 / 62

30 Nehmen wir mit Nash an, daß im Gleichgewicht alle Gegenspieler von i ihre Gleichgewichtsstrategie b(v j ) = α+γv j verwenden. Was ist Bieter i s beste Antwort? ( ) bi α n 1 argmax u(v i,b i ) = (v i b i ). b i γ Bieter i wählt sein optimales Gebot b i ( ) u(v i,b i ) bi α n 2 ( ) 1 = 0 : (n 1)(v i b i ) b i γ γ bi α n 1 = 0 γ b i = v i(n 1) α. n 30 / 62

31 Gleichgewicht Da ein Bieter mit Wertschätzung v i = 0 ein Gebot von b i = 0 abgeben wird um Verlust zu vermeiden, gilt α = 0 und wir erhalten b i = v i n 1 n = b (v i ). Da uns diese Lösung ein optimales Gebot b i für jede Wertschätzung v i liefert, haben wir tatsächlich eine symmetrische Bietfunktion b (v i ) gefunden b (v i ) = v i n 1 n. Da das Gebot im Gw linear von der Wertschätzung abhängt, hat sich unsere Suche nach einer linearen Gw-Bietfunktion bestätigt. 31 / 62

32 Besprechung Es kann gezeigt werden, daß es sich beim eben erlangten Resultat um das einzige symmetrische Gleichgewicht der EPA unter der Gleichverteilung handelt. Unter Verwendung dieser Bietfunktion geht das Objekt immer an den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe Annahme 1, Folie 11). Die EPA ist also ex-post effizient. Ein Bieter wird in der EPA nicht seine tatsächliche Wertschätzung bieten, sondern einen geringeren Wert. Bei diesem geringeren Wert handelt es sich um die erwartete zweithöchste Wertschätzung, gegeben den Gewinn der Auktion. Dies ist intuitiv einleuchtend: Das optimale gewinnende Gebot sollte gerade über dem zweithöchsten Gebot liegen. 32 / 62

33 Ertrag der EPA Welchen Ertrag wirft eine EPA für den Verkäufer ab? Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag E[Π E ] = = b(v) Pr(höchster Typ) dv n 1 n vnvn 1 dv = n 1 n / 62

34 Holländische Auktion Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem sehr hohen Preis und senkt diesen kontinuierlich. Der erste Bieter der sein Einverständnis signalisiert, erhält den Zuschlag zum aktuellen Preis. Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der Holländischen Auktion sein Einverständnis zu zeigen, sobald der Preis v i n 1 n erreicht. Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem in der EPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden. 34 / 62

35 Zweitpreisauktion (ZPA) Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter. Dieser zahlt aber bloß das zweithöchste Gebot. Zur Vereinfachung betrachten wir nun eine 2-Spieler Variante des gleichen Modells mit privaten und unabhängigen Wertschätzungen wie zuvor. Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten Annahmen 1 3 (Folie 11): 1. monotone Bietfunktion b i (v i ), 2. symmetrische b i (v i ) = b(v i ), für alle i N, 3. v i U [0,1]. 35 / 62

36 Auszahlungen ZPA Gegeben die Wertschätzung v i [0,1], mit v,b die Vektoren von Bieterwertschätzungen und Geboten, ist die Auszahlungsfunktion von Bieter i {1,2}, j = 3 i gegeben als v i b j wenn b i > b j, v u i (b,v) = i b i wenn b i = b j,. 2 0 wenn b i < b j. Aus der Annahme einer atomlosen cfd F folgt, daß es sich beim zufälligen Ziehen zweier gleicher Wertschätzungen um ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null handelt. Deshalb können wir den mit Wahrscheinlichkeit Null gewichteten Fall b i = b j ignorieren. 36 / 62

37 Zweitpreisauktion (ZPA) Das Maximierungsproblem eines Bieters i in der ZPA ist, für atomlose Wertschätzungen v = v 1,...,v n, strikt monoton steigender symmetrischer Gw-Bietfunktion b(v j ) und j = 3 i gegeben durch argmax b i (v i b(v j ))Pr(b i > b(v j )). Zum Vergleich nochmal das Optimierungsproblem in der EPA argmax b i (v i b i )Pr(b i > b(v j )). 37 / 62

38 Zweitpreisauktion (ZPA) Betrachten wir den Nutzen u i (v i,ˆb) von Bieter i mit Wertschätzung v i der Gebot ˆb abgibt. (Im Gw werden die Bieter die Gw-Bietfunktion b(v) benutzen, also b(v i ) bieten.) Aber im Nash-Gw möchten wir gerade den Nutzen einer Abweichung ˆb = b(v i ) überprüfen! Dazu betrachten wir den falschen Typ ˆv i der das Gebot ˆb laut Gw-Bietfunktion ˆb = b(ˆv i ) abgeben sollte. Durch das falsche Gebot ˆb wird i nun gegen seinen Gw-Gegner j gewinnen, wann immer ˆb > b(v j ). Durch Invertierung der monoton steigenden Gw-Bietfunktion wissen wir, daß dies der Fall ist wenn v j < ˆv i = b 1 (ˆb). 38 / 62

39 Symmetrisches GW Der Erwartungsnutzen für Bieter i mit Wertschätzung v i nach Abgabe eines Gebotes ˆb ist, für j = 3 i, argmax ˆb ˆvi =b 1 (ˆb) u i (v i,ˆb) = (v i b(v j ))f(v j )dv j. 0 } {{ } v j ˆv i Die Ableitung nach ˆb gibt unter Verwendung der Leibnitzschen Regel und Ausnützung der Symmetrie der Bieter die BEO v i b(b 1 (ˆb)) db 1 (ˆb) = 0 }{{} dˆb =ˆb v i = ˆb = b (v i ). vi =b 1 (ˆb) Es ist ein BNGw die tatsächliche Wertschätzung zu bieten! 39 / 62

40 Dominierte Strategien Wir haben die Idee von Dominanz im ersten Spieltheorieteil wie folgt eingeführt: Def. Die reine Strategie s i heißt für Spieler i strikt dominiert, wenn ein σ i Σ i existiert sodass u i (σ i,s i) > u i (s i,s i ) für alle s i S i wobei S i = S 1... S i 1 S i+1... S n. Def. Eine Strategie s i heißt schwach dominiert wenn ein σ i Σ i existiert, sodass die obige Ungleichung strikt ist für zumindest eine s i und für alle anderen als Gleichung gilt. Umkehrung dieser Definitionen ergibt dominante Strategien. 40 / 62

41 Schwach dominante Strategien Wir werden nun zeigen, daß es sich beim eben hergeleiteten Resultat auch um ein Gw in schwach dominanten Strategien handelt. Dieses Resultat ist viel robuster als das eben hergeleitete BNGw (oder jenes für die EPA), da es nicht von den Beliefs der Spieler, dh der Typverteilung, abhängt. Satz. In der ZPA ist es eine schwach dominante Strategie, die tatsächliche Wertschätzung b i = v i zu bieten. Beweis. Wie zuvor sei i = 1,2 und j = 3 i. Sollte Spieler i gewinnen, dann hat sein Gebot ˆb i keinen Einfluß auf den Preis den er bezahlt; dieser wird ausschließlich von b j = b(v j ) bestimmt. Das eigene Gebot ˆb i bestimmt bloß, ob Spieler i gewinnt oder nicht. 41 / 62

42 Beweis: b i > v i v i b i b(v j ) b(v j ) : 1 b(v j ) : 2 b(v j ) : 3 1. u i (v i,b(v j )) = v i b(v j ), u i (b i,b(v j )) = v i b(v j ). 2. u i (v i,b(v j )) = 0, u i (b i,b(v j )) = v i b(v j ) < u i (v i,b(v j )) = 0, u i (b i,b(v j )) = 0. Der Fall b i < v i ist exakt spiegelbildlich. 42 / 62

43 Beweis: Allgemein 1. Angenommen b j < v i = b i wenn ˆb i > b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. Wenn ˆbi b j, dann ist b i = v i besser als ˆb i = v i da es einen höheren Gewinn erzielt. 2. Angenommen b j > v i = b i wenn ˆbi b j, dann ist b i = v i besser als ˆb i = v i da es einen Verlust vermeidet, wenn ˆb i < b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. 3. Angenommen b j = v i = b i wenn ˆbi > b j, dann ist b i = v i besser als b i = v i da es einen Verlust vermeidet, wenn ˆbi b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. In allen möglichen Fällen ergibt b i = v i zumindest den gleichen Payoff wie eine Abweichung. Dh b i ist eine schwach dominante Strategie. 43 / 62

44 Ertrag Welchen Ertrag wirft eine ZPA für den Verkäufer ab? Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag E[Π Z ] = = b(v) Pr(zweithöchster Typ) dv [ v n(n 1)(v n 1 v n n ] 1 )dv = n(n 1) n vn+1 n+1 0 =n(n 1) n +1 n n(n+1) = n 1 n+1. (Um Komplikationen zu vermeiden, schlagen Pr(zweithöchster Typ) einfach in einer der auf Folie 50 genannten Referenzen nach.) 44 / 62

45 Besprechung Unter Verwendung der hergeleiteten Bietfunktion geht das Objekt immer an den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe Annahme 1, Folie 11): dh auch die ZPA ist ex-post effizient. Da ein Bieter in der ZPA seine tatsächliche Wertschätzung bietet, haben wir einen Mechanismus gefunden, unter dem die Agenten ihre private Information freiwillig offenbaren. Es handelt sich also um den direkten Mechanismus den wir Eingangs im Offenbarungsprinzip angesprochen haben. Diese Einsicht hat immense Bedeutung für die ökonomischen Theorie. Der intuitive Grund für dieses Resultat ist, daß der vom Gewinner zu zahlende Preis nicht von dessen Gebot abhängt: der Preis wird nur durch die anderen Spieler bestimmt. 45 / 62

46 Englische Auktion Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem Preis von Null und hebt diesen kontinuierlich. Anfangs nehmen alle Bieter teil, können die Auktion aber zu jedem Zeitpunkt verlassen. Wenn nur ein Bieter übrig ist (dh der vorletzte Bieter die Auktion verlässt), erhält dieser den Zuschlag zum aktuellen Preis. Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der Englischen Auktion die Auktion zu verlassen, sobald der Preis die eigene Wertschätzung erreicht. Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem in der ZPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden. 46 / 62

47 All-Pay Auktion (APA) Regel: Jeder Bieter übermittelt & bezahlt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter. Anwendung: Lotterien, Abnützungskriege ( Wars of Attrition ) wie zum Beispiel Innovations- oder Patentrennen, Lobbying &c. Wir betrachten wiederum eine Variante des eingangs vorgestellten Modells mit privaten und unabhängigen Wertschätzungen. Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten Annahmen 1 3 (Folie 11). 47 / 62

48 Auszahlungen APA Es sei N die Menge von n Bietern. Wir bezeichnen mit v,b die Vektoren von Bieterwertschätzungen und Geboten. Gegeben die Wertschätzung v i [0,1], ist die Auszahlungsfunktion von Bieter i N gegeben als u i (b,v) = v i b i wenn b i > max{b i }, v i 2 b i wenn b i = max{b i }, b i wenn b i < max{b i }. Aus der Annahme einer atomlosen cfd F folgt, daß es sich beim zufälligen Ziehen zweier (oder mehrerer) gleicher Wertschätzungen um ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null handelt. Deshalb können wir den mit Wahrscheinlichkeit Null gewichteten Fall b i = max{b i } ignorieren.. 48 / 62

49 All-Pay Auktion: Gw-Check Am Beginn des Spieles werden die Typen v i, i = 1,...,n, aller Bieter unabhängig voneinander gezogen. Unter der Annahme von streng monoton steigenden, symmetrischen Bietfunktionen b(v i ), kommt das höchste Gebot vom Bieter mit dem höchsten Typ. Gw-Check: Gegeben, daß die Mitspieler ihre GW-Strategien b(v i ) bieten, ist es für Spieler i profitabel von seiner Gw-Strategie b(v i ) zu einem Gebot ˆb abzuweichen? Algebraisch ist das Maximierungsproblem von Spieler i unter Abgabe von Gebot ˆb argmax ˆb v i Pr(ˆb > b(v j )) j =i ˆb und da b(v i ) invertierbar ist (Ann. 1: b > 0!), entspricht dies argmax ˆb v i Pr(v j < b 1 (ˆb) ) }{{} j =i ˆb. =ˆv i 49 / 62

50 Ordnungsstatistiken Wie bestimmen wir diese Pr(v j < ˆv i = b 1 (ˆb)) für unabhängig gezogene v j, j = i N? Beachten sie, daß diese Wahrscheinlichkeit nur von der Typverteilung abhängt! Generell schlägt man derartige Wahrscheinlichkeiten in einem Buch über Ordnungsstatistiken nach: Krishna, V., Auction Theory, App C, Academic Press, 2002, David, H. and H. Nagaraja, Order statistics, Wiley, Definition. X := X 1,X 2,...,X n seien n unabhängige Ziehungen aus der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit stetiger Verteilungsfunktion F(x) und Dichtefunktion f(x). Dann heißen die geordneten Zufallsvariablen Y (1:n) Y (2:n)... Y (n:n) die Ordnungsstatistiken der Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n. Somit ist Y (k:n) der k-größte Wert unter den Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n. 50 / 62

51 Gewinnwahrscheinlichkeit Hier ist die Bestimmung der Gewinnwahrscheinlichkeit aber so einfach, daß wir sie selbst vornehmen. Das Verfahren zur Bestimmung der Gw-Strategien in dieser Auktion ist allgemein verwendbar, sie können es auch zur Lösung der EPA oder ZPA verwenden. Allgemein gilt für die erste Ordnungsstatistik, daß F (1:n) (y) = Pr(maxX y) = Pr(X 1 y,x 2 y,...,x n y) = F 1 (y) F 2 (y) F n (y) = (F(y)) n also ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Typen aller n 1 Gegenspieler kleiner als ˆv i = b 1 (ˆb) sind gleich Pr(v j < ˆv i ) j =i = (F(ˆv i )) n 1 = ˆv n 1 i wobei nur der letzte Schritt die Gleichverteilung der Typen benutzt. 51 / 62

52 Symmetrisches Gw Das Maximierungsproblem von Spieler i vereinfacht sich also zu mit BEO argmax ˆb v i (b 1 (ˆb)) }{{} ˆv n 1 i n 1 ˆb u i (ˆb,v i ) ˆb für ˆv i = b 1 (ˆb). = 0 : (n 1)v i (b 1 (ˆb)) }{{} =ˆv n 2 i n 2db 1 (ˆb) dˆb = 1 52 / 62

53 Symmetrisches Gw Im Symmetrischen Gw gilt ˆb = b(v i ) oder b 1 (ˆb) = v i und somit (n 1)v i v n 2 i = db 1 (b(v i )) db(v i ) Dies entspricht der Differentialgleichung db 1 (ˆb) = 1. } dˆb {{} vi =b 1 (ˆb) = dv i db(v i ) (n 1)v n 1 i = db(v i) dv i = b (v i ). 53 / 62

54 Die Bietfunktion Diese Differenzialgleichung integrieren wir einfach auf (n 1) vi 0 ṽ n 1 dṽ i = und erhalten die Gw-Bietfunktion (n 1) 1 nṽn v i 0 vi 0 b (ṽ)dṽ = b(v i ) = n 1 n vn i = b (v i ). Diese Bietfunktion ist monoton steigend, also ist die APA effizient. 54 / 62

55 Ertrag der APA Der erwartete Ertrag dieser Auktion mit gleichverteilten Typen ist E[Π A ] = n n 1 b(v)dv = n 0 n vn i dv = n 1 n+1. Dies ist der gleiche Ertrag, den wir auch für die EPA & ZPA hergeleitet haben. Die 4 Standardauktionen und dieser Mechanismen liefern also völlig identische Erträge. 55 / 62

56 Warum? Die Antwort heißt Erlös-Äquivalenzsatz ( Revenue equivalence Theorem, J&R p388). Dieses Resultat und eine Fülle anderer faszinierender Fragen werden im Kurs Auktionen & Märkte besprochen. Der zuletzt behandelte Auktionstyp wird im Seminar Tournaments und Contests weiter erläutert (beide im kommenden Herbstsemester). Das Seminar wird sie (unter anderem) auch über den folgenden, und in dieser Vorlesung letzten besprochenen Auktionstyp restlos aufklären. 56 / 62

57 Turniere Im der eben besprochenen APA erhielt der höchste Bieter das Objekt mit Wahrscheinlichkeit 1. Dies ist aber in einer Fülle von Anwendungen wie zb Lotterien, Beförderungen, Patent- & Forschungsrennen etc nicht der Fall. Dort hängt der Gewinn mit vom Glück ab. Um diesen (unvollständigen Diskriminations-)Aspekt modellieren zu können, müssen wir die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Spielers flexibler spezifizieren. Um die Konzentration auf diesen Aspekt zu erleichtern, wechseln wir nun in ein Modell ohne private Information in dem alle Spieler gleich sind. Eine Erweiterung auf (asymmetrische) private Typen ist einfach. 57 / 62

58 Symmetrische Tullock-Turniere Menge N von n identischen, risikoneutralen Spielern. Spieler i N bietet e i [0, ) ( Arbeitsanstrengung ); Notation: e = (e 1,...,e n ). Es gibt einen Preis P > 0 der dem Gewinner des Turniers zugewiesen wird. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten f i (e) werden nach der sog Tullock-Regel ermittelt f i (e) = er i j N er j = ei r e1 r, r = 1. +er er n Spieler i wählt e i um ihren quasilinearer Nutzen zu optimieren argmax f i (e i,e i )P c(e i ). e i [0, ) Wir nehmen an, daß c(e i ) = ae b i, für a,b > / 62

59 Symmetrisches Gleichgewicht In jedem symmetrischen Gw muß die Gewinnwahrscheinlichkeit f i = 1 n betragen. Spieler i N maximiert argmax u i (e) = e i [0, ) e i e 1 +e e n P a(e i ) b. Gegeben, daß alle Spieler außer i das Gw-Gebot e machen (Nash-Annahme) argmax u i (e i,e i) = e i [0, ) e i e 1 +(n 1)e P a(e i) b. 59 / 62

60 BEO Tullock-Turnier Individuelle BEO e i u i (e i,e i ) = 0 e (n 1)P (e i +e (n 1)) 2 = abeb 1 i. Im Gw: Symmetrie e i = e gibt den Lösungskandidaten ( (n 1)P e = abn 2 )1 b. Aber ist es für Spieler i tatsächlich optimal e i = e zu spielen oder könnte sie sich durch ein anderes Gebot besser stellen? Vergleich: Lokales vs globale Optimum. 60 / 62

61 Zwei-Spieler Tullock-Turnier Wir wollen einen einfachen Fall graphisch lösen. Annahmen: n = 2, a = 1, P = 1, b = 2 (quadratische Kosten). u i (e i,e ) u i (e,e ) ( )1 e = (n 1)P b = 1 / abn e i 61 / 62

62 Generelle Fragen im Auktionsdesign Unter welchen Gesichtspunkten sollen Auktionen für bestimmte Ver/Kaufssituationen entwickelt werden? Hier eine kurze Liste von Anregungen. Reservationspreise oder Minimale Gebote. Die Verwendung offener (Englischer) Auktionsformate Anstelle von versieglten Bietformaten. Zur Verfügungstellung von Vorabinformation über das Objekt. Verdeckung von Information über das Wettbewerbsausmaß. Schlechterstellung von Bietern mit bekanntem Vorteil (Handicap-Prinzip). Effizienz ist nicht unbedingt das Ziel des Verkäufers. 62 / 62