Mikroökonomik B 6. Standardauktionen

Transkript

1 Mikroökonomik B 6. Standardauktionen Paul Schweinzer 9. Juni / 41

2 Literaturangaben Jehle und Reny (2001), Kapitel 9 Varian (2007), Kapitel / 41

3 Themen So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln a Allgemeines b Offenbarungsprinzip c Myerson-Satterthwaite Theorem d Erstpreis- (& Holländische) Auktion e Zweitpreis- (& Englische) Auktion f All-Pay Auktion 3 / 41

4 Anwendungen von Auktionen Verkauf öffentlicher Ressourcen, zb FCC Spektrum Auktionen The government is smoking something to think they are going to get $10 bn for these licenses. [$20 bn were raised] (MCI chairman Bert Roberts, 1993) The Greatest Auction in History (New York Times, 1995) The Auction of the Century (Liberation, 1995) The most dramatic example of game theory s new power. It was a triumph, not only for the FCC and the taxpayers, but also for game theory (and game theorists). (Fortune, 1995) Privatisierungen Aktienmärkte ( request for quote ) Immobilienverkauf ebay, GoogleAds US Treasury Bills... 4 / 41

5 Allgemeines Was machen Verkäufer wenn sie, anders als bisher angenommen, nur statistisch über die Wertschätzungen der Konsumenten informiert sind? Dies ist eine Neuinterpretation des Problems eines Monopolisten aus dem ersten Teil der Vorlesung. Die Frage nach dem für den Verkäufer optimalen Verkaufsmechanismus ist generell nicht gelöst und (ua) Gegenstand der Disziplin des Mechanismus Design. Die analysierten Verkaufsmechanismen heißen Auktionen. Wir werden uns hauptsächlich mit der Suche nach effizienten Allokationsmechanismen beschäftigen. 5 / 41

6 Ein-Gut-Standardauktionen Wenn wir uns auf das Auktionieren eines einzigen Gutes beschränken, gibt es va unter der zusätzlichen Annahme von unabhängig verteilten und privaten Wertschätzungen eine Reihe von einfachen aber mächtigen Ergebnissen für die 4 Standardauktionen: 1. Erstpreisauktion 2. Holländische Auktion 3. Zweitpreisauktion 4. Englische Auktion. Unser Hauptkriterium zur Analyse dieser Auktionen ist Effizienz. Def. Wir sprechen von einem ex-post effizientem Mechanismus, wenn dieser das Gut an den Spieler mit der höchsten Wertschätzung gibt. 6 / 41

7 Unabhängig verteilte, private Wertschätzungen Ein Verkäufer verkauft ein unteilbares Objekt dessen Wert er selbst mit Null bemisst. Es gibt N risikoneutrale potentielle Käufer ( Bieter ) mit vom Intervall V [0, 1] unabhängig gezogegenen Wertschätzungen v i, i = {1,...,N}, mit Verteilungsfunktion F(v i ) und Dichtefunktion f (v i ). Wir missbrauchen diese Notation um auch die Spielermenge mit N zu bezeichnen. Da die Wertschätzungen der potentiellen Käufer alle der gleichen Verteilungsfunktion F [0,1] folgen, spricht man von ex-ante symmetrischen Käufern. Jeder Käufer kennt seine eigene Wertschätzung v i (dh ist vom Typ v i ), aber er kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen der anderen Käufer F [0,1]. Der Verkäufer kennt nur die Verteilung der Wertschätzungen der Käufer F [0,1]. 7 / 41

8 Erstpreisauktion Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter der sein Gebot zahlt. Das optimale Bietverhalten hängt von den Geboten der anderen Bieter ab. Diese sind aber nicht beobachtbar! Wie soll sich ein Bieter i in diesem Spiel mit unvollständiger Information verhalten? Eine Strategie eines Bieters i ist es, ein Gebot für jede seiner möglichen Wertschätzungen des Objektes vorzusehen. Eine derartige Strategie heißt Bietfunktion b i : [0,1] R +. Wir suchen ein (symmetrisches) Bayesianisches NGw (SBNGw) dieser Bietfunktionen. 8 / 41

9 Annahmen Wir wissen nicht besonders viel über diese Bietfunktionen b i (v i ). Die folgenden beiden Annahmen wirken aber natürlich. Annahme 1: Bieter mit höheren Wertschätzungen geben höhere Gebote ab, dh die Bietfunktion b i (v i ) ist streng monoton steigend für alle Bieter i. Annahme 2: Ex-ante symmetrische Bieter geben für gleiche Wertschätzungen die gleichen Gebote ab, dh b i (v i ) = b(v i ), i. Annahme 2 bedeutet, daß wir nach symmetrischen BNGw suchen. Die letzte Annahme machen wir nur um die Darstellung einfach zu halten sie ist im Gegensatz zu den ersten beiden Annahmen unwesentlich. Annahme 3: Wertschätzungen sind gleichverteilt, dh v i U [0,1] für alle Bieter i. 9 / 41

10 BNGw Basierend auf der allgemeinen Definition in Kapitel 6.2 definieren wir ein symmetrisches BNGw als NGw Profil b = (b 1,...,b N ) eines Spieles in dem für alle Spieler i N und alle v i V mit v = v 1,...,v N gilt, daß b i argmax b i [0, ) f (v)u i (b i,b(v i ) ) dv i dv i. 0 0 } {{ } v i V i 1 Da die Spieler private Typen haben, müssen sie Beliefs über die Typen der Gegenspieler formen. Diese sind in den gegenständlichen Auktionen unabhängig voneinander und für alle Spieler identisch (iid) und deshalb gleich den allgemein bekannten ex-ante Wahrscheinlichkeiten F(v i ). 10 / 41

11 Exkurs 1 Offenbarungsprinzip ( Revelation Principle ) 11 / 41

12 Offenbarungsprinzip ( Revelation Principle ) Eine tatsächliche Bietstrategie kann ein kompliziertes Objekt sein, das von vielen Dingen abhängt. Wenn wir also einen effizienten (oder vielleicht sogar den besten) Mechanismus zum Verkauf eines Gutes finden möchten, dann müssen wir potentiell eine große Anzahl von verschiedenen Mechanismen untersuchen! Glücklicherweise besagt das folgende Resultat, daß wir uns bei der Suche nach der gewünschten Auktion auf einfache Mechanismen beschränken können mit Geboten der Form b(v i ). Zu jedem BNGw eines Spieles mit unvollständiger Information gibt es ein entsprechendes Spiel, in dem Strategien nur von den Spielertypen abhängen ( direct revelation game ). In diesem Spiel ist es ein BNGw seinen tatsächlichen Typ bekanntzugeben. Es hat die gleichen Auszahlungen wie das Originalspiel. 12 / 41

13 Ein Stellvertreter-Beispiel Nehmen wir an, wir hätten tatsächlich ein SBNGw b(v) gefunden. Per Definition ist b(v i ) auszahlungsmaximierend für Spieler i vom Typ v i, gegeben die Mitspieler bieten b(v i ) unter Benutzung der symmetrischen Bietfunktion. Bieter i kann an der Auktion nicht teilnehmen, schickt aber einen Stellvertreter. Dieser kennt & benutzt zwar die Gw-Bietfunktion der Spieler, kennt aber nicht i s Typ v i. i s Stellvertreter ruft Spieler i während der Auktion an und fragt nach dessen Wertschätzung. Welche Wertschätzung wird Spieler i seinem Stellvertreter in diesem (möglicherweise komplizierten) Spiel nennen? Natürlich v i, seine tatsächliche Wertschätzung! 13 / 41

14 Exkurs 2 Effiziente Handelsmechanismen: Myerson-Satterthwaite Theorem 14 / 41

15 Effizienter Handel: v > c Private Käufervaluation v U [0,1]. Private Kosten des Verkäufers c U [0,1]. Wir lassen keine Subventionen von Dritten zu. Wir suchen nach irgendeinem Mechanismus der freiwilligen Handel zustande bringt, wann immer v > c. 15 / 41

16 Effizienter Mechanismus Der Mechanismus fragt Käufer & Verkäufer nach ihren Typen v & c, verlangt vom Käufer p(v, c), gibt an den Verkäufer p(v, c). Wenn effizienter Handel stattfindet, dann ist der Überschuß (gains from trade) 1 v 0 0 (v c) dc dv = 1 0 v 2 2 dv = / 41

17 Käufer Niemand zwingt den Käufer dazu, dem Mechanismus seine tatsächliche Valuation v mitzuteilen. Betrachten wir also den Fall eines Käufers, der die tatsächliche Valuation v hat, dem Mechanismus aber ˆv mitteilt. Beachten sie, daß ein Käufer mit Mittelung ˆv den Zuschlag mit Wahrscheinlichkeit ˆv erhält (Gleichverteilung). Der Nutzen eines Käufers vom Typ v der ˆv mitteilt ist argmaxˆv u(ˆv,v) = vˆv E c p(ˆv,c). Wenn die Bekanntgabe des tatsächlichen Typs für den Käufer optimal sein soll, dann muß der Käufernutzen durch ˆv = v maximiert werden d dv u(ˆv,v) = ˆv u(ˆv,v) } {{ } foc=0 + v u(ˆv,v) = v u(ˆv,v) = ˆv = v. ˆv=v 17 / 41

18 Käufer Integrieren wir den Überschuß für alle Käufertypen auf, so erhalten wir den durchschnittlichen Käuferüberschuß (durch partielle Integration mit f = u(v,v),g = 1,g = (v 1)) 1 0 u(v,v)dv = (v 1)u(v,v) = v=0 (1 v)v dv = (v 1) d u(v,v) dv dv (Ein Käufer mit Wertschätzung v = 0 sollte 0 erhalten.) Das bemerkenswerte Resultat ist, daß ein Käufer, der seinen Typ wahrheitsgemäß mitteilen soll, den gesamten Überschuß erhalten muß! 18 / 41

19 Verkäufer Die Logik des Argumentes für den Verkäufer ist genau symmetrisch: auch er muß den gesamten Überschuß erhalten um seine Kosten wahrheitsgemäß mitzuteilen. Da beides gleichzeitig unmöglich ist, ist es nicht möglich einen Mechanismus zu finden der effizienten Handel mit privater Information organisiert! Intuition: Nur wenn der gesamte Überschuß einer einzelnen Partei gehört, dann wird sie durch ihre Handelsentscheidung auch versuchen diesen Überschuß zu maximieren. 19 / 41

20 Myerson-Satterthwaite Theorem Dieses Resultat ist unter dem Namen Myerson-Satterthwaite Theorem bekannt. Es besagt, daß effizienter Handel mit privater Information und überlappenden Typenräumen unmöglich ist. Käufer tendieren dazu, weniger als ihre tatsächliche Wertschätzung zu bieten. Verkäufer tendieren dazu, ihre Kosten als höher als tatsächlich vorhanden anzugeben. Das Result ist Ineffizienz. Die Auswirkungen sind schwach in großen Märkten, aber potentiell stark in kleinen Märkten (1:1 Verhandlungen). 20 / 41

21 Erstpreisauktion Zurück zur Erstpreisauktion. (Wir werden keine strategischen Verkäufer betrachten.) 21 / 41

22 Maximierungsproblem Wie immer ist die Bedingung für ein BNGw, daß die Gebote gegenseitig beste Antworten sind. Formell ist das Strategienprofil b(v) ein BNGw der Erstpreisauktion (EPA) wenn gilt, daß b(v i ) für jede Wertschätzung v i argmax b i (v i b i )pr(b i b(v j )) j i. Wir vereinfachen die Analyse indem wir nach linearen und symmetrischen Bietfunktionen b(v i ) = α + γv i suchen. (Sollten wir damit Erfolg haben, dann ist dies keine Annahme!) Wenn wir weiters erkennen, daß es sich beim zufälligen Ziehen zweier (oder mehrerer) gleicher Wertschätzungen um ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null handelt, dann können wir schreiben argmax b i (v i b i )pr(b i > α + γv j ) j i. 22 / 41

23 Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit ein höheres Gebot als j abzugeben ist ( pr(b i > α + γv j ) = pr v j < b ) i α γ was, da die Wertschätzungen der Bieter gleichverteilt sind, gegeben 0 bi α 1 ist durch γ ) ( v j < b i α γ pr = b i α. γ Da wir N 1 unabhängig gezogene Wertschätzungen betrachten, gilt pr(b i > α + γv j ) j i = b ( ) i α b i α bi α bi α N 1 =. γ γ γ γ } {{ } für alle j i, dh N 1 mal vj < 23 / 41

24 Nehmen wir mit Nash an, daß im Gleichgewicht alle Gegenspieler von i ihre Gleichgewichtsstrategie b(v j ) = α + γv j verwenden. Was ist Bieter i s beste Antwort? ( ) bi α N 1 argmax u(v i,b i ) = (v i b i ). b i γ Bieter i wählt sein optimales Gebot b i indem er ( ) u(v i,b i ) bi α N 2 ( ) 1 = 0 : (N 1)(v i b i ) b i γ γ bi α N 1 = 0. γ Da ein Bieter mit Wertschätzung 0 ein Gebot von 0 abgeben wird, gilt α = 0 und wir erhalten b i = v i(n 1) α N = v i N 1 N = b (v i ). Dh unsere Suche nach einer linearen Bietfunktion ist bestätigt. 24 / 41

25 Ertrag Welchen Ertrag wirft eine EPA für den Verkäufer ab? Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag E[Π E ] = = b(v) pr(höchster Typ) dv n 1 n vnvn 1 dv = n 1 n / 41

26 Besprechung Es kann gezeigt werden, daß es sich beim eben erlangten Resultat um das einzige symmetrische Gleichgewicht der EPA handelt. Unter Verwendung dieser Bietfunktion geht das Objekt immer an den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe Annahme 1): wir sagen, die EPA ist ex-post effizient. Ein Bieter wird in der EPA also nicht seine tatsächliche Wertschätzung bieten, sondern einen geringeren Wert. Bei diesem geringeren Wert handelt es sich um die erwartete zweithöchste Wertschätzung, gegeben den Gewinn der Auktion. Dies ist intuitiv: Das optimale gewinnende Gebot sollte gerade über dem zweithöchsten Gebot liegen. 26 / 41

27 Holländische Auktion Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem sehr hohen Preis und senkt diesen kontinuierlich. Der erste Bieter der sein Einverständnis signalisiert, erhält den Zuschlag zum aktuellen Preis. Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der Holländischen Auktion sein Einverständnis zu zeigen, sobald der Preis N 1 v i erreicht. N Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem in der EPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden. 27 / 41

28 Zweitpreisauktion Regel: Jeder Bieter übermittelt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter. Dieser zahlt aber bloß das zweithöchste Gebot. Wir betrachten eine 2-Spieler Variante des gleichen Modells mit privaten und unabhängigen Wertschätzungen wie zuvor. Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten Annahmen 1 3. Das Maximierungsproblem eines Bieters i in der Zweitpreisauktion (ZPA) ist, für Wertschätzungen v = v 1,...,v N, strikt monoton steigender symmetrischer Gw-Bietfunktion b(v j ) und j = 3 i gegeben durch argmax b i (v i b(v j ))pr(b i b(v j )). 28 / 41

29 Der Erwartungsnutzen für Bieter i mit Wertschätzung v i nach Abgabe eines Gebotes ˆb ist, für j = 3 i, ˆvi =b 1 (ˆb) u i (v i, ˆb) = (v i b(v j )) f (v j )dv j. 0 } {{ } v j ˆv i Die Ableitung nach ˆb gibt unter Verwendung der Leibnitzschen Regel und Ausnützung der Symmetrie der Bieter die beo v i b(b 1 (ˆb)) db 1 (ˆb) = 0 } {{ } dˆb oder =ˆb v i = ˆb = b (v i ). vi =b 1 (ˆb) Es ist ein BNGw die tatsächliche Wertschätzung zu bieten! 29 / 41

30 Schwach dominante Strategien Wir werden nun zeigen, daß es sich beim eben hergeleiteten Resultat auch um ein Gw in schwach dominanten Strategien handelt. Dieses Resultat ist viel robuster als das eben hergeleitete BNGw (oder jenes für die EPA), da es nicht von den Beliefs der Spieler, dh der Typverteilung, abhängt. Satz. In der ZPA ist es eine schwach dominante Strategie, die tatsächliche Wertschätzung b i = v i zu bieten. Beweis. Wie zuvor sei i = 1,2 und j = 3 i. Sollte Spieler i gewinnen, dann hat sein Gebot ˆb i keinen Einfluß auf den Preis den er bezahlt; dieser wird ausschließlich von b j = b(v j ) bestimmt. Das eigene Gebot ˆb i bestimmt bloß, ob Spieler i gewinnt oder nicht. 30 / 41

31 Beweis: b i > v i v i b i b(v j ) b(v j ) : 1 b(v j ) : 2 b(v j ) : 3 1. u i (v i,b(v j )) = v i b(v j ), u i (b i,b(v j )) = v i b(v j ). 2. u i (v i,b(v j )) = 0, u i (b i,b(v j )) = v i b(v j ) < u i (v i,b(v j )) = 0, u i (b i,b(v j )) = / 41

32 Ein formaler Beweis 1. Angenommen b j < v i = b i wenn ˆb i > b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. Wenn ˆbi b j, dann ist b i = v i besser als ˆb i v i da es einen höheren Gewinn erzielt. 2. Angenommen b j > v i = b i wenn ˆbi b j, dann ist b i = v i besser als ˆb i v i da es einen Verlust vermeidet, wenn ˆb i < b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. 3. Angenommen b j = v i = b i wenn ˆbi > b j, dann ist b i = v i besser als b i v i da es einen Verlust vermeidet, wenn ˆbi b j, dann ergeben beide Gebote das gleiche. In allen möglichen Fällen ergibt b i = v i zumindest den gleichen Payoff wie eine Abweichung. Dh b i ist eine schwach dominante Strategie. 32 / 41

33 Ertrag Welchen Ertrag wirft eine ZPA für den Verkäufer ab? Mit über [0,1] gleichverteilten Typen ist der Ertrag E[Π Z ] = = b(v) pr(zweithöchster Typ) dv [ v n(n 1)(v n 1 v n n ] 1 )dv = n(n 1) n vn+1 n =n(n 1) n + 1 n n(n + 1) = n 1 n + 1. (Um Komplikationen zu vermeiden, schlagen pr(zweithöchster Typ) einfach in einer der auf Seite 37 genannten Referenzen nach.) 33 / 41

34 Besprechung Unter Verwendung der hergeleiteten Bietfunktion geht das Objekt immer an den Bieter mit der höchsten Wertschätzung (siehe Annahme 1): dh auch die ZPA ist ex-post effizient. Da ein Bieter in der ZPA seine tatsächliche Wertschätzung bietet, haben wir einen Mechanismus gefunden, unter dem die Agenten ihre private Information freiwillig offenbaren. Dies hat immense Bedeutung in der ökonomischen Theorie. Der intuitive Grund für dieses Resultat ist, daß der vom Gewinner zu zahlende Preis nicht von dessen Gebot abhängt: der Preis wird nur durch die anderen Spieler bestimmt. 34 / 41

35 Englische Auktion Regel: Der Verkäufer beginnt mit einem Preis von Null und hebt diesen kontinuierlich. Anfangs nehmen alle Bieter teil, können die Auktion aber zu jedem Zeitpunkt verlassen. Wenn nur ein Bieter übrig ist (dh der vorletzte Bieter die Auktion verlässt), erhält dieser den Zuschlag zum aktuellen Preis. Satz. Mit unabhängig von der Gleichverteilung gezogenen Wertschätzungen ist es ein symmetrischen BNGw der Englischen Auktion die Auktion zu verlassen, sobald der Preis die eigene Wertschätzung erreicht. Beweis. Das Optimierungsproblem der Bieter ist identisch zu dem in der ZPA wenn die Worte Preis und Gebot ausgetauscht werden. 35 / 41

36 All-Pay Auktion Regel: Jeder Bieter übermittelt & bezahlt ein versiegeltes Gebot an den Verkäufer. Dieser gibt das Objekt an den höchsten Bieter. Anwendung: Abnützungskriege ( Wars of Attrition ) wie zum Beispiel Innovations- oder Patentrennen, Lobbying &c. Wir betrachten wiederum eine Variante des eingangs vorgestellten Modells mit privaten und unabhängigen Wertschätzungen. Insbesondere gelten die bei der Besprechung der EPA gemachten Annahmen / 41

37 All-Pay Auktion: Gw-Check Am Beginn des Spieles werden die Typen v i, i = 1,...,N aller Bieter unabhängig voneinander gezogen. Unter der Annahme von streng monoton steigenden, symmetrischen Bietfunktionen b(v i ), kommt das höchste Gebot vom Bieter mit dem höchsten Typ. Gw-Check: Gegeben, daß die Mitspieler ihre GW-Strategien b(v i ) bieten, ist es für Spieler i profitabel von seiner Strategie b(v i ) zu einem Gebot ˆb abzuweichen? Formeller ist das Maximierungsproblem von Spieler i unter Abgabe von Gebot ˆb max v i pr(ˆb > b(v j )) j i ˆb ˆb und da b(v i ) invertierbar ist (b > 0!), entspricht dies max ˆb v i pr(v j < b 1 (ˆb)) j i ˆb. 37 / 41

38 Ordnungsstatistiken Wie bestimmen wir pr(v j < b 1 (ˆb)) für unabhängig gezogene v i, i = 1,...,N? Beachten sie, daß diese Wahrscheinlichkeit nur von der Typverteilung abhängt! Generell schlägt man derartige Wahrscheinlichkeiten in einem Buch über Ordnungsstatistiken nach: Krishna, V., Auction Theory, App C, Academic Press, 2002, David, H. and H. Nagaraja, Order statistics, Wiley, Definition. X := X 1,X 2,...,X n seien n unabhängige Ziehungen aus der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit stetiger Verteilungsfunktion F(x) und Dichtefunktion f (x). Dann heißen die geordneten Zufallsvariablen Y (1:n) Y (2:n)... Y (n:n) die Ordnungsstatistiken der Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n. Y (k:n) ist also der k-größte Wert unter den Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n. 38 / 41

39 Gewinnwahrscheinlichkeit Hier ist die Bestimmung aber so einfach, daß wir sie selbst vornehmen. Das Verfahren zur Bestimmung der Gw-Strategien in dieser Auktion ist allgemein verwendbar, sie können es auch zur Lösung der EPA verwenden. Allgemein gilt, daß F (1:n) (y) = Pr(maxX y) = Pr(X 1 y,x 2 y,...,x n y) = F 1 (y) F 2 (y) F n (y) = (F(y)) n. also ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Typen aller N 1 Gegenspieler kleiner als b 1 (ˆb) sind gleich pr(v j < b 1 (ˆb)) = (F(b 1 (ˆb))) N 1 = (b 1 (ˆb)) N 1 wobei der letzte Schritt die Gleichverteilung der Typen ausnutzt. 39 / 41

40 Symmetrisches Gw Das Maximierungsproblem von Spieler i vereinfacht sich also zu max ˆb v i (b 1 (ˆb)) N 1 ˆb mit beo u i (ˆb,v i ) ˆb = 0 : (N 1)v i (b 1 N 2 db 1 (ˆb) (ˆb)) = 1. } {{ } } dˆb {{ } =v N 2 i =1/b (v i ) vi =b 1 (ˆb) Im Symmetrischen Gw gilt ˆb = b(v i ) oder b 1 (ˆb) = v i und somit (N 1)v i v N 2 i = b (v i ). 40 / 41

41 Die Bietfunktion Diese Differenzialgleichung integrieren wir einfach auf und erhalten (N 1) vi 0 ṽ N 1 dṽ i = (N 1) 1 nṽn v i 0 vi 0 b (ṽ)dṽ = b(v i ) = n 1 n vn i = b (v i ). Der erwartete Ertrag dieser Auktion mit gleichverteilten Typen ist E[Π A ] = n 1 0 b(v)dv = n 1 0 n 1 n vn i dv = n 1 n + 1. Dies ist der gleiche Ertrag, den wir auch für die EPA & ZPA hergeleitet haben. Die 4 Standardauktionen und dieser Mechanismen liefern also völlig identische Erträge. 41 / 41

42 Warum? Diese und eine Fülle anderer faszinierender Fragen werden im Kurs Auktionen & Märkte besprochen. Der zuletzt behandelte Auktionstyp wird im Seminar Tournaments und Contests weiter erläutert (beide im kommenden Herbstsemester). Bis dahin bitte ich um etwas Geduld. Danke für ihre Aufmerksamkeit! 42 / 41