Kapitel 9: Quantenmechanik

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1 Kapitel 9: Quantenmechanik 9.1 Das klassische Atom-Modell 9.2 Beugung einer Welle 9.3 Licht als Welle 9.4 Die Quantisierung des Lichts 9.5 Die Wellennatur der Teilchen 9.6 Röntgenbeugung 9.7 Elektronenbeugung 9.8 Die Schrödinger-Gleichung 9.9 Die Unschärferelation 9.10 Der Tunneleffekt 9.11 Das Wasserstoffatom 9.12 Eigendrehimpuls des Elektrons 9.13 Das EPR-Paradoxon 9.14 Eine weitere Unschärferelation 1

2 9.1 Das klassische Atom-Modell Ende des 19. Jahrhunderts: viele experimentelle Daten über die Linienspektren von isolierten Atomen und Molekülen. Linienspektren = Charakteristika, mit denen man Atome oder Moleküle identifizieren kann. Atommodell von Thompson (1903) F Atom = Kugel mit einer gleichmässig verteilten positiven und negativen Ladung. Streuexperiment von Rutherford (1910): Streuexperimente mit α-teilchen (= zwei Protonen und zwei Neutronen) F Atom besteht aus einem positiv geladenen Kern mit einer äusseren Elektronenhülle. 2

3 Zwei Arten von Linienspektren Emissionspektrum: die Wellenlänge des vom Atom emittierten Lichtes. F Heisse Gasatome werden angeregt und das emittierte Licht wird analysiert (z.b. mit einem Prisma, das das Licht in Farben zerlegt). Absorptionsspektrum: die Wellenlänge des vom Atom absorbierten Lichtes. F Weisses Licht durch Dampf des gewählten Elements. Die Absorption erscheint als schwarze Linie. 3

4 Absorption von Natriumdampf Demonstrationsexperiment: Zwei Kohlestäben mit einem mit Natriumkarbonat gefüllten Loch F Lichtbogen mit Hilfe eines elektrischen Stromes. F Elektroden emittieren ein kontinuierliches Spektrum. F Gleichzeitig verdampft das Natrium. Die Natrium- Absorptions-Linie ist sichtbar! 4

5 Spektrum von atomarem Zink Demonstrationsexperiment: F Eine Messing- und eine Kohlelektrode, um Lichtbogen zu erzeugen. F Wir beobachten die einzelnen Emissionslinien des Zinks. 5

6 Linienspektren von Atomen Die sichtbaren Linien des atomaren Wasserstoffs (in Prinzip das einfachste Atom zu beschreiben!): Vergleich des Wasserstoffs mit Na und Fe: H Na Fe Linienspektren Wellenlänge λ Wellenlänge λ 6

7 Balmer-Rydberg-Formel Balmer (Schweizer Lehrer an der Uni Basel, 1885): Eine sehr genaue empirische Formel. Später von Rydberg verbessert. Wellenlänge: m,n = ganze Zahlen 1 λ = R 1 m 2 1 n 2 Rydberg-Konstante: R = 1, m 1 Frequenz: ν = c λ = Rc 1 m 1 2 n 2 Rc 3290THz Für ein festes m liefert die Balmer-Rydberg-Formel eine Serie von Linien (als Funktion der Zahl n) 7

8 Für m=2: die Balmer-Serie 1 λ = R 1 m 1 2 n 2 n=5, 6, n=4 n=3 Die Linien nähern sich, wenn die Zahl n zunimmt. Wellenlänge λ 8

9 Lyman- und Paschen-Serie Andere Linienspektren: die sogenannte Lyman-Serie und Paschen-Serie, die den Zahlen m=1 und m=3 entsprechen. Sie sind nicht sichtbar! m=3 m=1 9

10 Das Bohrsche Atom-Modell Niels Bohr (1913): Die Theorie des einfachsten Atom- Systems (Wasserstoff-Atom mit Z=1, A=1) F Form der elektrischen Kraft ähnlich derjenigen der Gravitationskraft F Voraussage mit Hilfe der klassischen Mechanik: das Elektron im Wasserstoffatom bewegt sich um das Proton wie ein Planet um die Sonne! m p 2000m e Annahme: das Proton befindet sich in Ruhe und das Elektron bewegt sich um das Proton 10

11 Energie des Atoms Die (klassische) Energie des Atoms E = E kin + E pot = 1 2 m ev 2 e 1 e 2 4πε 0 r Annahme: Wasserstoff symmetrisch Bahn ist ein Kreis E(r) = 1 2 F e = m e r v e 2 1 e 2 4πε 0 r = 1 e 2 4πε 0 r m 2 ev 2 e = 1 e 2 4πε 0 r Klassische Energie des Systems, wenn das Elektron sich auf einem Kreis mit Radius r um das Proton bewegt E(r)<0 : das Elektron-Proton-System ist gebunden! Das Elektron wird ständig um das Proton kreisen. Wie können die Linienspektren erklärt werden? 11

12 Geniale Postulate von Niels Bohr (1913) 1. Postulat der stationären Zustände: Der Radius der Elektronenbahn ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft Radius nimmt diskrete Werte (Annahme in grossem Widerspruch zur klassischen Mechanik) 2. Postulat der Frequenz: Bei diesem Quantensprung wird elektromagnetische Strahlung abgegeben oder aufgenommen, deren Frequenz zur Differenz der Energien dieser beiden Zustände proportional ist: ( ( ) = E m E ) n ν E m E n h Niels Bohr ( ) Frequenz υ Anregung Plancksche Konstante! 12

13 Energie des Wasserstoff-Atoms Vergleich mit der empirischen Balmer-Rydberg-Formel Emission: ν = 1 ( h E n E ) m = Rc 1 1 m 2 n 2 E n h = Rc 1 n 2 E n hcr n 2 n=1,2,3,.. Die Energie der Elektronenbewegung im Atom ist quantisiert. F Klassische Mechanik: keine Grenzen für den möglichen Werten für die Energie des Elektrons in einem Atom F Im Gegensatz dazu: Linienspektren zeigen, dass die Energie eines Elektrons in einem Atom auf bestimmte Werte beschränkt ist! 13

14 Quantisierung und die Plancksche-Konstante Energie des Wasserstoff-atoms (experimentell bestimmt) E n hcr n 2 = 13,6 ev n 2 (n = 1,2,3,...) Die Plancksche-Konstante hcr = 13,6 ev = 2, J h 6, Js Schon im Strahlungsgesetz von Planck angetroffen! Wasserstoff-atom: Quantisierung der Energie des Elektrons Wärmestrahlung: Quantisierung der Energie der atomaren Oszillatoren (Siehe Kap. 7) Universität Humboldt 14

15 Erklärung der Serien des Wasserstoffsatoms Graphische Darstellung der Übergange: > 750 nm Lyman-Serie Ultraviolett < 400 nm m =1 Balmer-Serie sichtbar 486 nm blaugrün 656 nm rot 434 nm violett n Balmer-Serie E n = Paschen-Serie 13,6 ev n 2 Brackett-Serie Pfund-Serie E/eV 0-0,85-1,51-3,40 Infrarot Paschen-Serie m =2 m =3 m =4 1 λ = R 1 m 1 2 n 2 1 Lyman-Serie ultraviolett Ionisation bei = 91,2 nm sichtbar infrarot -13,60 15

16 9.2 Die Beugung einer Welle Huygens (1678): Entwicklung eines einfachen Mechanismus, um die Ausbreitung des Lichts zu verfolgen. F Huygens kannte die Natur des Lichts nicht F Er wusste nicht: Licht = elektromagnetische Welle Die Frequenzen, die Ausbreitungsgeschwindigkeit, usw Christiaan Huygens ( ) Prinzip von Huygens = eine wertvolle Theorie für das Verständnis optischer Phänomene F Basiert auf einer geometrischen Konstruktion: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt für eine kugelförmige Elementarwelle betrachtet werden. Nach einer Zeit t wird die neue Position der Wellenfront durch die Summe der einzelnen Elementarwellen gegeben. 16

17 Interferenz von Wasserwellen Demonstrationsexperiment: Interferenz von Wasserwellen in einer Wasserwanne. Zwei synchron periodisch in Wasser eintauchende punktförmige Stifte erzeugen kreisförmige Wellenzüge (Huygens). Die Kreiswellen interferieren konstruktiv und destruktiv. r = λ Q1 Q2 Q1 Q Konstruktive Interferenz 17

18 λ x = vδt Das Prinzip von Huygens Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt für eine kugelförmige Elementarwelle ( wavelet ) betrachtet werden. Nach einer Zeit Δt wird die neue Position der Wellenfront durch die Summe der einzelnen Elementarwellen gegeben. Beispiel: Radiowellen in Bergen starkes Signal schwaches Signal Wellenfront Ausbreitungsgeschwindigkeit = v Wellenfront zur späteren Zeit 18

19 Beugung an einem Spalt Gedankenexperiment: Eine ebene Welle, die auf einen Spalt fällt. Das Phänomen heisst Beugung. Breite des Spalts: a λ oder a<λ Prinzip von Huygens: jeder Punkt des Spalts wirkt als eine Quelle einer sich ausbreitenden Elementarwelle. Breite des Spaltes Wellenlänge: der Spalt entspricht einer einzelnen Quelle! Die ebene Welle, die auf den Spalt fällt, wird sich nachher als konzentrische Kreise ausbreiten. a undurchsichtiger Schirm Spalt der Breite a Breite des Spalts: a>λ Jeder Punkt des Spalts wirkt als Quelle von Elementarwellen! a 2 a 6 19

20 Bestimmung des ersten Minimums Definition: Beugung = Ablenkung der Wellen an einem Hindernis, wie z.b. an der Kante eines Spalts a λ a 6λ Winkel=θ Bestimmung des Minimums: F Gangunterschied zwischen zwei Quellen = eine halbe Wellenlänge destruktive Interferenz a 2 sin = F a sin = 2 a /2 In Richtung des Minimums # a sin = a Kein Minimum sin = a 0 Die Beugung verschwindet

21 x = 2 n k Beugung am Doppelspalt Gedankenexperiment: Beugung am Doppelspalt Annahme: a<<λ Beide Löcher sind Quellen einzelner Elementarwellen, die sich als Kugelwellen ausbreiten. Die resultierende Welle ist in jedem Punkt gleich der Summe der beiden Wellen. a << λ a = n n =0, 1, 2,... Schirm x = d sin = n (Maxima) Intensität erstes Nebenmaximum zentrales Maximum Konstruktive Interferenz (Siehe Kap.5): Gangunterschied = ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge erstes Nebenmaximum 1 2 k x = n d x # P d sin = n (Minima) D 21

22 a 100µm Licht als Welle Historisch: Gibt es eine Theorie des Lichts? der elektromagnetischen Wellen? Young (1801): Erster experimentelle Nachweis von Interferenzeffekten für Licht. Thomas Young ( ) Das Licht verhält sich als eine Welle! F Wellentheorie des Lichts auf eine feste experimentelle Basis gestellt. F Erste Bestimmung der Wellenlänge des sichtbaren Lichts. Demonstrationsexperiment: Ausbreitung des Lichts durch einen Einzelspalt zentrales Beugungsmaximum Licht vom Laser 645nm Breite des Spalts: Nebenmaximum 22

23 9.4 Quantisierung des Lichts Der photoelektrische Effekt: (Erste Beobachtung H. Hertz, 1879) F Licht mit der Frequenz ν fällt auf eine metallische Oberfläche. Wenn die Frequenz gross genug ist, so werden aus der Oberfläche Elektronen herausgeschlagen. Die klassische Maxwellsche Theorie kann das Phänomen nicht erklären! Ist Licht wirklich eine Welle?? Im Widerspruch mit der klassischen Wellentheorie des Lichts: - Intensitätsproblem: Die maximale kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen ist von der Intensität des Lichts unabhängig! - Frequenzproblem: Für Frequenzen kleiner als eine minimale Frequenz tritt der photoelektrische Effekt nicht auf. Dies gilt unabhängig von der Intensität des Lichts! Welle, im Raum verteilt Demonstrationsexperiment: Photoelektrischer Effekt 23

24 Photonentheorie des Lichts Einstein (1905): eine wichtige Annahme über die Natur des Lichts (in scharfem Kontrast zur Wellentheorie des Lichts) F Elektromagnetische Welle sind nicht kontinuierlich im Raum verteilt, sondern in kleinen Paketen quantisiert F Elektromagnetische Wellen entstehen aus der Bewegung einer endlichen Zahl von im Raum lokalisierten Quanten (wie Teilchen), die nur als Ganzes absorbiert oder emittiert werden können. F Diese Quanten werden als Photonen (γ) bezeichnet. Elektromagnetische Wellen sind deshalb als Strahlung von Elementarteilchen (die Photonen) zu betrachten. Die Energie eines einzelnen Photons ist ν = Frequenz der elektromagnetischen Welle, λ = Wellenlänge, c = Lichtgeschwindigkeit, h = Plancksche Konstante 24

25 Das elektromagnetische Spektrum c = λν E = hν = hc λ /m /Hz E/eV 1 fm 1 pm 1 nm 1 µm 1 mm 1m 1 km 1 Mm ZHz 1 EHz 1 PHz 1 THz 1 GHz 1 MHz 1 khz GeV 1 MeV 1keV 1 ev 1 mev 1 µev 1 nev 1 pev hc Jm=1,2 ev µm Beispiel: sichtbares Sonnenlicht E violett = hc 1,2 evµm 0,4 µm = 3 ev E rot = Annahme: P Sonne = 150 W/m 2 E 2eV N hc 1,2 evµm 0,7 µm =1,7 ev 150 W/m 2 (2 ev) (1, J) =4, m 2 s 1 Demonstrationsexperiment: Photonenzähler 25

26 Erklärung des Photoelektrischen Effekts Erklärung des Vorgangs: - Ein Photon trägt eine Energie E=hν auf die Oberfläche. - Die Energie wird von einem einzelnen Elektron absorbiert. - Austrittsarbeit A: Die benötigte Energie, um ein Elektron aus einem ungeladenen Festkörper zu lösen. - Die übrige Energie wird in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt. E = h = A + E k Erklärung des Intensitätsproblems: Lichtintensität, Anzahl der Photonen und damit Anzahl von herausgeschlagenen Elektronen Erklärung des Frequenzproblems: Wenn die Frequenz des Lichts ν<ν0: h 0 = A Kein einziges Photon hat die Energie, die zur Emission erforderlich ist (unabhängig von der Intensität des Lichts!) Metall Zeichen A/eV Aluminium Al 4,08 Beryllium Be 5,0 Kupfer Cu 4,7 Gold Au 5,1 Eisen Fe 4,5 Blei Pb 4,14 Nickel Ni 5,01 Platin Pt 6,35 Silber Ag 4,73 Zink Zn 4,3 26

27 Energie, Impuls und Ruhemasse des Photons Teilchennatur des Photons: Wenn das Photon mit einem Elektron wechselwirkt (z.b. Photoabsorption, Rayleigh-Streuung, Compton- Streuung), verhält es sich wie ein Teilchen mit einer Energie E und einem Impuls p, die mit dem Elektron ausgetauscht werden können (Erhaltung der Energie und des Impulses gilt!). Relativistische Beziehungen: E = γ mc 2 p = γ m v Ruhemasse des Photons: E 2 p 2 c 2 = γ 2 m 2 c 4 v 2 c 2 ( ) = γ 2 m 2 c 4 1 Photon = masseloses Elementarteilchen Photoabsorption Rayleigh-Streuung Compton-Streuung v 2 c 2 = m2 c 4 Geschwindigkeit des Photons v=c: E 2 p 2 c 2 = m 2 c 4 = 0 m = 0 und E = pc Seine Ruhemasse ist gleich null! 27

28 Polarisation und der Spin des Photons Klassische Beschreibung: Polarisation der elektromagnetischen Wellen mit zwei unabhängige Richtungen) Quantisierte Beschreibung: Interner Freiheitsgrad des Photons der Spin = Vektor! (das Photon dreht um sich selbst!) Ein Vektor mit speziellen Eigenschaften! Graphische Darstellungen: Betrag des Spins J = 1 Nur zwei mögliche Richtungen: in Bewegungsrichtung ( Jz = +1 ) oder in entgegengesetzer Bewegungsrichtung des Photons ( Jz = 1 ) J z = 1 J z =+1 c c z 28

29 9.5 Die Wellennatur der Teilchen Louis de Broglie (1924): Welle-Teilchen-Dualismus Auch Elektronen, wie Photonen, besitzen Wellen- und Teilcheneigenschaften. Wellen = breiten sich im Raum aus, sie interferieren, können gleichzeitig an verschiedenen Stellen mit verschiedener Stärke einwirken. Teilchen = kann zu einem Zeitpunkt nur an einem bestimmten Ort anwesend sein. Besitzt Energie, Impuls, Masse, Ladung, usw... Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7th duc de Broglie ( ) Einstein (1905): Für das Photon de Broglie (1924): Für das Elektron müssen dieselben Gleichungen gelten! Energie des Elektrons Frequenz des Elektrons Impuls des Elektrons Wellenlänge des Elektrons 29

30 Wellennatur des Elektrons Quantenobjekte: Wellen- und Teilchen-Eigenschaften scheinen sich gegenseitig zu widersprechen. Quantenobjekte (wie das Photon oder das Elektron) sind weder klassische Wellen noch klassische Teilchen! Bei Quantenobjekten treten Phänomene auf, die im Widerspruch zu unserer Erfahrung stehen. Komplementaritätsprinzip (Niels Bohr, 1927) Wellen- und Teilcheneigenschaften können durch verschiedene komplementäre Variablen beschrieben werden. E = h = h 2 Neue Konstante: h-quer p = h = hk = h 2 2 k 1, J s 30

31 9.5.2 Elektron durch Doppelspalt Gedankenexperiment: ein Elektronenstrahl fällt auf einen Doppelspalt. Durch welchen Spalt ist das Elektron gegangen? Elektron der Wellenlänge λ durch Doppelspalt Schirm λ a Interferenz Die Elektronen werden mit Hilfe eines Schirms nachgewiesen. Durch die Intensität des Lichts auf dem Schirm wird die räumliche Verteilung der Elektronen bestimmt. a Interferenzmuster 31

32 9.5.2 Elektron durch Doppelspalt Teilchen- und Welleneigenschaften des Elektrons (nicht relativistisch): E kin = 1 2 m ev 2 = p2 2m e = eu p = 2m e eu Wellenlänge: = = h p = h 2m e E kin = hc 2m e c 2 eu = 1, m U hc 2m e c 2 E kin Intensität des Elektronenstrahls Wir erwarten Interferenzstreifen auf dem Schirm, wenn d λ! Elektronenstrahl d # U=10kV λ 1, m Schirm 32

33 Interferenz von Elektronen C. Jönsson (1961): direkter Nachweis des Effekts Interferenzstreifen auf Schirm Was passiert, wenn wir einzelne Elektronen durch die Anordnung senden? Die Elektronen werden zeitlich so getrennt, dass sich zu einer bestimmten Zeit nur ein einzelnes Elektron in der Anordnung befindet. 33

34 Interferenz von Elektronen 10 Elektronen durch die Spalten Obwohl alle Elektronen denselben Anfangszustand haben (gleicher Impuls, gleiche Anfangsposition vor dem Spalt,...), werden sie den Schirm an verschiedenen Orten treffen! (Im Widerspruch zur klassischen Mechanik!) 34

35 Beobachtung des Aufbaus der Interferenzstreifen! 35

36 Welcher Spalt? Wellennatur des Elektrons Zu einer bestimmten Zeit befindet sich nur ein einzelnes Elektron in der Anordnung. Das Experiment zeigt aber, dass ein Interferenzmuster entsteht! F Das Elektron interferiert mit sich selbst. F Seine Wellenfunktion spürt beide Spalten. Sie durchquert beide Spalten. Die Wellenfunktion des einzelnen Elektrons wird mit sich selbst interferieren, und sie bestimmt wo mit welcher Wahrscheinlichkeit die Elektronen auf den Schirm gelangen F Das Elektron verhält sich wie eine im Raum ausgedehnte Welle, wenn es durch die Spalten geht. 36

37 9.6 Bragg-Bedingung - Röngtenbeugung Bragg-Bedingung: Voraussetzung für konstruktive Interferenz von Wellen bei Streuung an einem dreidimensionalen Gitter Bei bestimmten Wellenlängen und bestimmter Orientierung der einfallenden Lichtwelle konstruktive Interferenz der gebeugten Lichtwelle Erklärung: Kristall = Atome bilden die Bausteine des Kristallgitters, und das Gitter hat eine kubische Symmetrie. Länge-Parameter = a Licht fällt auf die Oberfläche des Kristalls. Jedes Atom wirkt als Beugungszentrum und spielt die Rolle einer Quelle einer Elementarwellen. a William Lawrence Bragg ( ) 37

38 Röngtenbeugung bei Kristallen Demonstrationsexperiment: Bragg sche Reflexion mit 3cm- Wellen Struktur von Materialen: Bragg sche Bedingung: a λ Typ. Abstand zwischen Atomen a m: Röntgenstrahlung: 100 ev < E < MeV Röntgenstrahl Röntgenstrahl gebeugter Strahl gebeugter Strahl Film Film Beugungspunkt Kristall 38

39 9.7 Elektronenbeugung Davisson und Germer (1927): Experimentelle Beobachtung der Beugungs- und Interferenzeffekten von Elektronen. Elektronen werden durch einen variablen Potentialunterschied beschleunigt und auf einen Kristall (Nickel- oder Goldkristall) geschossen. Photonen- oder Elektronenwelle Demonstrationsexperiment: Elektronenbeugung Photonen und Elektronen mit derselben Wellenlängen erzeugen ähnliche Beugungsmuster Wellennatur der Teilchen! 39

40 9.8.1 Elektron in einem Kasten Gedankenexperiment: Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Ein Volumen mit der Form eines Kastens : Wir suchen die eindimensionale Lösung: Breite des Kastens = d Potential: 0 d Das Elektron wird gezwungen, im Kasten zu bleiben. 40

41 Elektron in einem Kasten Beschreibung der Bewegung des Elektrons im Kasten: F Klassische Mechanik: Position des Elektrons mit Hilfe des Ortsvektors als Funktion der Zeit F Quantenmechanik: Das Elektron muss als eine Welle betrachtet werden! ( Definition: Die Wellenfunktion des Elektrons ( in 3 Dimensionen = (r,t) Wellenfunktion: in 1 Dimension = (x, t) Das Elektron wird gezwungen, im Kasten zu bleiben : F die Wellenfunktion verschwindet ausserhalb des Kastens (x, t) =0 für x apple 0 oder x d 41

42 Elektron in einem Kasten Ansatz: eine harmonische stationäre Lösung für das Elektron, die die Randbedingungen erfüllt. F In Analogie zu stehenden Wellen faktorisieren wir die räumliche und die zeitliche Abhängigkeit der Wellenfunktion (Siehe Kap. 5) Ansatz: (x, t) =(A sin kx + B cos kx) Räumliche Abhängigkeit f(t) Zeitabhängigkeit Randbedingungen (0,t) = (0 + B)f(t) = 0 (d, t) = {A sin kd + B cos kd} f(t) = 0 B =0 und kd = n Quantisierte Wellenzahl: k n = n d n =1, 2, 3,... n = Quantenzahl des Elektrons im Kasten! 42

43 Elektron in einem Kasten Energie und Impuls des Elektrons im Kasten (Welle-Teilchen-Dualismus De Broglie Beziehung) Impuls: p n k n = hn 2 d = nh 2d Energie: E n = Quantenzahl: p2 n = n 2 h 2 2m e 8m e d 2 n =1, 2, 3,... Hängen von der Breite des Kastens ab! (x) 43

44 Energie des Elektrons im Kasten Grundzustandsenergie: Die Energie mit n=1 ist die niedrigste Energie, die das Elektron im Kasten besitzen kann E 1 = h2 8m e d 2 E1 d Quantisierung: das Elektron kann nicht eine beliebige Energie annehmen. Energie ist proportional zum Quadrat der Quantenzahl und zum Inversen des Quadrats der Breite E n = n 2 E 1 Bewegung: Die Energie und der Impuls des Elektrons im endlichen Kasten werden nie verschwinden, d.h. n>0! Das Elektron kann im Kasten nie ruhen. Es besitzt immer eine minimale kinetische Energie und wird sich immer bewegen. 44

45 Die Schrödinger-Gleichung Schrödinger (1926): Wellengleichung für die quantenmechanische Beschreibung der Ausbreitung der Wellenfunktion eines Teilchens (Analogie zur Wellengleichung für klassische mechanische oder elektromagnetische Wellen) Erwin Schrödinger ( ) Schrödinger postulierte: Man muss die klassische Energie- Impuls-Beziehung benutzen, und die Energie und den Impuls durch Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken, ersetzen: E = i t p i = i x, y, z 45

46 Die Schrödinger-Gleichung Die Schrödinger Gleichung eines Teilchens in einem Potential: Die klassische Energie: Die Wellenfunktion: E Die quantisierte Gleichung: (r, t) p 2 2m + E pot(r, t) i Wellenfunktion wird komplexe Werte haben! Energie: E i t Impuls: p i = i Kinetische Energie: x, y, z p 2 2m = 1 2m i 2 = 2 2m 2 = 2 2m x 2 + y 2 + z 2 46

47 i t Die Schrödinger-Gleichung Die Schrödinger Gleichung eines Teilchens in einem Potential: (r, t) = i t 2 2m (x, t) = (x, t) =Ae 2 (r, t)+e pot (r, t) (r, t) 2 2m Ansatz (komplexe ebene Welle): i(kx t) Schrödinger-Gleichung Spezial Fall: Freies Teilchen in einer Dimension (Potential verschwindet überall): 2 x 2 (x, t) mit = 2 k 2 2m 47

48 Die stationären Zustände Die potentielle Energie ist zeitunabhängig: die Wellenfunktion hat ein mit der Zeit periodisches Verhalten i t = 2 2m 2 + E pot (r) Ansatz: (x, t) = (r) (t) Räumliche Abhängigkeit Zeitabhängigkeit Die allgemeine Lösung der stationären Zustände: (r, t) = (r)e i t E = Räumliche Abhängigkeit durch Lösung der zeitunabhängigen 2 Schrödinger-Gleichung E (r) = 2 (r)+e pot (r) (r) 2m 48

49 Interpretation der Wellenfunktion Was bedeutet die Wellenfunktion? wurde während des ersten Teils des 20. Jahrhunderts viel diskutiert: ψ kann komplexe Werte annehmen! Interpretation der Wellenfunktion von Max Born (die heutzutage als die richtige angenommen wird): F Wellenfunktion beschreibt den Zustand des Elektrons. Ein Elektron wird tatsächlich als ein Teilchen nachgewiesen. F Betragsquadrat der Wellenfunktion * dv = Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Volumen dv zu finden: (r, t) 2 dv = (r, t) (r, t) dv F Das Impuls und die Energie werden auch durch die Wellenfunktion beschrieben. E i p t i 49

50 Physikalische Interpretation Das Elektron wird nicht mehr in einem bestimmten Punkt des Raumes lokalisiert. Tatsächlich kann man nicht mehr sagen, wo das Elektron sich befindet: F Die Schrödinger-Gleichung sagt nicht voraus, wie sich das Elektron als Funktion der Zeit bewegt. Sie sagt voraus, wie die Wellenfunktion des Elektrons sich ausbreitet. F Die Wellenfunktion sagt nicht voraus, wo das Elektron sich befindet. Sie sagt voraus, was die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron an einem bestimmten Ort zu finden. In der Quantenmechanik können wir deshalb nicht mehr die Bahnkurve eines Elektrons definieren. 50

51 Beispiel: Elektron im Kasten (x) 2 (x) (x) 2 = (x) (x) Das Elektron ist im Raum nicht-lokalisiert. D.h., es gibt verschiedene unabhängige entfernte Raumgebiete, in denen die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, nicht verschwindet. 51

52 Reduktion der Wellenfunktion Ein Elektron kann im Raum nicht lokalisiert sein. ein Elektron kann sich in sehr entfernten Raumgebieten mit gleicher Wahrscheinlichkeit befinden! Was geschieht, wenn das Elektron nachgewiesen wird? F Elektron wird sich als ein Teilchen verhalten es wird immer an einem bestimmten Punkt des Raumes nachgewiesen. F Die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit vor dem Nachweis, das Elektron an einem bestimmten Punkt zu finden. Nach dem Nachweis ist das Elektron lokalisiert. Wenn wir zur Zeit t das Elektron an einem bestimmten Punkt nachweisen das Elektron muss sich zur Zeit t in diesem Punkt befinden Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t an diesem Punkt zu finden, muss gleich 100% sein! Reduktion der Wellenfunktion: Die Wellenfunktion wird sich entsprechend ändern, wenn das Elektron an einem bestimmten Punkt nachgewiesen wird. Die Reduktion ist spontan! Wenn die Wellenfunktion vor dem Nachweis sehr ausgedehnt war, dann muss sie spontan in einen Punkt kollabieren. 52

53 Bemerkung zur Reduktion der Wellenfunktion (x) 2 (x) 2 Wenn wir die Wellenfunktion als eine räumlich ausgedehnte Welle betrachten während ihrer Reduktion muss sie sich mit unendlicher Geschwindigkeit durch den Raum (d.h. schneller als die Lichtgeschwindigkeit) bewegen. Deshalb können wir die Wellenfunktion nicht als etwas betrachten, das wirklich im Raum ausgedehnt ist. Die Reduktion der Wellenfunktion ist noch heutzutage das am wenigsten verstandene Rätsel der Quantenmechanik (Einstein hat z.b. diese Erklärung als nicht befriedigend betrachtet). 53

54 9.9 Die Unschärferelation Die eindimensionale Wellenfunktion eines freien Teilchen (komplexe ebene Welle): Das Teilchen besitzt einen bestimmten Impuls p: p = i i(kx t) (x, t) =Ae x = k k = p Die Lokalisierung eines solchen Teilchens unmöglich ist! (x, t) 2 = = Ae i(kx t) A e i(kx t) = A 2 = konst. Harmonische ebene Wellen beschreiben ein Teilchen, das räumlich und zeitlich unendlich ausgedehnt ist. Das freie Teilchen ist zu jeder Zeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Ort des Raumes!! 54

55 Wellenpakete = lokalisiertes Teilchen Die Summe harmonischer Wellen mit verschiedenen Wellenvektoren führt zu einem im Raum lokalisierten Teilchen. Das Teilchen hat keinen eindeutigen Impuls mehr! (x, t) = n n(x, t) = n A n e i(k nx nt) Lokalisiertes Teilchen Summe der 3 gezeigten Wellen Summe der 5 gezeigten Wellen Summe der 9 gezeigten Wellen 55

56 Unschärferelation von Heisenberg (1926) Unschärferelation für Position und Impuls des Teilchens: Δx = Genauigkeit der Position Δp = Genauigkeit des Impulses Δx 0 Δp Δp 0 Δx x p x = m e v x 1, kg m/s x p 2 Werner Karl Heisenberg ( ) Entweder wollen wir die Position des Teilchens mit unendlicher Genauigkeit messen, oder wir werden den Impuls messen. Beispiel: Ein freies 10 ev-elektron bewegt sich in die x-richtung Wir nehmen an, dass wir die Geschwindigkeit auf 1% genau messen können. Mit welcher Genauigkeit kann man gleichzeitig den Ort des Elektrons messen? 2 p x m 56

57 9.10 Der Tunneleffekt Definition: ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Teilchen (z.b. ein Elektron) eine Potentialbarriere durchqueren kann, die im klassischen Sinn für das Teilchen undurchdringlich sein sollte Eine Potentialwand mit der Höhe V 0 und der Dicke 2d. Von links nähert sich ein Elektron mit der Gesamtenergie E. Klassisch würde das Elektron reflektiert, wenn E<V 0 Elektron Energie E E<V 0???? V 0 2d Kann das Elektron die Potentialwand durchqueren? 57

58 9.10 Der Tunneleffekt Elektron ist eine Welle: F Wenn E<V0, verschwindet die Wellenfunktion nicht plötzlich in der Potentialwand, sondern nimmt exponentiell ab. F Wenn die Dicke der Potentialwand (Barriere) so ist, dass die Wellenfunktion, obwohl exponentiell abfallend, noch nicht vernachlässigbar ist, wenn das Teilchen das andere Ende der Potentialbarriere erreicht, wird es nach der Potentialbarriere weiterlaufen. Elektron Energie E V 0 E pot (x) = 0 x< d V 0 0 x>d d<x<d E<V 0 Fortpflanzung der Welle 2d Exponentielle Abnahme Fortpflanzung der Welle 58

59 9.10 Der Tunneleffekt E<V 0 E=V 0 E>V 0 Zunehmende Energie 59

60 Schrödinger-Gleichung im Fall E<V 0 Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung: 2 (x) In der Potentialbarriere: x 2 + 2m 2 (E V 0) (x) =0 2 (x) x 2 k 2 (x) =0 k 2 = 2m(E V 0 )/ 2 > 0 (x) =Ae kx + Be kx Ausserhalb des Potentialtopfs: K 2 =2mE/ 2 > 0 exponentiell verschwindend 2 (x) x 2 (x) =Ce ikx + De ikx + 2mE 2 (x) =0 fortpflanzend 60

61 Allgemeine Lösung Einfallende, reflektierte und fortplanzende Welle V 0 E pot (x) = 0 x< d V 0 0 x>d d<x<d 2d R = Reflexionskoeffizient T = Transmissionskoeffizient Räumliche Abhängigkeit der Wellenfunktion (x) = Ae kx + Be kx x <d = e ikx + Re ikx x < d = Te ikx x > d 61

62 Amplitude des Tunneleffekts Die resultierende Welle, die in den verschiedenen Bereichen definiert wurden, must stetig sein. Die räumliche Ableitung der Wellenfunktion wird in den Punkten x=d und x= d angepasst. Die Amplitude der Transmissionswelle ist: T = 2kKe 2iKd 2kK cosh 2kd i (K 2 k 2 ) sinh 2kd Die Wahrscheinlichkeit der Transmission ist: T 2 = T T = T 2 (4kK) 2 (K 2 + k 2 ) 2 e 4kd (2kK) 2 (2kK) 2 +(K 2 + k 2 ) 2 sinh 2 2kd Wenn kd gross ist, nämlich, wenn die Potentialbarriere entweder so hoch und/oder so breit ist, dass der Transmissionskoeffizient klein ist: Ein Elektron mit E=5 ev, V 0 =6 ev, Breite der Wand 2d=0,7 nm: T Exponentielle Abhängigkeit für d 62

63 Anwendung: Das Tunnel-Mikroskop Die Oberflächen von Materialien werden mit sehr grosser Genauigkeit studiert. F Feine Metallnadel wird rasterförmig in einem Abstand von etwa 1 nm über eine Oberfläche geführt. F Der Tunnelstrom hängt sehr empfindlich (exponentiell) vom Abstand zwischen Nadel und Oberfläche ab. dreidimensionales Rasterbild der Oberfläche 63

64 9.11 Das Wasserstoffatom Die vollständige Lösung mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung. Proton befindet sich in Ruhe. Elektron bewegt sich um den Kern. Wir suchen die stationäre Lösung des Elektrons E (r) = 2 2m 2 (r) e r (r) Elektrische Wechselwirkung Ansatz: Kugelsymmetrie des Problems (r) R(r) Y (, ) Radiale und Winkel-Abhängigkeit 64

65 Wasserstoffatom Die Lösung ist mathematisch kompliziert. Wellenfunktion des Elektrons im Wasserstoffatom: Laguerre-Polynome abhängig n m(r) R n (r)y m (, ) Drei unabhängigen Quantenzahlen: n, l und m Kugelflächenfunktionen Alle Zustände mit gleich n gleiche Energie eine Schale Radialer Anteil der Wellenfunktion Rnl n,l abhängig. Er bestimmt die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in verschiedenen Abständen vom Kern anzutreffen. Winkelabhängiger Anteil Ylm l,m abhängig. 65

66 Schalenstruktur der Elektronen Hauptquantenzahl n: Zuständen mit gleicher n bilden eine Schale E n = E 0 n 2 mit E 0 = 1 (4 0) 2 e 4 m e ,6 ev Bahndrehimpuls-Quantenzahl I: Die Schalen werden weiter unterteilt in Unterschalen mit dem gleichen Wert für l. Magnetische Quantenzahl m: Die Unterschalen weisen auch eine Entartung auf, je nach dem Wert der magnetischen Quantenzahl m. m =+` ` = n 1 m =0 n m = ` ` =1 ` =0 m =+1 m =0 m = 1 m =0 66

67 Der Grundzustand des Wasserstoffatoms Für n=1 und l=m=0: E 1 13,6 ev 1,0,0(r) =R 1,0 (r)y 0,0 (, )= 1 a 3 0 e r/a 0 E = 13.6eV n = 1, = 0, m = 0 (a) Bohr-Radius: 2 a m e e 2 0, m Wahrscheinlichkeit von 90%, das Elektron innerhalb einer Kugel mit Radius 2.7a 0 zu finden. 67

68 Der erste angeregte Zustand: n=2 Für n=2: E 2 3,4 ev Drehimpulsquantenzahl: l=0 oder 1. F l=0 Kein Drehimpuls, m=0 F l=1 Elektron besitzt einen Bahndrehimpuls, m= 1, 0, +1 E = 3.40eV top view (c) top view ( e) top view z z z (g) n = 2, = 0, m = 0 (b) side view n = 2, = 1, m = 1 (d) side view (f side view h) n = 2, = 1, m = 0 n = 2, = 1, m = 1 Ein nicht-verschwindender Drehimpuls = umlaufendes Elektron, d.h. eine bewegte Ladung. Eine solche Ladung wird mit einem Magnetfeld wechselwirken! 68

69 Drehimpuls and magnetische Wechselwirkung Zeeman (1895): Wechselwirkung zwischen Bahndrehimpuls des Elektrons und B-Feld Spektrallinien von Atomen in einem sehr starken Magnetfeld in verschiedene Komponenten (Zeeman-Effekt). Magnet ein Magnet aus m= 1,0,+1 m=+1 m=0 m= 1 Pieter Zeeman ( ) Linienspektren 69

70 9.13 Das EPR-Paradoxon Einstein, Podolsky und Rosen (1935): Gedankenexperiment mit zwei Photonen F Eine Quelle emittiert zwei Photonen gleichzeitig und in entgegengesetzer Richtung (Photonen sind korreliert ) F Nach einer gewissen Zeit t (in einem Abstand d=ct) wird die Polarisation (d.h. Spin) eines der Photonen gemessen F Was passiert? Die Messung eines Photons wird den Zustand des anderen Photons beeinflussen! Dieser Einfluss ist spontan und wirkt immer, auch wenn die Photonen sehr weit voneinander entfernt sind. J z1 1 Quelle 2 J z2 70

71 Das EPR-Paradoxon Die Polarisation eines Photons wird bestimmt, wenn die Polarisation des anderen gemessen wird. Die Quantenmechanik sagt voraus: F Photonen bewegen sich mit beiden Spinzuständen bis einer der Spins gemessen wird. F Die Wellenfunktion der beiden Photonen kollabiert dann spontan und beeinflusst den Spin des anderen Photons, unabhängig von der Entfernung zwischen beiden Photonen. Das wollten Einstein, Podolsky und Rosen nicht glauben. Experimenteller Beweis: Gisin (Universität Genf) F Die nicht-lokalen Quantenkorrelationen zwischen Photonen mit einem Abstand von 10 km wurde nachgewiesen F Die experimentellen Resultate sind in ausgezeichneter Übereinstimmung mit der Quantentheorie! 71

72 Licht von einem weit entfernten Stern Am Abend beobachten wir die Sterne am Himmel. Was passiert vom Standpunkt der Quantenmechanik? F Der Stern emittiert Licht (Photonen) isotrop. F Wellenfunktion eines einzelnen Photons breitet sich isotrop und kugelförmig radial aus. F Die Wahrscheinlichkeit, das Photon nachzuweisen, ist dieselbe in jedem Punkt des Universums, der sich im gleichen Abstand vom Stern befindet. S E F Vor dem Nachweis ist die Wellenfunktion sehr ausgedehnt. F Wenn wir das Licht vom Stern nachweisen, wird die Wellenfunktion des Photons, in unserem Auge spontan kollabieren. 72

73 9.14 Eine weitere Unschärferelation Wir haben oft von der Energieerhaltung gesprochen. Viel in der Physik basiert auf ihr. Unschä rferelation fü r die Energie und Zeit: E t Es ist unmöglich die Energie E während eines Zeitintervalls Δt mit einer Genauigkeit kleiner als ΔE, zu messen. 2 Heisenberg ΔE Δt Energieerhaltung kann (während sehr kurzen Zeitintervallen) verletzt werden, solange es nicht messbar ist! Folgerung: Quantenfluktuationen des Vakuums F Elementarteilchen werden aus dem Vakuum während sehr kurzen Zeitintervallen erzeugt. Sie leben nur während dem kleinen Zeitintervall Δt und sich nachher vernichten. 73

74 Alle Effekte wurden experimentell nachgewiesen. Sie beweisen, dass die Konzepte der Quantentheorie eine richtige Beschreibung der Natur ergeben. 74

75 Das Unverständliche am Universum ist, dass es verständlich ist. (Einstein) 75

76 Zur Prüfung Schriftliche 2-Stunden lange Klausur. Sechs Aufgaben zur Auswahl. Die vier besten zählen. Meine Erfahrung: Es ist viel besser den Stoff während des ganzen Semesters zu studieren, und nicht alles für die Ferien aufzusparen... Erlaubte Hilfsmittel: F Vorlesungsnotizen, Uebungen, und Lösungen F Beliebige Bücher, Formelsammlung F Taschenrechner oder PC/Tablett für lokale Anwendungen ohne Netz-Verbindung (ACHTUNG: d.h. chat, blog, s, surfen, usw. NICHT erlaubt!) F Kein Handy, kein ipod/mp3-player/... usw. F Für Fremdsprachige: Wörterbücher Die Prüfung findet am 16. August 2013 statt

77 Der Stoff für die Prüfung Umfang: Kapitel 1 bis 8, (inklusive) plus Übungen. Nicht geprüft wird: Das ganze Kapitel 9. Falls Sie bei der Prüfungsvorbereitung Fragen haben, schreiben Sie eine an den Übungschef Dr. A. Badertscher oder rufen Sie ihn an (Tel: ) 77

78 Ich wünsche Ihnen viel Glück für die Prüfung und in Ihren weiteren Studium. 78