Allgemeinbildende Gymnasien Baden-Württemberg: Mathematik Abiturprüfungen 2007 Haupttermin Pflichtteil

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1 Allgemeinbildende Gymnasien Baden-Württemberg: Mathematik Abiturprüfungen 007 Haupttermin Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = sin x. ( VP ) Aufgabe : ln Berechnen Sie das Integral 0 e x dx. ( VP ) Aufgabe : Lösen Sie die Gleichung e x 5 e x = 0. ( VP ) Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f x = x² x. a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubildes von f mit waagerechter Tangente. b) Das Schaubild von f hat im Punkt P die Normale n. Ermitteln sie eine Gleichung von n. ( VP ) Aufgabe 5: Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f der Funktion f. a) Welche Aussagen über die Funktion f ergeben sich daraus im Hinblick auf Monotonie Extremstellen Wendestellen? Begründen Sie Ihre Aussagen. b) Es gilt f(0) =. Skizzieren Sie das Schaubild. - y x ( 5 VP ) Aufgaben Pflichtbereich

2 Aufgabe 5: a) Monotonie: Eine Funktion ist monoton wachsend, wenn die Ableitung (=die Steigung) positiv ist, und die Funktion ist monoton fallend, wenn die Ableitung negativ ist. Wenn man sich nun das Schaubild von f anschaut, wird man feststellen, dass f zwischen und immer oberhalb der x-achse liegt [mit Ausnahme von x=0] und damit positiv ist. Für x-werte, die größer als sind, ist f (x) unterhalb der x-achse, also negativ. Zusammenfassung: Für x< ist f (x) positiv, f(x) ist monoton wachsend. Für x> ist f (x) negativ, f(x) ist monoton fallend. (Es ist zwar nicht so arg wichtig, aber ich erwähn's mal: Wir haben gesagt, dass f (x) im Bereich ] ;[ monoton wachsend ist. Es gibt nun eine einzige Stelle, an der f (x) genau Null wird [bei x=0]. Wenn man x=0 weglassen würde, wäre f(x) sogar streng monoton. Man könnte also auch antworten: Für x<0 und 0<x< ist f(x) streng monoton wachsend. Für x> ist f(x) streng monoton fallend) Extrempunkte: f(x) hat da Extrempunkte, wo f (x) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. ( PT09) Nullstellen sind bei x=0 und x=. Überprüfung auf Vorzeichenwechsel gibt an, ob es Hoch-, Tief- oder gar keine Extrempunkte sind. Bei x=0: f (x) ist sowohl links, als auch rechts von x=0 positiv (da oberhalb der x-achse), was bedeutet, dass f(x) bei x=0 zwar waagerecht läuft, links und rechts davon jedoch immer steigt (siehe auch Begründung von Monotonie ). f(x) hat bei x=0 also weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt. Es handelt sich um einen Wendepunkt, genauer gesagt ein Sattelpunkt. Bei x=: Links von x= ist f(x) steigend, da f (x) positiv ist (oberhalb der x-achse). Rechts von x= ist f(x) fallend, da f (x) negativ ist (unterhalb der x-achse). Wenn f(x) also links steigt, danach fällt, muss es da einen Hochpunkt geben. (f (x) hat einen Vorzeichenwechsel von nach +). Wendepunkte: f(x) hat da Wendestellen, wo f (x) Extrempunkte hat. ( PT09) Das ist einfach. f (x) hat bei x=0 und x= je einen Extrempunkt, also hat f(x) bei x=0 und bei x= einen Wendepunkt. (Wir wissen bereits, dass bei x=0 nicht nur ein normaler Wendepunkt ist, sondern sogar ein Sattelpunkt.) b) Zur Skizze: ( PT09) Die Information f(0)= lässt man erst einmal weg. Man kann nun f(x) entweder mit Hilfe der Informationen skizzieren, die man aus Teilaufgabe a) erhalten hat, oder man skizziert f(x), indem man die Kästchen (den Flächeninhalt) zwischen f (x) und der x-achse zählt. Die erste Methode wird vermutlich sehr ungenau (wenn sie aber nicht falsch ist, geht sie im Abitur allerdings trotzdem durch). Die zweite Methode liefert zwar eine ziemlich genaue Skizze, dauert dafür aber etwas länger. Erst am Schluss, wenn man die Skizze von f(x) hat, berücksichtigt man die Information f(0)=, dass also bei x=0 der y-wert sein muss. Jetzt verschiebt man f(x) in der Skizze so weit hoch oder runter, bis es passt. (Die zweite erwähnte Methode f(x) zu zeichnen, ist im zweiten Teil des grünen Havonix- Pflichtteil -Skriptes beschrieben. [In vielen anderen Büchern sicher auch.] Sie hier anzuführen, würde den Rahmen sprengen.) - y 5 x Lösungen Pflichtbereich 007 6

3 Allgemeinbildende Gymnasien Baden-Württemberg: Mathematik Abiturprüfungen 007 Haupttermin Wahlbereich: Analytische Geometrie II Aufgabe II.: Die Ebene E : x + x + x = 8 stellt für x 0 einen Hang dar, der aus der x x Ebene aufsteigt. Im Punkt H( 6 0 ) steht ein 80 m hoher Sendemast senkrecht zur x x Ebene. ( LE entspricht 0 m) a) Stellen Sie den Hang und den Sendemast in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hangs. Der Sendemast wird auf halber Höhe mit einem möglichst kurzen Stahlseil am Hang verankert. Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes am Hang. Bestimmen Sie die Länge des Stahlseils. ( 6 VP ) b) Der Sendemast wird von der Sonne beschienen und wirft einen Schatten auf die x x Ebene und den Hang. Der Schatten des Sendemastes endet in einem Punkt T des Hangs. Beschreiben Sie einen Weg, wie man die Gesamtlänge des Schattens bestimmen kann. ( VP ) c) Bei einem Sturm knickt der Sendemast im Punkt K( 6 k ) um. Die Spitze des Sendemastes trifft dabei den Hang im Punkt R( 0 ). Bestimmen Sie die Höhe, in welcher der Sendemast abgeknickt ist. ( VP ) Aufgabe II.: Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig. P und Q sind die Schnittpunkte der Quadratdiagonalen, M ist die Mitte von AB. Beweisen Sie, dass die Strecken MP und MQ orthogonal und gleich lang sind. Q C P ( VP ) A M B Aufgabe Wahlbereich Geometrie II

4 Lösungen des Wahlbereichs Geometrie 007 II Tipps und Hinweise:. a) Für den Neigungswinkel vom Hang, berechnet man den Winkel zwischen E und der x-x-ebene. Verankerungspunkt am Hang: Mittelpunkt vom Mast berechnen, dann Lotfußpunkt auf E aufstellen. Die Länge des Stahlseils ist dann auch der Abstand vom Mastmittelpunkt zur Ebene.. b) Der Schatten ist geknickt, daher zweiteilig. Er beginnt im Fußpunkt des Mastes und endet in T. Der wesentliche Punkt, den man berechnen muss, ist der Knickpunkt des Schattens. Diesen erhält man durch Schnitt der Ebene RHT mit der Spurgerade SS. Der Rest geht über Abstandsberechnung.. c) Die Gesamtlänge des Mastes bleibt unverändert 8m. Also muss der d(h,k)+d(k,r)=8 sein. Diese Gleichung löst man mit dem GTR.. Man stellt zwei Vektoren auf, z.b. a = AB und b = AC. Von diesen beiden weiß man, dass a b =0 und dass a = b. Wenn man nun MP und MQ in Abhängigkeit von a und b aufstellt, muss man zeigen, dass MP MQ =0 und dass. MP = MQ Ergebnisse in Kurzform:. a) Neigungswinkel des Hangs: =5,, Verankerungspunkt: P, Länge des Stahlseils: d=0,8m 7. b) Keine Ergebnisse gefragt, nur Beschreibungen.. c) d(h,k)+d(k,r)=8 k=, Sendemast ist in,m abgeknickt.. Keine Ergebnisse gefragt, nur Beweise. Ausführliche Lösung:. a) Den Hang, also eine Ebene, stellt man immer über die Spurpunkte dar. Also berechnet man die Spurpunkte ( GE0), zeichnet sie ein und verbindet sie. Fertig ist die Ebene. Für den Sendemast zeichnet man den unteren Punkt H ein, dann den oberen Punkt R, welcher 8cm über H liegt. (Der Sendemast ist 80m hoch!). Den Neigungswinkel der Ebene E erhält man, indem S man den Winkel zwischen E und der x-x-ebene berechnet ( GE0). Der Normalenvektor der x-x- x Ebene zeigt senkrecht nach oben, hat also die Form n = 0 0 Der Neigungswinkel beträgt also: cos = 0 0 = 0² 0² ² ² ² ² E S x R H, E hat den Normalenvektor n = = 6 S x =5,6 Lösung Wahlbereich Geometrie II

5 Der Verankerungspunkt (in der Skizze P ) entsteht, indem vom Mittelpunkt des Sendemasts (in der Skizze M ) ein Lot auf die Ebene E gefällt wird ( GE0). Zuerst bestimmt man den Mittelpunkt von H und P (Koordinaten zusammenzählen, Ergebnis durch teilen) ( GE0). Es sollte M( 6 ) rauskommen. Jetzt kann man die Lotgerade von M auf die Ebene E aufstellen (in der Skizze ist das die Verbindungsgerade MP ). Stützvektor dieser Lotgeraden ist M, der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene E. glot : x = 6 t Diese Lotgerade schneidet man mit der Ebene E. glot in E: (6+t) + (+t) + (+t) = 8 6+t++t+8+t=8 6t=-0 t = 5 t in g einsetzen x = 6 5 Der Verankerungspunkt hat die Koordinaten P 7. S x E S x P R H M S x Die Länge des Stahlseils kann man nun als Abstand von Punkt M zu Punkt P oder von M zu Ebene E berechnen. Nur um noch einmal die HNF ( GE0) zu wiederholen, wählen wir diesen Weg. x x x 8 Die Hesse-Normal-Form (kurz: HNF) der Ebene E hat die Form: EHNF : ² ² ² = 0 Wenn man in diese HNF den Punkt M einsetzt, erhält man den Abstand der Ebene E zum Punkt M. 6 8 d = ² ² ² = 0 6,08. Das Stahlseil muss also ca.,08 0 = 0,8m lang sein.. b) Der Schatten des Sendemast beginnt in H und endet in T. Ein Teil des Schattens verläuft in der x-x-ebene, der andere Teil in der Ebene E. Der Punkt, in welchem der Schatten von der Bodenebene zur Ebene E übergeht sei Q. Diesen Punkt Q könnte man bestimmen, indem man die Ebene RHT aufstellt und sie mit der Spurgerade SS schneidet. Nun kann man die Abstände von T zu Q und von Q zu H bestimmen. Die Länge des Schattens ist die Summe der Beträge: TQ QH S x E x S T Schatten Lichtstrahl Q R H S x Lösung Wahlbereich Geometrie II

6 Allgemeinbildende Gymnasien Baden-Württemberg: Mathematik Abiturprüfungen 007 Haupttermin Wahlbereich Analysis I Aufgabe I Die Funktion f ist durch f(x) = ; x R gegeben. Ihr Schaubild ist K. cos x a) Skizzieren sie K im Intervall [ - ; ]. Begründen Sie, dass R die maximale Definitionsmenge von f ist. Geben Sie die Wertemenge von f an. Bestimmen Sie die Periode von f. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K an. ( 7 VP ) b) Im Intervall [ - ; ] soll f durch eine ganzrationale Funktion g vom Grad angenähert werden, die mit f an den Stellen - ; 0 ; und übereinstimmt. Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g. An welchen Stellen des Intervalls [ - ; ] weicht die Näherungsfunktion g am stärksten von der Funktion f ab? Wie groß ist die Abweichung an diesen Stellen? Wie groß ist im Mittel der Betrag der Abweichung von f und g im angegebenen Intervall? ( 6 VP ) c) Das Schaubild K rotiert im Intervall [ 0 ; ] um die Gerade mit der Gleichung y =. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. Das Schaubild K wird an der durch die Gleichung y = gegebenen Geraden gespiegelt. Geben Sie die Gleichung des gespiegelten Schaubilds an. ( 5 VP ) Aufgabe Wahlbereich Analysis I

7 Lösungen des Wahlbereichs Analysis 007 I Tipps und Hinweise: a) R ist max. Definitionsmenge, da der Nenner nie Null wird (cos(..)>-!). Die Wertemenge geht vom kleinsten y-wert bis zum höchsten y-wert. Schaubild angucken! Die Periode erhält man aus dem Schaubild, z.b. von Hochpunkt zu Hochpunkt. Alle Hoch- und Tiefpunkte erhält man, indem man zu den entsprechenden x-werten n Periode, hier also n dazuzählt. b) Wegen Symmetrie hat g(x) die Form: g(x)=ax²+c Mit g(0)=f(0) und g()=f() erhält man a und c. Eine Abweichung zweier Funktionen ist die Differenz, also Abweichung = f(x) g(x) (der Betrag ist geschickt, aber nicht zwingend). Den Mittelwert der Abweichung berechnet man über die Formel des Mittelwerts: b m = f x g x dx b a a c) Für die Volumenberechnung verschiebt man f(x) um nach unten (die neue Funktion rotiert jetzt um die x-achse). Dann kann man V= f(x) dx anwenden. Spiegeln an y= geht nicht direkt. Also zuerst f(x) um nach unten verschieben, dann an x-achse spiegeln, danach wieder um nach oben verschieben. Ergebnisse in Kurzform: a) W = [, ; ] Periode = H( + n ), T( n, ) b) g(x) = 0,666x²+, Die stärkste Abweichung beträgt 0,7 und befindet sich bei x,=±,7 Der Betrag der mittleren Abweichung hat den Wert 0,0. c) Das Volumen beträgt,(ve). Das gespiegelte Schaubild hat die Gleichung: cos x 8 Ausführliche Lösung: a) Skizze geht natürlich mit dem GTR. Für die Definitionsmenge muss man immer den Nenner Null setzen. +cos(...) kann jedoch nie Null werden, da cos nie kleiner als - werden kann. Wenn der Nenner nie Null wird, gibt es auch keine Probleme. D = R Die Wertemenge ist die Menge aller y-werte, die rauskommen können. Wenn man sich die Skizze anschaut, sieht man, dass alle y-werte zwischen dem y-wert des Tiefpunkts und dem des Hochpunktes liegen Der Taschenrechner sagt uns: T( 0, ) und H( ). ( TR70) Damit lautet die Wertemenge: W = [, ] y 5 x Lösung Wahlbereich Analysis I

8 Die Periode kann man nicht so ohne Weiteres der Funktion f(x) entnehmen. Am einfachsten bestimmt man die Periode mit dem GTR. Der eine Hochpunkt liegt bei x=-, der andere Hochpunkt liegt bei x=. Damit ist die Periode (-)=. Nun soll man alle Hoch- und Tiefpunkte angeben. Nehmen wir einen Hochpunkt, z.b. H( ). Da die Periode ist, wird sich alle LE weiter noch ein Hochpunkt befinden. Alle diese Hochpunkte haben also die x-werte x=+ n Damit befinden sich alle Hochpunkte bei H( +n ) (n ist damit eine ganze Zahl, also n Z) Ebenso verhält es sich mit den Tiefpunkten. Einer der Tiefpunkte hat die Koordinaten T( 0, ). Damit haben alle Tiefpunkte die Koordinaten T( 0+ n, ) b) Eine ganzrationale Funktion.Grades hat die Form: g(x) = ax²+bx+c g(x) soll mit f(x) bei x=-, x=0 und x= übereinstimmen, sprich es gilt g(-)=f(-), g(0)=f(0) und g()=f(). Da f(x) symmetrisch zur y-achse ist, muss g(x) auch achsensymmetrisch sein. g(x) hat also die Form: g(x) = ax²+c Aus der Gleichung g(0)=f(0) a 0²+c=, folgt c=, Die Gleichung g()=f() a ²+c=, liefert (zusammen mit c=,) den Wert a=0,666. g(x) = 0,666 x² +, Eine Abweichung zweier Funktionen berechnet man, indem man die Funktionen voneinander abzieht. Um Probleme zu vermeiden, wenn mal f(x) oberhalb g(x) ist und mal umgekehrt und damit die Abweichung positiv und negativ ist, sollte man die Abweichung in Betrag setzen. Abweichung = f(x) g(x) ( TR705) Diese Funktion setzt man in den GTR ein und bestimmt das Maximum. Man erhält zwei Maxima: eins bei Max(,7 0,7 ) und eins bei Max(-,7 0,7 ). Die stärkste Abweichung befindet sich also bei x=,7 und bei x=-,7. Die maximale Abweichung beträgt 0,7. Für den Mittelwert des Betrags der Abweichung braucht man natürlich die Formel für den Mittelwert. Mittlere Abweichung = f x g x dx ( TR706) Auch dieses Integral wird mit dem GTR berechnet. Es sollte 0,0 rauskommen. c) Es gibt eine Formel, mit der das Rotationsvolumen einer Funktion um die x-achse berechnet wird. Dummerweise rotiert die Funktion nicht um die x-achse, sondern um die Gerade y=. Also verschieben wir die Funktion um nach unten und lassen diese neue Funktion um die x-achse rotieren. Das Volumen berechnet sich also mit: 0 Genau das geben wir in den GTR ein und sollten V=, erhalten. f x dx. ( TR707) Auch das Spiegeln von Funktionen ist nur an der x-achse möglich und nicht an anderen Geraden. (Man spiegelt eine Funktion an der x-achse, indem man ein Minus vor die Funktion setzt. Bei Spiegelung an anderen Geraden braucht man Verschiebungen als Hilfe, so wie wir das jetzt gleich machen werden.) Also verschieben wir f(x) abermals um nach unten: f(x), spiegeln diese neue Funktion an der x-achse f x, und verschieben die Funktion wieder nach oben. f x Die gesuchte Funktion lautet also: fneu(x) = f x = f x = f x 8 = cos x 8 Lösung Wahlbereich Analysis I

9 Bedienungsanleitung für den GTR: Casio (alle Modelle) Bedienungsanleitung für den GTR: TI (alle Modelle) Katalog: Tastenkombinationen für die wichtigsten Funktionen abs Betrag OPTN Num abs d/dx Ableitung OPTN Calc d/dx dx Integral OPTN Num dx y, y, y,... Funktionen des y Editors Vars GRPH Y= (dann die Zahlen, oder..) Katalog: Tastenkombinationen für die wichtigsten Funktionen abs Betrag Math Num abs nderiv Ableitung Math nderive fnint Integral Math fnint y, y, y,... Funktionen des y Editors Vars y Vars Function y (oder eben Y...) TR705: f(x) unter y eingespeichern, also y = (+cos( (x))) g(x) wird unter y eingespeichert, also: y =0,666x²+, y und y ausblenden. (im y Editor die Sel Taste) Abweichung eingeben, also: y =abs(y y ) y zeichnen lassen, (gute window Einstellung ist: Ymin= Ymax=) Nun kann man die Maxima bestimmen lassen. TR706: Ins Run Menü wechseln ( Menu Run ) Integral eingeben: / (abs(y y ),,) TR705: f(x) unter y eingespeichern, also y =/(+cos( /x)) g(x) wird unter y eingespeichert, also: y =0,666x²+, y und y ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter Taste wegmachen) Abweichung eingeben, also: y =abs(y y ) y zeichnen lassen, (gute window Einstellung ist: Ymin= Ymax=) Nun kann man die Maxima bestimmen lassen. TR706: Ins Run Menü wechseln ( nd QUIT ) Integral eingeben: / fnint(abs(y y ),x,,)