das Konzept der Wärme

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1 Kapitel Temperatur, Gase und das Konzept der Wärme. Die Brownsche Molekularbewegung Im letzten Viertel des 9. Jahrhunderts wurde die Vorstellung von einem atomaren Aufbau der Materie noch von vielen Wissenschaftlern abgelehnt. Es war damals natürlich noch niemandem gelungen, einen einzigen direkten Beweis für die Existenz von Molekülen oder Atomen zu erbringen. Auch war es schon relativ früh klar, dass die Grösse von Atomdurchmessern etwa 0 9 bis 0 0 m sein müsste, und niemand hatte die Hoffnung, ein so kleines Teilchen nachweisen zu können. Physik 64 Der englische Botaniker R. Brown hatte schon im Jahre 87 unter einem Mikroskop beobachtet, wie im Wasser suspendierte Blütenpollen eine dauernde unregelmässige Bewegung ausführten. Siehe Abb. 3. Er gab keine Erklärung, warum diese Teilchen sich so verhielten. Demonstrationsexperiment: Brownsche Bewegung (Live mit Mikroskop) Ein Tropfen von Titan-Wasser-Lösung wurde auf ein Glas gegeben. Die thermische Bewegung wurde mit Hilfe eines Mikroskops angeschaut. Man sieht kleine Teilchen von Titan (Siehe Abb. ), die sich zufällig bewegen. Die verwendete Anordnung ist in Abb. gezeigt. Figur. Durch das Mikroskop betrachtete Titan-Wasser-Lösung. Live bewegen sich die Teilchen.. R. Brown ( ) 64 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

2 Die Brownsche Molekularbewegung Figur. Das verwendete Mikroskop für die Beobachtung der molekularen Brownschen Bewegung. Physik 643 Im Jahr 905 entwickelte Einstein seine Theorie der Brownschen Bewegung. Er schrieb 3 : Mein Hauptziel dabei war es, Tatsachen zu finden, welche die Existenz von Atomen von bestimmter endlicher Grösse möglichst sicherstellen. Dabei entdeckte ich, dass es nach der atomistischen Theorie eine der Beobachtung zugängliche Bewegung suspendierter mikroskopischer Teilchen geben müsse, ohne zu wissen, dass Beobachtungen über die Brownsche Bewegung schon lange bekannt waren. Die grundlegende Annahme Einsteins war, dass die Brownsche Molekularbewegung von den Stössen der Flüssigkeitsmoleküle auf die Teilchen (d.h. Blütenpollen) erzeugt wird. Die suspendierten Teilchen sind natürlich sehr viel grösser als die Moleküle der Flüssigkeit und werden deshalb von allen Seiten von ihnen gestossen. Wäre das suspendierte Teilchen sehr gross, und wäre die Anzahl der anderen Moleküle hoch, so würden im Mittel von allen Seiten zu jeder Zeit gleich viele Stösse geschehen, so dass das suspendierte Teilchen in Ruhe bleibt. Wäre das suspendierte Teilchen klein und die Anzahl der stossenden Moleküle gering, würden die Stösse unregelmässig geschehen. Das suspendierte Teilchen verhält sich wie ein sehr grosses Molekül, und seine Bewegung sollte qualitativ der der Flüssigkeitsmoleküle entsprechen.. A. Einstein ( ) 3. in seinen autobiographischen Bemerkungen 644 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

3 Die Brownsche Molekularbewegung Wäre die Anzahl der Flüssigkeitsmoleküle pro Einheitsvolumen sehr gross, so gäbe es keine Fluktuation, und es würde keine Brownsche Bewegung stattfinden. Figur 3. Illustration der Brownschen Bewegung. Wäre diese Anzahl andererseits sehr klein, so wäre die Brownsche Bewegung sehr heftig. Physik 645 Es folgt daraus, dass die Anzahl der Flüssigkeitsmoleküle pro Einheitsvolumen aus der Brownschen Bewegung berechnet werden kann, und diese Anzahl wurde zum Beweis der atomaren Theorie erfolgreich benutzt. Gibt es eine physikalische Grösse, die der Bewegung der Moleküle entspricht? Als wir die Materie in Kap. mikroskopisch beschrieben haben, konnten wir die Moleküle nicht als tanzende Teilchen darstellen. In Wirklichkeit werden alle Teilchen eine solche Bewegung ausführen. Man beobachtet, dass in allen Phasen der Materie (Gase, Flüssigkeiten sowie Festkörper) die Atome oder die Moleküle eine Art von dauernder unregelmässiger Bewegung aufweisen: ) in Gasen werden sich die Gasmoleküle durch das gesamte Volumen bewegen, das das Gas einnimmt. ) in Flüssigkeiten werden die Atome oder Moleküle eine zufällige Bewegung durchführen. 3) in Festkörpern oder Flüssigkeiten werden die Atome oder Moleküle um ihre Gleichgewichtslage schwingen. Diese Bewegung nimmt mit der Temperatur zu und wird deshalb als thermische Bewegung bezeichnet. Die thermische Bewegung ist für die Änderung des Zustandes oder der Phase der Materie mit der Temperatur verantwortlich. 646 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

4 Thermische Ausdehnung. Thermische Ausdehnung Bei einer Temperaturänderung beobachtet man gewöhnlich eine Änderung der Grösse der Materialien. Im Allgemeinen werden Körper sich bei einer Erhöhung der Temperatur ausdehnen. Demonstrationsexperiment: Dilatations-Apparat Ein Stab wird geheizt und dehnt sich aus (Siehe Abb. 4). Wenn er sehr heiss ist, werden seine beiden Enden fest fixiert. Dann wird der Stab wieder gekühlt und er wird zu seiner ursprünglichen Länge zurückkehren. Weil der Stab fixert ist, wird er wegen der hohen Kräfte brechen. Eine mikroskopische Beschreibung der Bewegung der Atome kann die thermische Ausdehnung erklären. Wir werden dies im nächsten Abschnitt diskutieren. Figur 4. Der Stab wird geheizt, um die thermische Ausdehnung zu beobachten. Physik Kräfte zwischen Atomen Die Kräfte zwischen einzelnen Atomen in einem Molekül sind elektrischer 4 atur: Ingesamt gesehen sind Atome elektrisch neutral, weil es genauso viele negative Ladungen in den Elektronen der Hülle wie positive Ladungen in den Protonen der Kerne gibt. Trotzdem können elektrische Wechselwirkungen zwischen Atomen auftreten. Wenn Atome sich einander annähern, bleiben die Elektronen, die sich in den inneren Schalen der Atome befinden (die inneren Elektronen), an die zugehörigen Atome gebunden. Die äusseren Elektronen bewegen sich im Raum zwischen den Kernen mehr oder weniger frei über das gesamte Molekül. Eine anziehende Kraft zwischen den Kernen folgt daraus, die eine kurze Reichweite besitzt. Wenn die Atome sich so nahe kommen, dass sich ihre Elektronenhüllen stark überlappen, dann treten abstossende Kräfte auf. Beispiel: Die zweiatomigen Moleküle Wir betrachten zweiatomige Moleküle, wie z.b. Wasserstoff- (H ), Sauerstoff- (O ), oder Stickstoff-Moleküle ( ). Die molekulare Kraft zwischen beiden Atomen in den Molekülen kann mit Hilfe der potentiellen Energie von Leonard Jones beschrieben werden. 4. Genauer: die Kräfte sind elektromagnetischer atur. 648 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

5 Thermische Ausdehnung Figur 5. Illustration der Kraft zwischen zwei Atomen (Potentielle Energie von Leonard Jones). Physik 649 Die molekulare potentielle Energie E pot (r) hat die Form einer asymmetrischen Kurve wie in der Abb. 5 gezeigt, wobei r der Abstand zwischen den beiden Atomen darstellt. Die Gleichgewichtslage befindet sich dort, wo die potentielle Energie den minimalen Wert E min besitzt. Wenn sich das Molekül in der Gleichgewichtslage befindet, muss man ihm mindestens die Energie Emin zuführen, um die beiden Atome zu trennen. Aus diesem Grund entspricht E min der Bindungsenergie des Moleküls (Siehe Kap..9). Wir entwickeln die potentielle Energie E pot (r) in eine Taylor-Reihe um die Gleichgewichtslage r 0 de pot de pot Epot () r = Epot ( r ) + Ê ( r ) r r ( r ) r r... Ë Á ˆ ( - ) + Ê ˆ dr Ë Á dr ( - 0) + un ist die Ableitung der potentiellen Energie in der Gleichgewichtslage gleich null de pot ( r ) dr 0 = 0 Es folgt de pot Epot () r = Emin + Ê ˆ ( r ) r r... Ë Á 0 dr ( - 0) + = E + k r -r min ( ) In der ähe der Gleichgewichtslage wird die potentielle Energie näherungsweise durch eine Parabel beschrieben, wie man es bei harmonischen Schwingungen findet. 650 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

6 Thermische Ausdehnung Siehe Abb. 6. Figur 6. In der ähe der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie parabelförmig. Für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, wirken die molekularen Kräfte als eine Rückstellkraft: de pot () r d Ê ˆ F =- ª- Á kr ( - r0 ) =- kr - r0 dr dr Ë ( ) Die Kräfte zwischen den Atomen in den Molekülen sind relativ stark, so dass die Atome um ihre Gleichgewichtslage schwingen... Mikroskopische Beschreibung der thermischen Ausdehnung Wir betrachten einen einfachen Festkörper. Die Kräfte zwischen den Atomen im Festkörper können auch in der ersten Ordnung mit Hilfe Physik 65 einer potentiellen Energie von der Form von Leonard Jones ausgedrückt werden. Die Atome schwingen um ihre Gleichgewichtslage. Die Schwingungsamplitude ist ungefähr 0 m, d.h. ein Zehntel eines Atomdurchmessers. Bei einer gegebenen Schwingungsenergie ändert sich der Abstand der Atome periodisch zwischen einem Minimal- und einem Maximalwert. Wegen der Asymmetrie der potentiellen Energie, ist der mittlere Abstand grösser als der Gleichgewichtsabstand r 0. Siehe Abb. 7. Mittlerer Abstand r r E E Minimaler Abstand r 0 Gleichgewichtslage Maximaler Abstand Figur 7. Modell der potentiellen Energie der Atome. Die Atome schwingen um die Gleichgewichtslage. Ihr mittlerer Abstand nimmt mit der Energie zu. Thermische Ausdehnung bedeutet eine Zunahme der mittleren Abstände zwischen den Atomen. 65 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

7 Thermische Ausdehnung Wenn wir annehmen, dass die Schwingungsenergie der Atome des Festkörpers sich mit der Temperatur erhöht, dann kann die thermische Ausdehnung als Folge der Asymmetrie der potentiellen Energie der Atome erklärt werden. Wäre die Potentialkurve bezüglich der Gleichgewichtslage symmetrisch, so wäre der mittlere Abstand unabhängig von der Schwingungsenergie. Die thermische Ausdehnung ist eine direkte Folge der Asymmetrie der potentiellen Energie...3 Empirische Formel der thermischen Ausdehnung Experimentell beobachtet man, dass bei nicht zu grosser Temperaturänderung die Längenänderung DL proportional zur Temperaturänderung DT und zur ursprünglichen Länge L ist: DL = a( T) LDT wobei a(t) der lineare Ausdehnungskoeffizient ist. Der Koeffizient a(t) hängt von der Temperatur ab. Diese Abhängigkeit wird normalerweise gegenüber der Messgenauigkeit vernachlässigt. Seine Definition ist die folgende L a( T ) D L DT Für a=0 5 / C liegt die lineare Ausdehnung bei mm für eine Länge von m und eine Temperaturerhöhung von 00 C. Die mittleren linearen Ausdehnungskoeffizienten für verschiedene Materialien sind in Tabelle angegeben. Physik 653 Tabelle. Mittlere lineare Ausdehnungskoeffizienten für den Bereich 0 C bis 00 C; für Eis von 0 C bis 0 C. Material a in C Material a in C Aluminium,4 0 5 Hartgummi Messing,9 0 5 Eis 5, 0 5 Kupfer,7 0 5 Invar Glas 0,9 0 5 Blei,9 0 5 Hartglas (Pyrex) 0,3 0 5 Stahl, 0 5 Analog wird der Volumenausdehnungskoeffizient g definiert g ( T ) D V V DT wobei V das Volumen des Körpers ist. Bei isotropen Festkörpern ist bei einer Temperaturänderung die relative Längenänderung in allen Richtungen dieselbe. Es folgt in diesem Fall ( ) D V D LLL g ( T ) = = V D T LL L D T Ê D L LLL T LL D L T LL D L 3 = Á + + Ë T LL 3 3 D D D = a( TLLL ) + a( TLLL ) + a( TLLL ) LLL = a( T ) 3 3 ˆ ( ) Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

8 Physik 655 Figur 8. Die Dichte des Wassers als Funktion der Temperatur. Temperatur Dichte Diese Eigenschaft hat eine wichtige Konsequenz: bei Tª4 C erreicht die Dichte des Wassers ein Maximum. Das Wasser ist bei Tª4 C schwerer als bei 0 C. Das Eis schwimmt auf dem Wasser (bei Frost bildet sich das Eis zuerst auf der Oberfläche eines Sees und bleibt dort, weil es eine geringere Dichte als das Wasser hat.). Eine wichtige Ausnahme ist das Wasser. Für eine Temperatur T>4 C dehnt sich das Wasser wie erwartet aus. Zwischen 0 C und 4 C nimmt sein Volumen bei steigender Temperatur ab! Die Dichte des Wassers als Funktion der Temperatur zwischen 0 C und 0 C ist in Abb. 8 geplottet. Bemerkung: Für die meisten Materialien haben a und g einen positiven Wert. D.h. sie dehnen sich bei der Erhöhung ihrer Temperatur aus. Thermische Ausdehnung.3 Die Temperatur und das Gasthermometer Wir bemerken: Die Temperatur ist uns vertraut als eine Mass dafür, wie warm oder wie kalt ein Körper ist. Eine genaue Definition der Temperatur ist keineswegs trivial. Im Fall eines Festkörpers oder einer Flüssigkeit haben wir gesehen, dass die Temperatur mit der thermischen Bewegung der Atome korreliert ist. Im Fall eines Gases ist die Temperatur ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle. Ein Thermometer kann definiert werden, wenn sich eine physikalische Eigenschaft eines Körpers mit der Temperatur verändert. Eine quantitative Messung dieser Eigenschaft wird die Temperatur liefern. Eine solche Eigenschaft, die zur Temperaturmessung führt, wird eine thermometrische Eigenschaft genannt. Man kann z.b. die folgenden thermometrischen Eigenschaften benutzen. Die thermische Ausdehnung eines Körpers oder einer Substanz (wie z.b. Quecksilber);. Der elektrische Widerstand von Metallen, der mit der Temperatur zunimmt; 3. Das Volumen eines Gases bei konstantem Druck; 4. Der Druck eines Gases bei konstantem Volumen; 5. usw. 656 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

9 l Die Temperatur und das Gasthermometer Jede dieser thermometrischen Eigenschaften kann im Prinzip zur Messung der Temperatur eines Körpers benutzt werden..3. Das Gasthermometer und die Definition des Druckes Wir betrachten das Gasthermometer. Bei einer Version wird das Volumen des Gases als thermometrische Eigenschaft benutzt. Siehe Abb. 9. Das Quecksilber übt eine nach unten gerichete Kraft aus, deren Betrag gleich mg = r lag ist, wobei r die Dichte des Quecksilbers und A die Querschnittsfläche ist. Vakuum Quecksilber h Luft oder Gas Druck des Gases: p Volumen: V Temperatur: T Figur 9. Eine Version des Gasthermometers mit konstantem Druck. Physik 657 Der Druck p wird definiert als die senkrecht auf eine Fläche ausgeübte Kraft pro Fläche, d.h. p F A wobei F die Kraft und A die Fläche ist. Einheit: Die MKS-Einheit des Druckes ist ewton pro Quadratmeter (/m ), die als Pascal bezeichnet wird m Pa = Oft benutzt man auch die Atmosphäre (atm). Eine Atmosphäre entspricht ungefähr dem Luftdruck auf Meereshöhe atm = 035, 0 5 Pa Eine andere Einheit ist das bar bar = 000 mbar = 00 kpa = 0 5 Pa Der Druck p wird definiert als eine makroskopische Grösse, die den Zustand des Gases im Thermometer als Ganzes beschreibt. Das Quecksilber übt einen Druck p auf das Gas aus, wobei gilt p F A lag A r = = = r gl Man spricht vom Druck des Gases: p Druck des Gases 658 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

10 Die Temperatur und das Gasthermometer.3. Gesetz von Gay-Lussac In der Version des Gasthermometers, die wir betrachtet haben, wurde der Druck p des Gases konstant gehalten. Experimentell beobachtet man, dass das Volumen des Gases bei konstantem Druck proportional zur Temperatur ist: V CT = bei konstantem Druck Dieses Ergebnis ist als Gesetz von Gay-Lussac 5 bekannt. Das Gesetz gilt für alle Gase bei niedrigen Dichten, unabhängig von ihrer chemischen Zusammensetzung. Demonstrationsexperiment: Mit Luft gefüllter Ballon In flüssigen Stickstoff gebracht schrumpft er zusammen. Siehe Abb. 0, Figur 0. Der Druck eines Gases ist zur Temperatur des Gases proportional. Der Ballon wird auf flüssigen Stickstoff gestellt. 5. J.L. Gay-Lussac ( ). Physik Gesetz von Boyle und Mariotte In einer anderen Version des Gasthermometers kann das Volumen konstant gehalten und der Druck als thermometrische Eigenschaft benutzt werden. Experimentell beobachtet man, dass der Druck des Gases bei konstantem Volumen proportional zur Temperatur ist: p C T = bei konstantem Volumen Dieses Ergebnis ist als Gesetz von Boyle 6 und Mariotte 7 bekannt..4 Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala Wir betrachten noch einmal das Gasthermometer mit dem konstanten Druck. Wir können die Höhe h des Quecksilbers bei verschiedenen Temperaturen messen. Das Gesetz von Gay-Lussac sagt voraus: V Ah CT = = bei konstantem Druck Es folgt, dass die Temperatur proportional zur Höhe h des Quecksilbers ist, T Ah C = µ h bei konstantem Druck 6. R. Boyle (67-69) 7. E. Mariotte (60-684) 660 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

11 Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala Um das Thermometer zu benutzen, müssen wir noch die Konstante A/ C bestimmen. Wir tauchen das Thermometer in ein Eis-Wasser- Gemisch ein und messen h 0. Dann messen wir die Höhe h 00 beim Siedepunkt des Wassers. Eine beliebige Temperatur wird gemessen als h - h0 Th ( ) = 00 o C bei konstantem Druck h - h 00 0 Demonstrationsexperiment: Bestimmung des absoluten ullpunktes Man misst den Druck des Gases bei konstantem Druck als Funktion der Temperatur. Bei einer Temperaturabnahme wird sich das Volumen (bei konstantem Druck) oder der Druck (bei konstantem Volumen) des Gases reduzieren. Im Demonstrationsexperiment (Siehe Abb. ) wird der Druck eines Gases, das in einem Behälters eingeschlossen wird, bei verschiedenen Temperaturen gemessen. Der Behälter wird zuerst in einem Eis- Wasser-Gemisch eingetauscht, dann in kochendes Wasser und schliesslich in flüssigen Stickstoff (77K ª 96, C bei einem Druck von atm). Die gemessene Werte werden als Funktion der Temperatur aufgetragen (Siehe Abb. ). Aus der Beobachtung des Verhaltens des Gasthermometers können wir folgendes schliessen: Es gibt eine minimale Temperatur in der atur. Man spricht vom absoluten ullpunkt (unterhalb dieser Temperatur wäre der Druck negativ: das ergibt keinen Sinn). Durch eine Extrapolation kann man beweisen, dass der ullpunkt bei einer Temperatur gleich 73.5 C liegt. Siehe Abb.. Physik 66 Figur. Anordnung für die Bestimmung des absoluten ullpunkts. Figur. Der gemessene Druck als Funktion der Temperatur. 66 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

12 Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala.4. Definition der Kelvin-Skala Um ein Thermometer zu kalibrieren und damit eine Temperatur- Skala zu definieren, muss man einen Fixpunkt festlegen, bei dem alle Thermometer denselben Wert für die Temperatur angeben. Ein solcher Fixpunkt kann der Tripelpunkt des Wassers sein: Beim Tripelpunkt des Wassers stehen Wasserdampf, flüssiges Wasser und Eis miteinander im Gleichgewicht. Dieser Zustand kann nur bei einem bestimmten Druck bestehen, und er ist daher eindeutig. Um den Tripelpunkt des Wassers zu erhalten, kann die folgende Anordnung verwendet werden: ein Behälter wird mit reinem Wasser und Eis gefüllt, evakuiert und dann zugeschmolzen. Der Tripelpunkt wird erreicht, wenn Eis, Wasser und Wasserdampf im Gleichgewicht vorliegen. Wie schon erwähnt, ist die Temperatur und der Druck dieser Anordnung eindeutig definiert: Der Dampfdruck beim Tripelpunkt beträgt 60,7 Pa. Die Kelvin-Skala wird daher so definiert: Die Temperaturskala wird so definiert, dass die Temperatur des Tripelpunkts o T3 = 736, K = 0, 0 C beträgt. Die Einheit der (absoluten) Temperatur ist das Kelvin 8 (K). Der ullpunkt der Kelvin-Skala liegt beim absoluten ullpunkt (ein Wert T<0K ist unmöglich). 8. Lord Kelvin (William Thomson) (84-907). Physik 663 Die Temperatur eines Körpers in der Kelvin-Skala kann mit Hilfe eines Gasthermometers bei konstantem Volumen gemessen werden: T = 736, p 3 K p wobei p der gemessene Druck bei der Temperatur T ist, und p 3 ist der gemessene Druck, wenn das Gasthermometer in Wasser bei dessen Tripelpunkt getaucht wird. Für geringe Dichte ist der Messwert der Temperatur unabhängig von der Art des Gases. Die Kelvin-Skala beruht auf der Abhängigkeit des Druckes von der Temperatur. Diese Eigenschaft besitzen alle Gase, unabhängig von ihrer Art..5 Wärmestrahlung Die meisten Körper sind für uns sichtbar, weil an ihnen das Licht reflektiert wird. Wir bemerken: Bei genügend hohen Temperaturen leuchten Körper von selbst: sie glühen. Man spricht von Wärmestrahlung. Bei kurzem Aufenthalt in der ähe von glühenden Körpern bemerkt man, dass auch ein nicht geringer Anteil der Strahlung als infrarote Strahlung emittiert wird. Demonstrationsexperiment: Intensitätsverteilung im Spektrum Licht wird mit Hilfe eines Lichtbogens erzeugt. Das Licht wird mit einem Prisma zerlegt und nachher auf die Wand projiziert. Ein Photodetektor bewegt sich in der horizontalen Richtung und wird das vom Prisma zerlegte Licht scannen. Die Intensität wird geplottet. Man 664 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

13 Wärmestrahlung sieht, dass die meiste der Intensität im Infrarot-Bereich (d.h. nicht sichtbar und rechts vom Rot (Siehe Abb. 3)) emittiert wird. Intensitätsverteilung Photodetektor Prisma Lichtquelle Figur 3. Intensitätsverteilung. Das vom Lichtbogen emittierte Licht wird mit einem Prisma zerlegt. Das zerlegte Licht wurde an die Wand projiziert. Man misst die Intensität als Funktion der Wellenlänge mit Hilfe eines Photodetektors, der sich in der horizontalen Richtung bewegen kann. Wir bemerken: Jeder Körper emittiert nicht nur Wärmestrahlung, sondern er absorbiert sie auch aus seiner Umgebung. Wenn der Körper wärmer als seine Umgebung ist, so emittiert er mehr Strahlung als er absorbiert. Er wird sich daher abkühlen. Physik 665 Wenn der Körper kälter als seine Umgebung ist, so absorbiert er mehr Strahlung als er emittiert. Er wird sich daher erwärmern. Die Temperatur des Körpers ändert sich bis er mit seiner Umgebung ein thermisches Gleichgewicht erreicht. Darunter versteht man den Zustand, bei dem die Absorption und die Emission der Wärmestrahlung gleich gross sind..5. Eigenschaften der Wärmestrahlung Man beobachtet experimentell: Das Spektrum der Wärmestrahlung eines Festkörpers ist kontinuierlich und hängt stark von der Temperatur des Körpers ab. Die Menge von Strahlung (gemessen in Energie pro Zeiteinheit) hängt auch vom Material, von der Form und im Allgemeinen von den Eigenschaften seiner Oberfläche ab. Demonstrationsexperiment: Wärmestrahlung Wir betrachten drei Gläser: das erste ist schwarz, das zweite durchsichtig und das dritte metallisch (Siehe Abb. 4). Wir zeigen, dass die Wärmestrahlung von der Oberfläche der Gläser (d.h. schwarz, durchsichtig oder metallisch) abhängt. Dasselbe kochende Wasser wird in die Gläsern gefüllt. Die Wärmestrahlung von den warmen Gläsern wird von einem Parabol-Spiegel reflektiert und auf einen Photodetektor konzentiert (Siehe Abb. 5). Der Photodetektor misst die Stärke der Strahlung. Wir beobachten experimentell, dass, obwohl die drei Gläser dieselbe Temperatur besitzen, ihre Wärmestrahlung verschieden ist. Das schwarze Glas hat die grösste Strahlung, das metallische die kleinste (die metallische Oberfläche wirkt als ein Schirm). 666 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

14 Wärmestrahlung Figur 4. Die Wärmestrahlung hängt vom Material und von der Oberfläche des Körpers ab. Parabolspiegel Photodetektor warmes Glas Figur 5. Die vom warmen Glas emittierte Wärmestrahlung wird mit einem Parabolspiegel und einem Photodetektor gemessen. Physik Gesetze der Wärmestrahlung Um die Wärmestrahlung quantitativ zu diskutieren, werden wir einen idealen Strahler definieren, d.h. einen Körper, bei dem das Spektrum der emittierten Wärmestrahlung nur von der Temperatur des Strahlers abhängt: dieser ideale Strahler wird oft als ein Hohlraum mit einem kleinen Loch betrachtet. Die Wände des Hohlraums werden auf gleicher Temperatur gehalten: Hohlraum Wärmestrahlung Temperatur T Für den idealisierten Hohlraumstrahler (man spricht von der Strahlung schwarzer Körper) gelten drei miteinander zusammenhängende Gesetze:. Das Stefan-Boltzmannsche Gesetz: Die von der Flächeneinheit der Hohlraumöffnung nach vorn ausgesandte, über alle Wellenlängen summierte Ausstrahlung S(T) ist proportional zur vierten Potenz der Temperatur ST T ( ) = s 4 wobei s eine universelle Konstante ist, die als Stefan-Boltzmann- Konstante bezeichnet wird. Es gilt: - s = ( ) 5, W / m / K Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

15 Wärmestrahlung Damit besitzt S(T) die Einheit W/m, d.h. die einer Energie pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit: W J S = [ ] = [ ] m s m [ ] [ ][ ] Die Wärmestrahlung realer Körper ist kleiner als die des Hohlraumstrahlers (d.h. des schwarzen Körpers) und wird empirisch so ausgedrückt: ST T ( ) = es 4 wobei e eine dimensionslose Konstante ist, die als der Emissionsgrad des Körpers bezeichnet wird. Für den idealisierten Fall ist e= (Strahlung schwarzer Körper) und für die realen Körper ist er immer kleiner als eins und oft temperaturabhängig. Der Emissionsgrad kann nicht berechnet werden, sondern wird für bestimmte Körper gemessen. Die ettowärmestrahlung eines Körpers mit der Temperatur T ist bei der Umgebungstemperatur T 0 gleich 4 S = S - S = es T - es T netto emittiert absorbiert ( 4 0 ) 4 = es T -T 4 0. Die Spektralverteilungsfunktion der Hohlraumstrahlung S(l,T): diese Funktion beschreibt die Wellenlängenabhängigkeit der Hohlraumstrahlung bei bestimmter Temperatur. Die Wärmestrahlung pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit des Hohlraums im Wellenlängenband zwischen l und l+dl ist damit gleich: S( l, T) dl Die Einheit der Spektralverteilungsfunktion ist [ J ] J S( l, T) = [ s][ m] [ m] = [ ] [ s][ m] 3 Physik 669 Die gesamte Abstrahlung wird durch Integration über den gesamten Wellenlängenbereich gewonnen: ST ( ) = Ú S( l, Td ) l 3. Das Wiensche Verschiebungsgesetz: man beobachtet experimentell, dass die Wellenlänge l max, für die die Spektralverteilungsfunktion ein Maximum hat, mit steigender Temperatur abnimmt. Wien 9 zeigte, dass das Produkt l max T eine Konstante ist. Man misst: lmax T = 898 mm K Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Es sagt voraus, dass die Wellenlänge des Maximums zum Inversen der Temperatur proportional ist: l max = m 898 m TK [ ] Beispiel: Wir berechnen die emittierte Wärmestrahlung eines nackten Menschen in einem Raum mit 0 C. Die Haut wird als ein (idealer) schwarzer Strahler betrachtet, hat eine Fläche von,4 m und eine Temperatur von 33 C (sie ist etwas niedriger als die Körpertemperatur): T = 306 K und T 0 = 93 K 9. Wilhelm Wien (864-98). 670 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

16 Wärmestrahlung Damit es ( ) ª ( ) ( ) Snetto = T -T - ( 5670, 0 W / m / K ) ( 306 K) - ( 93 K) ª 80 W / m ( ) und für die ganze Fläche erhalten wir S 4, m 80 W / m 0 W netto = ( )( ) ª Diese Leistung entspricht einer abgestrahlten Energie pro Tag von: E J s Sekunden MJ pro Tag ª ( 0 / )( ) ª 9, 6 oder 300 kcal pro Tag. Das ist eine recht grosse Energieabgabe. In der Praxis vermindern wir diesen grossen Energieverlust mit unserer Kleidung! Beispiel: Der Emissionsgrad hängt vom Material ab Reale Materialen emittieren und absorbieren weniger als der idealisierte Hohlraum. Diese Eigenschaft wird mit Hilfe des Emissionsgrads parametrisiert. Man kann z.b. den Schnee erwähnen. Der Schnee besitzt einen kleinen Emissionsgrad. Damit schmilzt der Schnee in den Bergen langsam, obwohl die Sonne sehr hell sein kann. Er reflektiert die Strahlung sehr gut. Dies erklärt, warum man in den Bergen leicht bräunt: der Schnee wirkt als ein Spiegel und reflektiert die Sonne in alle Richtungen. Physik Das Spektrum der Wärmestrahlung Historisch war das Spektrum der Wärmestrahlung ein Rätsel der Physik. Ende des 9. Jahrhunderts suchte man eine Herleitung aus Grundprinzipien, die die experimentelle Spektralverteilung der Wärmestrahlung erklärt. Eine klassische Herleitung, die ursprüngllich auf Lord Rayleigh 0 zurückging und später durch Jeans modifiziert wurde, lieferte das sogenannte Strahlungsgesetz von Rayleigh-Jeans p c S ( l, T ) = 4 kt Rayleigh - Jeans l wobei k eine neue Konstante, die Boltzmann-Konstante ist. T ist die Temperatur. Wir bemerken, dass die Einheit der Boltzmann-Konstante gleich 4 [ J ] [ m ] 4 3 l S( l, T) [ s][ m] J k = = = [ ] p ct È m K K Î Í s [ ] [ ] p ist. D.h., die Einheit der Konstante ist eine Energie geteilt durch eine Temperatur. Mit Hilfe dieser Konstante kann daher eine Temperatur T in eine Grösse mit der Einheit Energie umgewandelt werden. Die Rayleigh-Jeans-Formel enthielt ein grosses Problem, das als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet wird. Tatsächlich hängt die vorausgesagte spektrale Ausstrahlung vom Inversen der vierten 0.John William Strutt Lord Rayleigh (84-99).. Sir James Hopwood Jeans ( ). 67 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

17 / - Wärmestrahlung Potenz der Wellenlänge ab. Obwohl die Formel in guter Übereinstimmung ist mit den experimentellen Resultaten bei Wellenlängen, die grösser als ungefähr 3000 nm sind, geht die vorausgesagte Austrahlung nach Unendlich für abnehmende Wellenlängen, d.h. für die hohen Frequenzen. Deshalb wird das Problem als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet. Siehe Abb. 6. Figur 6. Vergleich zwischen Rayleigh-Jeans-Verteilung und Plankscher- Verteilung ( Physik 673 Es gelang Planck 900, seine Formel aus einfachen Annahmen herzuleiten. Sie lautet: p ch S( l, T) = 5 hc l kt l e - Planck wobei h eine neue Konstante ist. Heute wird h als Planck-Konstante bezeichnet. Wir haben sie schon im Kap..7.4 erwähnt, als wir von der Bohrschen Theorie des Wasserstoffatoms gesprochen haben. Wir erinnern uns, dass die Plancksche Konstante eine Frequenz in eine Energie umwandelt (die Einheit der Konstante ist ein Produkt von Energie und Zeit, d.h. J.s): E h n = E = hn Als Planck seine Gleichung an die experimentellen Daten anpasste, konnte er für die zwei Konstanten h und k Werte angeben. Die heute gültigen Werte sind: Boltzmann - Konstante : k ª, J / K und - Plancksche - Konstante : h ª 6, Js Die Spektralverteilungsfunktion für verschiedene Temperaturen sind in Abb. 7, 8 und 9 geplottet..karl Ernst Ludwig Max Planck ( ). 674 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

18 Wärmestrahlung Figur 7. Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T=373 K und 30 K ( Figur 8. Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T=3000 K, 500K, 000K und 500 K ( Physik 675 Beispiel: Welche Temperatur besitzen die Oberflächen von Sternen? Der grösste Teil der Strahlung, die ein Stern emittiert, ist in einem ungefähren thermischen Gleichgewicht mit den heissen Gasen aus den äusseren Schichten des Sterns. Daher kann die Wärmestrahlung (d.h. das Sternenlicht) als Hohlraumstrahlung betrachtet werden. Man misst experimentell die Wellenlängen, für die die Spektralverteilungsfunktion ein Maximum annimmt. Z.B: Sonne : l = 500 nm ( Gelb ) max Sirius : l = 40 nm ( Blauweiss ) max Beteigeuze : l = 850 nm ( Rot ) max Die Sterne erscheinen nicht so farbig, weil die Farbempfindlichkeit unserer Augen in der Dämmerung nur gering ist ( Während der acht sind alle Katzen grau ). Mit dem Wienschen Verschiebungsgesetz erhalten wir für die Temperaturen: 898 m m K Sonne : T - 3 ª 5800 K m m Sirius : T ª 000 K = ( ) Beteigeuze : T ª 3400 K Mit 5800 K besitzt die Sonnenoberfläche ungefähr die Temperatur, für die der grösste Teil der Wärmestrahlung im sichtbaren Bereich liegt. Dies lässt vermuten, dass sich unsere Augen während der Evolution mit ihrer Empfindlichkeit den Wellenlängen angepasst hat, die in der Sonnenstrahlung mit der höchsten Intensität emittiert werden (Siehe Abb. 9). 676 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

19 Wärmestrahlung Figur 9. Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T=3000K, 4000K, 5000K und 6000K ( Bedeutung der Planckschen Konstanten Wir haben die Plancksche-Konstante zuerst im Kap..7.4 angetroffen, als wir die Bohrsche Theorie des Wasserstoffatoms diskutiert haben. Wir haben gesehen, dass Bohr postulierte, dass die Frequenz der vom Atom emittierten oder absorbierten Strahlung zur Energiedifferenz zwischen stationären Zuständen des Atoms proportional ist: n = ( - ) - = n h E E E E h n m n m Was ist die Beziehung zwischen dieser Konstante und der Wärmestrahlung? Um seine Gleichung herzuleiten, analysierte Planck die Wechselwirkung zwischen der Strahlung in einem Hohlraum mit den Atomen, Physik 677 die die Wände des Hohlraums bilden. Wir haben schon erwähnt, dass sich diese Atome wegen der Temperatur bewegen: sie schwingen um ihre Gleichgewichtslage (Siehe Kap...). Planck nahm an, dass diese Atome sich wie Oszillatoren verhalten, die Energie in den Hohlraum emittieren und wieder absorbieren. Jeder dieser Oszillatoren besitzt seine charakteristische Schwingungsfrequenz. Im Bereich der klassischen Mechanik kann die Energie dieser Oszillatoren einen beliebigen Wert annehmen. Planck behauptete, dass zur Herleitung des korrekten Strahlungsgesetzes eine radikal andere Annahme notwendig ist: Für einen atomaren Oszillator mit der Frequenz n kann die Energie E nicht beliebige Werte annehmen, sondern nur solche aus einer diskreten Serien: E = nhn n =,, 3,... wobei h die Plancksche Konstante und n eine ganze (Quanten-)Zahl ist. Als Planck diese Annahme erstmals vorschlug, hatte niemand die wirkliche Bedeutung dieser Annahme verstanden. Man wusste nur, dass diese Annahme das richtige Strahlungsgesetz lieferte. Heute wird diese Annahme als die Quantiserung der Energie interpretiert. Wir bemerken: Wie im Fall der Elektronen um den Kern eines Atoms, ist die Schwingungsenergie der Atome in Festkörpern quantisiert. In beiden Fällen kann die Energie keine beliebigen Werte annehmen, sondern nur eine diskrete Anzahl von erlaubten Werten. Wir werden die Quantisierung später im Kap. 7 in mehr Einzelheiten diskutieren. 678 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

20 Wärmestrahlung.5.5 Anwendung: die Thermographie Die Thermographie ist die Aufnahme von Wärmebildern für angewandte Wissenschaften, wie z.b. Maschinenbau oder Medizin. Im Maschinenbau kann z.b. die korrekte Montage einer Anordnung kontrolliert werden. In Abb. 0 ist die Thermographie einer Pumpe dargestellt. Das Bild lässt vermuten, dass das untere Lager zu warm ist. In der medizinischen Diagnostik ist die Thermographie auch sehr nützlich, z.b. in der Krebsdiagnostik: ein krebsbefallenes Gewebe ist oft etwas wärmer als gesundes. Siehe z.b. Heutzutage wird die Thermographie auch für die Kontrolle elektrischer Anlagen verwendet. Siehe z.b. Abb.. Figur 0. Ein praktisches Beispiel: die korrekte Installation einer Pumpe kann mit Hilfe einer Thermographie kontrolliert werden. Das Bild hier lässt vermuten, dass das untere Lager zu warm ist ( Physik 679 Figur. Thermische Anomalie bei Hochspannungs-Anschlüssen..6 Ideale Gase.6. Die Zustandsgleichung für ideale Gase Wir haben in Kap..3. die Gesetze von Boyle-Mariotte und von Gay-Lussac gesehen V = CT p = C T bei konstantem Druck bei konstantem Volumen Experimentell beobachtet man, dass der Druck steigt, wenn ein Gas bei konstanter Temperatur komprimiert wird. Wenn das Gas expandiert, so sinkt der Druck während der Volumenzunahme. In guter äherung ist das Produkt aus dem Druck und dem Volumen bei konstanter Temperatur konstant. Diese Beziehung gilt für alle Gase bei geringer Dichte. Demonstrationsexperiment: pv = Konst. 680 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

21 - Ideale Gase Der Druck eines Gases in einem Volumen wird gemessen (Siehe Abb. ). Im Experiment wird das Volumen geändert und die Änderung des Druckes als Funktion des Volumens gemessen. Die Temperatur wird mit fliessendem Wasser konstant gehalten. Wenn wir das Volumen halbieren, wird der Druck verdoppelt. Wir bemerken, dass das Produkt konstant bleibt, solange das Volumen nicht zu klein ist. Bei kleinem Volumen nimmt das Produkt pv zu (d.h. der Druck ist höher als bei einem idealen Gas erwartet). Druck Volumen Figur. pv=konst bei konstanter Temperatur. Physik 68 Wenn wir zwei identische Behälter betrachten, die mit gleichen Mengen desselben Gases bei der gleichen Temperatur gefüllt sind, ist es uns vertraut, dass man das doppelte Gasvolumen bei gleichem Druck p und gleicher Temperatur erhält, wenn beide Behälter zusammengefügt werden. Es folgt, dass das Produkt pv proportional zur Gasmenge sein muss. Diese Ergebnisse werden in der Zustandsgleichung des idealen Gases zusammengefasst pv = kt wobei k die Boltzmann-Konstante, die Anzahl der Gasmoleküle und T die absolute Temperatur (die Kelvin-Skala) ist. Wir haben die Boltzmann-Konstante schon im Kap..5.3 angetroffen, als wir die Wärmestrahlung diskutiert haben. Wir wiederholen, dass die Einheit der Boltzmann-Konstante gleich p V [ k ] [ = ][ ] T / m m 3 m K ( )( ) [ ] = = ( ) = K J K ist. D.h., die Einheit der Konstante ist eine Energie geteilt durch eine Temperatur. Das Produkt kt entspricht daher einer Energie. Es folgt daraus, dass auch das Produkt pv einer Energie entspricht. Wir werden dieses Ergebnis im Kap..7. verwenden. Aus Experimenten weiss man, dass die Boltzmann-Konstante für alle Gase denselben Wert hat. Sie ist gleich: k =, J / K Mit Hilfe dieser Konstante kann eine Temperatur T in eine Grösse mit der Einheit Energie umgewandelt werden, z.b. [ ] = ( ) = fi = = - kt J / K K J T 300 K kt 4, 0 J 68 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

22 i Ideale Gase Siehe Abb. 3. Joule Kelvin Celsuis Fahrenheit Siedepunkt 5.5 x K 00 C F Gefrierpunkt 3.77 x 0 73 K 0 C 3 F Absoluter ullpunkt 0 0 K 73 C 459 F Figur 3. Vergleich von verschiedenen Temperaturskalen. Der Siedepunkt und der Gefrierpunkt von Wasser bei atm sind angegeben. Wenn wir n Mol eines Gases betrachten, dann enthält es die folgende Anzahl von Molekülen = n A und die Zustandsgleichung des Gases lautet damit pv = kt = n A kt = nrt wobei R die Gaskonstante ist.sie hat für alle Gase den Wert R A k =8,34 J / mol / K Physik 683 Beispiel: Die Temperatur T=73,5 K = 0 C und der Druck p= atm werden als sogenannte Standardbedingungen definiert. T = 0 C = 73, 5 K p = atm = 035, bar =, / m Das Volumen von Mol eines Gases bei Standardbedingungen ist gleich nrt V = = p mol 8, 34 J / mol / K 73 K = 5, / m ª, 4 0 m =, 4 l.7 Mikroskopische Beschreibung der Materie Wollten wir den Zustand eines Körpers durch den Zustand der einzelnen Atome und Moleküle beschreiben (d.h. der Körper wird als ein- Teilchensystem betrachtet), so müssten wir die räumlichen Koordinaten und Geschwindigkeiten aller Atome und Moleküle angeben. r Koordinate : ( i,..., ) r = = i Geschwindigkeiten : v ( i,..., ) atürlich enthält ein Mol einer Substanz schon mehr als 0 3 Moleküle und deshalb ist in der Praxis die Lösung der Bewegung einer solchen Anzahl von Körpern ganz unmöglich. 684 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

23 Mikroskopische Beschreibung der Materie Um die Schwierigkeit der Beschreibung der Bewegung zu illustrieren, betrachten wir zwei einfache Beispiele. Die Verdampfung des Wassers in Luft. Abb. 4 zeigt, was man auf der Oberfläche des Wassers sehen würde. Moleküle werden die Oberfläche des Wassers kontinuierlich verlassen und andere werden ins Wasser zurückkehren. Das Brennen von Kohlenstoff in Sauerstoff. Das Brennen wird in Abb. 5 illustriert. Während des Brennens von Kohlenstoff werden Sauerstoffmoleküle mit Kohlenstoffatomen zusammenstossen. Manchmal kann die Struktur der Sauerstoffmoleküle aufgebrochen werden, und eine neue Art von Molekül, das Kohlenmonoxid CO oder das Kohlendioxid CO, wird sich bilden. Bei diesem Vorgang werden Licht und Wärme frei, und man spricht vom Brennen des Kohlenstoffs. atürlich können im Prinzip solche Molekularvorgänge mit Hilfe eines Computers modelliert und simuliert werden. Solche Probleme werden im Bereich der Rechnergestützten Wissenschaften 3 betrachtet. 3.Siehe Physik 685 Sauerstoff Wasserstoff Stickstoff Figur 4. Illustration der Verdampfung des Wassers in Luft. Sauerstoff Kohlenstoff Figur 5. Illustration des Brennens von Kohlenstoff in Sauerstoff. 686 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

24 Mikroskopische Beschreibung der Materie.7. Mikroskopische Beschreibung des Gases Bis jetzt haben wir das Verhalten der Gase mit Hilfe der sogenannten makroskopischen Grössen p, T und V beschrieben. Wir betrachten nun das Gas als ein System, das aus einer grossen Anzahl von Molekülen besteht. Die Moleküle können z.b. die folgenden sein:. einatomig: He, Ar, Xe, Hg,.... zweiatomig: H, O,, Cl, dreiatomig: H O, O, O, SO, mehratomig: H 3, CH 4, C H 6,... Wir nehmen das folgende an (Annahme des idealen Gases): Die Moleküle bewegen sich frei im Behälter des Volumens V. Die einzelnen Moleküle werden nicht miteinander wechselwirken. D.h., wir vernachlässigen die zwischenmolekularen Kräfte. Diese Annahme des idealen Gases gilt natürlich nur, wenn die Dichte des Gases gering ist. Wenn die Dichte hoch ist (d.h. bei hohem Druck oder kleinem Volumen), können die Stösse zwischen Moleküle nicht mehr vernachlässigt werden. Die Gasmoleküle besitzen verschiedene Geschwindigkeiten und bewegen sich in alle Richtungen: Der Druck ist eine Konsequenz aus den Stössen der Moleküle mit den Behälterwänden. Siehe Abb. 6. Physik 687 Figur 6. Kinetische Berechnung des Druckes des Gases. Die Gasmoleküle stossen auf die Wände des Behälters. Ein Mol des Gases enthält schon mehr als Moleküle. Wie wir schon erwähnt haben, ist die exakte Lösung der Bewegung einer solchen Menge von Molekülen sehr schwierig. Am Anfang betrachten wir den vereinfachten Fall, in dem die Moleküle sich nur in der positiven und negativen x-richtung bewegen und betrachten den Druck auf einen Kolben. Siehe Abb. 7. Wir nehmen an, dass die Moleküle elastisch mit dem Kolben stossen. Die x-komponente des Impulses vor und nach dem Stoss ist dann gleich vor : p = mv x x nach : p =- mv x x 688 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

25 i Mikroskopische Beschreibung der Materie Die Impulsänderung durch den Stoss des Moleküls ist daher Dpx = mvx Figur 7. Gasmoleküle im Behälter. Im Zeitintervall Dt treffen diejenigen Moleküle auf den Kolben, die sich nach rechts bewegen und höchstens den Abstand v x Dt vom Kolben haben. Die Anzahl der Moleküle, die in einem Zeitintervall Dt auf den Kolben treffen, ist Ê Á Ë V ˆ ( vx ta) { 3 D { Teilchendichte Volumen Hälfte der Moleküle bewegt sich nach rechts wobei A die Fläche des Kolbens ist. D.h., die Moleküle, die während des Zeitintervalls mit dem Kolben stossen werden, sind im Volumen v x DtA enthalten. Mit der Dichte wurde die Anzahl der im Volumen enthaltenen Moleküle berechnet. Schliesslich wird ein Faktor / eingefügt, weil nur die Hälfte der Moleküle sich nach rechts (Siehe Abb. 7) bewegt. Physik 689 Es folgt daraus, dass die totale Impulsänderung der Gasmoleküle im Zeitintervall Dt gleich V v ta mv V mv A t x D x x D ( ) = Anzahl der Moleküle Impulsänderung Gesamtimpulsänderung ist. Dank dem ewtonschen Gesetz können wir die Gesamtimpulsänderung im Zeitintervall Dt mit dem makroskopischen Druck, der von Molekülen der Geschwindigkeit v x auf die Fläche A erzeugt wird, in Beziehung setzen: F A pv (, ) = = x Ê Á Ë D D p t A ˆ = V mv A t ˆ x D A t V mv = x = mv x D V Ê Á Ë Wir haben angenommen, dass der Druck eine Konsequenz aus der Bewegung der Moleküle ist, die die Stösse auf den Kolben erzeugen. Wir müssen nun alle Molekülen betrachten. Wir wollen den Fall betrachten, bei dem die Moleküle verschiedene Geschwindigkeiten in x-richtung besitzen. Wir werden statistische Methoden benutzen, um die Bewegung der Menge der Moleküle zu beschreiben. Wenn wir viele Gasmoleküle mit verschiedenen Geschwindigkeiten betrachten, können wir z.b. ihre mittlere Geschwindigkeit (eine vektorielle Grösse) definieren als r r v  v i = wobei vi (i=,...,) die Geschwindigkeiten der Gasmoleküle sind. 690 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

26 i,, i i i i i, i i i Mikroskopische Beschreibung der Materie Um den Druck des Gases zu berechnen, ersetzen wir in der Gleichung für p(,v x ) die Geschwindigkeit durch den Mittelwert p (, vx ) = mv x V wobei v  v, x i x = die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Moleküle in der x- Richtung ist. Wir bemerken, dass im Allgemeinen der Mittelwert der quadratischen Geschwindigkeit vom Quadrat des Mittelwerts der Geschwindigkeit verschieden ist: v v x x π (im Allgemeinen) Wenn z.b. die Hälfte der Gasmoleküle sich nach rechts bewegen würden und die andere Hälfte nach links, würde der Mittelwert der Geschwindigkeit verschwinden, obwohl der Mittelwert der quadratischen Geschwindigkeit nicht gleich null wäre. In mathematischer Form: Erste Hälfte der Moleküle : v xi = + v Zweite Hälfte der Moleküle : v xi =- v fi v = 0 x Physik 69 aber v Ê ˆ = Âv = vix + v Á Â Â Ë x i, x, ix, = erste Hälfte zweite Hälfte Ê Á Ë Â Â = + ( ) + - Ê = Á v + v v Ë v v erste Hälfte zweite Hälfte ˆ = π 0 ( ) ˆ In Wirklichkeit werden sich die Moleküle in alle Richtungen bewegen. Wenn wir annehmen, dass die Moleküle sich isotrop in alle Richtungen bewegen, erwarten wir, dass gilt vx = vy = vz Damit gilt ( xi, yi, zi, ) = = r r v Âv =  v + v + v = Â( v xi, ) + Â( v yi, ) + Â( v zi, ) = = = = 3  ( v xi ) = = 3 v = 3 v = 3 v x y z oder r vx = vy = vz = v 3 69 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

27 ,, Mikroskopische Beschreibung der Materie Es folgt r r pv = m v = mv = E kin wobei <E kin > die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle ist. Der Ausdruck <E kin > ist gleich der gesamten kinetischen Energie der Gasmoleküle (Siehe Kap. 7.) r Ê rˆ r E = m v = má v = m v = E Ë Â Â Â = kin i i kin i i d.h., das Produkt pv ist gleich zwei Drittel der gesamten kinetischen Energie des Gases. Mit dem Gesetz des idealen Gases ist die absolute Temperatur eines Gases direkt proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Gasmoleküls pv = kt 3 pv = E kin Ô fi kt = E fi kin E = 3 kin kt Ô 3 Wir haben schon in Kap..5.3 und.6. bemerkt, dass die Einheit der Konstante gleich einer Energie geteilt durch eine Temperatur ist. Das Produkt kt entspricht einer Energie. Im Fall des Gases ist das Produkt (3/)kT gleich der mittleren kinetischen Energie eines Gasmoleküls und die gesamte kinetische Energie der Gasmoleküle ist gleich (3/)kT. Sie hängt nur von der Temperatur des Gases ab. Physik Wärmeenergie und Wärmekapazität Wenn zwei Körper mit verschiedenen Temperaturen miteinander in Berührung gebracht werden, werden sich die Temperaturen nach einer gewissen Zeit angleichen. Bis Anfang des 9. Jahrhunderts wurde diese Beobachtung durch die Existenz eines Wärmestoffs, der caloricum, erklärt. Der Wärmestoff wurde vom Körper mit höherer Temperatur zum Körper mit niedriger Temperatur abgegeben. Heute können wir sagen: Die Wärme Q ist das, was allein aufgrund eines Temperaturunterschiedes zwischen zwei Körpern ausgetauscht wird. Eine Einheit für die Wärmeenergie wurde eingeführt, als die atur der Wärme noch unbekannt war. Die Kalorie (cal) wird definiert als die Wärmemenge Q, durch die g Wasser unter ormdruck (p= atm) von 87.65K auf 88.65K erwärmt wird. Aus unserer Diskussione über Temperatur und mikroskopische Vorgänge folgt ganz klar, dass man einem Körper Energie zuführen muss, um seine Temperatur zu erhöhen. Benjamin Thompson 4 schlug erst am Ende des 8. Jahrhunderts vor, dass die Wärme eine Form von Energie ist. Man muss deshalb für die Wärmeenergie dieselbe Einheit der Energie benutzen, die für die mechanische Energie benutzt wird. 4.Benjamin Thompson (753-84) 694 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

28 e a Wärmeenergie und Wärmekapazität Heute wird die MKS-Einheit Joule für die Wärmemenge verwendet, und es gilt Kalorie ( cal ) = 4868, Joule ( J ).8. Definition der Wärmekapazität Verschiedene Körper underscheiden sich durch die Menge von Energie, die benötigt wird, um ihre Temperatur um einen bestimmten Betrag zu erhöhen. Wenn wir einem Körper eine Wärmeenergie DQ zuführen, wird seine Temperatur um DT erhöht. Die Wärmekapazität C des Körpers wird definiert als C D D Q T DQ = CDT wobei DQ die benötigte Energie ist, um die Temperatur des Körpers um DT zu erhöhen. Wenn wir die Wärmeenergie bei konstantem Volumen zuführen, werden wir schreiben C V D Q D T V = Konst und bei konstantem Druck schreiben wir C p D Q D T p = Konst Physik 695 Wir haben die Kapazität mit einem Index V oder p geschrieben, um zu zeigen, dass die Wärme bei konstantem Volumen oder bei konstantem Druck zugeführt wird. Bei Substanzen wie Gasen, die sich beim Erwärmen ausdehnen, ist die Wärmekapazität bei konstantem Druck c p verschieden (grösser) als die bei konstantem Volumen c V. Siehe Kap Die Wärmekapazität eines Mols einer Substanz wird als spezifische Wärmekapazität c bezeichnet. Die spezifische Kapazität einer Substanz ist deshalb c D Q nd T DQ = cndt wobei c=c p oder c V, und n die Anzahl der Mole ist (Siehe Kap..4). Man spricht z.b. von der Wärmekapazität C eines Gegenstands, aber von der spezifischen Wärmekapazität c von Kupfer. Die Wärmemenge, die man z.b. bei konstantem Volumen zuführen muss, um einen Körper von T a auf T e zu erwärmen ist gleich T Ú Ú V ( ) T Q = dq = c T ndt Wenn die Temperaturänderung nicht zu gross ist, wird die spezifische Wärmekapazität c(t) als eine Konstante betrachtet, und es gilt Q = cvn( Te -Ta) = cvndt 696 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

29 Wärmeenergie und Wärmekapazität.8. Wärmekapazität eines (einatomigen, idealen) Gases Wir betrachten nun ein Gas. Im Allgemeinen hängt seine innere Energie von der kinetischen und potentiellen Energie seiner Moleküle ab. Seine potentielle Energie hängt z.b. vom intermolekularen Abstand, d.h. vom Volumen oder der Dichte des Gases ab. Im Fall des idealen Gases ist die innere Energie nur kinetische Energie, und die potentielle Energie ist vernachlässigbar Uideal = E + E = E + = Ê kt Ë Á ˆ kin pot,interne kin 0 3 wobei die Anzahl der Gasmoleküle ist. Für ein ideales Gas hängt die innere Energie nur von der Temperatur ab. Die Wärmekapazität C V des idealen Gases (bei konstantem Volumen) ist daher gleich C V D D Q T D U D T ideal = = = d dt Ê Á Ë 3 ˆ 3 = kt k Wenn wir ein Mol des Gases betrachten, dann finden wir ( ) = Ê Á Ë 3 ˆ 3 = = U mol kt kt RT ideal A A 3 Wenn wir die Temperatur um DT erhöhen, erhöht sich die innere Energie um (3/)RDT. Physik 697 Für ein Mol ist die spezifische Wärmekapazität gleich c V ( ) = du ideal mol dt 3 R 3 83 J mol K 5 J mol K, / /. / / ª ( ) ª Wir brauchen.5 J pro Mol, um die Temperatur eines idealen Gases um K zu erhöhen..8.3 Wärmekapazität eines Festkörpers Die Wärmekapazitäten (pro g) von Festkörpern haben sehr unterschiedliche Werte. Siehe Tabelle. Experimentell (d.h. aus der Tabelle): Wenn wir uns auf die spezifische Wärmekapazitäten beziehen, d.h. auf die Anzahl der Atome und nicht auf die Masse, werden die Werte nicht mehr so unterschiedlich. Es gibt wenige Ausnahmen, wie z.b. Beryllium, Bor und Diamant. Diese Fälle werden als anomal bezeichnet und werden später betrachtet. Siehe Kap.... Man sieht auch, dass Wasser im Vergleich zu den meisten Festkörpern eine hohe Wärmekapazität besitzt. Dass die spezifischen (pro Mol) Wärmekapazitäten von Festkörpern sehr ähnliche Werte aufweisen, wird als Dulong- Petitsche Regel 5 bezeichnet: cv ª 5 J / mol / K 5.Dulong und Petit (89). 698 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)

30 Wärmeenergie und Wärmekapazität Dieses Verhalten wird natürlich mit der Atomtheorie des Materieaufbaus erklärt. Wir beobachten, dass der Wärmebetrag, der benötigt wird, um die Temperatur pro Atom um K zu erhöhen, vom Stoff unabhängig ist. Tabelle. Wärmekapazitäten verschiedener Stoffe bei Zimmertemperatur und einem Druck von atm. Stoff Wärmekapazität in J/g/K molare Masse in g/mol Aluminium 0,9 7 4,4 Kupfer 0, ,5 Blei 0,8 07 6,5 Silber 0, ,5 Beryllium Bor 3 Kohlenstoff(Diamant) Wasser 4,8 8 75,4 spezifische Wärmekapazität in J/mol/K 6 In Festkörpern schwingen die Atome oder Moleküle um ihre Gleichgewichtslage. Wenn das Volumen des Körpers konstant gehalten wird, so dass die Abstände der Atome ungeändert bleiben, tritt die zugeführte Wärmeenergie nur als Schwingungsenergie auf. Wenn man die spezifische (pro Mol) Wärmkapazität betrachtet, hat man es beim Vergleich verschiedener Stoffe immer mit derselben Anzahl von Atomen zu tun. Es folgt, dass die spezifischen (pro Mol) Wärmekapazitäten von Festkörpern sehr ähnliche Werte aufweisen müssen. Physik 699 Demonstrationsexperiment: Spezifische Wärme von Al und Pb Wir benutzen 4 Mol von Al und Pb. Obwohl wir dieselbe Anzahl Mole verwenden, sind die molaren Massen von Blei und Aluminium sehr unterschiedlich. Die zwei Massen sind daher sehr verschieden: die Masse von Blei ist,9 kg und die von Aluminium ist 380 g. Trotzdem wird im Experiment gezeigt, dass die spezifische Wärmekapazitäten (pro Mol) von Blei und Aluminium ähnlich sind. Dies wird so demonstriert: die zwei Massen wurden in kochendes Wasser eingetauscht bis ihre Temperatur ungefähr 00 C ist. achher werden die Massen in zwei Behälter eingetauscht (Siehe Abb. 8), die mit gleichviel kaltem gleicher Temperatur Wasser gefüllt sind. Wir messen die Endtemperaturen des Wassers in den Behältern. Wir beobachten, dass die Endtemperaturen gleich sind. Figur 8. Bestimmung der Wärmekapazitäten von Blei und Aluminium. 700 Physik I&II, WS 0/03-SS03, Prof. A. Rubbia (ETH/Zürich)