Über die kinetische Theorie der inneren Reibung der Flüssigkeiten

Transkript

1 Akademie d. Wissenschaften Wien; download unter Über die kinetische Theorie der inneren Reibung der Flüssigkeiten Dr. Gustav Jäger. (Mit 1 Textfigur.) (Vorgelegt in der Sitzung am 2. März 1893.) W ie ich schon in der Abhandlung»Z u r Th eorie der F lü ssigk eiten «1 zu erwähnen G elegenheit hatte, ist es zur Erforschung des flüssigen Zustandes nicht so sehr am Platze, auf alle Einzelheiten direct einzugehen, als vielm ehr vorerst das Bild in grossen Zügen zu fixiren, da w ir für den ersteren Fall zu überaus verw ickelten Darstellungen kämen, w elche nur mit Mühe das in ihnen enthaltene W esen tliche erkennen lassen würden. Desshalb w ollen w ir auch bezüglich einer kinetischen Th eorie der inneren Reibung der Flüssigkeiten uns die ganze Anlage m öglichst einfach zu gestalten suchen. Stellen w ir uns vor, w ir hätten zw ei parallele, ebene horizontale Platten. Die untere befinde sich in Ruhe, die obere b ew ege sich in einer bestimmten Richtung mit der Geschw indigkeit «, ohne dass sie dabei ihre eigene Ebene verlässt, so dass der Abstand a der beiden Platten stets constant bleibt. Zw ischen den beiden Platten befinde sich eine Kugel vom Radius r. Dieselbe habe eine G eschw indigkeit c, senkrecht zu den beiden Platten, und zw ar soll c gegen u sehr gross sein. So oft die K u gel gegen eine Platte stösst, soll sie sofort reflectirt werden, als w äre sie vollkom m en elastisch. W ird ausserdem der Elasticitätscoefficient sehr gross angenommen, so wird die Zeit, während w elcher die K u gel ihre Bewegungsrichtung 1 W ien. Ber., CI, S. 920 ff.

2 254 Akademie d. Wissenschaften Wien; G. Jäger, download unter umkehrt, verschwindend klein ausfallen. Immerhin soll diese Zeit genügen, der K u gel in der Richtung der Plattenebene jene G eschw indigkeit zu ertheilen, w elch e die Platte selbst hat. Das heisst, so oft die K u gel die untere Platte trifft, muss ihre Geschw indigkeit parallel zu den Platten gleich Null, beim A u f treffen auf die obere Platte gleich u werden. Das bedeutet nichts Anderes, als dass bei jedem Zusam menstosse mit der unteren Platte an dieselbe die B ew egu ngsgrösse mu abgegeben wird, wenn m die M asse der K u gel ist, und zw ar sucht diese Bew egungsgrösse der Platte eine Geschw indigkeit in der B e w egungsrichtung der oberen Platte zu ertheilen. Das E n tgegen gesetzte findet bei der oberen Platte statt. Dieselbe erhält einen Zug, w elcher ihrer Bew egungsrichtung entgegenwirkt. Der W e g, w elchen die Kugel beim Verlassen der unteren Platte bis zum Auftreffen auf die obere zurücklegt, ist a 2 r, a 2 r die Zeit, die dabei verstreicht, ; die Zeit, w elche zw ischen C a 2r zw ei Stössen auf dieselbe Platte verstreicht, ist , daher c die Zahl derstösse, w elche eine Platte in der Zeiteinheit erfährt, Z c ~~ 2(a 2r) Die Kraft, w elche also eine jede Platte in der Richtung muc ihrer eigenen Ebene erfährt, ist r 2 (a 2 r) K u gel deren N vorhanden, so erhalten w ir die Kraft Sind anstatt einer m-nuc mnc K = w = ^ r ^ - n ( ) wenn w ir a 2 r r= X setzen, w obei X die W eglä n ge ist, w elche eine K u gel zw isch en zvvei aufeinanderfolgenden Stössen zurücklegt. Es ist also der W iderstand, den die beiden Platten bei einer Parallelverschiebung gegen einander erfahren, direct proportional der Verschiebungsgeschw indigkeit. Diesen Fall w ollen w ir nun auf die Flüssigkeiten übertragen und damit eine Erklärung für die innere Reibung derselben geben.

3 Akademie d. Innere Wissenschaften Reibung Wien; download der Flüssigkeiten. unter Die innere Reibung zeigt sich bekanntlich dann, wenn zw ei neben einander befindliche Flüssigkeitsschichten mit verschiedener Geschw indigkeit fliessen. Es übt dann die schneller fliessende auf die langsamer fliessende eine Beschleunigung, diese auf jene eine V erzögeru ng aus. W äch st die G eschw indigkeit der Flüssigkeit von Schichte zu Schichte gleichförm ig, so ist die Kraft, w elche von einer Schichte auf eine zw eite, im Abstande x befindliche ausgeübt wird, u u' R V f ~ > w obei f die Fläche der reibenden Schicht ist, u und u! die Geschwindigkeiten der zw ei Schichten und [x eine Constante bedeutet, w elch e von der Natur der Flüssigkeit abhängt. Diese Constante nennt man den Reibungscoefficienten. W äch st der Geschwindigkeitsunterschied nicht gleichförm ig mit dem A b stande der Schichten, so wird die innere Reibung an verschiedenen Stellen der Flüssigkeit verschieden sein. Man hat _2^ dann zum Grenzwerthe von überzugehen, und es wird x -D * du R = ~ V-f ~dx Das negative Vorzeichen erklärt sich daraus, dass für die schneller bew egten Schichten die innere Reibung als W id e r stand auftritt. Diese Form el für die innere Reibung hat schon Newton aufgestellt. Denken w ir uns demnach eine Flüssigkeitsschichte festgehalten, während w ir eine zw eite in der Entfernung Eins von der ersten mit der Geschw indigkeit Eins vorw ärts bew egen, so müssen w ir bei dieser B ew egu ng einen W iderstand überwinden, w elch er für die Flächeneinheit der bew egten Schichte gleich (jl, d. i. gleich dem Reibungscoefficienten ist. Die Grösse desselben nach der kinetischen T h eorie zu entwickeln, soll im Folgenden versucht werden. W ir legen durch die Flüssigkeit horizontale Ebenen, w elche von einander um den Abstand zw eier M olekeln entfernt sind. Dieser Abstand wird sich nur um W en iges vom Durchmesser

4 256 Akademie d. Wissenschaften G. Wien; Jäger, download unter einer M olekel unterscheiden. W ir w ollen ihn daher gleich 2 r setzen, wenn w ir uns die M olekeln als Kugeln vom Radius r denken. Dieselben sollen sich w ie die Kugeln bei unserem eingangs erwähnten Falle senkrecht zw ischen den Ebenen mit der G eschw indigkeit c hin- und herbewegen. Die unterste Ebene sei in Ruhe, die oberste bew ege sich mit einer bestimmten constanten G eschwindigkeit. Ist der Bewegungszustand in der Flüssigkeit stationär gew orden, so muss sich jede Zw isch en ebene mit constanter G eschw indigkeit bewegen. Das ist aber nur möglich, wenn sie von der einen Seite ebenso viel Bew egu ngsgrösse empfängt, als sie nach der anderen abgibt, und für sämmtliche Ebenen ist dieser Fall wiederum nur möglich, wenn das G eschw indigkeitsgefälle in der Flüssigkeit ein constantes ist, das heisst, wenn der Geschwindigkeitsunterschied zw ischen je zw ei gleich w eit entfernten Schichten dieselbe Grösse hat. Mithin erhalten w ir das Geschw indigkeitsgefälle, wenn w ir den Geschwindigkeitsunterschied zw eier beliebiger benachbarter Ebenen durch ihren Abstand 2 r dividiren. A lso du «2?/, ~dx ~~ ~ ~ 2 wenn die oberhalb liegende Ebene die G eschw indigkeit «2> die darunter befindliche ux besitzt. Bilden w ir nun den Ausdruck für die verzögern de Kraft, w elche auf die Flächeneinheit der oberen Schichte entfällt, so ist derselbe Diese Kraft muss gleich sein der Bew egungsgrösse, w elche von den zw ischen den zw ei Ebenen hin- und herfliegenden M olekeln in der Zeiteinheit an die Flächeneinheit einer Ebene abgegeben wird. Natürlich ist nur jene Bew egungsgrösse zu verstehen, w elch e mit ihrer Richtung in die Ebene selbst fällt. Ist die Zahl der M olekeln in der Volum einheit AT, so ist jene Zahl, w elch e zw ischen zw ei Ebenen auf die Flächeneinheit entfällt, 2 rn und die in der Zeiteinheit übergeführte B ew egu n gsgrösse nach Gleichung (1) 2 rnmc, N rnmc.. (% «, ) = («2

5 Akademie d. Innere Wissenschaften Reibung Wien; download der Flüssigkeiten. unter W o llen w ir jetzt die Form el nicht mehr auf unseren fingirten Fall, sondern überhaupt auf die Flüssigkeitsreibung anwenden, so brauchen w ir die Ebenen zw ischen den M olekeln bloss w egzu lassen und zu bedenken, dass die M olekeln nicht nach einer Richtung, sondern nach allen Richtungen des Raumes sich bew egen. Diese B ew egungen lassen sich aber durch drei auf einander senkrechte ersetzen. W ir w ollen daher für die Zahl der Zusammenstösse nur den dritten T h eil der obigen einführen. Dann wird die in der Zeiteinheit von einer Molekelschicht auf die nächste übertragene lebendige Kraft gleich rnmc Daraus 3X 3X (2) wenn w ir Nm = p setzen, w obei nun p nichts Anderes als die Dichte der Flüssigkeit bedeutet, da Nm die in der Volum einheit enthaltene Masse ist. Damit ist bereits eine Form el für den Reibungscoefficienten einer Flüssigkeit gefunden, doch enthält dieselbe ausser der Dichte p nur Grössen, w elche unmittelbar nicht gegeben sind. V or Allem w ollen w ir einen Ausdruck für die mittlere W e g länge X suchen. W iederum handelt es sich uns nur darum, einen angenähert richtigen W erth dafür zu finden. Vorausgesetzt, die Molekeln seien Kugeln, w elche im flüssigen Zustande sehr nahe an einander liegen, so w ird für die Berechnung der mittleren W eglä n ge nichts geändert, wenn w ir annehmen, die in Betracht gezo gen e M olekel sei bloss ein m aterieller Punkt, während alle benachbarten M olekeln den doppelten Radius haben. Dies ist natürlich nur geom etrisch denkbar, indem sich ja die einzelnen Kugeloberflächen der Nachbarm olekeln dann durchschneiden und nur einen kleinen Raum übrig lassen, innerhalb dessen sich der Punkt bew egen kann. D ieser Raum kann aber von der K ugelgestalt nicht sehr erheblich abweichen, w ie man aus der Zeichnung ersieht, die

6 258 Akademie d. Wissenschaften Wien; G. J download ä g e r. unter einen Querschnitt des M olekelsystem s veranschaulicht. In derselben ist der schraffirte T h eil jener Raum, in w elchem sich der Punkt bew egen kann. W ir suchen desshalb die mittlere W eglä n ge eines Punktes in einer Kugel, w elche dem zu rb ew egu n g freien Raume eingeschrieben ist. Dieselbe ist gleich der Summe sämmtlicher W ege, w elche der Punkt von einem bestimmten Punkte der K u geloberfläche zu allen übrigen Punkten derselben zu rücklegen kann, dividirt durch die Zahl dieser W ege. Nehm en w ir nun an, eine unendlich grosse Zahl von Punkten sei auf der K u geloberfläche gleichm ässig vertheilt, und es kommen auf die Flächeneinheit Punkte, so ist die Zahl sämmtlicher in Betracht kommenden Punkte 47ua2A r,. Die Entfernung zw eier beliebiger Punkte ist gegeben durch sya'l-\-az 2 aa cos cp a\/2(1 cos cp), wenn a der Radius der Kugel und cp der W in k el der Radien ist, w elche zu den beiden Oberflächenpunkten gehören. Die Gesammtzahl der W e g e, w elche dieselbe Länge haben, ist dann 2 7 i a l N. s in cedce 1 t t und die Sum m e aller dieser W e g e 2 7 r «3A T1V / 2 ( T c o s cp) s in cpdcp. Integriren w ir diesen Ausdruck von 0 bis tu, so haben w ii die Gesammtsumme aller m öglichen W ege, und die mittlere W eglä n ge erhalten w ir dann, wenn w ir noch durch 4 tuöw, dividiren. Mithin ist

7 Akademie d. Innere Wissenschaften Reibung Wien; der download Flüssigkeiten. unter COS CD X \ / 2(12 (l cos fs>) rs) sin vdv scl'd = a J I' ^ /- ^ S^ sin cp^cp = = 4a tr. '0 >rj.;n 2 sin2 c o s d = 4a Jo rs sin ' a = ^ r - (3) o ö Nun müssen w ir aber berücksichtigen, dass alle M olekeln in B ew egu n g sind. Dem können w ir dadurch Rechnung tragen, dass w ir für die mittlere Geschw indigkeit c einer M olekel die mittlere relative Geschw indigkeit einführen. Dieselbe w ird in derselben W eise gefunden, w ie es Clausius1 für die B e rechnung der mittleren relativen G eschw indigkeit einer Gasm olekel gethan hat, und es ergibt sich für dieselbe der W erth YjC. W en n die relative Geschw indigkeit aber grösser ist als die absolute, so muss im selben Masse die mittlere W eglä n ge kleiner w erden; w ir erhalten daher aus der Gleichung (3) X a. Nun ist aber, w ie man unmittelbar aus der Zeichnung ersieht a = d 2 r, wenn d die Entfernung der Mittelpunkte zw eier M olekeln und r der Radius derselben ist. Daher ist * = * - 2 r = 4 - ^ )= 2 r (l- 5 l) = 2 r(l-^ i- Diese Form el rechtfertigt sich insofern, als man überall dort, w o d und 2 r nicht als Differenz V o r k o m m e n, dieselben mit einander vertauschen kann, da ja d um sehr w en ig grösser als 2 r ist. W enn ferner b das Volum en ist, w elches die M olekeln thatsächlich mit Materie ausfüllen, v jenes, w elches ihnen überhaupt zur Verfügung steht, so (2 rf _ b d? v 1 Theorie der Gase, S. 61 ff

8 260 Akademie d. Wissenschaften G. Wien; Jäger, download unter Setzen w ir schliesslich den für X gefundenen W erth in die Gleichung (2) ein, so ergibt dies f** = rpc (4) W a s nun die Geschw indigkeit der Flüssigkeitsm olekeln c anbelangt, so habe ich zu deren Berechnung bereits mehrere M ethoden angegeben, w elch e in den Abhandlungen»D ie G e schw indigkeit der F lü ssigkeitsm olekeln»,1»ü b er die A bhän gigkeit der Capillaritätsconstanten von der Tem peratur und deren Bedeutung für die Th eorie der F lü ssigkeiten»,2»z u r Theorie der F lü ssigk eiten «3 zu finden sind. In letzter Abhandlung habe ich auch eine Gleichung für die W ärm eausdehnung der Flü ssigkeiten von der Form abgeleitet, w ob ei v und b dieselbe Bedeutung w ie in Gleichung (4) haben. Kennt man die Volum ina einer Grammmolekel Flüssigkeit bei zw ei verschiedenen Tem peraturen, so lässt sich daraus b und berechnen, da s, der Tem peraturcoefficient der Capilo laritätsconstanten ebenfalls eine experim entell bestimmbare Grösse ist. P 0 entspricht dem inneren Drucke der Flüssigkeiten bei 0, ferner ist wenn cqdie mittlere G eschw indigkeit der M olekeln bei derselben Tem peratur bedeutet und Nm die Masse einer Grammm olekel ist. Kennt man daher P 0, so ist auch c0 bekannt. Dann enthält aber die Gleichung (4) nur noch die eine Unbekannte r den Radius einer M olekel. Man kann somit diese Gleichung zur 1 W ien. Ber., X C IX, S. 860 ff. 2 Ebenda, C, S Ebenda, CI, S. 920.

9 Akademie d. Innere Wissenschaften Reibung Wien; download der Flüssigkeiten. unter Berechnung der Grösse der M olekeln benützen und erhält für den Radius einer M olekel [JC W äh len w ir für W asser zur Berechnung des b die T em p e raturen 20 und 60, so sind die entsprechenden Volum ina nach Rosetti 1 für 1 g W asser und cm3 Für den Tem peraturcoefficienten der Capillaritätsconstanten fand ich s ~ 0* Setzen w ir noch a , so folgt b 0'9 43, Für den inneren Druck P0 fand ich -M) als Mittel nach verschiedenen M ethoden (C. G. S.).3 Daraus folgt nach Obigem, da Nm 1 ist, c0 = cm. Da w ir 20 und 60 als Tem peraturintervall zur Berechnung des b und genom m en haben, so w ollen w ir r für die Mittelo temperatur 40 bestimmen. Für diese Tem peratur ist nach Poiseuille [x = : ,4 ferner v Der W erth von r erleidet keine besondere Einbusse, wenn w ir für p und c die erthe, w elche bei 0 gelten, einsetzen. Man erhält sodann r cm. Mithin ist der Durchmesser der W asserm olekel 8 = cm. Für den Äther wurde b und aus den W erthen des -M) Volum ens bei 0 und 30 berechnet. Setzen w ir das Volumen bei 0 gleich Eins, so erhalten w ir nach der Gleichung v = (1 -\-at+btz+ c t 3')v0 W iilln e r, Experimentalphysik, III, S W iener Berichte, C, S Ebenda, CI, S W ü lln e r, Experimentalphysik, I, S. 386.

10 262 Akademie d. Wissenschaften G. Wien; Jäger, download unter für 30 den W erth , wenn w ir nach K o pp <3= , b = 0* , c = setzen. Der Tem peraturcoefficient der Capillaritätsconstanten ist s = ; daraus J? folgt b = , ^ Für den inneren Druck P0 o fand ich T (C. G. S.). Ferner ist Nm = 0'736 zu setzen. Demnach erhalten w ir c0 = cm. Für die Tem peratur 10 wird nach Handl und Pribram2 der Reibungscoefficient (jl = , das Volum en v = Aus diesen W erthen erhalten wir dann r = 3 4 * cm. Es ist desshalb der Durchmesser der Ätherm olekel S = cm. Fügen w ir noch hinzu, dass w ir für den Mittelwerth des Durchmessers der W asserm olekel nach sechs verschiedenen M ethoden ~ 9 cm, für jenen der Ätherm olekel als Mittel aus fünf Berechnungsarten <:m; erhalten, so müssen w ir gestehen, dass diese W erthe mit den unserigen ausgezeichnet übereinstimmen, w as w ohl als bedeutende Stütze für die Richtigkeit unserer Th eorie der inneren Reibung der Flüssigkeiten gelten kann. Nachdem w ir den W erth für den Durchmesser einer M olekel kennen, ist es auch nicht mehr schwer, nach der Gleichung den absoluten W erth der mittleren W eglä n ge zu berechnen. Es ergibt sich für W a sser. Äther..X =: cm cm W ir haben also bei den Flüssigkeiten zw ischen der mittleren W eglä n ge und der Grösse einer M olekel gerade das verkehrte 1 Ebenda, III, S. 83. W ien. Ber., L X X X, S. 35. Monatshefte für Mathematik und Physik, III, S. 263.

11 Akademie d. Innere Wissenschaften Reibung Wien; download der Flüssigkeiten. unter Verhältniss w ie bei den Gasen. H ier ist die mittlere W eglä n ge bedeutend grösser, dort bedeutend kleiner als der Durchmesser der Molekel. Bekanntlich nimmt die innere Reibung mit wachsender Tem peratur erheblich ab. Es entspricht diesem Verhalten unsere Gleichung rpc thatsächlich insoweit, als mit w achsender Tem peratur der A u s druck zunimmt, w as auf eine Ver- kleinerung des (x hinausläuft. Freilich müssen w ir bedenken, dass auch c eine. Function der Tem peratur ist, und zw ar von der Beschaffenheit, dass c mit der Tem peratur wächst. Ich halte es aber nicht für erlaubt, aus der bekannten Abnahm e des Reibungscoefficienten die Änderung des c mit der Tem peratur bestimmen zu w ollen ; denn wenn w ir überlegen, dass ja nicht einmal bei der Th eorie der Gasreibung, w o die Verhältnisse doch viel klarer zu T a g e liegen als bei der Flüssigkeitsreibung, eine Übereinstim m ung mit der Beobachtung vorhanden ist, insow eit sich die Th eorie auf die Änderung der Reibung mit per Tem peratur bezieht, so können w ir unm öglich mit Sicherheit annehmen, dass unsere Formeln, die w ir nur mit H ilfe mehrerer Vernachlässigungen und Hilfsannahmen erhalten haben, in jeder Beziehung mit den Thatsachen übereinstimmen. Sitzb. d. mathem.-naturw. CI.; CII. Bd., Abth. II. a. 18