matheskript D STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHT- und WAHLTEIL ÜBUNGEN Klasse Jens Möller

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1 matheskript D STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHT- und WAHLTEIL ÜBUNGEN Klasse Jens Möller

2 STOCHASTIK ÜBUNGEN ZUM PFLICHTTEIL [entnommen aus Stark-Verlag ABI 203] ACHTUNG Der Pflichtteil muss ohne TR und ohne Formelsammlung bewältigt werden, d.h. insbesondere elementare Bruchrechenregeln müssen beherrscht werden.

3 P In einem Behälter befinden sich zwei rote und vier schwarze Kugeln. a) Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kugeln die gleiche Farbe? b) Es werden nun nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist. P2 Mit einem idealen Würfel wird zweimal gewürfelt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 fällt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augenzahl beim zweiten Wurf größer als beim ersten? P3 In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln wie folgt gezogen: Ist die erste Kugel rot, wird sie in die Urne zurückgelegt. Ist die erste Kugel blau, so wird sie nicht zurückgelegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Die zweite Kugel ist rot." B:,,Die zweite Kugel ist blau." C:,,Die zwei Kugeln haben verschiedene Farben." P4 Das nebenstehende Glücksrad wird dreimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Es erscheint immer die Zahl 0. B:,,Genau zweimal erscheint eine ungerade Zahl." C:,,Die Summe der Zahlen ist höchstens 20." P5 Ein Tennismatch besteht aus maximal 3 Sätzen. Das Match gewinnt der Spieler, der zuerst zwei Sätze für sich entscheidet. Erfahrungsgemäß gewinnt Felix gegen Max zwei von drei Sätzen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert das Match nur zwei Sätze? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Max das Match für sich entscheiden? - -

4 P6 In einer Klasse von 25 Schülern soll für einen Wettbewerb eine Mannschaft von 5 Schülern gebildet werden. Da man sich nicht einigen kann, wird die Zusammensetzung der Mannschaft per Los bestimmt. In einer Lostrommel befinden sich 5 Gewinnlose und 20 Nieten. Der Reihe nach zieht jeder ein Los, ohne es zunächst zu öffnen. Felix zieht zuerst, Max als Zweiter. a) Wer hat die größere Chance, in die Mannschaft zu kommen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens einer der beiden in der Mannschaft? P7 Bei einer Tombola verkauft eine Klasse 40 Lose. Unter diesen Losen sind 2 Hauptgewinne, 3 Kleingewinne und der Rest Nieten. Felix ist der erste Käufer und zieht nacheinander zwei Lose. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Felix erhält eine Niete und einen Kleingewinn. B:,,Das zweite von Felix gezogene Los ist ein Hauptgewinn. C:,,Felix zieht höchstens einen Kleingewinn. P8 In einer Klinik soll die Wirksamkeit eines neuen Medikaments getestet werden. Das Medikament wird in Packungen zu je 0 Tabletten an Patienten abgegeben. Man weiß, dass bei vielen Patienten auch Placebos (das sind Tabletten ohne Wirkstoff die gleiche Wirkung haben wie die echten Tabletten. Daher wird in jeder Packung eine Tablette durch ein Placebo ersetzt. a) Ein Patient entnimmt aus einer Packung nacheinander zwei Tabletten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Nur die erste Tablette enthält das Medikament. B:,,Beide Tabletten enthalten das Medikament. C:,,Eine der beiden Tabletten ist das Placebo. b) Eine weitere Packung ist äußerlich identisch mit den anderen, enthält aber zwei Placebos. Ein Patient bekommt beide Packungen. Er wählt eine der Packungen aus und entnimmt ihr eine Tablette. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Tablette das Medikament? - 2 -

5 P9 In einer Schachtel liegen vier Tischtennisbälle, drei davon sind gelb und einer weiß. a) Man zieht zweimal nacheinander mit Zurücklegen einen Ball aus der Schachtel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Bälle verschiedene Farben? b) Max und Felix einigen sich auf folgendes Spiel: Sie ziehen ohne Zurücklegen abwechselnd jeweils einen Ball aus der Schachtel. Wer zuerst den weißen Ball zieht, hat gewonnen. Beide überlegen, ob es geschickt ist, den ersten Zug zu machen. P0 Ein Glücksrad ist mit den Beschriftungen A, B und C wie abgebildet versehen. Die Mittelpunktswinkel der entsprechenden Kreisausschnitte haben die Weiten 90, 20 und 50. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei drei Drehungen - die Buchstaben in der Reihenfolge A B C, - mindestens einmal den Buchstaben B, - die Buchstabenfolge A B erhält? A B C P Ein Tetraeder und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. Anders als beim Würfel gilt beim Tetraeder die Zahl als geworfen, die unten liegt. Die Seiten sind mit Zahlen wie in den Netzen abgebildet beschriftet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Man würfelt zwei ungerade Zahlen." B:,,Man erhält mindestens eine ungerade Zahl." C:,,Die Summe der Zahlen beträgt 6." D:,,Die Zahl auf dem Tetraeder ist kleiner als die auf dem Würfel." TETRAEDER WÜRFEL

6 P2 Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten dabei nur gleiche Ziffern auf? Beschreiben Sie, wie man das einmalige Drehen des Glücksrades mithilfe einer idealen Münze simulieren könnte. 2 P3 Ein Glücksrad hat zwei Sektoren, beschriftet mit den Buchstaben G und N. Die Wahrscheinlichkeit für den Buchstaben G bei einer Drehung ist p. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. a) Bestimmen Sie für p die Wahrscheinlichkeiten 4 der Ereignisse: A:,,Es erscheinen verschiedene Buchstaben." B:,,Mindestens einmal erscheint der Buchstabe G." b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal der Buchstabe N erscheint, ist 0,64. Wie groß ist dann p? N G P4 Für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X findet man die Formel E( X) x P X x x P X x.... x P X x. 2 2 n n Erklären Sie die einzelnen Elemente dieser Formel. Welche Aussage macht der Erwartungswert? Erläutern Sie den Erwartungswert an einem Beispiel unter Verwendung des abgebildeten Glücksrades P5 Felix will auf einem Fest ein Spiel mit einem Glücksrad anbieten, bei dem das Rad einmal gedreht wird. Um seinen Gewinn zu kalkulieren, führt er folgende Rechnung durch: 3 2 0, Wie könnte das Glücksrad aussehen? Nennen Sie eine mögliche Gewinnregel für die Spieler des Spiels, wenn Felix einen festen Einsatz pro Spiel verlangen will

7 P6 Die Zufallsvariable X nimmt die Werte 0, 2, 6 und 0 an. Ihr Erwartungswert ist EX Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X ist durch die folgende Tabelle gegeben: Bestimmen Sie die Werte für a und b. x i P X x a b i 3 4 P7 In einem Behälter liegen eine rote und vier schwarze Kugeln. Man nimmt so lange ohne Zurücklegen eine Kugel aus dem Behälter, bis die rote Kugel gezogen wird. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal ziehen muss? b) Mit wie vielen Ziehungen muss man durchschnittlich rechnen, bis die rote Kugel gezogen wird? [schwer] P8 Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Genau ein Würfel zeigt eine 6. B:,,Die Augenzahlen unterscheiden sich um 4. b) Felix schlägt Max folgendes Spiel vor: unterscheiden sich die Augenzahlen der beiden Würfel um 4 oder 5, so bekommt Max den Unterschied in Spielchips ausgezahlt. In allen anderen Fällen muss er einen Spielchip an Felix zahlen. Ist das Spiel fair? P9 Bei einem Glücksspiel wird eine ideale Münze geworfen. Liegt nach einem Wurf Wappen oben, so endet das Spiel. Andernfalls wird die Münze wiederum geworfen, jedoch höchstens dreimal. Als Gewinn erhält man: bei Wappen im ersten Wurf; 2 bei Wappen im zweiten Wurf; 4 bei Wappen im dritten Wurf. Der Einsatz bei dem Spiel beträgt,50. Ist das Spiel fair? - 5 -

8 P20 Eine Fahrkarte in der Straßenbahn kostet 2. Wird ein Schwarzfahrer kontrolliert, so muss er ein erhöhtes Beförderungsentgelt von 50 zahlen. a) Lohnt sich Schwarzfahren auf Dauer, wenn 0% der Fahrgäste kontrolliert werden? b) Wie viel Prozent der Fahrgäste müssten mindestens kontrolliert werden, damit ein Schwarzfahrer auf Dauer kein Geld spart? P2 Einem Kartenspiel entnimmt man aus jeder der Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo die Karten mit den Werten 7, 8, 9 und 0. Mit den entnommenen Karten wird folgendes Spiel gespielt: Die Karten werden gemischt und ein Spieler zieht zufällig drei Karten. Sind die Karten von gleicher Farbe (Kreuz, Pik, Herz, Karo), erhält er 5. Haben die Karten den gleichen Wert, erhält er a. In allen anderen Fällen muss er zahlen. Für welchen Wert für a ist das Spiel fair? P22 a) Begründen Sie, dass der abgebildete Graph keine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen kann. b) In einer Urne liegen 40 Kugeln. Zehn davon sind rot. Aus der Urne werden nacheinander acht Kugeln gezogen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln unter den acht gezogenen Kugeln. Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung () mit Zurücklegen erfolgt? (2) ohne Zurücklegen erfolgt? Begründen Sie Ihre Antwort. P23 Eine Urne enthält drei schwarze Kugeln, zwei rote Kugeln und eine grüne Kugel. a) Es werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln aus der Urne gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Beide Kugeln haben verschiedene Farben." B:,,Die zweite Kugel ist schwarz oder grün." b) Aus der Urne werden nacheinander vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote Kugel dabei ist? - 6 -

9 P24 Ein Reißnagel wird mehrfach geworfen. Dabei fällt er erfahrungsgemäß in 60% der Würfe auf den Kopf, ansonsten auf die Seite. Geben Sie Ereignisse A, B, C und D an, für deren Wahrscheinlichkeiten gilt: 30 PA 0, 6 0, PB 06, 04, 06, 04, 0 8 PC 06, 04, 06, PD 0, 6 0, P25 Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen. a) Wählen Sie die beiden Terme aus, welche die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass dabei genau viermal eine Sechs auftritt. Begründen Sie Ihre Entscheidung () () 2 () ( 4) ( 5) ( 6) b) Geben Sie einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass im 0. Wurf die vierte Sechs geworfen wird. P26 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 0 und p = 0,3. a) Welches der beiden Histogramme zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Wie verändert sich das Histogramm, wenn p zunimmt? b) Bestimmen Sie anhand der korrekten Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten P3 X 6 und PX

10 P27 Der Graph zeigt die Verteilung einer B n; p verteilten Zufallsvariable X mit n = 6 und 0 < p <. Es gilt P X 0 P X. a) Bestimmen Sie näherungsweise P X 2. b) Zeigen Sie mithilfe der Formel von Bernoulli, dass für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt p Hinweis : ; 6 0 P28 Gummibärchen werden in den Farben Rot und Gelb produziert und in Packungen zu 20 Stück ausgeliefert. Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der gelben Gummibärchen in einer Packung. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch das Histogramm unten gegeben. Der Erwartungswert von X ist eine ganze Zahl. 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0,02 0 P ( X = k) k a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 8 oder 9 gelbe Gummibärchen in einer Packung? b) Bestimmen Sie den Parameter p der Binomialverteilung mithilfe des Histogramms. Von welchem Mischungsverhältnis kann man bei den Farben der Gummibärchen ausgehen? P29 Ein Medikament heilt eine Krankheit mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Im Rahmen einer Erprobung des Medikaments an Patienten, die an dieser Krankheit leiden, findet sich die folgende Rechnung: Erläutern Sie diese Rechnung P X 0, 98 0, 4 0, 98 n n 4

11 LÖSUNGEN Lösg-P Es befinden sich 6 Kugeln in der Urne a) Pzwei gleiche Farben Pr rps s b) Pmindestens rote Kugel Pr r Pr s Ps r oder mit dem Gegenereignis rechnen Pmindestens rote KugelPs s Lösg-P P mindestens eine 6 P keine a) b) Pzweite Zahl übertrifft die erste P und P 2 und 2... P5 und Lösg-P3 Es befinden sich 5 Kugeln in der Urne. A Pzweite Kugel ist rot Pr rpb r , 46% B Pzweite Kugel ist blau Pr bpb b , 54% C Pzweite verschiedene Kugeln Pr b Pb r , 54%

12 Lösg-P4 A P0, 0, B P genau zweimal ungerade P g; u; u P u; g; u P u; u; g (wobei g = 0 und u = 5 oder 5 bedeutet) C PSumme höchstens 20 P5 und 5 und 5P0 und 5 und 5P5 und 0 und 5 P5 und 5 und Lösg-P a) Pnur 2 Sätze PF F PM M b) PMax gewinnt PM M PM F M PF M M Lösg-P a) PFelix 20% PFelix, Max 20% Die Chancen sind gleich groß. b) Mit dem Gegenereignis rechnen: P mindestens einerpkeiner

13 Lösg-P7 A PNiete und Kleingewinn P N K PK N B Pzweites Los ist Hauptgewinn P N H P K H P H H C Mit dem Gegenereignis rechnen: P höchstens ein Kleingewinn P K K % Lösg-P8 P A a) % P B % PC % P erst Packung, dann Tablette nehmen 85% b) Lösg-P9 a) P verschiedene Farben P g w P w g b) PSpiel Pw Pg, w P g, g, w P g, g, g, w P. Spieler PwP g, g, w P2. Spieler Pg, wpg, g, g, w Es ist egal, wer beginnt, da die Gewinnchancen gleich groß sind. - -

14 BAUMDIAGRAMM zu P g w. Stufe g w 2. Stufe 2 2 g w 3. Stufe w 4. Stufe Lösg-P0 A B P A, B, C C P mindestens einmal B P B B B ,, 2 PA, B, beliebig Pbeliebig, A, B Lösg-P Pungerade, ungerade P A P mindestens eine ungerade P B 4 2 Pg, g TETRAEDER PC PSumme gleich 6 P24P33P PDPTetraderzahl Würfelzahl 2 WÜRFEL P... P2... P

15 Lösg-P2,, P nur gleiche Ziffern P P 2 2 v Simulation durch zweimaliges Werfen einer Münze 2 2 PWappen P Zahl PZ, Z PZ, W PW, Z PW, W P Z Z P P mindestens einmal Wappen werfen P 2 4 4, Lösg-P3 a) Pverschiedene Buchstaben P A , PG, N P N G P B Pmindestens einmal GPN, N b) P C P mindestens einmal N P G, G p p 0, 64 2 pp0, 64 p 0, 36 p 0, 6 G N Lösg-P4 ERWARTUNGSWERT E( X) x P X x x P X x.... x P X x 2 2 n n Bedeutung der Formel: x i = die möglichen Werte der Zufallsvariablen X P X x = die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten i E X 2-0 = Erwartungswert, dieser gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Zahl von Experimenten für die Zufallsvariable X zu erwarten ist

16 BEISPIEL Das Glücksrad wird einmal gedreht. Zeigt der Zeiger auf einen positiven Geldbetrag, so wird dieser dem Spieler ausgezahlt, ansonsten muss er 0 zahlen. Der Sektor für -0 auf dem Glücksrad ist ein Viertelkreis. Die beiden anderen Sektoren sind gleich groß. Die Zufallsvariable X, die den Gewinn des Spielers beschreibt, hat daher die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: x PX xi ERWARTUNGSWERT EX ( ) , Wird dieses Spiel sehr häufig gespielt, so muss der Spieler mit einem mittleren Verlust von 0,25 pro Spiel rechnen. i Lösg-P5 GLÜCKSRAD E X , Summe MÖGLICHE GEWINNREGEL Felix will im Durchschnitt 0,50 pro Spiel verdienen. Bei 2 Spielen würde der Gewinn im Durchschnitt 6 betragen. Auf das Glücksrad übertragen ergibt das einen Gewinn von Ereignisse Gewinne. Sektor Felix zahlt 2. Sektor Felix bekommt 3 3. Sektor Felix bekommt 4. Sektor Felix zahlt 2 Felix könnte zum Beispiel pro Spiel 3 verlangen, dann bekäme der Spieler jeweils folgende Gewinne ausgezahlt: Ereignisse Gewinne. Sektor Spieler bekommt 4 2. Sektor Spieler bekommt 0 3. Sektor Spieler bekommt 2 4. Sektor Spieler bekommt 5-4 -

17 Lösg-P6 E( X) x P X x x P X x.... x P X x Werte einsetzen 2 2 n n EX ( ) 0a 2 6 0b b b b a b a Lösg-P7 a) P höchstens 3 mal ziehen, bis rot kommt 4 5 5,,, P r P s r P s s r s 3 4 s 4 r r 2. Stufe. Stufe s r 3. Stufe 2 r 4. Stufe b) FRAGE Mit wie vielen Ziehungen muss man durchschnittlich rechnen, bis die rote Kugel gezogen wird? x i = Anz. der Ziehungen, bis rot kommt PX xi ERWARTUNGSWERT EX ( ) malziehen Durchschnittlich muss man mit 3 Ziehungen rechnen, bis die rote Kugel gezogen wird

18 Lösg-P8 a) P genau eine 6 P6, andere Zahl Pandere Zahl, P Differenz 4 P ; 5P 2; 6 P 5; P 6; b) PDifferenz 4 siehe oben 9 2 P Differenz 5 P ; 6 P 6; AnzahlderWürfe 2 3 sonst ERWARTUNGSWERT E( X ) d. h. Max verliert auf Dauer. Da der Erwartungswert nicht Null ist, ist das Spiel nicht fair. Lösg-P9 MÜNZWURF PW 2 P ZW P Z ZW TABELLE P ZZZ Ereignisse W ZW ZZW ZZZ Wahrschlichkeiten Gewinne

19 ERWARTUNGSWERT 444 E( X ) 2 4 0, 50 Gewinn pro Spiel Da der Einsatz pro Spiel genau,50 beträgt, ist das Spiel also fair. Lösg-P20 a) Schwarzfahren ist wie ein Glücksspiel mit einem gewissen Erwartungswert. E( X ) 50 0, 0 0, 9 5, 00 Kosten pro Schwarzfahrt Da das Ticket nur 2 kostet, ist es auf lange Sicht günstiger zu bezahlen. b) EX ( ) 50 p0 ( p) 2 50p2 p 4% 25 Es müssen mindestens 4%der Fahrgäste kontrolliert werden, damit ein Schwarzfahrer auf Dauer kein Geld spart. Lösg-P2 Kreuz, Pik, Herz und Karo, 7, 8, 9 und 0 sind insgesamt 6 Karten, 4 Karten von jeder Farbe (Kreuz, Pik, Herz, Karo), 4 Karten von jedem Wert P gleiche Farbe P gleicher Wert a 33 EX ( ) 5 a 0 8a0 a Für a = 8 ist das Spiel fair? Lösg-P22 a) Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung muss die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gleich sein. Addiert man die Funktionswerte aus dem Histogramm, so erhält man 020, 06, 020, 024, 024, 04, - 7 -

20 b) In einer Urne liegen 40 Kugeln. Zehn davon sind rot. Aus der Urne werden nacheinander acht Kugeln gezogen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln unter den acht gezogenen Kugeln. BERNOULLIKETTE. Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen (Erfolg und Misserfolg) heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für die Misserfolgs-Wahrscheinlichkeit q gilt dann q = - p. 2. Wird ein Bernoulli-Experiment n-fach wiederholt, ohne dass sich dabei p und q verändern, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. BINOMIALVERTEILUNG Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben, so kann zu jeder Trefferzahl deren Wahrscheinlichkeit P(Z = k) berechnet werden. Die Zuordnung, die jeder möglichen Trefferzahl k (k = 0; ; 2; ; n) ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable nennt man dann binomialverteilt. () Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung mit Zurücklegen erfolgt? Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (rot oder nicht rot), außerdem ändert sich p bei Wiederholung des Experimentes nicht, weil die Kugel jedes Mal zurück gelegt wird. Somit liegt eine Bernoulli-Kette mit einer binomialverteilten Zufallsvariabel X vor. (2) Ist X binomialverteilt, wenn die Ziehung ohne Zurücklegen erfolgt? Da sich p bei Wiederholung des Experimentes ändert, ist eine wichtige Bedingungen für eine Bernoulli-Kette nicht erfüllt. Also ist X nicht binomialverteilt

21 Lösg-P23 a) PA Pverschiedene Farben Pr g Pr s P g r P g sps rps g ,,, P B P 2 Kugel ist sw oder gr P nicht sw sw P sw sw P nicht gr gr b) Aus der Urne werden nacheinander vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote Kugel dabei ist? WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI BERNOULLIKETTEN Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei n Durchführungen eines Bernoulli-Experiments genau k-mal ein Treffer ergibt (Trefferwahrscheinlichkeit p), ist gegeben durch n P X k p p k k n k Dabei beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Treffer. P X rote Kugel Lösg-P PA 0, 6 0, 4 20 Bei 30 Würfen fällt der Reißnagel genau 20 - mal auf den Kopf PB 06, 04, 06, 04, 0 Bei 0 Würfen fällt der Reißnagel höchstens einmal auf den Kopf PC 06, 04, 06, 04, 7 8 Bei 8 Würfen fällt der Reißnagel mindestens 7 - mal auf den Kopf

22 PD 0, 6 0, 4 0 Bei 25 Würfen fällt der Reißnagel genau 0 - mal auf die Seite. Lösg-P25 a) Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen. () Bei 0 Würfen fällt die Sechs genau 4 - mal. ( 5) Bei 0 Würfen fällt genau 6 - mal keine Sechs, also 4 - mal die Sechs. b) Geben Sie einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass im 0. Wurf die vierte Sechs geworfen wird. Wahrscheinlichkeit, dass in 9 Würfen genau 3 Sechsen geworfen worden sind: 9 5 PX Dann kommt der 0. Wurf dazu, der die 4. Sechs sein soll: P der 0. Wurf ist die 4. Sechs Lösg-P26 a) ERWARTUNGSWERT BEI BERNOULLI-EXPERIMENTEN Für den Erwartungswert bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p gilt: EX n p Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 0 und p = 0,3. Somit ergibt sich E X np

23 Da E (X) ganzzahlig ist, hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei X = 3 ihr Maximum, d.h. im Histogramm muss P (X = 3) maximal sein. Das abgebildete Histogramm erfüllt diese Bedingung. FRAGE Wie verändert sich das Histogramm, wenn p zunimmt? Wenn p zunimmt, nimmt auch der Erwartungswert zu, also verschiebt sich das Maximum nach rechts (Beispiel). b) Bestimmen Sie anhand der korrekten Abbildung näherungsweise die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P3 X 6 P X 4 P X 5 0, 2 0, 0, 3 Werte im Histogramm ablesen PX 4 PX 4 0, 2 0, 8 Werte im Histogramm ablesen Lösg-P27 Der Graph zeigt die Verteilung einer B n; p verteilten Zufallsvariable X mit n = 6 und 0 < p <. Es gilt PX 0 P X. a) PX 2PX PX 0P X 0, 40, 4 0, 2. b) n P X k p p k k n k Bernoulli-Formel PX 0 PX Die ersten beiden Balken sind gleich lang p p p p : p setze und p6p p 7-2 -

24 Lösg-P28 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 8 oder 9 gelbe Gummibärchen in einer Packung? PX 8 PX 9 0, 8 0, 6 0, 34 34% Werte dem Histogramm entnehmen b) Da der Erwartungswert von X ganzzahlig ist, kann er dem Histogramm entnommen werden. Es gilt E (X) = 8, weil die Verteilung dort ein Maximum hat. Außerdem gilt bei Bernoulli-Experimenten die vereinfachte Formel 8 2 E X n p 8 20 p p 0, 4 40% gelbe Gummibärchen MISCHUNGSVERHÄLTNIS Da der Anteil der gelben Gummibärchen 0,4 beträgt, muss der Anteil der roten 0,6 sein. Das Mischverhältnis ergibt sich also mit 04, : 06, 4: 6 2: 3 Lösg-P29 Die Wahrscheinlichkeit für Heilung beträgt p = 0,6. P X 0, 98, P X , 4 0, 98 n n 4 RECHNUNG ERLÄUTERN bedeutet, dass mindestens Patient mit 98% Wahrscheinlichkeit geheilt wird. 0, 4 0, 98 n n der Term 04, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass von n Patienten keiner geheilt wird. Also gibt der Term 0, 4 n die Wahrscheinlichkeit an, dass mindestens einer geheilt wird. n 4 heißt, dass mindestens 5 Patienten geheilt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98% mindestens ein Patient durch das Medikament geheilt wird

25 STOCHASTIK WAHLTEIL-AUFGABEN Ein GTR ist zugelassen

26 W In einer Schachtel liegen fünf weiße Kugeln und eine schwarze Kugel. Aus der Schachtel wird wiederholt eine Kugel zufällig gezogen. Ist die gezogene Kugel schwarz, wird sie in die Schachtel zurückgelegt. Ist sie weiß, wird an ihrer Stelle eine schwarze Kugel in die Schachtel gelegt. a) Aus der Schachtel wird dreimal gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Genau eine Kugel ist schwarz. B:,,Mindestens eine Kugel ist schwarz. b) Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9% mindestens eine weiße Kugel zu erhalten? Lösg-W a) PA Ps ww Pws w Pwws PBPBPwww Gegenereignis B : alle Kugeln sind weiß. P C P C 6 b) n Gegenereignis C : alle Kugeln sind schwarz. n 0, n 0, 00 ln... 6 ln0, 00 n ln ln 0, 00 n 3, 855 n 4 mal ziehen 6 ln

27 W2 In einer Urne befinden sich zwei rote und eine bestimmte Anzahl schwarzer Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine der Kugeln schwarz, wenn die Urne drei schwarze Kugeln enthält? b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt nun /36. Wie viele schwarze Kugeln sind in der Urne? Lösg-W2 a) r r 2 rote und 3 schwarze Kugeln, insgesamt 5 Kugeln PA Ps rpr sps s alternativ : PAPr r b) r r 2 rote und n schwarze Kugeln, insgesamt n + 2 Kugeln 2 PB Pr r 72 n 2 n n 7 n2 n 36 W3 In einer Urne befinden sich fünf rote und eine bestimmte Anzahl schwarzer Kugeln. Insgesamt passen höchstens 50 Kugeln in die Urne. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln verschiedene Farben haben, wenn in der Urne zwei schwarze Kugeln sind? b) Wie groß muss die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne sein, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedene Farben zu ziehen, maximal ist? Lösg-W3 a) r r r r r 5 rote und 2 schwarze Kugeln, insgesamt 7 Kugeln P zwei verschiedene P s rp r s r r r r r b) 5 rote und n schwarze Kugeln, insgesamt n + 5 Kugeln n 5 5 n 0n PB PsrPr s n5 n4 n5 n4 ( n5) ( n4)

28 . ( ) P B soll maximal werden setze f x 0 x ( x5) ( x4) Die Funktion in den GTR eingeben und dann das Maximum bestimmen. Man erhält aus dem Schaubild und aus der Tabelle die ganzzahligen Werte für n. nmax 4 oder 5 W4 Ein Großhändler bezieht von zwei Herstellern A und B Energiesparlampen, die äußerlich nicht zu unterscheiden sind. Erfahrungsgemäß sind 9,6% der Lampen von Hersteller A und 4,6% der Lampen von Hersteller B defekt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Packung mit 0 Lampen von Hersteller A alle intakt? b) Bei einer Inventur stellt der Großhändler fest, dass 6% aller Lampen defekt sind. Berechnen sie die Anteile der Hersteller A und B an den gelieferten Lampen. (schwer) Lösg-W4 a) P alle Lampen von A sind intakt ( 0, 096) 0 0, , 45 % b) Anteil von Hersteller A: x in % Anteil von Hersteller B : x in % Durchschnitt : x 0, 096 ( x) 0, 046 0, 06 0, 096 x 0, 046 x 0, 060 0, 046 0, 050 x 0, 04 x 0, 28 28% Ergebnis: Hersteller A hat 28% und Hersteller B 72% der Lampen geliefert. W5 Die Seiten eines Tetraeders und eines Würfels sind wie abgebildet mit Zahlen beschriftet. Beide werden gleichzeitig geworfen. Dabei gilt bei dem Tetraeder die Zahl als geworfen, die unten liegt. a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A:,,Die Summe der Zahlen ist 5" und

29 B:,,Die Summe der Zahlen ist 3" jeweils /4 beträgt. b) Bei einem Glücksspiel werden das Tetraeder und der Würfel gleichzeitig geworfen. Ein Spieler zahlt einen bestimmten Betrag als Einsatz ein. Ist die Augensumme gerade, erhält er seinen Einsatz zurück. Ist die Augensumme gleich 5, bekommt er 3 ausgezahlt. In allen anderen Fällen ist sein Einsatz verloren. Wie hoch sollte der Einsatz sein, damit er auf lange Sicht weder Verlust noch Gewinn macht? TETRAEDER WÜRFEL Lösg-W5 a) Summe P Summe q e d Summe 3 2 oder P Summe 3 q e d b) ERWARTUNGSWERT Augensummen 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 2 3 ; ; Augensumme gerade drei fünf x a i P X x 0, 50 0, 25 0, 25 i Das Spiel soll fair sein. EX ( ) 050a, 0250, 0253, 0 05a, 075, a 50, Ergebnis: Mit einem Einsatz von,50 Euro pro Spiel, macht ein Spieler auf lange Sicht weder Verlust noch Gewinn

30 W6 Eine Firma stellt Energiesparlampen her. Die Herstellungskosten für eine Lampe betragen 3,50. Sie wird für 5,20 an den Einzelhandel verkauft. Erfahrungsgemäß sind 8,5% der Lampen defekt. Defekte Lampen werden vom Einzelhandel stets entdeckt. Sie werden von der Firma zurückgenommen und der Kaufpreis wird erstattet. Für jede zurückgenommene Lampe entstehen der Firma zusätzliche Kosten in Höhe von,20. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn pro Lampe für die Firma? Um den Gewinn zu steigern, will die Firma vor der Auslieferung der Lampen ein Testverfahren durchführen. Dabei werden alle intakten und 90% aller defekten Lampen als solche erkannt. Die als defekt erkannten Lampen werden dann ohne weitere Kosten entsorgt. Wie teuer darf der Test einer Lampe sein, damit sich das Testverfahren für die Firma lohnt? (sehr schwer) Lösg-W6 GEWINNERWARTUNG E( X ) 5, 20 3, 50 0, 085( 5, 20, 20 ), 56 mögliche Fälle Gewinne bzw. Verluste Lampe intakt 5, 20 3, 50, 70 Lampe defekt und Defekt wird erkannt 3, 50 Lampe defekt und Defekt wird nicht erkannt 3, 50, 20 4, 70 BAUMDIAGRAMM 0,95 intakt Lampe 0,9 Defekt erkannt 0,085 defekt NEUE GEWINNERWARTUNG 0, nicht erkannt E( Y ) 0, 95, 70 0, 0850, 9 ( 3, 50 ) 0, 0850, ( 4, 70 ), 2478 DIFFERENZ E Y E X, 248, 56 0, 09 ERGEBNIS Der Test darf höchsten 0,09 pro Lampe kosten, damit er sich lohnt

31 W7 Bei einem Glücksspiel wird ein idealer Würfel dreimal geworfen. Man erhält für eine Sechs, für zwei Sechsen 5, für drei Sechsen 0 ausgezahlt. In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt. Welchen Einsatz muss der Betreiber des Glücksspiels mindestens verlangen, damit er auf lange Sicht keinen Verlust macht? Lösg-W7 GEWINNERWARTUNG Ereignis keine Sechs eine Sechs zwei Sechsen drei Sechsen x i P X x 0, , , , i Die Werte für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kann man dem GTR entnehmen. Zunächst muss man die Funktion Y = binompdf (3, /6, X) im Editor definieren, anschließend zeigt die dazugehörige Tabelle die gesuchten Werte. E X x P X x x P X x x P X x x P X x E X 0, , , , , 74 ERGEBNIS Der Betreiber des Glücksspiels muss mindestens 0,74 Euro pro Spiel verlangen, damit er auf lange Sicht keinen Verlust macht?

32 W8 Bei dem abgebildeten Glücksrad erhält man bei einer Drehung die Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 und die Zahl 2 mit der Wahrscheinlichkeit p. a) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Man betrachtet das Ereignis: A:,,Es erscheinen drei verschiedene Zahlen." Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von A für p = 0, Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A am größten? Wie groß sind in diesem Fall die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren auf dem Glücksrad? b) Felix und Max vereinbaren folgendes Spiel: (kompliziert) Felix setzt einen Euro ein. Dann dreht Max das Rad. Erscheint eine 2, so nimmt Max den Euro an sich und das Spiel ist beendet. Andernfalls legt Max zwei Euro dazu und Felix dreht das Rad. Bei einer 2 bekommt Felix den Gesamtbetrag von drei Euro. Ansonsten teilen sich beide diesen Betrag und das Spiel ist beendet. Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p für die Zahl 2 sein, damit das Spiel möglichst fair ist? Lösg-W8 a) PA P23,, P32,, P23,, P23,, P32,, P32,, Beachte: Alle Teilereignisse sind gleich wahrscheinlich mal 6. P A 0, 25 0, 30, 456 0, , 25% MAXIMALE WAHRSCHEINLICHKEIT (p gesucht) P 0, 25 P 2 p P 3 0, 25 p 0, 75 p,,,, P A 0 25 p 0 75 p 6 5 p 0 75 p Setze Y,5 x 0,75 x und suche das Maximum p 0,375 37,5% MITTELPUNKTSWINKEL % 90 und 37,5%

33 b) GEWINNERWARTUNG BAUMDIGRAMM Felix verliert Euro p 2 Felix zahlt Euro - p Max zahlt 2 Euro keine 2 p 2 Felix gewinnt 2 Euro - p keine 2 Felix gewinnt 0,50 Euro TABELLE Ereignis eine 2, Ende keine 2, dann 2 keine 2, keine 2 Gewinn für Felix x i P X x p p p p p i FORMEL E( X) 00, p2, 00 p p0, 50 p 2 FAIRES SPIEL E X 0 p 2 p x 0, 5 p 0 p 0, , 74% 2 FORMELEDITOR CALC-zero (Nullstelle) - 3 -

34 W9 Ein Medikament heilt eine bestimmte Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%. Eine Gruppe von 00 erkrankten Patienten erhält das Medikament. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden - höchstens 80, - mindestens 40 und höchstens 90, - mindestens 85 Patienten dieser Gruppe geheilt? * Wie groß darf eine Gruppe höchstens sein, damit mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit alle Patienten der Gruppe geheilt werden? (*schwierig) Lösg-W9 höchstens X 80 PX 800,065 0,7% 80 mindestens 40 und höchstens 90 (mache eine Skizze) X 90 P 40 X 90 P X 90 P X 39 0, ,5% mindestens 85 (mache eine Skizze) X P 85 X P X 84 0, ,8% Wie groß darf eine Gruppe höchstens sein, damit mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit alle Patienten der Gruppe geheilt werden? Definiere im Editor: Y binompdf X,0.85, X 0,5 Tabelle n

35 W0 Eine Firma stellt Speicherchips her, die mit der Wahrscheinlichkeit p intakt sind. a) Man geht nach Erfahrungswerten von p = 0,95 aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Packung mit 50 Chips mehr als einen defekten Speicherchip? b) Nach einer Optimierung der Produktion versichert die Firma, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% in einer Packung mit 50 Chips alle intakt sind. Wie groß ist p dann mindestens? Lösg-W0 a) p intakt pdefekt 0,95 0, 05 PX P X 0, 72 72,% Wahrscheinlichkeit für mehr als defekten Chip. b) p intakt p Definiere im Editor: Y binompdf 50, x, 50 0,6 Tabelle p 0,99 99% Wahrscheinlichkeit für mehr als 60% intakte Chips. W Ein Glücksrad hat die Felder G und N. Das Feld G erscheint mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 und das Feld N mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Bei einem Spiel wird das Glücksrad fünfmal gedreht. Man gewinnt, wenn dabei mindestens viermal G erscheint. N G a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, dass man bei diesem Spiel gewinnt. b) Max spielt dieses Spiel 20-mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er dabei mindestens 6 Spiele? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim 20. Spiel zum sechsten Mal gewinnt?

36 Lösg-W a) p 0,6 P X 4PX 3 0, , 7% b) p 0,337 wird übernommen PX 6PX 5 0, 746 7, 5% c) p 0, 337 siehe oben Ereignis Y: von 9 Spielen genau 5 zu gewinnen: PY 5 0, 602 und danach noch das 20. Spiel gewinnen: PY 50,337 0,054 5,4% W2 Ein Betrieb produziert für ein großes Unternehmen elektronische Bauteile. Die Ausschussquote beträgt dabei erfahrungsgemäß 5%. Jeweils 20 Bauteile werden ohne Überprüfung in eine Schachtel gepackt und ausgeliefert. Die Herstellungskosten pro Schachtel beitragen 55. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Schachtel - weniger als 6, - mindestens 8 einwandfreie Bauteile? b) Dem Unternehmen werden für jede gelieferte Schachtel 20 berechnet. Allerdings werden die Bauteile im Unternehmen überprüft. Ist in einer Schachtel höchstens ein Bauteil defekt, so zahlt das Unternehmen den vollen Preis. Bei zwei bis vier defekten Bauteilen in einer Schachtel zahlt es nur 50% des Preises. Bei mehr als vier defekten Bauteilen wird die Schachtel nicht bezahlt. Macht der Herstellerbetrieb bei dieser Vereinbarung noch Gewinn?

37 Lösg-W2 a) PX 6 P X 5 0, % mindestens 8 (mache eine Skizze) X PX P X 8 7 0, ,5% b) p 5% defekt p 0,5 WAHRSCHEINLICHKEITEN höchstens Bauteil defekt: PX 0,756 (mit GTR) 2 bis 4 Bauteile defekt: P X PX PX mehr als 4 defekte Bauteile PX 4PX 4 0, , 6543 TABELLE defekte Teile P X x i x ,756 0, ,702 GEWINNERWARTUNG EX20 0, , ,702 60,33 Herstellungskosten : 55 Gewinn : 60, ,33 pro Schachtel W3 Bei einer großen Produktionsserie von Speicherchips beträgt der Ausschussanteil 0%. Chips dieser Serie werden ungeprüft in Packungen zu je 00 Stück verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Packung höchstens 0 defekte Chips? Der Kaufpreis für einen Großabnehmer beträgt pro Packung 800. Mit dem Abnehmer wird vereinbart, dass eine Packung zurückgegeben und der Kaufpreis erstattet wird, wenn mehr als k defekte Chips in der Packung sind. Für eine solche Rücknahme entstehen der Herstellerfirma Kosten in Höhe von 250. Welchen Wert muss k mindestens haben, damit der durchschnittliche Erlös pro Packung mindestens 700 beträgt?

38 Lösg-W3 p 0% defekt p 0, höchstens 0 0 PX 00,065 0,7% 0 X 0 0 TABELLE defekte Teile höchstens k mehr als k x i P X x P X k P X k GEWINNERWARTUNG 800P X k 250 P X k P X k P X k P X k 950 :050 k 0,90476 P X Funktion in Editor Tabelle k 4 W4 [HYPOTHESENTEST] Eine Firma produziert und verkauft im großen Umfang T-Shirts in den Farben- Schwarz, Weiß und Rot. Erfahrungsgemäß sind 40% der verkauften T-Shirts schwarz, 35% weiß und 25% rot. a) Es werden drei T-Shirts nacheinander verkauft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Die drei T-Shirts haben verschiedene Farben." B:,,Mindestens eines der drei T-Shirts ist weiß oder rot." b) Der Geschäftsführer der Firma hat den Verdacht, dass das Kaufinteresse an schwarzen T-Shirts nachgelassen hat. Zur Überprüfung seiner Vermutung kontrolliert er die nächsten 200 verkauften T-Shirts und stellt fest, dass davon2 schwarz sind. Spricht dies bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% für die Vermutung des Geschäftsführers?

39 Lösg-W4 a) Ereignis A : Alle T shirts haben verschiedene Farben.,,,,,,,,,,,, P A P s w r P s r w P w s r P w r s P r w s P r s w Beachte: Alle Teilereignisse sind gleich wahrscheinlich mal 6. PA ,,, 02, 2% Ereignis B : Mindestens eines der drei T - Shirts ist weiß oder rot. 3 3 P B P s, s, s 0, 40 0, , 6 % b) HYPOTHESENTEST (linksseitig) H : p 0, 4 ( Nullhypothese) 0 H : p 0, 4 ( Gegenhypothese) Kontrolle für : n 200 schwarze T shirts : p 0,4 Ablehnung bei : k?? Irrtumswahrscheinlichkeit : 0,05 k0,05 P X k ist gesucht. Ablehnungsbereich Da die Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,4 angenommen wird, macht man einen linksseitigen Test. Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binomcdf) eingegeben und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert, der unter 5 % liegt. Ablehnungsbereich für H ; Annahmebereich für H ; , d.h. H wird akzeptiert , d.h. H wird abgelehnt. ERGEBNIS Da 72 nicht im Ablehnungsbereich liegt, kann man nicht auf ein nachlassendes Kaufinteresse schließen

40 W5 [HYPOTHESENTEST] Der Bekanntheitsgrad einer Sonnencreme in der Bevölkerung liegt bei 35%. Die Geschäftsleitung der Herstellerfirma verspricht ihrer Werbeabteilung eine Bonuszahlung, wenn sie es schafft, innerhalb eines Jahres den Bekanntheitsgrad der Creme zu steigern. Nach Ablauf des Jahres werden 00 Personen befragt. Entwickeln Sie eine Entscheidungsregel für die Vergabe der Bonuszahlung bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) von höchstens 5%. Lösg-W5 HYPOTHESENTEST (rechtsseitig) H : p 0, 35 ( Nullhypothese) 0 H : p 0, 35 ( Gegenhypothese) befragte Personen : n 00 Bekanntheitsgrad : p 0,35 Ablehnung bei : k?? Irrtumswahrscheinlichkeit : 0,05 P X k 0,05 P X k 0,05 k ist gesucht. Ablehnungsbereich Da die Wahrscheinlichkeit größer als 0,35 angenommen wird, macht man einen rechtsseitigen Test. Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binomcdf) eingegeben und dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert, der unter 5% liegt. Ablehnungsbereich für H ; Annahmebereich für H ; , d.h. H wird akzeptiert. 0 43, d.h. H wird abgelehnt. ENTSCHEIDUNGSREGEL Wenn bei 00 Befragten mindestens 44 Personen das Produkt kennen, sollte ein Bonus gezahlt werden

41 W6 [HYPOTHESENTEST] a) Bei einer größeren Gemeinde steht die Entscheidung für eine Umgehungsstraße an. Der Gemeinderat geht davon aus, dass höchstens 45% der erwachsenen Einwohner der Gemeinde für das Projekt sind. Eine Bürgerinitiative für die Umgehungsstraße bezweifelt dies und führt eine Umfrage unter 200 erwachsenen Einwohnern durch. Dabei sprechen sich 0 der befragten Bürger für das Projekt aus. Kann damit die Annahme des Gemeinderats abgelehnt werden, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll? b) Die Bürgerinitiative führt vor einem Einkaufszentrum eine Unterschriftenaktion durch. Wie hoch muss der Anteil p der Befürworter der Umgehungsstraße mindestens sein, damit sich unter 5 zufällig ausgewählten Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% wenigstens ein Befürworter befindet? Lösg-W6 a) HYPOTHESENTEST (rechtsseitig) H : p 0, 45 ( Nullhypothese) 0 H : p 0, 45 ( Gegenhypothese) befragte Personen : n 200 Zustimmungsgrad : p 0,45 Ablehnung bei : k?? Irrtumswahrscheinlichkeit : 0,05 P X k 0,05 P X k 0,05 k ist gesucht. Ablehnungsbereich Ablehnungsbereich für H ; Annahmebereich für H ; , d.h. H wird akzeptiert. 0 0, d.h. H wird abgelehnt. ERGEBNIS Bei 0 Befürwortern beträgt die Zustimmung deutlich mehr als 45%

42 b) MINDESTENS BEFÜRWORTER n5, p??, k, 0,99 PX P X 0,99 0 0,99 TBLSET mit : Tbl 0.00 und TblStart beliebig Aus der. Spalte erhält man: p 60,2 % W7 Eine Firma produziert Akkus, für die eine bestimmte Lebensdauer angegeben wird. Erfahrungsgemäß fällt ein Akku mit der Wahrscheinlichkeit p vorzeitig aus. a) Wie groß darf p höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% höchstens 0 von 00 Akkus vorzeitig ausfallen? b) Von Kundenseite wird der Verdacht geäußert, dass die Wahrscheinlichkeit für einen vorzeitigen Ausfall größer als 0,07 ist. Daher wird die Hypothese H : p 0, 07 mit einer Stichprobe von 200 Akkus überprüft. Wenn davon mehr als 20 Akkus vorzeitig ausfallen, wird die Hypothese abgelehnt. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit? 0 Lösg W7 a) P X 0 0,90 n00 Wahrscheinlichkeit p gesucht. Funktion im Editor eingeben TBLSET mit : Tbl 0.00 und TblStart 0, 05 Tabelle durchsuchen ERGEBNIS: p darf höchstens 7,2 % betragen

43 b) HYPOTHESENTEST (rechtsseitig) H : p 0, 07 ( Nullhypothese) 0 H : p 0, 07 ( Gegenhypothese) geprüfte Akkus : n 200 Fehlerquote : p 0,07 defekte Akkus : k 20 Irrtumswahrscheinlichkeit :?? PX P X ,048 4,2 % ERGEBNIS Die Irrtumswahrscheinlichkeit bei Ablehnung der Nullhypothese (d.h. bei Annahme der Gegenhypothese) beträgt 4,2%. W8 Zwei Maschinen M und M 2, stellen die gleiche Sorte Schrauben her. Erfahrungsgemäß sind % der von Maschine M produzierten Schrauben fehlerhaft. Bei Maschine M 2 sind es 5%. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A:,,Von 00 Schrauben aus der Maschine M sind höchstens zwei fehlerhaft. B:,,Von 200 Schrauben aus der Maschine M 2 sind mehr als 80, aber höchstens 90 einwandfrei." b) Die Schrauben werden in Beutel zu jeweils 500 Stück verpackt und mit einem Aufkleber versehen, auf dem die Maschine vermerkt ist, die sie produziert hat. Gelegentlich fallen diese Aufkleber beim Transport der Beutel ab. In diesem Fall werden einem solchen Beutel 50 Schrauben entnommen und überprüft. Bei höchstens einer fehlerhaften Schraube wird der Beutel der Maschine M, ansonsten der Maschine M 2 zugeordnet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei ein Beutel mit Schrauben, die von der Maschine M produziert wurden, falsch zugeordnet? - 4 -

44 Lösg-W8 a) Maschine geprüfte Schrauben : n 00 Fehlerquote : p 0,0 defekte Schrauben : k 2 Ereignis A : Von 00 Schrauben sind höchsten 2 fehlerhaft. PA P X 2 0, , 06 % Maschine 2 geprüfte Schrauben : n 200 Fehlerquote : p 0,05 defekte Schrauben : 0 X 9 oder 9 X 9 Ereignis B : Von 200 Schrauben sind mindestens 0, aber höchstens 9 defekt. PB P0 X 9 P X 9P X 9 54, 36 % b) Maschine geprüfte Schrauben : Fehlerquote : defekte Schrauben : n 50 p 0,0 k P X 0,9056 9, 06 % für richtige Zuordnung. ERGEBNIS Mit 9,6% Wahrscheinlichkeit wird der Beutel richtig zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit für falsche Zuordnung beträgt also 8,94 %

45 W9 Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn bei einer Drehung 0%. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 0 Drehungen des Rades A: genau einen Hauptgewinn, B: mindestens zwei Hauptgewinne erhält. Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden, damit man mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zwei oder mehr Hauptgewinne erhält? Lösg-W9 bekannt : n 0, p 0,, k Typ : einzeln Ereignis A : genau ein Hauptgewinn PA PX 0, , 74 % bekannt : n 0, p 0,, k Typ : kumuliert Ereignis B : mindestens zwei Hauptgewinne PB PX P X 0, , 39 % bekannt : n??, p 0,, k, 0,8 Typ : kumuliert Ereignis C : zwei oder mehr Hauptgewinne PCPX PX 0, 8 Tabelle ERGEBNIS n 29 Man muss das Glücksrad mindestens 29-mal drehen, damit das Ereignis C mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% eintritt

46 W20 Bei einer Fluggesellschaft ist aus langjähriger Erfahrung bekannt, dass ein Kunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% seinen gebuchten Flug nicht antritt. a) Die Fluggesellschaft setzt für eine bestimmte Strecke eine kleine Maschine mit 70 Sitzplätzen ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 70 Buchungen tatsächlich alle Sitzplätze belegt sind? Die Fluggesellschaft überbucht die Maschine und verkauft 72 Flugtickets. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann dies dazu führen, dass nicht alle Passagiere mitfliegen können? b) Eine größere Maschine der Fluggesellschaft hat 300 Sitzplätze. Wie viele Tickets darf die Gesellschaft maximal verkaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 300 Personen den Flug antreten wollen, weniger als 3% betragen soll? Lösg-W20 a) bekannt : n 70, p 0,95, k 70 Typ : einzeln Ereignis A : genau 70 Plätze belegt P A P X 70 0, , 8 % bekannt : n 72, p 0,95, k 70 Typ : kumuliert Ereignis B : überbelegt um ein oder zwei Plätze PBPX 70 0, 92, 9 % Mit,9% Wahrscheinlichkeit können nicht alle Passagiere mitfliegen. b) bekannt : n 300 x, p 0,95, k 300, 0,03 Typ : kumuliert Ereignis C : überbelegt um x Plätze P C PX 300 0, 03 Tabelle n

47 W2 Für Kühlaggregate werden Pumpen verwendet, die das Kühlmittel transportieren. Eine Pumpe fällt in einem bestimmten Zeitraum mit der Wahrscheinlichkeit p aus. Das Kühlaggregat A besitzt nur eine Pumpe, das Aggregat B vier Pumpen. Die Pumpen in B arbeiten unabhängig voneinander und es darf höchstens eine Pumpe ausfallen, damit das Kühlaggregat B noch funktioniert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das Kühlaggregat B aus, wenn p = 0, gilt? Stellen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit von B als Funktion von p graphisch dar. Für welche Werte von p ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von Aggregat B geringer als die von Aggregat A? Lösg-W2 KUEHLAGGREGAT B bekannt : n 4, p 0,, k Typ : kumuliert Ereignis : mehr als eine Pumpe fällt aus PX P X 0,0523 5,23% bekannt : n 4, p??, k Typ : kumuliert Ereignis : mehr als eine Pumpe fällt aus Editor : Y P X P X GRAPH KUEHLAGGREGAT A bekannt : n, p??, k Typ : einzeln Ereignis : die Pumpe A fällt aus 2 Editor : Y P X GRAPH ERGEBNIS Für p < 23,2 % ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von B geringer als von A

48 W22 Bei einer Lotterie werden Lose verkauft, auf denen jeweils eine von einem Computer zufällig erzeugte sechsstellige Zahl aufgedruckt ist. Jede dieser Zahlen besteht nur aus den Ziffern 0 und, die mit den Wahrscheinlichkeiten 0,75 bzw. 0,25 erzeugt werden. Jedes Los, bei dem die aufgedruckte Zahl mehr als dreimal die Ziffer enthält, ist ein Gewinnlos. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gewinnlos zu erhalten? b) Für Gewinnlose gilt der folgende Auszahlungsplan: Anzahl der Ziffern auf dem Gewinnlos Auszahlumg Die Lotteriegesellschaft will pro Los durchschnittlich mindestens 0,50 verdienen. Wie muss dazu der Preis für ein Los kalkuliert werden? Lösg-W22 a) GEWINNLOS bekannt : n 6, p 0,25, k 3 Typ : kumuliert Ereignis A : Gewinn bei mehr als drei Einsen P A P X 3 P X 3 0, , 76 % b) AUSZAHLUNGSWERT P( X 4) 0, und P( X 5) 0, und P( X 6) 0, E( X) 5 P X 4 50 P X P X 6 0,5065 0,5 KALKULATION Langfristig müssen pro Los durchschnittlich 0,5 ausgezahlt werden. Da der Gewinn pro verkauftem Los mindestens 0,50 betragen soll, muss ein Los mehr als Euro kosten

49 W23 In einer Prüfung muss ein Kandidat 60 Fragen beantworten. Zu jeder Frage werden 5 Antworten angeboten, von denen nur eine richtig ist. Es darf jeweils nur eine Antwort angekreuzt werden. a) Zum Bestehen der Prüfung müssen mehr als l5 Fragen richtig beantwortet werden. Ein ahnungsloser Prüfling kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung? b) Die zum Bestehen notwendige Anzahl richtiger Antworten soll neu festgelegt werden. Bei zufälligem Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen der Prüfung höchstens 3% betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dazu mindestens verlangt werden? Lösg-W23 a) SIGNIFIKANZ BESTIMMEN bekannt : n 60, p /5, k 5 Typ : kumuliert Ereignis A: Prüfung per Zufall bestanden PX P X 5 5 0,306 3,% b) SIGNIFIKANZ ABSENKEN bekannt : n 60, p /5, k??, 0,03 Typ : kumuliert Ereignis B : Prüfung per Zufall bestanden P X k P X k 0,03 k

50 W24 Eine Firma produziert elektrische Rasierapparate. Erfahrungsgemäß sind 6% der produzierten Apparate defekt. Um die defekten Rasierapparate vor dem Verkauf auszusondern, werden alle Geräte überprüft. Bei dieser Überprüfung kommt es bei den defekten Geräten mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 und bei den intakten Geräten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0 zu einer Fehlentscheidung. Alle bei der Überprüfung als intakt deklarierten Geräte werden zum Verkauf freigegeben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei der Kontrolle eines Rasierapparats zu einer Fehlentscheidung kommt? b) Bei wie vielen von produzierten Rasierapparaten kann man mit einer Verkaufsfreigabe rechnen? *Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Anzahl der tatsächlich freigegebenen Apparate um höchstens 25 davon ab? *(schwierig) Lösg-W24 a) defekt 0,9 0,09 ausgesondert BAUMDIAGRAMM 0,06 verkauft 0,94 verkauft 0,99 intakt 0,0 FEHELENTSCHEIDUNGEN / / P A P defekt verkauft P intakt ausgesondert ausgesondert PA ( ) 0,060,09 0,940,0 0,048,5 % b) VERKAUFSFREIGABE PB ( ) 0,060,09 0,940,99 0,936 93,6 % Rasierapp. werden freigegeben. ABWEICHUNG (ist sowohl nach unten als auch nach oben möglich) PC P X P X PC PX 9385 PX9334 0, %

51 W25 Ein Hersteller von Fliesen hat erfahrungsgemäß 0% Ausschuss. Ein Großabnehmer einigt sich mit dem Hersteller auf folgende Abnahmeregel: Eine Sendung geht sofort zurück, wenn in einer Stichprobe von 20 Fliesen mehr als 4 Fliesen beschädigt sind. Sind 3 oder 4 Fliesen beschädigt, so wird die zweite Stichprobe vom Umfang 50 entnommen. Sind in dieser mehr als 5 Fliesen beschädigt, wird die Sendung endgültig zurückgegeben. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Hersteller mit einer Rücksendung der Fliesen rechnen? b) Der Hersteller will das Risiko einer Rücknahme senken. Dazu soll die Regel bei der zweiten Stichprobe bezüglich der Anzahl der beschädigten Fliesen abgeändert werden. Wie muss die Änderung aussehen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine Rücksendung unter 6% liegt? Lösg-W25 a) mehr als 4 beschädigt 3 oder 4 beschädigt RÜCKGABE mehr als 5 beschädigt RÜCKGABE RÜCKSENDUNG P A P X P X P Y sonst ANNAHME PX P X 4 4 0, 0432 (binomcdf(20, 0., 4) P 3 X 4 P X 4 P X 2 0, 2799 PY PY5 5 0,3839 (binomcdf(50, 0., 5) P A P X 4 P 3 X 4 P Y 5 0,506 5 % b) P B P X 4 P 3 X 4 P Y k 0,06 Folgende Funktion im Editor eingeben: 0,0432 0,2799 PYk 0,06 k 8 ERGEBNIS bei der zweiten Stichprobe werden, mehr als 8 defekte Fliesen gefordert

52 FORMELSAMMLUNG DEFINITON DER WAHRSCHEINLICHKEIT (klassisch) P E Anzahl der günstigen Fälle g Anzahl er möglichen Fälle m P Wahrscheinlichkeit E Ereignis Gilt nur bei gleichwahrscheinlichen Ereignissen, für sogenannte Laplace - Experimente. ELEMENTARE REGELN 0 P E P E 0 unmögliches Ereignis P E sicheres Ereignis P A und B P A P B für unabhängige Ereignisse P A oder B P A P B für Ereignisse die nicht gleichzeitig auftreten können P A oder B P A P B P A und B bei Überschneidungen P A P nicht A Gegenereignis von A=A A P P A BAUMDIAGRAMME / PFADREGELN Regel : Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Regel 2: Quer zu den Pfaden werden die Wahrscheinlichkeiten addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer gleich. Wahrscheinlichkeiten multiplizieren Wahrscheinlichkeiten addieren

53 BERNOULLI-KETTEN DEFINITION. Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen Erfolg und Misserfolg heißt Bernoulli - Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für die Misserfolgs -Wahrscheinlichkeit q gilt dann q 2. Wird ein Bernoulli - Experiment n - fach wiederholt, ohne dass sich dabei p und q verän dern, so spricht man von einer Bernoulli - Kette der Länge n. p. Bernoulli Kette : n Experimente mit genau k Treffern n P X k p p mit GTR binom df n p k k k n k p,, Bernoulli Kette : n Experimente mit kumuliert k Treffern n P X k p p mit GTR binom df n p k k k n k c,, ÜBERSICHT ERWARTUNGSWERT E X x P X x x2 P X x2... xn P X x x i Einzelgewinne bzw. Verluste P X x Einzelwahrscheinlichkeiten [ mit GTR binom p df ] i n - 5 -