Physik der Teilchenbeschleuniger

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1 11 Physik der Teilchenbeschleuniger Prof Dr Otmar Biebel Inhalt der Vorlesung: Einführung in die Teilchenbeschleuniger Teilchenbeschleunigeroptik Teilchenablenkung durch Magnete Teilchenbewegung im Kreisbeschleuniger Betatron-Oszillationen starke und schwache Fokussierung, Phasenfokussierung Luminosität, Strahlemittanz Liouville Theorem Strahlkühlung Synchrotronstrahlung Linear- vs Kreisbeschleuniger Supraleitende Beschleuniger Korrektur nicht-perfekter Strahloptik (Folien) im WWW biebelbeschleuniger Termin der Vorlesung: Donnerstags Uhr, Seminarraum: 416 Beginn: 23 Oktober 2003 Prof Dr O Biebel WS

2 Literatur zur Vorlesung 12 Literatur zur Vorlesung Eine kleine Auswahl: Wiedemann: Particle Accelerator Physics, Vol1&2 (Springer), Conte, MacKay: Introduction to the Physics of Particle Accelerators (World Scientific), Wille: The Physics of Particle Accelerators (Oxford University Press), Hinterberger: Physik der Teilchenbeschleuniger (Springer), CERN Accelerator School: 5th General Accelerator Physics Course, CERN Vol1&2: Report&id=94-01 v1, Report&id=94-01 v2, [Wille: Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen (Teubner)] [Daniel: Beschleuniger (Teubner)] Prof Dr O Biebel WS

3 Geplante Themen der Vorlesung 13 Geplante Themen der Vorlesung 1 Einleitung, Motivation (a) Historie (b) Übersicht von Konzepten (c) Anwendungen (d) Prinzipielle Aufbau eines Beschleunigers 2 Lineare Beschleuniger (a) Prinzipien (b) HF-Beschleuniger 3 ZirkulareKreis-Beschleuniger (a) Betatron (b) Schwache Fokussierung, adiabatische Dämpfung (c) Microtron, Synchro-Isochron-Zyklotron (d) Synchrotron 4 Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern (a) Lorentzkraft (b) Grundlagen zur Optik von Strahlen geladener Teilchen (c) Multipolfeld-Entwicklung für Magnete (d) Bewegungsgleichung der Teilchenstrahldynamik (e) Generelle Lösungen der Bewegungsgleichung 5 Lineare Strahldynamik (a) Matrizen-Formalismus (b) Fokussierung in Ablenkmagneten (c) Teilchenstrahlen und Phasenraum: Emittanz und Liouville-Theorem (d) Betatron Funktion und Strahleinhüllende (e) Weglänge und Momentum compaction Prof Dr O Biebel WS

4 Geplante Themen der Vorlesung 14 6 Periodische Fokussierungssysteme (a) Combined function vs separated function : FODO-Struktur (b) Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen (c) Strahldynamik in geschlossenen periodischen Strukturen (d) Dispersion in periodischen Strukturen (e) Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 7 Störungen in der Strahldynamik (a) Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder (b) Chromatische Effekte in Kreisbeschleunigern 8 Beschleunigung geladener Teilchen (a) Longitudinale Teilchenbewegung (b) Longitudinaler Phasenraum 9 Synchrotron-Strahlung (b) Kohärente Abstrahlung (c) Wiggler und Undulatoren 10 Teilchstrahlparameter (a) Allgemeine Parameter (Energie, Zeitstruktur, Strom, Dimensionen) (b) Dämpfung, Dämpfungspartitionen (c) Teilchenverteilung im Phasenraum (d) Strahlemittanz und Wiggler-Magnete 11 Strahllebensdauer (a) Beträge zur Strahllebensdauer 12 Kollektive Phänomene (a) Linear Raumladungseffekte (b) Strahl-Strahl-Effekte (c) Wake-Felder (Kielwasser-Effekte) (d) Strahlinstabilitäten (a) Physikalische Grundlagen Prof Dr O Biebel WS

5 Geplante Themen der Vorlesung Strahlemittanz (a) Strahlemittanz in Speicherringen (b) Optimale Emittanz 14 Strahlkühlung (a) Strahltemperatur (b) Stochastische Kühlung (c) Elektronkühlung (d) Ionisationskühlung (e) Laserkühlung 15 Existierende, zukünftige und alternative Beschleunigerkonzepte (a) LEP, Tevatron, PEP-II, KEKB (b) LHC (c) Linear-Collider: NLC, Tesla, Clic (d) Myon-Beschleuniger (e) Neutrino- Beschleuniger (f) Free-Elektron-Laser (g) LaserTeilchenstrahl-Plasma-Beschleuniger Prof Dr O Biebel WS

6 Einleitung, Motivation 16 Einleitung, Motivation Untersuchung der Struktur der Materie: Auflösungsvermögen Auflösungsvermögen Wellenlänge : Materiewellenpostulat von de Broglie (1926): höhere Impulse kleinere Strukturen Teilchenbeschleuniger liefern Teilchen mit hohen Impulsen (ia Teilchenenergie; Nicht-relativistisch aber unterschiedlich) Beschleunigergrundprinzip: Energiegewinn beim Durchlaufen eines elektrischen Potentials: Höhere Spannungsdifferenz höhere Energie Praktische Grenzen: zb elektr Überschläge, Entladung Prinzip anwendbar: elektr geladene Teilchen mit genügend langer Lebensdauer (relativistische Effekte Beschleunigung kurzlebiger Teilchen, zb Myonen) Prof Dr O Biebel WS

7 Zusammenhang mit anderen Fachgebieten 17 Zusammenhang mit anderen Fachgebieten Elektro- und Magnetostatik bzw Elektro- und Magnetodynamik dh konkrete Lösungen der Maxwell Gleichungen), Supraleitung, Hochfrequenztechnik, (elektromagnetische) Matritzenoptik, Resonanztheorie, Hamiltonsche Theorie, Vielteilchentheorie, Chaostheorie Unzweifelhaft ist die Physik der Teilchenbeschleuniger vor allem angewandte Elektro- und Magnetodynamik! Prof Dr O Biebel WS

8 Einsatzgebiete für Beschleuniger 18 Einsatzgebiete für Beschleuniger Kernphysik Elektron-Proton-Beschleuniger Ionen-Beschleuniger-Collider Gleichstrom-Teilchenstrahlen ( Stretcher ) Hochenergiephysik Fixed target -Beschleuniger Speicherring-Beschleuniger-Collider Linear-Beschleuniger Energieerzeugung Inertial Fusion Kernbrennstoffbrüten Fissionsreaktor Industrie Radiographie mit Röntgenstrahlen Ionen-Implantation Isotopen-Herstellung-Trennung Material-Untersuchungen Nahrungsmittel-Sterilisation Elektronen-Röntgenstrahl-Lithographie Synchrotron-Strahlung Grundlegende Atom- und Molekülphysik Festkörperphysik Geowissenschaften Materialwissenschaften Chemie Molekular- und Zell-Biologie Oberflächen-Grenzflächenphysik Kohärente Strahlung Freie-Elektronen-Laser (FEL) Mikroproben Holographie Medizin Radiotherapie Digitale Subtraktions-Angiographie minimal invasive Behandlungen mit abstimmbaren FELs Prof Dr O Biebel WS

9 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 19 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger viele Beschleuniger an Forschungslabors Einige der höchstenergetischen sind: momentan laufend: HERA, Tevatron bis vor Kurzem genutzt: LEP, SLC in Bau: LHC in konkreter Planung: NLC, Tesla Prof Dr O Biebel WS

10 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 110 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 1: HERA-Beschleuniger (Positron auf Proton) am DESY in Hamburg

11 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 111 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 2: Tevatron-Beschleuniger (Protonen auf Antiproton) am FNAL bei Chicago

12 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 112 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 3: SLC-Beschleuniger (Elektron auf Positron) am SLAC in Stanford (USA)

13 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 113 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 4: LEP-Beschleuniger (Elektron auf Positron) am CERN bei Genf

14 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 114 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 5: LHC-Beschleuniger (Proton auf Proton) am CERN bei Genf

15 Höchstenergie-Teilchenbeschleuniger 115 Abbildung 6: Tesla-Beschleuniger (Elektron auf Positron) Prof Dr O Biebel WS

16 Historie 116 Historie Die geschichtliche Entwicklung birgt drei Linien: 1 Gleichspannungsbeschleunigung Entdeckung der Teilchenstrahlung: Kathodenstrahlen, dh Elektronenstrahlen (Plücker 1858) und Kanalstrahlen (Goldstein 1886): positive Ionenstrahlen atomphysikalische Untersuchungen: Anregung von Luftmolekülen durch Kathodenstrahlen (Lenard 1894) Anregung von Atomen durch Elektronbestrahlung: Franck-Hertz-Experiment (1913) Kernphysik: Spaltung von Lithium-Kernen durch Proton-Beschuss (Cockcroft und Walton 1932, ua) 2 Resonante Beschleunigung 3 Strahlungstransformatoren Prof Dr O Biebel WS

17 Historie 117 Die erste Linie entsprang der natürlichen Forschungsentwicklung : Bedarf höherer Teilchenenergien und -impulse zur Klärung der Kernstruktur der Materie, va: höher, als aus natürlichen radioaktiven Quellen Die zweite & dritte Linie: anfangs eigenständige Beschleunigerentwicklungen, ersetzten erste Linie, nachdem dort praktikable Grenzen erreicht Prof Dr O Biebel WS

18 Historie 118 Tabelle 1: Hauptlinie der Beschleunigerentwicklung 1894 Lenard: Elektronstreuung an Gasmolekülen Gasentladungsrohr 100 kev Elektronen 1913 Franck und Hertz: Anregung von Atomorbitalen durch Elektronenbeschuss 1906 Rutherford: Streuung von -Teilchen an Folien natürliche radioaktive Quellen 1919 Rutherford: Nuklearreaktion induziert mit -Teilchen MeV-Energien für Kernstruktur- Untersuchungen vermutet 1928 Gurney und Gamov sagen Tunneleffekt für Kernreaktionen voraus 500 kev Energie könnten genügen 1928 Cockcroft&Walton entwerfen, ermutigt durch Rutherford, einen 800 kv Generator 1932 Generator erreicht 700 kv, Cockcroft&Walton spalten Lithium-Kern mit 400 kev Protonen Prof Dr O Biebel WS

19 Cockcroft-Walton-Beschleuniger 119 Cockcroft-Walton-Beschleuniger Skizze der Originalapparatur von Cockcroft&Walton: Prof Dr O Biebel WS

20 Cockcroft-Walton-Beschleuniger 120 Protonen aus Entladungsrohr (oberes Ende), Quelle auf 400 kv Potential, Protonen im Vakuumrohr beschleunigt auf Lithium-Target (Erdpotential, unteres Ende), Szintiallationsschirm&Mikroskop: Beobachtung der Spaltprodukte auf Li + 2 p He Cockcroft-Walton-Generator (auch: -Kaskade): Design für 800 kv erreichte Maximalspannung 700 kv (wg HV-Entladungen) Heute als Eingangsbeschleuniger genutzt (hohe Strahlströme) Prof Dr O Biebel WS

21 Cockcroft-Walton-Beschleuniger 121 Prof Dr O Biebel Abbildung 7: Cockcroft-Walton-Kaskade und -Beschleuniger am CERN WS

22 ! van de Graaff-Generator 122 van de Graaff-Generator Van de Graaff: elektrostatischen Generator (um 1932), Spannung von 15 MV, ab 1932 in (kern-)physikalischen Untersuchungen, Höhere Spannungen: van de Graaff- Generator in einem Drucktank (Gas mit hoher Durchschlagsfeldstärke, zb Schwefelhexafluorid SF, bei Drücken von 9-10 bar) Prof Dr O Biebel WS

23 Tandem-van de Graaff-Beschleuniger 123 Tandem-van de Graaff-Beschleuniger Weiterentwicklung: Beschleuniger Tandem- zunächst negativ geladene Ionen beschleunigt, im Zentrum positiv umgeladen (zb durch dünne (Stripper-)Folie), erneut volles elektrostat Potential zur Beschleunigung Van de Graaff-Generatoren und Tandem-Beschleuniger: "Teilchenstrahlen mit sehr stabiler Energie, "sehr geringe Energiestreuung, jedoch geringere Strahlströme als Cockcroft-Walton-Kaskaden Prof Dr O Biebel WS

24 $ Tandem-van de Graaff-Beschleuniger 124 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 8: 16 MV 32 ( MeV) Tandem-Beschleuniger am Maier-Leibnitz-Labor in Garching

25 Zweite Entwicklungslinie 125 Zweite Entwicklungslinie 1924 Ising schlägt zeitlich variierende Felder zwischen Driftröhren vor: Das Grundprinzip der resonanten Beschleunigung, mit dem Energien oberhalb der höchsten Spannung im System erreicht werden können 1928 Wiederöe demonstriert Isings Prinzip mit einem 1 MHz und 25 kv Oszillator bei der Erzeugung von 50 kev Kaliumionen 1928 Lawrence erfindet, inspiriert durch Wideröe und Ising, das Zyklotron 1931 Livingston demonstriert das Zyklotron durch Beschleunigung von Wasserstoffionen auf 80 kev 1932 Lawrence erzeugt mit seinem Zyklotron Protonen mit 125 MeV und spaltet damit Atome nur wenige Wochen nach Cockcroft und Walton Prof Dr O Biebel WS

26 () ' * & ( Zweite Entwicklungslinie 126 Unterschied zwischen Gleichspannungs- und resonanten Beschleunigern: Felder statisch (dh konservativ) oder Felder zeitabhängig (dh nicht-konservativ) Materiefreie Maxwell-Gleichung für elektrisches Feld: +-, wobei CB E 5 ; ' $ 4 & & 0 * statische Felder in Cockcroft-Walton- und van de Graaff-Beschleunigern Teilchen gewinnt gemäß Potentialdifferenz Energie auf Weg von (1) nach (2) Nach Rückkehr zu (1) aber zurück auf Anfangspotential, dh kein Energiegewinn auf geschlossenen Wegen! (Mit Stokesschem Satz: :9 ; < = 9 > 5 2 < 7 8A@ > < 7 F) Prof Dr O Biebel WS

27 I ( () J L NM H K G () & 0 ( * () ( Zweite Entwicklungslinie 127 Zeitabhängige Felder in +-, : mit Faradaysches Gesetz: Magnetfeldänderungen elektrisches Feld 2 Linie: =const & + ) Beschleunigung (Ising) 3 Linie: Beschleunigung (Betatron) Prof Dr O Biebel WS

28 2 Isings und Wideröes Linearbeschleuniger 128 Isings und Wideröes Linearbeschleuniger lineare Kette von leitenden Driftröhren, an Hochfrequenz angeschlossen, Teilchen entlang Längsachse, Hochfrequenz synchron zum Teilchenflug: Teilchen zwischen Driftröhren, wenn beschleunigendes 3-Feld, sonst im feldfreien Raum einer Driftröhre Driftröhrenlänge wächst mit Teilchengeschwindigkeit Wideröe hat 1928 den ersten funktionierende Beschleuniger nach Isings Vorschlag gebaut Prof Dr O Biebel WS

29 Isings und Wideröes Linearbeschleuniger 129 Offene Wideröe-Struktur: bei niedrigen Frequenzen unhandlichen Driftrohrlängen, bei hohen Frequenzen starke HF-Leistungsverlusten Alvarez-Struktur: Driftröhren in einer Struktur eingeschlossen, bilden Resonator für die eingekoppelte HF (Cavity) Heutige Hochenergiebeschleuniger (kreisförmig oder linear) nutzen dieses Prinzip! (HF-Frequenzen bis in den GHz-Bereich) Prof Dr O Biebel WS

30 $ Zyklotrons 130 Zyklotrons Linearbeschleunigerstruktur (engl Linear Accelerator, kurz Linac) technisch schwierig Entwicklung einfacher realisierbarer Zyklotrons mit konstanter Frequenz durch Lawrence 1929 : Livingston: 80 kev Wasserstoff- Ionenstrahl-Zyklotron (1931) Lawrence: 125 MeV Protonen- Zyklotron (1932, s Abb) 1939: 20 MeV Protonen aus Ø 160 cm Zyklotron (Uni of California) ( O2 ;höchste Energie aus P-Zerfall) Relativistische Effekte limitierten maximale Energie, Synchro- und Isochron-Zyklotrons (variable Frequenz bzw Magnetfeld) heutigen Kreisbeschleuniger: Synchrotron-Prinzip (su) Prof Dr O Biebel WS

31 Zyklotrons 131 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 9: Foto von Lawrence Zyklotron (1929): Ø ca 10 cm

32 Zyklotrons 132 Prof Dr O Biebel Abbildung 10: Lawrence 12 MeV Zyklotron (1932): Ø ca 30 cm WS

33 Dritte Entwicklungslinie 133 Dritte Entwicklungslinie 1923 Wideröe entwirft & skizziert als Student in seinem Laborbuch das Betatron mit der 1:2 -Regel und fügt 2 Jahre später die radiale Stabilitätsbedingung hinzu (aber er veröffentlich nicht!), 1927 in Aachen baut Wideröe ein Betatronmodell, das nicht funktioniert; Er wendet sich daraufhin Linearbeschleunigern zu, 1940 Kerst erfindet das Betatron neu und baut ein lauffähiges 22 MeV Elektron-Betatron, 1950 Kerst baut das weltgrößte Elektron-Betatron (300 MeV) Prof Dr O Biebel WS

34 () & 0 L NM ( Dritte Entwicklungslinie 134 Zwei Anwendungsmöglichkeiten des Faradayschen Gesetzes K wurden angesprochen (s Folie 127): Linearbeschleunigung in Cavities (Ising) Zirkularbeschleunigung (Betatron) zirkulares, zeitlich variierendes axiales, beschleunigendes -Feld -Feld axiales, zeitlich variierendes -Feld zirkulares, beschleunigendes -Feld Wideröes Vorschlag: Zirkulare Beschleunigung durch Strahlungstransformator bzw Betatron Prof Dr O Biebel WS

35 $ Betatron 135 Betatron Prinzip: Teilchenstrom Sekundärspule in Transformator Stabiler Orbit des Teilchenstroms durch angepasste 1:2-Bedingung -Feldzunahme "Unabhängigkeit von relativistischen Effekten geeignet für Elektronenbeschleunigung "Einfaches, robustes, kostengünstiges Beschleunigungsprinzip zb Einsatz in Krankenhäusern) "Fokussierung und Synchronisation der Strahlenergie allein durch Geometrie des Magneten bestimmt Betatron-Oszillationen der Teilchen um Soll-Orbit große Amplituden! Prof Dr O Biebel WS

36 W SU S J ST R Synchrotron-Beschleuniger 136 Synchrotron-Beschleuniger Bis 1940 wurden drei Beschleunigungsmechanismen vorgeführt: DC-Beschleunigung HV-Überschläge&Entladungen Resonante Beschleunigung Synchronität zwischen HF & relativist Teilchen Betatron-Mechanismus Betatron-Oszillationsamplitude Alle besitzen bestimmte Vorzüge, aber auch Limitierungen in der erreichbaren Energie 1944 McMillan und Veksler entdecken das Prinzip der Phasenstabilität zwischen Teilchen und HF 1944 Veksler erfindet das Synchrotron ( (auch: constant-gradient Fokussierung) const, Q + ) ) mit schwacher Fokussierung 1950 Christofilos schlägt die starke Fokussierung vor (auch: alternating-gradient (AG) Fokussierung, 1952 von Courant, Livingston, Snyder erstmals veröffentlicht) Konzept: fokussierende und defokussierende Linsen im Abstand Brennweiten Gesamtbrennweite V: SYX V V SZX ST SU ST SU " R [\ ] R R W W Prof Dr O Biebel WS

37 Synchrotron-Beschleuniger 137 Beispiele für Synchrotrons mit schwacher Fokussierung 1952 Cosmotron 3 GeV Protonen 1949 Elektronen 1955 Bevatron ^6 GeV Protonen ( Entdeckung des Antiprotons, ca t Fe) Beispiele für Synchrotrons mit starker Fokussierung 1954 Cornell 11 GeV Elektronen 1954 AG-Synchrotron 11 GeV Elektronen (Cornell Uni) 1959 CERN PS (Proton Synchrotron) 26 GeV Protonen (ca 3600 t Fe) 1972 CERN ISR (Proton-Proton-Collider GeV) 1981 CERN SPS (Proton-Antiproton-Collider bis GeV) 1987 FNAL Tevatron (Proton-Antiproton-Collider bis GeV) 1989 CERN LEP (Elektron-Positron-Collider bis GeV) 2002 FNAL Tevatron (Proton-Antiproton-Collider bis GeV) 2007 CERN LHC (Proton-Proton-Collider bis GeV) Prof Dr O Biebel WS

38 Synchrotron-Beschleuniger 138 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 11: Bevatron-Synchrotron

39 Synchrotron-Beschleuniger 139 weitere (wichtige) Entwicklungen: Klystron-HF-Leistungsquelle bis zu GHz, (Hansen und Gebrüder Varian, 1937) Stochastische Kühlung Akkumulation von Antiprotonen, (van de Meer, 1972) Supraleitung für Magnete höhere (Proton-)Strahlenergie, zb Tevatron, HERA Supraleitung für Cavities Geographical Transition größere (Elektron-)Beschleunigungsgradienten, zb LEP Beschleuniger auch unter Grundbesitz, der nicht zum Labor gehört, zb HERA, LEP Radiofrequenz-Quadrupol-Beschleuniger (RFQ) (Kapchinsky und Teplyakov, 1970) Prof Dr O Biebel WS

40 Livingston-Diagramm 140 Livingston-Diagramm geht auf Livingston zurück, ^exponentielle Zunahme der Beschleunigerenergie mit der Zeit, getrennte, aber ^parallele Entwicklungslinien für Proton- und Elektron-Beschleuniger, belegt erfolgreichen und kontinuierlichen Fortschritt in der Beschleuniger-Technik, Energie- Sättigung für heutige Zeit angedeutet Neue Beschleunigertechniken harren ihrer Entwicklung! Myon-Beschleuniger, Plasma-Beschleuniger, Laser-Beschleuniger, Drive-beam -Beschleuniger, (NB: Neue Techniken zielen meist auf Steigerung der Beschleunigungs-Gradienten) Prof Dr O Biebel WS

41 Livingston-Diagramm 141 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 12: Livingston-Diagramm

42 Elemente eines Beschleunigers 142 Elemente eines Beschleunigers Grob umfasst ein Beschleuniger folgende Komponenten: Teilchenquelle Vorbeschleunigerstufe (häufig mit Teilchenquelle kombiniert) Injektor in (nächste) (Vor-)Beschleunigerstufe Ejektor aus (Vor-)Beschleuniger (für fixedtarget Betrieb) Höchstenergie-Beschleuniger benutzen meist mehrere ( [2) Vorbeschleunigerstufen, zb für LEP: 4 Vorbeschleuniger + Hauptbeschleuniger Prof Dr O Biebel WS

43 ` O a` b f g $ _ ' J _ Lineare Beschleuniger 21 Lineare Beschleuniger Prinzip (elektrostatischer Beschleuniger): Teilchen mit Ladung aus Quelle (hier: Kathode) durchlaufen Potentialdifferenz einer Lochelektrode (hier: Anode) (übliche Einheit: `ev erzielen Energiegewinn Fc 4 Fed J) zu (Nach diesem Prinzip funktionieren auch (Fernseh-) Bildröhren) höhere Energie höhere Potentialdifferenzen Entwicklung von Hochspannungsquellen (HV-Quellen): Greinacher-Kaskade, van de Graaff, Tesla-Transformator, Marx-Generator Limitierung durch HV-Überschläge und -Entladungen Prof Dr O Biebel WS

44 HV-Quellen 22 HV-Quellen Greinacher (1921): Ausgangsspannung nach hstufen: l m k i j h Spannungsabfall unter Laststrom k: n hqp h X j s o r W " " h W W Brummspannung unter Laststrom k: + h v wx l 2 10 khz k l m " W h k (Für Bildröhren typischerweise t 7 ustufen) Typische Werte: m 1-10 nf i kv ^100 ma Einsatz für Vorbeschleuniger und Injektoren (zunehmend durch Quadrupol-Radiofrequenz-Beschleuniger (RFQ-Linacs) ersetzt) Prof Dr O Biebel WS

45 j HV-Quellen 23 van de Graaff: elektrische Ladung y auf isoliertes Transportband aufgesprüht innerhalb Hohlraum-Kondensator abgegeben Kapazität eines Kugelkondensators: m { j y i Q r z z Hochspannung für y : `! y m Limit: iw durch Korona-Entladung bis 20 MV, wenn in Drucktank mit isolierendem Gas, zb SF, NX, COX, gefüllt bei hohem Druck Pascheneffekt (Isolationsvermögen } Druck) doppelter Ladungstransports durch zusätzliche Influenz-Spannungsquellen Ausführungen: Laddertron (Metallklammern auf Transportband), Pelletron (Metallkugeln) Prof Dr O Biebel WS

46 HV-Quellen 24 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 13: 5 MV van de Graaff im Hahn-Meitner-Institut, Berlin

47 HV-Quellen 25 Tandem-Beschleuniger: zunächst negativ geladene Ionen beschleunigt, im Zentrum positiv umgeladen (zb durch dünne (Stripper-)Folie), erneut volles elektrostat Potential zur Beschleunigung Prof Dr O Biebel WS

48 ƒ } 3 7 ~ HV-Quellen 26 Marx-Generator: zunächst Aufladung parallel-geschalteter Kondensatoren aus HV-Quelle langsam über Widerstände Reihenschaltung der Kondensatoren schlagartig über Funkenstrecken kurze Spannungspulse ( 1 s) bis 100 kv Einsatz zb in gepulsten Quellen, Induktions-Linacs (Beschleunigung mit Induktionsspannung: ) Prof Dr O Biebel WS

49 h k ˆ Š h ˆ Š Beschleunigung mit HF-Feldern 27 Beschleunigung mit HF-Feldern Beschleunigung erfordert: longitudinales -Feld richtige Polarität (Synchronität) gebündelte Teilchen im Strahl ( bunched beam ) Bunchlänge ( 7 ŒŽ ) Bunchabstand, t=t 0 t=t >t 1 0 Isings Idee (1924), Wideröes Realisierung (1928): Lineare Kette von Beschleunigungstrecken mit HF-Generator verbunden Prof Dr O Biebel WS

50 œ Beschleunigung mit HF-Feldern 28 š ž 1 i " ž 1 1 Driftröhren mit HF verbunden beschleunigendes -Feld Teilchen zwischen Driftröhren sonst im feldfreien Raum einer Driftröhre Teilchen surft auf elektromagnetischer Welle (mit Phase kinetischer Energiegewinn: ) kin i d š Flugzeit von W: Ÿ Ÿ Ÿ X für Ÿ f X Š Š ª f kinet Energie nach : kin «Ÿ X ª: Ÿ i für Š Š ª ž 1 Referenzphase und kin Phasenstabilisierung Ÿ ª: und Ÿ Š bestimmen kin Beschleunigerenergie festgelegt! Prof Dr O Biebel WS

51 Ÿ Š ± Š Š Š ³ ² Ÿ O X Ÿ Š W Ÿ Š f Beschleunigung mit HF-Feldern 29 Einige Überlegungen zur offenen Struktur von Wideröes-Linearbeschleuniger: Länge der ten Driftröhre: Ÿ zb } cund 77 MHz O107 m! sehr langer Beschleuniger für geringe Frequenzen höhere Frequenzen kürzerer Beschleuniger mittlere Abstrahlleistung eines Dipols: Abstrahlverluste steigen mit vierter Potenz der Frequenz geringere Frequenzen geringere HF-Verluste geschlossene HF-Struktur HF-Resonatoren (Cavities) in Alvarez-Struktur verhindern Abstrahlverluste Prof Dr O Biebel WS

52 Beschleunigung mit HF-Feldern 210 Einschub zu SI- vs Gauss-Einheiten (aus FKKneubühl: Repetitorium der Physik): Prof Dr O Biebel NB: Gauss-Einheiten in diesem Skript! WS

53 Beschleunigung mit HF-Feldern 211 Prof Dr O Biebel WS

54 3  3 i t t + ¼ ¾ W 0 & W ª () ª µ & W ( ª () & & 0 W ( ª X 1 + À ) i 1 ¹Žº Ÿ» d ¾ Á1 & X 1 " 1 \ l X ) i ¹Žº Ÿ» d½¼ ª X () X & X \ ( X \ & 0 " r + z r µ (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter 212 (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter Ausgangspunkt sind (auch hierfür) die Maxwellschen Gleichungen (in Gauss-Einheiten!): Im Folgenden: Materiefrei z W, Aus & 0 + & + & & X folgt damit die Laplace-Gleichung im Vakuum (dh 7 F): mit der Lösung: Vereinfachung: betrachte nur beschleunigende -Komponente: fürs azimutale Feld =Ä Å 7  4 ÆÇ È =ÄÉ =ÄÊ, mit Periodizität Prof Dr O Biebel WS

55 1 Å 3 Â Õ) und 2 Art ( 3 Die transversalen Komponenten ( 9 1 Õ Ô Ò * Ö Ó Ô Ò Ò Ô Í Ò W ( + W Ò Â und mit Grenzwellenzahl ª J + W ( + W Í X 1 Ë 1 + Î " * Õ Ô + Î ( X 1 " ( 1 " X Ï 1 \ Î X ( X h X & X Ë ( X ( X " ( " X ( X (Ð X ª X & X Ë 1 " Î X Ï 1 \ l X (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter 213 Trennung des Laplace-Operators (mit 1 7 Ì X ): J & X in longitudinalen ( & X J ( X (À X ) und transversalen ( & X ) Anteil ergibt Im Folgenden: zylindersymmetrische Wellenleiter Zylinderkoordinaten Mit X ( X (Ð X Â + l h X X Î X X Î X : Lösung dieser DGL durch Bessel-Funktionen 1 ( Ó Ô ): dabei * \, sonst Singularität: Diese Lösung repräsentiert viele mit den Randbedingungen verträgliche Moden (Analog für Å Å Â + Î i Ø ) folgen mit ; 2 3 und9 ; 2 hfür die ) -Feldkomponente Prof Dr O Biebel WS ÑÐ À

56 1 àá à Ô ÜÛ 1 Ù 1 Ù Å F ã wä š 2 I ß À Þ Ý Ý Ý Ý H Þ Ý Ý Ý Ð Þ h Ý G (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter 214 Moden und deren Klassifikation: TE-Moden: 1 \und \(auch: Ú-Moden) TM-Moden: \und 1 \(auch: 3-Moden) NB: nur TM-Moden zur Teilchenbeschleunigung geeignet, da TE-Moden: 1 \! Individuelle Moden charakterisiert als TM nach Periodizität der Welle in : zb TM : keine Periode in azimutaler Richtung Ð) ( einfache Periodizität in, dh hat einen Knoten in radialer Richtung und zwar an der Wand, wo keine Periode in longitudinaler Richtung À) ( =Äâ Å Die Lösung der Wellengleichung hängt nur von ab: + Ð À + Prof Dr O Biebel WS

57 l ï l ª ñ W [ l ª l K Î 1 À const ï èç(1 Nullstelle von èç(1 Nullstelle von i Í Ï n ª n ª W Ò l l F Êkeine Wellenausbreitung f 8 êi éx i 1 Ò * Ö Ó i Ò 1 Ò Ò,æ Â Ò Ò å J Î ª ª X Î 1 í î Î 1 l X Ò l X Î 1 í î \ Phasen-Gruppengeschwindigkeit í î und Î Ò å ^ \ r Î X 1 s X Î X Ò s X l X l X Ì X ÒÑë l Ò ª Î Ò ª Î Ò å ^ \ r + Î + Î \ 8 + Î Ó i + Î + Î Ó + f Î àá à (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter 215 TM -Welle für zylindersymmetrischen Wellenleiter: Wellenleiter mit Radius ) Grenzfrequenz im Wellenleiter: ( ì Ê Ò ) ) Phase J )l : ª! Prof Dr O Biebel WS í î ª

58 (kurze) Theorie der HF-Wellenleiter 216 Anmerkungen: -Feldkomponente in Teilchenrichtung erforderlich (zb keine direkte Beschleunigung mit Laserlicht möglich, da nur TE-Mode)) für Teilchenbeschleunigung erforderlich: í î í w ôõ ö øù ª zb SchikanenBlenden im Wellenleiter Cavity, um í î zu verringern detaillierte Betrachtung von Wellenleiter (mitohne Schikanen) aufwendig (Details zb in: JC Slater: Review of Modern Physics 20, 1948, S473ff) Materialeffekte in Wellenleiter-Betrachtung vernachlässigt zb Skin-Effekt, Oberflächenwiderstände, Impedanzen, Güte des Resonators, Signalreflektion, Anregung höherer Moden durch Rückwirkung von Teilchenstrahl auf Cavity (Higher Order Modes, HOM) Prof Dr O Biebel WS

59 üø ö S d Q 1 Beschleunigungsstrukturen 217 Beschleunigungsstrukturen Komponenten: HF-Leistungsquelle (Klystron) Hohlleiter zum Beschleunigungsresonator (Cavity) Einkopplung von Hohlleiter in Cavity Resonator (ggf mit Abstimm- Möglichkeit) Ersatzschaltbild mit Kapazität m, Induktivität und Shuntimpedanz bei Resonanz typ Daten einer 1-zelligen Cavity: (DORIS-e Resonanfrequenz Shuntimpedanz Impedanz Q 1 = 3 M Š = 500 MHz û_= 80 e -Beschleuniger, 2 ;5 GeV, DESY) Güte ³ûLeistung Scheitelspannung ú = = 50 kw = 548 kv Š ô Prof Dr O Biebel WS

60 2 d Beschleunigungsstrukturen 218 typ mehrzellige Cavity: (PETRA-e e -Beschleuniger, 2 ;23 GeV, DESY) NB: 3-Felder parallel zu Metalloberflächen ohmsche Verluste Kühlung erforderlich Prof Dr O Biebel WS

61 i f i f i f i i f f d Beschleunigungsstrukturen 219 Reduktion ohmscher Verluste durch Speicher-Cavity: (LEP-e e -Beschleuniger, 2 ;104 GeV, CERN) (NB: H f $ 7TE, E i $ 7TM ) Prof Dr O Biebel WS

62 Beschleunigungsstrukturen 220 Betriebsmodi (mehrzelliger) Cavities: Laufwellen-Resonator: HF-Welle läuft mit Teilchen durch Cavity Beschleunigung nur in Laufrichtung Einsatz in fixed-target-beschleunigern Höhere Moden automatisch gedämpft Stehwellen-Resonator: HF-Welle wird in Cavity reflektiert Beschleunigung unterschiedlich geladener Teilchen in einer Cavity Einsatz in ColliderSpeicherringen Dämpfung höherer Moden notwendig Prof Dr O Biebel WS

63 HF-Leistungsquelle 221 HF-Leistungsquelle iw: Klystrons Gleichstrom-Elektronenstrahl Einkopplung von HF Bunching durch Geschwindigkeitsmodulation (su) Magnete zur Strahlführung&-fokussierung Resonantoranregung durch Elektronenbunche Resonantoranregung durch Elektronenbunche Auskopplung der verstärkten HF meist [2 Cavities höhere Verstärkung und größere Effizienz Betriebsmodi: Dauerstrich oder gepulst Magnets Prof Dr O Biebel WS

64 HF-Leistungsquelle 222 Beispiele für Klystrons: Dauerstrich gepulst typische Betriebsdaten LEP: TH2089 LHC: Spezifika- SLC: 5045 TESLA: TH1801 (Thomson) tion (SLAC) (Thomson) Frequenz 352 MHz 4008 MHz 287 GHz 13 GHz Pulslänge cw cw 35 s 15 ms Wiederholrate cw cw 120 Hz 5 Hz Beschleunigungs-Spannung 87 kv ù 54 kv350 kv 117 kv Strahlstrom 171 A 9 A 450 A 131 A HF-Leistung (Peak) 1 MW 300 kw 65 MW 10 MW Effizienz 68 ý Verstärkung 40 db ý 37 db52 db 48 db (cw=continuous wave) Länge 475 m 25 m NB: Hohe Peak-Ausgangsleistung nur bei kurzer Pulslänge erreichbar Prof Dr O Biebel WS

65 d HF-Leistungsquelle 223 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 14: Multistrahl-Klystron TH1801 für Tesla-e e -Linearbeschleuniger

66 Œþ HF-Leistungsquelle 224 Bunching eines Strahl: a) DC-Strahl aus Quelle b) Sinusförmiger Energiegewinn in Resonator ( `): õÿä ) ž ž i ž i Š ^ c) Flugzeit ): Flugstrecke für optimales Bunching ( O): i ) ^ äõÿ Š Prof Dr O Biebel WS

67 Quadrupol-Radiofrequenz-Beschleuniger (RFQ) 225 Quadrupol-Radiofrequenz-Beschleuniger (RFQ) alternativ zu den elektrostat Linearbeschleunigern; detaillierte Behandlung aufwendig; Funktionsprinzip: transversal: 4polige Struktur erzeugt fokussierendes Feld longitudinal: wellenförmig (genauer: hyperbelförmig) erzeugt beschleunigendes Feld Prinzip der Beschleunigung: t=t 0 t=t +T2 0 Prof Dr O Biebel WS

68 f Quadrupol-Radiofrequenz-Beschleuniger (RFQ) 226 Feldstruktur in RFQ: Betriebsmode: TEX i durch Elektroden modifiziert Quadrupolfeld wirkt fokussierend: (analog FODO-Struktur, su) Prof Dr O Biebel WS

69 Quadrupol-Radiofrequenz-Beschleuniger (RFQ) 227 _ J ³ \ ` ê ú Eigenschaften von RFQs: linearer Ionen-Beschleuniger: ý 20 kev bis 2 MeV geringe Injektionsenergie keine aufwendige Hochspannungsversorgung Bunching, Fokussierung, Beschleunigung durch HF typ Länge 1-2 m Betriebsfrequenz 50 bis 400 MHz Spannung zwischen Vanes 100 kv Güte Impedanz X ç W û(leistung, um Spannung zu erreichen) NB: Faktor } cin Impedanz-Definition Konvention für Linear-Beschleuniger RFQ als Ersatz für elektrostat (Ionen-)Beschleuniger NB: weitere, kompliziertere Strukturen werden für Beschleunigung & Fokussierung benutzt Prof Dr O Biebel WS

70 > ZirkulareKreis-Beschleuniger 31 ZirkulareKreis-Beschleuniger Betatron Schwache Fokussierung, adiabatische Dämpfung Mikrotron, Synchro-Isochron-Zyklotron Synchrotron Limitierte HF-Leistung stimulierte die Entwicklung von zirkularenkreis-beschleuniger: + geringste HF-Felder in Kreis-Beschleunigern effektiv nutzbar (Teilchen nutzen wiederholt gleiches HF-Feld) + lokale und kompakte Beschleunigungsstruktur in Kreisbeschleunigern langgestreckte Resonatoren in Linearbeschleunigern + in Betatron sogar intrinsische Beschleunigung = Ô Ÿ Prof Dr O Biebel WS

71 4 â keine Beschleunigung keine Beschleunigung m ª J ˆ X Ê F 2 2 ª ) l 0 0 Œ 7const F 2 ª ) ) ) ) 0 " Í Ï ª ß " 0 GeV ª l ª 3 7 l 0 7const) 3 7 Í V + Ï ZirkulareKreis-Beschleuniger 32 Zentrale Relation für Kreisbeschleuniger (in Gauss-Einheiten!): Lorentzkraft: Für \, homogene -Feld und Ladung ß gilt: ( Mit Geschwindigkeit l 0 folgt: ( 7 Ê 7const ) Damit gilt für ein Teilchen, das sich in einer zu senkrechten Ebene bewegt:! in praktischen Einheiten: } O Fa u 4 T Prof Dr O Biebel WS V

72 X f > 8 ª ) ª 8 $ Betatron 33 Betatron Prinzip: Teilchenstrom Sekundärspule in Transformator Schematischer Aufbau: Beschleunigung durch Induktionsspannung: ind À å )' (magnet Fluss 8 durch vom Teilchenstrom umschlossene Fläche <) Wideröe: fester Orbitradius des Teilchenstroms -Bedingung Prof Dr O Biebel WS

73 f W ) ) ' ) ) ' Q ) Q ª Í ) Ï ) ) ª á Betatron 34 Wideröesche -Bedingung: Es gilt : Beschleunigungskraft azimutales -Feld konstanter Orbitradius Q: -Feld homogen innerhalb Sollbahnradius mit Induktionsgesetz ( ind ' ª )) Q X + Q (*) Gesamter Fluss mit mittlerer magn Induktion ' Q X + Q Q X + Q (**) Vergleiche (*) und (**) + Q + Q X ( -Bedingung) Notwendige Bedingung für stabilen Strahlorbit ( Prof Dr O Biebel WS ~ 7const) im Betatron À Q ž Q ) \ ª V "

74 ^ ^ ª ñ " + ª \ o X f o ç \ W Betatron 35 Betatron-Prinzip: für alle geladenen Teilchen für alle Energien denn -Bedingung unabhängig davon! Größtes Betatron: (Kerst 1950) Q om Orbitradius maximales -Feld: + Q Magnet-Gesamtgewicht: Elektronenimpuls: \t \MeV WT Betatron-Anwendung: typ Beschleunigungszyklus kin Energie (Impuls, Teilchemasse ): kin + ª X ª X X ª X für Elektronen (typ ª e ): kin, e für Protonen (typ ª p ): kin, p X p ª Elektronbeschleunigung bevorzugt kin, e Prof Dr O Biebel WS

75 ( h J Q ( n ( Q s Q n Q s ^ W " J ^ W ( W W n Q s Q Q " Q W " Q V X X Q f Schwache Fokussierung 36 Schwache Fokussierung -Bedingung stabiler Orbitradius keine Stabilität senkrecht zum Orbit Strahlfokussierung erforderlich! Betrachte dazu bei Abweichungen vom idealen Orbit (Koordinaten: in, Orbitebene, Zunächst in (entspricht radialer Richtung): 6entlang Orbit) Rückstellkraft ª + Q kleine Abweichung vom Sollorbit Taylorentwicklung bis 1 Ordnung und + + Q + Q + Q h mit Feldindex + Q + Q ( Form der Magnetpole!) Prof Dr O Biebel WS

76 " n Q n Q s V ^ V X Q X Q s W W X Schwache Fokussierung 37 Rückstellkraft bei Abweichung ª + Q h für Sollorbit: + Q ª Schwingungs-DGL ( Ê X 7 F) Q X h Q i W l h J l W h + W \ h Teilchenorbit bei kleinen Störungen Oszillation um Sollorbit: horizontale Betatron-Schwingung harmon Schwingung mit Kreisfrequenz horizontale Betatron- Frequenz! Stabilitätsbedingung für Orbit W! (horizontaler Orbit in ) Prof Dr O Biebel WS

77 } ~ 7 () & 0 ( ( ( Q Q h h ( ( \ ( ( Schwache Fokussierung 38 Abweichungen vom idealen Orbit in : Bewegungs-DGL : ª + Q aus (mit Feldindex t) + Q + Q (*) (mit Sollorbit: Q X h Q X i = ~ l h J l h } ) " \ h X Teilchenorbit bei kleinen Störungen Oszillation um Sollorbit: vertikale Betatron-Schwingung harmon Schwingung mit Kreisfrequenz vertikale Betatron- Frequenz! Stabilitätsbedingung für Orbit [\! (vertikaler Orbit in ) Prof Dr O Biebel WS

78 h \ Schwache Fokussierung 39 schwache Fokussierung: W! Steenbeck-Stabilitätskriterium Aber: Fokussierung in vertikaler Richtung, Defokussierung in horizontaler Ebene Fokussierung in horizontaler Ebene, Defokussierung in vertikaler Richtung Prof Dr O Biebel WS

79 l y y J l h J l l W h â ë â ì ª Q Schwache Fokussierung 310 Geometrische Fokussierung: (Sollorbit: durchgezogen; Alle Orbits mit Radius Q: ~(gestrichelt) und B ~(punktiert) auf Sollorbit abgelenkt) Fokussierung Geometrische Fokussierung kompensiert (schwache) horizontale Defokussierung für vertikale Fokussierung Tune der Betatron-Oszillationen: entspricht Anzahl der Oszillationen je Umlauf horizontaler Tune : i vertikaler Tune : i Betatron-Oszillationen und Tunes sind charakteristische Eigenschaften eines Kreisbeschleunigers! (nicht nur für Betatrons) Prof Dr O Biebel WS

80 Ê } $ K J K \ Ù K " ) " Í K K " W Í Ï K K Ï K h Í $ M $ W K K Ï ª l i Q l)lmit ^ l i h adiabatische Dämpfung 311 adiabatische Dämpfung In (vertikalen&horizontalen) Oszillationen vernachlässigt: Effekt der Beschleunigung Dazu nochmals: Bewegungs-DGL in = 7 : + ª + Q Beschleunigung ª X ª X + Q ( i 7 ~für Sollorbit) mit aus (*) (Folie 38) und l X i \(**) Energiegewinn ª X (**) ist DGL eines gedämpften harmoni- + ) i! d»" schen Oszillators Dämpfungskonstante Beschleunigung führt zur Dämpfung der vertikalen Betatron-Oszillation! Prof Dr O Biebel WS

81 š 1 ' 4 š &(' 4, & W i i Ï Í ) W + i i + K W å W K adiabatische Dämpfung 312 Charakterisierung der Dämpfung: techn erreichbar Dämpfungszeit loszillationsperiode Einhüllende der Oszillation: max max max + ) i! d»" mit Startenergie, Endenergie max max «J max max adiabatische Dämpfung! analog auch für horizontale Oszillation! Bedeutung der Dämpfung: reduziert Phasenraum des Strahls mit ) 7 oder 6 7 und 4 entlang Orbit (so gen Emittanz: )max )max )+* max &max ) Effektivere Dämpfung durch (für Elektronenstrahlen) Synchrotronstrahlung ( Abschnitt 9) Prof Dr O Biebel NB: Adiabatische Dämpfung bei jeder Form von Teilchenbeschleunigung! WS

82 } } - - J ' ª ) K Mikrotron 313 Mikrotron Prinzipielle Konzepte der Kreisbeschleuniger: 1 Betatron: Beschleunigung durch Induktionsspannung ind intrinsisch erzeugt durch veränderliche magnetische Induktion + ) Q 2 externe Beschleunigung durch HF-Feld Mikrotron: Zyklotron: 7const, 7const oder ~, Synchrotron: ~ Prof Dr O Biebel WS

83 ß ß ß ª " 3 O ^ [ Î [ Î 3 f 3 ' ) ª ) f ª k Mikrotron 314 Mikrotron-Konzept: Radius const Impuls Phasenverschiebung je Umlauf zwischen Teilchen und HF: ' Zeit für ersten Umlauf:, f Î RF Zunahme Umlaufzeit bei Energiegewinn : RF Synchronitätsbedingung = 3 inj : inj Erster Umlauf: f inj zb für Î, W: inj inj ª X W! (bedeutet zb `GeV für Protonen) Mikrotron nur für leichte Teilchen, iw Elektronen! Prof Dr O Biebel WS

84 ß = Å ² 6 7 ß ª ª ) ß ª ª " ) f Å Ì 0 c Mikrotron 315 Rennbahn-Mikrotron: (engl racetrack microtron) vermeidet Limitierungen des Mikrotrons (zb Magnet-Ø 3 X ) eingesetzt für Elektronen einfachere Synchronitätsbedingung Länge : f Î RF RF RF inj ¾ d W Î Ò : 7 X 8 inj 739RF für und zb Prinzip des Rennbahn-Mikrotrons: Der Elektronenstrahl mit niedriger Energie (blau gezeichnet) tritt in den linken Umlenkmagneten (grün) ein, wird im homogenen Magnetfeld um 180 umgelenkt, läuft parallel zum Linearbeschleuniger (rot) und tritt in den rechten Ablenkmagneten ein Nach nochmaliger Umlenkung um 180 läuft er durch den Beschleuniger, erfährt dort einen Energiegewinn und wird aufgrund seiner jetzt höheren Energie auf einer Bahn mit größerem Ablenkradius geführt Das Spiel wiederholt sich x mal Nach x Umläufen verlässt der Elektronenstrahl das Mikrotron mit dem x-fachen Energiegewinn Prof Dr O Biebel WS

85 ` =< a 3 7 >a > ca` > a Mikrotron 316 Daten zu MAMI: ;Injektionsenergie inj <MeV ;Ejektionsenergie ej FMeV ;Magnetfeld >T ;Linac-Länge <m ;EnergiegewinnUmlauf <amev Dritte Stufe von MAMI: Das weltweit größte Mikrotron Das Gewicht der beiden Umlenkmagnete (grün) beträgt jeweils 450 Tonnen Der Linearbeschleuniger (auf der rechten Seite) wird von den Elektronen 90 mal durchlaufen Er besteht aus 5 Sektionen, die jeweils mit einer eigenen Hochfrequenzversorgung mit einer Leistung von Watt ausgestattet sind Prof Dr O Biebel WS Abbildung 15: Das Mainzer Rennbahn-Mikrotron MAMI

86 l GF l KJIH Œ f X O IIS W ˆ ˆ ª ª } l _ ˆ l + W + ) X + ) MOJN RQP Q MPHN T = CBA@ ED _ Zyklotron 317 Zyklotron Mit ª und Umlauf-Zyklotron-Lamorfrequenz: NB: Radius der Bahn: Für nicht-relativistische Teilchen `bzw kin Für relativistische Teilchen = 0 `bzw Jconst l + W + ) X + ) Syncho-Zyklotron Isochron-Zyklotron Prof Dr O Biebel WS O ` gilt: X _ X X X Q X V ª X l const const Œþ ` gilt: +ˆ _ ˆ X Ê U 4 + ª _ J ª

87 + ª _ l Synchro- und Isochron-Zyklotron 318 Synchro- und Isochron-Zyklotron Zyklotron: beschränkt auf nicht-relativistische Energien, da SRF const variable HF relativistische Energien kontinuierlicher Teilchenstrahl gebündelte Teilchen longitudinale Phasenstabilität: Teilchenbündel HF Phasenfokussierung (Veksler und McMillan) Synchro-Zyklotron: SRF SRF const Ù X + + " _ _ W W f W Synchronität durch SRF + ) + ) Syncho-Zyklotron mit + ) aus kin ª X und ª: ª ñ kin kin ª X hohe Endenergie viele Umläufe schwache Fokussierung erforderlich effektive horizontale&vertikale Fokussierung (vgl Folie 36): Feldindex h + const SRF W + ) + ) X Prof Dr O Biebel WS

88 Synchro- und Isochron-Zyklotron 319 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 16: Synchro-Zyklotron am CERN

89 } Synchro- und Isochron-Zyklotron 320 Isochron-Zyklotron: Frequenzmodulation im Synchro-Zyklotron technisch aufwendig und unterschiedlich für verschiedene Teilchen =YRF Vereinfachung durch (LHThomas, 1938): SRF + ) ž ( ž Ù \ ž ( + + ) ž W const Isochronität von = und = Beibehaltung der Fokussierung erfordert: + damit schwache durch starke Fokussierung ersetzt (folgt später) Fokussierung entlang der Teilchentrajektorie Synchronität nur noch im Mittel je Umlauf gewährleistet, sodass + + ) + ) Eigenschaften: starke Fokussierung erlaubt Rückkehr zu festem SRF Isochron-Zyklotron liefert kontinuierlichen Strahl mit Mikrobunch-Struktur (gemäß RF) Prof Dr O Biebel WS

90 W Synchrotron 321 Synchrotron Praktische Limitierung von Zyklotrons durch notwendigen Magnet-Ø höhere Energie möglich falls Q const zentraler Magnetbereich nicht benötigt kleinere Magnete entlang des Orbits einsetzbar Designkriterium: Q ª const _ Synchronitätsbedingung: SRF k ˆ W ˆ ˆ ^ W ˆ ª J ª Umlauffrequenz: relativistisch: nicht-relativ: Srev Srev + ) Srev + ) ^const + ) Aufrechterhalten der Synchronität: (Umlauf HF) SRF Srev mit harmonischer Zahl (engl: harmonic number) Synchrotron-Prinzip mit FODO-Struktur, Injektion und Ejektion Prof Dr O Biebel WS

91 W X f Zusammenfassung 322 Zusammenfassung ª(in Gauss-Einheiten!) -Bedingung für stabiles Orbit im Betatron Betatron-Schwingung, schwache Fokussierung und Steenbeck-Kriterium, adiabatische Dämpfung Grundlegende Prinzipien der Kreisbeschleuniger beschrieben durch nur zwei Relationen: ˆ ª X und SRF S + ž Z» ¹ ª Q Q Übersicht der Kreisbeschleuniger: Prinzip Energie Geschwindigkeit Orbit Feld Frequenz Teilchen- SRF fluss Zyklotron 1 variabel const const const a Synchro-Zyklotron var var + ¹ gepulst Isochron-Zyklotron var var + const const a ProtonIon-Synchrotron var var + ) + ) gepulst Elektron-Synchrotron var var + ) const gepulst a kontinuierlicher Strahl, jedoch HF moduliert Prof Dr O Biebel WS

92 Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern 41 Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern Geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern 1 Lorentzkraft 2 Grundlagen zur Optik von Strahlen geladener Teilchen 3 Multipolfeld-Entwicklung für Magnete 4 Bewegungsgleichung der Teilchenstrahldynamik 5 Generelle Lösungen der Bewegungsgleichung Kraft auf geladene Teilchen in elmagn Felder: Lorentzkraft (in Gauss-Einheiten!) ª\[ V ] " 0 dabei gilt: V ˆ p ˆ V -ˆ ^V K K ˆ " ˆ " ˆ ˆ ª ª ª ª K K K K K In diesem Abschnitt sei der Fall betrachtet, dass ˆ ˆ - \, also (Beschleunigung nur senkrecht): Ë Ë ˆ Ë ª K K Prof Dr O Biebel WS

93 V Grundlagen zur Teilchstrahl-Optik 42 Grundlagen zur Teilchstrahl-Optik Teilchenablenkung in elektrischen undoder magnetischen Feldern: ª\[ Ë Ë V V X Q ] _ Ë " ˆ ª Ë 0 K (Lorentz-)Kraft Q X Q X I Ý Ý H Ë - ` - - V - V Ý muss Zentrifugalkraft Ë ` Ý G Q kompensieren (Ablenkradius ~, Impuls ): ª - mit magnetischer Steifheit: Q - mit elektrischer Steifheit: Q d c X ª TXW ^ \ Q Ý b d \ o ] X ª ^ Ý a ^ Ë Ë Q Ë - - Q - Ë Größenordnung der Steifigkeit im relativistischen Fall WGeV WGeV ª(in praktischen Einheiten): GVm W X Q o XWm XWm WTm \MV enorme elektrische Felder für Teilchenablenkung notwendig Anwendung nur nicht-relativistisch oder in Spezialfällen (zb elektrostatische Separatoren zb in e e -Speicherringen) Teilchenablenkung in Beschleunigern zumeist durch Ablenkmagnete Prof Dr O Biebel WS

94 ˆ ª f Å þ ` } r5 O 0 f ^ ^ ˆ ª } o ` h j l + j 6e(statt ** ^ V ** * ÀX Grundlagen zur Teilchstrahl-Optik 43 Koordinatensystem zur Beschreibung der Teilchenbewegung in elektrischen undoder magnetischen Feldern: S(s) r Bewegung entlang Sollorbit: mitbewegtes rechtwinkliges Koordinatensystem individueller Weg eines Teilchens: ) mit Zeit Ursprungsvektor (Krümmungsradius â' g + À Krümmungsvektor }nm, ** ' 5 X 5 6 X, dito ** und betrachte Kreisbahn zb: (lineare Näherung: da ia * * 1 7 s ` X* X* O ' 7 5 ŒŽ 4 * mit O * und 5 6 O q5 7 ŒŽ r5 ), Prof Dr O Biebel WS analog: ** ^ t u Ò = 6 7 p â X 6 X O â 6 X } â) + h h J h ** ** ikj g + À X J e f + mit Zeit À ) J À 1

95 " v Ë w 1 2 ª & 0 r Fokussierung von Teilchenstrahlen 44 Fokussierung von Teilchenstrahlen zur Erinnerung: Magnetfeldberechnung: elektr Strom kin Spulen magn Induktion magn Fluss durch Spalẗ vund Rückflussjoch Maxwell Gleichung: (Permeabilität im Rückflussjoch, Stromdichte ) yoke mit Stokesschem Satz ( hwindungen): Joch À Ë h k kaxw ^ À W W ª h k r Dipolmagnet-Bauformen: für xjoch Näherungsformel für Spulenstrom: TXW t 4 7 ` z v W X cm zb: Ë 7 c`t, y 7 Fcm FkA C-Magnet H-Magnet Fensterrahmen-M Prof Dr O Biebel WS

96 $ 3 7 j µ { ~ S S Fokussierung von Teilchenstrahlen 45 Fokussierung durch Magnetlinsen: analog zur geometrischen Optik, jedoch Magnetstatt Glaslinsen Sammel-, Zerstreuungslinse, Brennweite, -punkt, Sammellinse: Ablenkwinkel Abstand von optischer Achse: magnetische Sammellinse ( {): µ } Œ Y} ~ ^ { { µ ˆ Ì f ª in Î { O Fa { ~ T GeV 5 6 azimutales Magnetfeld, Weglänge -Feld, Teilchenenergie, für : mit Feldgradient ~ x δρ l B ˆ Fokussierungsvermögen: 7Brechkraft) ( Î ~ ˆ m X d α u 4 u ƒ m ρ δρ α ρ Brennweite: S d Prof Dr O Biebel WS

97 t Fokussierung von Teilchenstrahlen 46 Strahlführungs- und Fokussierungsmagnete: Dipol (Spalthöhec yund 4Ampèrewindungen): ª v h k r homogenes Ablenkfeld zwischen Polschuhen I ~ Ý H ~ Ý G & J ~ \ ª Q keine Fokussierung Quadrupol (Apertur <): leiterfreier Bereich hat skalares Potential + y B x ~y x B y ~x Fokussierung, aber nur in einer Ebene! (zb für e : Fokussierung in, Defokussierung in ) Prof Dr O Biebel WS

98 (Darstellung der Kräfte Fokussierung von Teilchenstrahlen 47 FokussierungDefokussierung mit Quadrupol für positiv geladenes Teilchen, das in Papierebene eintritt) Prof Dr O Biebel WS

99 I Ž ž Ý H Û Ò Ý G Ž Û Ò & Ž ž -Abhängigkeit F, da Ô und ` F Œ Ô! \ W W ët ž F! ª Ô W " " " W ( W \ & = ttt: ( X ( X ( ž X ( X Multipolfeld-Entwicklung 48 Multipolfeld-Entwicklung Systematisierung der Magnetfeldformen: In ladungsfreien Bereichen skalares Potential + zur Magnetfeld-Beschreibung Damit gilt: ladungsfreie Laplace-Gleichung: in Zylinderkoordinaten explizit Lösung: Taylorreihe um Sollbahn ( Fsonst Singularität für â F) Ô i + â 7 h ] * Ô + ÔŸ ˆ) ( keine in Laplace-Gleichung (Vereinfachung: 2-dim transvers Felder) für alle, elmagn Felder aus Potentialen Prof Dr O Biebel WS & + Ž bzw + â ë t t X 7 Ô Š X h ] * Ô + ÔŸ h + h " h h X & X J \ ( X ( X ( X & X J &

100 ââ, h h ÎÎ,, Ò Ž! f "! f o Ò Ž p! p *! p * Ÿ f f Ò Ž X Î f Ò X X Ž Ÿ f f Ò Ž h h Ò * f! * f W Ž t 7 = t 7 Û p + p o X Û X + X X " Î Û f " Multipolfeld-Entwicklung 49 Explizite Lösungen aus der allgemeinen Lösung ( ) sind komplexwertig, dh zwei unabhängige Lösungen = Æ und zur gleichen Laplace-Gleichung Für die ersten drei Multipole sind die expliziten Lösungen (komplexwertig und als Æ ): Dipol Quadrupol Sextupol usw usf Dabei sind z: Oktupol mit : Dekapol mit,,,,, etc so gen Multipolstärken [NB: âist hier Multipolstärke, nicht Radius!]; Prof Dr O Biebel WS ,a a a + o X p h Û p! p + " p h Û X X * X! X * X + " X h Û f + " Ÿ

101 Ž Ž f f Ž Ž Ž Ž Î Ž Ž h Ž Ž h Ž Ž Ô ( ( ( ¹( iœš Û Ò X + X X Û Ò " ¹( iœš Û Ò Î Û Ò " Î ¹( ê š ¹( i š Û Ò Û Ò \ ¹( g i š Multipolfeld-Entwicklung 410 Die Magnetfelder folgen aus wobei für Anwendungen unterschieden werden: & + ( +, aufrechte Multipole Äquipotentialflächen aus constgedrehte Multipole Dipol Ò Û Ò Û \ Dipol Quadrupol Ò Û Ò Û Î Quadrupol Sextupol Ò Û Ò Û X + X X Sextupol Prof Dr O Biebel WS ¹( p iœš ¹( X

102 und Å m, Å d, usf) 6 Ì â W µ X À p ÀÎ, À, À, ª Ÿ Ÿ À d Ô ( Ÿ f X! R f žfé Ž Ž f! X R f Ž Ž f!! X éx " Ž Ž f f!! f Ž Ž f Ô sowie Ÿ ( ¹( iœš Û Ò R + X X " Û Ò + p p ¹( iœš ¹( iœš Û Ò + p o X Multipolfeld-Entwicklung 411 aufrechte Multipole Äquipotentialflächen aus const gedrehte Multipole Oktupol aufrechter Oktupol Û Ò + o X p ¹( ê š Ò Û Ò Û + o X p + p o X Oktupol Dekapol Ò Û Ò Û + p p R + X X " Dekapol NB: Die Multipolstärken (für die aufrechten) Multipole sind durch gegeben, also: (Für gedrehte Multipole: 6 Ô Ô 7 m, À f h J, ê R, usf Prof Dr O Biebel WS Ô W X m Ô d Ô d f Ÿ ¹( X

103 $ M o ž k k k c Ý Ý Ý Ý b Ô! Ô k ž $ M h ž + W ( Ý Ý Ý Ý a +ž i k $ M ž k Ô Multipolfeld-Entwicklung 412 Realisierung reiner Multipolfelder: Zur Erinnerung: Es gilt: Dipol Quadrupol Sextupol Prof Dr O Biebel WS ž i k $ M ž +ž k i + ÔŸ Ô d f & + ( ž

104 ž k +ž $ M Multipolfeld-Entwicklung 413 Beispiel: supraleitender HERA-Dipol Aufbau des supraleitenden Kabels genauso auch (2 ;) in LHC-Dipol (schematisch): Verteilung der Kabel approximiert -Verteilung für Gesamtstrom Prof Dr O Biebel WS

105 Multipolfeld-Entwicklung 414 Prof Dr O Biebel WS Abbildung 17: LHC-Magnete (von lo nach ru): supraleitender Dipol, supraleitender Quadrupol, Sextupol, einzelner Oktupol

106 Multipolfeld-Entwicklung 415 Kombination von Multipol-Magneten: (so gen combined function -Magnete) Beispiel: Polschuhform für horizontal fokussierenden Ablenk-Magneten eingesetzt in combined function -Synchrotron: ª ª «µ µ ²²«± ³«µª «¹ º ± ª 3ª«NB: Im Gegensatz zu combined function -Beschleuniger, bei denen in den Magneten fokussierende und ablenkende Wirkung vereint sind, gibt es separated function -Maschinen (FODO), wo Dipol-Ablenkmagnete und Quadrupol- Fokussierungsmagnete separiert sind Prof Dr O Biebel WS

107 » ** ½ +» i ¼ ž e ^ W " h f µ ž i h µ ž ^ +µ i "» J W µ i J W h i µ i ž i i i = O O 5 Bewegungsgleichung für Teilchenstrahlen 416 Bewegungsgleichung für Teilchenstrahlen Magnete und deren Felder: Dipole: : Teilchenführung entlang vorgegebenem Weg Sollorbit oder Referenztrajektorie Quadrupole: : Fokussierung der Teilchen auf Sollorbit Sextupole: : Chromatizitätskorrektur Oktupole ua : Korrekturen von Effekten höherer Ordnung geometrische Orbitkorrektur impulsabhängige Orbitkorrektur Kombination aller Elemente Bewegungsgleichung im mitbewegten Koordinatensystem (vgl Folie 43) in linearer Näherung 5), : Weg bei Ablenkung auf Sollorbit, À dh Kreisbahn mit Radius Web auf Istorbit, Radius e mit Abstand»zwischen Ist-& Sollorbit À mit +¾½ ½ von Folie 43 + h + š 1 h i j þ š š 1 j l + i " h i» i» W " h h š ** (NB: Ableitung bzgl 6, da ia ) * `also Bewegungs-Gl für Sollimpuls paraxiale Strahlen!) Prof Dr O Biebel WS

108 + Î j Î " Î j h i Î " + ª ª + + W ^ Ì, Sextupol: I Ý H Û Ò Ž Ý G Ž h i " f ª ª h J h J W W h X i mitm ' m aus «µ µ Bewegungsgleichung für Teilchenstrahlen 417 Berücksichtigung von Abweichungen vom Sollimpuls Hierfür explizite Ablenkung in horizontaler Ebene, (De-)Fokussierung in horizontalervertikaler Ebene: Lorentzkraft Zentrifugalkraft, mit Multipol-Entwicklung für (Dipol: m i, Quadrupol:,a a (vgl Folie 46) a) Impulsabweichung Bewegungs-Gl in, + ½ ½ (Folie 416) also keine Impulsabweichung in wirkt fokussierend wie Îvom Quadrupol so gen schwache Fokussierung durch Dipol! Prof Dr O Biebel WS ** Î \ j \ ** " + h X i " \ ** Î ** " + h X i " " j + h X i " i W " j ª i W " j i j " " Î " " Ò Û X " Î + X X "

109 »» * X a Ÿ Í Ê Ÿ Ÿ Ÿ»» * * Æ É Ì Ï Æ Ÿ Ÿ Ÿ É Ÿ W Å Å Ë i Ÿ g Ÿ Ÿ g Ÿ Ÿ»» * I Ý H \ + W \ + Ý G g\ + m\ + W Á Â ñ + - ñ + - \ Þ f À + À [\ Þ f J» ** Ñ + À + À + À W g * š 1 š m * š 1 \ š Ä Generelle Lösung der Bewegungs-Gleichung 418 Generelle Lösung der Bewegungs-Gleichung Struktur der homogenen Bewegungs-DGL: dabei ist J Î " h X bzw Î " h X "» \, Hauptlösungen sind: ÀÁ für für g + À - À g + À + und und mit Anfangswerten: Sie werden auch als sinus- und cosinus-artige -Lösungen bezeichnet Alle Linearkombinationen + À + À ( ) von m + À und g + À m * + À ( und g * + À ) sind Lösungen der DGL! In Matrixschreibweise: Ç» + À + À Ê È m * m + À + À g * + À + À Ð Î Ç» + À + À i È m * + À g * + À mit ist die Transformationsmatrix eines Strahltransportelements (feldfreies gerades Stück, Dipol, Quadrupol,a a) und : Ablage eines Teilchens vom Sollorbit und die Änderungsgeschwindigkeit = ) 7 Å ist die Wronski-Determinante, Ñ + À Wfür dissipationsfreie Systeme (dh kein Energiegewinn-verlust) Prof Dr O Biebel WS Ñ + À J Ÿ m + À + À \ m + À $ M Â - À J g * + À m + À $ M J g * + À

110 Objektæ Ò \ m Ò» i»» \ *» i W» * F Generelle Lösung der Bewegungs-Gleichung 419 Matrixoptik für Teilchenstrahlen ist weitestgehend analog zur paraxialen Lichtoptik: achsenparallele Trajektorien = ) * i 7 erhalten Steigung + À m * + À Brennweite: S + À m * + À Brennpunkt: + À cos-artige Lösung: + À Punkt-zu-Punkt-Abbildung ist möglich: i bei À " \ W Ó i " i " À Ÿ g À g À i i \ sin-artigen Lösung hat Nullpunkt: + À abgebildet aufæ Ÿ mit Nullpunkt + À À Ÿ \bei À Phasenvorschub durch solche Abbildung: = 6 7 (da* ) = 6 )Ô* i i 6 Ÿ ) ) i i 6 Ÿ und = 6 7 = 6 ) Prof Dr O Biebel WS

111 Í Ê \ \ j j W Æ É Ì Æ» É Ì Æ * Ï Ï Ï Æ Æ» Æ * É i É É Ì É Æ É Ì Ï Æ É Å È Ë Î Å È i m À À X Ù W 1 Ù» Ý H * Ý G» j ** W } ` i Ç» + À Ê + À m * m + À + À g * g + À + À Ù Ù * + À + À Ð Ç» + À + À i µ i + À + À W g + À +ÛÚ m + À g +ÛÚ ÀÚ + À µ i + À " + À» Generelle Lösung der Bewegungs-Gleichung 420 Dispersion: Die Bewegungs-DGL von 417 enthält Impulsabhängigkeiten von der allgemeinen Form =ÖÕ = 6 7 X = 6 Ì : Man erhält als allgemeine Lösung wobei für die Dispersionsfunktion gilt (Rechnung zb in HWiedermann: Particle Accelerator Physics I): I» + À å m * + À "Ø g * + À " jù * + À + À å m + À "Ø g + À " jù + À, Man kann die Matrizen nun leicht zur Berücksichtigung der Dispersion verallgemeinern: Prof Dr O Biebel WS

112 } Ü Generelle Lösung der Bewegungs-Gleichung 421 Dispersion: Korrektur durch Sextupol-Magnete: Dispersion führt zu Chromatizität, dh die Fokussierung eines Quadrupols hängt vom Teilchenimpuls bzw von der Abweichung jvom Sollimpuls i ab: Korrektur der Chromatizität: Achromate (=achromatische Kombination von Quadrupolen) oder Sextupole Funktionsprinzip: Gestrichelt: Teilchentrajektorie ohne Chromatizitätskorrektur Durchgezogen: dito mit Korrektur durch Sextupol (NB: in Abbildung entspricht in diesem Skript) Prof Dr O Biebel WS

113 ý W = ª Ÿ»» " " ª f " X ª " i ª Ÿ ª a a»» X ** Lineare Strahldynamik 51 Lineare Strahldynamik Lineare Strahldynamik 1 Matrizen-Formalismus 2 Teilchenstrahlen und Phasenraum: Emittanz und Liouville-Theorem 3 Betatron Funktion und Strahleinhüllende 4 Weglänge und Momentum compaction Die vollständigen Bewegungsgleichungen haben die Form + À + À + À + À, sind also nicht-linear! Hinzu kommt die À-Abhängigkeit der Koeffizienten + À und + À i=0,1, (feldfreie Driftstrecken, Dipole, Quadrupole, etc) hineinander aufgestellt werden a), wenn mehrere Strahlelemente Allgemeine Lösungen zu finden, führt schnell zu unüberwindbaren mathematischen Problemen Konstruktion eines Beschleunigers, sodass nicht-lineare Terme nur kleine Störungen Störungstheoretische Behandlung + À Wva für Prof Dr O Biebel WS

114 : I Ý H i 6 " " Î i \ f i " Î Î Ý G "»» ** Matrizen-Formalismus 52 Matrizen-Formalismus In linearer Näherung, dh \, repräsentiert + À + À das so gen Magnet-Gitter (engl: magnet lattice oder kurz lattice ) die Anordnung der Magnete im Beschleuniger, Man unterscheidet: separated funktion lattice bei getrennten Dipolen und Quadrupolen im Gitter combined funktion lattice bei in einem Magneten integrierten Dipolen und Quadrupolen Zur weiteren Vereinfachung: Ablenkung nur in -Ebene lineare magnetische Felder: Dipol (Feldstärke ), Quadrupol (Gradient Ì) Bewegungsgleichung der linearen Strahldynamik: ** I i i ** Ò ä Ò À i x Î À^ Î À À À Î Ý H Ò i x Î i Ž f ä Ò À À J Ý G f Ž i \ Î ÝßÞ ã àâá á Integration: ** À * * Brennweiten: Û ä über Ûåä (Ablenkwinkel P) Prof Dr O Biebel WS

115 $ Matrizen-Formalismus 53 Nomenklatur: Magnete repräsentiert durch Rechtecke entlang À-Achse Länge der Rechteck geom Länge der Magnete Dipole: horizon fokus Quadrupol: horizon defokus Quadrupol: vertikal fokus Quadrupol: vertikal defokus Quadrupol: Rechteck um À-Achse zentriert positives Rechteck negatives Rechteck negatives Rechteck positives Rechteck wobei die Höhe der Rechtecke bei den Quadrupolen die (De-)Fokussierungsstärke bezeichnet zb typisches Magnet-Gitter: k(s) s NB: Diese Form entspricht dem hard edge -Modell von Magneten, bei dem Effekte am Rand eines Magneten vernachlässigt werden Prof Dr O Biebel WS

116 " Q { ^ ` a a æ Ÿ 7 { Matrizen-Formalismus 54 Soft edge -Effekte Randeffekte realer Magnete, so gen soft edge -Effekte können mit dem hard edge -Modell approximiert werden: Dabei ist die effektive magnetische Länge eff eines Quadrupols um etwa den Radius Qder Apertur des Eisenkerns größer als die wirkliche Länge des Magnet- Der Randbereich eines realen Quadrupols wird durch viele Quadrupolscheiben mit angepasster Stärke approximiert Die gesamte Transformationsmatrix ist eisens {Fe, also dann das Produkt aller Einzelmatrizen =ÄÉ eff {Fe Å c Å a Kleinere Korrekturen aufgrund der Diskretisierung im idealisierten hard edge -Modell können erforderlich sein Prof Dr O Biebel WS

117 Ç Ç Ê \ \ Æ Æ É É Ì Ì\ Ï Ï Æ Æ i É É \ m g Æ É Ì Ï Æ É Æ É Ì Ï Æ É Æ É Ì Ï Æ i É \ Æ É Ì Ï Æ É Æ É Ì Ï Æ É Å Å Ë \ Ç Ê» * Æ É Ì Ï Æ É Å Ë g Å i 0 + À À * * + À + À + À Ê È + À Í m * m + À + À m * + À \ g * + À + À g * + À + À Ð Î * * + À + À + À i È g + À \ + À i Ç» + À + À Ê È Í m * m + À + À g * + À + À Ð Î * + À + À i È + g + À + ñ - - Matrizen-Formalismus 55 Matrix-Formulierung in lineaere Strahl-Dynamik: Zur Erinnerung: Die linearen Bewegungs-DGL -Matrizen beschrieben wurden: und cosinus-artigen -Lösungen + m + À $ M +-,, von 52 werden durch Linearkombinationen der sinus- (s 418) gelöst, die durch Fasst man die Komponenten von - und -Ebene zusammen, kann man r 0 r-matrizen benutzen: Prinzipiell möglich sind auch Kopplungen zwischen, * und *,, also Kopplungen zwischen Bewegungen in horizontaler und vertikaler Ebene Solche Kopplungen treten in realen Beschleunigern tatsächlich auf, sollen aber zur Vereinfachung im Folgenden vernachlässigt werden Prof Dr O Biebel WS

118 Matrizen-Formalismus 56 Transportmatrizen von Strahltransportelementen: Mit û J ñ - - Àund für 2 7 Å Æ Æ Ç * * È É É Ê gilt: Feldfreie Driftstrecke ¹ Á i ædrift Ë Ì Ì Ì Ì Í W À \ \ \ W \ \ \ \ W À \ \ \ W Î Ï Ï Ï Ï Ð Dipol ¹ Á i «Ý i ædipol Ë Ì Ì Ì Ì Í $ M 1 Ý µ 1 Ý \ \ f Ý 1 Ý $ M 1 Ý \ \ \ \ W À \ \ \ W Î Ï Ï Ï Ï Ð horizontal fokus Quadrupol ¹ Á œ i æqf Ë Ì Ì Ì Ì Ì Í $ M û f Á û \ \ ñ - - û $ M û \ \ \ \ $ M  û f Á  û \ \ ñ - -  û $ M  û Î Ï Ï Ï Ï Ï Ð vertikal fokus Quadrupol ¹ Á i æqd Ë Ì Ì Ì Ì Ì Í $ M  û f Á  û \ \ ñ - -  û $ M  û \ \ \ \ $ M û f Á û \ \ ñ - - û $ M û Î Ï Ï Ï Ï Ï Ð Prof Dr O Biebel WS

119 Matrizen-Formalismus 57 ç 0 ç-repräsentation: Die vollständige Beschreibung der Strahldynamik erfordert neben den transversalen Komponenten und auch die Dispersion Die Matrix-Formulierung kann leicht dafür erweitert werden: (NB: Dispersion nur in horizontaler Ebene) Å Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ç = 6 * = 6 = 6 * = 6 6 Ü = 6 È É É É É É É É É É É É É É Ê 7 Ë Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Í è éëê ì o éëê ì í í í î éëê ì è * éëê ì o * éëê ì í í í î * éëê ì í í è éëê ì o éëê ì í í í í è * éëê ì o * éëê ì í í í í í í ï î éëê ì í í í í í ï Î Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ð ñ Å Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ç é ê ì * éëê ì éëê ì * éëê ì ê Ü éëê ì È É É É É É É É É É É É É É Ê ZB für feldfreie Driftstrecke der Länge : Å Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ç éëê ì * éëê ì éëê ì * é ê ì ê Ü é ê ì È É É É É É É É É É É É É É Ê ô Ë Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì Í ï õ í í í í í ï í í í í í í ï õ í í í í í ï í í í í í í ï õ ö ø í í í í í ï Î Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ð ñ Å Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Ç é ê ì * éëê ì éëê ì * éëê ì ê Ü éëê ì È É É É É É É É É É É É É É Ê Ù ù À ú folgt mit û ö û ô ü ö ü ô é ý ü ö ý ì ö ü aus: Àÿþ À ù þ ú ù þ ú ù ú Prof Dr O Biebel WS

120 Í þ Ì À$ Ë "! & { þ Matrizen-Formalismus 58 Dünne Linsen -Näherung Matrizen-Formalismus ermöglicht einfache Berechnung von Sollorbits ist bei komplexen System jedoch mühsam zu berechnen (viele Matrixmultiplikationen) wird daher meist auf Computer ausgeführt für grobe analytische Abschätzungen: Näherung mit dünnen Linsen, dh Brennweite {Länge des Quadrupols:, sodass {const Abbildungsmatrix des Quadrupols in fokussierender Ebene: ' Ð Ð Í ÒÞ þ Ì Ð Ð Í Ò Ï Ì Í Ò+ þ þ Ì Ï Ì Ï Ë Ë Î Ë Ë & "! þ Î * Ï Ì Ï Î Ë, wobei )( in de-fokussierender Ebene Anwendungsbeispiel Quadrupol-Dublett: k(s) f 1 f 2 L s Ð Î Í Ð Î Ï Î Í þ mit Gesamtbrennweite (vgl geom Optik):, -, þ þ Prof Dr O Biebel WS

121 þ Matrizen-Formalismus 59 Symmetrisches und umgekehrtes Magnet-Gitter Für fokus+defokus Quadrupol-Dublett mit gilt: 3 þ 2 0!, 1Fokussierung in horiz&vert Ebene 1nur in Dünne Linsen -Näherung horiz & vert Brennweiten gleich (allg keine Kommutativität der Matrixmultiplikation) Für symmetrische Magnet-Gitter (wie abgebildet) findet man einfache Relationen zwischen Für symmetrische Quadrupol-Tripletts (so) ergibt sich mit den Transformationsmatrizen ææund die umgekehrte Quadrupol-Anordnung die Transformationsmatrix: für é ï 7 ì õ ï87 õ 4 2ô 2 ñ 3ô ï87 õ é ï 0 6 = ö: ö: õ ö: ö: < ì ö: ; õ 9 9 õ Solche symmetrische Tripletts fokussieren in horiz&vert Ebene, falls Solche Tripletts sind grundlegende Designelemente ua in Kreisbeschleunigern (FODO-Zelle) Prof Dr O Biebel WS

122 M N H ú I þ & ô ô 7 I H ú 5 5 í í IIJ1untere, rechte IIJ1obere, linke í ú H ú BA í í C í í ï C Matrizen-Formalismus 510 Sektormagnet vs Rechtecktmagnet Dipolmagnete im Kreisbeschleuniger sollten eigentlich so gen Sektormagnete sein Für Sektormagnete (Länge >) gilt die Abbildungsmatrix: 3Sektor C BEF D BEF BA í í í í C C 7 K í í í í í ï > = G G G ï < 1 þ ù ù þ entspricht einer Brennweite Fokussierung in horizontaler Ebene (geometr Fokussierung) -Blockmatrix entspricht einfachem Strahltransport in vertikaler Ebene Für Rechteckmagnete gilt die Abbildungsmatrix: 3Rechteck 6 ï D BEF K í í > < = K G G G G Sektormagnet +Ψ +Ψ K)L ï 7 ï87 Rechteckmagnet mit 1 þ ù ù entspricht einer Brennweite φ Fokussierung in vertikaler Ebene -Blockmatrix entspricht einfachem Strahltransport in horizontaler Ebene Prof Dr O Biebel WS

123 S Q X X ú R P Q P P S Emittanz und Liouville-Theorem 511 Emittanz und Liouville-Theorem Jedes Teilchen im Beschleuniger wird durch 6 Größen charakterisiert: ù O PUT PWV Mit Sollimpuls sind: OZY, R Y die transversalen Impulskomponenten,Tdie Koordinate entlang der Teilchentrajektorie, Vdie Teilchenenergie (alternativ auch Gesamtimpuls oder Abweichung von Sollenergie) Werden viele Teilchen betrachtet, die ein Ensemble, Teilchenpaket oder Teilchenbunch darstellen, wird jedes einzelne der Teilchen durch ein 6-Tupel charakterisiert Statt die Bewegung einzelner Teilchen, betrachtet man die Bewegung des Ensembles Alle Teilchen des Ensembles weisen ungefähr gleiche Werte der Größen im 6-Tupel auf, besetzen also ähnliche Zustände im 6- dimensionalen Phasenraum In linearer Strahloptik, mit entkoppelter horizontaler und vertikaler Ebene, genügt es, nur den 2- dimensionalen Phasenraum zu betrachten Beschreibung des Ensembles durch statistische Größen: Mittelwert, Streuung (Varianz) Die Linie konstanter Phasenraumdichte ist eine Ellipse mit minimaler und maximaler Varianz als Halbachsen Prof Dr O Biebel WS

124 þ þ a ú þ þ I [ [ [ ] I [ Idiffuse Quelle mit Blende der Größe I I [ Emittanz und Liouville-Theorem 512 Bedeutung des Phasenraums und der Emittanz Teilchen aus einer diffusen Quelle der Größe [besitzen beliebige Ozwischen [und beliebige O\Y zwischen ]und 1Phasenraum: in O Y unendliches Rechteck mit Breite alle Teilchen innerhalb des Rechtecks ]Fläche des erlaubten Phasenraums: [besitzen beliebige Ozwischen [und 2wd beliebige OZY zwischen ^und ^ 1Phasenraum: Parallelogramm alle Teilchen innerhalb des Parallelogramms 2wd Fläche des erlaubten Phasenraums: I ù I [ Ì _ ^ b [ Fläche im Phasenraum c(strahl-)emittanz der Quelle Prof Dr O Biebel WS

125 t ô O d ú ce u T T Q f g þ h pq Q T T {z & I m I p ú O lk Emittanz und Liouville-Theorem 513 Phasenraum-Ellipse, Emittanz und Twiss-Parameter Teilchenensemble (in einer Ebene) ia durch 2-dimensionale Gausskurve beschreibbar ù O P O Y ù þ cor i O O þ Icor O O\Y OjY O\Y OjY mit Korrelationskoeffizient cor O Y O O)Y, wobei O mon O I O s us Orund O für alle Teilchen, O Y (dh Mittelwerte í) Die Phasenraum-Ellipse ist damit durch die so gen Twiss-Parameter s,, Qwv OxY t u ou t gegeben: O } ú cor Qyv O)Y þ t O Icor ù O OxY ú ù O þ OxY O\Y O\Y Emittanz (e -Strahlen!) NB: in Literatur häufig Emittanz auch als ~definiert uellipsenfläche ist die rms-streuung der Strahleinhüllenden (pro Einheit der Emittanz) ist die rms-streuung der Strahldivergenz (pro Einheit der Emittanz) Osist proportional zur Korrelation zwischen und O Y Außerdem: t þ s, da nebenuzwei weitere Parameter zur Beschreibung der Ellipse genügen Prof Dr O Biebel WS

126 u Emittanz und Liouville-Theorem 514 Das Liouville Theorem besagt: Unter Einwirkung konservativer Kräfte bleibt die Teilchendichte im Phasenraum konstant Die Konsequenz ist: Strahlelemente (feldfreie Driftstrecken, Quadrupole, etc) deformieren zwar die Phasenraum-Ellipse, ändern aber die Fläche der Ellipse nicht Insbesondere ist damit uunabhängig von : O O\Y O\Y t O O Y O Y G s G G þ G 5 < = = ú G G 5 ú ú 5 < G 5 ƒ t I s O I O s wobei 6 OZY O 6 Y ù ù ƒ Y ù ù = ú < 6 OZY O < Transformationsmatrix : 6 Y Y ù ƒ Y ƒ Y Y ƒ Y ƒ Y ú þ ƒ Y 6 ƒ 6 t = I þ t = = t G ƒ 5 < 5 < G G s G G G G G I ƒ þ für Twiss-Parameter s,, Prof Dr O Biebel WS

127 e z Q T 5 Q Q T T < = Q T é u Osdie Korrelation zwischen ï ô Q T í s ˆ Q T > ô ì ï ˆ Y ê s ê _ 5 < t = G s G Š ú 5 I þ = G t < 5 < = G G s G Emittanz und Liouville-Theorem 515 Beam waist : Es gilt allgemein die Twiss-Parameter-Transformationsmatrix für eine Driftstrecke der Länge dh è ô è Y ô Y : 6 6 þ 6 Da und O Y angibt, also die Neigung der Phasenraumellipse, folgt als Bedingung für den Ort _ der Strahltaille (engl: beam waist ): ù_ s Damit folgt aus obiger Transformationsmatrix die Relation für den Ort der Strahltaille: _ þ _ t Für negatives bzw positives Vorzeichen von liegt die Strahltaille vor (dh ) bzw hinter Mit Kenntnis der Transformationen der Phasenraum-Ellipse kann die Emittanz eines Strahls bestimmt werden: Strahlquerschnitt Strahldivergenz Qwv O OjY : direkter Messung zugänglich (zb mit Fluoreszenzschirm) : keiner direkten Messung zugänglich Messung des Strahlquerschnitts an drei verschiedenen Stellen und bei unterschiedlicher Fokussierung Twiss-Parameter-Transformationsmatrix liefert Relationen für Strahlquerschnitte an allen drei Stellen Berechnung der Strahlparameter (Querschnitt Berechnung der Strahlemittanz aus ( cor Q v T, Divergenz Qwv):, Korrelation Y ) am Referenzpunkt 6 Qwv T T Q v e z þ Qwv 6 5 s þ s < Q v t = u u T T þ Œ Q Q Qwv TŽ Prof Dr O Biebel WS

128 Betatron-Funktion und Strahleinhüllende 516 Betatron-Funktion und Strahleinhüllende Um genauere Einsicht in die charakteristischen Eigenschaften der Teilchentrajektorien zu gewinnen, wird im Folgenden eine analytische Lösung der Bewegungsgleichung YY ù ú ú ú M I I ù ú ù ú þ þ ' Y ú M M Œ ü M ú ú M "! M þ ú R ' ' diskutiert O ist die horizontale ( ) oder vertikale ( ) Koordinate, ù die Magnetanordnung im Beschleuniger Lösungsansatz: ù u ù ú ù, wobei uund Integrationskonstanten sind Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert zwei Bedingungen, damit die Lösung für alle ù gilt éüw y : YY Y M Y Y M Y M YY M Y Zweite Bedingung: mit Normierung M Y folgt die Phasenfunktion: ù ú t t I ' I s I b ' ù þ - M Eingesetzt in die erste Bedingungsgleichung folgt: YY Y und mit þ Y und ù s : YY þ Prof Dr O Biebel WS

129 M Betatron-Funktion und Strahleinhüllende 517 Courant-Synder-Invariante: Eliminiert man ù u ú M þ ú aus ùm þ M ú "! þ und Y ù Œ u ùm þ Œ u t I s ùm þ M ú M ú s "! & þ so ergibt sich die so gen Courant-Synder-Invariante: Y Y uoder ú t s t ù s t M "! M Y ú u, wobei þ Y und ù s Dies ist die Gleichung der Phasenraum-Ellipse, womit die Bedeutung der Parameter, s, undufestgelegt ist Man nennt, s, t und die Phasenfunktion M auch Betatron-Funktionen oder Gitter-Funktionen Der Term ù ú þ aus dem Lösungsansatz beschreibt (quasi-periodische) Oszillationen (mit veränderlicher Amplitude und Frequenz), die Betatron-Oszillationen genannt werden NB: Die Strahlemittanzutaucht im Amplitudenfaktor der Lösung für ein einzelnes Teilchen auf Dh, ein Teilchen, welches mit Amplitude uentlang der Ellipse läuft, definiert die Emittanz für den Teil des gesamten Strahls, der von dieser Ellipse umschlossen wird, also für alle Teilchen, deren Trajektorien die Bedingung š u Y Y I s erfüllen Prof Dr O Biebel WS

130 V Betatron-Funktion und Strahleinhüllende 518 Strahleinhüllende: Um den Teilchenstrahl als Ganzes zu beschreiben, wird durch den Amplitudenfaktor in der allg Lösung die Strahleinhüllende definiert: ù u ù ú Œ ú ú Die Strahleinhüllende gibt die maximaleminimale Amplitude an, die ein Teilchen annehmen kann, welches im Phasenraum auf der Strahlellipse läuft Die Strahleinhüllende ist durch Strahlemittanzuund Betatron-Funktion ù bestimmt Die Strahlemittanz ist eine Konstante der Bewegung (wg Liouville-Theorem) Man kann sie als transversale Temperatur des Strahls auffassen Die Betatron-Funktion reflektiert die externen Kräfte durch die fokussierenden Magnete Durch das Arrangement der Quadrupolmagnete können spezifische Strahleigenschaften, wie geringer oder großer Strahlquerschnitt an bestimmten Punkten, erzielt werden Prof Dr O Biebel WS

131 Ÿ Ÿ œ G 5 5 < 7 > G = = œ G < 5 < 9 > 7 Betatron-Funktion und Strahleinhüllende 519 Betatron-Funktion in Driftstrecke: Experimente in Kollidern stehen typischerweise in geraden Driftstrecken Genau am Wechselwirkungspunkt im Experiment soll der Strahlquerschnitt am kleinsten werden, also die Strahltaille auftreten Mit der Twiss-Parameter-Transformationsmatrix (vgl Folie 515) kann der Verlauf der Betatron-Funktion um den Wechselwirkungspunkt bestimmt werden 6 ü = ž 6 Ÿ > 6 ü Aus der obigen Transformationsmatrix folgt: ù ù þ ú s ú s t s þ ú t I s Für Strahltaille (beam waist): ù þ ù þ _ ú _ _ ù_ 4 ú Optimales Länge : für Driftstrecke der ù ù 4 ú _ I I 4 ú NB: Üblicherweise bezeichnet man die Betatron-Funktion am Wechselwirkungspunkt eines Experiments mit, Prof Dr O Biebel WS

132 O ú von der Soll-Weglänge s t 4 ö ˆ s s ² s O þ ª «¹ 2 H ¹ 2 ³ H ú ú H Weglänge und Momentum compaction 520 Weglänge und Momentum compaction Die bisherige Betrachtung hat wiederum dispersive Effekte vernachlässigt Tatsächlich wirkt sich, in linearer Strahldynamik, Dispersion auf die Weglänge eines Teilchens durch einen Ablenkdipol ù ù ) aus: ù ú Dabei ist ù ú die horizontale Abweichung von der Sollbahn bei relativer Impulsabweichung Die Abweichung ist ù und wird beschrieben durch den momentum compaction -Faktor: ù ù ú ú ù H ù ú ù 2 s 2 ú ¹ 2 Die Flugzeit eines Teilchens der Geschwindigkeit für die Strecke ist: þ Mit s und t t folgt (NB: ž Ÿ Ÿ 7 û öw± ): tµ þ W, mit Momentum compaction : t Kreisbeschleuniger: geänderte Umlauffrequenz : und Übergangsenergie bei : (engl transition energy) Prof Dr O Biebel WS

133 Periodische Fokussierungssysteme 61 Periodische Fokussierungssysteme Periodische Fokussierungssysteme 1 FODO-Struktur 2 Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen 3 Strahldynamik in geschlossenen periodischen Strukturen 4 Dispersion in periodischen Strukturen 5 Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers Prof Dr O Biebel WS

134 ¼ ¼» FODO-Struktur 62 FODO-Struktur Zur Erinnerung: In Betatron schwache Fokussierung durch Problem: geringe rücktreibende Kraft º-Feldgradient mit Feldindex große Betatron-Oszillationsamplitude große Apertur Lösung: starke Fokussierung oder alternierende Gradienten-Fokussierung (kurz: AG-Fokussierung) Analogon aus der Optik: dea: cut the arc sections in Abwechselnde Abfolge von Sammel- und Zerstreuungslinsen mit gleichen Fokussierung! Für Teilchenstrahlen entspricht dies (QF=horiz fok Quadrupol, QD=horiz defok Quadrupol): Prof Dr O Biebel periodische FODO-Struktur: QF, Driftstrecke (=O), QD, O WS

135 0 ³ ³ s ¾ ½ = Ë 6 Æ = Ë = v Æ Ê 5 G q < Å 5 Æ v Æ G < Ê 5 «G v Å L «Á ½ = k Æ v G G G G G Gq 5 < 5 ½ < 5 < 5 ½ < 5 < 5 ½ < Æ Ç È und K = ¾ 6 = ¾ KÀ = ¾ 6 = ¾ K = Á 6 Ä, I ½ i Å v Å I ½ I ½ ¾ Â FODO-Struktur 63 FODO-Parameter: Betrachte Magnetabfolge: QF + Driftstrecke ½+ IW¾ QD + Driftstrecke ½+ QF wobei Mit der Transformationsmatrix für die Twiss-Parameter (s Folie É Å v L Å v v L Å v Ì ÆÅ Í ÆÅv Î 6 É «< ) folgt für Dabei ist Á Á, und und Prof Dr O Biebel WS der Wert der Betatron-Funktion im Zentrum des QF-Quadrupols t Á Â s Á Á I ¾ ½ ¾ b ½ ¾ ÂÏ ÅÆ Æ L Á Ä, I ¾ Â ¾ Â ½

136 Œ ½ ÂÏ Á Í ª K K 0 FODO-Struktur 64 FODO-Parameter (fortgesetzt): Lösung von ergibt mit FODO-Parameter die Amplitude der Betatron-Fkt im Zentrum des QF-Quadrupols K)L ª L ½ ¾ Œ Á K K ª ¾  ½ ¾  ¾ QD-Quadrupols ª L c ½ ½ ½ ¾ I S Í : Q ª ¾ ª  X Ø K)L Á Á Ö ÂQ S Q S Q ÓQ Ô Ó : Q ½ ¾ Á  Á Í Í Ñ (wg: : ¾ Ð 7 bzw Ð 7 Ñ) Lösungen gelten für horizontale & vertikale Ebene der jeweils fokussierenden bzw defokussierenden Quadrupole: QF ( Ò):, S Á ; QD ( ):, S Á Für periodische Systeme wichtig: Anschlussbedingung für Betatron-Fkt von FODO- zu FODO-Zelle! und -Formeln beschreiben jedes periodische Gitter, wenn Anschlussbedingung am Anfang & Ende erfüllt Apertur: für runden Strahl durch bestimmt für flachen Strahl (zb ) optimaler FODO-Parameter: Á optimaler FODO-Parameter: Á opt opt ZÕ NB: ÙÛÚ cmax Strahldurchmesser in FODO Prof Dr O Biebel WS

137 Á Á Õ Í Ö X îå Ø å X ï î b Á "! & 0 I á å 6 = = v Æ Î "! á 7 Ÿ, ç9 5 "! á G Á < æ 5 < ç9 ç9 é "! "! å v Æ Î k «q «ÙQ Ù S á Á å I ½ ê Á å I Á Á ê ½ 0 å  Á á  ٠& á  Y âq ã Ý äé Y  Á Ù & á  á  Y FODO-Struktur 65 Betatron-Phase in FODO-Zelle: Der Strahltransport wurde durch (vgl 514, 516) Mit der allgemeinen Lösung der Bewegungsgleichung erhält  für s Á s Á i Ü v Ü k i Åßv Å ÌÞÝ ÌÞÝ Î Î Æ ÌÞÝ ÌÞÝ k à Î i Ü v Ü beschrieben und Also ist ½! dh Brennweite eines halben Quadrupols muss größer als der Abstand zum nächsten Quadrupol sein! Apertur: für runden Strahl durch optimaler FODO-Parameter: ÂÙQ Ù S ê Á bestimmt opt I áopt ë íì ÓQ Ô Ó S für flachen Strahl (zb optimaler FODO-Parameter: ÙQ ê Á ) opt áopt Phasenvorschub áopt je FODO-Zelle erlaubt kleinste Apertur Prof Dr O Biebel WS ñ ì i Å v Å ÌÞÝ ÌÞÝ Î Î Æ ÌÞÝ ÌÞÝ k Á Î É & á Ù & á 6 Ÿ 7 è: è: Ÿ 7 è: Ÿ ; ç è: Ù Á Ù die Form

138 3 Œ ¼ š å I š å Á k Æ v e z Á Æ Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen 66 Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen Wenn der Teilchenstrahl in einem kreisförmigen Beschleuniger eine periodische Magnetstruktur immer wieder durchläuft, wird die Frage der Langzeitstabilität bedeutsam Eine Strahltransportmatrix i Å v Å ergibt mit  Id Á die Eigenwerte  ƒ Y  ƒ Y  ƒ Y Tr  Á ¼ ƒ Y Für ein Quadrupoltriplett (vgl Folie 59) gilt die Transportmatrix: Ÿ 7 ç Ÿ 7 4 2ž Ÿ 7 Ÿ 7 ç è: ö ö ö 2 4 š ö K+ Á 6 = è: è: ç9 è: 3 ž 3 2 é 7 9, é ª äk+ K+ KL k ª äkl ö š I š å ö ö b ½ ½ ö ö ª ª, 5 < ç9 è: ç9, Dabei beschreibt (vgl 58) mit Kõô Á i KL äk`ô das Quadrupol-Dublett Stabilitätskriterium:Tr  Á ö I µ, µ, Prof Dr O Biebel WS

139 š ½ Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen 67 Stabilitäts- bzw Necktie -Diagramm Stabilitätskriterium:, ê ê ½ ø ½ ž š å Mit, Kõô und ùý èù ù ; Ÿ üú } ù } ù } ù èù Ÿ K+ KL ; 7 K+ KL š ø š å ø ª Daraus ergibt sich das Stabilitätsdiagramm: ( ùwú Ÿund ùwû Ÿund ùwû ùwú ùwú ù 7 und (mit ùwûû) ùwú ùwú Aufgrund der Form: Necktie - oder Krawatten -Diagramm Diese Form gilt für die Dünne Linsen -Approximation, also Betrachtung der ungenäherten Transportmatrixen zeigt iw das gleiche Bild, Begrenzungen des Stabilitätsdiagramms sind jedoch leicht gekrümmt Prof Dr O Biebel WS

140 è: : Ÿ è è 9 Ð è 9 BEF > ž Ÿ ž ç Í Í Betatron-Bewegung in periodischen Strukturen 68 Reale Beispiele für Beschleuniger mit periodischen Magnetstrukturen: 1 DORIS-Synchrotron (e e ) Unteres Bild: FODO-Struktur und Betatron- Funktionen ÙÙQ und S NB: Kleine Abweichungen von regelmäßiger FODO-Struktur Platz für andere Strahlkomponenten (zb Sextupole, etc) nur kleine Störungen in periodischer Betatron- Funktion 2 Strahltransport mit geringer Krümmung vom SLC-Linearbeschleuniger (e e ) zur Kollisionszone 3 FODO-Struktur mit sehr geringer Emittanz für theoretische Studien der Strahlstabilität 4 FODO-Struktur des SSC-pp-Colliders (nie reali- þuÿ >, Ñ, Ñ ž ÿ ž BEF è ç siert) Prof Dr O Biebel WS

141 ½ ' Strahldynamik in geschlossenen periodischen Strukturen 69 Strahldynamik in geschlossenen periodischen Strukturen Nochmals sei die Bewegungs-DGL betrachtet (s Folie 516) YY  ¾ ' Á und die Periodizität mit Länge der Magnetstrukturen beachtet:  Á  [ [ [ g  e f g ê ½ f r ê ½ [ e ' ½ ' Wg der Periodizität von  heisst diese Bewegungs-DGL: Hillsche Bewegungs-Differentialgleichung (Hill war Astronom im 19 Jahrhundert und hat die Bewegung von Teilchen in periodischen Feldern untersucht) Lösungen der Hillschen-DGL haben Eigenschaften, die durch die Floquet-Theoreme beschrieben werden: Lösungen sind quasiperiodisch zwei unabhängige Lösungen:  Á  Á [,  ¾  ¾  r,, [,  ist komplex-konjugiert zu  Strahldynamik: Nur reelle Â, dh [,  [[ist eindeutig und periodisch: Œ Ù Œ Ù M "! M M [ Ý Ý Í ª ½ [ å Ý Ý Í ª å e z Ý Ý Í ª "! Ý Ý Í ª ist ein charakteristischer Koeffizient: Tr  Spur der Transportmatrix unabhängig von Tr  Á  :  Á  Á  Stabilitätskriterium ist erfüllt: Á  Tr  Vergleich mit Lösung  Á u  ¾  (s Folie 516) Á,  Á u  Prof Dr O Biebel WS

142 6 = "! 9 G G Á 5 ƒ < 5 "! < S Á ÂUmlauf M å 6 É É «= Œ É «"! Í Ê «Ê É G 5 Œ É «5 ƒ & É v Æ Î «å q «ú Œ s ž Œ Ù "! Œ ÙQ  I I Q S 6 Y   ƒ Y   = Á < M É É «& M Ê «Ê Â!" M s M Â!" Ù M Ù & s M & M G < Strahldynamik in geschlossenen periodischen Strukturen 610 Transportmatrix für vollständigen Umlauf: Allg Lösung für Hillsche Bewegungs-DGL: Aus Startwerte bei Á ž ú ú Y ž ú Y Ù Ù : Á Ó ž Ó œ ž œ und Mit ³ Ü v Ü ÌÞÝ ÌÞÝ Î Î i Å v Å ÌÞÝ ÌÞÝ Î Î Æ ÌÞÝ ÌÞÝ k à Î ³ Ü v Ü und s Á Ù Y ê M Y Á ê Ù I, folgt: Ausserdem Betatron-Tune: Von Bedeutung: nicht-integer Anteil ÐResonanzen Vollständiger Umlauf (zur Vereinfachung: Ó Y ž 7 œ 9 ž) M Á I ¾ Ù Á Ù, Umlauf 6 Y ƒ Y = Á É «& I I I Ù & I mit 3Umlauf BA 9 } 3 Umlaufž Ÿund Prof Dr O Biebel WS Á Ù Y  Á M Ù & M

143 5 Dispersion in periodischen Strukturen 611 Dispersion in periodischen Strukturen Bisher: nur Teilchenstrahlen mit Sollenergie-impuls keine chromatischen Effekte Chromatische Effekte: Berücksichtigung der Dipole (zur Vereinfachung bleiben Dipol-Endfeldeffekte unberücksichtigt) Dispersion cenergie-impulsstreuung im Strahl (in linearer Näherung) Beschreibung der Dispersion durch Matrixformalismus: Abweichung, Y vom Sollorbit durch Impulsabweichung aus Transformationsmatrix   6 ú Y ú y y = ž 6 ú Y ú y = ž 6 Y Y Y 6 ú Y ú y y Ü v ÌÞÝ Î q ÌÞÝ Î q y ž y ú Y Y y ž y 6 6 = å å G G P å Á 5 = = Ÿ G G G G G 3 é G G < 5 < 5 < 5 G G G G Ü G 7 Ð ««< G ú ¾ G G 5 < G G G é é < Mit Betatron-Oszillationsamplituden  Y  und Á Y  = Á Y  Prof Dr O Biebel WS

144 6 = = å å å G G G G G G "! & å ½ Á G G G ª ª ª G G G 5 < 5 < 5 ê H I < ƒ "! "! ½ ª ª ª ½ H ½ H ³ "! "! "! & ¾ å ½ ½ ½ ª C Î 6 C = C "! & ª ª ½: Ÿ(nur Terme linear in G Á C 5 ƒ < 5 "! C G < ª ª è D H Y Â ½ Á î î î Á & Â ½ Á i H H H H H k H H & - Á H å ÌÞÝ Dispersion in periodischen Strukturen 612 Dispersion-Transformationsmatrizen: ZB für Sektormagnet der Länge Sektor Dispersionsrelation (vgl Folie 420): Â Á Ý ƒ Â Â Â ƒ Â - und mit Näherung ) Sektor Prof Dr O Biebel WS Y ƒ Y Y = Á C«C«C«C«& ª C«C«C«C«H & H Â å 6 å êh ½ H Â ½ Á H Áconst 6 Y ƒ Y = Á C H &

145 ³ I ( I å ½ ' ' " ³ I ( I Í Á Í ½ = = å å & Í ª ª ª " G ÁG G G Á < æ 5 5 < ª Í & Í 6 = = 6 = å å å G G G ê å G å ½ G G G å å G G ½ ½ ½ ê I G G G ¾ G G G G 5 < 5 ê H I < 5 å < 5 ê H I < å ½ ½ ½ H ê QF und $ ê QD: $ Á å Á H  I 6 $ äl + FODO¾ 6 KxL Á C«¾ K å & K C«$ Á å ª L å + äl Á FODO å 6 å êh ê = Á ½ 6 å ½ ê ê ê å êh Â å ½ ê QD B ê QF Dispersion in periodischen Strukturen 613 Dispersion in FODO-Struktur: Betrachte FODO-Zelle aus ½QF ½QD f Dipol mit Annahme: FODO-Zelllängeç Dipollänge f Dafür gilt: Gesucht: Periodische Lösung für Dispersionsfunktion ( žanschlussbedingung) (NB: Dispersionsfunktion ia nicht-periodisch; periodische Dispersionsfunktion 1im Zentrum der FODO-Zelle: Dispersion(von links) = Dispersion(von rechts) "Dispersionsfunktion bei  Á symmetrisch " Y Á im Zentrum der FODO-Zelle Dispersionsfkt bei ( ½ bei H å & Á H  I & å mit FODO-Parameter Prof Dr O Biebel WS Á ( ê ½ ( ½! y

146 å Á Í $ Dispersion in periodischen Strukturen 614 Beispiel für Dispersionsfunktion: DORIS-e e -Beschleuniger am DESY ê Â*) + å " X îå Á " & å X î Á Í H X I ïî å ½ Á ê I & îå I ë X q ',' - m Im ª L C«Â I ïm $ ª L C«Â I m NB: leicht unsymmetrische Magnetanordnung "kleinere Prof Dr O Biebel WS

147 ! Dispersion in periodischen Strukturen 615 Achromatische Magnetanordnungen zur Aufhebung der Dispersion: Ähnlich wie bei hochwertigen Kameraobjektiven kann durch geschickte Anordnung von Ablenk-, Fokus- und Defokus-Magneten eine dispersionsfreie Strahlablenkung erreicht werden (NB: Innerhalb der Anordnung kann Dispersion auftreten, außerhalb verschwindet ) Prof Dr O Biebel WS

148 å " 0 Á3 3 æ Á 76åund e Á Á å å G 0 3 G G 0 3 G Á3 3 æ ¾ 0 3 G 0 3 G G 0 3 G < 5 < ƒ Y Â Ý «Ý ¾ Â Y å 2 und vermeiden! I Â & ƒ Y b & b & Á Â å ƒ & ƒ Y Â å ƒ & ƒ Y Y å 2 Dispersion in periodischen Strukturen 616 Dispersion bei vollständigem Umlauf: Transformation der Dispersionsfunktion bei vollständigem Umlauf bedeutet: Mit z 5 Umlauf ƒ Y Y ƒ Á 5 Umlauf Umlauf & ƒ Y Á I "! I Y 4 å Á 2 ³ Y = ¾ 5 Umlauf (vgl Folie 610) und Beachte: Integerwerte für Tune Transformation der Dispersionsfunktion: Kenntnis von Y an einem Punkt im Beschleunigerring für beliebigen Ort Prof Dr O Biebel WS Y Á Y & Â å Y Y 4 å Á 2 6 Y ƒ Y Y = ¾ Y å 2

149 Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 617 Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers Ein Quadrant eines 35 GeV-Synchrotron-Rings Drei unterschiedliche Grundstrukturen: 7 FODO-Halbzellen 2 Halbzellen (ohne Dipole) zur Anpassung der Dispersionsfunktion 1 Halbzelle für die Installation weitere Beschleunigerelementen 1Gesamte Struktur benutzt gleichartige FODO-Zellen mit nur QF und QD Quadrupolen 1Betatron-Funktionen insensitiv auf Vorhandensein oder Fehlen von Dipol- Magneten 1Auslassen von Dipol-Magneten "gerade Stücke (zb für Strahldiagnostik, Injektion-Extraktionsmagnete, Experimente) Prof Dr O Biebel WS

150 S S Q Ù P S ' 8 Q Ù P S ÂÙQ ÂÙQ P P P P Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 618 Für die Konstruktion eines Beschleunigers aus FODO-Strukturen ist zu beachten: Anpassung zwischen FODO-Strukturen erfordert: P ÙY P ÙY Y ' Á P ÙY P ÙY Y 1Phasenraumellipse am Ende von Struktur (bei gegenläufigen Teilchenstrahlen gleiche Bedingung für beide Richtungen) "Akzeptanz-Phasenraumellipse am Anfang von Struktur 1zB Protonen&Ionen benötigen perfekte Anpassung (Teilbild b) Elektronen&Positronen: volle Akzeptanz der Emittanz, neue Phasenraumellipse schnell durch Synchrotronstrahlungs-Dämpfung erreicht (Teilbild c) aber Randbedingungen durch: Strahlkollisionsorte mit kleinem Ù, ( ÐStrahlgröße) und verschwindender Dispersion ( ÐEnergiestreuung) gerade Stücke für Hochfrequenz-Resonatoren, Injektions-Extraktions-Magnete, Strahl-Diagnostik (zb Strahlpositionsmonitore, etc) Prof Dr O Biebel WS

151 Ù S ' P Á Ó S P Á Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 619 Anpassungs- wie Randbedingungen erfordern gezielte Beeinflussung der Strahlparameter 1zB Dispersions-Anpassung in einem Emittanz-Dämpfungsring, mit Zielvorgabe Y "gleichförmige Oszillation der Dispersion in FODO-Strukturen aufgrund perfekter Dispersions-Anpassung 1Dispersions-Anpassung beeinflusst Betatron-Funktionen (va "Besondere Anpassung für Betatron-Funktion erforderlich ) 1Dispersionsfreier Abschnitt mit Á Y durch QDM und QFM "Betatron-Funktionen in dispersionsfreiem Abschnitt durch separate Quadrupole anpassen "Minimierung der vertikalen Betatron-Funktion am Kollisionspunkt y ž Prof Dr O Biebel WS

152 è Ó ; ç Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 620 ' Ö :; < q, Ö9 q Insertions : Für Kollisionspunkte werden gerade Stücke, >Ö Ö Ö Ö benötigt: É ô m;émax m; Betatrontunes = q, Magnet Free Insertion durch Auslassen von Dipol-Magneten Low Beta Insertion an Collider 1lange gerade Stücke (meist ÒDipollänge) für Experimente erforderlich "zusätzliche Quadrupole zur Minimierung (mhjilk ) (m) von Ù, und am Kollisionspunkt "große Werte der Betatron-Funktion in geraden Stücken (Aperturgröße) BGF, M F (gerades Stück: y ž Ó, ins Ó, ) A BDC, E DØ-Experiment M C Figure 614 Lattice functions at B0 and D0 for the Dispersionless IR Solution a) with out the low beta squeeze (lattice JJ01) and b) with the low beta squeeze (lattice JJ15C) Prof Dr O Biebel WS

153 S Beispiel eines Speicherring-Beschleunigers 621 Magnetstruktur im PEP-Beschleuniger: PEP=Positron Electron Project (am SLAC) Hälfte einer von 6 symmetrischen Struktur-Superperioden dargestellt Magnetfreier Bereich von 20 m Betatron-Funktion-Designwert am Kollisionspunkt: Ù, X5 cm Kollisionsbereich "Übergangsbereich zur Betatronund Dispersions-Anpassung Am Symmetriepunkt im Bogen: kurzes magnetfreies Stück für Strahldiagnostik und -manipulation FODO-Gitter wurde aus Kostengründen nicht perfekt angepasst (Zahl der unabhängigen Stromversorgungen) Prof Dr O Biebel WS

154 N Addendum zu: Periodische Fokussierungssysteme 622 Addendum zu: Periodische Fokussierungssysteme Die Begriffe Betatron-Funktion, Dispersion und Emittanz spielen in der Beschleunigerpraxis eine wichtige Rolle Letztlich geht aus den transversalen Betatron-Funktionen und den zugehörigen Emittanzen eine für die Experimente am Beschleuniger unverzichtbare Größe hervor: Luminosität Die Luminosität (sinngemäß etwa: Leuchtstärke) ist die Proportionalitätskonstante, die den (theoretisch berechneten) Wirkungsquerschnitt Teiner Reaktion mit der im Experiment beobachtbaren Reaktionsrate Overknüpft Im Vorgriff auf Abschnitt 10 soll im Folgenden kurz der Begriff der Luminosität und die Messung von Luminosität durch Bestimmung der Betatron-Funktion und der Emittanz am Beispiel des Proton-Antiproton-Beschleunigers Tevatron wie auch des Proton-Proton-Beschleunigers LHC vorgestellt werden: 1 Luminosität 2 Messung der Luminosität am Beschleuniger Neben diesen Methoden, die Luminosität aus den Beschleuniger-Parametern zu bestimmen, werden zusätzlich spezielle Detektoren in den großen Experimenten eingesetzt Diese Detektoren messen die Reaktionsrate von besonders gut bekannten oder berechenbaren Reaktionen, sodass aus Rate und Wirkungsquerschnitt die Luminosität auf alternative Weise mitunter wesentlich genauer als aus den Beschleuniger-Parametern ermittelt werden kann Prof Dr O Biebel WS

155 Ü ê ê è Ó WF 9 9 œ Ü T Q T S u Á U T Ü b T (» p (ú Y» '» ( Q S Q S T N Luminosität 623 Luminosität Ereignisrate: Luminosität: O Á P Á P ¾ T: Wirkungsquerschnitt P: Luminosität R R QR σ l n1 n 2 : Kollisionsfrequenz πσ x σ y : Teilchenzahl in kollidierenden Paketen T T ST : horizvert Strahlgröße (Ellipsenhauptachse ú ž ) Y : Emittanz (Fläche der Phasenraumellipse) Strahlgröße: Ü Á Œ u Ù, ÜÙ Á, Y : Betatronamplitude am Ww-Punkt : Winkel bzgl Strahlachse) Phasenraumellipse: Gaussprofil der Teilchenstrahls (hier um Winkel V gedreht dargestellt, wobei V ž 7 ) Prof Dr O Biebel WS

156 u p m»»p Á X Ù 2 t 2 u Y ê O I ¾ ( ( I ¾ Á b» '» u Q Luminosität 624 Luminosität an (Anti-)Protonbeschleunigern: P Á Œ u u Q S " u Á QÙ, Z Y Ù, S u S X Á u ' Y ê S " Q T T u Oºund Zahl der Teilchen je Bunch OOp ¾ Ù 2 t 2 Ö[  up m Ö[ Oin cm, å [ u p Ö[ X p mit relativitischem Lorentz- Ù und - t als so gen 95 normierte Emittanz für Y ê å Ö ê p Vereinfachung: runde Teilchenstrahlen, dh Ù, QÙ, Ù,, S Á Ù, Jedoch: Unterscheidung für Protonen (p) und Antiprotonen (p)  up &up»»p p P Á Ù,  up ¾ &up  T Ù, Hourglass -Faktor  T Ù, trägt Bunchlänge (Gaussprofil mit ) Rechnung Weitere Ersetzungen für praktische Berechnung: ( ¾ p (rev º ¾ O p p mit Umlauffrequenz (rev, Anzahl der Bunche [ÖÁ  ¾ r Áp P p P Á (rev º ¾ Ù, p  &up m ¾  T Ù, ¾ cm s mit (rev in khz, Ù, p p in und m in mm¾mrad Prof Dr O Biebel WS

157 <b à \ q à à É` Ë` Î <b dc dc Í a ä ' e h L d ë Ø å å [ I b å [ ºJ J º b ïî Luminosität 625 Parameter Wert Einheiten Beispiel Tevatron: Zielwerte im Run II für 2003: Umlauffrequenz Bunchanzahl (rev ïkhz ProtonenBunch AntiprotonenBunch Strahlenergie GeV ê Proton p 4 å $ ' P iî j $ o $ n X î î î ï î î T Y î ñ Ö[ Antiproton-Emittanzu m å ñ Ö[ Proton-Emittanzu m I Ù 2 t 2 Ù, " å b ñ X ë Ø am Ww-Punkt ñcm mm¾mrad mm¾mrad Bunchlänge bm " Hourglass -Faktor Krev] É ô mmp Ì_ap p Ì_^ p Î à Ìgf äé ô Î à cml s Typ Luminosität Integrierte Luminosität i ¾ kmln cm Ipb s Woche (ca 33 Effizienz wg Füll- &Beschleunigungszeiten, Intensitätsabnahme $ ä ' Öh, etc) Prof Dr O Biebel WS

158 q S Y Ù undu p S ¾ I Q T º ¾  up m Ö[ Ö[ ¾ å u Y ê X Ù 2 t 2 ¾ T Q T b º t ¾ O Messung der Luminosität am Beschleuniger 626 Messung der Luminosität am Beschleuniger Die genaue Messung der Luminosität bzw der zur Berechnung erforderlichen Parameter ist in der Praxis schwierig! Insbesondere weil die Luminosität für die Kollisionen am Wechselwirkungspunkt, wo neben dem Detektor kein Platz für Strahlmessgeräte bleibt, gesucht ist Typische Methode für Beschleuniger r Áp P p: Messung von Strahlströmen p Á p ¾ r ¾ (rev (Elementarladung s) Messung der Strahlgrößen "am Ort der Messung (ia žww-punkt!) gilt: P Á (rev qp qp r "Berechnung von m Ö[am Ort der Messung Umrechnung von auf Ù Ù, (am Ww-Pkt) mithilfe der Abbildungmatrizen für Ablenk- und Fokussierungsmagnete "am Ww-Punkt: P Á (rev r qp Ù, qp  &up m ¾  T Ù, Überwachung der Frontalkollision der Strahlen durch Strahlpositionsmonitore (BPM) nahe den Experimenten Erreichbare Genauigkeit: ca ñ- Prof Dr O Biebel WS

159 b S T Q T Y Messung der Luminosität am Beschleuniger 627 Illustration der Luminotitätsbestimmung am Tevatron: 1 Strahlstrom-Messung Sample Bunch Display (SBD) misst für jeden Bunch den Spiegelstrom, den der Bunch induziert (Spiegelstrom pstrom im Bunch), hohe Zeitauflösung "Bunchlänge DC-Strahlstromtrafo (DCCT) bestimmt die gesamte Intensität aller Bunche ( n Bunchströme) 2 Messung der Strahlgrößen : Flying Wires Synchrotronlicht mit m Kohlefasern horizontalvertikal durch Strahl (mit bewegt + Nachweis von Pionen aus Wechselwirkungen Dipolen ( vms) nm aus (Anti-)Proton-Ablenkung in supraleitenden wt) mittels Teleskop, Microchannel-Verstärker und CID-Kamera (Charge-Injection-Device) Protonen Antiprotonen Prof Dr O Biebel WS

160 Messung der Luminosität am Beschleuniger Transfer der berechneten x C Ù mittels Abbildungsmatrizen für Ablenk- und Fokussierungsmagnete, Ù, x F (mhjilk î Q ñ ï ñ å I ñ î ñ Ø ñ Á Á ñm; Ùmax bm; Betatrontunes S Á P î DØ-Experiment Figure 614 Lattice functions at B0 and D0 for the Dispersionless IR Solution a) with out the low beta squeeze (lattice JJ01) and b) with the low beta squeeze (lattice JJ15C) Prof Dr O Biebel WS

161 Messung der Luminosität am Beschleuniger 629 Resultate der Luminositätsbestimmung am Tevatron: L(e30) CDF Calc D0 Calc D0 Detector Time (s) Figure: Operation of Luminometer The upper traces are those calculated by the on-line program Luminometer The lower trace is the D0 Detector Luminosity See text for more details (große Unsicherheiten aus Abbildungsmatrizen der Magnete) Prof Dr O Biebel WS

162 è Z S WF ƒ Q Z w } ž I å Ÿ å b Y b I S X î Ÿ z Až v Ÿ é > I Ø Ÿ Messung der Luminosität am Beschleuniger 630 Luminositätsmessung bei LHC Strahlstrom-Messung: Fast Beam Transformers (FBCT) Messung der Protonenzahl in jedem der ñbunche ( ygenauigkeit) DC Current Transformers (BCTDC) gesamter Strahlstrom von ña (Genauigkeit: Protonen) transversale Strahlgröße Q Z Z : Wire Scanners analog Flying Wire, Genauigkeit "für absolute Kalibration folgender Methoden: m, limitiert auf Restgas in Vakuumröhre, durch Protonen zur Luminiszenz angeregt Strahldimensionen Bunche (wg Belastung durch Strahl) ""Leuchtspur des Strahl transversale Synchrotronlicht aus supraleitenden Dipolen neben Ww-Punkten (noch optional) longitudinales Strahlprofil Z : Synchrotronlicht mit zeitaufgelöster ( vps) Messung des Photonenflusses "long Strahlprofil Luminositätsmonitore um Wechselwirkungspunkten in åm Abstand vom Ww-Punkt Detektoren für neutrale Teilchen (iw Neutronen, Photonen) hinter ca {cm Kupferabschirmung wg MGyJahr Teilchenflussmessung }}Reaktionsrate WwPkt Lumi Monitor Θ Dipol1 Dipol1 Θ Lumi Monitor Luminosität Messung des Strahlkreuzungswinkels ~auf rad Fokus Triplett Fokus Triplett :rev s 2 x 141m Prof Dr O Biebel WS

163 Störungen in der Strahldynamik 71 Störungen in der Strahldynamik Störungen in der Strahldynamik 1 Dipol-Feldstörungen 2 Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder 3 Chromatizität Prof Dr O Biebel WS

164 Feldstörungen 72 d P R & O P R d & O d P R & R " d R P R Feldstörungen Bisher Idealisierung durch perfekte Magnete, Reale Situation durch Magnete mit (kleinen) Abweichungen vom Ideal, perfekt ausgerichtet (aligniert), Ausrichtung bestenfalls auf 100 m genau, perfekt senkrechte Ausrichtung von Quadrupolen, keine Feldabweichungen, keine Erdbewegungen geringfügige Verdrehung der Quadrupole, Feldabweichungen & -fehler (Stromversorgung, etc), Erdbewegung (Drift, Zivilisation, Gezeiten, Jahreszeiten, etc) Konsequenzen aus Abweichungen bei Ausrichtung ZB: für Teilchen auf Sollorbit, dh Betatron-Oszillationen um O Á, perfekter Quadrupol:  O Á O "reines Quadrupolfeld horizontale Verschiebung des Quadrupols um O:  O  O "Dipolfeldkomponente  O Á ¾ ¾  O ¾ R Á  O R zusätzlich zu Quadrupolfeld  O ¾ Ausrichtungsfehler "Multipol-Feldfehler Prof Dr O Biebel WS

165 ž å " ' ' ž ú ž & ƒ U º ê s ž è ' Ÿ šœ ' Ÿ ú šœ ÂŽ YY & ÂŽ ¾ Á Œ ÂŽ Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit 73 Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit Zur Erinnerung: Bewegungs-DGL für Teilchen mit relativer Impulsabweichung : Dipol-Feldfehler "Bewegungs-DGL unter Dipol-Feldfehler Œ ÂŽ : unabhängig von Koordinaten und Impulsfehler periodisch, jedoch nicht mit Periode der Magnetzelle : max Periode = ein Umlauf ( ž1 Dipol-Feldfehler) Allg Lösung: erfüllen Periodizitätsbedingung für vollständigen Umlauf : Bestimmungsbedingungen für ú, : ú š ž šœ ž ú šœ ú šœ ž šœ ú y ú šœ ž šœ ž ú šœ ú š šœ ÂŽ & Á ÂŽ ÂŽ Á ÂŽ ÂŽ & ÂŽ Y und (vgl Dispersionsrelation Folie 420) und Wähle Startbedingungen für, zb: šœ ž šœ ž Ÿ, šœ ž šœ ž, šœ ž ž š ž, nach einiger Rechnung und mit, ž šœ Á ' Ÿ š, Prof Dr O Biebel WS  ' å ¾  ' ' ¾ ' ' ¾  ' å ¾ ÂŽ & Á ÂŽ ÂŽ Á Ý Œ ÂŽ ƒ ÂŽ ÂŽ ƒ ÂŽ ÂŽ º ˆ ê Š ±Impulsabweichung D ú YY ; y ú é ž D

166 ' È» Æ ¼ ¹ Ç ' ¹ V V» &»» & : ' «ª 76 Î ' à ' Î ' à Æ É Ê Ý Ä ' ¾  ' å ¾ ' Á À Ù» ¹ Ù ÂŽ Œ ÂŽ ¾ ÂÆ ÂŽ Æ» Ý ÄÍÅ ' ³²± Ì Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit 74 Lösung der Bewegungs-DGL mit Dipol-Feldstörungen (fortgesetzt): Betrachte Nenner von ú ž Ì Å $ à $ Ì Æ $ Ì Æ $ Î $ Å à Æ mit Transportmatrix Umlauf für vollständigen Umlauf (s 610) Nenner: å &  ' ' ' '  ' & Á å & Î Á Umlauf Umlauf Zähler: mit und folgt nach längerer Rechnung ( šœ L š und Betatronphase ) Closed Orbit bzw Referenzorbit (NB: in dieser Darstellung unabhängig vom Startpunkt der Integration Mit Prof Dr O Biebel NB: Vergleich mit Ergebnis von Folie 616 WS À ¹ Î ÂŽ Ì ÂŽ Š Í ÂŽ Á ¾ Â¼Æ ÂŽ ÐÏ Æ ÂŽ ¼Ï ¹ Ù ÂŽ Ù ÂŽ Œ ÂŽ Á Ë Ìgf Î ¾ š ú(nb: L š ) folgt die Closed Orbit -Dispersion: À ¹ ÂŽ Á Ù ÂŽ Œ ÂŽ ¾ Â¼Æ ÂŽ ÂŽ Ù ÂŽ ' Š ÂŽ Á ¾ À ¹ &Á À ¹ und ' Š ÂŽ Á Ù» À ¹ ÂŽ Á» º Ý Œ ÂŽ ¼ ÂŽ ÂŽ ÂŽ ÂŽ ½ ÂŽ¹ µ

167 å Õ Ñ mit Orbit:» Ñ Ñ Ñ '» Ñ Ñ» Ñ Ñ ' Ô Ñ ' Ô Ô Ô Ý Œ Ñ Ò Ï ÂØ ¹ ¹ ÂŽ Á Ö Ù ÂŽ Ù ÂŽ Ò ÂŽ Á Ö Ù ÂŽ Ù ÂŽ Ò ¾ ¼ ¹ Ï ÂŽ & Ô ÂŽ ½ ¾ ¼ ¹ Ï ÂŽ & Ô ÂŽ ½ Ñ Ñ " & ÂŽ Ñ Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit 75 Effekte durch Dipol-Feldstörung: Vereinfachung: Nur ein Feldfehler bei Ñ im gesamten Magnetgitter, dh "Kick (Winkelablenkung) im Orbit: "Referenzorbit für : : Kick bei Õ Ñ " & ÂŽ Ñ : Kick bei "Symmetrie um Ort des Feldfehlers bei Störung bei Störung bei Prof Dr O Biebel WS ÂØ å ÂŽ Á Ö Ù ÂŽ Ò ¾ «¹ À ¹ Ï Ò Ñ Á Ó Ý ÍÅ ÂŽ Œ ÂŽ Á ÂŽ Ñ

168 » Ñ Ù Ñ Ñ» Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit 76 Orbitstörung und -korrektur Ùgezielte Orbitstörung durch kurzen Dipol + Messung des Strahlposition am Ort der Störung: ÂŽ + Bestimmung des Tunes (Fourieranalyse der Strahloszillationen, gemessen mit Elektrode nahe Strahl) "Betatron-Amplitude ÂŽ aus: ÂŽ Á ÂŽ Ò Û Ö Ù Ñ Ñ î ¾ «¹ ' ÙBeispiel: PEP-Beschleuniger mit Streuung der Magnetausrichtung von in Úund (Fig 72) ñmm ÙKorrektur von Orbitstörungen durch drei bis vier Korrekturdipole "erzeugen Strahlstörung entgegengesetzt zur Orbitstörung im Bereich der Korrekturmagnete "Reduktion der Orbitstörungen "starke harmonische Oszillation nahe der Betatron-Resonanz eliminiert! (Fig 74) Prof Dr O Biebel WS

169 » Ñ ê å ¹ Dipol-Feldstörungen und Closed Orbit 77 Dipol-Feldstörungen und Betatron-Tune Q = N + 05 ÙBetatron-Tune halbzahlig "Orbit nach Umlauf um Referenzorbit gespiegelt "erneute Störung kompensiert vorausgegangene Kick the perturbation cancels after each turn Q = N ÙBetatron-Tune ganzzahlig Kick the perturbation adds up "Orbit nach Umlauf in gleicher Phase "erneute Störung addiert sich zu vorausgegangener Prof Dr O Biebel WS Ganzzahlige Tunes führen zu verstärkten Orbitabweichungen, da ÂŽ ÝÜ

170 " Halbzahlige Tunes führen zur Modulation der Betatron-Amplitude, so gen betatron beating Prof Dr O Biebel WS (Rechnung zb in HWiedemann) À À ¹ Ù ÂŽ Á Ù ÂŽ Þ ÂŽ ¾  À ¼Æ ÂŽ Ï Æ ÂŽ ¼Ï À ¹ für Quadrupolfehler Þ & Þgilt: Ù ÂŽ amplitude increase F 2 Turn: x < 0 amplitude increase kick F "erneute Störung addiert sich zu vorausgegangener Q = N Turn: x > 0 ÙBetatron-Tune halbzahlig OrbitkickÜStrahloffset im Quadrupol Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder 78

171 U Û á Ù &â O ¾ ê å ß À À ¾ Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder 79 Feldstörungen und Resonanzen Generell gilt: Resonanztyp treibender Multipol Ganzzahlige (integer) Resonanz: Á ßDipol-Feldfehler Halbzahlige Resonanz: Á ßQuadrupol-Feldfehler Drittelzahlige Resonanz: w¾ Á ßSextupol-Feldfehler Þ-zahlige Resonanz: Þ ¾ Á Þ-pol-Feldfehler "Betatron-Tunes, die zu Resonanzen führen, müssen (in àund ) vermieden werden! ÙKopplung der Betatron-Oszillationen in Ú- und -Ebene "Resonanzkriterium: Þ ¾ ã Á ä ¾ y ¼ Þ $ Ù ä åææ ¼ & â ¼ ¼ é & â é éê ç Â µ ist Ordnung der Resonanz ÙResonanzdiagramm mit Linien für alle âþ,, Oist Superperiode des Magnetgitters (di Anzahl gleichartiger Zellen im Magnetgitter) ÙDiagramm ( è): Resonanzlinien é Þ ÙPunkt: Tune für Beschleunigungsphase (Diagramm für ELSA-Beschleuniger, 35 GeV e, Uni Bonn) Prof Dr O Biebel WS

172 ë ë ë ë ë ë O O O Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder 710 Superperiode Stabilitätsbereiche zwischen Resonanzen ÜSuperperiode oder Symmetrie dh große "größere Arbeitsbereiche! Prof Dr O Biebel WS

173 ¾ À ¹ ö Ó ñ Þ ì õ ì ¹ ì ì î í î í Quadrupol-Feldstörungen, Resonanzen, Stoppbänder 711 Stoppbänder: Magnetfehler haben unterschiedliche Auswirkungen: Dipolfehler "große Orbitkorrekturen nahe ganzzahligen Tunes :» Ü ïž¹ Quadrupolfehler "Modulation der Betatron-Amplitude (vgl Folie 78): ñ Ü ï À und zusätzlich zu Tune-Verschiebung : ìô ïž ïž aus ïì û û û û Ü û û» ïì ø ø ì ì ì ñ ïø ïø î í ì ¹ ø ù ù Œ ¾ À ¹ ¾ Ï ï À Ö Ö ïúù ù (Rechnung in HWiedemann) Sextupolfehler ï ü ÿþ ì û û ì û û ì ¹ ÙResonanz für ganz-, halb-, drittel-, û-zahlige Betatron-Tunes ia Strahlverlust (Strahlgröße ýapertur) Resonanzen = Stopplinien Ùin Umgebungsnähe von ganz-, halb-, drittel-, û-zahlige Betatron-Tunes ia Strahlverlust (mathematisch: keine Lösung für š»,a a ý ù ù ÿþ in š ù ù falls š º è) intuitiv:, awerden groß bereits nahe der Resonanz Stoppbänder um Resonanzlinien! Prof Dr O Biebel WS

174 ìá» Ï Þ» ìá á î Š Chromatizität 712 Chromatizität ÙQuadrupole fokussieren Teilchen mit unterschiedlich Betatron-Tune-Verschiebung: so gen Chromatizität ã ã Ùnatürliche Chromatizität des Beschleunigers: Quadrupolstärke Þskaliert mit Impuls: Þ Tune-Verschiebung (wie für Quadrupol-Feldfehler): ã ïž ïž ïž á Þ ïž Ï ý µ ¹ ã ã ñá á Ï í» µ ¹ µ ¹ ã ã ã ñá ñá Þ Ï í í natürliche Chromatizität: ã ïž á Þ ïž ist immer negativ für lineare Magnetgitter (linear Ânur Dipole&Quadrupole), da Fokussierung für höher energetische Teilchen š geringer ist ia groß, zb für HERA-ep-Beschleuniger: Prof Dr O Biebel WS

175 É µ ¹ È á Ï í Ç Þ Ï µ ¹ á ñá Þ Ï í Chromatizität 713 Chromatizität (fortgesetzt): Beispiel: natürliche Chromatizität einer FODO-Zelle: In der Näherung dünner Linsen: ñ ñ bzw ñ im Zentrum des fokus bzw defokus Quadrupols Þ bzw Þ Þ als Quadrupolstärke ñ Þ ñ Þ ñ ñ º Þ ' î " í & ÏÖ µ ¹ ñ! Þ ï $ Ï î Ï ímit "(vgl 64) ( ' ï É À ¹ È Ö Ï ï*) î À á Ï í í Ç î í î í " õ (vgl Folie 65) í ï*) î À ã 0á ã ã á á - ¹ Ï, À ¹ á +«Ï í Messung der natürl Chromatizität: Natürl Chromatizität je 90 è( je Zelle wenig, aber -FODO-Zelle: î À í über viele Zellen wird groß) ( in Abb ÂBetatron-Tune, Steigung der Geraden Ânatürl Chromatizität ) Prof Dr O Biebel WS

176 á Þ : 5 Ä ; 5 Ö Û Û ã : á : 9 Ú 9 Ï Ö 4 õ 7 Ö í í Ù 2 Chromatizität 714 Chromatizität (fortgesetzt): 1 í: dh selbst für ì erreicht Stoppband Tune-Streuung Strahlverlust so gen head-tail -Instabilität (wg Nichtlinearität) ÙKorrektur der natürlichen Chromatizität: Sextupole ÙChromatizität durch Sextupole: Teilchenstrahl auf Dispersionsorbit in Sextupol 8 ï Ú (nicht-linear!) 5 6 horizontale Verschiebung Ú Dispersionsabhängigkeit: <>= Ú Ú Ì á Â Ì Ì Þ 9 ã <>= Û á 8 : <» < ã 3 < <» 8 ÙChromatizität ( ã ï ÐÏ ( ï ( Ì ï ( ½ ï ( Ì 3 µ ¹ Û Ì ã á ñá ¼ Þ ã 9 ( Ï natürliche+sextupol-chromatizität): í Orte für Chromatizitätskorrektur (vgl Quadrupole, damit ì Referenzorbit-Dispersion ï ( íbleibt Prof Dr O Biebel WS

177 Ö á Û : Û ã : 9 Ú 9 Ï Ö 4 õ Ö Chromatizität 715 Chromatizität und dynamische Apertur: Problem der Chromatizitätskorrektur durch Sextupole: ÙNicht-Linearitäten, da 8 ï Ú 5 6 Chromatizitätskorrektur beeinflusst Strahlstabilität und maximale erforderliche Apertur (dynamische Apertur) Sextupole erzeugen nicht-lineare Resonanzen mit wachsenden Oszillationsamplituden Detuning mit Amplitudenzunahme ÙUntersuchung der Langzeitstabilität: Kombination ÊBehandlung nicht-linearer Beschleuniger mittels Computer-Modell Prof Dr O Biebel WS

178 Chromatizität 716 Modell eines nicht-linearen Beschleunigers: (Hamilton Funktion: Bewegung der Teilchen im Beschleuniger) Model: Hamilton Function Map Perturbation Theory: Linear + ε*nonlinear Numerical Simulation: Fast Computer Code Optics Closed Orbit Tune Chromaticity Dynamic Aperture Multipole Errors Resonance Strength Detuning Resonance Strength Detuning Dynamic Aperture Prof Dr O Biebel WS

179 Beschleunigung geladener Teilchen 81 Beschleunigung geladener Teilchen ÙBeschleunigung geladener Teilchen 1 Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum Prof Dr O Biebel WS

180 @ C 3 BU Ä U U Þ F U ÆB DC Ï ÆB F Þ Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 82 Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum ÙGeladene Teilchen in einem (Kreis-)Beschleuniger ÙBeschleunigt beim wiederholten Durchlaufen eines Hochfrequenz-Resonators (Cavity) Teilchen müssen beschleunigendes Feld zur festen Synchronphase (Resonator-Kreisfrequenz E) Þ(const erreichen Synchronitätsbedingung (Teilchengeschwindigkeit - G Â C Ï IH) ñ = õ C Þ õ ñ =erfüllt Synchronitätsbedingung (erste harmonische) Ï 3 " Þ K C " BU Ä U Ï Þ = Þ 3 Þ Dispersion < D < 3 O Â E - O P Ö Q Ä E R ebenso J õ und J K Þ õ mit ganzzahliger harmonischer Zahl K Allgemeiner: ÙViele Teilchen mit ggf unterschiedlichen Energien Wellenzahl Þnicht für alle Teilchen gleich Æ ï Þ ñ = ñ Ï ñ = D() L Ÿ bzw LNM LB PTS, O Â r J Â, Abstand IHmit Umlauffreq» zw Resonatoren, r im Kreisbeschleuniger < U < U < U U U Ï " BU Ä Þ J U "» U U Ï Á 6 und Momentum compaction -Faktor Þ J <» Á 3 6 & 3 " < î <» î "» Prof Dr O Biebel WS

181 ^ î 3 " î Á Ì Á 6 í î` 3 Ö 3 < î < 3 " < î ` î "» 9 ^ [ X 3 " b- è î "» Ï Ö -W è í Á 6 c Ö Ö Á d ( 3 " í 3 _ "»» Q Ä Ì Ì Î Ú ( 3 < î < (Einschub von Folie 520) Weglänge und Momentum compaction : Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 83 In linearer Betrachtung der transversalen Strahldynamik wirkt sich Dispersion Teilchens (zb durch einen Ablenkdipol, V  ) aus: ï ( auf die Weglänge "eines (vgl Folie 416) ï í» " ï í ( Dabei ist Ú die horizontale Abweichung von der Sollbahn bei relativer Impulsabweichung ï ( Die Abweichung ""von der Soll-Weglänge» º (ist und wird beschrieben durch den momentum compaction -Faktor: 6 & ï ( ï ( < Ï Ì C  Π6 W \ C h e ` ï ( í Ï " î ^ _ ï ( h _ ( ï ( Ì Y Î < Ï ï ( Z < < 3 _ < < 6  " 3 " Ï []Linearbeschleuniger: C h ^ Ö i j 3 ^ NB: momentum compaction -Faktor 6 nimmt nur in Ablenkabschnitten zu, dh! Die Flugzeit eines Teilchens der Geschwindigkeit ^für die Strecke "ist: Mit " ^ und < folgt (NB: a  è M - H ): _ Ö Ï Á 6 f < & Í6, mit Momentum compaction : Í6 ` Kreisbeschleuniger: geänderte Umlauffreq : und Übergangsenergie bei (engl transition energy) Í6 : `g Á 6 h h Í6 Prof Dr O Biebel WS

182 m Æ 3 F Ö v» D Ö Æ 3 G ñ Þ J Í6 Þ J r Æ» F xg Í6 x Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 84 Longitudinale Bewegungs-Differentialgleichung Aus (s Folie 82) folgt mit šlk - k r3 D 3 2 s Hn a m 3 q v ïæ < Þ J Í6 3 D F Ï Þ J Ï Ö Á 6 p 3 Ï Þ J Í6 3 < = <>= G  m und Â Æ ñ = o ` <>= ñ = <>= NB: a beschreibt die Energieabhängigkeit der Flugzeit zwischen Beschleunigungsstrukturen; auch in Linearbeschleunigern Differentiation von liefert die longitudinale Bewegungs-DGL im Potential der Hochfrequenzfelder: Æ ÆÆdie Beschleunigungsspannung bei Phase ñ xg x r3 Ï 3 ñ =» = ñ Ö D Æ 3 Æ Ï ÆB w ï r 3 <>=, wobei,, langsam variieren, daher als konstant betrachtet werden können (Langsame Âadiabatische Änderung externer Parameter ]Ehrenfest-Theorem erlaubt Bestimmung der Wirkung auf Strahl) Energiegewinne-verluste sind zb bei einem Umlauf: ï 3r : v w ï r» Æ Ï w ï r» tu : ÐÏ, wobei und Strahlungsverluste durch Synchrotronstrahlung (s Abschnitt 9) bezeichnen Nach einem Umlauf ist <>= ï 3r rev î*y <>=» mit und ñ r, Umlaufzeity und die longitudinale Bewegungs-DGL um Æ lautet: Ö Þ J y Í6 v» ïæb ñ = Umlauf ñ =» r» z : ÐÏ Æ 3 w ï r { }> ~} Prof Dr O Biebel WS

183 D Æ 3 Ö r3 Ï 3 É U U ˆ D r y y Æ U U È ïæb w ï r U : v r3 U v Æ 3 U r3 Ï U w ïæb w ï r : v Æ î Þ J F r3 í U U Ç L Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 85 Lösungen der longitudinalen Bewegungs-DGL mit kleiner Amplitude Im Falle kleiner Oszillationen kann r3(s Folie 84) in einer Taylorreihe (mit L ) entwickelt werden»» ƒ : Ï Ä, wobei î r» ñ = Í6 gilt (vgl Folie 84) Eingesetzt in die longitudinale Bewegungs-DGL folgt mit der Gleichgewichtsbedingung : š Ö Š ñ = ý & Ž Œ e f yš 3 e y r 3 Š 3 F q & Ö Ž Œ f r D B : v 3 Í6 ï r w 3 Þ í, wobei eine Dämpfung (zb durch Synchrotronstrahlung) beschreibt und die Synchrotron-Frequenz ist œteilchen führen eine longitudinale Oszillation mit Frequenz um Sollphase aus œdiese Schwingung wird gedämpft [ oder verstärkt [ Prof Dr O Biebel WS

184 ì Š r q - P E E - R L O K 6 B : v P Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 86 Synchrotron-Oszillationen kleiner Amplitude Ohne Dämpfung gilt: (mit ž Ÿ, r H, r - ) š mit š C š r I ñ š Synchrotron-Tune & ª C «B œschwingung um Sollphase in Phasenabweichung: : (Startphase für Teilchen ) & ï D B š ¾ ag õ» ¹6 ÿþ LB B ² ¹6 [ 6 º š M < K C 3 F O P E ø «ø«± 3 und in Impulsabweichung: (s Folie 84 mit <>= IH r) = 6 r ï D Stabile Synchrotron-Oszill f š ³² : Ellipsen (Fig 83) Instabile Bewegung für Hyperbeln (Fig 84) š µ : NB: š, a (NB: ia r ) Übergangsenergie œstabile Oszill: 6 ¼ ½, vgl 520 für ` š B `g für ` ² `g `g Inkohärente Phasenoszillation um Referenzphase ÀPhasensprung bei ` longitudinale Teilchenanhäufung, Teilchen-Bunch Prof Dr O Biebel WS !

185 È ï Ç Ž Œ Œ Ž Å Æ Š í F B ± B B ï B q ± B ± : v r3 Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 87 Synchrotron-Oszillationen großer Amplitude Im Falle großer Oszillationsamplituden gilt die Näherung in nicht mehr Die longitudinale Bewegungs-DGL lautet dann: (ohne Dämpfungsterm, mit obiger Definition von Áš )  ± ï B ± B Entspricht der Hamilton-Funktion Ä: Ä š Áš  Beiträge zur potentiellen Energie mit : kinetische Energie potentielle Energie B und ï B È ï V(ψ) œoszillationen nur für Teilchen in Potentialsenke œmaximale Auslenkung bei stabilen Oszillationen: î max bucket œdie zugehörige Kurve im Phasenraum, die Separatrix, trennt stabile und instabile Bereich bunch œmaximaler Bereich stabiler Oszillationen heisst bucket oder RF-bucket (engl für Eimer) œteilchen im Bucket bilden Teilchen-Bunchψs ψs ψ Prof Dr O Biebel WS

186 œ B œ B LB B m a ý ag 6» º Ì Í Ë B v ï ± B É F Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 88 Separatizes Die Hamilton-Funktion der Teilchenbewegung harmonischem Pendel ÀStruktur der Trajektorien im Phasenraum für :(NB: L -mÿ - - ) : : geänderte Trajektorien (Fig 87: keine Beschleunigung ¹6 œinsbesondere: kleinere stabile Bereiche für kleinere ( Êwachsende Beschleunigung œaußerhalb Stabilitätsbereiche instabile Trajektorien: kontinuierl Energieverlust-gewinn, abhängig von, ) ) Prof Dr O Biebel WS

187 é é Ë Ë Ë E O Ë ê ë õ ì Ë è Ë Ë E Ô š ça çè º» r Š r3 O Þ Ù Ü + ± F F q ÿþ š Ö šl ÿþ Ù Û Ç(da pot Energie F F Ù š Û õ M É M Ð Ð ž Ä Ä ž š ÓÒÑ ÕÔ ÿþ LÖ L M LB LB ÓÒÑ Ô ÿþ M LB Ö M LB LB ØÚÙ Ù Î³Ï Î³Ï Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 89 Separatrix (fortgesetzt) Die Bestimmungsgleichung der Separatrix folgt aus ï ï õ max (vgl Folie 87 und mit L M LB ): An beiden Punkte maximaler Auslenkung ist Fig89 Phase space focusing for moving rf bucket displaying the phase relationship of accelerating field, potential, and rf bucket ˆ Ý ß 6à á â¾ ß 6ã Ý ØÚÙ Ù Û š M LB Ö M LB LB L LB =max ]kinet Energie=0): œpunkt 1: õ B max (vgl Folie 87) œpunkt 2 folgt aus max max Ø Ù Ù : œmaximales für, dh bei max RF-Akzeptanz (aus ; ˆ P š, ): max pos S S S : LB LB ¹6,, aber auch NB: max ERF max [ 6 max Ì Í LB Mit und Prof Dr O Biebel WS IH E RFŸ K 6 r åä B ï $ Š B ± B æ : v Š Áš  Š ï B Š B B

188 LB 6 B ² í Ë Longitudinale Teilchenbewegung und Phasenraum 810 Separatrix (fortgesetzt) œphasen B und B ergeben den gewünschten Energiegewinn (da ) œnur eine Phase gibt stabile Phasenoszillationen stabile Phase aus Forderung: š µ² 6 Orientierung des RF-Buckets hängt von Wahl für, `g und BeschleunigungAbbremsung ab Prof Dr O Biebel WS

189 Synchrotron-Strahlung 91 Synchrotron-Strahlung œsynchrotron-strahlung 1 Physikalische Grundlagen 2 Kohärente Abstrahlung 3 Wiggler und Undulatoren Prof Dr O Biebel WS

190 î ï 7 Physikalische Grundlagen 92 Physikalische Grundlagen œbeschleunigte elektrische Ladungen strahlen elektromagnetische Wellen ab; œphänomenologische Ursache: Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit; œ ALiénard & EWiechert: Mathematische Behandlung durch retardierte Potentiale (Liénard-Wiechert- Potentiale); œretardierte Potentiale ret und ret verknüpfen Felder am Beobachtungspunkt mit Ladungen & Strömen zum Zeitpunkt der Emission; œ1907 GASchott: Klassische Theorie der Strahlung eines im homogenen Magnetfeld umlaufenden Elektrons; œ1946 JPBlewett: Berechnung & Beobachtung der Abnahme des Elektronorbits in einem 100 MeV Betatron (General Electric); œ1947 FRElder: Erstmalige Beobachtung sichtbarer Strahlung an 70 MeV Synchrotron (General Electric); Strahlung wird als Synchrotron-Strahlung bezeichnet Mathematische Herleitung der Synchrotron-Strahlung aus den Maxwell-Gleichungen ist zwar geradlinig aber sehr umfangreich Daher im Folgenden: nur intuitive Diskussion zur Physik der Synchrotron-Strahlung Prof Dr O Biebel WS

191 œ œ 7 7 r ú 7 ù û ú ô ø ± ù í ± r ù ù 7 ïbeobachtungs-, Beschleunigungsrichtung œ ú 8 ú 7 7 þ M ] 6 r ö  7 ù 8 ù 7 7 r ú ú = 7 7 r ú ü 7 7 ù ú š ù 7 ñ 7 r ú ú Abstrahlung von beschleunigten Ladungen Physikalische Grundlagen 93 Zwei Fälle von Beschleunigung bezüglich der Bewegungsrichtung der Ladung: longitudinal, transversal Wirkung einer longitudinalen Beschleunigung auf elektr Feldlinien: œvor Beschleunigung: Feldlinien radial von Ladung nach aussen œbeschleunigung während y 3: von Ladung ausgehende Feldlinien müssen sich mit ursprünglichen radialen bei = y 3verbinden -Feld erhält während Beschleunigung nicht-radiale Komponeten ( bezeichnet das anfängliche Lorentzsystem der Ladung) Fig91 Distortion of electrostatic fields by longitudinal particle acceleration and creation of synchrotron radiation bewegte Ladung erzeugt azimutales Magnetfeld Poynting-Vektor ( elektromagnetische Energie wird in Richtung von Energiestrom), abgestrahlt r-feldstörung Ladung õ ù ô und Beschleunigung -Feld -Feld œnicht-radiale Feldkomponente ö ù (da durch Verschiebungsstrom hervorgerufen) ö ù ist Poynting-Vektor Quadrat des -Feldes œfeldstärke nimmt radial mit î øab ( ùr-feldstörung Beobachtungsrichtung): õ ù mit Einheitsvektor ý ù ý ù (NB: Gauss- Einheiten) von Beobachter zur Ladung = š (NB: mit ö ù NB: ÿ, keine Abstrahlung ohne Beschleunigung bezeichnete Größen sind im bewegten System der Ladung gemessen) Prof Dr O Biebel WS

192 7 r ú 7 ù û ú 7 Beobachtungs-, Beschleunigungsrichtung ùr-feldstörung ( 7 ô ø 7 7 = r ú ü 7 Physikalische Grundlagen 94 Abstrahlung transversal beschleunigter Ladungen œtransversale Beschleunigung erzeugt transversale Feldkomponenten r- œmaximale Störung in Vorwärtsrichtung ist õ ù œmit ö ù als Beobachtungsrichtung): õ ù 7 ù ö ù ú š 7 = š transversale Beschleunigung Fig91 Distortion of electrostatic fields by transverse particle acceleration and creation of synchrotron radiation Strahlung wird hauptsächlich in Vorwärtsrichtung tangential zur Teilchenbewegung emittiert analog zur longitudinalen Beschleunigung: Poynting-Vektor r-feldes š ý ù Prof Dr O Biebel WS

193 e e _ D D F F ` ` ` =9 < û D F ` =9 ` ` =9 ê Ï F ` e f ü _ < ` =9 r Š e = D D û < û Š Š F 7 e ü= U U U ƒ = D < Š Š F 7 U U Š U 7 F = F r ú ú ù e f = z 7 ú r 6 šù 7 7 Š F F 7 ï ù ø ± š  š ` F F ï 7 7 F  F 2 F ù 7 7 _ f ` š 9 š = š < ù < ù f š š û 9 š = 2 _ ô š < ù < ù ` ö ú œ Physikalische Grundlagen Lamorsche Formel: (Herleitung vereinfacht) ô š U ñ ù U š õ ù ñ ù õ ù ± ö ù oder œin lorentzinvarianter Form mit Viererimpuls und ist mit < ñ und r 9=š < D und _ ô š `"! š û 9 š = ô š 2 ` š f š < =9 9 š = 2 ô š ` š ô š f š û õ ù ö ù ý ù ô š ` š { š 7 ý ù ö ù ö ù ù š š š Ausdruck ergibt mit Hilfe der Relationen und œfür longitudinale & transversale Beschleunigung 9=š folgt und œnb: û ` š û1 < $ für Prof Dr O Biebel WS < û

194 Âm )  r3 r ) ) 8 r3 2 8 û r3 6* ß š g 2 o ß r ü ( 3 ß ' < û 7 D 4 ^ 7 8 æ 7 ê ` =9 7 e = D û < û Š Š Š ( F 7 e e = D < r Š Š Š F 7 & *, * ˆ 62 ß : š `"! š û 9 š = 2 ` š : š f š =:š! ) š r 9=š! œ ƒ 9 š = 2 : š ` š : š f š 9 š = 2 š : š ' f š Physikalische Grundlagen 96 Synchrotron-Strahlungsleistung (fortgesetzt) Charakteristische Eigenschaften (für einfach geladene Teilchen Ì): wobei œbeispiel Elektron-Linearbeschleuniger (Tesla): (NB: Gauss- ]SI-Einheiten: ) Ì š ] Ì š - è 4 5 *, * ˆ ' $ < D * 5 +, * g- 6 ä r und MeVm œbeispiel ElektronProton-Kreisbeschleuniger: e p p! $ 2p 2e ( 2! œsynchrontron-strahlungsleistung pro Umlauf: Im isomagnetischem Gitter: const in praktischen Einheiten für ElektronPositron: kev Prof Dr O Biebel WS : :; < Â! GeV ( Š ) : š ü 2 `9! D* B - : š `9! 8 * B 1 Ï ß Ï

195 r38-feld [T] ;;;Synchrotron-Strahlungsquellen nutzen besondere Eigenschaften der Synchrontron-Strahlung Physikalische Grundlagen 97 Synchrotron-Strahlungsleistung (fortgesetzt) Beispiele: Beschleuniger Umfang [m] Energie [GeV] Radius [m] [MeV] BESSY I (Berlin) DORIS II (DESY) ESRF (Grenoble) PETRA (DESY) LEP II (CERN) BESSY, DORIS II, ESRF sind so gen Synchrotron-Strahlungsquellen, dh auf Erzeugung von Synchrotron- Strahlung spezialisiert, PETRA wird demnächst dazu umgebaut (]nächste Folie) Prof Dr O Biebel WS

196 D Š ) ` Š ` ` <= Ü + ± ö < ª ( Physikalische Grundlagen 98 Eigenschaften der Synchrotron-Strahlung (NB: In diesem Abschnitt werden vielfach nur Resultate angegeben, da Rechnungen ia umfangreich!) œwinkelverteilung: Hertzscher Dipol im mitbewegten Bezugssystem Lorentz- transform Photon-Abstrahlwinkel im Laborsystem schmales Strahlbündel bei großem œzeitstruktur Öffnungskegel der Abstrahlung überstreicht Beobachtungsrichtung Pulslänge: Laufzeitdifferenz von von: Teilchen Licht = ` ` ` = ± Š ) = ` 2 ü ) ( sehr kurzer Puls bei großem Prof Dr O Biebel WS

197 ê : > ü r C A C 3 C = ` Š ) 2 C C Š 6 L D C 6 Physikalische Grundlagen 99 Eigenschaften der Synchrotron-Strahlung (fortgesetzt) œspektrum Pulslänge beschränktes Fourierspektrum kritische Frequenz: 6 & Photonfluss in Ablenkebene (Winkel ): 9=š 3, Frequenzintervall n[, Elektronenmasse & -ladung (Feinstrukturkonstante ra, Photonenergie, Synchrotronstrahlungsfkt C (Fig95) œpolarisation in Ablenkebene: vollständig linear außerhalb Ablenkebene: schwach elliptisch Prof Dr O Biebel WS

198 4 a F C ú ú r ú ú šb Kohärente Abstrahlung 910 Kohärente Abstrahlung œsynchrotronstrahlung hat breites Spektrum (von Umlauffrequenz bis wenig über kritische Frequenz) Abstrahlintensität Strahlstrom, Freie-Elektronen-Laser Konzept: Abstrahlintensität Teilchenzahl œbei geringen Photonenenergien: erhöhte Abstrahlung möglich Poynting-Vektor ô š Photon-Wellenlänge (dh Ezu groß, um Bunch-Struktur aufzulösen) D Bunch-Länge Emission: alle Teilchen eines Bunch strahlen kohärent (inverse Compton-Streuung eines e an ) Intensität Teilchenzahl im Bunch, š! Absorption: ÀFreie-Elektronen-Laser (FEL) (nutzen spezielle Magnetstrukturen, zb Undulatoren: Magnete mit periodisch wechselnde Feldrichtung) (Compton-Streuung eines am e a F ) Prof Dr O Biebel WS

199 8 5 C Wiggler und Undulatoren 911 Wiggler und Undulatoren œwiggler-undulator-magnet: alternierende Folge auf-abwärts gerichteter Magnetfelder, Periode ' GKJ Š W M L M N 5 G H I ± J C je Halbpol: O,! U& 5 S4 - E ST W M Q 4 P E 5 M ẀV Y ( U 1 ( X U Ô 5 E ê Ô š - ]\[ Z Ë š œwiggler: Erzeugung von intensiver Synchrotron- Strahlung im Röntgen-Bereich œundulatoren: Kohärente Synchrotron-Strahlung œunterscheidung: Wiggler XUndulator Photonenergie: ev š_^ GeV Ô š ìcm Ö Prof Dr O Biebel Genehmigt: TESLA-FEL am DESY, Hamburg, ca 3 km lang, höchste Brillianz, extremer Röntgenbereich WS Selbstanregendes SASE-(self amplificied spontaneous emission)-prinzip, keine externe Photonenquelle

200 o ) M ]Ë! d d ˆ 1 o r3 ˆ Vorteile ` Nachteile der Synchrotron-Strahlung912 Vorteile a Nachteile der Synchrotron-Strahlung benergieverlust insbesondere für ElektronenPositronen 26Ï p! bsynchrotron-strahlungsleistung û 1 Ï 26Ï p! bhochenergetische Elektron-Kreisbeschleuniger erfordern großen Radius chochintensive Lichtquelle csehr kurze Lichtpulse cstark gebündelt bei hoher Strahlenergie cbreites Frequenzspektrum, bis in den Röntgenbereich cphasenraumdämpfung (dh Verkleinerung der Emittanz) caufbau transversaler Polarisation der ElektronenPositronen im Strahl (Sokolov-Ternov-Effekt: Energieunterschied für Elektronenspin edzu Magnetfeld -Term: Spineinstellung mit kleinerer Energie bevorzugt) Prof Dr O Biebel WS

201 Teilchenstrahlparameter 101 Teilchenstrahlparameter œteilchstrahlparameter 1 Allgemeine Parameter (Energie, Zeitstruktur, Strom, Dimensionen) 2 Dämpfung, Dämpfungspartitionen 3 Teilchenverteilung im Phasenraum 4 Strahlemittanz und Wiggler-Magnete Prof Dr O Biebel WS

202 h u i q t h ` p o h i h f f Strahlparameter 102 Strahlparameter œstrahlenergie: Teilchenimpuls (für transversale Strahldynamik) kinetische Energie (für Beschleunigung) œzeitstruktur: Unterteilung des Strahls in Bunche, ggf diese noch in Mikro-Bunche; auch Zusammenfassung mehrere Mikro-Bunche zu einem bunch train mit Lücken zwischen den Trains œstrahlstrom: mittlerer Strom im Bunch (dh zeitgemittelt über Zeitdauer des Bunches) mittlerer Strom im gesamten Beschleuniger ( Summe alles Bunch-Ströme) Duty Factor oder Duty Cycle: Verhältnis von Zeit mit Strahl zu Gesamtzeit für Umlauf (100 Duty Factor œstrahldimension: Strahlgröße durch normierte Emittanz: DC-Strahl) g Emittanz jlk normierte 95-Emittanz: rsk -Funktion hnm, bleibt konstant gemäß Liouville-Theorem (NB: h m, wenn Strahl nicht gaußförmig oder ausgefranst, h Lorentzfaktoren) Prof Dr O Biebel WS

203 w v ý šý ü x } i ü ý B x ª ª i ª B Strahlgrößex ý ª š wwxprodukt aus Luminosität w Ë ƒ ª F ê ª ê i ƒ Œ ( ê ª ª ª Œ ~ Œ x ƒ Š ƒ B ª ƒ ü y Strahlparameter 103 Strahlparameter œluminosität: Zählrate und Wirkungsquerschnitt y{z mit Teilchenzahlen inzkollidierenden Bunchen, Kollisionsfrequenz, y z šý, Emittanz, -Funktion am Kollisionsort A š bei Strom Aje Strahl (NB: nicht-lineare Strahl-Strahl-Effekte bei hohem Strahlstrom) Dämpfung œsynchrotron-strahlung! œgeringe Energiestreuung im e e -Strahl starke Streuung in Synchrotron-Strahlungsverlust Reduktion der Energiestreuung im Strahl durch Synchrotron-Strahlung œbetatron-oszillation XTransversalimplus, trägt zu Synchrotron-Strahlungsverlust bei œbeschleunigungsresonatoren führen Strahl nur Longitudinalimpuls zu Reduktion der Transversalimpulse im Strahl durch Synchrotron-Strahlung œdämpfung: Partionszahl, Dekrement Š, Robinsonkriterium ª mittlere Synchrotron-Strahlungsleistung (longitudinal: Teilchenenergie, für separated function -Beschleuniger Rˆ Rˆ Beschleunigungsenergie ËUmlaufzeit ), ì, ì, Q, dh Dämpfung in allen 3 Dim Prof Dr O Biebel WS

204 ( x ƒ ( T 5 ; : ü ( h j ) x ( š Strahlparameter 104 Teilchenverteilung im Phasenraum œrelativistische ElektronenPositronen erzeugen Synchrotron-Strahlung in Ablenkmagneten Quantenanregungs- und Dämpfungseffekte Gleichgewichtswerte von Strahlparametern: ŽEnergiestreuung: š I F m u š ) š mit Photonenergie 5und ì 5 š 5 j ŽBunch-Länge: } } ª u ª ª g ( } ª ª ª ¹ mit Beschleunigungsspannung i x x ª š ª sr é ç é ç ~ 5 q Q Q i š ª i i ( ( ƒ ª i š ; : ü ( h ) Ä o Ö ¹ Ö Q Ÿ š ( Í Žtransversale Strahl-Emittanz: I F m u š ª ) š mit œ ¹ž ¹ž p¹š Ablenkung nur in horizontaler Ebene u š (grob genähert Žtransversale Strahlgröße: š x mit Ÿ, Dispersion œ Bruchteil der Strahlintensität in gauss-förmigen Strahl: 1-dim 2-dim 3-dim x x tx zb: in in sind 466 der Intensität; sind 957, Žtransversale Strahldivergenz: -Definition Prof Dr O Biebel WS ª ª «š x

205 M ¼ ) º 1» E i I z ) i ƒ i ³ ] a Q ç ] ì ± F ü J C M x š ) z x š ¹ º ( ß º! o 5 µ Ì M 4 z z ¹ Strahlparameter 105 Strahlemittanz und Wiggler-Magnete œelektronpositron-kreisbeschleuniger: Strahl-Emittanz durch Synchrotron-Strahlung bestimmt Emittanzvergrößerung durch Quantenanregung bei Photon-Emission (bei Dispersion ]führt Synchrotron-Strahlungsemission zu plötzlichem Energieverlust ~Änderung der Gleichgewichtstrajektorie ~ia größere Betatron-Oszillationsamplitude um neues Gleichgewichtsorbit) Emittanzverkleinerung durch Dämpfung Emittanz-Manipulation durch gezielten Einsatz von Synchrotron-Strahlung! œso gen Dämpfungs-Wiggler-Magnete mit J (vgl Folie 911) in Abschnitten mit minimale Quantenanregung durch Synchrotron-Strahlung für Zahl der Wiggler-Pole gilt: I mit u š ² š ± Ÿ mï GeVÏ, Q, Bahnkrümmung im Wiggler, Betatron-Fkt und Emittanz in horizontaler Ebene mit Wiggler: Emittanz nimmt ab, wenn u š ² š ŽEnergiestreuung wächst, wenn Wiggler-Magnetfeldz ² z Magnetfeld in Ablenkdipolen ( trifft für fast alle Anwendungen zu) Prof Dr O Biebel WS

206 F Á Ì i h Â Æ ª ÏÐÑ Ø Ë ( A Ô Õ Ö È Ê, Weglänge im Restgas A ¾ h À ½ Strahllebensdauer 111 Strahllebensdauer Strahllebensdauer: Stromabnahme ½ Zur endlichen Strahllebensdauer trägt bei: œvakuum: Teilchenverlust durch Streuung an Restgas in Strahlröhre, wenn Streuwinkel ²Akzeptanz der Apertur Á ŽVielfach-Streuung Winkeländerung (Coulomb-Streuung) Emittanz ÂÄ Ç KÅ Æ É(Kernladung Strahlungslänge des Restgases ), Želastische Streuung (Rutherford-Streuung) StrahllebensdauerÁ: Í J Å Î Ò Ó TeilchenladungS, Restgasdruck ˆ, max zulässiger Streuwinkel Žinelastische Streuung zb Bremsstrahlung Prof Dr O Biebel WS

207 F Ú F Strahllebensdauer 112 Strahllebensdauer (fortgesetzt) Ùthermische Photonen: durch inverse Compton-Streuung der Teilchen im Strahl an thermischen Photonen im Strahlrohr ÙSynchrotron-Strahlungsphotonen: inverse Compton-Streuung ÙKollision zwischen Teilchenstrahlen: hierzu tragen insbesondere Strahl-Strahl- Wechselwirkungen (nicht-lineare Effekte) bei Beispiele: ŽLEP-Beschleuniger (e e ) Tab typ Strahllebensdauer bei Kollisionen: 6-12 Stunden Beam Gas 10 Torr Compton Scattering -10 τ = g 200 hours ŽTevatron-Beschleuniger (pp) typ Strahllebensdauer bei Kollisionen: Stunden ŽHera-Beschleuniger (e p) typ p-strahllebensdauer bei Kollisionen: $100 Stunden Beam thermal photons Beam synchrotron photons Total τ = tp τ = sp τ = tot 80 hours 134 hours 40 hours Prof Dr O Biebel WS

208 ; ; ; Kollektive Phänomene 121 Kollektive Phänomene ÙKollektive Phänomene ÙBisher vereinfachte Betrachtung: Einzelteilchen-Effekte bestimmen transversale und longitudinale Strahldynamik ÙAber: Kollektive Phänome Störungen der Strahlstabilität, zb Lineare Raumladungseffekte Strahl-Strahl-Effekte Wake-Felder (Kielwasser-Effekte) ÙKollektive Phänomene ia Û kleine Störungen Kollektive Phänomene hängen von Strahlintensität ab Reduktion des Strahlstroms Korrektur der Auswirkungen geringer Auswirkungen von kollektiven Phänomenen erhöhter Strahlstrom möglich Prof Dr O Biebel WS

209 Ý Ò x Ü x Ü x h Ü Ì C Kollektive Phänomene 122 Lineare Raumladungseffekte ÙEigenfelder des Teilchenstrahls sind gegeben durch die Strahlgröße und lineare Ladungsdichte C: Ö ' Ö ' Ý Ü Ì ( x Ý Ö x Ý Ò Ü x x h x Ü Ò Ü x Ý Ý H Ü Ì Ì z z Þ C C Ý Ö Ý Ò x h x Ü x x h Ý H Ì C Žflacher Strahlquerschnitt vorteilhaft, da entweder oder Ü x Ý groß Õ Òx Ü Õ Òx Ü á Ý à Iì Ü Iì I ë é M è Ý Ò Ý Ò Ý Ö x á Ý Ì à ã Ý C â Ý ß Ý Ò Ý Ö x Ü x x Ý H ß Ì Þ C Ù Ý Ý x Ü x Üä x Ý x Üä x z x ã Ý æç x Ý Ö Ý Ý Ö Ü Ì ( x x undz klein ŽElektronPositron-Teilchenstrahlen in Kreisbeschleunigern meist horizontale Felder vertikale Felder Strahl-Strahl-Effekte Collider: gegenläufig umlaufende TeilchenstrahlenStrahlkreuzung in Zentren der Teilchendetektoren Kräfte zwischen Teilchenstrahlen, zb vertikale Kraft zwischen Teilchen- und Antiteilchen-Strahl hat fokussierende Wirkung Quadrupolwirkung Verschiebung des vertikalen Betatron-Tunes (betatron tune shift): Ö å für MBunche der Länge è, insgesamt éteilchen, lineare Ladungsdichte E ê Žmax zulässige Tune-Shifts Ií- t(elektronen, Protonen weniger (NB: Protonstrahl ia rund)) Prof Dr O Biebel WS

210 Kollektive Phänomene 123 Wake-Felder Insbesondere in ElektronPositron-Beschleunigern: Ùhohe Ladungsdichte in kurzem Teilchen-Bunch, dh hoher instantaner Strom beim Durchlauf der Teilchen Anregung hoher (bis 20ter) Oberwellen der Umlauffrequenz Wechselwirkung zwischen Teilchen-Bunch und Umgebung elmagn Resonanzen in Vakuumröhre und Cavities angeregt ŽzB Anregung höhere Schwingungsmoden in Beschleunigungsresonatoren (engl: higher order modes, HOM) ŽErwärmung von Beschleunigerstrukturen durch Absorption der angeregten Oberwellen ( îsupraleitung) Rückwirkung auf (ersten und nachfolgende) Teilchen-Bunche Žlongitudinale&transversale Deformationen&Oszillationen einzelner Bunche (dh Abweichung von gaußschem Profil) Žlongitudinale&transversale Verschiebung der Bunche vom & Oszillationen um Sollorbit Fig121 Parasitic mode fields Prof Dr O Biebel WS

211 Kollektive Phänomene 124 Wake-Felder (fortgesetzt) Beispiele für longitudinale & transversale parasitäre Schwingungsmoden in Beschleunigerstrukturen (zb Cavities, Balgverbindungen zwischen Strahlrohren, Strahlinjektions--extraktionsbereiche, etc) Wake-Feldeffekte auf einzelne Bunche: Ùtransversale Deformation & Oszillationen ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô Single Bunch: longitudinal and transverse Ùebenso auch longitudinal (Head-Tail-Instabilität) õ õ õ õ õ õ õ õ õ õ õ õ ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø s û û û û û û û û û û û û û û ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü x Single Bunch: longitudinal and transverse y Wake-Feldeffekte auf Multibunch-Teilchenstrahlen: Ùtransversale Verschiebung der Bunche s y x Ùlongitudinale Verschiebung der Bunche s Prof Dr O Biebel WS

212 Õ â ä Ö ² í í Ÿ o ã â i ý ² â p è µ ì í ý è ² ý ÿ ê Õ } Ý ã Ü ã Ý i Ü w Ìý i g ã i Ì x Strahlemittanz 131 Strahlemittanz Bedeutung der Strahlemittanz iin Speicherringen ÙStrahlquerschnitt ÙLuminosität ÙLiouville-Theorem: Strahlmittanz ist Erhaltungsgröße im Beschleuniger ÙSynchrotronstrahlung vergrößertverkleinert Emittanz durch QuantenanregungDämpfung þminimierung durch Optimierung der Magnetgitter und Magnetstärken optimale Parameter im isomagnetischen Beschleunigerring (alle Magnete haben gleiche Stärke und Länge) am Eintrittspunkt der Ablenkmagnete (Index 0) bei verschwindender Dispersion ( ÿ ): opt, opt, min, opt m u (vgl Folie 104) Twiss-Parameter g ý, Phasenraumellipse durch Dispersion ý š, Gleichgewichtsemittanz, Dipollänge, Ablenkradius, Ablenkwinkel im Dipol, Lorentzfaktor weitere Verringerung der Emittanz durch Dispersion, : min min ä Ò NB: Emittanz Ì(Teilchenenergie) und Ì(Ablenkwinkel þniedrig-emittanzringe: viele kurze Magnete mit großem Ablenkradius, geringe Teilchenenergie ² å ) Prof Dr O Biebel WS

213 Ý ' - Ý - Ý ã Ü - Ý þ Ü, Ü, Ì + á Ý * à à Ý Í ' Ý Üä z á Ý Ì à ã Ý ç z z í y y ç ç å $ ~ Ì á Ý à Ü Í Í Ý Ö ã Ý ã Ý Ý Ý Ö Ü ç Ì Þ þ á Ý à ç ç Üä á Ý à Ý Ü ê Strahlemittanz 132 Optimale Emittanz in Collider-Speicherring ÙLuminosität å Ü Ý z (Strahlquerschnitts, Teiléchenzahl in Strahlen, Umlauffrequenz!, Bunch-Anzahl ) ÙBetatron-Tune-Verschiebung für Bunche und insgesamtçteilchen: (Elektronenstrahlen wg Ò Î z Ò Î z Ý Synchrotronstrahlung ia flach: Ý" ) þluminosität am Kollisionspunkt ( $& hängt von Betatron-Tune-Verschiebung ab! ): ã Î Ü Ý)( ÙBei Betatron-Tune-Verschiebung ámax åconst (Limitierung durch Stabilität) Maximierung der Luminosität am Kollisionsort: ã þmin durch Low Beta Insertions (auch gen Minibeta-Quadrupole êfokussierungsmagnete nahe Kollisionsort) große Strahlemittanz groß ( viele Bunche hohe Kollisionsfrequenz Prof Dr O Biebel WS

214 2 - - Ý Ü Ü Strahlkühlung 141 Strahlkühlung ÙStrahlkühlung 1 Strahltemperatur 2 Stochastische Kühlung 3 Elektronkühlung 4 Ionisationskühlung 5 Laserkühlung ÙLiouville-Theorem: Fläche der Phasenraumellipse (Emittanz) in nicht-dissipativen Systemen ist invariant ÙReduktion des 3-dim-Phasenraumvolumens eines Teilchenstrahls häufig erforderlich, um Strahlgröße (transversal und longitudinal) zu verringern (zb Ý10 ) 3bei ElektronPositron-Strahlen: Synchrotron-Strahlung als dissipativer Effekt (WigglerUndulatoren zur Reduktion der Emittanz) 3bei schwereren Teilchen (Protonen, Ionen, etc) ist Synchrotron-Strahlung stark unterdrückt, þandere dissipative Effekte notwendig Prof Dr O Biebel WS

215 $ - Ü $ - Ü Ý } x ã å Ý z, ý ý ý x z ý ý x j å ý X V \ Z b \ ^ c x ý Í ã ã Ö, Ý ý Ò N Ö Õ ã G, 3 Þ Q klein Ý ã Æ A Õ ä ä þ ý F A B ý 6E7 9 : B H 6E< : B å ã Ý Î Strahldivergenz N Kå N G N Strahltemperatur 142 Strahltemperatur Begriffe Strahltemperatur, Strahlkühlung analog zur kinetischen Gastheorie Temperatur eines Teilchenstrahls 54kinetische Energie der Teilchen im Strahl: :Unterschieden werden transversale Temperatur A und longitudinale Temperatur : : Ùtransversale Temperatur: CEs gilt êschwerpunktsystem): ( 3mit (vgl Folie 104) und N å ý ä Õ ã N NPO þ ý (vgl Folie 513) þtransversale Temperatur: Ùlongitudinale Temperatur: CEs gilt ( so): D ý 6 < Å ã B F å fml n Rm l V Rm mrq fpo n f j R j f V f fm mit 6E< UWV RTS þlongitudinale Temperatur: 5Gesamt-Temperatur: Beachte Emittanzdefinition: Hier -Emittanz, dh Strahlgröße ; bei ƒ -Emittanz, dh : Ý Prof Dr O Biebel WS : å 7 9;: Aä 687 9;: B H 6 < ã Ü ä ã Ý ä s{t ÒG Ö t, Ü G t Í Î t ~ sut ã t Í Î t ]Z Y X\ _a` _ ` _ed sut ã t v w X Y[Z X\ ^ X fhg ikj R y t 7 9 : A H 6 < Å Ü ä ÒG, Ü ã AIH Æ und =Æ å =Æ Ü«ä å Æ J ÜLK Ý K M 7 9 : A H 6 < Å G ã J Ü K Ý K M 7 9 : A å + D ý 6E< Å ã A F å D ý 6E< Å G ã 687 9;: å 68<

216 @ þ å ã Temperaturreduktion: Ù1968 erfunden von S van der Meer (Nobelpreis 1984) Stochastische Kühlung 143 Stochastische Kühlung Ù1983 genutzt zur Antiproton-Kühlung bei Entdeckung der intermediären Vektorbosonen W und Ẑ ÙKonzept: 3Teilchendichte entlang Trajektorie ist Zufallsgröße, dh Teilchen sind stochastisch verteilt 3Pick-Up-Elektrode registriert momentanen Schwerpunkt der Ladungsverteilung im Strahl (Fig1) 3verstärktes, à-förmiges Signal re-zentriert Schwerpunkt der Ladungsverteilung þreduktion von A A Kühlung 3Idealisiert: Pick-Up misst jedes Teilchen & Kicker korrigiert es 5Emittanz 3Realität: Endliche Bandbreite in Signalverarbeitung CPick-up: =Š CKicker an Maximum der von Teilchenensemble -Funktion: korrigiert =ŠŒ Prof Dr O Biebel WS

217 t þ þ > í > > t ý : å t t Elektronenkühlung 144 Elektronenkühlung Ù1966 von G Budker vorgeschlagen ÙKonzept: 3 heißer Ionenstrahl => => e mit kaltem Elektronenstrahl e mischen (Fig3) 3Ionenstrahl kühlt ab, Elektronenstrahl aufgeheizt (Fig4(b): Situation im Teilchensystem) 3ersetze aufgeheizten Elektronenstrahl durch neuen kalten 3Ionenstrahltemperatur I t => I eå <e t => e (im Grenzwert) rms I I å <e rms e ý rms e (Atomgewicht ) Prof Dr O Biebel WS

218 Elektronenkühlung 145 Beispiel: Low Energy Antiproton Ring LEAR, CERN Prof Dr O Biebel WS

219 l Ionisationskühlung 146 Ionisationskühlung (Fast) ausschließlich nur für Myonen nutzbar: 3Myonen verlieren Energie beim Durchqueren von Absorber (unabhängig von Impulsrichtung) l w 3longitudinale Beschleunigung ersetzt Energieverlust nur in longitudinaler Richtung þtransversale Kühlung des Myonstrahls 3vielfach zu wiederholen für signifikaten Kühlung Prof Dr O Biebel WS

220 Ö ã G ý Ò Ô å Þ Laserkühlung 147 Laserkühlung Ùzur Kühlung von Atomen & Ionen in elmagn Fallen, auch für Ionenstrahlen in Speicherringen ÙKonzept: 3partiell ionisierte Ionen haben diskrete Absorptionslinien 3Ionenbewegung: Dopplerverschiebung der Absorption 3Frequenz ; gerichtet eingestrahlt, sodass schnellste Ionen absorbieren 3Emission von angeregten Ionen erfolgt ungerichtet (isotrop) þimpulsübertrag von Licht auf Ionen 3Variation der eingestrahlten Frequenz þreduktion der Geschwindigkeitsstreuung der Ionen Prof Dr O Biebel WS

221 ç ý ý ý t 2 ž Òã ý í Ö t ý ý ý, eš ž Vergleich: Strahlkühlung 148 Vergleich: Strahlkühlung stochastisch Elektronen Ionisation Laser Synchrotron- Strahlung für Teilchenart alle Ionen Myonen einige Ionen e bevorzugte Teilchen- hoch mittel gering beliebig sehr hoch geschwindigkeit $ œ G Ÿ (NB: Dopplereffekt) Strahlintensität niedrig beliebig beliebig beliebig beliebig Kühlzeit s s s - s s bevorzugte Strahltemperatur hoch niedrig niedrig niedrig beliebig Prof Dr O Biebel WS

222 Existierende, zukünftige und alternative Beschleunigerkonzepte 151 Existierende, zukünftige und alternative Beschleunigerkonzepte ÙExistierende, zukünftige und alternative Beschleunigerkonzepte 1 LEP, SLC 2 Tevatron, PEP-II, KEK-B, HERA, RHIC, CESR, DA NE 3 LHC 4 Linear-Collider: NLC, TESLA, CLIC 5 Neutrino- Beschleuniger 6 Myon-Beschleuniger 7 Free-Elektron-Laser 8 LaserTeilchenstrahl-Plasma-Beschleuniger Prof Dr O Biebel WS

223 þ «ª «ª š š š š Übersicht der Beschleuniger-Projekte 152 Übersicht der Beschleuniger-Projekte Davon noch in Betrieb, ua: CERN PS : p, e, Ionen (Teststrahlen, Vorbeschl SPS) CERN SPS : p, e, Ionen (Teststrahlen, Vorbeschl LHC) KEK : e þe (für b-quark-fabrik KEK-B) DORIS II PETRA : e : p, eš (Synchrotron-Strahlungsquelle) (Vorbeschl HERA) PEP : e þe (für b-quark-fabrik PEP-II) CESR Tevatron HERA : e þe (für CLEO-Exp) : p þp (für DØ-& CDF-Exp, GeV) : p þe (für H1-& ZEUS-Exp) RHIC : Au Au (100 GeVNukleon) Prof Dr O Biebel WS

224 3 Large Hadron Collider 153 Large Hadron Collider Im Tunnel des LEP-eš e -Beschleunigers: CMS Genfer See ÙLHC: größter & höchstenergetischster Beschleuniger weltweit Jura ÙProton þproton Ùzwei separate Ringe LHC Ù2 7 TeV Energie Ù4 Experimente: SPS ATLAS 3ATLAS, CMS (Vielzweck-Experimente) 3LHC-b (CP-Verletzung bei b-quarks) CERN 3ALICE (Quark-Gluon-Plasma) Chronologie von LHC: 1984 erstes Konzept konkrete Design-Studie 3Dez 1994 Zustimmung des CERN Councils Beginn der Erdarbeiten Demontage von LEP & Experimenten Installation Beschleuniger&Experimente LHC-Sektor- & Injektionstest 3Herbst 2006 Testlauf Beschleuniger 3Frühjahr 2007 Beginn des regulären Messprogramms 15 Jahre Laufzeit des Messprogramms Prof Dr O Biebel WS

225 t ± Ü - Ý - Ý Ü Large Hadron Collider 154 LHC-Parameter: Injektion Kollision Ringumfang [m] Ringabstand [mm] 194 Anzahl Ablenkmagnete 1232 Länge je Magnet [m] 143!-Ablenkfeldstärke [T] Protonenergie [GeV] ProtonenBunch Bunchanzahl 2808 $ Energiestreuung (RMS) [10 Injektion Kollision ] in IP1&5 [m] transv Emittanz [ m rad] Bunchlänge (RMS) [cm] Strahldurchmesser an IP1&5 (RMS) [ m] Strahlstrom [A] 0584 Betatron-Tunes (hori, vert) 6428, , 5932 Energie im Strahl [MJ] Synchrotron-Tune ± Synchrotron- [W] Strahlungsleistung EnergieverlustUmlauf [ev] RF-Frequenz [MHz] 4008 Übergangsenergie Spitzenluminosität ² 5568 [cm s ] Strahllebensdauer [h] 149 ges RF-Spannung [MV] 8 16 Prof Dr O Biebel WS

226 $ Ü - ž ³ ž ³ Large Hadron Collider 155 LHC-Ring: ÙRing besteht aus 8 Oktanden Ù4 Wechselwirkungszonen: IP1, IP2, IP5, IP8 ÙStrahlinjektion in IP2 und IP8 ÙStrahlextraktion (Dump) in IP6 ÙRF-Beschleunigungsstrukturen in IP4 ÙReduktion der Impulsstreuung in IP3 (große Dispersionsfunktion L : Teilchen mit großer Impulsstreuung Kollimator) ÙReduktion der Betatron-Amplitude in IP7 (kleine Dispersionsfunktion L : Teilchen mit großer Betatron-Ampl Ý Kollimator) Figure 32: Schematic layout of the LHC The blue line indicates Beam1 and the red line Beam 2 Beam 1 circulates clockwise and Beam 2 counter clockwise Prof Dr O Biebel WS

227 Large Hadron Collider 156 Strahloptik in Kollisionspunkten IP1&5: βx (m), βy (m) IP5B1 MAD-X β x Dx β y Dx (m) βx (m), βy (m) IP5B2 MAD-X β x β y Dx Dx (m) s (m) s (m) (a) Beam 1, injection optics (b) Beam 2, injection optics βx (m), βy (m) IP5B1 MAD-X β x β y Dx s (m) Dx (m) βx (m), βy (m) IP5B2 MAD-X β x β y Dx s (m) Dx (m) (c) Beam 1, collision optics (d) Beam 2, collision optics Figure 43: Injection (top) and collision (bottom) optics of the high-luminosity insertions at IP1 and IP5 for a β of 18 m and 055 m Prof Dr O Biebel WS

228 Large Hadron Collider 157 Strahlinjektionsprinzip IP2&8: Ùzu injizierender Strahl besteht aus Abfol- The injection process H ge von vielen Bunchen (so genannter Bunchzug von µ74 s Dauer LHC orbit 12 mrad mit 3 oder 4 72 Einzelbunchen) Ùneuer Strahl wird in freie Lücke in LHC- Strahl eingefügt Ùzu injizierender Strahl kommt von außerhalb des Rings Ùliegt unterhalb der Ebene des Sollorbits ÙSeptummagnet bringt zu injizierenden Strahl auf LHC-Sollorbit aber noch unterhalb der Ebene (12 mrad Ablenkwinkel) LHC orbit Require: Kicker (V) Q5 039 mrad < 1µs rise time (gap between SPS injections), <3 µs fall time (abort gap), 8 µs flat-top length (1 SPS batch) Septum (H) 124 mrad V ÙStrahl läuft von unten auf LHC-Sollorbit zu (124 mrad Winkel) ÙQuadrupol Q5 reduziert Annäherungswinkel (um 039 mrad) ÙKickermagnet bringt zu injizierenden Strahl auf LHC-Sollorbit (085 mrad Kickwinkel) ÙKickermagnet: Anstiegszeit des (-Feldes 1 s, Plateaulänge 8 s, Abfallzeit des (-Feldes 3 s (Abfallszeit = Länge der Zeitlücke für Strahldump-Kicker) Prof Dr O Biebel WS

229 LHC Bunch-Struktur des Strahls: Large Hadron Collider 158 Prof Dr O Biebel WS

230 Septum- und Kickermagnete: Each magnet has its own PFN, but two PFNs are charged simultaneously from one RCPS The rise time ( ) is 09 [µs], the fall time 30 [µs] The flat top duration can vary up to 78 [µs] to be able to accommodate various possible injection schemes The flat top ripple is ± 05 The charging voltage is 54 [kv], the pulse current is 54 [ka] A cross section of the magnet is shown in Figure 4 Large Hadron Collider 159 Ù(Lambertson)-Septummagnet: 3Dipolfeld für Injektionsstrahl 3Strahl auf Sollorbit verläuft in (-feldfreien Raum (!-Feldabschirmung durch Mu-Metall) 3Septummagnetlänge: 4 m 3Anzahl Septummagnete: 5Injektionszone ÙKickermagnet: Figure 4: Kicker magnet cross section 3kurzzeitiges Dipolfeld þkick (=kleine Ablenkung) des Injektionsstrahls 3Konzept: Kondensator (54 kv) über Stromschiene entladen 3Pulsform-Schaltungen für notwendiges Zeitprofil: Anstiegszeit : 09 s Plateauzeit : bis zu 79 s Plateaurippel : 05 Abfallzeit : 30 s 3HV-Versorgung, Pulsformung, HV-Schalter: außerhalb des LHC-Tunnels 3Zuleitung über 35 m lange Koaxialkabel (10 Stück parallel) 3Kickermagnetlänge: 265 m 3Anzahl Kickermagnete: 4Injektionszone Prof Dr O Biebel WS The beam to be injected passes through a ceramic vac-

231 ¼ º œ» ƒ Large Hadron Collider 1510 Strahldump in IP6: Strahldump: 7 TeV Strahlen in einem Umlauf (88 s) aus LHC extrahieren & absorbieren 15 Kickermagnete ( ¹Anstieg s, ¹Plateau s) The extraction process 006 mrad H 15 Septummagneten (vergleichbar zu Injektionsseptum) 033 mrad LHC orbit 10 Dilution-Kickermagnete (verteilen Strahlintensität auf Absorber) Septum (V) Q4 Kicker (H) 24 mrad V Figure 176 Beam spot figure on absorber block Absorberblock je: Require: <3 µs extraction kicker rise time (abort gap), >89 µs extraction kicker flat-top length (full LHC turn) 377 m langer, segmentierter Kohlenstoff-Zylinder mit Ø07m 3muss 428 MJ absorbieren LHC orbit 3in Stahlmantel eingeschlossen 3max Temperatur C 3rund 6 t Eigengewicht 3wassergekühlt 3umgeben von 900 t Eisen-Stahl-Strahlungsschilde 3muss 20 Jahre halten Prof Dr O Biebel WS Figure 177 Basic circuit diagram for MKBH and MKBV systems

232 0 ½ Linea-Collider: NLC, TESLA, CLIC 1511 Linea-Collider: NLC, TESLA, CLIC Elektron-Positron-Collider limitiert durch Synchrotron- Strahlung (Energieverlust größter eš e ¾) -Beschleuniger: LEP (27 km Umfang, GeV, µ10 MW Synchrotron-Strahlungsverluste) höhere Teilchenenergie þlineare Collider (LC) Unterscheidung iw durch Beschleunigungs-System: Cnormalleitende Beschlresonatoren (=Cavities) 3(nahezu) beliebig hohe Beschleunigungsgradienten 3hohe thermische Verluste in Cavities 3nur sehr kurze Strahlpulse möglich þstrahllagekorrektur für aktuellen Strahl nicht möglich 3iA starke Beam-Strahlung (longit Synch-Strahlung) Csupraleitende Beschleunigungsresonatoren (TESLA) 3Beschlgradienten theor auf 3praktisch erreicht MVm 55 MVm beschränkt 3geringste Verluste in Cavities 3lange Strahlpulse möglich þstrahllagekorrektur für aktuellen Strahl möglich 3nur geringe Beam-Strahlung C Drive-beam -Beschleunigung (CLIC) 3intensiver, niederenergetischer Strahl parallel zu Linear-Collider erzeugt HF in Resonatoren im Multi- GHz-Bereich (entspricht langgestrecktem Klystron) 3HF-Leistung beschleunigt Teilchen im Haupt- Beschleuniger 3(nahezu) beliebig hohe Beschleunigungsgradienten (»60 MVm) 3Multi-GHz-Bereich führt zu starken Wake-Feldern (Effekte wachsen 0Frequenz þderzeit noch Research&Development (R&D) ) Prof Dr O Biebel WS

233 À Â eà Á Â eà eà Linea-Collider: NLC, TESLA, CLIC 1512 eš TESLA: Supraleitender Linearer e Collider TESLA-500 Accelerating gradient E acc [MVm] 234 RF-frequency f RF [GHz] 13 Fill factor 0747 Total site length L tot [km] 33 Active length [km] 218 No of accelerator structures No of klystrons 584 Klystron peak power [MW] 95 Repetition rate f rep [Hz] 5 Beam pulse length T P [µs] 950 RF-pulse length T RF [µs] 1370 No of bunches per pulse n b 2820 Bunch spacing t b [ns] 337 Charge per bunch N e [10 10 ] 2 Emittance at IP γε x,y [10 6 m] 10, 003 Beta at IP βx,y [mm] 15, 04 Beam size at IP σx,y [nm] 553, 5 Bunch length at IP σ z [mm] 03 Beamstrahlung δ E [] 32 Luminosity L e+e [10 34 cm 2 s 1 ] 34 Power per beam P b 2 [MW] 113 Two-linac primary electric power P AC [MW] 97 (main linac RF and cryogenic systems) e e collision mode: Beamstrahlung δ E,e e [] 20 Luminosity L e e [10 34 cm 2 s 1 ] 047 damping ring positron preaccelerator electron-positron collision high energy physics experiments positron source aux positron and 2nd electron source damping ring - + linear accelerator linear accelerator x-ray laser 33 km Table 131: TESLA parameters for the E cm = 500 GeV baseline design The machine length includes a 2 overhead for energy management The klystron power and primary electric power quoted include a 10 regulation reserve - electron sources (HEP and x-ray laser) Prof Dr O Biebel WS

234 ê + Linea-Collider: NLC, TESLA, CLIC 1513 TESLA: Optik vor Wechselwirkungspunkt: Ablenkung des Strahls aus Beschleunigungsstrecke, damit so gen Beam-Strahlung ( longitudinale Synchrotron-Strahlung) nicht in Wechselwirkungszone gelangt Magnetgitter mit Dipolen & fokusdefokus Quardrupolen Fig721: Betatron-Funktion, Dispersionsfunktion, Magnetgitter auf einer Seite des Wechselwirkungspunkts (engl Interaction Point, IP) Final Focus ist spezielle Anordnung von Fokussierungsmagneten (im Bild nicht detailliert) þam IP Strahlgröße: 533 nm 5 nm! (horizontal vertikal, notwendig für Luminosität) Prof Dr O Biebel Figure 721: Optics functions for the TESLA BDS (e WS )

235 3 G, G G š G, Å š Å æå å ÏÎ ÏÎ ÒÓ ÆÇ ÈÉ ÊË è ÌÍ äã è Þß ç ÕÔ Ö ØÙ ÚÛ ÐÑ ÜÝ 3 G ú ú ü ü ô ô ý ý ù û ø û ô ô êé ëì öõ íî ñ ï ù ÿ ù ú û ùú ü ûüý ýþ G Linea-Collider: NLC, TESLA, CLIC 1514 TESLA: einige weitere Beschleuniger-Elemente Positron-Quelle: 3Undulator-Magnet erzeugt intensive ( -Energie mehrere MeV) -Strahlung to the IP e- solenoids þe -Photonen auf Absorber-Target e -Paarbildung (im Feld der Atomkerne) 3Einfangen der Positronen durch Solenoid-Magnet éê éé êê ëì ëë ìì õö íî õõ öö íí îî ñ ï ññ ïï ÿ ÿÿ ùú ø úù øø ûü üû ý þ þþ ý ô ô ÓÒ ÒÓ Ç ÓÓ Æ ÒÒ ÓÒ ÆÇ ÇÇ É ÆÆ È ÇÆ ÈÉ ÉÉ Ë ÈÈ Ê ÉÈ ÊË ËË Í ÊÊ Ì ËÊ ÌÍ ÍÍ ß ÌÌ Þ ÍÌ Þß æßß ÞÞ ÔÕ àáà ââ ßÞç ÔÔ ÕÕ Ö ÖÖ ØÙ ØØ ÙÙ ÚÛ ÐÑ ÚÚ ÛÛ ÐÐ ÑÑ ÜÝ ÜÜ ÝÝ undulator ~100m γ beam target 04 X 0 Ti-alloy Adiabatic Matching Device e+ accelerating structure to Damping Ring 3und Beschleunigung der Positronen Figure 431: Sketch of the positron source layout 3Speicherung im Emittanz-Dämpfungsring Emittanz-Dämpfungsring: 3 hundknochen-förmiger Ring 3ca 17 km Umfang, 5 GeV Strahlenergie, bis zu 160 ma Strahlstrom 3Emittanz 3Injektion: 3Extraktion:,: Dämpfung durch Wiggler-Magnete,H001 m10 10 Ä H8 10 Dämpfungszeit 28 ms50 ms für eš m (e e ) m e m e + to IP LINAC tunnel injection RF wiggler arc straight section ejection wiggler Figure 511: Conceptual layout of the positron damping ring The electron ring is similar with the exception that the injection point is located close to the indicated ejection position at the beginning of the linac arc Prof Dr O Biebel WS

236 » G ý ¹ ¹ Neutrino- Beschleuniger 1515 Neutrino- Beschleuniger Höchstintensiver Protonenstrahl ( Protonen Schuss, - GeV) auf Target (muss MW absorbieren, zzt Quecksilber) produzierte Pion-Teilchen einfangen þpion- Zerfall in langem Flugtunnel þmyonen Kühlung des Myonstrahls (va transversal) Phasenrotation des Myonstrahls (große Energiestreuung ½, kurze Pulsdauer geringes ½, großes Bunchstruktur) speichern der Myonen in Kreisbeschleuniger mit langen geraden Abschnitten Myonzerfall þneutrinos, starke Bündelung in geradem Abschnitt, wg Lorentzfaktor Cgroße technologische Herausforderungen in þneuentwicklungen erforderlich: Research&Development (R&D) Prof Dr O Biebel WS

237 6 6 ý H ª 6 Myon-Beschleuniger 1516 Myon-Beschleuniger Myon: -fach höhere Masse gegenüber Elektron þsynchrotron-strahlung -fach geringer 3höhere Strahlenergie in Beschleuniger mit geringem Radius möglich 3Kollisionen: punktförmige Myonen Protonen mit komplizierter Struktur 3hohe Myon-Masse þstärke Kopplung ans Higgs-Boson þdirekte Erzeugung und Präzisionsuntersuchung des Higgs-Bosons CMyon-Collider benötigt š und -Strahlen Neutrino-Fabrik ist erster Schritt zu Myon-Collider neue technologische Probleme bei Myon-Strahlenergie TeV, ua: 3Neutrinos aus Myon-Zerfall mit Energie TeV 3Wirkungsquerschnitt Neutrino-Nukleon wächst 3signifikante Strahlungsbelastung durch Neutrinos þmyon-collider zb tief unterirdisch Prof Dr O Biebel WS

238 t t Free-Elektron-Laser (FEL) 1517 Free-Elektron-Laser (FEL) Elektronenstrahl durchläuft Undulator Spontane Emission von Synchrotron- Strahlungsphotonen Elektronenstrahl wechselwirkt mit Synchrotron-Strahlungsphotonen Bunch wird durch Wechselwirkung in Mikro-Bunche aufgeteilt Mikro-Bunche emittieren kohärent Synchrotron-Strahlungsphotonen þsase-prinzip: Self-Amplified-Spontaneaous-Emission Intensität der Synchrotron-Strahlung (Teilchenzahl im Bunch) FEL-Parameter: 3Photon-Energiebereich: kev 3Photonstrahl-Leistung: GW Figure 911: Schematic Diagram of a Single-Pass Free Electron Laser (FEL) operating in the Self-Amplified-Spontaneous-Emission (SASE) mode The bunch density modulation ( micro-bunching ), growing up in parallel to the radiation power, is schematically shown in the lower part of the figure Note that in reality the number of slices is much larger 3Zahl der PhotonenBunch: (1-20) This principle of Self-Amplified-Spontaneous-Emission (=SASE) 10 [8, 9] does not require the optical cavity resonator normally used in multi-pass, longer wavelength FELs and can hence 3typ deliver Photonstrahl-Divergenz: light with wavelengths down 1 rad to the Ångstrøm regime, where optical mirrors are ineffective One expects a transversely fully coherent beam, 3typ Photonstrahl-Durchmesser: 20 larger average brilliance and, in particular, a pulse length of about 200 fs FWHM with m Prof Dr O Biebel WS

239 context of power efficiency it is certainly an advantage of TESLA that the AC power for compensation of the static cryogenic losses have to be invested anyway for the Free-Elektron-Laser (FEL) 1518 collider pulse, so that the overall power efficiency for the XFEL electron beam pulse can be made as large as 28 This optimum efficiency occurs at 18 MVm accelerating gradient Variable Unit Value Linac Parameters optimised gradient for XFEL operation MVm 18 linac repetition rate f rep for XFEL Hz 5 bunch length (rms) fs 80 bunch spacing ns 93 number of bunches per train bunch train length µs 1070 bunch charge nc 1 normalised emittance at undulator entrance mrad mm 16 uncorrelated rms energy spread MeV 51 RF duty cycle 05 average electron beam power (27 GeV branch) MW 08 average electron beam power (50 GeV branch) MW 14 over-all power efficiency AC to electron beam 28 FEL Parameters typical saturation length m photon energy range kev photon beam power range GW number of photons per bunch typical photon beam divergence (rms) µrad 1 typical photon beam diameter (rms) µm 20 Table 911: Key parameters for XFEL operation with TESLA More detailed tables on XFEL operation are given in part V Figure 912: Spectral peak brilliance of X-ray Free Electron Lasers (XFEL) and undulators for spontaneous radiation at TESLA, in comparison with third-generation synchrotron radiation sources For comparison, also the spontaneous spectrum of an XFEL undulator is shown The label TTF-FEL indicates design values for the FEL at the TESLA Test Facility, with (M) for the planned seeded version First lasing was demonstrated at TTF FEL in the year 2000 at 11 ev photon energy, and a peak brilliance of (6 ± 4) in the above units has been achieved up to now Prof Dr O Biebel WS

240 š + š š š LaserTeilchenstrahl-Plasma-Beschleuniger 1519 LaserTeilchenstrahl-Plasma-Beschleuniger Limitierung der Beschleunigungsgradienten in herkömmlichen Resonatoren auf typ 100 MVm (höhere Gradienten stärkere HF-Felder Feldemission aus Resonatorwänden Oberflächenbeschädigung) alternative Beschleunigungsmethoden gesucht, zb mittels Plasma: 3Plasma: Elektronen e & Ionen I, im Mittel neutral 3Plasma: e sehr beweglich, I träge transv Wake-Felder durch nicht-zentrierten Teilchenstrahl 3durchlaufender Teilchen- (a) Laserpuls (b) (a) þtransv Verschiebung der e transversale Wake-Felder bzgl I 3verschobene e I -Kanal oszillieren transversal durch pos (b) þwake-felder laufen durch Plasma 3zu beschleunigender Elektronenbunch surft auf beschleunigendem Wake-Feld 3(theor) Beschleunigungsgradienten: bis zu 100 GVm! Prof Dr O Biebel WS