Lineare Algebra IIb Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp. Klausuren: LAIIb, LAII (Lehramt): Freitag Uhr

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1 Lineare Algebra IIb - 1. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp Klausuren: LAIIb, LAII (Lehramt): Freitag Uhr

2 Gittervektor, keindann Vielfaches anen Gittervektors ist. sich Wende nun Formel jedes Vektor Qi kongruent zu einemeines Polygone M1,..., Mm ist, verschiedene (15.) Qi s auf diesen an, S auf diesen an, dannschneiden nur invektor ihren Kanten und R1 = i Qi. + A ist=die. () Die Symmetriegruppe einera Pflasterung Gruppe A {z 1 } + A =. {z } Sym(Q) =15.. {fgittervektors Tapetengruppen Isom(R ) ist, f (Q) = Q} Isom(R Da kein Vielfaches eines anen Z. Nun).ist A SO (R), Da eine keindrehung Vielfaches anen Z. Es Nun ist A SO (R), d.h. umeines einen WinkelGittervektors, mit Spurist, =. Proposition Dieeinen Punktgruppe einer Tapetengruppe 0mit d.h.daeine Drehung Winkel Spur =. also Z. 1um gibt es nur die M, glichkeiten { ist, entwe 1,Es0, 1, },isomorph zu og einer zyklischen,, {1,,,1,,1.}, 4,In}G ist. (Ist neso n, wobei Z. Da, 0}. 1 gibt nur einer die MDiegruppe D {n, 1,4,0, also oglichkeiten {±, ±, ±, ± Gruppe DieZentsprechenden Drehungen haben Ordnung 0 kann ist G0 die Gruppe Drehungen um Vielfache des Winkels G. Ist = ±Znur 0 also n,, so 0 = {±, ±, ±, 0}. DieOrdnungen entsprechenden,,satz 4,, G0 0G kann es Elemente 1,,,Drehungen 4, geben. haben DamitOrdnung muss nach eine n InG D ist G Gruppe Ordnungen Symmetrien mit Mittelpunkt 0, aßigen 0 die esn also nur Elemente, 4, regelm geben. Damitn-Ecks muss nach Satz 14.9 G0 ineine aus Proposition sein. 1,,eines vgl )aus Proposition sein. Satz Satz 15.. (Fedorov, 1891) Bis auf Ahnlichkeit gibt es genau 17 verschiedene Tapeten gruppen. Satz 15.. (Fedorov, 1891) Bis auf Ahnlichkeit gibt es genau 17 verschiedene Tapetengruppen. Eine Moglichkeit ist, ahnlich wie im Falle Friesgruppen die moglichen auftretenbeweis. den Punktgruppen (vgl. Proposition 15.1) m1odie glichen, dazugeh origen Beweis. Eine Moglichkeit ist, ahnlich wie im od glichen Zdurchzugehen Z Z Friesgruppen Z4undZdie D Dm D4 auftretend 1 Falle Tapetengruppen zu (vgl. finden. Das ist relativ aufwendig. auch die 1durchzugehen 1 1Es gibt 1 und 1 dieeinen m 4Beweis, dazugeh sich 1 den Punktgruppen Proposition 15.1) oglichen, origen arithmetischen Eigenschaften isttapetengruppen, naes mlich sich Beweis, um AutomorphisTapetengruppen zu finden. Das relativ aufwendig. gibtdass aucheseinen sich die men des Gitters Eigenschaften handelt, mehr zunutze macht. arithmetischen Tapetengruppen, namlich dass es sich um Automorphismen des Gitters handelt, mehr zunutze macht. Bemerkung 15.. In Tat sind die kristallographischen auch in hoheren Dimensionen Ahnlichkeitsklassen fu ) =honheren = r dim(v Bemerkung klassifiziert 15.. In worden: Tat die sindanzahl die kristallographischen auch in,, 4, 5, sindklassifiziert worden: die Anzahl Ahnlichkeitsklassen Dimensionen fu r dim(v ) = n = n 4 5,, 4, 5, sind #n Im Falle n = sind die kristallographischen nu zur Untersuchung Struktur tzlich # von Kristallen. Im Falle n = sind die kristallographischen nu tzlich zur Untersuchung Struktur von Kristallen.

3 Pflasterungen Definition (1) Seien M 1,...,M m Polygone (nicht notwendigerweise konvexe Vielecke) in R. Eine Menge Q = {Q 1,Q,...} von Polygonen heißt eine Pflasterung Ebene R, falls jedes Q i kongruent zu einem Polygone M 1,...,M m ist, sich verschiedene Q i s nur in ihren Kanten schneiden und R = S i Q i. () Die Symmetriegruppe einer Pflasterung ist die Gruppe Sym(Q) ={f Isom(R ) f(q) =Q} Isom(R ). periodisch aperiodisch [Bil:

4 Es gibt auch aperiodische Pflasterungen: z.b. Penrose-Pflasterungen Beispiel = 1+p 5 goldener Schnitt [Bild:

5 Es gibt auch aperiodische Pflasterungen: z.b. Penrose-Pflasterungen Beispiel aperiodisch überabzählbar viele je endliche Teil tritt in je Pflasterung unendlich oft auf zwei Pflasterungen sind also durch endliche Teile unterscheidbar Anzahlverhältnis = [Bild: