Erwartungswert und Varianz von Zufallsgrößen. Zufällige Auswahl von Mann und Frau X = Y = Wir erwarten X < Y. der Frau des Mannes

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1 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.1 Erwartungswert und Varianz von Zufallsgrößen Zufällige Auswahl von Mann und Frau X = Y = Wir erwarten X < Y } Körpergröße { der Frau des Mannes In der Mehrzahl der Fälle wird das so sein. Aber: X > Y kann vorkommen! Modell: X, Y unabhängig und N (µ x, σ 2 x)- bzw. N (µ y, σ 2 y )-verteilt Beispiel: µ x = 165 cm, µ y = 175 cm, σ x = σ y = 10 cm Scatter-Plot von unabhängigen, wie (X, Y ) verteilten (X 1, Y 1 ),..., (X N, Y N )

2 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.2

3 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.3 X Zufallsgröße mit möglichen Werten x 1,..., x n Laplace-verteilt: Ws(X = x j ) = 1 n, j = 1,..., n Erwartungswert oder Mittelwert von X EX = 1 n n j=1 x j, beliebige diskrete Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsgewichten Ws(X = x j ) = p j EX = = n j=1 n j=1 x j p j x j Ws(X = x j )

4 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.4 Beispiele: (Skript, S. 39) a) Würfelwurf: Ws(X = k) = 1 6, k = 1,..., 6 EX = 1 ( ) = 3, 5 6 b) Y 0-1-Zufallsgröße; Ws(Y = 1) = p EY = 0 Ws(Y = 0) + 1 Ws(Y = 1) = p c) X kann die Werte 1, 2, 3, 100 annehmen. Ws(X = k) = 333 1, k = 1, 2, 3, = für k = 100. gewöhnliches Mittel: EX = = 26, 5 ( ) = 2, 098

5 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.5 Erwartungswert EX einer beliebigen reellwertigen Zufallsgröße a) Verteilung von X diskret mit Werten x 1, x 2,... und Wsgewichten p j = Ws(X j = x j ) EX = j=1 x j p j = j=1 x j Ws(X = x j ) b) X hat Wsdichte p(x) EX = x p(x)dx. Es gibt (seltene) Fälle, wo EX nicht existiert!

6 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.6 Beispiele: a) X Poisson-verteilt: P(λ), Werte 0,1,2,... EX = j=0 j p j = j=0 j λj j! e λ = λ b) X exponentialverteilt: Exp(λ) EX = x p(x)dx = 0 xλe λx dx = 1 λ c) B(n, p): EX = np d) H(n, M, N): EX = n M N e) N (µ, σ 2 ): EX = µ

7 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.7 f) lognormal(µ, σ 2 ) : EX = e µ+σ2 2 g) Weibull(λ, β) : EX = 1 λ β Γ(1 + 1 β ) Gamma-Funktion: Γ(n + 1) = n! Allgemein: Hat X eine Wsdichte, die symmetrisch um µ ist, so ist EX = µ.

8 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.8 Erwartungswerte von Funktionen einer Zufallsgröße X Zufallsgröße mit Werten in X f reellwertige Funktion auf X, Ef(X) =? 1. Möglichkeit: Verteilung der Zufallsgröße Y = f(x) bestimmen, z.b.: X N (µ, σ 2 ) Y = exp(x) lognormal 2. Möglichkeit: a) X Werte x j, Wsgewichte p j, j = 1, 2,.... Ef(X) = j=1 f(x j )p j = b) X Wsdichte p(x) Ef(X) = j=1 f(x j )Ws(X = x j ) f(x) p(x)dx.

9 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.9 Gesetz der großen Zahlen: X 1,..., X N u.i.v. reellwertige Zufallsgrößen mit EX = µ. Dann: X N = 1 N N j=1 (der Zufall mittelt sich heraus) X j µ für N Genauer: Ws(X N µ) = 1 Interpretation des Erwartungswerts EX Wiederhole das Experiment, das X liefert, sehr oft auf unabhängige Weise unabhängige X 1,..., X N mit derselben Verteilung wie X. Dann gilt: X N = 1 N N j=1 X j EX

11 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.11 Anwendung: Schätzer für Verteilungsparameter X 1,..., X N u.i.v. Exp(λ)-verteilt X N EX = 1 λ ˆλ = 1 X N 1 EX = λ Erwartungswert oder Mittelwert EX in der Praxis Produktion: Zielwert µ 0 soll im Mittel eingehalten werden Messwerte X 1, X 2,..., X N sollen im Mittel µ 0 sein, d.h. es muss EX j = µ 0 gelten Investitionen oder Geschäftsstrategien: Gewinn X nicht exakt vorhersagbar erwarteter Gewinn EX möglichst groß

12 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.12 Zusätzliche Wünsche: Produktion: Abweichungen vom Zielwert µ 0 nicht zu groß Investitionen: zufällige Schwankungen des Gewinns (Risiko) nicht zu hoch Varianz var X einer reellwertigen Zufallsgröße var X = E ( X EX ) 2 Standardabweichung σ(x) = var X Produktion: var X j klein als Qualitätsforderung Investitionen: var X oder σ(x)=volatilität als Risikomaße

13 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.13 Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften (1990): H. Markowitz für seine Theorie der Portfolio-Auswahl (1952/1959) Bei der Auswahl eines Portfolios für zu investierendes Kapitel spielen erwartete Rendite (EX) und Risiko (gemessen durch var X) die wesentliche Rolle (mean-variance analysis). Beide wachsen tendenziell gemeinsam, aber durch geschickte Portfoliowahl kann man, z.b. durch Risikodiversifizierung, die erwartete Rendite unter der Nebenbedingung maximieren, dass das Risiko (= Varianz oder Volatilität) ein vorgegebenes Limit nicht übersteigt: Maximiere EX! unter der Bedingung var X Limit

14 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.14 Beispiele: (Skript, S. 43) a) P(λ) EX = λ var X = E ( X EX ) 2 = E(X λ) 2 = k=0 (k λ) 2 λk k! e λ = λ b) N (µ, σ 2 ) EX = µ var X = E ( X µ ) 2 = (x 1 µ)2 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2 dx = σ 2 c) B(n, p): var X = n p(1 p) = n pq d) H(n, M, N): var X = n M N (1 M N ) N n N 1

15 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.15 e) Exp(λ) : var X = 1 λ 2 f) lognormal (µ, σ 2 ) : var X = e 2µ+σ2 (e σ2 1) g) Weibull (λ, β) : var X = 1 λ 2/β ( Γ(1 + 2 β ) Γ 2 (1 + 1 β )) Schätzer für Varianz aus Gesetz der Großen Zahlen X 1,..., X N u.i.v. mit EX j = µ, var X j = σ 2 s 2 N = 1 N 1 N j=1 ( Xj X N ) 2 1 N N j=1 ( Xj µ ) 2 E ( X1 µ ) 2 = var X1 = σ 2 s 2 N ist brauchbarer Schätzer für σ2, falls N groß genug - nicht nur für normalverteilte Daten.

16 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.16 Rechenregeln für Erwartungswerte Erwartungswert linear: Für beliebige Konstanten c 1,..., c N ( ) E c 1 X c N X N = c 1 EX c 1 EX N Faktorisierung des Erwartungswerts für unabhängige X 1,..., X N E(X 1... X N ) = EX 1... EX N Speziell für u.i.v. X 1,..., X N : E(X 1... X N ) = ( EX 1 ) N

17 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.17 Rechenregeln für Varianzen var ( cx ) = c 2 var X, σ ( cx ) = cσ(x) Additivität des Erwartungswerts für unabhängige X 1,..., X N var Speziell für u.i.v. X 1,..., X N : var N X j = N j=1 j=1 N X j j=1 var X j = N var X 1 var X N = var ( 1 N Nj=1 X j ) = 1 N var X 1 0 X N const und const = EX 1, da EX N = 1 N Nj=1 EX j = EX 1

18 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.18 X 1,..., X N u.i.v., Schätzer für µ = EX j : X N Approximatives (1 α)-konfidenzintervall für µ = EX X N ± s N N q α, q α = (1 α 2 ) Quantil von t N 1 Anwendung: Approximatives Konfidenzintervall für λ, wenn X 1,..., X N unabhängig identisch Exp(λ)-verteilt, µ = EX j = 1 λ [T 1, T 2 ] Konfidenzintervall für µ Ws ( T 1 1 λ T 2) 1 α 1 T 2 λ 1 T 1 mit Wahrscheinlichkeit 1 α [ 1 ] T 2, 1 T 1 (1 α)-konfidenzintervall für λ

19 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.19 Abhängige Zufallsgrößen: Kovarianz und Korrelation X, Y reellwertige Zufallsgrößen mit Wsdichten p x, p y V = ( ) X Y Zufallsvektor mit Werten in R 2. zweidimensionale Dichte p v (x, y) Ws(a X b, c Y d) = c b a p v(x, y)dx dy X, Y unabhängig p v (x, y) = p x (x) p y (y) Statt Untersuchung der Funktion p v (x, y) nur Zahl als Maß für die Stärke der Abhängigkeit: Kovarianz bzw. Korrelation von X und Y.

20 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.20 Kovarianz cov (X, Y ) zweier reellwertiger Zufallsgrößen X, Y ( cov (X, Y ) = E (X EX) (Y EY = E(X Y ) EX EY ) Korrelation corr(x, Y ) = cov (X, Y ) σ(x) σ(y ) = cov (X, Y ) var (X) var (Y ) Die Korrelation ist skaleninvariant: corr(ax, by )=corr(x, Y ), a, b> 0. Es gilt immer: 1 corr(x, Y ) +1

21 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.21 Was bedeutet der Korrelationswert? 1) X, Y unabhängig cov (X, Y ) = 0 corr(x, Y ) = 0 X, Y heißen unkorreliert 2) Y proportional zu X, d.h. Y = c X für ein c 0 cov (X, Y ) = cov (X, cx) = c cov (X, X), var Y = c 2 var X corr(x, Y ) = c c = } {{ } =var X +1 c > 0 für 1 c < 0 Das gilt auch allgemein für Y = c X + d.

22 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler ) Aus X, Y unkorreliert,d.h. corr(x, Y ) = 0, folgt nicht (!), dass X, Y unabhängig Extremes Gegenbeispiel: X U( 1, +1)-verteilt, Y = X 2 corr(x, Y ) = 0 obwohl Y völlig von X abhängt (aber auf nichtlineare Weise) Fazit: Korrelation misst das Ausmaß der linearen Abhängigkeit von X und Y. Wichtiger Sonderfall: X, Y gemeinsam normalverteilt. Dann: X, Y unabhängig corr(x, Y ) = 0

23 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.23 Streudiagramme oder Scatterplots (vgl. Skript, 1.6) 2 Messungen je Objekt zweidimensionale Daten ( ) ( ) x 1 y,..., xn 1 yn R 2 modellieren als Zufallsvektoren ( X ) j, j = 1,..., N Y j Streudiagramm oder Scatterplot X j, Y j beeinflussen sich nicht Plot weitgehend parallel zu Koordinatenachsen unkorreliert typisch: Ellipse mit Hauptachsen parallel zu Koordinatenachsen (Normalverteilung!) X j, Y j zusätzlich gleiche Variabilität Kreis X j, Y j beeinflussen sich Plot steigt oder fällt corr(x j, Y j ) > 0 bzw. < 0

31 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.31 Kovarianz- und Korrelationsschätzer Modell: (x 1, y 1 ),..., (x n, y N ) sind Werte von unabhängig, identisch verteilten Zufallsvektoren (X 1, Y 1 ),..., (X N, Y N ) mit µ x = EX j, σ 2 x = var X j µ y = EY j, σ 2 y = var Y j c = cov (X j, Y j ) ρ = corr(x j, Y j ) cov (X 1, Y 1 ) = E{(X 1 µ x )(Y 1 µ y )} 1 N 1 1 N 1 N j=1 N j=1 (X j µ x )(Y j µ y ) (X j X N )(Y j Y N ) = ĉ N

32 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.32 Stichprobenkovarianz ĉ N und Stichprobenkorrelation ˆρ N schätzen c bzw. ρ ˆρ N = ĉ N s N,x s N,y, s 2 N,x = 1 N 1 N j=1 (X j X N ) 2, s 2 N,y =... Test auf Unabhängigkeit zweier Stichproben Modell: Paare von Messungen (X 1, Y 1 ),..., (X N, Y N ) unabhängig und identisch gemeinsam normalverteilt mit Korrelation ρ. gemeinsam normalverteilt: a X + b Y ist N (µ a,b, σa,b 2 )-verteilt für alle a, b. In diesem Fall gilt: X j, Y j unabhängig X i, Y i unkorreliert, ( d.h. ρ = 0)

33 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.33 Fisher-Transformation ˆρ N 1 2 ln 1 + ˆρ N 1 ˆρ N ρ 0 ln 1 + ρ 0 (= 0 für ρ 0 = 0) 1 ρ 0 Teststatistik N 3 { Z = ln 1 + ˆρ N ln 1 + ρ ˆρ N 1 ρ 0 ist unter der Hypothese H 0 : ρ = ρ 0 ungefähr N (0, 1)-verteilt für N 50, ρ 0 nicht zu nahe bei ±1. Korrelationstest (q β = β-quantil von N (0, 1)) Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : ρ = ρ 0 H 1 : ρ > ρ 0 Z > q 1 α oder ρ ρ 0 H 0 : ρ = ρ 0 H 1 : ρ ρ 0 Z > q 1 α 2 }

34 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.34 Abhängigkeit zwischen Ladenmiete/m 2 ( ˆ= Geschäftslage) und Umsatz in Ladenkette. Daten für N = 53 Filialgeschäfte: X j = Umsatz pro m 2 Ladenfläche Y j = Miete pro m 2 Ladenfläche Stichprobenkorrelation ˆρ 53 = 0, 37 Positive Korrelation zwischen Miete und Umsatz oder nicht? Teste H 0 : ρ = 0 (oder 0) gegen H 1 : ρ > 0 50 Z = 2 ln 1 + 0, , 37 ln }{{} =0 = 2, 744 Niveau α = 0, 01, q 1 α = 2, 326 Unabhängigkeit verwerfen

36 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.36 Allgemeine Regressionsmodelle Datenpaare (X 1,, Y 1 ),..., (X N, Y N ) unabhängig Modell: Y j = g(x j ) + e j, j = 1,..., N Residuen e 1,..., e N u.i.v. mit Ee j = 0, var e j = σ 2 e (oft: e 1,..., e N u.i.v. N (0, σ 2 e )-verteilt) Probleme: 1) Schätze die Regressionsfunktion g(x) 2) Sage Y N+1 vorher, gegeben den Wert von X N+1 Wenn X N+1 = x bekannt ist, so ist Vorhersage für das zugehörige Y N+1. ŶN+1 = g(x) die beste

37 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.37 Lineare Regressionsmodelle g(x) bekannt bis auf endlich viele Parameter, die linear in g eingehen. Beispiele: g(x) = b 0 + b 1 x Regressionsgerade g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 parabolische Regression g(x) = b 0 + b 1 x b p x p polynomiale Regression g(x) = b 0 + b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) + a 1 sin(x) + a 2 sin(2x) trigonometrische Regression nicht: g(x) = b 1 e b 2x + a 1 e a 2x (Beispiel für nichtlineare Regression)

38 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.38 Regressionsgerade g(x) = b 0 + b 1 x Daten: (X 1,, Y 1 ),..., (X N, Y N ) Kleinste-Quadrate-Ansatz: Schätze b 0, b 1 durch die Kleinste-Quadrate-Schätzer ˆb 0,ˆb 1 definiert durch ( ) N 2 ) N 2 Y j ˆb 0 ˆb 1 X j = min (Y j b 0 b 1 X j b 0,b 1 j=1 j=1 Lösung: ˆb 1 = Nj=1 (Y j Y N ) (X j X N ) Nj=1 (X j X N ) 2 = ĉn s 2 N,x ˆb 0 = Y N ˆb 1 X N

43 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.43 Daten: Korndurchmesser (x) und Druckfestigkeit (y) von Steinsalzkörnern

44 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.44 Daten und Regressionsgerade

45 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.45 Daten, Regressionsgerade und Regressionsparabel

46 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.46 Capital asset pricing model (CAPM) (W. Sharpe, Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften, 1990) Rendite = prozentuale Änderung von Anlagewert R 0 = Rendite von risikoloser Anleihe R(i) = Rendite von Aktie Nr. i, i = 1,..., p R M = Rendite von Markt ( ˆ= Rendite von marktbreitem Index, z.b. S&P500) Mittlere Exzessrendite der Aktie proportional zu der Exzessrendite des Marktes: E(R(i) R 0 ) = β i E(R M R 0 )

47 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.47 Regressionsmodell: R(i) R 0 = Y (i), R M R 0 = X, Y (i) = α i + β i X + e(i) Daten: R t (i), X t im Jahr t Y t (i) = α i + β i X t + e t (i), t = 1,..., N CAPM α i = 0, in Praxis aber nicht immer erfüllt β i (R M R 0 ) ˆ= Marktrisiko der Aktie i. β i > 1 riskanter als Markt β i = 1 genauso riskant wie Markt β i < 1 risikoloser als Markt β i groß erwartete Rendite groß für den Preis höheren Risikos

48 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.48 Industry Beta Industry Beta Air transport 1.80 Energy, raw material 1.22 Real property 1.70 Tires, rubber goods 1.21 Travel, outdoor recreat Railroads, shipping 1.19 Electronics 1.60 Forest products, paper 1.16 Misc. Finance 1.60 Drugs Medicine 1.14 Nondurables, entertainm Domestic oil 1.12 Consumer durables 1.44 Soaps, cosmetics 1.09 Business machines 1.43 Steel 1.02 Retail, general 1.43 Containers 1.01 Media 1.39 Nonferrous metals 0.99 Insurance 1.34 Agriculture 0.99 Trucking, freight 1.31 Liquor 0.89 Aerospace 1.30 International oil 0.85 Apparel 1.27 Banks 0.81 Construction 1.27 Tobacco 0.80 Motor vehicles 1.27 Telephone 0.75 Photographic, optical 1.24 Energy, utilities 0.60 Chemicals 1.22 Gold 0.36

49 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.49 Regression und Korrelation Korrelation = Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Merkmalen Y j und X j Wenn X j, Y j über eine Regressionsgerade verknüpft sind: Y j = b 0 + b 1 X j + e j, mit e j unabhängig von X j, Ee j = 0, var e j = σe 2, var X j = σx, 2 dann gilt ρ = corr(x j, Y j ) = b 1 b σ2 e σ 2 x, b 1 = ρ 1 ρ 2 σ2 e σx 2 Insbesondere: ρ = 0 b 1 = 0

50 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.50 Test, ob Y j von X j abhängt: Modell: H 0 : b 1 = 0 gegen H 1 : b 1 0. Y j = b 0 +b 1 X j +e j, j = 1,..., N, e 1,..., e N sind u.i.v. N (0, σ 2 e ) X 1,..., X N haben ein beliebige Verteilung, sind aber unabhängig von e 1,..., e N. Die X j können auch deterministisch sein. Hilfsgrößen: ˆσ 2 e = 1 N 2 N j=1 ( Yj ˆb 1 ˆb 2 X j ) 2 ˆσ 2 x = 1 N N j=1 ( Xj X N ) 2 = N 1 N s2 x ˆσ 2 1 = ˆσ2 e ˆσ 2 x schätzt var ˆb 1

51 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.51 Teststatistik T 0 1 = N ˆb 1 ˆσ 1. ist t N 2 -verteilt, wenn die Hypothese H 0 : b 1 = 0 zutrifft. Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : b 1 = 0 oder H 0 : b 1 0 H 1 : b 1 > 0 T1 0 > t N 2,1 α H 0 : b 1 = 0 H 1 : b 1 < 0 T1 0 < t N 2,α = t N 2,1 α oder H 0 : b 1 0 H 0 : b 1 = 0 H 1 : b 1 0 T1 0 > t N 2,1 α/2 wobei t N 2,β = β-quantil von t N 2. Der Test kann auch benutzt werden, wenn e 1,..., e N nur ungefähr normalverteilt sind, hat dann aber auch näherungsweise das Niveau α.

52 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.52 Allgemeiner Regressionstest H 0 : b 1 = b o 1 gegen H 1 : b 1 b o 1. Teststatistik T 1 = N (ˆb 1 b o 1 ) ˆσ 1. Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : b 1 = b o 1 H 1 : b 1 > b o 1 T 1 > t N 2,1 α oder H 0 : b 1 b o 1 H 0 : b 1 = b o 1 H 1 : b 1 < b o 1 T 1 < t N 2,α = t N 2,1 α oder H 0 : b 1 b o 1 H 0 : b 1 = b o 1 H 1 : b 1 b o 1 T 1 > t N 2,1 α/2 Auf ähnliche Weise kann auch getestet werden, ob Parameter in komplizierteren linearen Regressionsmodellen bestimmte Werte annehmen, z.b. ob H 0 : b 2 = 0 im Modell Y j = b 0 + b 1 X j + b 2 Xj + e j

54 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.54 Fallstudie: (X j, Y j ) = Anzahl Passagiere und Flugunkosten in T US-$ (Boeing 737, Flugstrecke 500 Meilen unter ähnlichen Bedingungen) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) Geschätzte Regressionsgerade: y = ˆb 0 +ˆb 1 x = 1, 570+0, 0407x Vorhersage der Unkosten für Flug mit x = 80 Passagieren: ŷ = 1, , = 4, 83

56 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.56 Modell: Y j = b 0 + b 1 X j + e j, Ee j = 0, var e j = σ 2 e Stichprobenresiduen ê j = Y j (ˆb 0 + ˆb 1 X j ) Schätzer für σ 2 e, var ˆb 1 : ˆσ 2 e = 1 N 2 N j=1 ê 2 j, ˆσ2 1 = ˆσ2 e ˆσ 2 x N = 12, α = 0, 01, 99%-Quantil von t N 2 = 2, 76 Test H 0 : b 1 = 0: T 0 1 = N ˆb 1 ˆσ 1 = 9, 43 > 2, 76 H 0 verwerfen Residuenplot: Stichprobenresiduen ê j gegen Werte auf der Regressionsgerade ˆb 0 + ˆb 1 X j sollten wie u.i.v. normalverteilte Daten mit Mittelwert 0 aussehen, wenn das Modell die Daten gut genug approximiert

58 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.58 Simuliertes Fallbeispiel: Ausgaben für Luxuswaren gegen Haushaltsjahreseinkommen

59 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.59 Residuenplot spricht nicht gegen das Modell: Regressionsgerade + u.i.v. normalverteilte Residuen

60 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.60 Dieselben Daten + Haushalte mit hohem Einkommen

61 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.61 Residuenplot für ergänzten Datensatz spricht gegen das Modell

62 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 7.62 Daten, geschätzte Regressionsgerade und wahre abflachende Regressionsfunktion