7 Verankerung und Stöße von Bewehrungsstäben

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1 7 Verankerung und Stöße von Bewehrungsstäben 7.1 Verbundwirkung Bei dem Baustoff Stahlbeton handelt es sich um einen Verbundwerkstoff. Bereits als man die ersten Modelle für das Tragverhalten von Stahlbetonbauteilen entwickelt hat, war man sich der Bedeutung der Verbundwirkung zwischen Stahl und Beton bewusst. Prinzipiell sind mehrere Methoden denkbar, um die Tragfähigkeit des Bewehrungsstahls innerhalb eines Betonkörpers zu aktivieren: Vor allem in der Anfangszeit des Stahlbetonbaus kamen alle dargestellten Methoden zum Einsatz. Seite 92

2 In den USA begann man relativ früh mit Versuchen, eine kontinuierliche Verbundwirkung durch teilweise originelle Formgebungen der Bewehrungsoberfläche zu erzielen. Frühe amerikanische Bewehrungsstäbe Seite 93

3 Der heute in Deutschland übliche Bewehrungsstahl BSt500 nach DIN 488 für Stabdurchmesser von 6 mm bis 28 mm und bauaufsichtlicher Zulassung für Stabdurchmesser größer 28 mm wird mit der unten dargestellten Rippung hergestellt. Man geht zurzeit davon aus, dass durch die Rippenform nach DIN 488 die folgenden Anforderungen erfüllt werden: Die Verbundwirkung soll kontinuierlich über die gesamte Länge der Bewehrung vorhanden sein. Die Oberflächengestalt soll kurze Verankerungslängen ermöglichen. Die Oberflächengestalt soll zu einer Rissbildung im Beton führen, die bei möglichst geringen Rissabständen eine geringe Rissbreite aufweist. Die Verbundwirkung darf nicht zur Sprengwirkung führen (Längsrisse). Die Verbundwirkung soll in allen Verbundbereichen wirksam sein. Seite 94

4 Die Oberflächengestalt darf die - Biegetragfähigkeit (Rückbiegen) nicht übermäßig beeinträchtigen, - Die Dauerschwingfestigkeit nicht maßgeblich reduzieren, - Beim statischen Zugversuch aufgrund der Kerbwirkung nicht zu Frühbrüchen führen. Wie funktioniert die Verbundwirkung im Modell? Im Bild ist der gerippte Stahl in stark idealisierter Form dargestellt. Deutlich zu erkennen sind die im Beton auftretenden Druckspannungen, die sich auf die Rippen abstützen sowie die Ringzugspannungen. Bei zu geringer Betondeckung können diese Zugspannungen zu Rissen parallel zur Stabachse führen. Diese Rissbildung wird maßgeblich von der Größe der Verbundfestigkeit und der Zugfestigkeit des Betons sowie von der Dicke der Betondeckung beeinflusst. Hieraus ergibt sich die Bedingung, dass die Mindestbetondeckung nicht kleiner sein darf als der Stahldurchmesser. Seite 95

5 Über die Druckstreben, die sich auf die Rippen abstützen, wird die Kraft aus dem Beton in den Stahl geleitet. Die Streben verlaufen räumlich um den Bewehrungsstab. Bei jeder Änderung der Stahlkraft muss über den Umfang des Bewehrungsstabes eine Verbundspannung f bd wirken, deren Summe der Größe der Kraftänderung F sd entsprechen muss: mit u = Umfang eines Bewehrungsstabes F 1 f S b= f ux bd = M x Ed 1 1 z u mit x 0 wird dm/dx = V und damit Die Gleichung kann so interpretiert werden, dass die Verbundspannung ihren Größtwert im Bereich maximaler Querkräfte erreicht, weil hier auf kurzen Stablängen x große Kräfte F Ed vom Beton in den Stahl eingeleitet werden. Seite 96

6 Die Verbundfestigkeit ist neben der Oberflächenbeschaffenheit des Stahls auch von der Lage des Stahls beim Betonieren sowie von der Betonzugfestigkeit abhängig. Der Nachweis der Verbundspannung wird indirekt über den Nachweis der Verankerung der Bewehrungsstäbe geführt. Die Werte für die Verbundspannungen sind so festgelegt, dass im Grenzzustand der Tragfähigkeit ausreichende Sicherheit gegen Versagen des Verbundes und im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ausreichende Sicherheit gegen wesentliche Verschiebungen zwischen Beton und Stahl besteht. Seite 97

7 Abhängig von der Lage der Bewehrung unterscheidet man zwischen guten und mäßigen Verbundbedingungen mm 300 mm Seite 98

8 Mäßige Verbundbedingungen liegen vor, wenn das unvermeidliche Sacken des Betons nach dem Verdichten zu einer teilweisen Ablösung des Betons vom Stahl führt. 4 Dies wird durch eine Abminderung der Verbundspannungen auf 70% der Werte für den guten Verbund berücksichtigt. Seite 99

9 7.2 Verankerung Im Verankerungsbereich wird die Zugkraft von der Bewehrung auf den Beton übertragen. Die Verbundspannungen erreichen kurz hinter der Einspannstelle ihren Größtwert. Infolge der Verteilung der Stahlzugkraft auf die zur Verfügung stehende Querschnittsbreite müssen im Beton Querzugspannungen vorhanden sein. F sd Seite 100

10 Da der wirkliche Verlauf der Verbundspannungen im Verankerungsbereich kaum zu erfassen ist, wird für die Bemessung ein über den Stahlumfang und über die Verankerungslänge konstanter Verlauf der Verbundspannungen angenommen. F F ( 2 sd = As f yd = ds π / 4 sd = l b,rqd u f bd = l b d ) f yd 4 π s f bd Setzt man die beiden Ausdrücke gleich, erhält man l b,rqd ist der Grundwert Verankerungslänge zur Verankerung der Kraft F sd = A s σ sd eines geraden Stabes. Dabei ist σ sd die vorhandene Stahlspannung im GZT des Stabes am Beginn der Verankerungslänge. l b,rqd l bd Seite 101

11 Bemessungswert der Verbundfestigkeit f bd = 2,25 η 1 η 2 f ctd f ctd η 1 der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit. Aufgrund der zunehmenden Sprödigkeit von höherfestem Beton ist in der Regel f ctk,0,05 auf den Wert für C60/75 zu begrenzen, außer es können höhere Werte der mittleren Verbundfestigkeit nachgewiesen werden ein Beiwert, der die Qualität der Verbundbedingungen und die Lage der Stäbe während des Betonierens berücksichtigt = 1,0 bei "guten" Verbundbedingungen = 0,7 für alle anderen Fälle sowie für Stäbe in Bauteilen, die im Gleitbauverfahren hergestellt wurden, außer es können "gute" Verbundbedingungen nachgewiesen werden; η 2 ein Beiwert zur Berücksichtigung des Stabdurchmessers = 1,0 für Ø < 32 m = (132 - Ø) /100 für Ø > 32 mm. f ck N/mm bis 100 f ctk,0,05 = N/mm 2 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 f ctd = 1,0 f ctk,0,05 /γ c N/mm 2 0,733 0,867 1,00 1,20 1,33 1,47 1,67 1,80 1,93 2,00 2,07 f bd = η 1 = η 2 = 1,0 N/mm 2 1,65 1,95 2,25 2,70 3,00 3,30 3,75 4,05 4,35 4,50 4,65 η 1 = 0,7; η 2 =1,0 N/mm 2 1,16 1,37 1,58 1,89 2,10 2,31 2,63 2,84 3,05 3,15 3,26 Seite 102

12 Bemessungswert der Verankerungslänge l bd = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l b,rqd l b, min l b,min gilt: die Mindestverankerungslänge beträgt, wenn keine andere Begrenzung - bei Verankerungen unter Zug l b,min max {0,3 l b,rqd ; 10 Ø; 100 mm} (Es darf auch α 1 und α 4 berücksichtigt werden. Der Mindestwert 100 mm darf dann unterschritten werden, wie auch der Mindestwert 10 Ø bei direkter Lagerung auf 6,7 Ø reduziert werden darf.) - bei Verankerungen unte er Druck l b,min max {0,6 l b,rqd ; 10 Ø; 100 (Der Mindestwert 100 mmm darf unterschritten werden.) 0 mm} Es wird die Verankerungsart bzw. das Verankerungselement erfasst. l bd l bd l bd Seite 103

13 dabei berücksichtigen die Beiwerte α i : α 1 die Verankerungsart der Stäbe unter Annnahme ausreichender Betondeckung Bild 8.1 Zusätzliche Verankerungsarten zum geraden Stab Winkelhaken, Haken und Schlaufen dürfen nicht zur Verankerung von Druckbewehrung verwendet werden. Verankerungen mit gebogenen Druckstäben sind unzulässig. Ein Betonversagen innerhalb der Stabbiegung (Bild a) ist in der Regel durch Einhaltung der Mindest- Biegerollendurchmesser D min zu vermeiden. Als vereinfachte Alternative l bd darf die Verankerung unter Zug bei bestimmten, in Bild 8.1 gezeigten Verankerungsarten als Ersatzverankerungslänge l b,eq angegeben werden. Die Verankerungslänge l b,eq wird in diesem Bild definiert und darf folgendermaßen angenommen werden: l b,eq = a 1. a 4. l b,rqd für Haken, Winkelhaken und Schlaufen mit mindestens einem angeschweißten Querstab innerhalb von l b,rqd vor Krümmungsbeginn lb,eq = 0,5. l b,rqd für gerade Stabenden mit mindestens zwei angeschweißten Stäben innerhalb l b,rqd (Stababstand s < 100 mm und 5Ø und 50 mm), jedoch nur zulässig bei Einzelstäben mit Ø : 16 mm und bei Doppelstäben Ø : 12 mm Wenn wegen Querzugspannungen der Beiwert a 5 > 1,0 anzusetzen ist, muss dieser bei der Ermittlung der Ersatzverankerungslänge zusätzlich berücksichtigt werden. Seite 104

14 Grundsätzlich gilt: l b,eq l b,min. Seite 105

15 α 2 α 3 α 4 die Mindestbetondeckung eine Querbewehrung einen oder mehrere angeschweißte Querstäbe (Ø t > 0,6Ø) innerhalb der erforderlichen Verankerungslänge l bd Bild 8.6 Angeschweißter Querstab als Verankerung α 5 einen Druck quer zur Spaltzug-Riss-Ebene innerhalb der erforderlichen Verankerungslänge Der Beiwert α 5 ist auf 1,5 zu erhöhen, wenn rechtwinklig zur Bewehrungsebene ein Querzug vorhanden ist, der eine Rissbildung parallel zur Bewehrungsstabachse im Verankerungsbereich erwarten lässt. Wird bei vorwiegend ruhenden Einwirkungen die Breite der Risse parallel zu den Stäben auf w k : 0,2 mm im GZG begrenzt, darf auf diese Erhöhung verzichtet werden. ANMERKUNG Verankerungen mit gebogenen Druckstäben sind unzulässig (siehe Nel zu (3)). Im Allgemeinen ist (α 2 α 3 α 5 ) 0,7 Seite 106

16 Einflussfaktor Form der Stäbe Betondeckung 2) nicht an die Hauptbewehrung angeschweißte Querbewehrung Angeschweißte Querbewehrung 1) Bewehrungsstab Verankerungsart unter Zug unter Druck gerade α 1 = 1,0 α 1 = 1,0 Haken Winkelhaken Schlaufen 1) gerade Haken Winkelhaken Schlaufen alle Arten alle Arten siehe Bild 8.1 e) α 1 = 0,7 für c d > 3Ø andernfalls α 1 = 1,0 (siehe Bild 8.3 für c d ) α 2 = 1 0,15 (c d - Ø) / Ø 0,7 1,0 α 2 = 1 0,15 (c d - 3 Ø) / Ø 0,7 1,0 (siehe Bild 8.3 für c d ) α 3 = 1 K λ 0,7 1,0 Querdruck alle Arten 3) 4) 0,7 α 5 = 1 0,04 p 1,0 Bild 8.3 Werte für c d für Balken und Platten Bild 8.4 Werte für K für Balken und Platten der Querdruck [N/mm 2 ] im Grenzzustand der Tragfähigkeit innerhalb l bd 1) Bei Schlaufenverankerungen mit c d > 3 Ø und mit Biegerollendurchmessern D 15 Ø darf α 1 = 0,5 angesetzt werden 2) Der Beiwert α2 ist in der Regel mit α2 = 1,0 anzusetzen 3) Bei direkter Lagerung darf α5 = 2/3 angesetzt werden 4) Falls eine allseitige, durch Bewehrung gesicherte Betondeckung von mindestens 10 Ø vorhanden ist, darf α5 = 2/3 angenommen werden. Dies gilt nicht für Übergreifungsstöße mit einem Achsabstand der Stöße von s 10 Ø α 1 = 1,0 α 2 = 1,0 α 2 = 1,0 α 3 = 1,0 α 4 = 0,7 α 4 = 1, λ A st a) Gerade Stäbe c d = min (a/2, c 1, c) Seite 107 b) (Winkel) Haken c d = min (a/2, c 1) c) Schlaufen c d = c = ( A st - A st, min ) / A s die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verstärkungslänge l bd A st,min die Querschnittsfläche der Mindestquerbewehrung A st,min = 0,25 A s für Balken A st,min = 0 für Platten A s Die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs K Der Wert nach Bild 8.4 p

17 Tabelle Beiwerte α 1, α 2, α 3, α 4, und α 5 Seite 108

18 7.3 Bewehrungsstößee Übergreifungsstöße Wiederholung: Verbund zwischen Bewehrung und Beton Tragwirkung Üblicherweise werden im Hochbau Bewehrungsstöße durch eine Übergreifung der Bewehrungsstäbe ausgeführt. Man spricht dann auch von Übergreifungsstößen oder indirekten Stößen. Hierbei wird die Zugkraft des einen Bewehrungsstabes über Druckstreben durch den Beton in den anderenn Bewehrungsstab geleitet. Seite 109

19 Die Überleitung der Kräfte von einem Bewehrungsstab in den anderen erfolgt hauptsächlich über die sich gegenseitig zugewandten Bewehrungsstabseiten. Hieraus ergibt sich, dass die erforderlichen Übergreifungslängen größer sind, als die Verankerungslängen, bei der die Kraft des Bewehrungsstabes über den gesamten Umfang in den Beton eingeleitet werden kann. Die Übergreifungslängen bezeichnet man mit l 0. Anhand des abgebildeten Verlaufs der Querzugspannungen σ ct ist ersichtlich, dass die maximalen Spannungen an den Stoßenden auftreten. Seite 110

20 Wenn die Stabenden von zwei gestoßenen Bewehrungsstäben im gleichen Querschnitt liegen (siehe Abbildung a), überlagern sich die Querzugspannungen zu einem Maximalwert. Dies wird vermieden, indem ein Längsversatz zwischen den benachbarten Stößen vorgesehen wird (Abbildung b). Seite 111

21 Auch der Stababstand der zu stoßenden Bewehrungsstäbe beeinflusst die Größe der Querzugkräfte: Je näher die Bewehrungsstäbe nebeneinander liegen, desto flacher verläuft die Druckstrebe zwischen den Bewehrungsstäben und desto kleiner wird die Querzugkraft F ct. Übergreifungsstöße stellen Schwachstellen in der Konstruktion dar. Aus diesem Grund dürfen Übergreifungsstöße nicht in hochbeanspruchtenn Bereichen des Tragwerks liegen. Was passiert, wenn die gesamte Biegezugbewehrung in einem Querschnitt gestoßen wird und die Abstände zwischen den benachbartenn Bewehrungsstäben klein sind sowie eine umgreifende Querbewehrung fehlt, ist in dem nachfolgenden Bild dargestellt: Seite 112

22 In der Stoßebene bildet sich bei Überschreitung der Betonzugfestigkeit eine Bruchfläche ohne Vorankündigung aus. Es kommt zum scherenartigen Aufklappen der gestoßenen Bewehrung. Seite 113

23 Aufgrund der genannten Einflüsse sind die folgenden Bewehrungsregeln zu beachten: Der lichte Abstand zweier zu stoßenden Stäbe wird auf 4Ø (bzw 50 mm) beschränkt, andernfalls ist die Übergreifungslänge um die Differenz zwischen dem lichten Abstand und 4Ø bzw. 50 mm zu vergrößern; bei benachbarten Stößen darf der lichte Abstand a zwischen benachbarten Stäben nicht weniger als 2Ø oder 20 mm betragen. der Längsabstand zweier benachbarter Stöße darf die 0,3fache Übergreifungslänge l 0 nicht unterschreiten; Dann dürfen 100 % der Zugstäbe in einer Lage gestoßen sein. Für Stäbe in mehreren Lagen ist dieser Anteil auf 50 % zu reduzieren. Anordnung benachbarter Stöße Alle Druckstäbe sowie die Querbewehrung dürfen in einem Querschnitt gestoßen sein. Seite 114

24 Der Bemessungswert der Übergreifungslänge beträgt: l 0,min max {0,3 α 1 α 6 l b,rqd ; 15 Ø ; 200 mm } Die Werte α 1, α 2, α 3 und α 5 gemäß Tabelle 8.2 Für a 3 ist A st,min zu 1,0 A s (σ sd / f yd ) anzunehmen, mit A s = Querschnittsfläche eines gestoßenen Stabes a 6 = ρ 1 / 25) 0,5 1,5 bzw. 1,0. Dabei ist ρ 1 der Prozentsatz der innerhalb von 0,65 l 0 (gemessen ab der Mitte der betrachteten Übergreifungslänge) gestoßenen Bewehrung, siehe Bild 8.8. Werte für a 6 sind in der Tabelle enthalten. Beiwert α 6 für die Übergreifungslänge Zug Stoß Stab-Ø Stoßanteil einer Bewehrungslage 33 % > 33 % < 16 mm 1,2 a 1,4 a 16 mm 1,4 a 2,0 b Druck alle 1,0 1,0 Wenn die lichten Stababstände a 8 Ø ; (Bild 8.7) und der Randabstand in der Stoßebene c 1 4 Ø (Bild 8.3) eingehalten werden, darf der Beiwert a 6 reduziert werden auf: a a 6 = 1,0 b a 6 = 1,4 Bild 8.8 Anteil gestoßener Stäbe in einem Stoßabschnitt BEISPIEL Die Stäbe II und III liegen außerhalb des betrachteten Abschnitts Seite 115

25 ρ 1 = 50 % und α 6 = 1,4 Im Bereich von Übergreifungsstößen ist stets eine Querbewehrung A st zur Aufnahme der Querzugkräfte F ct einzubauen. Die Querbewehrung muss zwischen der Längsbewehrung und der Betonoberfläche angeordnet werden. Eine Querbewehrung, die auf der Innenseite die Längsbewehrung kreuzt, ist fast wirkungslos, da die Zugspannungen, die zu einem Riss zwischen Bauteilaußenseiten und Bewehrung führt, nicht von der Querbewehrung aufgenommen werden kann. Bewehrung auf der Innenseite ist fast wirkungslos Bewehrung kreuzt Riss Üblicherweise werden die zu stoßenden Bewehrungsstäbe im Querschnitt nebeneinander (und nicht übereinander) angeordnet. Bei Balken wirkt dann der untere Schenkel der Bügelbewehrung als Querbewehrung. Seite 116

26 Querbewehrung für Zugstäbe Eine vorhandene Querbewehrung oder vorhandener Bügel ist zur Aufnahme der Querzugbewehrung ausreichend, wenn: der Durchmesser der gestoßenen Stäbe < 20 mm ist oder der Anteil der gestoßenen Stäbe in jedem Querschnitt 25% beträgt Für Durchmesser der gestoßenen Stäbe 20mm ist insgesamt eine Querbewehrung anzuordnen,die größer als die Querschnittsfläche eines gestoßenen Stabes ist AA st 1,0 A s A st A s - Gesamtquerschnittsfläche der Querbewehrung - die Querschnittsfläche eines gestoßenen Stabes Auch bei der Berechnung der erforderlichen Querbewehrung spielt der Abstand benachbarter Bewehrungsstäbe, die jeweils gestoßen werden, eine Rolle: Werden mehr als 50 % der Bewehrung in einem Querschnitt gestoßen und is der Abstand zwischen benachbarten Stößen in einem Querschnitt a 10 Ø siehe Bild 8.7), ist in der Regel die Querbewehrung in Form von Bügeln ode Steckbügeln ins Innere des Betonquerschnitts zu verankern. Da eine zusätzliche bügelartige Anordnung der Querbewehrung sehr aufwendig ist, wird man bestrebt sein, durch entsprechendes Versetzen der Übergreifungsstöße in Längsrichtung den Abstand der Stoßachsen > 10d s zu wählen, so dass die bügelartige Umfassung nicht ausgeführt werden muss. Seite 117

27 In flächenartigen Bauteilen muss die Querbewehrung ebenfalls bügelartig ausgebildet werden, falls a 5 Ø ist; sie darf jedoch auch gerade sein, wenn die Übergreifungslänge um 30 % erhöht wird. Sofern der Abstand der Stoßmitten benachbarter Stöße mit geraden Stabenden in Längsrichtung etwa 0,5 l 0 beträgt, ist kein bügelartiges Umfassen der Längsbewehrung erforderlich. Werden bei einer mehrlagigen Bewehrung mehr als 50 % des Querschnitts der einzelnen Lagen in einem Schnitt gestoßen, sind die Übergreifungsstöße durch Bügel zu umschließen, die für die Kraft aller gestoßenen Stäbe zu bemessen sind Seite 118

28 Querbewehrung für Druckstäbe Zusätzlich zu den Regeln für Zugstäbe muss ein Stab der Querbewehrung außerhalb des Stoßbereichs, jedoch nicht weiter als 4 Ø von den Enden der Stoßbereichs entfernt liegen (siehe Bild 8.9b)). Die erforderliche Querbewehrung ist in der Regel im Anfangs- und Endbereich de Übergreifungslänge nach Bild 8.9a) zu konzentrieren. Seite 119

29 7.3.2 Muffenstöße Muffenstöße sind direkte Stöße von Bewehrungsstäben, die durch mechanische Verbindungsmittel (Muffen) hergestellt werden. Die Muffen selbst müssen eine allgemeine bauaufsichtliche Zulassung besitzen, um in der Praxis eingesetzt werden zu können. Bauaufsichtlich zugelassene Muffenverbindungen können in der Regel bis zur Maximallast der zu verbindenden Bewehrungsstäbe (volle Ausnutzung) beansprucht werden. Dies gilt sowohl auf Zug als auch auf Druck. Muffenstöße werden dannn gewählt, wenn nicht genügend Platz zur Verfügung steht, um die Bewehrungsstäbe miteinander zu stoßen. Des Weiteren kann durch Muffenverbindungen der Arbeitsablauf verbessert werden, wenn bei Arbeitsfugen weit über die Schalung hinausragende Bewehrungsstäbe vermieden werden können, die für die Übergreifung mit der Bewehrung des im nächsten Bauabschnittes herzustellenden Betonbauteils notwendig gewesen wären. Seite 120

30 Der Einsatz der Muffenverbindungen ist sorgfältig zu prüfen, da ein Muffenstoß im Vergleich zu einem Übergreifungsstoß wesentlich kostenintensiver ist (trotz der kürzeren Stablängen!) Schweißverbindungen Die Durchführung von Schweißarbeiten ist in DIN 4099 geregelt. EN ISO Seite 121

31 100% 50% 75% Seite 122

32 8 Die Zugkraftdeckungslinie Die Querkraftbemessung eines Stahlbetonbalkens wurde für den Zustand II mit Hilfe eines Fachwerkmodells hergeleitet. Hierbei wurden die Druck- und Zugstrebenkräfte innerhalb des Fachwerkmodells ermittelt. Aufgrund des Fachwerkmodells entstehen aber nicht nur Druck- und Zugstrebenkräfte sondern auch Druck- und Zuggurtkräfte. F cd,1 a D = sinθ z (cotθ + cotα) F d z F cwd θ F sd,1 F swd α V Ed M Ed A = V Ed z cot θ z cot α M/z Linie Druckgurtkräfte D M/z Linie Zuggurtkräfte Z einfaches Fachwerk Seite 123

33 Vergleicht man die Gurtkräfte des Fachwerkmodells mit den Druck- und Zugkräften, die sich aus der Biegetheorie durch die Aufteilung des Biegemomentes in ein Kräftepaar mit dem Hebelarm z ergeben (D=Z=M/z), lässt sich sofort ein Unterschied zwischen den Gurtkraftverläufen erkennen: Für das einfache Fachwerk erhält man einen treppenförmigen Verlauf, wohingegen ein linearer Verlauf der M/z-Linie vorhanden ist. Überlagert man das einfache Fachwerk mit einem zweiten, das um das Maß a z /2 versetzt ist und V Ed /2 abträgt, so verfeinert sich der treppenförmige Verlauf. Bei Überlagerung mit weiteren Fachwerken erhält man ein engmaschiges Netzfachwerk. Verbindet man die Mittelpunkte der Treppenlinien, so ergibt sich ein kontinuierlicher Verlauf der Gurtkräfte. Ein Vergleich mit dem Verlauf aus der Biegetheorie ergibt: Bei der Fachwerkanalogie sind die Druckkräfte kleiner und die Zugkräfte größer als nach der Biegetheorie. laufen die Gurtkräfte im Auflager nicht auf Null aus. Auf der Zugseite verbleibt eine Zugkraft F sd am Auflager. Um diese verbleibende Zugkraft F sd zu berechnen, wird die Zuggurtkraft im Schnitt 1-1 sowohl nach der Fachwerkanalogie als auch nach der Biegetheorie ermittelt: - nach Fachwerkanalogie: Seite 124

34 Es wird das Momentengleichgewicht um den Punkt B aufgestellt. Die Zugstrebenkraft F swd erhält man, wie bereits in den vorangegangenen Kapiteln gezeigt, durch Kräftegleichgewicht an den Knoten 1 und 2. Knoten 2 1 z/2 cot θ Knoten 1 F cwd A = V Ed a z 1 z cot θ! ΣM B = 0 VEd M =0 V ( a mit! Σ V = 0 am F cwd V = ( a+ z cotθ ) = F z F sin z cot F cos z Sd + swd α θ + 2 swd α 2 + z cotθ ) = F Knoten Ed sin θ 1 : z + F F cwd θ V Ed = A F sd Sd z sinα cotθ + F F sd,1 = V Ed a z + mit cot z cosα F! Σ V = 0 am swd V = Ed θ cot α 2 Knoten sin α 2 : θ F cwd α F F swd Seite 125

35 - nach Biegetheorie: z/2 cot θ A = V Ed 1 z cot θ Die Zugkraft F sd im Schnitt 1-1 erhält man, indem das Moment M an dieser Stelle durch den inneren Hebelarm z teilt. Des Weiteren kann das Moment M als Produkt der Auflagerkraft A (= V Ed ) und dem Abstand a ausgedrückt werden. Hieraus folgt: F sd = F cd = M z = V Ed a z Der Differenzbetrag der Zugkraft aus Fachwerkanalogie und Biegetheorie ergibt sich zu: Die Vergrößerung der Zuggurtkraft kann man auch als horizontale Verschiebung x der Zugkraftlinie (M/z-Linie) ansehen. Seite 126

36 Die Differenzkraft ( F sd ) ergibt sich als Differenzmoment ( M) dividiert durch den inneren Hebelarm (z): F F sd Sd F M = mit M z F sd Sd = V Ed x z = V Ed x Aus der Gegenüberstellung der Biegetheorie und der Fachwerkanalogie ergibt sich: Aus der Betrachtung des Differenzmomentes M ergibt sich: Durch Gleichsetzen und Auflösen nach x erhält man das Versatzmaß a l : Das Versatzmaß ist die horizontale Verschiebung der Zugkraftlinie! Die Vergrößerung der Zuggurtkräfte infolge der Fachwerkanalogie wird bei der Bemessung berücksichtigt. Die Verringerung der Druckgurtkräfte hingegen vernachlässigt! Seite 127

37 Die von der örtlich vorhandenen Bewehrung aufnehmbare Zugkraft muss stets mindestens so groß sein wie die an dieser Stelle vorhandene Zugkraft. Dieser Nachweis wird bei Stahlbetonbauteilen durch die Konstruktion der Zugkraftdeckungslinie geführt. Mit anderen Worten: Der Nachweis der Zugkraftdeckung ist erfüllt, wenn gezeigt wird, dass in jedem Schnitt des Bauteils gilt: vorh. Zugkraft > erf. Zugkraft vorh. A s > erf. A s Seite 128

38 Für die von der Bewehrung aufnehmbare Zugkraft gilt: F sd = A s σ sd Der Punkt E kennzeichnet den rechnerischen Endpunkt des entsprechenden Bewehrungsstabes. Ab dem Punkt E wird der entsprechende Stab nicht mehr benötigt, um die vorhandene Zugkraft aufzunehmen. Er kann ab dieser Stelle verankert werden. Seite 129