Stichproben- & Populations- Standardabweichung

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1 Stichproben- & Populations- Standardabweichung

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3 Inhaltsverzeichnis Stichproben- & Populations-Standardabweichung... 2 Lernhinweise... 2 Einführung... 3 Theorie (1-8) Ausgangslage Inhaltliche Fragestellung Statistisch bearbeitbare Fragestellung Arbeitsypothese und Alternativhypothese Prüfgrösse Prüfverteilung und Übertretungswahrscheinlichkeit Beurteilung der Übertretungswahrschein-lichkeit; Signifikanzniveaus... 8 Zusammenfassung zum Lernschritt... 8 Fallbeispiel (1-7) Ausgangslage Inhaltliche Fragestellung Statistisch bearbeitbare Fragestellung Arbeitshypthese und Alternativhypothese Prüfgrösse und Prüfverteilung Transformation der Prüfgrösse in die Prüfverteilung Beurteilung der Übertretenswahrschein-lichkeit; Signifikanzniveaus Stand vom:

4 Stichproben- & Populations-Standardabweichung Lernhinweise Benötigte Vorkenntnisse Sie können diesen Lernschritt effizient bearbeiten, wenn Sie die in Ihrem Curriculum vorgesehene Vorbereitungsliteratur bearbeitet haben und mit dem Grundprinzip der entscheidungsstatistischen Verfahren vertraut sind. Lernziele 1. Sie können entscheiden, in welchen Situationen ein Vergleich einer Stichproben-Standardabweichung mit einer Populations-Standardabweichung möglich ist. 2. Sie lernen - anhand eines einfachen Beispiels - einen Vergleich einer Stichproben-Standardabweichung mit einer Populations-Standardabweichung durchzuführen. Hinweise zur Bearbeitung des Lernschritts Empfohlene Bearbeitung: Beginnen Sie mit "Einführung" Klicken Sie nach der Bearbeitung der ganzen Seite auf den Button "next", er führt Sie auf den empfohlenen Pfad. Sie können auf die Rubriken "Einführung", "Theorie" oder "Fallbeispiel" klicken, Sie gelangen automatisch zur entsprechenden ersten Seite. Bei "Theorie" und "Fallbeispiel" gelangen Sie automatisch zum Inhaltsverzeichnis der angewählten Rubrik. Für die Bearbeitung dieses Lernschrittes, sollten Sie ca. eine Stunde Lernzeit einplanen. Hinweise zur Bearbeitung des Fallbeispiels Das Ziel der manuellen Bearbeitung ist, dass Sie das Testverfahren handelnd nachvollziehen können. Das Fallbeispiel ist so konstruiert, dass die Aufgaben mit einem Taschenrechner (mit Wurzelfunktion) gelöst werden kann. Sie brauchen kein Statistikprogramm wie z. B. SPSS. Es kann sein, dass sich Ihre Resultate bei den Dezimalstellen aufgrund von Rundungsfehlern (zwei Dezimalstellen) leicht von den Musterlösungen unterscheiden. Das darf Sie nicht verwirren. Das Fallbeispiel ist so konzipiert, dass die Entscheidungen zur Signifikanz eindeutig ausfallen. - Stand vom:

5 Einführung Ausagangslage Die Stadt XY hat sich zur Durchführung eines Schulversuchs entschlossen. Die fünfte Primarklasse soll in Französisch individualisiert unterrichtet werden. Alle sechs Klassen der Stadt werden in den Schulversuch einbezogen. Die sechs Klassen zählen zusammen über 100 Kinder. Diese Schüler bilden die Versuchsgruppe bzw. Stichprobe. Das Ziel des Schulversuchs besteht darin, dass diese Schülergruppe in Französisch durchschnittlich den gleichen Kenntnisstand aufweist, wie die anderen Fünftklässler des Kantons, welche nicht individualisierend unterrichtet werden. Jedes Kind der Versuchsgruppe kann nach seinem individuellen Tempo lernen. Die einen Kinder arbeiten langsamer und die anderen schneller. Der Lehrplan sieht vor, dass die Kinder am Ende der fünften Klasse eine bestimmte Anzahl Vokabeln kennen. In der Mitte des Schuljahres beherrschen die Fünftklässler des Kantons etwa die Hälfte dieser Wörter. Der arithmetische Mittelwert der Vokabelkenntnisse ist in der Stichprobe gleich gross wie bei der Population. Die Vokabelkenntnisse werden anhand eines Multiple-Choice-Tests während einer Woche erhoben. Überprüft wird, ob die Vokabelkenntnisse der Versuchsgruppe mehr variieren als die der Vergleichspopulation, also der übrigen Schüler des Kantons. Hinweis zur Bearbeitung des Fallbeispiels: Die Kennzahlen werden noch nicht bekannt gegeben, weil sie später Bestandteil einer Lernaktivität sein werden. In der Rubrik "Fallbeispiel" wird dieses Beispiel gelöst. Theorie (1-8) Inhaltsübersicht 1. Ausgangslage 2. Inhaltliche Fragestellung 3. Statistisch bearbeitbare Fragestellung 4. Arbeitsypothese und Alternativhypothese 5. Prüfgrösse 6. Prüfverteilung und Übertretungswahrscheinlichkeit 7. Beurteilung der Übertretungswahrscheinlichkeit; Signifikanzniveaus 8. Zusammenfassung zum Lernschritt - Stand vom:

6 1. Ausgangslage Gegeben ist die Verteilung eines normalverteilten (intervall- oder proportionalskaliertes) Merkmals in einer Population. Die Verteilung des Merkmals wird mit den Parametern und beschrieben. Gegeben ist zudem eine Stichprobe 1 mit n>100 Elementen. Die Verteilung des Merkmals in der Stichprobe 1 wird mit den Kennwerten und beschrieben. Wir möchten mit vergleichen und bezüglich eines signifikanten Unterschiedes beurteilen. 2. Inhaltliche Fragestellung Wir können unterschiedliche Fragen mit gleichem Inhalt formulieren: Streuen die Daten in der Stichprobe ungefähr gleich stark wie die in der Population? Sind die einzelnen Werte in der Stichprobe ähnlich um den Mittelwert verteilt wie diejenigen der Population um deren Mittelwert? Variieren in der Stichprobe die einzelnen Werte gleich stark wie in der Population? - Stand vom:

7 Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] 3. Statistisch bearbeitbare Fragestellung Stammt die Stichprobe mit den Verteilungskennwerten und aus einer Population, die hinsichtlich der Standardabweichung mit der bekannten Population identisch ist? Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] 4. Arbeitsypothese und Alternativhypothese Arbeitshypothese H 0 : Die Stichprobe stammt aus einer Population, die hinsichtlich der Standardabweichung mit der bekannten Population identisch ist. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] Alternativhypothesen Entsprechend unserer Fragestellung wählen wir die ungerichtete oder gerichtete, spezifische oder unspezifische Fragestellung. H 1 : - Stand vom:

8 Die Stichprobe stammt aus einer Population, die hinsichtlich der Standardabweichung mit der bekannten Population nicht identisch ist (ungerichtet und unspezifisch). Eine ungerichtete H1 formulieren wir immer, wenn wir uns für den absoluten Betrag des Unterschieds zwischen den Kennzahlen interessieren. H 1 : Die Stichprobe stammt aus einer Population, deren Standardabweichung grösser ist, als diejenige der bekannten Population (gerichtet und unspezifisch). H 1 : Die Stichprobe stammt aus einer Population, deren Standardabweichung kleiner ist, als diejenige der bekannten Population (gerichtet und unspezifisch). 5. Prüfgrösse Aufgrund unserer Fragestellung ist (Standardabweichung der Stichprobe) die Prüfgrösse. Prüfverteilung Die Prüfverteilung ist die Verteilung der Standardabweichungen s. Unter der Voraussetzung, dass H 0 gültig ist, und die Stichprobe mehr als 100 Elemente (n > 100) umfasst, sind die Stichproben-Standardabweichungen mit den Parametern und normalverteilt. - Stand vom:

9 : Mittelwert der Verteilung der Stichprobenstandardabweichungen (Prüfverteilung) :Populationsstandardabweichung Vergleichspopulation der : Standardabweichung der Verteilung der Stichproben-Standardabweichungen (Prüfverteilung) n: Stichprobengrösse Damit ist die Prüfverteilung vollständig bestimmt. 6. Prüfverteilung und Übertretungswahrscheinlichkeit Nun können wir den beobachteten Wert in die Prüfverteilung einordnen. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] Wir können jetzt aber noch nicht entscheiden, ob sich die Population mit den Parametern und, aus der unsere Stichprobe stammt, hinsichtlich der Streuung signifikant von der bekannten Population unterscheidet. Um diesen Entscheid fällen zu können, transformieren wir die beobachtete Standardabweichung in die Standardnormalverteilung bzw. z-verteilung. Wir transformieren nach - Stand vom:

10 . So können wir die Überschreitungswahrscheinlichkeit bestimmen. Transformation der Prüfgrösse in die z-verteilung zur Bestimmung der Überschreitungswahrscheinlichkeit Wir transformieren die beobachteten Stichproben-Standardabweichung in die Prüfverteilung (z-verteilung) Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] 7. Beurteilung der Übertretungswahrschein-lichkeit; Signifikanzniveaus Die Überschreitungswahrscheinlichkeit p gibt uns an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der beobachtete Unterschied zwischen der Stichproben-Standardabweichung und der Populations-Standardabweichung zufällig zustande gekommen ist. Aufgrund der Grösse der Überschreitungswahrscheinlichkeit entscheiden wir über die Annahme oder Ablehnung der Arbeitshypothese H 0. Die Grösse von p beurteilen wir anhand der Signifikanzniveaus: 5%, 1% und 0.1%. Ist p > 5%, so behalten wir H 0 mit unbestimmter Irrtumswahrscheinlichkeit bei. Das heisst, wir können nicht ausschliessen, dass der Unterschied zwischen der Standardabweichung der Stichprobe und derjenigen der Population zufällig entstanden ist. Ist p # 5%, so lehnen wir H 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit p # 5% zu Gunsten von H 1 ab. Das bedeutet, dass wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit p # 5% annehmen können, dass die Stichprobe aus einer Population stammt, deren Standardabweichung nicht mit der Standardabweichung der Population übereinstimmt. Zusammenfassung zum Lernschritt Voraussetzung und Ausgangslage Die Ausprägungsgrade des intervall- oder proportionalskalierten Merkmals müssen in der Population näherungsweise normalverteilt sein und die Stichprobe muss mehr als 100 Elemente umfassen. Prüfgrösse Standardabweichung: - Stand vom:

11 Arbeitshypothese H0 und Alternativhypothese H1 Arbeitshypothese H 0 : Alternativhypothese H 1 : (ungerichtet, unspezifisch) Alternativhypothese H 1 : oder (gerichtet, unspezifisch) Prüfverteilung Unter der Voraussetzung, dass H 0 gültig ist und n > 100, ist die Prüfgrösse mit folgenden Parametern normalverteilt Transformieren des beobachteten Wertes in die Standardnormalverteilung Transformation der beobachteten Standardabweichung in die Standardnormalverteilung (z-verteilung). Beurteilung der Überschreitungswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveaus p > 5%: H 0 wird beibehalten. - Stand vom:

12 p # 5%: H 0 wird mit der Irrtumswahrscheinlichkeit p zugunsten von H 1 abgelehnt. Fallbeispiel (1-7) Inhaltsübersicht 1. Ausgangslage 2. Inhaltliche Fragestellung 3. Statistisch bearbeitbare Fragestellung 4. Arbeitshypthese und Alternativhypothese 5. Prüfgrösse und Prüfverteilung 6. Transformation der Prüfgrösse in die Prüfverteilung 7. Beurteilung der Übertretenswahrscheinlichkeit; Signifikanzniveaus 1. Ausgangslage Hinweis zur Bearbeitung des Fallbeispiels: Die Kennzahlen werden noch nicht bekanntgegeben, weil sie Bestandteil kommender Lernaktivität sein werden Die Stadt XY hat sich zur Durchführung eines Schulversuchs entschlossen. Die fünfte Primarklasse soll in Französisch individualisiert unterrichtet werden. Alle sechs Klassen der Stadt werden in den Schulversuch einbezogen. Die sechs Klassen zählen zusammen über 100 Kinder. Diese Schüler bilden die Versuchsgruppe bzw. Stichprobe. Das Ziel des Schulversuchs besteht darin, dass diese Schülergruppe in Französisch durchschnittlich den gleichen Kenntnisstand aufweist, wie die anderen Fünftklässler des Kantons, welche nicht individualisierend unterrichtet werden. Jedes Kind der Versuchsgruppe kann nach seinem individuellen Tempo lernen. Die einen Kinder arbeiten langsamer und die anderen schneller. Der Lehrplan sieht vor, dass die Kinder am Ende der fünften Klasse eine bestimmte Anzahl Vokabeln kennen. In der Mitte des Schuljahres beherrschen die Fünftklässler des Kantons etwa die Hälfte dieser Wörter. Der arithmetische Mittelwert der Vokabelkenntnisse ist in der Stichprobe gleich gross wie bei der Population. Die Vokabelkenntnisse werden anhand eines Multiple-Choice-Tests während einer Woche erhoben. Überprüft wird, ob die Vokabelkenntnisse der Versuchsgruppe mehr variieren als die der Vergleichspopulation, also der übrigen Schüler des Kantons. - Stand vom:

13 2. Inhaltliche Fragestellung Trifft es zu, dass die Kinder beim individualisierenden Lernen im Vergleich zu herkömmlichen Methoden stark unterschiedliche Vokabelkenntnisse aufweisen? Unterscheiden sich die Vokabelkenntnisse der Kinder in der Versuchsgruppe stärker voneinander als diejenigen in der bekannten Population? Variieren die Vokabelkenntnisse der Versuchsgruppe stärker als in der Vergleichsgruppe bzw. Population. 3. Statistisch bearbeitbare Fragestellung 1. Stammt die Stichprobe der individualisierend unterrichteten Kinder mit der Standardabweichung aus einer Population, die eine grössere Standardabweichung aufweist, als die bekannte Population mit der Standardabweichung? Oder: 2. Können wir aufgrund der Standardabweichung der Stichprobe annehmen, dass diese Stichprobe aus einer Population stammt, die eine grössere Standardabweichung aufweist, als die bekannte Population? 4. Arbeitshypthese und Alternativhypothese Arbeitshypothese H0 H 0 : Die Stichprobe der Versuchsgruppe stammt aus einer Population, die hinsichtlich der Standardabweichung mit der bekannten Population identisch ist. Das bedeutet... Die Vokabelkenntnisse der individualisierend unterrichteten Kinder, streuen gleich stark um den arithmetischen Mittelwert ( durchschnittliche Vokabelkenntnisse), wie diejenigen der Population bzw. der Gesamtheit der Kinder des Kantons, welche mit herkömmlichem Französischunterricht unterrichtet wurden. - Stand vom:

14 Alternativhypothese H1 H 1 : Die Stichprobe stammt aus einer Population, deren Standardabweichung grösser ist, als Standardabweichung der bekannten Population (gerichtet und unspezifisch). Das bedeutet... Die Vokabelkenntnisse der individualisierend unterrichteten Kinder streuen stärker um den arithmetischen Mittelwert (durchschnittliche Vokabelkenntnisse), wie diejenigen der Population bzw. der Gesamtheit der Kinder des Kantons, welche mit herkömmlichem Französischunterricht unterrichtet wurden. 5. Prüfgrösse und Prüfverteilung Prüfgrösse Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] Prüfverteilung Unter der Voraussetzung, dass H 0 gültig ist und n > 100, sind die Stichproben-Standardabweichungen mit den Parametern und normalverteilt. = - Stand vom:

15 , = 112 n = 125 : Damit ist die Prüfverteilung vollständig bestimmt. Nun können wir den beobachteten Wert in die Prüfverteilung einordnen. 6. Transformation der Prüfgrösse in die Prüfverteilung Nachdem wir wissen, dass die Standardverteilungen normalverteilt und die Parameter und der Prüfverteilung bekannt sind, kann die Überschreitungswahrscheinlichkeit anhand der z-verteilung bestimmt werden. Zu diesem Zweck transformieren wir die beobachtete Stichprobenstandardabweichung in die z-transformierte Prüfverteilung. = 130 Durch die z-transformation wird die Standardabweichung zu - Stand vom:

16 . : Wir konsultieren die z-tabelle und bestimmen damit die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Wir haben auf Grund unserer inhaltlichen Fragestellung der Arbeitshypothese H 0 eine gerichtete Alternativhypothese H 1 gegenübergestellt. Dementsprechend interessiert uns die einseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit der z-transformierten Prüfgrösse bzw. - Stand vom:

17 7. Beurteilung der Übertretenswahrschein-lichkeit; Signifikanzniveaus Da die z-transformierte Standardabweichung der Versuchsgruppe über dem Grenzwert von 1% liegt, lehnen wir H 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von p < 1% zu Gunsten von H1 ab. Dies bedeutet, dass die Versuchsgruppe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit p < 1% aus einer Population stammt, die eine grössere Standardabweichung aufweist als die bekannte Population. - Stand vom:

18 Schlussfolgerung Die signifikant grössere Standardabweichung in der Versuchsgruppe zeigt, dass die Kinder mit dem individualisierenden Französischunterricht tatsächlich in unterschiedlicheren Tempi Französischvokabeln lernen als ihre Kolleginnen und Kollegen, die konventionell unterrichtet werden. Sie sind nun am Ende des Lernschrittes angelangt. - Stand vom: