Modellieren in der Sekundarstufe I

Transkript

1 Modellieren in der Sekundarstufe I Michael Marxer Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd Workshop zur T 3 -Tagung Pädagogische Hochschule Freiburg 17. Oktober 2008

2 Gliederung 1. Modellbildung und Modellierungskreislauf Begriffsklärungen 2. Deskriptive Modelle Abgrenzungen und Begriffe Beispiele Arbeitsbeispiel Sprint Arbeitsbeispiel Tarif 3. Normative Modelle Abgrenzungen und Begriffe Beispiele Arbeitsbeispiel: Ferien Arbeitsbeispiel: Zoo

3 Modellbildung Was nicht Thema dieses Workshops ist: Fermi-Aufgaben

4 Modellbildung

5 Modellbildung

6 Modellbildung

7 Modellbildung

8 Modellierungskreislauf Reales Modell mathematisieren Mathematisches Modell strukturieren idealisieren mathematisch bearbeiten Realität interpretieren validieren Mathematische Lösung

9 Modellierungskreislauf Kann ich dieses Waschbecken in meinem PKW transportieren? Strukturierung: Notwendige Maße Gewicht: spezifisches Gewicht von Marmor Idealisierung: Das Waschbecken entspricht ungefähr einem Die Vertiefung ist für die Entscheidung im Sinne der Fragestellung nicht ausschlaggebend

10 Modellierungskreislauf Eine Klasse mit 30 Schülern macht einen Schulausflug zum Titisee. Dort ist auch eine halbstündige Ruderbootfahrt vorgesehen. Strukturierung: Fassungsvermögen eines Bootes hier: 5 Schüler Fährt der Lehrer auch mit? ja irrelevant: Zeitdauer Idealisierung: Alle Schüler dürfen mitfahren, alle Boote gleich groß

11 Modellierungskreislauf Eine Klasse mit 30 Schülern macht einen Schulausflug zum Titisee. Dort ist auch eine halbstündige Ruderbootfahrt vorgesehen. Mathematisierung: Anzahl Boote = Gesamtzahl der Mitfahrenden : Fassungsvermögen pro Boot X = 32 : 5 = 6,4 6 Antwort: Es werden 6 Boote benötigt. Interpretation:? Validierung:? 6 6,4 6,4 7

12 Modellierungskreislauf Interpretation richtet den Blick auf das Ergebnis Validierung richtet den Blick auf die Wahl des (besten) Modells

13 Modellieren mit Funktionen

14 Aufgabe: Funktionen

15 Beispiel : Sprint A B C D E

16 Strecke [m] 100 m - Sprint 100 Zeit [sek.]

17 Strecke [m] 100 m - Sprint A 100 Zeit [sek.]

18 Strecke [m] 100 m - Sprint B 100 Zeit [sek.]

19 Strecke [m] 100 m - Sprint C 100 Zeit [sek.]

20 Strecke [m] 100 m - Sprint D 100 Zeit [sek.]

21 Strecke [m] 100 m - Sprint E 100 Zeit [sek.]

22 Variation: Gleicher Graph Andere Sachsituation: Tarif eines Mobilfunkanbieters Rechtsachse: Zeit [Min.] Hochachse: Kosten [ ]

23 Kosten [ ] Mobilfunktarif 100 Kosten [ ]

24 Kosten [ ] Mobilfunktarif A 100 Kosten [ ]

25 Kosten [ ] Mobilfunktarif B 100 Kosten [ ]

26 Kosten [ ] Mobilfunktarif C 100 Kosten [ ]

27 Kosten [ ] Mobilfunktarif D 100 Kosten [ ]

28 Kosten [ ] Mobilfunktarif E 100 Kosten [ ]

29 Deskriptive Modellierungen Gummiband Kraftmesser s in cm F in N N F = D s mit D= 0,12 cm

30 Deskriptive Modellierungen

31 Deskriptive Modellierungen () 1990 nt = 0,500 1,5 t

32 Deskriptive Modellierungen n( t) = 6,100 ( t 2000) + 19,222 () 1990 nt = 0,500 1,5 t

33 Deskriptive Modellierungen Weitere Beispiele: Verkehrsdurchsatz Mensa

34 Deskriptive und Normative Modelle Modelle sind Abbildung und Konstruktion von Realität. beschreiben Realität gestalten Realität Deskriptive Modelle sind Abbildungen eines existierenden Originals eines zukünftigen, aber nicht gestaltbaren Originals Beispiele: Stadtplan, Bremsweg, Wettervorhersage, Normative Modelle sind Vorbilder eines zu schaffenden, gestaltbaren Originals Beispiele: Konstruktionszeichnungen, Bebauungsplan Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene

35 Normative Modellierungen Aufteilung der Kosten in einem Mietshaus Müllabfuhr nach Anzahl der Personen Grundgebühr Wasser nach Anzahl der Personen Treppenhausreinigung pro Wohnung Instandhaltungsrücklage nach Anteil an Wohnfläche Hausverwaltung nach Wohnungen Reparaturen nach Anteil an Wohnfläche Aufzug

36 3 = 21 7

37 Normative Modellierungen Familie Schramm und Familie Klein machen gemeinsam Urlaub in einem Ferienhaus. Familie Schramm Vater Mutter Svenja (11) Dirk (9) Hausmiete 1200 Lebensmittel 480 Familie Klein Mutter Britta (7) Svenja und Dirk bekommen zusammen ein Zimmer, Britta schläft bei ihrer Mutter Schnell erfassbare Form der Darstellung

38 Normative Modellierungen Familie Schramm Vater Mutter Svenja (11) Dirk (9) Annika (8) Hausmiete 1200 Lebensmittel 480 Familie Klein Mutter Britta (7) 3 Erwachsene + 4 Kinder Fam. Schramm: 2 Schlafzimmer Fam. Klein: 1 Schlafzimmer Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) 2 Klein: (1200 : 3) 1 Lebensmittel <nach Personen>: Schramm: (480 : 5) 3,5 Klein: (480 : 5) 1,5

39 Deskriptive/Normative Modellierungen Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) 2 Klein: (1200 : 3) 1 Lebensmittel <nach Personen>: Schramm: (480 : 5) 3,5 Klein: (480 : 5) 1,5 A B C Kurzfristiger Wechsel auf ein anderes Haus, welches 1320 Miete kostet Svenja Schramm darf mit einer anderen Familie in den Urlaub. Frau Klein nimmt ihren neuen Lebenspartner mit. (Validierung!) Umkehrung der Fragestellung: A Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 4) 2,5 B Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 5) 3

40 Deskriptive/Normative Modellierungen Übung 1: Ein ICE durchfährt eine Strecke von 480 km mit einer Durchschnittgeschwindigkeit von 160 km/h. Fahrzeit = Streckenlänge Geschwindigkeit Fahrzeit = Term Bedeutung "ICE"

41 Deskriptive Modellierungen Übung 1: Ein ICE durchfährt eine Strecke von 480 km mit einer Durchschnittgeschwindigkeit von 160 km/h. Fahrzeit = Streckenlänge Geschwindigkeit Fahrzeit = Term Bedeutung "ICE" Bedeutung Theateraufführung Übung 2: Eine große Zahl von Schülern besucht die Sondervorstellung einer Theateraufführung zum Pauschalpreis von 480.

42 m 2 v r Deskriptive/Normative Modellierungen m Masse des Autos r Radius der Kreisbahn v Geschwindigkeit des Autos F Fliehkraft F = m v r 2

43 Übersicht: Deskriptive vs. Normative Modellierungen zunehmender Entscheidungsanteil anwenden prognostizieren entwickeln gestalten Deskriptive Modelle Normative Modelle z.b.: Naturwissenschaftliche Phänomene Realität schaffende Beschreibungsversuche Gestaltung/Konstruktion von Realität Zuordnungen Funktionen proportionale umgekehrt prop. linear exponentiell Preissteigerungsindex DAX Kostenverteilungen in Mietshäusern Geschäftsklimaindex Kostenaufteilungen Modell einer noch zu bauenden Brücke Tarifverhandlungen

44 Übersicht: Deskriptive vs. Normative Modellierungen deskriptiv normativ z.b.: Naturwissenschaftliche Phänomene Realität schaffende Beschreibungsversuche Gestaltung/Konstruktion von Realität Zuordnungen Funktionen proportionale umgekehrt prop. linear exponentiell Preissteigerungsindex DAX Kostenverteilungen in Mietshäusern Geschäftsklimaindex Modell einer noch zu bauenden Brücke Tarifverhandlungen Anzustreben: Stärkere Ausrichtung auf mathematisierte Modell Operative Durcharbeitung: Variationen in den Werten in der Termarchitektur In der Schule nur Umsetzungsmöglichkeiten für stark reduzierte Problemstellungen

45 Aufgabenbeispiele Arbeitsbeispiel: Zoo Ein Zoo wird im langjährigen Mittel von etwa Erwachsenen und Kindern jährlich besucht. Der Eintrittspreis beträgt 12 bzw. 7. Im kommenden Jahr sollen durch eine Erhöhung der Eintrittspreise die Einnahmen auf gesteigert werden. Stellen Sie zwei sinnvolle Modelle für die Erhöhung auf und machen Sie aufgrund dieser Berechnung Vorschläge für die neuen Eintrittspreise. Vergleich: Schülerbeispiele

46 Mario

47 Julia

48 Fabian

49 Matthias

50 Literaturempfehlungen Gerd Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht. Heidelberg Spektrum Akademischer Verlag Katja Maaß: Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I. Berlin 2007 Cornelsen Scriptor Modellieren bildet Themenheft Praxis Mathematik in der Schule Heft 3/ Juni 2005

51 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!