Normative Modelle Mit Mathematik Realität(en) gestalten

Transkript

1 Normative Modelle Mit Mathematik Realität(en) gestalten Workshop ISTRON-Tagung 2009 Universität Wien Fakultät für Mathematik Michael Marxer Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd

2 Gliederung Begriffsklärungen: Deskriptive Modellierungen Normative Modellierungen Anwendungsbeispiel Zoo Einschätzung von Schülerarbeiten Modellierungskreislauf Anwendungsbeispiel WMW Modellierungen mit Termen und Formeln

3 Einführung und Begriffsklärung

4 Modellbildung

5 Normative Modellierung Deskriptive Modellierung Entscheidend ist die Modellbildung: deskriptiv und normativ sind Eigenschaften der Modellbildung, nicht der Modelle selbst.

6 Begriffsklärung Deskriptive Modellierungen Abbildungen der Realität Modellierungen bestehender Sachverhalte Modellierungen zukünftiger, nicht gestaltbarer Sachverhalte (mit dem Ziel einer Prognose) Normative Modellierungen Schaffung von Realität Modellierungen zukünftiger, gestaltbarer Sachverhalte (z. B. Steuertarif) (Förster 1997; Glinz 2005; Hinrichs 2008; Jablonka 1996)

7 Deskriptive Modellierungen Hooke sches Gesetz Gummiband Kraftmesser s in cm F in N N F = D s mit D= 0,12 cm

8 Deskriptive Modellierungen Klimamodelle

9 Normative Modellierungen Beispiel : Die Bewohner eines Hauses mit 24 teilweise unterschiedlich großen Wohnungen wollen eine Regelung vereinbaren, wie die Kosten geteilt werden. Reparatur der Haustür Licht im Treppenhaus Müllabfuhr (gemeinsamer Großcontainer) Kosten für den Aufzug Malerarbeiten an der Hausfassade normative Modellierung eindeutige Lösungen?

10 Deskriptive Modelle anwenden entwickeln Normative Modelle Beschreibungsversuche für die Realität: z.b. naturwissenschaftliche Phänomene Mathematische Werkzeuge: Zuordnungen, Funktionen (prop./linear/exponentiell etc.) Beschreibungsversuche, die Realität schaffen: z.b.: Preissteigerungsrate ATX Konstruktion von Begriffsbedeutungen Gestaltung/Konstruktion von Realität z.b.: Konstruktionsmodell einer noch zu bauenden Brücke Lohnmodelle in Tarifverhandlungen Sitzverteilungsmodelle bei Wahlen zunehmender Entscheidungsanteil

11 Validierung Deskriptive Modellierung Wie gut beschreibt das Modell die Realität? Zum Beispiel: Stimmen die berechneten Werte? Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent,? Normative Modellierung Wie gut werden die gesetzten Ziele erreicht? (Zum Beispiel: Werden mehr Autos gekauft?) Welche Auswirkungen ergeben sich für die Betroffenen? Ist das Modell einfach, praktikabel, konsistent,?

12 Ein Beispiel: Eintrittspreise Zoo

13 Ein Beispiel: Eintrittspreise Zoo Ein Zoo wird im langjährigen Mittel von etwa Erwachsenen und Kindern jährlich besucht. Der Eintrittspreis beträgt 12 bzw. 7. Im kommenden Jahr sollen durch eine Erhöhung der Eintrittspreise die Einnahmen auf gesteigert werden. Stelle ein gerechtes Modell für die Erhöhung der Eintrittspreise auf und schlage auf der Grundlage dieses Modells sinnvolle neue Eintrittspreise vor.

14 Ein Beispiel: Eintrittspreise Zoo Lösungen von Schülerinnen und Schülern (Realschule, Kl. 9) Kriterien: Welche Grundidee ist hinter der Bearbeitung zu erkennen? Wurde die Grundidee in adäquater Weise mathematisiert?

15 Mario

16 Julia

17 Fabian

18 Matthias

19 Svenja

20 Modellierungskreislauf und Modellieren Lernen

21 Modellierungskreislauf Realität Mathematisieren Mathematik Aufgabe Zoo Realmodell mathemat. Modell Vereinfachen Strukturieren Idealisieren Erarbeiten einer math. Lösung reale Situation mathemat. Lösung FERMI-Aufgabe Interpretieren Validieren

22 Modellieren und Termverständnis Was leistet die Algebra für die Entwicklung von Modellierungskompetenzen? Was leistet das Lernen von Modellieren für das bessere Verständnis von Mathematik?

23 Modellieren und Termverständnis Familie Schramm und Familie Klein machen gemeinsam Urlaub in einem Ferienhaus. Familie Schramm Vater Mutter Svenja (11) Dirk (9) Hausmiete 1200 Lebensmittel 480 Familie Klein Mutter Britta (7) Svenja und Dirk bekommen zusammen ein Zimmer, Britta schläft bei ihrer Mutter Schnell erfassbare Form der Darstellung

24 Modellieren und Termverständnis Familie Schramm Vater Mutter Svenja (11) Dirk (9) Annika (8) Hausmiete 1200 Lebensmittel 480 Familie Klein Mutter Britta (7) 3 Erwachsene + 4 Kinder Fam. Schramm: 2 Schlafzimmer Fam. Klein: 1 Schlafzimmer Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) 2 Klein: (1200 : 3) 1 Lebensmittel <nach Personen>: Schramm: (480 : 5) 3,5 Klein: (480 : 5) 1,5

25 Modellieren und Termverständnis Miete <nach Zimmern> Schramm: (1200 : 3) 2 Klein: (1200 : 3) 1 Lebensmittel <nach Personen> Schramm: (480 : 5) 3,5 Klein: (480 : 5) 1,5 A B C Kurzfristiger Wechsel auf ein anderes Haus, welches 1320 Miete kostet Svenja Schramm darf mit einer anderen Familie in den Urlaub. Frau Klein nimmt ihren neuen Lebenspartner mit. (Validierung!) Umkehrung der Fragestellung: A Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 4) 2,5 B Welche Geschichte passt zum Term: (480 : 5) 3

26 Normative Modelle für ein Anwendungsproblem WMW Wiener Motoren Werke Verkaufsfördernde Maßnahmen durch Gestaltung der Umsatzprovision Die Autoverkäufer arbeiten nach einem Provisionssystem: Unterschiedliche Segmente sollen differenziert gefördert werden. Gelegentliche Modifizierungen des Systems sind vorgesehen. 1. Zielgruppe: Unterstufe 2. Zielgruppe: Oberstufe

27 Literatur Förster, Frank (1997): #. In: Tietze, Uwe-Peter; Klika, Manfred & Wolpers, Heinz (Hrsg): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Grundfragen Didaktik der Analysis. Vieweg: Braunschweig, S Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I. Cornelsen Scriptor: Berlin Hinrichs, Gerd (2008): Modellierung im Mathematikunterricht. Spektrum: Heidelberg Marxer, Michael und Wittmann, Gerald (2009): Normative Modellierungen Mit Mathematik Realität(en) gestalten. In: Mathematik lehren. Themenheft: Bewerten und Entscheiden (Heft 153, April 2009)

28 Vielen Dank für die Mitarbeit. Ich wünsche Ihnen einen guten Heimweg und einen schönen Abend.