Lineare Algebra für Informatiker Manuskript

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1 Sebastian Thomas RWTH Aachen, SS 5 Juli 5 Lineare Algebra für Informatiker Manuskript Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Studierende des Studiengangs Bachelor of Science Informatik Es werden die grundlegenden Konzepte der linearen Algebra wie Vektorräume und deren Homomorphismen, der Dimensionsbegriff, der Matrixkalkül für Homomorphismen, Determinanten, etwas Eigenwerttheorie und eine Einführung in die Theorie der Skalarprodukträume behandelt Als Anwendungen geben wir einen Einblick in die lineare Kodierungstheorie Benötigte Vorkenntnisse sind einige Inhalte aus der Vorlesung Diskrete Strukturen, welche wir in Anhang A zusammenfassen In Anhang B finden sich als Zusatzmaterial einige Grundlagen zu Algebren und Körpererweiterungen, welche in der aktuellen Vorlesung allerdings nicht in dieser Form behandelt wurden Für Hinweise und Korrekturen danke ich meinen Studierenden und Tutoren, insbesondere Daniel Andres, Jens Bürger, Timo Gervens, J Isabel Klöter, Jan-Frederik Konopka, Robin Mroß, Erik Müller, Cedric Sodhi und Jan M Tönshoff Für weitere Hinweise auf Fehler und Unklarheiten bin ich dankbar Beispiele, Bemerkungen, etc, welche nicht mit einer Nummer versehen sind, wurden nachträglich und/oder als Zusatzinformation eingefügt Inhaltsverzeichnis Aachen, Juli 5 Sebastian Thomas Vektorräume Vektorraumhomomorphismen 34 3 Matrixkalkül 5 4 Lineare Kodierungstheorie 78 5 Determinante 98 6 Eigenwerttheorie 7 Skalarprodukträume 5 A Grundlagen 8 B Algebren und Körpererweiterungen 6 Vektorräume In diesem Abschnitt werden Vektorräume über einem Körper eingeführt Neben den zugehörigen Homomorphismen, welche wir etwas später studieren werden, bilden Vektorräume die zentralen Objekte der linearen Algebra Aus der Schule kennen wir R = {(x, y x, y R} als Formalisierung der Anschauungsebene, wobei R die Menge der reellen Zahlen bezeichnet Punkte dieser Ebene können addiert werden, indem wir sie als sogenannte Dieses Vorlesungsmanuskript entstand während der Veranstaltung Lineare Algebra für Informatiker; gehalten an der RWTH Aachen im Sommersemester 5 Es basiert auf dem Manuskript [] sowie zu Teilen auf dem Manuskript [] Vorlesungshomepage: Dies ist eine überarbeitete Version vom 6 Juli 6 (Version

2 Pfeilvektoren vom Ursprung, dh dem Punkt (,, zu eben jenen Punkten interpretieren und dann eine geometrische Operation mit diesen Pfeilen durchführen: Sind zwei Punkte gegeben, so erhalten wir die Summe dieser Punkte, indem wir die zugehörigen Pfeile aneinanderhängen Ebenso können Punkte mit reellen Zahlen multipliziert werden, indem wir die Richtung des Pfeils zum gegebenen Punkt beibehalten und die Länge um die angegebene reelle Zahl strecken Bei dieser Multiplikation von reellen Zahlen mit Punkten der Ebene spricht man dann von einer sogenannten Skalarmultiplikation Formal sind Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise erklärt, dh es ist (x, y + (x, y = (x + x, y + y, a(x, y = (ax, ay für a, x, y, x, y R Für diese Operationen lassen sich Eigenschaften nachweisen; zum Beispiel gilt (x, y + ((x, y + (x, y = ((x, y + (x, y + (x, y für x, y, x, y, x, y R sowie a((x, y + (x, y = a(x, y + a(x, y für a, x, y, x, y R Diese Eigenschaften lassen sich direkt aus der Definition von Addition und Skalarmultiplikation herleiten Manche Eigenschaften, welche man nun zeigen kann, lassen sich (sogar aus bereits vorher bewiesenen Eigenschaften folgern, und zwar ohne die Definition von Addition und Skalarmultiplikation zu benutzen Für R 3 = {(x, y, z x, y, z R}, die Formalisierung des Anschauungsraums, lassen sich ebenfalls eine Addition und eine Skalarmultiplikation komponentenweise erklären Diese haben dann analoge geometrische Interpretationen sowie analoge Eigenschaften In diesem Abschnitt werden wir die Fälle R und R 3 wie folgt verallgemeinern: Zunächst lassen sich ganz analog eine komponentenweise Addition und eine komponentenweise Skalarmultiplikation auf R n für jede natürliche Zahl n definieren, und diese erhalten dann auch analoge Eigenschaften Zur Herleitung dieser Eigenschaften spielen nur wenige Aspekte der reellen Zahlen eine Rolle: Wenn wir ausschließlich mit rationalen Zahlen, also Brüchen von ganzen Zahlen, arbeiten, so werden wir diesen Zahlbereich nie verlassen Wir können also eine ähnliche Struktur auch auf Q n für jede natürliche Zahl n definieren Noch allgemeiner gilt dies sogar für K n, die Menge der n-tupel mit Einträgen in einem Körper K Wir abstrahieren sogar noch weiter: Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, dass die oben angedeuteten Eigenschaften noch für bedeutend mehr Strukturen gelten, bei denen wir eine Menge zusammen mit einer Addition und einer Skalarmultiplikation gegeben haben, bei denen die Elemente dieser Menge aber nicht wie n-tupel aussehen müssen Wir erleben dann ein ähnliches Verhalten wie bei K n, es gelten analoge Eigenschaften Ferner lassen sich auch hier einige Eigenschaften aus bereits bewiesenen Eigenschaften folgern Um alle diese Beispiele, von denen wir einige im späteren Verlauf kennenlernen werden, unter einen Hut zu bringen, wählen wir einen axiomatischen Ansatz: Unser Blickpunkt entfernt sich dann von der konkreten Gestalt der Elemente sowie der Definition von Addition und Skalarmultiplikation im einzelnen Beispiel; stattdessen treten einige Eigenschaften der Operationen in den Mittelpunkt Konkret bedeutet dies Folgendes: Wir betrachten sogenannte Vektorräume, dh Strukturen bestehend aus einer Menge, einer Addition und einer Skalarmultiplikation, für welche gewisse Eigenschaften gelten, die uns aus den Beispielen bereits vertraut sind Diese Eigenschaften, welche für Vektorräume gefordert werden, nennen wir Vektorraumaxiome Alle Eigenschaften, welche sich auf die Vektorraumaxiome zurückführen und bereits in diesem abstrakten Rahmen beweisen lassen, gelten dann für alle Vektorräume, unabhängig davon, wie die Elemente jeweils aussehen Der Vorteil dieses axiomatischen Ansatzes liegt auf der Hand: Zum einen entwickeln wir, wie bereits angedeutet, unsere Theorie für alle uns bereits bekannten Beispiele von Vektorräumen simultan Zum anderen können wir unsere Theorie auf weitere Beispiele von Vektorräumen anwenden, sobald wir uns davon überzeugt haben, dass es sich bei der vorliegenden Struktur um einen Vektorraum handelt Hierzu müssen wir dann lediglich die Vektorraumaxiome nachweisen, alle anderen Eigenschaften von Vektorräumen folgen bereits aus diesen Im Folgenden bezeichnen wir bis zum Ende des Abschnitts mit K stets einen beliebig gegebenen Körper Ab Bemerkung (5 bezeichnen wir bis zum Ende des Abschnitts mit V stets einen beliebig gegebenen K-Vektorraum

3 Begriffsbildung Wir beginnen mit der Definition eines K-Vektorraums ( Definition (Vektorraum Ein Vektorraum über K (oder K-Vektorraum besteht aus einer Menge V zusammen mit einer Abbildung V V V, (v, w v+w, genannt Addition, und einer Abbildung K V V, (a, v av = a v, genannt Skalarmultiplikation, derart, dass folgende Axiome gelten Assoziativität der Addition Für v, w, x V ist v + (w + x = (v + w + x Existenz des Nullvektors Es existiert ein n V derart, dass für v V stets n + v = v + n = v gilt Es lässt sich zeigen, dass ein solches n eindeutig bestimmt ist Wir bezeichnen es mit Dann haben wir also + v = v + = v für alle v V Existenz der negativen Vektoren Für jedes v V existiert ein w V mit w + v = v + w = Es lässt sich zeigen, dass ein solches w durch v eindeutig bestimmt ist Wir bezeichnen es mit v Dann haben wir also ( v + v = v + ( v = Kommutativität der Addition Für v, w V ist v + w = w + v Assoziativität der Skalarmultiplikation Für a, b K, v V ist a(bv = (abv Einselement der Skalarmultiplikation Für v V ist v = v Distributivität Für a, b K, v V ist (a+bv = (av+(bv Für a K, v, w V ist a(v+w = (av+(aw Die Elemente von K werden Skalare von V genannt Die Elemente von V werden auch Vektoren in V genannt Das Element in V wird Nullvektor in V genannt Für einen Vektor v in V wird v auch der negative Vektor zu v genannt Die ersten vier Axiome besagen gerade, dass jeder K-Vektorraum eine abelsche Gruppe ist ( Konvention Es sei ein K-Vektorraum V gegeben Meistens lassen wir die Klammern um Produkte aus Skalaren und Vektoren weg, dh es gelte Punkt- vor Strichrechnung Da für a, b K, v V stets (abv = a(bv gilt, schreiben wir im außerdem meist kurz abv := (abv = a(bv (3 Notation (Subtraktion Es sei ein K-Vektorraum V gegeben Für v, w V schreiben wir v w := v + ( w = ( w + v (4 Beispiel (a Es wird K ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch die Addition des Körpers K und Skalarmultiplikation gegeben durch die Multiplikation des Körpers K (b Für n N wird K n ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch (x,, x n + (y,, y n = (x + y,, x n + y n für (x,, x n, (y,, y n K n, und Skalarmultiplikation gegeben durch a(x,, x n = (ax,, ax n für a K, (x,, x n K n Der Nullvektor von K n ist gegeben durch = (,, Für (x,, x n K n ist (x,, x n = ( x,, x n (c Für m, n N wird K m n ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch die Addition von Matrizen und Skalarmultiplikation gegeben durch die Skalarmultiplikation von Matrizen 3

4 (d Für jede Menge I wird K I ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch x + y = (x i + y i i I für x, y K I, und Skalarmultiplikation gegeben durch a x = (a x i i I für a K, x K I Der Nullvektor von K I ist gegeben durch = ( i I Für x K I ist x = ( x i i I (e Für jede Menge X wird Map(X, K ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch (f + g(x = f(x + g(x für x X, f, g Map(X, K, und Skalarmultiplikation gegeben durch (af(x = af(x für x X, a K, f Map(X, K Die Null von Map(X, K ist gegeben durch (x = für x X Für f Map(X, K ist für x X ( f(x = f(x (f Jede einelementige Menge wird ein K-Vektorraum (mit der einzig möglichen Addition und der einzig möglichen Skalarmultiplikation (g Der Polynomring K[X] wird ein K-Vektorraum mit Addition gegeben durch die Addition des Rings K[X] und Skalarmultiplikation gegeben durch Einschränkung der Multiplikation des Rings K[X] Beweis Dies sei dem Leser zur Übung überlassen Elementare Eigenschaften Wir betrachten einige elementare Eigenschaften von Vektorräumen, welche Verallgemeinerungen der entsprechenden Eigenschaften für Körper sind Im Folgenden bezeichnen wir bis zum Ende des Abschnitts mit V stets einen beliebig gegebenen K-Vektorraum (5 Bemerkung (a Es seien v, w, x V gegeben Genau dann gilt v + x = w, wenn x = v + w ist (b Es seien a K und v, x V gegeben Genau dann gilt ax = v, wenn x = a v ist Beweis (a Dies folgt aus Bemerkung (A59 (b Wenn ax = v gilt, dann auch x = x = a ax = a v Umgekehrt, wenn x = a v ist, dann haben wir nach Proposition (A58(c auch v = (a x = ax 4

5 (6 Korollar (a Es seien v, x, y V gegeben Genau dann gilt v + x = v + y, wenn x = y ist (b Es seien a K, x, y V gegeben Genau dann gilt ax = ay, wenn x = y ist Beweis (a Dies folgt aus Korollar (A6 (b Wenn ax = ay gilt, dann nach Bemerkung (5(b auch (7 Proposition x = a ay = y = y (a Für v V gilt v = (b Für a K gilt a = (c Für a K, v V gilt ( av = a( v = av (d Für v V gilt ( v = v (e Für a K, v V gilt ( a( v = av Beweis (a Für v V gilt v + v = ( + v = v, also v = (v + v = nach Bemerkung (5(a (b Für a K gilt a + a = a( + = a, also a = (a + a = nach Bemerkung (5(a (c Es seien a K und v V gegeben Dann gilt ( av + av = ( a + av = v = nach (a und damit av = ( av Ferner gilt a( v + av = a( v + v = a = nach (b und damit av = a( v (d Für v V ist nach (c ( v = v = v (e Für a K, v V ist nach (d ( a( v = ( av = ( av = av (8 Lemma Es seien a K, v V gegeben Genau dann gilt av =, wenn a = oder v = ist Beweis Wenn av = und a ist, dann folgt v = a = nach Bemerkung (5 und Proposition (7(b Umgekehrt, wenn a = oder v = ist, so folgt av = nach Proposition (7(a, (b (9 Korollar Es seien a, b K, v V \ {} gegeben Genau dann gilt av = bv, wenn a = b ist Beweis Wenn a = b ist, dann auch av = bv Es gelte umgekehrt av = bv, so dass (a bv = av bv = Da v ist, folgt a b = nach Lemma (8, also a = b 5

6 Untervektorräume Als nächstes betrachten wir sogenannte Untervektorräume, dh Vektorräume, die in geeigneter Weise als Teilmengen von gegebenen Vektorräumen auftreten Die Idee lässt sich dabei an Hand des folgenden anschaulichen Beispiels erklären: Von der Anschauungsebene können wir zum Anschauungsraum übergehen, indem wir eine weitere Richtung betrachten, welche nicht bereits in der Ebene liegt; wir fügen eine weitere Achse in ein Koordinatensystem hinzu Sowohl Addition als auch Skalarmultiplikation der Ebene und des Raums lassen sich durch geometrische Operationen interpretieren Wenn wir nun den Raum wie gerade beschrieben als Erweiterung der Ebene auffassen, so entsprechen sich die geometrischen Operationen der Ebene und des Raums, wenn wir sie nur auf Punkte in der Ebene anwenden Dies entspricht gerade dem Konzept des Untervektorraums: Ein Vektorraum, dessen unterliegende Menge in einem (potentiell größeren Vektorraum liegt, und zwar gerade so, dass die Anwendung der Operationen (Addition bzw Skalarmultiplikation des größeren Vektorraums auf die Vektoren des kleineren Vektorraums gerade den Operationen des kleineren Vektorraums entspricht Werden wir nun etwas formaler: Wie bereits zu Anfang dieses Abschnitts erwähnt, lassen sich R als Formalisierung der Anschauungsebene und R 3 als Formalisierung des Anschauungsraums auffassen Die Erweiterung von R zu R 3 bedeutet, dass wir die injektive Abbildung ι: R R 3, (x, y (x, y, betrachten und R mit deren Bild Im ι = {(x, y, x, y R} identifizieren Dabei lassen sich die Operationen von R auf die Elemente von Im ι wie folgt übersetzen: Für x, y, x, y R ist (x, y + (x, y = (x + x, y + y in R, durch die Korrespondenz also (x, y, + (x, y, = (x + x, y + y, in Im ι Für a, x, y R ist a(x, y = (ax, ay in R, durch die Korrespondenz also a(x, y, = (ax, ay, in Im ι Da sich die Elemente von R und Im ι via ι bijektiv entsprechen, wird Im ι mit dieser Addition und Skalarmultiplikation ein R-Vektorraum Andererseits entsprechen diese Operationen gerade den Operationen von R 3, angewandt auf die Elemente von Im ι, dh Im ι wird mit diesen Operationen zu einem Untervektorraum von R 3 ( Definition (Untervektorraum Ein K-Untervektorraum (oder Untervektorraum oder linearer Unterraum oder linearer Teilraum von V ist ein K-Vektorraum U derart, dass die unterliegende Menge von U eine Teilmenge von V ist, und so, dass für u, u U stets u + U u = u + V u und für a K, u U stets a U u = a V u gilt Ein Untervektorraum U von V heißt echt (oder strikt, falls U V gilt Ist U ein Untervektorraum von V, so schreiben wir U V Ist U kein Untervektorraum von V, so schreiben wir U V Ist U ein echter Untervektorraum von V, so schreiben wir U < V ( Bemerkung Es ist V ein K-Untervektorraum von V Da die Struktur eines Untervektorraums durch die unterliegende Menge festgelegt ist, treffen wir folgende Vereinbarung ( Konvention Es sei eine Teilmenge U von V gegeben Da die Addition bzw die Skalarmultiplikation jedes K-Untervektorraums von V vollständig durch die Addition bzw die Skalarmultiplikation von V bestimmt ist, gibt es höchstens eine Vektorraumstruktur auf U so, dass U mit dieser Vektorraumstruktur ein K-Untervektorraum von V wird Wir sagen daher auch, dass U ein K-Untervektorraum von V ist, falls so eine Vektorraumstruktur auf U existiert 6

7 Unter Verwendung von Konvention ( geben wir nun ein Kriterium zur Erkennung von Untervektorräumen an, welches uns die einfache Betrachtung von Beispielen ermöglichen wird (3 Lemma (Untervektorraumkriterium Es sei eine Teilmenge U von V gegeben Die folgenden Bedingungen sind äquivalent (a Es ist U ein K-Untervektorraum von V (b Es gilt: (c Es gilt: Abgeschlossenheit unter der Addition Für u, u U ist u + u U Abgeschlossenheit unter dem Nullvektor Es ist U Abgeschlossenheit unter der Skalarmultiplikation Für a K, u U ist Es ist au U U Für a K, u, u U ist au + u U Beweis Wir zeigen zuerst die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (b, danach die Äquivalenz von Bedingung (b und Bedingung (c Zunächst gelte Bedingung (a, dh es sei U ein Untervektorraum von V Für u, u U ist dann u + V u = u + U u U und für a K, u U ist a V u = a U u U Ferner gilt U = U + U U = U + V U und damit V = U U nach Korollar (6(a Folglich gilt Bedingung (b Nun gelte umgekehrt Bedingung (b Da für u, u U stets u + V u U ist, erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung + U : U U U, (u, u u + V u, und da für a K, u U stets a V u U ist, erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung U : K U U, (a, u a V u Um zu zeigen, dass U ein K-Vektorraum mit Addition + U und Skalarmultiplikation U wird, verifizieren wir die Axiome aus Definition (: Assoziativität der Addition Für u, u, u U ist u + U (u + U u = u + V (u + V u = (u + V u + V u = (u + U u + U u Kommutativität der Addition Für u, u U ist u + U u = u + V u = u + V u = u + U u Existenz des Nullvektors Es ist V U und für u U gilt V + U u = V + V u = u Mit der Kommutativität der Addition folgt, dass U = V ist Existenz der negativen Vektoren Für u U gilt ( u V + U u = ( u V + V u = V = U Mit der Kommutativität der Addition folgt, dass für u U stets ( u U = ( u V ist 7

8 Assoziativität der Skalarmultiplikation Für a, b K, u U ist a U (b U u = a V (b V u = (ab V v = (ab U v Einselement der Skalarmultiplikation Für u U ist U u = V u = u Distributivität Für a, b K, u U ist (a + b U u = (a + b V u = a V u + V b V u = a U u + U b U u Für a K, u, u U ist a U (u + U u = a V (u + V u = a V u + V a V u = a U u + U a U u Somit wird U in der Tat ein K-Vektorraum mit Addition + U und Skalarmultiplikation U Nach Definition der Addition und der Skalarmultiplikation von U ist dann U aber sogar ein Untervektorraum von V, dh es gilt Bedingung (a Als nächstes gelte Bedingung (b Da U abgeschlossen unter dem Nullvektor ist, gilt U und damit insbesondere U Sind a K, u, u U gegeben, so ist ferner au U, da U abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation ist, und folglich au + u U, da U abgeschlossen unter der Addition ist Wir haben somit die Gültigkeit von Bedingung (c gezeigt Schließlich gelte Bedingung (c Für u, u U gilt dann u + u = u + u U Da U ist, gibt es ferner ein Element u U, und es folgt = u + u = ( u + u U nach Proposition (7(d Für a K, u U gilt schließlich au = au + U Somit haben wir Bedingung (b gezeigt Insgesamt sind Bedingung (a, Bedingung (b und Bedingung (c äquivalent Um zu zeigen, dass eine gegebene Teilmenge von V ein Untervektorraum ist, müssen wir also insbesondere keine Vektorraumaxiome verifizieren; es genügt die Bedingungen aus Lemma (3(b oder die Bedingungen aus Lemma (3(c zu zeigen (4 Beispiel (a Es ist {(x, x x R} ein R-Untervektorraum von R (b Es ist {( + x, x x R} kein R-Untervektorraum von R Beweis (a Es sei U := {(x, x x R} Dann ist = (, = (, U, also insbesondere U Es seien a R, u, u U gegeben Dann gibt es x, x R mit u = (x, x, u = (x, x, es folgt also au + u = a(x, x + (x, x = (ax + x, a( x + ( x = (ax + x, (ax + x U Nach dem Untervektorraumkriterium (3 ist U ein Untervektorraum von R (b Es sei U := {( + x, x x R} Für x R ist genau dann + x =, wenn x = ist Dies bedeutet, dass = (, / U ist Nach dem Untervektorraumkriterium (3 ist U kein Untervektorraum von R (5 Bemerkung (a Für jedes v V ist Kv = {av a K} ein K-Untervektorraum von V (b Es ist {} ein K-Untervektorraum von V 8

9 Beweis (a Zunächst seien u, u Kv gegeben Dann gibt es a, a K mit u = av und u = a v Wir erhalten u + u = av + a v = (a + a v Kv Somit ist Kv abgeschlossen unter der Addition Ferner ist = v Kv nach Proposition (7(a, dh Kv ist abgeschlossen unter dem Nullvektor Schließlich seien c K, u Kv gegeben Dann gibt es ein a K mit u = av und es folgt cu = cav Kv Folglich ist Kv auch abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation Insgesamt ist Kv ein Untervektorraum von V nach dem Untervektorraumkriterium (3 (b Nach Proposition (7(b ist K = {a a K} = { a K} = {}, so dass {} nach (a ein Untervektorraum von V ist Linearkombinationen Unser nächstes Ziel wird es sein, Untervektorräume effizient zu beschreiben Hierzu benötigen wir den Begriff der linearen Hülle Zunächst wollen wir das Konzept wieder an Hand des Anschauungsraums erläutern Wie oben fassen wir hierzu die Anschauungsebene als Untervektorraum des Anschauungsraums auf, dh wir betrachten die Teilmenge {(x, y, x, y R} von R 3 Diese Teilmenge können wir uns als von den Geraden {(x,, x R} und {(, y, y R} aufgespannt vorstellen Die Gerade {(x,, x R} = {x(,, x R} = R(,, wird wiederum durch den Vektor (,, festgelegt, es handelt sich bei den Punkten dieser Gerade um alle Vielfachen von (,, im Sinne der Skalarmultiplikation Entsprechend für die Gerade {(, y, y R} = R(,,, welche durch den Vektor (,, festgelegt ist Die Ebene wird also durch die Vektoren (,, und (,, festgelegt Wir werden sagen, dass die Vektoren (,, und (,, die Ebene erzeugen (oder aufspannen Formal bedeutet dies Folgendes: Haben wir einen Punkt (x, y, für x, y R gegeben, so lässt sich dieser als Summe von Vektoren aus R(,, und R(,, beschrieben, es ist nämlich gerade (x, y, = (x,, + (, y, Andererseits ist (x,, ein Vielfaches von (,, bzw (, y, ein Vielfaches von (,, : es gilt (x,, = x(,,, (, y, = y(,, Insgesamt erhalten wir (x, y, = x(,, + y(,,, dh (x, y, ist eine Linearkombination von (,, und (,, im folgenden Sinn: (6 Definition (Linearkombination Es seien n N und ein n-tupel s = (s,, s n in V gegeben Für a K n heißt a i s i = a s + + a n s n i [,n] die Linearkombination über K (oder K-Linearkombination oder Linearkombination von s zu a Eine Linearkombination über K (oder K-Linearkombination oder Linearkombination von s ist eine Linearkombination von s zu einem a K n 9

10 Die Menge der Linearkombination s = s,, s n = s,, s n K := Ks i = Ks + + Ks n i [,n] von s heißt K-lineare Hülle (oder lineare Hülle oder Spann oder Erzeugnis von s (7 Beispiel (a In Q 3 ist (, 4, eine Linearkombination von ((,,, (, 3, (b In R 4 ist (3,,, 4 keine Linearkombination von ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, (c Jedes x R 3 ist eine Linearkombination von ((,,, (,,, (,,, dh es ist (,,, (,,, (,, = R 3 (d Jedes x Q ist eine Linearkombination von ((,, (,, dh es ist (,, (, = Q Beweis (a Wir haben (, 4, = (,, (, 3, = (,, + ( (, 3, (b Wäre (3,,, 4 eine Linearkombination von ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,,, so gäbe es a, b, c, d R mit (3,,, 4 = a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, es würde also insbesondere = (3a + b c d, a + b c + d, 3a b + c + d, 4a + b + 3c + d, = 3 = (3a + b c d + ( 3a b + c + d = in R gelten Im Umkehrschluss ist (3,,, 4 keine Linearkombination von ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, (c Für x R 3 ist x = (x, x, x 3 = (x,, + (, x, + (,, x 3 = x (,, + x (,, + x 3 (,, (d Für x Q ist x = (x, x = ((x x + ( x + x, (x x + ( x + x = (x x (, + ( x + x (, Um zu zeigen, dass ein gegebener Vektor v in V Linearkombination eines n-tupels (s,, s n in V für ein n N ist, genügt es wie im Beweis von Beispiel (7 ein geeignetes a K n mit v = i [,n] a is i anzugeben Ein solches Koeffiziententupel lässt sich mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems berechnen Die Nichtlösbarkeit eines linearen Gleichungssystems lässt sich hingegen zum systematischen Nachweis, dass ein gegebener Vektor v in V keine Linearkombination eines n-tupels (s,, s n in V für ein n N ist, benutzen:

11 Alternativer Beweis von Beispiel (7(a, (b (a Genau dann ist (, 4, eine Linearkombination von ((,,, (, 3,, wenn es ein a, b Q gibt mit (, 4, = a(,, + b(, 3, Für a, b Q gilt genau dann (, 4, = a(,, + b(, 3, = (a + b, a + 3b, a + b, wenn ( 3 a = b 4 gilt Wir formen die erweiterte Koeffizientenmatrix mittels elementarer Zeilenoperationen um: 3 4 add3,, add,, add,, Nach Proposition (A3 gilt also ( 3 = 4 und damit (, 4, = (,, (, 3, (b Genau dann ist (3,,, 4 (3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,,, wenn es a, b, c, d R gibt mit (3,,, 4 = a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, Für a, b, c, d R gilt genau dann (3,,, 4 = a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, = (3a + b c d, a + b c + d, 3a b + c + d, 4a + b + 3c + d wenn 3 a 3 b 3 c = 4 3 d 4 gilt Wir formen die erweiterte Koeffizientenmatrix mittels elementarer Zeilenoperationen um: add 3,, Wegen gibt es somit nach Proposition (A3 keine a, b, c, d R mit 3 a 3 b 3 c =, 4 3 d 4 dh (3,,, 4 ist keine Linearkombination von ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,,

12 Mit ein wenig technischem Aufwand verbunden lassen sich etwas allgemeiner auch Linearkombinationen einer Familie s = (s i i I über einer beliebigen (möglicherweise unendlichen Menge I oder Linearkombinationen einer (möglicherweise unendlichen Menge S definieren, siehe Definition (6 und Definition (64 (8 Bemerkung Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Dann ist s,, s n ein K-Untervektorraum von V Beweis Dies sei dem Leser zur Übung überlassen (9 Proposition Es seien n N, ein n-tupel (s,, s n in V und ein v V gegeben Die folgenden Bedingungen sind äquivalent (a Der Vektor v ist eine Linearkombination von (s,, s n (b Es ist s,, s n, v s,, s n (c Es ist s,, s n, v = s,, s n Beweis Zunächst gelte Bedingung (a, dh es sei v eine Linearkombination von (s,, s n Ferner sei ein w s,, s n, v gegeben Dann gibt es a, b K n, c K mit v = i [,n] a is i und w = i [,n] b is i + cv Es folgt w = b i s i + cv = b i s i + c a i s i = (b i + ca i s i s,, s n i [,n] i [,n] i [,n] i [,n] Folglich haben wir s,, s n, v s,, s n, dh es gilt Bedingung (b Gilt umgekehrt Bedingung (b, dh ist s,, s n, v s,, s n, so gilt insbesondere v s,, s n, v s,, s n Dies bedeutet aber, dass v eine Linearkombination von (s,, s n ist, dh Bedingung (a gilt Wir haben also gezeigt, dass Bedingung (a und Bedingung (b äquivalent sind Da aber ohnehin stets s,, s n s,, s n, v ist, sind auch Bedingung (b und Bedingung (c äquivalent Insgesamt sind Bedingung (a, Bedingung (b und Bedingung (c äquivalent Das folgende Korollar gibt eine Antwort auf die Frage, wie wir die Beschreibungen von Erzeugnissen modifizieren können ( Korollar Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben (a Für k, l [, n] mit k < l ist s,, s n = s,, s k, s l, s k+,, s l, s k, s l+,, s n (b Für k, l [, n] mit k l und a K ist s,, s n = s,, s k, s k + as l, s k+,, s n (c Für k [, n] und a K ist Beweis s,, s n = s,, s k, as k, s k+,, s n (a Dies folgt aus der Kommutativität der Addition auf V (b Es seien k, l [, n] mit k l und a K gegeben Wegen s k + as l s,, s n gilt s,, s n, s k + as l = s,, s n nach Proposition (9 Wegen s k = (s k + as l + ( as l s,, s k, s k + as l, s k+,, s n gilt andererseits aber auch s,, s k, s k + as l, s k+,, s n, s k = s,, s k, s k + as l, s k+,, s n nach Proposition (9 Insgesamt haben wir s,, s n = s,, s n, s k + as l = s,, s k, s k + as l, s k+,, s n, s k = s,, s k, s k + as l, s k+,, s n

13 (c Es seien k [, n] und a K gegeben Wegen as k s,, s n gilt s,, s n, as k = s,, s n nach Proposition (9 Wegen s k = a (as k s,, s k, as k, s k+,, s n gilt andererseits aber auch s,, s k, as k, s k+,, s n, s k = s,, s k, as k, s k+,, s n nach Proposition (9 Insgesamt haben wir s,, s n = s,, s n, as k = s,, s k, as k, s k+,, s n, s k = s,, s k, as k, s k+,, s n Korollar ( liefert uns eine Methode, die Beschreibung eines durch ein Tupel von Vektoren erzeugten Untervektorraums zu vereinfachen Wir illustrieren dies an einem Beispiel ( Beispiel In R 4 ist (3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, = (,,,, (,,,, (,,, Beweis Wir schreiben die Quadrupel als Zeilen in eine Matrix und wenden elementare Zeilenoperationen an: add 4,, add 3,, add,, 3 3 mul 3, add 4,3, 3 add,3, add,3, mul, add 4,, 4 add,, sw, Nach Korollar ( und Proposition (9 ergibt sich (3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, = (,,,, (,,,, (,,, Mit Hilfe vereinfachter Beschreibungen lässt sich leichter testen, ob ein gegebener Vektor Linearkombination eines gegebenen Tupels von Vektoren ist: Alternativer Beweis von Beispiel (7(b Nach Beispiel ( ist (3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, = (,,,, (,,,, (,,, Wäre (3,,, 4 eine Linearkombination von ((,,,, (,,,, (,,,, so gäbe es a, b, c R mit (3,,, 4 = a(,,, + b(,,, + c(,,, = (a, b, a, c es würde also insbesondere = 3 = a + ( a = in R gelten Im Umkehrschluss ist (3,,, 4 keine Linearkombination von ((,,,, (,,,, (,,, und damit keine Linearkombination von ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, 3

14 Erzeugendensysteme Das Konzept des Erzeugnisses, siehe Definition (6, legt folgenden Begriff nahe: ( Definition (Erzeugendensystem Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Wir sagen, dass (s,, s n ein Erzeugendensystem über K (oder K-Erzeugendensystem oder Erzeugendensystem von V ist (oder dass V von (s,, s n erzeugt wird oder dass V von (s,, s n aufgespannt wird, wenn V = s,, s n gilt (3 Beispiel (a Das Tripel ((,,, (,,, (,, ist ein Erzeugendensystem von R 3 (b Das Paar ((,, (, ist ein Erzeugendensystem von Q (c Es sind (s, s, s 3, s 4 = ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,,, (t, t, t 3 = ((,,,, (,,,, (,,, Erzeugendensysteme des R-Untervektorraums s, s, s 3, s 4 = t, t, t 3 von R 4 (d Das Quadrupel ( (, Beweis (, (, ist ein Erzeugendensystem von F (c Dies folgt aus Beispiel ( ( (4 Bemerkung Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Genau dann ist (s,, s n ein Erzeugendensystem von V, wenn K n V, a a i s i surjektiv ist i [,n] Bemerkung Es seien m, n N, ein n-tupel (s,, s n in V und ein Erzeugendensystem (t,, t m von V gegeben Genau dann ist (s,, s n ein Erzeugendensystem von V, wenn für i [, m] stets t i s,, s n gilt Beweis Wenn (s,, s n ein Erzeugendensystem von V, so gilt V = s,, s n und damit insbesondere t i V = s,, s n für i [, m] Umgekehrt gelte für i [, m] stets t i s,, s n Da (t,, t m ein Erzeugendensystem von V ist, gilt dies insbesondere auch für (s,, s n, t,, t m Nach Proposition (9 ist also s,, s n = s,, s n, t,, t m = V, dh (s,, s n ist ein Erzeugendensystem von V Beispiel Das Tripel (( 3, 3,, (,,, (3,, ist ein Erzeugendensystem von R 3 Beweis Wir haben (,, = ( 3, 3, (,, + (3,,, (,, = ( 3, 3, + (3,,, (,, = ( 3, 3, + 3(,,, es gilt also (,,, (,,, (,, ( 3, 3,, (,,, (3,, Da ((,,, (,,, (,, jedoch nach Beispiel (3(a ein Erzeugendensystem von R 3 ist, ist nach obiger Bemerkung auch (( 3, 3,, (,,, (3,, ein Erzeugendensystem von R 3 4

15 (5 Definition (endlich erzeugter Vektorraum Der K-Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls ein Erzeugendensystem (s,, s n von V existiert (6 Beispiel Der R-Vektorraum R 3 ist endlich erzeugt Beweis Dies folgt aus Beispiel (3(a Definition (5 legt nahe, dass es auch Vektorräume gibt, welche nicht endlich erzeugt sind Beispielsweise ist K[X] nicht endlich erzeugt als K-Vektorraum; stattdessen ist (X i i N ein (unendliches Erzeugendensystem von K[X] Um unsere Theorie auch auf solche Vektorräume auszuweiten, müssen wir die Begriffe einer Linearkombination und eines Erzeugendensystems etwas weiter fassen und auch für Familien (s i i I über beliebigen, möglicherweise unendlichen Mengen I zulassen, siehe Definition (6 Auch die im Folgenden aufkommenden Begriffe der linearen (Unabhängigkeit und der einer Basis machen für allgemeinere Familien Sinn Lineare (Unabhängigkeit Wir haben bereits gesehen, dass der R-Untervektorraum U = {(x, y, x, y R} = {(x, y, z R 3 z = } von ((,,, (,, aufgespannt wird, dh es ist U = (,,, (,, Andererseits ist (,, = (,, + (,, eine Linearkombination von ((,,, (,, (dh es gilt (,, (,,, (,, = U, so dass nach Proposition (9 auch U = (,,, (,, = (,,, (,,, (,, ist Im Folgenden wollen wir den Unterschied zwischen ((,,, (,, und ((,,, (,,, (,, studieren Dieser liegt in der Art begründet, wie die Linearkombinationen dieser Tupel gebildet werden: Einerseits legen die Linearkombinationen von ((,,, (,, bereits die Koeffizienten in einer Darstellung als Linearkombination fest; sind nämlich (x, y, U und a, b R mit (x, y, = a(,, + b(,, gegeben, so folgt (x, y, = a(,, + b(,, = (a, b, und damit a = x und b = y, kurz (a, b = (x, y Andererseits sind die Koeffizienten der Linearkombinationen von ((,,, (,,, (,, nicht festgelegt, es gilt etwa (3,, = 3(,, + (,, + (,, = (,, + (,, + (,, = (,, + ( (,, + (,,, aber die Koeffizientripel (3,,, (,, und (,, sind verschieden Für diesen Sachverhalt benutzen wir folgende Terminologie (7 Definition (lineare (Unabhängigkeit Es sei n N gegeben Ein n-tupel (s,, s n in V heißt linear unabhängig über K (oder K-linear unabhängig oder linear unabhängig in V, wenn für a, b K n aus i [,n] a is i = i [,n] b is i stets a = b folgt; ansonsten linear abhängig über K (oder K-linear abhängig oder linear abhängig in V (8 Bemerkung Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Genau dann ist (s,, s n linear unabhängig in V, wenn K n V, a a i s i injektiv ist i [,n] Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit genügt es, ein etwas einfacheres Kriterium zu verifizieren: (9 Lemma (Kriterium für lineare Unabhängigkeit Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Genau dann ist (s,, s n linear unabhängig, wenn für a K n aus i [,n] a is i = stets a = folgt 5

16 Beweis Zunächst sei (s,, s n linear unabhängig, dh für a, b K n folge aus i [,n] a is i = i [,n] b is i stets a = b Für a K n mit i [,n] a is i = gilt dann i [,n] a i s i = = i [,n] s i, es folgt also insbesondere a = ( i [,n] = Umgekehrt folge für a K n aus i [,n] a is i = stets a = Für a, b K n mit i [,n] a is i = i [,n] b is i folgt dann = a i s i b i s i = (a i b i s i, i [,n] i [,n] i [,n] also a b = (a i b i i [,n] = und damit a = b Folglich ist (s,, s n linear unabhängig (3 Beispiel (a In R 3 ist ((,,, (,,, (,, linear unabhängig (b In Q ist ((,, (, linear unabhängig (c In R 4 ist ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, linear abhängig und ((,,,, (,,,, (,,, linear unabhängig (d In F ist ( (, Beweis linear unabhängig (a Für a, b, c R mit (, (, ( a(,, + b(,, + c(,, = gilt (a, b, c = = (,,, also a =, b =, c = Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist somit ((,,, (,,, (,, linear unabhängig in R 3 (b Für a, b Q mit a(, + b(, = gilt (a + b, a + b = = (,, also a + b = und a + b und damit auch b = (a + b (a + b = =, a = (a + b b = = Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist somit ((,, (, linear unabhängig in Q 6

17 (c Es ist 6(3,, 3, 4 + ( 7(,,, + ( 9(,,, 3 + (,,, = (,,,, aber (6, 7, 9, (,,, Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist somit ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, linear abhängig in R 4 Für a, b, c R mit a(,,, + b(,,, + c(,,, = gilt (a, b, a, c = = (,,,, also a =, b =, c = Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist somit ((,,,, (,,,, (,,, linear unabhängig in R 4 (d Für a, b, c, d F mit ( ( a + b + c ( ( + d = gilt ( a b = = c d (, also a =, b =, c =, d = Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist somit ( ( ( ( (,,, linear unabhängig in F Um zu zeigen, dass ein gegebenes Tupel linear unabhängig ist, müssen wir wie im Beweis von Beispiel (3(b ein lineares Gleichungssystem lösen Auch die Koeffizienten zum Nachweis der linearen Abhängigkeit im Beweis von Beispiel (3(b lassen sich mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems berechnen: Alternativer Beweis von Beispiel (3(c Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist das Quadrupel ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, genau dann linear unabhängig, wenn für a, b, c, d R aus a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, = bereits a = b = c = d = folgt Für a, b, c, d R gilt genau dann = a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, = (3a + b c d, a + b c + d, 3a b + c + d, 4a + b + 3c + d wenn 3 a b 3 c = 4 3 d gilt Wir formen die Koeffizientenmatrix mittels elementarer Zeilenoperationen um: 3 3 add 4,, add 3,, add,, add,4,5 add,4,

18 Nach Proposition (A3 gilt für a, b, c, d R gegeben durch c = 9, d =, a = 4c 3d = 4( 9 3 = 6, b = 3c + d = 3( 9 + = 7 also 3 a b 3 c = 4 3 d und damit a(3,, 3, 4 + b(,,, + c(,,, 3 + d(,,, =, aber (a, b, c, d = (6, 7, 9, (,,, Somit ist ((3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, linear abhängig in R 4 Wir haben bereits gesehen, dass das Paar ((,,, (,, linear unabhängig in R 3 ist, während das Tripel ((,,, (,,, (,, linear abhängig in R 3 ist Wie wir nun erkennen werden, liegt dies daran, dass (,, = (,, + (,, eine Linearkombination von ((,,, (,, ist (3 Bemerkung Es seien n N, ein n-tupel (s,, s n in V und a K n mit j [,n] a js j = gegeben Für jedes i [, n] mit a i ist s i eine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n Beweis Für jedes i [, n] mit a i ist a i K, wegen j [,n] a js j = ist dann also s i = a i j [,n]\{i} a j s j = j [,n]\{i} eine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} ( a a j s j i (3 Proposition Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Die folgenden Bedingungen sind äquivalent (a Das n-tupel (s,, s n ist linear unabhängig in V (b Für jedes i [, n] ist (s,, s i, s i+,, s n linear unabhängig in V und s i ist keine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n (c Es gilt entweder n = oder es gibt ein i [, n] derart, dass (s,, s i, s i+,, s n linear unabhängig in V und s i keine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n ist (d Für jedes i [, n] ist s i keine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n Beweis Wir zeigen zuerst die Äquivalenz von Bedingung (a, Bedingung (b und Bedingung (c, danach die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (d Zunächst nehmen wir an, dass Bedingung (b nicht gilt, dh es gebe ein i [, n] derart, dass (s j j [,n]\{i} linear abhängig in V oder s i ist eine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} ist Wenn (s j j [,n]\{i} linear abhängig in V ist, so gibt es ein a K [,n]\{i} \ {} mit j [,n]\{i} a js j = Da dann aber auch a j s j + s i = a j s j = j [,n]\{i} j [,n]\{i} gilt, ist in diesem Fall (s j j [,n] linear abhängig in V 8

19 Wenn s i eine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} ist, so gibt es ein a K [,n]\{i} mit s i = j [,n]\{i} a js j Es folgt = s i a j s j = s i + ( a j s j, j [,n]\{i} j [,n]\{i} wegen ist also auch in diesem Fall (s j j [,n] linear abhängig in V Somit ist in beiden Fällen (s j j [,n] linear abhängig in V, dh Bedingung (a gilt nicht Im Umkehrschluss folgt: Wenn Bedingung (a gilt, so gilt auch Bedingung (b Wenn Bedingung (b gilt, dann gilt insbesondere Bedingung (c Es gelte Bedingung (c Wenn n = ist, dann ist für jedes i [, n] aus trivialen Gründen s i keine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n Daher sei n, so dass es ein i [, n] derart gibt, dass (s j j [,n]\{i} linear unabhängig in V und s i keine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} ist Um zu zeigen, dass (s j j [,n] linear unabhängig in V ist, sei a K n mit j [,n] a js j = gegeben Da s i keine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} ist, gilt a i = nach Bemerkung (3 Wir erhalten a j s j = a j s j + s i = a j s j =, j [,n]\{i} j [,n]\{i} j [,n] so dass die lineare Unabhängigkeit von (s j j [,n]\{i} auch a j = für j [, n] \ {i} liefert Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist (s j j [,n] linear unabhängig in V, dh es gilt Bedingung (a Wir haben die Äquivalenz von Bedingung (a, Bedingung (b und Bedingung (c gezeigt Wenn also Bedingung (a gilt, so gilt auch Bedingung (b und damit insbesondere Bedingung (d Schließlich gelte Bedingung (d, dh für jedes i [, n] sei s i keine Linearkombination von (s j j [,n]\{i} Für jedes a K n mit j [,n] a js j = gilt nach Bemerkung (3 dann a i = für i [, n] Nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit (9 ist daher (s j j [,n] linear unabhängig in V, dh es gilt Bedingung (a Wir haben gezeigt, dass auch Bedingung (a und Bedingung (d äquivalent sind Insgesamt sind Bedingung (a, Bedingung (b, Bedingung (c und Bedingung (d äquivalent (33 Korollar Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben (a Für k, l [, n] mit k < l gilt: Genau dann ist (s,, s n linear unabhängig, wenn (s,, s k, s l, s k+,, s l, s k, s l+,, s n linear unabhängig ist (b Für k, l [, n] mit k l und a K gilt: Genau dann ist (s,, s n linear unabhängig, wenn (s,, s k, s k + as l, s k+,, s n linear unabhängig ist (c Für k [, n] und a K gilt: Genau dann ist (s,, s n linear unabhängig, wenn Beweis (s,, s k, as k, s k+,, s n linear unabhängig ist (a Dies folgt aus der Kommutativität der Addition auf V (b Es seien k, l [, n] mit k l und a K gegeben Zunächst sei (s,, s n linear unabhängig Nach Proposition (3 ist dann auch (s j j [,n]\{k} linear unabhängig und s k ist keine Linearkombination von (s j j [,n]\{k}, dh es gilt s k / (s j j [,n]\{k} Nach Bemerkung (8 ist (s j j [,n]\{k} ein K-Untervektorraum von V Wegen k l und s l (s j j [,n]\{k} ist also as l (s j j [,n]\{k} und damit s k + as l / (s j j [,n]\{k} Nach Proposition (3 impliziert dies bereits die lineare Unabhängigkeit von (s,, s k, s k + as l, s k+,, s n Ist umgekehrt (s,, s k, s k + as l, s k+,, s n linear unabhängig, so auch (s,, s k, s k + as l + ( as l, s k+,, s n = (s,, s n 9

20 (c Es seien k [, n] und a K gegeben Basen Zunächst sei (s,, s n linear unabhängig Nach Proposition (3 ist dann auch (s j j [,n]\{k} linear unabhängig und s k ist keine Linearkombination von (s j j [,n]\{k}, dh es gilt s k / (s j j [,n]\{k} Nach Bemerkung (8 ist (s j j [,n]\{k} ein K-Untervektorraum von V Wegen a K ist also as k / s,, s k, s k+,, s n Nach Proposition (3 impliziert dies bereits die lineare Unabhängigkeit von (s,, s k, as k, s k+,, s n Ist umgekehrt (s,, s k, as k, s k+,, s n linear unabhängig, so auch (s,, s k, a (as k, s k+,, s n = (s,, s n Als nächstes studieren wir Tupel, welche sowohl Erzeugendensysteme von V als auch linear unabhängig in V sind, also Tupel derart, dass sich jeder Vektor in V eindeutig als Linearkombination in diesem Tupel schreiben lässt (34 Definition (Basis Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Wir sagen, dass (s,, s n eine Basis über K (oder K-Basis oder Basis von V ist, wenn (s,, s n ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist (35 Bemerkung Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Genau dann ist (s,, s n eine Basis von V, wenn K n V, a a i s i bijektiv ist (36 Beispiel i [,n] (a Das Tripel ((,,, (,,, (,, ist eine Basis von R 3 (b Das Paar ((,, (, ist eine Basis von Q (c Das Tripel ((,,,, (,,,, (,,, ist eine Basis des R-Untervektorraums von R 4 (d Das Quadrupel ( (, Beweis (3,, 3, 4, (,,,, (,,, 3, (,,, (, ist eine Basis von F (, ( (a Dies folgt aus Beispiel (3(a und Beispiel (3(a (b Dies folgt aus Beispiel (3(b und Beispiel (3(b (c Dies folgt aus Beispiel (3(c und Beispiel (3(c (d Dies folgt aus Beispiel (3(d und Beispiel (3(d (37 Lemma Es seien n N und ein n-tupel (s,, s n in V gegeben Die folgenden Bedingungen sind äquivalent (a Es ist (s,, s n eine Basis von V

21 (b Es ist (s,, s n ein bzgl Streichen/Ergänzen minimales Erzeugendensystem von V, dh (s,, s n ist ein Erzeugendensystem von V und für alle i [, n] ist (s,, s i, s i+,, s n kein Erzeugendensystem von V (c Es ist (s,, s n ein bzgl Streichen/Ergänzen maximal linear unabhängiges Tupel in V, dh (s,, s n ist linear unabhängig in V und für alle v V ist (s,, s n, v linear abhängig in V Beweis Wir zeigen zuerst die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (b danach die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (c Genau dann ist (s,, s n eine Basis von V, wenn (s,, s n linear unabhängig in V und ein Erzeugendensystem von V ist Um die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (b zu zeigen, nehmen wir an, dass (s,, s n ein Erzeugendensystem von V ist Nach Proposition (3 ist (s,, s n genau dann linear unabhängig in V, wenn s i für i [, n] stets keine Linearkombination von (s,, s i, s i+,, s n ist Dies ist nach Proposition (9 aber wiederum dazu äquivalent, dass für i [, n] stets s,, s i, s i+,, s n s,, s n = V ist, also dazu, dass (s,, s i, s i+,, s n kein Erzeugendensystem von V ist Um die Äquivalenz von Bedingung (a und Bedingung (c zu zeigen, nehmen wir an, dass (s,, s n linear unabhängig ist Genau dann ist (s,, s n ein Erzeugendensystem von V, wenn jedes v V eine Linearkombination von (s,, s n ist Nach Proposition (3 ist dies auf Grund der linearen Unabhängigkeit von (s,, s n aber äquivalent dazu, dass für v V das Tupel (s,, s n, v stets linear abhängig ist Insgesamt sind Bedingung (a und Bedingung (c äquivalent Insgesamt sind Bedingung (a, Bedingung (b und Bedingung (c äquivalent Standardbasis Für gewisse Vektorräume gibt es kanonische Basen, welchen wir nun eine eigene Bezeichnung zuweisen wollen (38 Definition (Standardbasis (a Es sei n N gegeben Die Basis e = (e,, e n gegeben durch e j = (δ i,j i [,n] für j [, n] heißt Standardbasis von K n (b Es seien m, n N gegeben Die Basis e = (e,, e,,, e m,n gegeben durch e k,l = (δ (i,j,(k,l i [,m],j [,n] für k [, m], l [, n] heißt Standardbasis von K m n In Beispiel (36(a, (d haben wir Standardbasen von R 3 bzw F betrachtet (39 Notation Es sei n N gegeben (a Für i [, n] schreiben wir e i = e Kn i (b Für i [, n] schreiben wir e i = e K n i Existenz von Basen := e Kn i, := e K n,i Im Folgenden wollen wir Eigenschaften von Basen von Vektorräumen studieren Insbesondere wollen wir zeigen, dass endlich erzeugte Vektorräume stets eine Basis haben Diese Aussage gilt sogar für beliebige Vektorräume, der Beweis erfordert dann aber einen höheren Aufwand und ist wenig konstruktiv (4 Satz (Basisauswahlergänzungssatz Es seien m, p N, ein linear unabhängiges m-tupel (s,, s m in V und ein Erzeugendensystem (t,, t p von V gegeben Ferner seien n N und i,, i n [, p] so gegeben, dass (s,, s m, t i,, t in linear unabhängig in V ist, und so, dass (s,, s m, t i,, t in, t k für alle k [, p] linear abhängig in V ist Dann ist (s,, s m, t i,, t in eine Basis von V

22 Beweis Für alle k [, p] impliziert die lineare Abhängigkeit von (s,, s m, t i,, t in, t k auf Grund der linearen Unabhängigkeit von (s,, s m, t i,, t in nach Proposition (3, dass t k eine Linearkombination von (s,, s m, t i,, t in ist Folglich ist {t,, t p } s,, s m, t i,, t in und damit V = t,, t p s,, s m, t i,, t in, dh (s,, s m, t i,, t in ist ein Erzeugendensystem von V Auf Grund der linearen Unabhängigkeit ist (s,, s m, t i,, t in dann aber sogar eine Basis von V Der Basisauswahlergänzungssatz (4 besagt also, dass, sofern V endlich erzeugt ist, jedes linear unabhängige Tupel in V zu einer Basis von V ergänzt werden kann, wobei die ergänzten Vektoren aus einem Erzeugendensystem von V ausgewählt werden können Algorithmisch lässt sich dieser Satz wie folgt formulieren: (4 Algorithmus Eingabe: linear unabhängiges Tupel s = (s,, s m in V, Erzeugendensystem t = (t,, t p von V für m, p N Ausgabe: Basis von V Verfahren: function basisredext(s, t for k [, p] do if durch Anhängen von t k an s entsteht ein linear unabhängiges Tupel then hänge t k an s an; end if; end for; return s; end function; Der Basisauswahlergänzungssatz (4 lässt sich zum Basisauswahlsatz spezialisieren: (4 Korollar (Basisauswahlsatz Es seien p N und ein Erzeugendensystem (s,, s p von V gegeben Ferner seien n N und i,, i n [, p] so gegeben, dass (s i,, s in linear unabhängig in V ist, und so, dass (s i,, s in, s k für alle k [, p] linear abhängig in V ist Dann ist (s i,, s in eine Basis von V Beweis Wegen der linearen Unabhängigkeit von ( in V ist (s i,, s in eine Basis von V nach Satz (4 Der Basisauswahlsatz (4 besagt also, dass sich aus jedem Erzeugendensystem eines endlich erzeugten Vektorraums eine Basis auswählen lässt Wir erhalten folgende algorithmische Fassung (43 Algorithmus Eingabe: Erzeugendensystem s = (s,, s p von V für p N Ausgabe: Basis von V Verfahren: function basisred(s return basisredext((, s; end function; (44 Beispiel Es sei ein Erzeugendensystem (s, s, s 3 von R gegeben durch s = (,, s = (, 4, s 3 = (, 3 Dann sind (s, s 3 und (s, s 3 Basen von R (45 Korollar Es sei V endlich erzeugt Dann gibt es ein n N und eine Basis (s,, s n von V Beweis Da V endlich erzeugt ist, gibt es ein Erzeugendensystem (s,, s p von V Wegen der Endlichkeit von [, p] gibt es ferner n N und i,, i n [, p] so, dass (s i,, s in linear unabhängig in V ist, und so, dass (s i,, s in, s k für alle k [, p] linear abhängig in V ist Nach dem Basisauswahlsatz (4 ist (s i,, s in eine Basis von V

23 Der Basisauswahlergänzungssatz (4 lässt sich außerdem zum Basisergänzungssatz spezialisieren: (46 Korollar (Basisergänzungssatz Es sei V endlich erzeugt und es seien m N und ein linear unabhängiges m-tupel (s,, s m in V gegeben Dann gibt es ein n N und ein n-tupel (t,, t n in V so, dass (s,, s m, t,, t n eine Basis von V ist Beweis Da V endlich erzeugt ist, gibt es ein Erzeugendensystem (t,, t p von V Wegen der Endlichkeit von [, p] gibt es ferner n N und i,, i n [, p] so, dass (s,, s m, t i,, t in linear unabhängig in V ist, und so, dass (s,, s m, t i,, t in, t k für alle k [, p] linear abhängig in V ist Nach Satz (4 ist (s,, s m, t i,, t in eine Basis von V ist Der Basisergänzungssatz (46 besagt also, dass jede linear unabhängige Teilmenge eines endlich erzeugten Vektorraums zu einer Basis dieses Vektorraums ergänzt werden kann Alternativer Beweis von Korollar (45 Da das -Tupel ( linear unabhängig in V ist, gibt es nach dem Basisergänzungssatz (46 ein n N und eine Basis (s,, s n von V (47 Beispiel Es sei ein linear unabhängiges Paar (s, s in R 3 gegeben durch s = (,,, s = (, 3, Dann ist (s, s, s 3 mit s 3 = (,, eine Basis von R 3 (48 Korollar Es sei V endlich erzeugt und es seien ein K-Untervektorraum U von V, ein m N und eine Basis (s,, s m von U gegeben Dann gibt es ein n N und ein n-tupel (t,, t n in V so, dass (s,, s m, t,, t n eine Basis von V ist Beweis Als Basis ist (s,, s m linear unabhängig in U und damit auch in V Nach dem Basisergänzungssatz (46 gibt es ein n N und ein n-tupel (t,, t n in V so, dass (s,, s m, t,, t n eine Basis von V ist Eindeutigkeit von Basen In Korollar (45 haben wir gesehen, dass endlich erzeugte Vektorräume stets eine Basis haben Ferner haben wir in Beispiel (44 gesehen, dass Basen im Allgemeinen nicht eindeutig sind, ein (endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen viele verschiedene Basen Im Folgenden werden wir sehen, dass zumindest die Anzahl der Einträge einer Basis eines endlich erzeugten Vektorraums eindeutig ist Das Schlüsselresultat zur Beweis dieser Aussage ist der Steinitzsche Austauschsatz (5, welcher auf folgendem Lemma beruht (49 Lemma (Austauschlemma von Steinitz Es seien n N, ein Erzeugendensystem (s,, s n von V, ein v V und ein a K n mit v = j [,n] a js j gegeben Für jedes i [, n] mit a i ist (s,, s i, v, s i+,, s n ein Erzeugendensystem von V Beweis Es sei i [, n] mit a i gegeben, so dass a i K gilt Nach Korollar ((c, (b folgt V = s,, s n = s,, s i, a i s i, s i+,, s n = s,, s i, a i s i + a j s j, s i+,, s n = s,, s i, j [,n] a j s j, s i+,, s n = s,, s i, v, s i+,, s n, dh (s,, s i, v, s i+,, s n ist ein Erzeugendensystem von V j [,n]\{i} 3