Versuch P3: Neutronendiffusion. Protokoll. Von Jan Oertlin und Ingo Medebach. 12. Januar Ziel des Versuchs 3

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1 Versuch : Neutronendiffusion Protokoll Von Jan Oertlin und Ingo Medebach 12. Januar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs 3 2 Theoretische Grundlagen Neutronen Definition des Neutronenflusses Ausbreitung schneller Neutronen in Materie Thermalisierung der Neutronen Ausbreitung thermischer Neutronen Relaxationslänge Diffusionslänge Aufbau 7 4 Durchführung 7 5 Auswertung Bemerkung zur Fehlerrechnung Relaxationslänge Diffusionslänge Fazit 9

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3 1 Ziel des Versuchs Wir bestimmen in diesem Versuch zwei Eigenschaften von Wasser im Bezug auf Neutronen. Erst wird mit der Relaxationslänge der Abstand zur Quelle bestimmt, bei dem der Neutronenfluss um 1 e abgefallen ist; anschaulich wäre dies die mittlere Weglänge der Neutronen in Wasser. Anschließend wird die Diffusionslänge bestimmt. Diese beschreibt das Absorptionsverhalten von Neutronen in Wasser. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Neutronen Ein Neutron ist ein ungeladenes Teilchen mit dem Formelzeichen n. Es hat ungefähr die Masse eines Protons und ist auch Bestandteil der Atomkerne. Ist es ungebunden, so ist es nicht stabil. Neutronen werden bei Kernspaltung frei und radioaktive Neutronenquellen sind u.a. die Alpha-Beryllium- Neutronenquellen mit Gemischen aus Radium, Polonium, Plutonium oder Americium mit Beryllium. Die freiwerdenden Neutronen haben Energien im MeV-Bereich. Im Versuch verwenden wir Americium- Beryllium (Am-Be). 2.2 Definition des Neutronenflusses Der Neutronenfluss Φ( r) ist definiert als Φ( r) = E Ω n( r, Ω, E)v(E)dE dω Wobei n( r, Ω, E) die differentielle Dichte definiert. Diese beschreibt die Anzahl der Neutronen an der Stelle r mit Energien im Einheitsintervall um die Energie E und mit Richtung im Einheitsraumwinkel um die Richtung Ω. v(e) ist der Betrag der Geschwindigkeit der Neutronen. Es lässt sich auch die mittlere Geschwindigkeit v definieren mit: Somit ist der Neutronenfluss: v = E Ω n( r, Ω, E)v(E)dE dω Ω n( r, Ω, E)dE dω E Φ(r) = n(r) v Er gibt die Anzahl der Neutronen an, die in der Zeiteinheit die Einheitsfläche durchfliegen. 2.3 Ausbreitung schneller Neutronen in Materie Da Neutronen ungeladen sind, verlieren sie ihre Energie nicht kontinuierlich, sonderen hauptsächlich durch drei Prozesse: Elastische Streuung: Die Neutronen stoßen mit ruhenden Kernen und verlieren Energie auf Grund der Energieerhaltung. Ebenso gibt es eine Richtungsablenkung. Der Energieübertrag ist von der Massenzahl A des Stoßpartners abhängig und bei Protonen am größten. E = 4A (A + 1) 2 E n cos 2 Θ 3

4 Der Wirkungsquerschnitt steigt mit abnehmender Neutronenenergie E n stark an. Absorption: Hier wird das Neutron vom Kern absorbiert, der dabei γ-quanten oder andere Teilchen emittiert. Der Wirkungsquerschnitt ist bei kleinen Energien am größten. Inelastische Streuung: Dies ist mit der elastischen Streuung vergleichbar, jedoch wird dem Kern noch Anregungsenergie übertragen. Somit ist der Energieverlust des Neutrons größer. Die Wirkungsquerschnitte sind kleiner als bei der Elastischen Streuung. Wenn wir von einer punktförmigen Neutronenquelle ausgehen, ergibt sich für den Neutronenfluss folgende Form: Φ(r) = Q 0 4πr 2 e Σtr Der erste Teil der Formel ist gegeben durch die Anzahl der emittierten Neutronen pro Zeiteinheit Q 0 und der üblichen Intensitätsverteilung 1/r 2 einer punktförmigen Quelle. Dies beschreibt eine Ausbreitung ohne Absorption. Diese wird mit Hilfe der e-funktion beschrieben. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Neutron ohne eine Reaktion die Strecke r zurücklegt. Der totale Absorptionskoeffizient Σ setzt sich aus den Anteilen möglicher Prozesse zusammen. Σ t = Nσ t = N(σ el + σ a ) Dieser lässt sich mit den Wirkungsquerschnitten Σ ausdrücken, hier die Wirkungsquerschnitte der elastischen Streuung und Absorption. Die Relaxationslänge ist definiert als λ = 1/Σ t und berschreibt den mittleren Weg eines Neutrons in Materie, bevor es gestreut oder absorbiert werden. Durch elastische Streuung ist der Fluss Φ an einem Ort r größer als mit der obigen Formel. Der durch die Formel beschriebene Fluss enthält die Primärneutronen, die noch keine Reaktion mit der Materie hatten. Die zusätzlichen Neutronen, die schon mit der Materie reagiert haben, heißen Sekundärneutronen. Da die Wirkungsquerschnitte auch energieabhängig sind, ist eine Abweichung bei Quellen mit kontinuierlichem Spektrum zu erwarten. 2.4 Thermalisierung der Neutronen Haben die Neutronen eine höhere kinetische Energie als die Stoßpartner, geben sie diese bei der Wechselwirkung mit den Stoßpartnern ab. Nach mehreren Stößen befinden die Neutronen sich im thermischen Gleichgewicht mit ihrere Umgebung. Es lässt sich somit mittels der Maxwell-Verteilung auf die mittlere Geschwindigkeit schließen. 2kT v t = m Die Energie ist somit: E = 1 2 mv2 t = kt 4

5 2.5 Ausbreitung thermischer Neutronen Wir betrachten die Transport- oder Boltzmann-Gleichung. Sie entspricht einer Kontinuitätsgleichung. Die Neutronenbilanz nimmt durch die Quellemission sowie Einstreungung von anderen Energien und Richtungen zu. Durch Absorption und Ausstreuung zu niedrigen Energien und anderen Winkeln nimmt sie ab. Die Boltzmann-Gleichung wird genähert und führt zur elementaren Diffusionstheorie. Wir betrachten hier eine stationäre Lösung. Ebenso soll diese energieunabhängig sein und nur Absorption und Streuung sind zulässig. Durch diese Einschränkung können wir den Vorgang der Thermalisierung nicht beschreiben und setzten voraus, dass die Neutronen keine Energie mehr abgeben. Ebenso sollen bei uns die Wirkungsquerschnitte Σ a und Σ s energieunabhängig sein. Wir betrachten somit nur die Ausbreitung bereits thermalisierter Neutronen. Ist der Absorptionswirkungsquerschnitt sehr viel kleiner als der Streuungswirkungsquerschnitt, vereinfacht sich die Boltzmann-Gleichung auf die elementare Diffusionsgleichung: 1 3Σ s 2 Φ(r) Σ a Φ(r) + S(r) = 0 D = 1 3Σ s ist konstant und wird Diffusionskante genannt, S(r) die Quelldichte der Neutronen. Die Quelldichte gibt die Anzahl der emittierten Neutronen pro Volumen- und Zeiteinheit an dem Ort r an. Wir formen um und verwenden die Diffusionslänge L mit L = 2 Φ(r) 1 S(r) Φ(r) + L2 D = 0 Mit dieser Gleichung wird die Flussänderung durch Streuung, die Abnahme durch Absorption und die Zunahme durch Quellemission beschreiben. Durch die obigen Bedingungen, gilt diese Gleichung nur exakt für ein homogenes, unendlich ausgedehntes Medium und nicht in der Nähe der Quelle. Wir können sie jedoch auch als gute Näherung für endliche Medien an Orten, die mehr als zwei freie Weglängen von der Quelle und der Begrenzung entfernt sind, nutzen. Wir erhalten unter der Randbedingung eines verschwindenden Flusses im Unendlichen folgende Lösung: Φ(r) = A e r/l r Die Kontante A lässt sich ersetzen durch A = Q 4πΣ al = Q 2 4πD. Im Vergleich mit der Gleichgung für den Neutronenfluss Φ 1 in Abschnitt 2.3 für schnelle Neutronen, haben wir hier einen geringeren Abfall mit 1/r. Mit der Diffusionslänge L beschreiben wir das r 2 Absorptionsverhalten des Mediums. Dieses beschreibt die mittlere Entfernung r von der Quelle, in der ein Neutron absorbiert wird. r = 2L 2.6 Relaxationslänge Um die Relaxationslänge λ = 1/Σ t zu bestimmen, betrachten wir aus Abschnitt 2.3 folgende Gleichung: Φ(r) = Q 0 4πr 2 e Σtr 5 D Σ a :

6 Durch logarithmieren erhalten wir: ln(r 2 Φ(r)) = Σ t r + konst ln(r 2 Φ(r)) = r λ + konst Dies ist eine Grade mit der Steigung 1/λ. Bei dieser Messung dürfen jedoch nur Primärneutronen gemessen werden. Jedoch können wir die Sekundärneutronen nicht von den Primärneutronen unterscheiden. Ebenso haben wir keine monoenergetischen Neutronen, sondern Neutronen mit einem kontinuierlichen Energiespektrum. Unser Nachweiß funktioniert ebenfalls für thermische und langsame Neutronen. Somit müssten wir einen anderen Fluss Φ erwarten. Experimentell folgen jedoch langsame und thermische Neutronen der Verteilung. Somit ist die oben aufgeführte Gleichung benutzbar. Physikalisch kann dies erklärt werden, indem die schnelle Neutronen, die wir messen wollen, einen kleineren Wirkungsquerschnitt haben als thermalisierte und sekundäre Neutronen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die schnellen Neutronen weiter von der Quelle entfernen, deutlich größer, als die langsamen Neutronen. Die Wahrscheinlichkeit thermische Neutronen in Wasser in einer größeren Entfernung als 3 cm von ihrer Quelle zu messen, ist mit 10 % sehr gering. Deswegen kann die obige Gleichung benutzt werden, jedoch nur aufgrund des Aufbaues. 2.7 Diffusionslänge Um die Diffusionslänge L zu bestimmen, benutzen wir folgende Gleichung: und formen um zu: Φ(r) = A e r/l r ln(rφ(r)) = r L + konst Problematisch ist die Ausbreitung von thermischen Neutronen. Diese entstehen an allen Orten im Wasser durch Thermalisierung der schnellen Neutronen unserer Quelle. Somit sind diese auch nicht mehr punktförmig. Experimentell lösen wir dieses Problem durch zwei Messungen. Mittels der Ersten, bestimmen wir den Fluss Φ 0 (r). Da das Zählrohr nur bis einige 100 kev messen kann, sind in dem Fluss die Neutronen enthalten, die schon Energie durch Stöße absorbiert haben. Somit sind auch thermalisierte Neutronen enthalten, die irgendwo im Wasser thermalisiert sind. Die Quelle selbst emittiert keine thermalisierten Neutronen. Anschließend wird die Quelle in eine Kugelschale gelegt. Diese hat die Eigenschaft, durch ihren energieabhängigen Wirkungsquerschnitt, Neutronen mit bis zu etwa 0,5 ev stark zu absorbieren. Der jetzt an der gleichen Stelle gemessene Fluss Φ m (r) beinhaltet die Messung der schnellen Neutronen, aber nicht die thermischen, die abgeschirmt wurden. Die Differenz von Φ 0 und Φ m ergeben somit den Fluss einer virtuellen Quelle von thermischen Neutronen, die als punktförmig angesehen werden kann. Mittels diesen Flusses wird nun über die Gerade ln(rφ(r)) = r L + konst die Diffusionslänge L bestimmt. 6

7 3 Aufbau Wir haben einen zylinderförmigen Wassertank mit Radius 50 cm. In der Mitte befindet sich unsere Quelle. Das Zählrohr ist radial verschiebbar. Wir messen an verschiedenen Abständen mit und ohne Abschirmung den Neutronenfluss. Die Daten ohne Abschirmung werden für die Bestimmung der Relaxationslänge mit benutzt. Der kleinste Abstand zur Quelle sollte 14 cm sein, damit wir von einer annähernd punktförmigen Quelle ausgehen können. 4 Durchführung Am Versuchsplatz war bereits alles vorinstalliert und betriebsbereit. Wir mussten nur die Entfernung des Zählrohrs einstellen sowie die Abschirmung an die Neutronenquelle anbringen. Wir haben lediglich im Programm den left- und right Marker eingestellt. Die Anzahl der detektierten Neutronen konnte direkt abgelesen werden. Die erste Messreihe haben wir mit Abschirmung aufgenommen. Aus dieser wollen wir die Relaxationslänge bestimmen, da hier nur die schnellen Neutronen zum Fluss beitragen. Diese Methode ist somit besser geeignet, als die oben beschriebene. Bei dem Abbauen der Abschirmung ist uns aufgefallen, dass nur noch die Hälfte der Abschirmung befestigt war. Aus den Messdaten ist es uns nicht ersichtlich, ab wann wir nur noch mit der halben Abschirmung gemessen haben. Vermutlich hatte die fehlende Hälfte nur noch einen kleinen Einfluss auf die Abschirmung; die meisten Neutronen wurden somit von der Oberen absorbiert. Dies bestätigt auch das Messprotokoll, da die Zählraten sich nicht Sprunghaft verändert und sich nicht an die Messung ohne Abschirmung sprunghaft angepasst haben. Wir haben Daten im Bereich von 14 cm bis 20 cm in 0,5 cm Schritten und anschließend von 20 cm bis 30 cm in 1 cm Schritten aufgenommen. Der Fluss ohne Abschirmung wurde nur im kleineren Bereich gemessen, da ab ca. 19,5 cm kein Unterschied mehr erkennbar war im Vergleich zu den Werten mit Abschirmung. 5 Auswertung 5.1 Bemerkung zur Fehlerrechnung Als mögliche Fehlerquellen haben wir die Fläche des Zählrohrs, die Abstandeinstellung, die Quelle und den Detektor. Die Fläche des Zählrohr spielt in allen unseren Auswertungen keine Rolle, da wir statt dem Flusses nur die Anzahl der Neutronen betrachten können. Dies folgt aus folgender Umformung: ln(φ) = ln( N ) = ln(n) const A Somit hat dieser systematische Fehler keine Auswirkung auf unsere Messgrößen, da diese nur von der Steigung abhängen. Der Fehler der Neutronenquelle ist gegeben mit σ N = N, da wir eine Poissonverteilung annehmen. Der Fehler pflanzt sich bei der Auswertung zur Diffusionslänge mit σ N = N ohne + N mit fort. Den bei der Längeneinstellung entstandene Fehler können wir vernachlässigen, da er viel kleiner ist als σ N. Den Detektorfehler beachten wir hier nicht. 7

8 5.2 Relaxationslänge Zur Bestimmung der Relaxationslänge, haben wir folgende Formel benutzt: ln(r 2 N) = r λ + konst Den y-fehler σ y = 1 N haben wir mit Hilfe des Gauss schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes bestimmt. Dabei haben wir, wie oben schon erwähnt, nur den Fehler der Quelle beachtet. Dieser ist jedoch so klein, dass wir ihn nicht im Plot dargestellt haben. Aus der negativen Inversen der Steigung erhalten wir die gesuchte Relaxationslänge λ mit λ = 11, 47 ± 0, 23 cm. 5.3 Diffusionslänge Um die Diffusionslänge L zu bestimmen, haben wir die Messungen mit und ohne Abschirmung kombiniert. Die Flussdiffernz beinhaltet nur noch die Neutronen die wir messen wollten. Der Fehler der Neutronenquelle wird, wie bereits erwähnt, zu σ N = N ohne + N mit. Wir benutzen hier die Gleichung: ln(rφ(r)) = r L + konst Der y-fehler wird zu: N ohne + N mit σ y = (N ohne N mit ) 2 8

9 Hier ist der Fehler deutlicher zu erkennen und deshalb mit in das Schaubild aufgenommen: Aus der negativen Inversen der Steigung unserer Regressionsgraden erhalten wir die gesuchte Diffusionslänge L mit L = 6, 29 ± 2, 16 cm. Bei den Messpunkten bei den Abständen 15,5 cm und 16,5 cm haben wir zwei Punkte, in deren Fehler nicht mehr die Regressionsgerade liegt. Als mögliche Ursache würde eine ungenaue Einstellung des Abstandes Detektor - Quelle in Frage kommen. 6 Fazit Die Messergebnisse zeigen, dass sich zur Lagerung von Neutronenquellen (dieser Stärke) Wasserbehälter gut eignen. Mit der Diffusionslänge kennen wir ungefähr die Strecke, die thermalisierte Neutronen noch zurücklegen, bevor sie absorbiert werden. Diese ist bei Wasser mit L = 6, 29 cm klein genug, damit nur noch wenige Neutronen aus dem im Versuch benutzten Behälter entweichen können. Ebenfalls nimmt der Fluss schon nach λ = 11, 47 cm um ca. 37 % ab. Somit ist der Wasserbehälter mit dem Radius von 50 cm eine geeignete Lagerstätte für diese Neutronenquelle. 9