24 Ausbreitung der Wärme

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1 Ausbreitung der Wärme 2. Wo liegt der Taupunkt für diesen Fall? In der Tabelle findet man ihn bei 11 oe (in der Mitte zwischen 9,4 und 10,7 g1m 3 ). 3. Ein Küchenraum der Abmessungen 2, 50 rnx 2,96 rn x 2,70 m kühlt ich von l8 oe mit cp = 0,65 ab auf 8 C. We1che Was ermenge schlägt sich nieder? Zunäch t erfolgt Abkühlung auf den Taupunkt. Die zugehörige Sättigung menge beträgllaut Tabelle fmaxl = gjm 3, bei 8 C nur noch fmax.2 = 8, 3 gjm 3. Nach (23.6) werden md = Cfmax.l - fmax(2). V = 1,75 gjm 3 20 m 3 = 35 g niedergeschlagen. 24 Ausbreitung der Wärme Die Wärmeenergie kann sich auf folgende Weise ausbreiten: 1. Konvektion: Da erwärmte Flüssigkeiten und Gase eine geringere Dichte als kalte haben, können sich durch den entstehenden Auftrieb Strömungen bilden. Wenn die Erwärmung von unten erfolgt, tritt in geschlossenen Räumen oder Rohrsystemen eine Zirkulation ein. Es strömt also nicht die Wännemenge selbst, sondern das Medium, welches die Energie mit sich führt. 2. Wärmeleitung: Ausbreitung von Wärmeenergie innerhalb eines Körpers; 3. Wärmeübergang: Übertragung von Wärmeenergie bei der Berührung von Körpern verschiedener Temperatur; 4. Wärmestrahlung: Abstrahlung von Wärmeenergie auch durch den leeren Raum. Da für die Wärme trahlung Gesetze gelten, denen alle elektromagnetischen Wellen gehorchen, wird diese nicht hier, sondern erst später (Temperaturstrahlung in 34.2) behandelt Wärmeleitung Es können gute und schlechte Wärmeleiter unterschieden werden. Am besten leiten die MetaJle, schlecht leiten keramische Stoffe, am schlechtesten die Luft. Befinden sich zwei Stellen eines System, das kann ein fester Körper sein oder ein Gasvolumen oder eine Flüssigkeit, auf unterschiedlicher Temperatur, so kommt es zu einem Wärme trom von der wärmeren zur kälteren Stelle. Das System strebt dem thermischen Gleichgewicht zu. Das verlangen der O. und der 2. Hauptsatz der Wärmelehre. Die Wärmeübertragung erfolgt von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines Stoffes mittels Molekülstö Ben. Auch die beweglichen Elektronen der Metalle nehmen arn Wärmetransport teil. Daher die gute Wärmeleitung der Metalle. Betrachtet wird nun die Wärmeleitung durch eine Wand der Dicke I, an deren Außenftächen die Temperaturen tjl und tj2 herrschen (Bild 24.1). Der Quotient <P au der tran portierten Wärmeenergie Q und der Zeit t während der der Transport erfolgt, heißt

2 24.1 Wärmeleitung I x Bild 24.1: Wänneleitung durch eine Wand I ~ ; I Wärmestrom (mittlerer) (24.1) [<P] = W (Watt) Versuche zeigen, daß der Wärmestrom proportional zur (konstanten) Temperaturdifferenz ~l - f}2 und zur Größe Ader bei den Flächen sowie umgekehrt proportional zur Dicke i des Prüflings ist. Es ist demnach Wärmestrom durch einen ebenßächig begrenzten Körper (stationäre Wärmeleitung) (24.2) Der Proportionalitätsfaktor hängt vom vorliegenden Material ab und wird als Wärmeleitfähigkeit)" bezeichnet. Ihre Einheit ergibt ich aus (24.2) zu [<P][i] W m W [)..] = [ß t? HA] = K m2 = m K (Watt je Meter und Kelvin) 1 W / (m K) ist die Leitfähigkeit eines Körpers, wenn ein durch ihn fließender Wärmestrom von 1 W je 1 m Länge und je 1 m 2 Fläche ein Temperaturgefälle von 1 K hervorruft. Wärmeleitfähigkeit in WI (m K) Silber 418,6 Blei 35,0 Holz 0,2 Kupfer 377,8 Beton 1,3 Schlackenwolle 0,06 Aluminium 209 Glas 0,92 Luft bei 0 oe 0,023 Messing 106 Wasser 0,58 Wa serstoff bei oe 0,19 Stahl 41, ,6 Ziegelmauer 0,81

3 Ausbreitung der Wärme Die Wärmeleitfähigkeit ist keine Konstante, sondern hängt von der Temperatur ab. E nun grund ätzlich zwei Fälle zu unterscheiden. 1. Stationäre Wärmeleitung. Hierbei müssen die Temperaturen 01 und 02 an den beiden Endflächen, deren Abstand gleich 1 ist, während des ganzen Vorgangs konstant bleiben, wie es im Bild 24.1 der Fall ist. Es herrscht also zwischen ihnen ein konstantes Temperaturgefälle (' '19-2) /1. So i t es beispielsweise, wenn ein Dampfkessel auf gleicher Innentemperatur gehalten wird und die Temperatur der Außenluft sich ebenfalls nicht ändert. Dann ist auch Gleichung (24.2) anwendbar. 2. Nichtstationäre Wärmeleitung. Ein isoliert gedachter Körper sei an einem Ende auf die Temperatllf '19-2 erhitzt. Das kühlere Ende habe anfangs die Temperatur '19-1. Dann wird sich der Temperaturunterschied infolge der Wärrneleitung im Laufe der Zeit ausgleichen und der ganze Körper einheitliche Temperatur annehmen. Da Temperaturgefrtlleist hierbei weder örtlich noch zeitlich konstant, und die Berechnung wird komplizierter. Maßgebend für die zum Temperaturausgleich benötigte Zeit ist der Quotient a aus der Wärmeleitfahigkeit A und dem Produkt aus der Dichte Q und der spezifischen Wärmekapazität c p. Er heißt ind Temperaturleitfähigkeit (24.3) Ca] = [A] = _W m_ 3 _kg_k_ = Wm 2 [Q][cp] mk kg J J Au (24.3) folgt hiernach für Kupfer Wm 2 Ws (Quadratmeter je Sekunde) a = 377,8 m m 2 = m 2 8, ;- = 0, s s Wie sich 1eicht nachrechnen läßt, ergeben sich dann folgende weitere Werte: Temperaturleitfähigkeit in 10-6 m 2 /8 Blei Luft 0 oe Wasserstoff Wie zu erkennen ist, gleichen sich Temperaturunterscbiede in Ga en trotz der sehr verchiedenen Wärmeleitfälllgkeiten etwa ebenso rasch aus wje in Metallen (ungeachtet der ausgleich fördernden Wirkung der Strömung!). BeispieJ: An der AuBenfläche einer 50 cm dicken Hauswand (Ziegelmauer) von 8 mx 15 m werden 5 oe und an der Innenfläche 12 oe gemessen. Welche Wärmemenge geht während 12 Stunden durch die Wand verloren? ach (24.2) wird mit (24.1) und dem TabeUenwert).. = 0, 81 W j(mk) Q = AAl CUt - ~2) I = 0,81 W 120 m , s (12-5) K = 60 MJ mk 0, 5 m

4 24.2 Wärmeübergang 337 Es muß betont werden, daß die in diesem Beispiel erwähnten Temperaturen an der Oberfläche der Wand bestehen und nicht mit der Zimmer- bzw. Außentemperatur zu verwechseln sind Wärmeübergang Wasser, heiße Verbrennungsabgase, Luft usw., die mit einer festen Wand in Berührung stehen, geben Wärme an deren Oberfläche A ab oder empfangen Wärme von ihr. Die übergehende Wärmemenge Q ist ähnlich wie beim Fall der stationären Wärmeleitung proportional dem Temperaturunterschied tj-l - tj-2 zwischen der Wandoberftäche und dem angrenzenden Medium, der Wandfläche A und der Zeitdauer t des Vorganges. So ist demnach Übergehende Wärmeenergie (24.4) Der Proportionalitätsfaktor heißt Wärmeübergangskoeffizient a. Seine Einheit ergibt sich aus (24.4) zu [Q] J Ws W (Watt je Quadratmeter [al = [A][t][ßtJ-] = m2 K = m2 sk = m2 K und Kelvin) Dabei bereitet die Ermittlung des für den einzelnen Fall geltenden Wärmeübergangskoeffizienten meist große Schwierigkeiten, da er von vielen Faktoren abhängt. Gestalt, Lage und Oberflächenbeschaffenheit der Wand sowie die Art der Strömung sind von au chlaggebendem Einfluß. Für a gibt es umfangreiche Tabellen und viele Hilfsformeln. Wärmeübergangskoeffizienten in WI (m 2 K) Wärmeübergang von: ruhendem Wasser an Wände und Rohre turbulent in Röhren trömendem Wasser Luft an glatte Flächen bei einer Strömungsgeschwindigkeit v bis 5 mls '; v mjs 24.3 Wärmedurchgang Der stationäre (d. h. bei konstanten Temperaturen stattfindende) Übergang von Wärme zwischen zwei Medien durch eine trennende Wand vollzieht sich in drei Schritten (Bild 24.2). a) Wärmeübergang vom Medium 1 an die linke Fläche: b) Dieselbe Wärmemenge wird durch die Wand geleitet: Q = ).. At (ljl - tj-1i) l

5 Au breitung der Wärme Bild 24.2: Wärmedurchgang c) Q geht chließlich von der rechten Fläche in da Medium 2 über: 1 1 I Werden die e drei Gleichungen nach -, - und - aufgelöst und addiert, so entsteht Ql Q2 A Durchgehende Wärmeenergie (24.5) Der Proportionalitätsfaktor heißt Wärmedurchgangskoeffizient k; er hat natürlich die gleiche Einheit wie Q. Auf Grund der skizzierten Herleitung ergibt sich k für eine einschichtige ebene Wand aus I -=-+-+k Ql Q2 A Wärmedurchgangskoeffizient in W/ (m 2 K) Ziegel stei nmauer Dicke ]2 cm 25 cm k 2,78 2,0 Fen ter einfach k 5,8 38 cm 51cm 64cm 1,5 1,3 1,1 Doppelfenster 2,7 Für mehrschichtige ebene Wände gilt (z ist die Anzahl der Schichten)

6 Leitung des elektrischen Stromes in festen Körpern bei gleicher Volumenkonzentration der Teilchen dafür eine Temperatur von fast K haben! Das Elektronengas wird wegen seines anderen Verhaltens als entartet bezeichnet. +1 t \ \ 1: '< 0) T>OK r.ok' E- +1 t ~ b) T>oKi v T-OK ~. Er: E- Bild 43.7: a) MAxwELL-Verteilung, b) FERMI Verteilung bei 0 K und bei Zimmertemperatur Zur Beschreibung des Verhaltens großer Tei1chenmengen sind statistische Gesetze nötig. Für die Besetzung der Energiezustände von Gasmolekülen des idealen Gases gilt die MAXWELL-Verteilungsfunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Energiezustand E bei der Temperatur T besetzt ist, und lautet Maxwell-Verteilungsfunktion für das ideale Gas (43.14) Dies ist eine fallende Exponentialfunktion (Bild 43.7) mit dem Anfangswert 1 für E = 0 (k ist die BOLTZMANN-Konstante). Für die Besetzung der Energiezustände durch Elektronen im Elektronengas gilt die Quantenstatistik nach FERMI und DIRAC. Für Teilchen mit dem Spin ~ (und dazu gehören die Elektronen) gilt die Verteilungsfunktion fp = 1 Eii F 1 + e. Fermi-Verteilungsfunktion für das Elektronengas (43.15) Bei T = K erkennt man zwei Sonderfälle (Bild 43.7b): Für E < Ep (FERMI-Energie) folgt fp = 1, und für E > Ep wird fp = O! Dies bedeudeut: Alle Elektronen füllen den Potentialtopf gestapelt bis zur FERMI-Energie, oberhalb EF ist der Topf leer. Bei höheren Temperaturen beginnt sich die bei Ep liegende Stufe in der Funktion immer mehr abzurunden. Beachtet man, daß Ep einige Elektronvolt beträgt, die Energie infolge Wärmebewegung bei Zimmertemperatur nur durch kt ~ 0,026 ev bestimmt wird, ist die Abweichung von der Stufenkurve hier noch recht gering. Erst weit über der Entartungstempartur (TE = EF/ k, also weit über K) geht die FERMI- in die MAXWELL-Verteilung über. Dann kann EF gegenüber E und 1 gegenüber ece-ep)/ckt) vernachlässigt werden Thermoelektrische Erscheinungen Werden die bei den Enden eines Metallstabes auf unterschiedliche Temperatur gebracht, o tritt innerhalb des Metalls eine Ver chiebung der Elektronenkonzentration auf. Bei höherer Temperatur beginnt eine zunehmende Anzahl von Elektronen das FERMI-Niveau zu überschreiten (Bild 43.6) und zugleich nach der Seite tieferer Temperatur des Leiters zu diffundieren. Zwischen den Stabenden entsteht eine elektrische Spannung. Außerdem neh men die FERMI-Niveaus der Metalle mit steigender Temperatur in verschiedenem Maße

7 43.7 Thermoelektri che Erscheinungen 601 geringfügig ab. Beide Er cheinungen wirken beim thermoelektrischen (SEEBEcK-)Effekt zu ammen. Ein Thermoelement besteht aus zwei verschiedenen Metalldrähten, die an beiden Enden miteinander fe t erbunden sind (gelötet, geschweißt). An der Berührung teile gehen Elektronen de Metalls mit der größeren FERMI-Energie (geringere Austrittsarbeit) in das Metall mit der kleineren FERMI-Energie über. Die entstehende Berührungsspannung i t temperaturabhängig. Nun hat ein Thermoelement zwei Berührungsstellen. I t die Temperaturdifferenz zwi chen diesen gleich null, gleichen sich die Kontaktspannungen au. Be teht zwi chen beiden Lötstellen ein Temperaturunterschied (Bild 43.8) entsteht eine Thermo pannung Uth. Größe und Richtung der Thermospannung für 100 K Temperaturunter chied der bei den Lötstellen ersieht man aus der thermoelektrischen Spannung reihe: Thermoelektrische Spannungsreihe U th in m V, bezogen auf Platin (Temperatur der Löt teilen 0 C und 100 C) Sb Fe Cu Ag Al Pt Ni Konstantan Bi ,75 0,7 +0,4 0-1, T, warm thermoefekfn'sch positiv T 2 < T, kalt ~:::~ 2 Bild 43.8: Stromrichtung im Thermoelement Bild43.9: Schaltbild eine Thermoelement: 1 Hauptlöt teue, 2 NebenJöt teile An der kälteren Lötstelle ist jedes in dieser Reihe links stehende Metall gegenüber einem rechts davon stehenden thermoelektrisch positiv. Die Thermo pannung eine Thermoelementes kann in sehr guter Näherung durch folgende Gleichung be ehrieben werden, in der D.t die Temperaturdifferenz zwischen den Löt tellen, a und b Materialwerte für die gewählte Metallkombination sind: I Uth = a!:>t + b(!:>t)21 Thermospannung (43.16) Bild 43.9 zeigt das Schaltbild für ein Thermoelement zur Temperaturme sung. AI Metallkombinationen werden bevorzugt Eisen-Konstantan (100 Fe - 45 Ni 55 Cu) Kupfer Konstantan (100 Cu - 45 Ni 55 Cu), sowie Platin-PlatinlRodium (100 Pt - 10 Rh 90 Pt) einge etzt. Die Werkstoffe für Thermoelemente und ihre phy ikali ehen Eigenschaften ind genormt. Die Tabelle enthält die Thermospannungen für die genannten Thermopaare. Thermospannungen in mv (Temperatur der Nebenlöt teile 0 C) Temperatur der Hauptlötstelle in C Eisen-Kon tantan -4,75 5,37 10,59 16,56 22,16 33, Kupfer-Konstantan -3, ,90 21, Platin-Platin/Rhodium 0,645 1,44 2,32 3,26 5,