Die Allgemeine. Relativitätstheorie. Manfred Ender

Transkript

1 Die Allgemeine Relativitätstheorie Manfred Ender

2 Stand: ii

3 Für Hendrik, Kathrin und Michael iii

4 iv

5 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Notation 3 I Gravitation als Raumzeit 7 1 Kurze Skizze der Dierential-Geometrie Dierenzierbare Mannigfaltigkeiten Vektoren in einer Mannigfaltigkeit Der duale Vektorraum Tensoren und Tensorfelder Der Metriktensor Volumenintegrale Die kovariante Ableitung Torsion und Krümmung Der Palatini-Formalimus Die Prinzipien der ART Der Levi-Civita-Zusammenhang Konsequenzen der Metrikkompatibilität Die Einstein-Gleichung Das relativistische Punktteilchen Der Energie-Impulsdichte Tensor Dieomorphismus-Invarianz Der Vielbein-Formalismus Elementarteilchen in der SRT Lokale Minkowski-Basen v

6 3.3 Der nicht-metrikkompatible Zusammenhang Der Palatini-Vielbein Formalismus Die kovariante Ableitung von Spinorfeldern Spinorfelder und Metrikkompatibilität Der Energie-Impulsdichte-Tensor Raumzeit mit Torsion Wichtige Beziehungen Der Contorsionstensor Die Einstein-Cartan-Sciama-Kibble Theorie Spinorfelder und Torsion Das Äquivalenzprinzip bei Torsion Ergänzende Bemerkungen Der nicht eingeschränkte Zusammenhang Die Eichinvarianz der Theorie Variation nach dem Zusammenhang II Gravitation als Teilchen Das Äquivalenzprinzip Einführende Betrachtung Konsequenzen der Lorentz-Invarianz Die Ladungserhaltung Das Äquivalenzprinzip Die Vertexfaktoren Exkurs: Spin-s Felder Das Graviton-Feld Die klassischen Eichfelder Der Lagrange-Skalar des Maxwell-Feldes Der Lagrange-Skalar des Graviton-Feldes Die Feldgleichungen des Gravitons Die Einstein-Theorie für schwache Felder Die Graviton-Materie Kopplung Die Selbstkopplung des Graviton-Feldes vi

7 III Gravitation als lokale Eichtheorie Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz Abelsche Eichtheorie Die Spinor-Elektrodynamik Die skalare Elektrodynamik Nicht-abelsche Eichtheorie Der Lagrange-Skalar der Eichfelder Die Poincare-Eichtheorie Die Poincare-Transformationen Globale Poincare-Transformationen Lokale Poincare-Transformationen Das Translations-Eichfeld Das Lorentz-Eichfeld Der Lagrange-Skalar der Eichfelder Geometrische Interpretation IV Teleparallele Gravitation Teleparallele Gravitation als Raumzeit Der Weitzenböck-Zusammenhang Der Weitzenböck-Raum Das relativistische Punktteilchen Der Newton'sche Grenzfall Minimale Kopplung zu Teilchen mit Spin Der Lagrange-Skalar der Gravitationskraft Die spezielle Fock-Ivanenko Ableitung Der Energie-Impulsdichte-Tensor Teleparallele Gravitation als Eichtheorie Die Eichtransformation Das Wirkungsintegral der Materie Das Translations-Eichfeld Lokale Lorentz-Transformationen Teilchen mit Spin Der Lagrange-Skalar des Eichfeldes Geometrische Interpretation vii

8 V Shape Dynamics Der Hamilton-Formalismus Die Funktionalableitung Feldtheorie im Hamilton-Formalismus Kanonische Transformationen Systeme mit Nebenbedingungen Eichtransformationen Beispiel: Das Maxwell-Feld ADM-Formulierung der ART Das synchronisierte Bezugssystem Die ADM-Variablen Der Hamilton-Formalismus Algebra der Nebenbedingungen Die Eichtransformationen Die CMC-Eichung Shape Dynamics Der erweiterte Phasenraum Transformation der kanonischen Felder Transformation der Nebenbedingungen ART/SD: Die verbindende Theorie ART als spezielle Eichung SD als spezielle Eichung Eichfreiheitsgrade der SD Anmerkungen zur Interpretation der SD VI Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Gravitation als Raumzeit Gravitation als Teilchentheorie Gravitation als lokale Eichtheorie Teleparallele Gravitation Zwischenbemerkung Shape Dynamics viii

9 16 Ausblick Warum Quanten-Gravitation? Kovariante-Quanten-Gravitation Schleifen-Quanten-Gravitation Die String-Theorie Ergänzende Bemerkungen Literaturverzeichnis 313 ix

10 x

11 1 Vorwort Das Standardmodell der Teilchenphysik und die Allgemeine Relativitätstheorie sind die zwei fundamentalen physikalischen Theorien, die im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt worden sind. Beide Theorien sind experimentell mit hoher Genauigkeit bestätigt worden. Konzeptionell sind die beiden Theorien jedoch nicht vereinbar und es ist bisher nicht gelungen, die beiden Theorien als Grenzfall einer umfassenden, vereinigten Theorie darzustellen. In meinen zwei vorherigen Büchern habe ich das Standardmodell der Teilchenphysik und die Interpretation der Quantenmechanik einheitlich dargestellt. In diesem Text sollen die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie so weit aufgearbeitet werden, dass man sich danach mit den Ideen der Quantengravitation auseinander setzten kann. Ziel ist es nicht, die Rechenmethoden oder die Besonderheiten der Lösungen der Allgemeinen Relativitätstheorie darzustellen. Diese nden sich in allen gängigen Lehrbüchern. Vielmehr sollen die verschiedenen konzeptionellen Ansätze, in welche die Grundgleichungen der Theorie eingebettet sind, in der notwendigen Tiefe diskutiert werden. Der Text ist keine didaktische Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie, sondern beschränkt sich, so wie meine beiden anderen Bücher, auf eine strae Darstellung der relevanten formalen Aspekte. In den einzelnen Kapiteln sind die Rechnungen wieder relativ detailliert ausgeführt, so dass für den interessierten Leser die einzelnen Schritte leicht nachvollzogen werden können. In diesem Sinne ist der Text vollständig. November 2015 Manfred Ender

12 2 VORWORT

13 3 Notation Summenkonvention In diesem Text wird durchgehend die Summenkonvention von Einstein verwendet. Ist V µ die Komponente eines Vektors und ω µ die Komponente eines dualen Vektors, dann ist V µ ω µ eine abgekürzte Schreibweise für die Summenbildung der Produkte der entsprechenden Komponenten V µ ω µ def = µ V µ ω µ. Vektoren und duale Vektoren Die Darstellung eines Vektors macht folgendes typisches Beispiel V m = V µ m e µ deutlich. Der geklammerte lateinische Index m ist ein reiner Aufzählungsindex beim Vorliegen von mehreren Vektoren. Die Komponenten V µ m des Vektors in einer Basis e µ werden durch griechische Indizes gekennzeichnet. Der zu den Basisvektoren gehörige Index ist geklammert, da die Basis aus Vektoren besteht und um sie von den Komponenten der dualen Vektoren deutlich zu unterscheiden, da diese ganz analog durch ω m = ω m µ θ µ dargestellt werden. Vektoren und duale Vektoren sind durch die Positionierung der Indizes eindeutig unterscheidbar.

14 4 NOTATION Koordinatentransformationen Die Gröÿen nach einer Koordinatentransformation werden durch einen Strich an den Indizes gekennzeichnet g µ ν = xµ x ν x µ x ν gµν. Diese Schreibweise trägt erheblich zur Lesbarkeit bei, da hierdurch die notwendige Anzahl der verschiedenen Indizes bei der Darstellung der Transformation erheblich reduziert werden kann. Vorzeichenkonvention In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden eine ganze Reihe verschiedener Konventionen für die Vorzeichen verwendet. Da dies zu erheblicher Konfusion führen kann, ist es hilfreich, die Konventionen für die Vorzeichen detaillierter zu diskutieren. Die Vorzeichen für den Krümmungstensor und den Ricci-Tensor können im Prinzip frei gewählt werden R ρ σµν = z Γ µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ Ric σν = z R R ρ σρν. Damit wird aber das Vorzeichen in der Einstein-Gleichung festgelegt Ric µν 1 2 g µν R = z E κ2 2 S µν z E = z Γ z R. Für die Signatur der Metrik hat man die zwei Möglichkeiten z g = 1 = η µν = diag 1, +1, +1, +1 z g = +1 = η µν = diag +1, 1, 1, 1. Der Ricci-Tensor ist unabhängig von dem Vorzeichen der Signatur der Metrik. Deshalb wird auch der Energie-Impulsdichte-Tensor der Materie unabhängig von dem Vorzeichen der Signatur der Metrik einheitlich mit S 00 > 0 S 00 > 0

15 NOTATION 5 deniert, was zu der Darstellung S µν = +z g S µν = z g 2 g δw M δg µν 2 g δw M δg µν führt. Dies wiederum bedeutet für den Lagrange-Skalar des Raumes L Palatini = z P 1 κ 2 Rg, Γ mit z P = z g z E, da sich die Einstein-Gleichung aus den Lagrange-Skalaren mit dem richtigen Vorzeichen ergeben muss. In diesem Text wird durchgehend die Festlegung z Γ = z R = +1 = z E = +1 verwendet. In den ersten Teilen dieses Textes wird die bei den Teilchenphysikern übliche Konvention z g = +1 = z P = 1 benutzt, während im Teil Shape Dynamics zu der bei den Relativisten üblichen Konvention übergegangen wird. Einheiten z g = 1 = z P = +1 Um Formeln so übersichtlich wie möglich zu halten, wird in diesem Text mit den natürlichen Einheiten der Elementarteilchenphysik c = = ɛ 0 = 1 gearbeitet. Die Newtonsche Gravitationskonstante in natürlichen Einheiten kann man aus der Beziehung G = m 3 kg s 2 = c 5 GeV ablesen. In einzelnen Zahlenbeispielen wird allerdings auf SI-Einheiten übergegangen, damit diese anschaulicher werden.

16 6 NOTATION

17 Teil I Gravitation als Raumzeit

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19 9 Kapitel 1 Kurze Skizze der Dierential-Geometrie Bei der Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Konzepte aus der Dierentialgeometrie verwendet. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Grundlagen hierfür kurz skizziert. Eine empfehlenswerte didaktische Darstellung ndet sich in dem Buch von Sean Carroll [Car04]. Zur Vertiefung ist es sinnvoll auch die Bücher [Fra99] und [Nak03] hinzuzuziehen. 1.1 Dierenzierbare Mannigfaltigkeiten Die dierenzierbare Mannigfaltigkeit ist eines der fundamentalen Konzepte in der Mathematik und Physik. In diesem Text werden nur beliebig häug stetig dierenzierbare, sogenannte C -dieomorphe Mannigfaltigkeiten betrachtet, ohne dies jeweils explizit hervorzuheben. Die Dierentialgeometrie erfordert die Existenz eines Koordinatensystems. Denition: M sei eine Menge. Eine n-dimensionale Karte von M ist ein Paar U, ϕ, wobei U eine Teilmenge von M ist und ϕ eine eineindeutige Abbildung von U auf eine oene Teilmenge vom R n ist. Ein Atlas A ist eine Familie von Karten U α, ϕ α mit den nachstehenden Eigenschaften: Die Karten überdecken die Menge vollständig: M = α U α Für U α U β ist die im Überlappungsbereich denierte Abbildung ϕ β ϕ 1 α eineindeutig und beliebig oft stetig dierenzierbar siehe hierzu Abbildung 1.1; d.h. die Karten sind paarweise kompatibel.

20 10 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE Ein maximaler Atlas ist ein Atlas, der die Gesamtheit aller möglichen kompatiblen Karten enthält. Abbildung 1.1: Zur Denition einer dierenzierbaren Mannigfaltigkeit Stetigkeit lässt sich über den Begri der oenen Menge charakterisieren. Eine Abbildung U = ϕu ist genau dann stetig, wenn das vollständige Urbild U = ϕ 1 U einer oenen Teilmenge U R n wieder oen ist. Dies führt zu der Denition: Ein topologischer Raum [ M, T ] ist eine Menge M und ein System T von Teilmengen von M mit M T und T Für eine beliebige Anzahl von Teilmengen U α T gilt α U α T Für jede endliche Anzahl von Teilmengen U α T gilt α U α T Das System T heiÿt Topologie, seine Bestandteile heiÿen oene Mengen. Die Topologie erlaubt es mathematisch den Konvergenzbegri festzulegen. Die Dierenzierbarkeit erfordert die Eindeutigkeit der dabei auftretenden Grenzwerte. Dies erzwingt man mathematisch durch das

21 1.2. VEKTOREN IN EINER MANNIGFALTIGKEIT 11 Trennungsaxiom: Ein topologischer Raum [ M, T ] ist ein Hausdor-Raum, wenn zu zwei verschiedenen Elementen P, Q M immer disjunkte Teilmengen U α, U β T mit P U α und Q U β existieren. Hiermit sind die wichtigsten Elemente zur Denition einer dierenzierbaren Mannigfaltigkeit vorhanden. Zur mathematisch wirklich exakten Denition fehlt eigentlich noch ein Abzählbarkeitsaxiom. Dieses ist hier aber zum Verständnis nicht weiter wichtig. Denition: Eine beliebig häug stetig dierenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein Hausdor-Raum [ M, T ] dessen Topologie T = { U α Uα, ϕ α A m } durch einen maximalen Atlas generiert wird. Eine Mannigfaltigkeit ist anschaulich also eine Menge, die lokal wie ein R n aussieht und mit verschiedenen, beliebig oft stetig dierenzierbaren kompatiblen Koordinatenkarten ausgestattet ist. 1.2 Vektoren in einer Mannigfaltigkeit Es sei FM die Menge aller reellwertigen Funktionen von der Mannigfaltigkeit in den eindimensionalen Raum f : M R, für die für jede Karte ϕ die Funktion f ϕ 1 beliebig häug stetig dierenzierbar ist. Dann deniert jede Kurve γλ : R M durch einen Punkt P der Mannigfaltigkeit eine Abbildung der Funktion f auf die Richtungsableitung f γλ dz P dλ Jeder Funktion f wird auf diese Weise eine Richtungsableitung in dem Punkt P der Mannigfaltigkeit zugeordnet. Diese Zuordnung ist unabhängig von der Wahl einer speziellen Koordinatenkarte. Mit einer speziellen Koordinatenkarte siehe Abbildung 1.2 wird dz dλ = d f γ dλ = d [ f ϕ 1 ϕ γ ] = dλ dϕ γµ dλ = dxµ dλ f ϕ 1 ϕ γ µ f ϕ 1 x µ

22 12 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE λ z Abbildung 1.2: Übersicht über die verschiedenen verwendeten Abbildungen und Karten Führt man die von der Kurve γλ abhängigen Komponenten V µ = dxµ P dλ ein, kann man dies entsprechend d dλ f γ = V µ f ϕ x µ darstellen. Zur kürzeren Schreibweise wird dabei oftmals vereinfachend d dλ f statt d f γ dλ f ϕ 1 µ f statt x µ geschrieben. Diese Schreibweise ist zwar ökonomischer, kann aber auch leicht falsch interpretiert werden.

23 1.2. VEKTOREN IN EINER MANNIGFALTIGKEIT 13 Da die Komponenten V µ nur von der gewählten Koordinatenkarte abhängen, aber unabhängig von der Wahl einer speziellen Abbildung f sind, schreibt man statt der vollständigen Richtungsableitung in einem Punkt P einfach d dλ = V µ µ Jede Richtungsableitung kann danach in eine Summe von Produkten aus reellen Zahlen und partiellen Ableitungen zerlegt werden. Dies verdeutlicht, dass man d dλ als einen Tangentenvektor V im Punkt P der Mannigfaltigkeit mit V µ als Vektorkomponenten sowie µ als Basisvektoren e µ einer Koordinatenbasis der speziellen Karte auassen kann. In einer anderen Koordinatenkarte x µ besagt die Kettenregel, dass µ = xµ x µ µ gilt. Da die Tangentenvektoren unabhängig von den Karten sind, folgt aus die Transformationsregel V µ µ = V = V µ µ xµ µ = V µ x µ V µ = xµ x µ V µ für die Vektorkomponenten. Mit z = f ϕ 1 x µ und x = ϕp ist df γ dλ P = V µ z x µ P = d dτ z xµ + τv µ τ=0 Dies verdeutlicht noch einmal, dass eine Richtungsableitung in Richtung des Vektors V vorliegt. Entsprechend der Herleitung ist der Vektor V natürlich eine Funktion der Kurve γλ. Da die Kurve selbst aber nicht von grundsätzlicher Bedeutung ist, kann man, wie dies häug in der Literatur erfolgt,

24 14 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE die Richtungsableitung in einer Koordinatenbasis auch direkt durch die Beziehung denieren. Einen Vektor V kann man deshalb als Abbildung einer Funktion f f V V f = V µ µ f ϕ auf ihre Richtungsableitung im Punkt P der Mannigfaltigkeit auassen. Man beachte, dass für die Abbildung V f und den Vektor V = V µ µ das gleiche Symbol verwendet wird. In der Koordinatenbasis wird nun für einen Punkt P M und zwei Funktionen f 1, f 2 F sowie beliebigen reellen Zahlen V αf 1 + βf 2 = V µ µ αf1 + βf 2 ϕ 1 sowie = V µ µ α f 1 ϕ 1 + β f 2 ϕ 1 = αv µ µ f1 ϕ 1 + βv µ µ f2 ϕ 1 = αv f 1 + βv f V f 1 f 2 = V µ µ f1 f 2 ϕ 1 = V µ µ f1 ϕ 1 f 2 ϕ 1 = V µ µ f1 ϕ 1 f 2 + f 1 V µ µ f2 ϕ 1 = V f 1 f2 + f 1 V f Damit kann man die Tangentenvektoren V und den zugehörigen Tangentialraum T p M unabhängig von einer Koordinatenbasis als Abbildung einführen, die die beiden vorstehenden Beziehungen erfüllt. Dies führt zu der Denition: Es sei P M. Eine Abbildung V : FM R mit den Eigenschaften V αf 1 + βf 2 = αv f1 + βv f V f 1 f 2 = V f 1 f2 + f 1 V f heiÿt Tangentenvektor Tangentialvektor, Vektor, kontravarianter Vektor. Die Menge aller Tangentenvektoren zu einem festen Punkt P M ist der Tangentialraum T p M im Punkt P der Mannigfaltigkeit M. Das Tangentialbündel ist die disjunkte Vereinigung aller dieser Tangentialräume: T M = { } T p M P M

25 1.3. DER DUALE VEKTORRAUM Der duale Vektorraum Jedem Vektorraum lässt sich ein dualer Vektorraum zuordnen. Ist T p M der Tangentialraum in einem Punkt P einer Mannigfaltigkeit, dann wird der duale Vektorraum als Kotangentialraum T p M bezeichnet. Der Kotangentialraum wird durch alle Abbildungen ω : V R von Vektoren V des Tangentialraumes auf den eindimensionalen Raum R gebildet, die linear sind; d.h. für die mit c 1, c 2 R und ω, η T p M sowie V, W T p M ωc 1 V + c 2 W = c 1 ωv + c 2 ωw c 1 ω + c 2 ηv = c 1 ωv + c 2 ηv gilt. Aus diesen Beziehungen sieht man unmittelbar, dass der Kotangentialraum ein Vektorraum ist. Die Vektoren des Kotangentialraumes werden duale Vektoren oder kovariante Vektoren genannt. Sind θ µ ein Satz von Basisvektoren im dualen Vektorraum, dann werden die Komponenten eines dualen Vektors mit tief gesetzten Indizes versehen ω = ω µ θ µ Ordnet man den Basisvektoren die Abbildungsvorschrift θ µ ν def = δ µ ν zu, ist die Wirkung von dualen Vektoren auf Vektoren eindeutig festgelegt. In Komponentenschreibweise wird nämlich ωv = ω µ θ µ V ν ν = ω µ V ν θ µ ν = ω µ V ν δ ν µ = ω µ V µ R Deniert man nun die Wirkung eines Vektors auf einen dualen Vektor durch V ω def = ωv, so sieht man, dass Vektoren als lineare Abbildungen von dualen Vektoren aufgefasst werden können und deshalb der duale Vektorraum eines dualen Vektorraumes wieder der ursprüngliche Vektorraum Tp M = T p M ist.

26 16 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE Bei einer Koordinatentransformation wird θ µ ν = δ ν µ = δ µ ν = θµ ν = θ µ x ν ν x ν = xν θ µ ν, x ν woraus für die Basisvektoren des dualen Vektorraumes aus dem Fall ν = µ das Transformationsverhalten θ µ = xµ θ µ x µ und wegen ω = ω für die Komponenten eines dualen Vektors weiter ω µ = xµ x µ ω µ folgt. Als Konsequenz ist ωv = V ω = ω µ V µ unabhängig von der speziellen Koordinatenkarte, in der die Abbildung ausgewertet wird. Ist f eine Funktion von einer Mannigfaltigkeit in den eindimensionalen Raum f : M R, dann ist der Gradient das Dierential, die äuÿere Ableitung df im Punkt P M für V T p M die durch dfv def = V f denierte lineare Abbildung. Als lineare Abbildung über dem Tangentialraum ist der Gradient ein dualer Vektor. Dies ist leicht in der Koordinatendarstellung einzusehen, denn wegen muss oenbar V f = V µ µ f = µ f V ν θ µ ν = µ f θ µ V df = µ f θ µ sein. Ist nun U, ϕ eine Koordinatenkarte und schreibt man mit P U M ϕp = ϕ 1 P,..., ϕ µ P,..., ϕ n P ϕ µ P = x µ, so sieht man, dass die ϕ µ Funktionen über den Teilbereich U der Mannigfaltigkeit sind. Für den Gradient einer solchen Koordinatenfunktion ergibt sich dϕ µ P = ϕµ x ν P θν = xµ x ν θν = θ µ

27 1.4. TENSOREN UND TENSORFELDER 17 Die Gradienten der Koordinatenfunktionen bilden somit eine Basis des dualen Vektorraumes. Wegen ϕ µ P = x µ ist es üblich einfach dx µ abkürzend für dϕ µ P zu schreiben. Dies führt für einen dualen Vektor zu der sehr einprägsamen Darstellung ω = ω µ dx µ mit dx µ ν = ν x µ = δ µ ν Man muss sich bei dieser Darstellung aber verdeutlichen, dass dx µ für den Gradienten der zugehörigen Koordinatenfunktion steht und darf dies nicht mit einer dierentiellen Gröÿe dx µ man beachte den subtilen Unterschied in der Schreibweise verwechseln. 1.4 Tensoren und Tensorfelder Tensoren sind eine Verallgemeinerung von Vektoren und dualen Vektoren. Eine k, l-tensor T ist eine multilineare Abbildung von k kovarianten Vektoren und l kontravarianten Vektoren in den eindimensionalen Raum: T : Tp M Tp M Tp M Tp M R }{{}}{{} k mal l mal Für einen 1,1-Tensor bedeutet die Multilinearität T c 1 ω + c 2 η, c 3 V + c 4 W = c 1 c 3 T ω, V + c 2 c 3 T η, V + c 1 c 4 T ω, W + c 2 c 4 T η, W Die Menge T p k, l aller k, l-tensoren in einem Punkt P M bildet bei festem k und l somit einen Vektorraum. In diesem Sinne sind dann 1,0-Tensoren kontravariante Vektoren V T p M = T p 1, 0 und 0,1-Tensoren kovariante Vektoren ω T p M = T p 0, 1. Als Sonderfall deniert man T p 0, 0 = R. Führt man ein Tensorprodukt ein, welches einen k, l-tensor T 1 und einen m, n-tensor T 2 in einen k + m, l + n-tensor T = T 1 T 2 überführt T 1 ω 1,..., ω k, V 1,..., V l T 2 ω k+1,..., ω k+m, V l+1,..., V l+n = T ω 1,..., ω k,..., ω k+m, V 1,..., V l,..., V l+n, 1.4.3

28 18 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE so bilden alle Tensoren der Form µ1 µk dx ν1 dx ν l eine Koordinatenbasis des T p k, l-vektorraumes. In der Komponentenschreibweise bedeutet dies bzw. T = T µ1...µ k ν1...ν l µ1 µk dx ν1... dx ν l T µ1...µ k ν1...ν l = T dx µ1,..., dx µ k, ν1,..., νl Die Wirkung eines k, l-tensors auf einen Satz von kovarianten und kontravarianten Vektoren wird damit einfach T ω 1,..., ω k, V 1,..., V l = T µ1...µ k ν1...ν l ω 1 µ 1 ω k µ k V ν1 1 V ν l l und die Komponenten transformieren sich bei Koordinatentransformationen entsprechend T µ 1...µ k ν 1...ν l = xµ 1 x µ1 xµ k x µ k x ν1 x ν 1 xν l T µ1...µ k ν1...ν x µ l l Aus Tensoren können durch die sogenannte Überschiebung neue Tensoren abgeleitet werden. Sind beispielsweise T µρ σ und S σ ρν Komponenten von zwei Tensoren T und S, dann sind die Gröÿen L µ ν = T µρ σs σ ρν die Komponenten eines weiteren Tensors L. Dies ist durch Betrachtung des Transformationsverhaltens der Tensorkomponenten bei Koordinatentransformationen unmittelbar einzusehen. Die Überschiebung δ σ ρ T µρ σν = T µρ ρν mit dem Kronecker-Tensor δ µ ν = { 1 für µ = ν 0 für µ ν

29 1.5. DER METRIKTENSOR 19 wird Kontraktion genannt. Der Kronecker-Tensor ist der einzige Tensor, dessen Komponenten bei beliebigen Koordinatentransformationen konstant sind: x µ x µ x ν x ν δ ν µ = xµ x µ x µ x ν = xµ = δ µ x ν ν Für das Folgende ist noch der Begri des Tensorfeldes wichtig. Denition: Ein k, l-tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt P M einer Mannigfaltigkeit genau einen k, l-tensor T P T p k, l zuordnet. Ein Tensorfeld ist beliebig oft dierenzierbar, wenn dies mit jeder Koordinatenkarte U, ϕ für die Komponenten T µ1...µ k ν1...ν l x = T P µ1...µ k ν1...ν l mit x = ϕp und P U zutrit. 0,0-Tensorfelder sind dann mit den Funktionen f FM über einer Mannigfaltigkeit identisch und werden auch Skalarfelder genannt. 1.5 Der Metriktensor Denition: Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit Mg ist eine Mannigfaltigkeit, die mit einer Metrik G ausgestattet ist. Eine Metrik ein Fundamentaltensor G p ist ein zugeordnetes, beliebig oft stetig dierenzierbares 0,2-Tensorfeld, für das mit den Vektoren V, W T p M die auf den Tangentialräumen durch G p denierte Bilinearform symmetrisch und überall nicht ausgeartet ist und damit in jedem Punkt P M die Axiome G p V, W = G p V, W FM V : G p V, W = 0 = W = erfüllt. Ein Metriktensor deniert auf diese Weise ein Skalarprodukt in den Tangentialräumen. In einer Koordinatenkarte besitzt der Metriktensor als 0,2- Tensorfeld die Darstellung G p = g µν x dx µ dx ν mit x = ϕp Aus Gründen der einfacheren Schreibweise wird statt g µν x im weiterer Verlauf meistens einfach g µν geschrieben, ohne die Abhängigkeit von dem betrachteten Punkt explizit zu machen. Dies bedeutet G p µ, ν = g ρσ dx ρ µ dx σ ν = gρσ δ ρ µδ σ ν = g µν 1.5.4

30 20 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE und, da die Bilinearform überall nicht ausgeartet ist, existiert die zur Koezientenmatrix g µν inverse Matrix g µν def = g µν 1 g µν g νρ = δ µ ρ, die zu dem inversen Metriktensor G 1 p = g µν µ ν führt. Das korrekte Transformationsverhalten der kontravarianten Komponenten g µν ergibt sich aus da die Invertierung dieser Beziehung liefert. Der Metriktensor erlaubt es, durch einen Isomorphismus g µ ν x = xµ x ν g µν x, x µ x ν g µ ν x x ν = xµ x µ x ν gµν x G p V, W = G p V, W = ω V W T p M G T p M zwischen dem Tangentialraum und dem Kotangentialraum in einem Punkt P zu denieren. Ist in der Komponentendarstellung der Vektor V = V µ µ, so wird für den zugeordneten dualen Vektor oftmals die Darstellung ω V = V µ dx µ gewählt, so dass sich die Koezienten in den beiden Darstellungen lediglich durch die Stellung ihrer Indizes unterscheiden. Die V µ werden dann als kovariante Komponenten des Vektors obwohl sie gar nicht zum Vektor, sondern zum dualen Vektor gehören bezeichnet. Nun ist G p, V = g µν dx µ dx ν V ρ ρ = g µν dx µ V ρ dx ν ρ = g µν dx µ V ρ δρ ν = g µν V ν dx µ,

31 1.5. DER METRIKTENSOR 21 was durch Vergleich mit zu der Beziehung zwischen den kovarianten und den kontravarianten Komponenten führt. Weiter wird V µ = g µν g νρ V ρ V µ = g µν V ν = g µν g νρ V ρ = g µν V ν Da die Metrik und die inverse Metrik Tensoren sind, können mit ihrer Hilfe in Tensoren Indizes hoch bzw. herunter gezogen werden, ohne den Tensorcharakter zu stören. Für das Skalarprodukt zweier Vektoren erhält man auf diese Weise die Darstellungen V W = G p V, W = g µν dx µ V ρ ρ dx ν W σ σ = g µν V ρ W σ dx µ ρ dx ν σ = g µν V µ W ν = V µ W µ Eine pseudo-riemannsche Metrik geht in eine Riemannsche Metrik über, wenn sie positiv denit ist, d.h. zusätzlich die Bedingungen G p V, V 0 für alle V T p M G p V, V = 0 = V = erfüllt. Da die Metrik ein Tensorfeld ist, kann man dann unabhängig von einer Koordinatenkarte mit dem Linienelement ds 2 = G pλ γ λ dλ, γ λ dλ entlang der Kurve γλ : R M das Integralmaÿ s = G pλ γ λ, γ λ dλ denieren, wobei der Tangentenvektor im Punkt P = γλ an die Kurve mit γ λ bezeichnet wurde. In der Koordinatendarstellung mit γ λ = dxµ dλ P µ

32 22 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE ergibt sich dann das Linienelement zu dx ds 2 µ = G pλ dλ P dλ µ, dxν dλ P dλ ν dx = g ρσ dx ρ µ dx dλ P dλ µ dx σ ν dλ P dλ ν dx µ = g ρσ dλ P dλ dx ρ dx ν µ dλ P dλ dx σ ν = g ρσ δµδ ρ ν σ dx µ dxν P dλ P dλ dλ dλ = g µν dx µ dx ν Die vorstehenden Ableitung macht eine subtile Besonderheit in der Schreibweise deutlich. Während dx µ zur Basis des dualen Vektorraum T p M gehört, ist dx µ = dxµ P dλ dλ die Komponente einer kleinen Verschiebung entlang der Kurve in der Mannigfaltigkeit und ds 2 ist als Linienelement eine reelle Zahl und nicht gleich dem Metriktensor. Jeder nicht entartete Metriktensor kann in einem Punkt P a M durch eine Koordinatentransformation immer in die kanonische Form G p a = g µ ν x a dx µ dx ν mit x a = ϕ P a mit den speziellen Komponenten g µ ν x a = diag+1,..., +1, 1,..., 1, 0,..., gebracht werden, wobei diag für eine Diagonalmatrix mit entsprechenden Einträgen steht. Dies kann man wie folgt einsehen. Führt man ausgehend von einem beliebigen Koordinatensystem x µ die lineare Koordinatentransformation x µ = Q µ µ x µ = xµ x µ = Qµ µ aus, so ergibt sich für diesen Fall aus der Beziehung die Matrixgleichung gµν = Q gµ ν Q T

33 1.6. VOLUMENINTEGRALE 23 Nach dem Satz von Sylvester über Bilinearformen M = Q M Q T kann man nun immer eine Matrix Q nden, so dass für eine beliebige, nicht ausgeartete Matrix M die Matrix M die kanonische Form besitzt. Dies bedeutet, dass man in jedem Punkt P a eine Koordinatentransformation Q nden kann, so dass wie gewünscht gµν x a = Q g µ ν x a Q T mit g µ ν x a = η µ ν gilt. In der Umgebung dieses Punktes wird die Metrik dann aber im allgemeinen Fall keine kanonische Form mehr besitzen. Die Bedeutung der kanonischen Form liegt darin begründet, dass die durch sie denierte Signatur unabhängig von der gewählten Koordinatenkarte und dem betrachteten Punkt eine invariante Eigenschaft der Metrik ist. Sind alle Vorzeichen positiv, spricht man von Euklidscher oder Riemannscher Metrik. Entspricht die kanonische Form η µν, spricht man von einer Lorentz-Metrik. 1.6 Volumenintegrale Deniert man in jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Volumenelement dvolp, kann man ein Volumenintegral If, U M = fp dvolp P U einer Funktion über eine Teilmenge U der Mannigfaltigkeit bilden. Das Volumenintegral kann man bei Vorliegen einer Koordinatenkarte U, ϕ mit Hilfe des Volumenintegrals im R n durch die Beziehung If, U M def = x ϕu fϕ 1 x µx d n x konkret fassen. Dabei wurde wie üblich fϕ 1 x für f ϕ 1 x geschrieben. Das Volumenmaÿ µx ist notwendig, da das Volumenintegral unabhängig von einer speziellen Koordinatenkarte sein muss. Sind U, ϕ und U, ϕ zwei Koordinatenkarten über den gleichen Teilbereich U M, dann muss fϕ 1 x µx d n x = fϕ 1 x µ x d n x x ϕu x ϕ U

34 24 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE gelten, um die Konsistenz der Denition des Volumenintegrals sicherzustellen. Wegen ϕ 1 x = P = ϕ 1 x muss das Volumenmaÿ die Beziehung µ x d n x = µx d n x erfüllen. Bezeichnet x die Koordinaten nach einer Koordinatentransformation von x, dann ist bzw. in Matrixschreibweise dx µ = xµ x µ dxµ dx µ = Jx dx µ mit der Jacobi-Matrix Jx = x 1 x 1. x n x 1 x 1 x n. x n x n Nach dem Transformationssatz für Mehrfachintegrale gilt dann d n x = det [ Jx ] d n x, wobei bei gleich orientierten Koordinatensystemen immer det[ J ] > 0 ist. Nun ist für die kontravarianten Komponenten des Metriktensors in Matrixschreibweise g µ ν x = Jx g µν x J T x, woraus durch Bildung der Determinante [ g µ det ν x ] = det [ Jx ] [ g det µν x ] det [ J T x ] folgt. Führt man die Abkürzung = det 2[ Jx ] det[ g µν x ] gx def = det[ gµν x ] = det 1[ g µν x ]

35 1.7. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG 25 ein, so bedeutet das für diese g x = det 2[ Jx ] gx Da die Jacobi-Determinante immer positiv ist, ist in einem Raum mit Lorentz- Metrik die Determinante grundsätzlich negativ. Setzt man nun so ergibt sich wie gewünscht det [ η µν ] < 0 = det [ gµν x ] < µ x d n x = g x d n x µx = gx, = det 1[ Jx ] gx det [ Jx ] d n x = gx d n x = µx d n x Damit wird das Volumenintegral über einer Mannigfaltigkeit schlieÿlich If, U M = fϕ 1 x gx d n x x ϕu 1.7 Die kovariante Ableitung In diesem Abschnitt werden die kovariante Ableitung sowie die kovariante Richtungsableitung eingeführt. Dabei ist es wichtig, sich zu verdeutlichen, dass der Metriktensor in keiner der Denitionen eine Rolle spielt. Sind T und S zwei Tensorfelder, dann ist die kovariante Ableitung eine Abbildung mit den Eigenschaften : Tensorfeldk, l Tensorfeldk, l

36 26 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE Linearität: Leibniz-Regel: T + S = T + S T S = T S + T S Dies erlaubt für ein Vektorfeld V die Darstellung man beachte die besondere Stellung der Indizes V = V ν µ ν dx µ = µ V ν ν dx µ und da die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes ein 1,1-Tensorfeld sein soll, muss das Transformationsverhalten µ V ν = xµ x ν x µ x ν µv ν sein. Die kovariante Ableitung erfüllt die Leibniz-Regel und kann deshalb immer als partielle Ableitung plus einer linearen Transformation geschrieben werden. Man kann die Koezienten des sogenannten anen Zusammenhangs über die Beziehung Achtung: µ steht hier nicht für einen Basisvektor µ V ν = µ V ν + Γ ν µλv λ einführen. Hieraus kann man das Verhalten der Koezienten eines anen Zusammenhanges bei Koordinatentransformationen ableiten. Einerseits wird µ V ν = µ V ν + Γ ν µ λ λ V = xµ x ν x µ x ν µv ν + xµ V ν 2 x ν x µ x µ x ν + x λ Γν µ λ x λ V λ sowie andererseits x µ x ν x µ x ν µv ν = xµ x ν x µ x ν µv ν + xµ x ν x µ x ν Γν µλv λ Da die linken Seiten der beiden Gleichungen gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein und es folgt x µ V λ 2 x ν x µ x µ x λ + x λ Γν µ λ x λ V λ = xµ x ν x µ x ν Γν µλv λ, wobei auf der linken Seite der Summationsindex ν in λ umbenannt wurde. Da diese Beziehung für jeden Vektor V λ gelten muss, ergibt sich nach Multiplikation mit x λ / x λ schlieÿlich Γ ν µ λ = xλ x µ x ν x λ x µ x ν Γν µλ xλ x µ x λ x µ 2 x ν x µ x λ

37 1.7. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG 27 Die Koezienten Γ ν µλ des anen Zusammenhanges transformieren sich nicht wie die Komponenten eines Tensor. Der ane Zusammenhang ist deshalb auch kein Tensor sondern lediglich ein Symbol. Sie sind gerade so deniert, dass die kovariante Ableitung ein Tensor wird. Es folgt aber, dass die Dierenz zweier verschiedener Zusammenhänge Γ a λ µν und Γ c λ µν ein Tensor ist. Man veriziert, dass das Verhalten bei Koordinatentransformationen S λ µ ν = a Γ λ µ ν c Γ λ µ ν x µ x ν = xλ x λ x µ x ν a Γ λ µν xµ x µ x µ x ν xλ x λ x µ x ν x µ = xλ x ν aγ λ x λ x µ x ν µν Γ c λ µν x ν x ν c Γ λ µν + xµ x µ 2 x λ x µ x ν x ν x ν 2 x λ x µ x ν x µ x ν = xλ x λ S λ x µ x ν µν dem eines Tensors entspricht. Die Dierenz S λ µν ist damit tatsächlich ein Tensor. Jeden anen Zusammenhang kann man demzufolge durch einen anderen anen Zusammenhang und eine tensorielle Korrektur ausdrücken. Durch eine ganz analoge Argumentation wie für einen Vektor, kann man über µ ω ν = µ ω ν + Γ λ µνω λ die kovariante Ableitung eines dualen Vektors denieren. Die Koezienten Γ λ µν sind dabei erst einmal prinzipiell unabhängig von der Koezienten Γ ν µλ. Durch die beiden zusätzlichen Forderungen Konstanz des Kronecker-Tensors: µ δ λ σ = 0 = µ T λ λρ = T µ λ λρ Reduktion zur partiellen Ableitung für Funktionen: µ f = µ f an eine kovariante Ableitung kann man die beiden Koezientensätze jedoch in Beziehung zueinander setzten. Für ω λ V λ wird nun einerseits µ ωλ V λ = µ ω λ V λ + ω λ µ V λ = µ ω λ V λ + Γ σ µλω σ V λ + ω λ µ V λ + ω λ Γ λ µρv ρ

38 28 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE sowie andererseits, da ω λ V λ eine Funktion ein Skalar ist, µ ωλ V λ = µ ωλ V λ = µ ω λ V λ + ω λ µ V λ Ein Vergleich der beiden vorstehenden Beziehungen führt zu 0 = Γ σ µλω σ V λ + ω λ Γ λ µρv ρ = Γ σ µνω σ V ν + ω σ Γ σ µνv ν und, da sowohl ω σ als auch V ν beliebige Werte annehmen können, ergibt sich schlieÿlich Γ σ µν = Γ σ µν Durch die beiden zusätzlichen Forderungen, kann man die Koezienten des anen Zusammenhanges für einen dualen Vektor durch die Koezienten des anen Zusammenhanges eines Vektors ausdrücken. Für die Komponenten eines beliebigen Tensors ergibt sich dann durch Anwendung der Leibniz-Regel: σ T µ1µ2...µ k ν1ν 2...ν l = σ T µ1µ2...µ k ν1ν 2...ν l + Γ µ1 σλ T λµ2...µ k ν1ν 2...ν l + Γ µ2 σλ T µ1λ...µ k ν1ν 2...ν l + Γ λ σν 1 T µ1µ2...µ k λν2...ν l Γ λ σν 2 T µ1µ2...µ k ν1λ...ν l Mit Hilfe der kovarianten Ableitung kann man die kovariante Richtungsableitung V W eines Vektorfeldes W in Richtung eines Vektorfeldes V durch die Abbildungsvorschrift einführen. In Komponentenschreibweise wird hieraus V W def = W V W V = µ W ν ν dx µ V σ σ = V σ µ W ν dx µ σ ν = V σ σ W ν ν = V σ W ν x σ + Γν σλw λ ν Ist nun speziell V = µ d.h. V σ = 1 für σ = µ und V σ = 0 für σ µ sowie W = ν d.h. W λ = 1 für λ = ν und W λ = 0 für λ ν, so ergibt sich aus der vorstehenden Beziehung µ ν = Γ σ µν σ

39 1.7. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG 29 Der ane Zusammenhang in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit besitzt somit n 3 beliebige Koezienten. In Komponentenschreibweise wird dann für einen beliebigen Tensor µ1µ 2...µ k V T = V σ σ T µ1µ2...µ k ν1ν 2...ν l ν 1ν 2...ν l Dies ist eine Abbildung V T : Vektorfeld Tensorfeldk, l Tensorfeldk, l Die Richtungsableitung erlaubt es, die parallele Verschiebung eines Tensors entlang einer Kurve γλ : R M zu denieren. Am Einfachsten ist dies am Beispiel eines Vektors darstellbar. Bezeichnet γ λ = dxσ dλ P σ mit P = γλ den Tangentialvektor und V λ ein Vektorfeld entlang der Kurve, d.h. ist V λ T p M mit P = γλ, dann werden die Vektoren V λ als parallel entlang der Kurve verschoben deniert, wenn in jedem Punkt auf der Kurve die Richtungsableitung in Richtung des Tangentialvektors γ λv = 0 dxσ dλ σv µ = verschwindet. Die vorstehende Beziehung ist eine Dierentialgleichung erster Ordnung. Ist ein Vektor an einem Punkt entlang der Kurve, d.h. in einem der Tangentialräume gegeben, dann sind hierdurch die parallel verschobenen Vektoren in der anderen Tangentialräumen eindeutig festgelegt. Ein parallel verschobener Vektor wird als konstant entlang der Kurve betrachtet. Auf diese Weise ist es möglich, Vektoren von Tangentialräumen in verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit zu vergleichen. Hierzu sind die beiden Punkte, an denen sich die Tangentialräume benden, durch eine Kurve zu verbinden und dann einer der Vektoren von seinem Tangentialraum entlang der Kurve in den anderen Tangentialraum parallel zu verschieben, in welchem dann die beiden Vektoren verglichen werden können. Man muss sich hierbei aber verdeutlichen, dass die parallele Verschiebung eines Vektors entlang unterschiedlicher Kurven dabei im Allgemeinen zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Abbildung 1.3 verdeutlicht dies an einem anschaulichen Beispiel.

40 30 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE Abbildung 1.3: Parallele Verschiebung eines Vektors entlang zweier Kurven Die Einführung der parallelen Verschiebung eines Vektors erlaubt es, gerade Linien in einer Mannigfaltigkeit zu denieren. Im R n zeichnen sich gerade Linien dadurch aus, dass ein entlang der geraden Linie parallel verschobener Tangentenvektor ein Tangentenvektor bleibt. Übertragen auf eine Mannigfaltigkeit, kann eine gerade Linie dann konsistent durch die Bedingung γ λγ λ = dxµ dλ dx ρ µ dλ = deniert werden. Für einen allgemeinen anen Zusammenhang spricht man von einer autoparallelen Linie. Nun ist sowie Dies führt zu dx µ dλ dx ρ µ dλ = x µ x µ dx ρ dλ = d dλ dx ρ dλ + Γ ρ dx ν µν dλ dx ρ = d2 x ρ dλ dλ d 2 x ρ dλ 2 + dx µ dx ν Γρ µν dλ dλ = als Gleichung für eine autoparallele Linie. Sie wird durch eine Dierentialgleichung 2-ter Ordnung bestimmt und damit eindeutig durch ihre 2n Anfangswerte x µ 0 und dxµ dλ 0 festgelegt. Durch jeden Punkt P M einer n- dimensionalen Mannigfaltigkeit existiert also eine autoparallele Linie in jede vorgegebene Richtung des Tangentialraumes T p M.

41 1.8. TORSION UND KRÜMMUNG Torsion und Krümmung Die Koezienten des anen Zusammenhanges transformieren sich nicht wie tensorielle Komponenten. Der ane Zusammenhang selbst kann deshalb auch keine invariante Eigenschaft der zugehörigen Mannigfaltigkeit sein, da er abhängig von der gewählten Koordinatenkarte ist. Damit stellt sich die Frage, welche Tensoren aus dem anen Zusammenhang abgeleitet werden können. Diese können dann als invariante Charakterisierungen der Mannigfaltigkeit interpretiert werden. Für das Folgende ist die Lie-Klammer [V, W ] def = V W W V zweier Vektorfelder wichtig. Sie vermittelt eine Abbildung [V, W ] : Vektorfeld Vektorfeld Vektorfeld Um dies einzusehen, ist zu zeigen, dass die Lie-Klammer in jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Tangentenvektor liefert; d.h. die beiden denierenden Beziehungen und erfüllt. Die Gültigkeit von ist sofort unmittelbar einsichtig. Für den Nachweis von muss man sich verdeutlichen, dass ein Vektorfeld V, das auf eine Funktion f angewendet wird, jedem Punkt P der Mannigfaltigkeit eine Zahl V P f zuordnet und so insgesamt eine neue Funktion V f erzeugt. Dies bedeutet [V, W ]f 1 f 2 = V W f 1 f 2 W V f 1 f 2 = V W f 1 f 2 + f 1 W f 2 W V f 1 f 2 + f 1 V f 2 = V W f 1 f 2 + W f 1 V f 2 + V f 1 W f 2 + f 1 V W f 2 W V f 1 f 2 V f 1 W f 2 W f 1 V f 2 f 1 W V f 2 = [V, W ]f 1 f 2 + f 1 [V, W ]f 2 ; d.h. auch die Produktregel ist erfüllt und die Lie-Klammer erzeugt tatsächlich ein neues Vektorfeld. Bei Auswahl einer speziellen Koordinatenkarte ergibt sich für die Komponenten [V, W ] = V µ µ W ν ν W µ µ V ν ν = V µ µ W ν ν + V µ W ν µ ν W µ µ V ν ν W µ V ν µ ν = V µ µ W ν W µ µ V ν ν

42 32 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE Damit ist es nun möglich den sogenannten Torsionstensor über die Abbildung T V, W def = V W W V [V, W ] zu denieren. Der Torsionstensor ist ein 1,2-Tensorfeld und in einer Koordinatenbasis gilt T = T λ µν λ dx µ dx ν T µ, ν = T λ µν λ Damit ergeben sich die Komponenten T λ µν = dx λ T µ, ν = dx λ µ ν ν µ [ µ, ν ] = dx λ Γ σ µν Γ σ νµ σ dx = Γ σ µν Γ σ νµ λ σ = Γ λ µν Γ λ νµ des Torsionstensors. Ein symmetrischer aner Zusammenhang ist wegen Γ λ µν = Γ λ νµ T λ µν = torsionsfrei. Da T ein 1,2-Tensorfeld ist, gilt dies in allen Koordinatenkarten. Torsionsfreiheit ist eine invariante Eigenschaft der zugehörigen Mannigfaltigkeit. Eine weiteres Tensorfeld, das von einem anen Zusammenhang gebildet werden kann, ist der Krümmungstensor mit den Komponenten RV, W, X def = V W X W V X [V,W ] X R ρ σµν = dx ρ R µ, ν, σ = dx ρ µ ν σ ν µ σ [ µ, ν] σ = dx ρ µ Γ ξ νσ ξ ν Γ ξ µσ ξ 0 σ = dx ρ µ Γ ξ νσ ξ + Γ ξ µλ Γλ νσ ξ ν Γ ξ µσ ξ Γ ξ νλ Γλ µσ ξ = µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ

43 1.8. TORSION UND KRÜMMUNG 33 Die zunächst etwas willkürlich erscheinenden Denitionen des Torsions- und des Krümmungstensors werden plausibel, wenn man den Kommutator zweier kovarianter Ableitungen [ µ, ν ] V ρ = R ρ σµνv σ T λ µν λ V ρ betrachtet. Sie charakterisieren die Wirkung des Kommutators auf Vektoren. Der Beweis dieser Beziehung kann problemlos von dem Beweis der analogen Beziehung übernommen werden. Der Krümmungstensor besitzt die Symmetrie R ρ σµν = R ρ σνµ und erfüllt für einen symmetrischen d.h. torsionsfreien anen Zusammenhang die sogenannten Bianchi-Identitäten R ρ σµν + R ρ µνσ + R ρ νσµ = ξ R ρ σµν + µ R ρ σνξ + ν R ρ σξµ = Die erste der Bianchi-Identitäten kann man durch direktes Einsetzen verizieren. Es ist unmittelbar einsichtig, dass sich wegen der Symmetrie des anen Zusammenhanges die einzelnen Terme auf den rechten Seiten der nachstehenden drei Gleichungen R ρ σµν = µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ R ρ µνσ = ν Γ ρ σµ σ Γ ρ νµ + Γ ρ νλ Γλ σµ Γ ρ σλ Γλ νµ R ρ νσµ = σ Γ ρ µν µ Γ ρ σν + Γ ρ σλ Γλ µν Γ ρ µλ Γλ σν jeweils paarweise kompensieren. Zum Beweis der zweiten Bianchi-Identität ist es zweckmäÿig diese etwas anders zu formulieren. Wegen R µ, ν, σ = R κ σµν κ ξ R ρ σµν = dx ρ ξ R µ, ν, σ kann man die zweite Bianchi-Identität äquivalent entsprechend ξ R µ, ν, σ + µ R ν, ξ, σ + ν R ξ, µ, σ =

44 34 KAPITEL 1. KURZE SKIZZE DER DIFFERENTIAL-GEOMETRIE formulieren. Nun ist aufgrund der Leibniz-Regel: ξ R µ, ν, σ = ξ µ ν ν µ σ R ξ µ, ν, σ R µ, ξ ν, σ µ ν ν µ ξ σ µ R ν, ξ, σ = µ ν ξ ξ ν σ R µ ν, ξ, σ R ν, µ ξ, σ ν ξ ξ ν µ σ ν R ξ, µ, σ = ν ξ µ µ ξ σ R ν ξ, µ, σ R ξ, ν µ, σ ξ µ µ ξ ν σ Die Summe der rechten Seiten der drei vorstehenden Gleichungen ist Null, da wegen der Symmetrie des anen Zusammenhanges die drei Beziehungen ξ µ = µ ξ, µ ν = ν µ und ν ξ = ξ ν gelten, sowie der Krümmungstensor antisymmetrisch in seinen beiden ersten Argumenten ist. Dies zeigt die Gültigkeit der zweiten Bianchi-Identität. Aus dem Krümmungstensor lässt sich durch Kontraktion der im Folgenden wichtige Ricci-Tensor Ric σν def = δ µ ρ R ρ σµν = R ρ σρν ableiten. Aus dem Ricci-Tensor kann man weiter den Krümmungsskalar gewinnen. R def = g σν Ric σν Die neben dem Ricci-Tensor beiden weiteren möglichen Kontraktionen des Krümmungstensors lassen sich bei einem symmetrischen d.h. torsionsfreien anen Zusammenhang entsprechend auf den Ricci-Tensor zurückführen. R ρ σµρ = R ρ σρµ = Ric σµ R ρ ρµν = µ Γ ρ νρ ν Γ ρ µρ = Ric µν Ric νµ

45 35 Kapitel 2 Der Palatini-Formalimus In diesem Kapitel wird mit Hilfe der entwickelten dierentialgeometrischen Methoden die Allgemeinen Relativitätstheorie im Palatini-Formalismus dargestellt. Der Palatini-Formalismus ist allgemeiner als die ursprünglich von Albert Einstein entwickelte Theorie. Er unterscheidet sich dadurch, dass neben der Metrik auch der ane Zusammenhang als unabhängige dynamische Variable aufgefasst wird, wobei der ane Zusammenhang auch im Palatini-Formalismus mit T ρ µν = 0 als torsionsfrei angenommen wird. 2.1 Die Prinzipien der ART Die Allgemeinen Relativitätstheorie basiert auf den zwei folgenden Prinzipien: Prinzip der allgemeinen Relativität: Alle Gesetze der Physik sind unabhängig von dem Koordinatensystem, in dem sie beschrieben werden. Äquivalenzprinzip: Es existiert immer ein Koordinatensystem, in dem der Eekt eines Gravitationsfeldes lokal verschwindet; d.h. das betrachtete physikalische System frei fällt. Das erste Prinzip besitzt keinen physikalischen Inhalt, legt es aber nahe, die physikalischen Gesetze explizit koordinatenunabhängig in tensorieller Form kovariant zu formulieren. Aus dem zweiten Prinzip folgt, dass die Gravitation universell ist und sie alle Elementarteilchen auf die gleiche Art und Weise beeinusst. Dies ermöglicht es, die Gravitation nicht als gewöhnliche Kraft, sondern als Eigenschaft des Raumes in dem sich die Elementarteilchen bewegen aufzufassen. Dies bedeutet aber auch, dass dann die Elementarteilchen

46 36 KAPITEL 2. DER PALATINI-FORMALIMUS den Raum beeinussen können müssen. Der physikalische Raum unterliegt damit selbst einer Dynamik. Mathematisch kann der physikalische Raum durch eine ane, metrische Mannigfaltigkeit Mg, Γ beschrieben werden, wobei es zunächst keinen Grund gibt anzunehmen, dass eine Verbindung zwischen der Metrik und dem anen Zusammenhang der Mannigfaltigkeit besteht. Es verbleibt zu zeigen, dass tatsächlich in jedem Punkt P a ein Koordinatensystem existiert, das lokal wie der Minkowski-Raum aussieht; d.h. in welchem g µ ν x a = η µ ν = g x a = Γ ν µ λ x a = 0 = µ = µ gilt. Für eine Koordinatentransformation aus einem beliebigen Koordinatensystem x µ x µ = Q µ µ x µ + Ω µ µλ xµ x λ mit x µ = x µ x µ a und mit den Konstanten Q µ µ sowie Ω µ µλ = Ωµ λµ ist nun oenbar xµ a = 0 und als Folge x µ a = 0. Dies bedeutet, dass x µ x µ P a = Q µ µ wird. Wie bereits diskutiert, kann man durch geeignete Wahl der Matrix Q den Metriktensor in einem Punkt P a immer in seine kanonische Form bringen. Mit 2 x ν x µ x λ P a = Ω ν µλ folgt aus 1.7.8, dass Γ ν µ λ x a = 0 genau dann gilt, wenn Q ν ν Γ ν µλx a Ω ν µλ = 0 = Ω ν µλ = Q ν ν Γ ν µλx a ist. Damit ist explizit eine Koordinatentransformation konstruiert, die im Punkt P a M zu den gewünschten Eigenschaften führt. Eine koordinatenunabhängige Formulierung von physikalischen Gesetzen in einer Mannigfaltigkeit ist relativ einfach im Lagrange-Formalismus möglich. Bezeichnet F l die dynamischen Variablen eines Systems, so deniert jedes Wirkungsintegral W = LF l, µ F l g d 4 x 2.1.7

47 2.1. DIE PRINZIPIEN DER ART 37 über das Variationsprinzip δ Fl W = eine solche Dynamik, wenn die in diesem Text Lagrange-Skalar genannte Gröÿe LF l, µ F l ein Skalarfeld ist. Dabei ist g d 4 x das koordinatenunabhängige Volumenelement bei der Integration über die Mannigfaltigkeit. Nun sind die Lagrange-Skalare in der speziellen Relativitätstheorie, die hier identisch mit den Lagrange-Dichten sind, für das komplexe Skalarfeld und das reelle Maxwell-Feld: L SRT Skalar = η µν µ φ ν φ m 2 φ φ L SRT Maxwell = 1 4 ηµρ η νσ F µν F ρσ mit F µν = µ A ν ν A µ Aus dem Äquivalenzprinzip kann man unter der Annahme der minimalen Kopplung η µν g µν, µ µ sowie dx 4 g dx für den kovarianten Lagrange-Skalar des skalaren Feldes L Skalar = g µν µ φ ν φ m 2 φ φ = g µν µ φ ν φ m 2 φ φ sowie für den kovariante Lagrange-Skalar des Maxwell-Feldes L Maxwell = 1 4 gµρ g νσ F µν F ρσ mit F µν = µ A ν ν A µ = µ A ν ν A µ folgern. Dies bedeutet, dass in die Lagrange-Skalare dieser beiden Elementarteilchen lediglich die Metrik, aber nicht der ane Zusammenhang eingeht: L Skalar = L φ g L Maxwell = L A g Für Spinorfelder wird es später notwendig werden, zusätzliche Überlegungen anzustellen, da die in dem Lagrange-Skalar L SRT Spinor auftretenden Gamma- Matrizen erst einmal nur in orthogonalen Systemen deniert sind. Bei dieser ersten Diskussion werden Spinorfelder deshalb nicht berücksichtigt.