17. Oktober 2006 (überarbeitete Version)

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Mathias Sachs
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1 Universität Mannheim Lehrstuhl für Praktische Informatik Prof. Dr. Felix C. Freiling Dipl.-Inform. Martin Mink Dipl.-Inform. Thorsten Holz Vorlesung Angewandte IT-Sicherheit Herbstsemester 2006 Übung 2 () 7. Oktober 2006 (überarbeitete Version) Die Aufgaben sind im Vergleich zur Hörsaalübung leicht abgeändert. Zuverlässigkeit, Verfügbarkeit Aufgabe Eine Festplatte der Reihe Cheetah 36XL der Firma Seagate hat laut Datenblatt eine MT BF von Stunden []. In den Garantiebedingungen Ihres Zulieferers wird der Umtausch einer defekten Platte innerhalb von maximal 2 Wochen garantiert. Wie hoch ist für Sie die Verfügbarkeit (average availability) der Festplatte? Hinweis: Sie können davon ausgehen, dass die Festplatte nach dem Umtausch fabrikneu ist. Gehen Sie ausserdem von einer konstanten Fehlerrate aus. Die durchschnittliche Verfügbarkeit AA (average availability) ist definiert als AA = MT BF MT BF + MT T R Die notwendigen Daten stecken in der Aufgabenstellung. Die MT BF ist gegeben, die MT T R (mean time to repair) beträgt zwei Wochen (4 24h = 336h). Insgesamt: AA =, h, h + 336h =, h, h =, 2 0, 99972, Aufgabe 2 (geändert) Die neu gebaute Fabrikhalle der Firma High Reliability Solutions wird durch 20 Glühbirnen beleuchtet. Der Hausmeister geht jeden Morgen durch die Halle und notiert für jede neu ausgefallene Glühbirne b die Anzahl der Tage, die seit der Einweihung der Halle vergangen sind (Lebensdauer von b). Dies sind seine Aufzeichnungen:

2 2, 7, 6, 37, 5, 78, 30, 45, 70, 20, 222, 277, 30, 303, 326, 340, 359, 364, 40, 420 Ausgefallene Glühbirnen werden nicht repariert.. Schätzen Sie den Erwartungswert der Lebenszeit einer Glühbirne. Wir haben es hier mit einem klassischen Zuverlässigkeitsexperiment zu tun, bei dem anfangs n = 20 gleichartige Komponenten in Betrieb genommen werden und die jeweils die fehlerfreie Betriebszeit der einzelnen Komponenten gemessen werden. Wir können also die Stufenfunktion v(t) aufstellen, die die Anzahl der Systeme angibt, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt t noch nicht ausgefallen sind: t v(t) Die Funktion v(t) drückt 20 unabhängige Messungen einer Zufallsvariable τ aus, die die fehlerfreie Betriebszeit einer Glühbirne beschreibt. Die erwartete Ausfallzeit ist der Erwartungswert von τ, also: ˆ MT BF = Ê[τ] = t + t t n n = 459d 20 = 207, 95d = 4990, 8h 2. Wie lautet die empirische Fehlerrate? Gehen Sie von einer konstanten Fehlerrate aus. Bei konstanter Fehlerrate ist diese gleich dem Kehrwert der MT BF : ˆλ = MTˆ BF = 4990, 8h Wie lautet die Formel für die empirische Zuverlässigkeitsfunktion einer Glühbirne? Bei gegebenen ˆλ und konstanter Ausfallrate rechnet man wie folgt: ˆR(t) = e ˆλt 2

3 Aufgabe 3 Quelle: Vorlesung Rechnerstrukturen (Sommersemester 998), Prof. Dr. Theo Ungerer, Andreas Schäfer, Universität Karlsruhe. Eine Raumsonde soll zum Mars geschickt werden. Die Flugdauer beträgt 2 Tage. Zur Stromversorgung ist sie mit 4 Sonnensegeln S, S 2, S 3, S4 ausgestattet. Mindestens 2 Sonnensegel müssen intakt sein, um genügend Energie zu erzeugen. Die Steuerung der Segel erfolgt mit 3 parallelen Mikrokontrollern C, C 2, C 3 und einem Mehrheitsentscheider M (Triple Modular Redundancy). Statistische Berechnungen ergaben, dass ein Sonnensegel im Schnitt alle 20 Jahre durch den Einschlag eines Meteoriten zerstört wird. Die Mikrokontroller fallen mit konstanter Ausfallrate ein Mal in 00 Jahren aus. Der Mehrheitsentscheider fällt nicht aus.. Zeichnen Sie ein Diagramm mit der Zuverässigkeitsblockdiagramm (Anordnung der redundanten Komponenten als Parallel- bzw. Reihenschaltung) der Sonde. 2. Durch welche Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Sonnensegels beschreiben, wenn man von einer gleichmäßigen Meteoritendichte im Weltall ausgeht? Bei gleicher Meteoritendichte überall im Weltraum kann man von einer konstanten Fehlerrate des Sonnensegels ausgehen. Die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Sonnensegels 3

4 ist somit exponentialverteilt. 3. Geben Sie die Überlebenswahrscheinlichkeiten für ein Sonnensegel R S (t), einen Mikrokontroller R C (t) und den Mehrheitsentscheider R M (t) an. Die Fehlerraten von Sonnensegel λ S und Microcontroller λ C lauten: λ S = 20a = h 5, h λ C = 00a = h, h Die Überlebungswahrscheinlichkeiten sind dann: R S (t) = e λ S t R C (t) = e λ C t R M (t) = 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht die Sonde den Mars? Hierfür muss die Zuverlässigkeitsfunktion der Sonde konstruiert werden. Das kann man anhand des Zuverlässigkeitsblockdiagramms durchführen. Zunächst berechnet man die jeweiligen Funktionen von Sonnensegeln und Mikrokontrollern mit Mehrheitsbewerter. Dafür benutzt man die allgemeine Formel für ein k-aus-n-system. Gegeben sind n gleichartige Komponenten mit Zuverlässigkeitsfunktion R(t) von denen mindestens k überleben müssen, damit das Gesamtsystem noch funktioniert. Dann berechnet sich die Zuverlässigkeit des Gesamtsystems: n ( ) n R gesamt (t) = R i (t)( R(t)) n i k i=k Die Zuverlässigkeitsfunktion R S S(t) kann man dann als 2-aus-4-System berechnen: R SS (t) = 4 i=2 ( ) 4 R i i S(t)( R S (t)) 4 i = 6 R 2 S(t)( R S (t)) R 3 S(t)( R S (t)) + R 4 S(t) = 3R 4 S(t) 8R 3 S(t) + 6R 2 S(t) Die Funktion R CC (t) errechnet sich aus der Struktur eines 2-aus-3-Systems (Triple Modular Redundancy, TMR): R CC (t) = 3R 2 C(t) 2R 3 C(t) 4

5 Insgesamt ergibt sich die Zuverlässigkeitsfunktion der Sonde aus der Reihenschaltung der drei Systeme SS, CC, und M: R Sonde (t) = R SS (t) R CC (t) R M (t) Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Sonde den Mars erreicht, ergibt sich durch Einsetzen der Flugdauer: R Sonde (2d) Literatur [] Seagate Technology. Cheetah 36XL Family: Product Manual, Vol.. Internet: http: // October

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