Walter A. Strauss. Partielle DitJerentialgleichungen

Transkript

1 Walter A. Strauss Partielle DitJerentialgleichungen

2 Aus dem Programm Mathematik Otto Forster Analysis 1-3 Rudiger Braun und Reinhold Meise Analysis mit Maple Jean-Pierre D ly Gewohnliche DitlerentialgIeichungen Walter Strampp und Victor Ganzha Ditferentialgleichungen mit Mathematica Reinhold Meise und Dietmar Vogt Einfiihrung in die Fnnktionalanalysis Vieweg

3 Walter A. Strauss Partielle DifJerentiaigIeichungen Eine Einfiihrung Aus dem Amerikanischen iibersetzt von Helmut Salzmann II Vlewag

4 Professor Dr. Walter A. Strauss Department of Mathematics Brown University Providence, Rhode Island USA Übersetzung: Professor Dr. H. Salzmann Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes, Fachbereich GIS Goebenstr Saarbrücken Titel der Originalausgabe: Partial Differential Equations: An Introduction Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc. Copyright All Rights Reserved. Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1995 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1995 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN DOI / ISBN (ebook)

5 v Vorwort Unser Verstandnis der fundamentalen Naturphanomene beruht in hohem Maile auf demjenigen von partiellen Differentialgleichungen. Beispiele sind die Schwingungen fester Korper, die Stromung von Flussigkeiten, die Diffusion chemischer Substanzen, die Warmeleitung, die Struktur von Molekulen, die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen und die Ausbreitung elekromagnetischer Wellen. Partiel Ie Differentialgleichungen spielen aber auch eine wesentliche Rolle in der modernen Mathematik selbst, speziell in der Geometrie und der Analysis. Die Verfugbarkeit leistungsstarker Computer verschiebt langsam das Hauptaugenmerk bei partiellen Differentialgleichungen von einer analytischen Berechnung der Losungen weg zu einerseits einer numerischen Analysis und andererseits zu einer qualitativen Theorie. Dieses Buch gibt dem Leser eine Einfuhrung in die wesentlichen Eigenschaften partieller Differentialgleichungen (PDGln) und in die Techniken, die sich zu ihrer Untersuchung als nutzlich erwiesen haben. Mein Ziel ist es, dem Studenten einen weiten Blick auf das Stoffgebiet zu offnen, die reichhaltige Vielfalt der durch partielle Differentialgleichungen beschriebenen Phanomene darzustellen und ein aktives Wissen der wichtigsten Techniken zur Ermittlung und Untersuchung von Losungen zu vermitteln. Eine der wichtigsten Losungsmethoden ist die Methode der Variablentrennung. Viele Bucher stellen diese Methode derart in den Vodergrund, dab andere Gesichtspunkte vernachlassigt werden. Das Problem der Variablentrennung besteht darin, dab man mit ihr nur bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen losen kann. In diesem Buch spielt sie eine sehr wichtige, aber keine alles beherrschende Rolle. Andere Texte, die hohere theoretische Methoden behandeln, erfordern flir den typischen "undergraduate" Student en ein zu hohes mathematisches Wissen. Ich habe in diesem Buch versucht, die hoheren Methoden und den mathematischen Formalismus zu minimieren. Da jedoch partielle Differentialgleichungen ein Gebiet an vorderster Forschungsfront in den modernen Wissenschaften sind, habe ich nicht gezogert, diese hoheren Konzepte zu erwahnen, um dem interessierten Studenten zu zeigen, in welche Richtung er weitergehen kann. Dies ist ein "undergraduate" Buch. Es ist gedacht fur Studenten im Hauptstudium der Natur-, Ingenieurwissenschaften oder der Mathematik. Graduierte Studenten, speziell der Naturwissenschaften, konnen naturlich von ihm profitieren, es ist aber keinesfalls als Graduiertentext konzipiert worden. Die wichtigste Voraussetzung fur das Verstandnis dieses Buchs ist eine solide Kenntnis der Analysis, speziell der Analysis in mehreren Variablen. Weitere Vorausstzungen sind geringe Vorkenntnisse aus dem Gebiet der gewohnlichen Differentialgleichungen und der linearen Algebra, beides im Umfang einer weniger als einsemestrigen Vorlesung. Da jedoch das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen von Natur aus ein schwieriges Fachgebiet ist, empfehle ich meinen Studenten jeweils vollstandige Vorlesungen.

6 vi Vorwort Bei der Darstellung des Stoffes habe ich mich von den folgenden Grundsatzen leiten lassen. Motiviere physikalisch und betreibe erst dann Mathematik. Lege das Hauptaugenmerk auf die drei klassischen Gleichungen: AIle wichtigen Ideen konnen verstanden werden, wenn man sich auf sie bezieht. Arbeite zunachst in einer Raumdimension und gehe dann erst zu zwei oder drei Dimensionen mit ihren komplizierteren Geometrien iiber. Untersuche eine Gleichung zunachst im gesamten Raum, bevor Randbedingungen ins Spiel kommen. (Am Ende von Kapitel2 wird der Student bereits ein intuitives und analytisches Verstandnis der einfachen WeIlen- und Diffusionsphanomene haben.) Zogere nicht, einige Fakten ohne Beweis anzugeben, aber verzichte nicht auf einen Beweis an kritischen Stellen. Gib Einfiihrungen fiir moglichst viele wichtige weiterfiihrende Themen. In diesem Buch ist geniigend Material fiir eine zweisemestrige vierstiindige Vorlesung. Ein ziemlich lockerer einsemestriger Kurs konnte die mit einem Stern versehenen Abschnitte der Kapitel 1 bis 6, die Basisabschnitte, zum Inhalt haben. Fiir einen anspruchsvolleren Kurs konnen diese Abschnitte auf verschiedene Weisen erganzt werden. Die Abschnitte ohne Stern der Kapitel 1 bis 6 konnen je nach Wunsch gebracht werden. Wird der numerische Aspekt hervorgehoben, sollte den Basisabschnitten die Numerik von Kapitel8 folgen. Zur Vertiefung der Methode der Variablentrennung wird man an Kapitel 6 das Kapitel 10 anschliefien. Fiir Studenten der Physik empfielt sich eine Kombination der Kapitel 9, 12, 13 und 14. Eine herkommliche Vorlesung iiber Randwertprobleme kann man mit den Kapiteln 1, 4, 5, 6 und 10 bestreiten. Jedes Kapitel ist in Abschnitte unterteilt. Die Gleichungen werden kapitelweise durchnumeriert. Ein Verweis auf Gleichung (A.B) heibt, dab diese Gleichung in Kapitel A zu finden ist. Das gleiche System wird bei der Numerierung der Satze verwendet. Bei den Ubungsaufgaben bezieht sich Ubungsaufgabe A.B.C auf die Aufgabe C des Abschnitts B von Kapitel A. Die Angabe Ubungsaufgabe C. bezieht sich auf die Aufgabe C. desselben Abschnitts. Literaturhinweise werden mit eckigen Klammern angegeben, wie etwa [AS]. Die Hilfe meiner Kollegen erkenne ich mit grober Dankbarkeit an. Ich danke besonders Yue Liu und Brian Loe fur ihre extensive Hilfe bei den Ubungsaufgaben, ebenso wie Costas Dafermos, Bob Glassey, Jerry Goldstein, Manos Grillakis, Yan Guo, Chris Jones, Keith Lewis, Gustavo Perla Menzala und Bob Seeley fiir ihre Anregungen und Verbesserungen. Walter A. Strauss

7 vii Inhaltsverzeichnis (Die Basisabschnitte dieses Buchs sind mit einem Stern versehen) 1 Woher kommen partielle Differentialgleichungen? 1.1 * Was ist eine partielle Differentialgleichung? 1.2* Lineare Gleichungen erster Ordnung * Fliefivorgange, Schwingungen und Diffusionen 1.4* Anfangs- und Randbedingungen Korrekt gestellte Probleme Typeneinteilung von Gleichungen zweiter Ordnung 2 Wellen und Diffusionen 2.1 * Die Wellengleichung 2.2* Kausalitat und Energie. 2.3* Die Diffusionsgleichung. 2.4* Die Diffusionsgleichung auf der ganzen Achse 2.5* Vergleiche zwischen Wellen und Diffusionen 3 Reflexionen und Quellen 3.1 Diffusion auf der Halbgeraden. 3.2 Reflexionen von Wellen Diffusionen mit einer Quelle. 3.4 Wellen mit einer Quelle Uberarbeitung der Diffusion. 4 Randwertprobleme 4.1 * Trennung der Variablen, Dirichlet-Bedingung 4.2* Die Neumann-Bedingung 4.3* Die Robin-Bedingung Fourierreihen 5.1 * Die Fourierkoeffizienten * Gerade, ungerade, periodische und komplexe Funktionen. 5.3* Orthogonalitat und allgemeine Fourierreihen. 5.4* Vollstandigkeit Vollstandigkeit und das Gibbssche Phanomen 5.6 Inhomogene Randbedingungen Harmonische Funktionen 6.1 * Die Laplace-Gleichung. 6.2* Rechtecke und Quader. 6.3* Die Poissonsche Formel

8 viii Inhaltsverzeichnis 6.4 Kreise, Sektoren und Ringe Die Greenschen Formeln und Greensche Funktionen 7.1 Die erste Greensche Formel Die zweite Greensche Formel 7.3 Greensche Funktionen. 7.4 Halbraume und Kugeln 8 N umerisches Losen 8.1 Vorteile und Gefahren Approximationen von Diffusionen. 8.3 Approximationen von Wellen Approximationen der Laplace-Gleichung 8.5 Die Finite-Elemente-Methode Wellen im Raum 9.1 Energie und Kausalitat Die Wellengleichung im Raum Strahlen, Singularitaten und Quellen 9.4 Die Diffusions- und die SchrOdinger-Gleichung. 9.5 Das Wasserstoffatom Randwertaufgaben in der Ebene und im Raum 10.1 Uberarbeitung der Fourierschen Methode Die schwingende Membran Schwingungen in einer Kugel 10.4 Knoten Besselfunktionen Legendre-Funktionen Drehimpulse in der Quantenmechanik 11 Allgemeine Eigenwertprobleme 11.1 Die Eigenwerte sind Minima der potentiellen Energie Berechnung der Eigenwerte Vollstandigkeit Symmetrische Differentialoperatoren Vollstandigkeit und Trennung der Variablen 11.6 Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte 12 Distributionen und Transformationen 12.1 Distributionen Nochmals Greensche Funktionen 12.3 Fourier-Transformationen Quellfunktionen Die Technik der Laplacetransformation

9 13 Partielle Differentialgleichungen der Physik Elektromagnetismus Stromungen und Schall Streuung Das stetige Spektrum Die Gleichungen der Elementarteilchen Nichtlineare partielle Differentialgleichungen Stof3wellen Solitonen Variationsrechnung Verzweigungstheorie 408 Anhang 414 A.l Stetige und differenzierbare Funktionen 414 A.2 Funktionenreihen A.3 Differentiation und Integration 420 A.4 Differentialgleichungen 423 A.5 Die Gammafunktion Losungen und Losungshinweise zu ausgewahlten Ubungsaufgaben 427 Literaturverzeichnis 445 Index 448 ix