Komplexgewichtetes Rucksackproblem und Anreize in Wechselstromnetzen

Transkript

1 Komplexgewichtetes Rucksackproblem und Anreize in Wechselstromnetzen 13. Dezember 2016 Sebastian Graf KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

3 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

4 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

5 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

6 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

7 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

8 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

9 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

10 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

11 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

12 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

13 Motivation Wechselstromnetze Algorithmen zur inelastischen Stromallokation rar Spieltheoretische Aspekte Grundlagenproblem 1

14 lated Work Weitestgehend grüne Wiese [Sianaki et al., 2010]: 0-1 Rucksackproblem für Gleichstromallokation [Kellerer et al., 2004]: Buch Knapsack Problems ferenz Quadratisches Rucksackproblem

15 Heute Hauptsächlich [Yu und hau, 2012] Problemdefinition Approximationsalgorithmus Einbettung in anreizkompatiblen Mechanismus Nichtapproximierbarkeit durch ein FPTAS 3

16 lated Work [hau et al., 2014], behandelt im Vortrag am PTAS Erlaubt größere maximale Phasendifferenzen < π ϕ 4

17 lated Work [hau et al., 2014], behandelt im Vortrag am PTAS Erlaubt größere maximale Phasendifferenzen < π ϕ 4

18 lated Work [Khonji et al., 2014], behandelt im Vortrag am [hau et al., 2014] liefert bestmögliche Approximation ϕ 4

19 Approximationsresultate APX PTAS F PTAS 5

20 Approximationsresultate 1 7 APX O(n c ) 1 ɛ PTAS O(n 1 ɛ ) 1 ɛ O( 1 ɛ n) F PTAS 5

21 Approximationsresultate APX PTAS? F PTAS 5

22 Approximationsresultate APX PTAS F PTAS 5

23 0-1 Rucksackproblem (1-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i R 0 Kapazität R 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes ILP: arg max x {0,1} n{v T x w T x } Eines der ursprünglichen NP-vollständigen Probleme v i w i w 1 6

24 0-1 Rucksackproblem (1-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i R 0 Kapazität R 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes ILP: arg max x {0,1} n{v T x w T x } Eines der ursprünglichen NP-vollständigen Probleme v i w i v = 31 w 1 6

25 0-1 Rucksackproblem (1-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i R 0 Kapazität R 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes ILP: arg max x {0,1} n{v T x w T x } Eines der ursprünglichen NP-vollständigen Probleme v i w i v = 34 w 1 6

26 m-dimensionales Rucksackproblem (m-kp) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i R m 0 Kapazität R m 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes ILP: arg max x {0,1} n{v T x W T x } I R 7

27 m-dimensionales Rucksackproblem (m-kp) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i R m 0 Kapazität R m 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes ILP: arg max x {0,1} n{v T x W T x } I R 7

28 Komplexgewichtetes Rucksackproblem (-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i 0 Kapazität R 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes QQP: arg max x {0,1} n{v T x x T ww T x 2 } 8

29 Komplexgewichtetes Rucksackproblem (-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i 0 Kapazität R 0 Bestimme arg max K I { i K v i i K w i } Äquivalentes QQP: arg max x {0,1} n{v T x x T ww T x 2 } 8

30 Verallgemeinertes -KP (G-KP) Gegenstände i I mit Wert v i R und Gewicht w i 0 Kapazitäten, R, I R 0 Bestimme K I, das i K v i maximiert dabei i K w i einhält zusätzlich i K w R i R und i K w I i I genügt I 9 R

31 FPTAS zu 1-KP Spezialfall ganzzahliger Werte v i Dynamische Programmierung [Kellerer et al., 2004] Exakte Lösung in O(n 2 V ), wobei n = I, V = max i I v i Pseudopolynomiell 10

32 FPTAS zu 1-KP Idee für 1 ɛ-approximation: diskretisiere Werte in O( 1 ɛn) Stufen berechne Lösung des dynamisches Programm auf abgerundeten Werten Lösungsgüte 1 ɛ Algorithm 1 Alg 1d [(w i, v i : i I ), ] 1: V max i I {v i } 2: N 1 ɛ I 3: for i I do 4: ṽ i v i V N 5: end for 6: K solve-dp[(w i, ṽ i : i I ), ] 7: return K N = 5 10

33 FPTAS zu 1-KP Idee für 1 ɛ-approximation: diskretisiere Werte in O( 1 ɛn) Stufen berechne Lösung des dynamisches Programm auf abgerundeten Werten Lösungsgüte 1 ɛ Algorithm 1 Alg 1d [(w i, v i : i I ), ] 1: V max i I {v i } 2: N 1 ɛ I 3: for i I do 4: ṽ i v i V N 5: end for 6: K solve-dp[(w i, ṽ i : i I ), ] 7: return K N = 5 10

34 Approximationsalgorithmus zu -KP D Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

35 Approximationsalgorithmus zu -KP D 1 D 2 Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

36 Approximationsalgorithmus zu -KP D 2 D 1 w Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

37 Approximationsalgorithmus zu -KP D 2 D 1 w Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

38 Approximationsalgorithmus zu -KP D 2 D 1 w w Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

39 Approximationsalgorithmus zu -KP D 1 D 2 Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

40 Approximationsalgorithmus zu -KP D 1 D 2 Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

41 Approximationsalgorithmus zu -KP D 1 D 2 Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 11

42 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Abschätzung für unabhängige Teilprobleme Führe Fallunterscheidung über Beschaffenheit der Optimallösung K 12

43 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 12

44 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 12

45 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 12

46 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 12

47 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): I w( K ) 12

48 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): I 1 I = I 1 I 2 v( K ) = max i {1,2} v( K i ) I 2 w( K 1 ) w( K 2 ) 12

49 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Zwischenstand Aussage über Lösungen des projizierten 1-KP Problems v( K ) = max{v( K 1 ), v( K 2 )} v(k) = v( K) ρv( K ) ρv( K i ) Weiter mit Fallunterscheidung über Optimallösung K 12

50 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Fall w(k ) D 1 : v(k) ρv( K 1 ) ρv(k ) D 2 D 1 12

51 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Fall j K : w j D 1 : K = K1 K 2 mit w(k 1 ), w(k 2 ) D 1 D 2 D 1 12

52 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Fall j K : w j D 1 : K = K1 K 2 mit w(k 1 ), w(k 2 ) D 1 D 2 D 1 v(k) ρ 2 2v( K 1 ) ρ 2 (v(k 1 ) + v(k 2 )) ρ 2 v(k ) 12

53 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Fall!j K : w j D 2 : K \ {j} I 1, j I 2 D 2 D 1 12

54 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Fall!j K : w j D 2 : K \ {j} I 1, j I 2 D 2 D 1 v(k) ρ 2 (v( K 1 ) + v( K 2 )) ρ 2 (v(k \ {j}) + v j )) ρ 2 v(k ) 12

55 Modellierung des Allokationsproblems Spieltheoretischer Mechanismus um -KP Zentraler Allokationsalgorithmus sammelt Energiebedarf und Angebot der Verbraucher ein Öffentlich bekannter Algorithmus Tatsächlicher Energiebedarf ist geheim Abnehmer können falschen Bedarf angeben! Anreizkompatibilität des Mechanismus sicherstellen Jeder Spieler hat den größten Nutzen, wenn er wahrheitsgemäß antwortet 13

56 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Menge A zielgerichteter (single-minded) Agenten Jeder Agent a A hat einen Typ t a = (d a, v a ) Bedarf d a und Wertschätzung v a sind geheim Agent kann zu niedrigeren Bedarf angeben, um selektiert zu werden { va, falls d Bewertungsfunktion t a (o) = a o a zu Zuweisung o 0, sonst Mechanismus M = (A, p) Allokationsalgorithmus A bestimmt Zuweisung A(t) A 0 p a (t) von Agent a fällige Zahlung Nutzenfunktion u a (t) = t a (A(t)) p a (t) 14

57 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Definition. Ein Mechanismus M ist anreizkompatibel, wenn wahrheitsgemäße Enthüllung des Typs t a von Agent a zur Maximierung seiner Nutzenfunktion u a (t) führt. Äquivalent: t a : u a (t a, t a ) u a (t a, t a ) 14

58 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Definition. Ein Mechanismus M ist anreizkompatibel, wenn wahrheitsgemäße Enthüllung des Typs t a von Agent a zur Maximierung seiner Nutzenfunktion u a (t) führt. Äquivalent: t a : u a (t a, t a ) u a (t a, t a ) Satz ([Briest et al., 2011]). Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. 14

59 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Satz. Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. Definition. M = (A, p) heißt exakt, wenn für alle Agenten a A und Eingaben t = (d a, v a : a A) gilt: A(t) a ist entweder d a oder 0. 14

60 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Satz. Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. Definition. M = (A, p) heißt exakt, wenn für alle Agenten a A und Eingaben t = (d a, v a : a A) gilt: A(t) a ist entweder d a oder 0. 14

61 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Satz. Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. 14

62 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Definition. Ein Allokationsalgorithmus A ist monoton, wenn aus d a A(t a, t a ) a folgt, dass d a A(t a, t a ) a für alle t a = (d a, v k ) und t a = (d a, v a) mit v a v a d a d a. t a t a 14

63 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Definition. Ein Allokationsalgorithmus A ist monoton, wenn aus d a A(t a, t a ) a folgt, dass d a A(t a, t a ) a für alle t a = (d a, v k ) und t a = (d a, v a) mit v a v a d a d a. Lemma. Alg b ist ein monotoner Algorithmus für -KP, sofern Alg 1d ein monotoner Algorithmus für 1-KP ist. 14

64 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Lemma. Alg b ist ein monotoner Algorithmus für -KP, sofern Alg 1d ein monotoner Algorithmus für 1-KP ist. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Sei t a = (d a, v a ) und t a = (d a, v a) mit v a v a d a d a Außerdem gilt a Alg b (t a, t a ) Zeige: a Alg b (t a, t a ) Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K t a t a 14

65 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Lemma. Alg b ist ein monotoner Algorithmus für -KP, sofern Alg 1d ein monotoner Algorithmus für 1-KP ist. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Sei t a = (d a, v a ) und t a = (d a, v a) mit v a v a d a d a Außerdem gilt a Alg b (t a, t a ) Zeige: a Alg b (t a, t a ) Algorithm 2 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K t a t a 14

66 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Satz. Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. Lemma. Alg b ist ein monotoner Algorithmus für -KP, sofern Alg 1d ein monotoner Algorithmus für 1-KP ist. 14

67 Ein Anreizkompatibler Mechanismus Satz. Sei A ein exakter und monotoner Allokationsalgorithmus für zielgerichtete Agenten. Dann gibt es eine Zahlung p A, so dass (A, p A ) ein anreizkompatibler Mechanismus ist. Lemma. Alg b ist ein monotoner Algorithmus für -KP, sofern Alg 1d ein monotoner Algorithmus für 1-KP ist. Folgerung. Da für 1-KP ein monotones F PTAS existiert [Briest et al., 2011], können wir einen anreizkompatiblen 1 2 ɛ-approximationsalgorithmus für -KP konstruieren, der Zeit polynomial in der Eingabelänge und 1 ɛ benötigt. 14

68 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Satz. Es existiert kein FPTAS für -KP, falls P NP. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Entscheide Equipartition mittels FPTAS für -KP Definition (Equipartition Problem). Sei I eine Menge von n Gegenständen mit Gewichten w i N. Entscheide, ob Partition I = I 1 I 2 existiert mit I 1 = I 2 und i I 1 w i = i I 2 w i. 15

69 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Definition (Equipartition Problem). Sei I eine Menge von n Gegenständen mit Gewichten w i N. Entscheide, ob Partitionen I = I 1 I 2 existieren mit I 1 = I 2 und i I 1 w i = i I 2 w i. 15

70 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Definition (Equipartition Problem). Sei I eine Menge von n Gegenständen mit Gewichten w i N. Entscheide, ob Partitionen I = I 1 I 2 existieren mit I 1 = I 2 und i I 1 w i = i I 2 w i. 15

71 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Definition (Equipartition Problem). Sei I eine Menge von n Gegenständen mit Gewichten w i N. Entscheide, ob Partitionen I = I 1 I 2 existieren mit I 1 = I 2 und i I 1 w i = i I 2 w i. Satz ([Kellerer et al., 2004]). Equipartition ist NPvollständig. 15

72 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Satz. Es existiert kein FPTAS für -KP, falls P NP. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Entscheide Equipartition mittels FPTAS für -KP Dazu: Entscheidungsproblem -KP D zu -KP Entscheidet für (zusätzliches) V, ob ein Rucksack K mit Gesamtwert i K v i V existiert 15

73 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Satz. Es existiert kein FPTAS für -KP, falls P NP. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Entscheide Equipartition mittels FPTAS für -KP P-duktion: I = I v i = 1 Gegeben: Equipartition Instanz (w i : i I ) Ausgabe: -KP D Instanz ((w i, v i : i i),, V ), wobei V = n 2 w max = max w i i I w i = w i + jβ(w max w i ) W β = nw max W = W = i I i I w i 2 w i 15

74 Nichtapproximierbarkeit durch F PTAS Satz. Es existiert kein FPTAS für -KP, falls P NP. Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Entscheide Equipartition mittels FPTAS für -KP Angenommen, es gäbe FPTAS für -KP Wähle ɛ = 1 n+1 Optimalwert z für 1 ɛ-approximation mit Wert z z (1 ɛ)z > z z n z 1 z ist ganzzahlig, daher Approximation z exakt Widerspruch zur NP-Schwere von Equipartition 15

75 Zusammenfassung Optimierungsproblem -KP ( 1 2 ɛ)-approximationsalgorithmus mittels F PTAS für 1-KP Einbettung in anreizkompatiblen Allokationsmechanismus Eignet sich zur Modellierung von Wechselstromsystemen lativ simple Allokationslösung Existenz eines FPTAS für -KP (vermutlich) widerlegt Offene Fragen PTAS für -KP finden monotonen Algorithmus für G-KP finden Netztopologie berücksichtigen 16

76 Ausblick [hau et al., 2014], behandelt im Vortrag am anreizkompatibles PTAS für -KP für ϕ [0, π 2 ) anreizkompatibles FPTAS für Fall ϕ ( π 2, π), der Kapazitätsbedingung um höchstens 1 + ɛ verletzt Erweiterung auf multi-minded agents [Khonji et al., 2014], behandelt im Vortrag am Fall ϕ ( π 2, π) existiert kein α-approximationsalgorithmus -KP ausgeforscht, Konzentration auf G-KP [Khonji et al., 2016] Erweitert -KP auf Scheduling Problem mit diskreten Zeitschlitzen Greedy 1 2 cos ϕ 2 -Approximation für -KP in O(n log n) ϕ 17

77 Literaturverzeichnis [hau et al., 2014] hi Kin hau, Khaled Elbassioni, and Majid Khonji. Truthful mechanisms for combinatorial A electric power allocation. 13th International onference on Autonomous Agents and Multiagent Systems, AAMAS 2014, [Kellerer et al., 2004] Hans Kellerer, Ulrich Pferschy, and David Pisinger. Knapsack Problems, volume [Khonji et al., 2014] Majid Khonji, hi Kin hau, and Khaled Elbassioni. Inapproximability of power allocation with inelastic demands in A electric systems and networks. Proceedings - International onference on omputer ommunications and Networks, IN,

78 Literaturverzeichnis [Sianaki et al., 2010] Omid Ameri Sianaki, Omar Hussain, and Azadeh Rajabian Tabesh. A Knapsack problem approach for achieving efficient energy consumption in smart grid for endusers life style IEEE onference on Innovative Technologies for an Efficient and liable Electricity Supply, pages , [Yu und hau, 2012] Lan Yu and hi-kin hau. omplex-demand Knapsack Problems and Incentives in A Power Systems. 2005, [Briest et al., 2011] Patrick Briest, Piotr Krysta, and Berthold Vöcking. Approximation Techniques for Utilitarian Mechanism Design. Stoc, 40(6): ,

79 Literaturverzeichnis [Khonji et al., 2016] Majid Khonji, Areg Karapetyan, Khaled M Elbassioni, and Sid hi-kin hau. omplex-demand Scheduling Problem with Application in Smart Grid. orr, abs/1603.0, [Frieze et al., 1984] A. M. Frieze and M. R B larke. Approximation algorithms for the m-dimensional 0-1 knapsack problem: Worstcase and probabilistic analyses,

80 FPTAS zu 1-KP Spezialfall ganzzahliger Werte v i Dynamische Programmierung [Kellerer et al., 2004] Exakte Lösung in O(n 2 V ), wobei n = I, V = max i I v i Pseudopolynomiell kursionsgleichung:, falls v < 0 (i, v) = 0, falls i = v = 0 min{(i 1, v), (i 1, v v i ) + w i }, sonst (i, v) minimal nötige Kapazität, um unter Berücksichtigung der ersten i Gegenstände Wert v zu erreichen Wert der Optimallösung arg max 0 v nv {(n, v) (n, v) } 10

81 FPTAS zu 1-KP Idee für 1 ɛ-approximation: diskretisiere Werte in O( 1 ɛn) Stufen berechne Lösung des dynamisches Programm auf abgerundeten Werten Lösungsgüte 1 ɛ Algorithm 1 Alg 1d [(w i, v i : i I ), ] 1: V max i I {v i } 2: N 1 ɛ I 3: for i I do 4: ṽ i v i V N 5: end for 6: K solve-dp[(w i, ṽ i : i I ), ] 7: return K N = 5 10

82 FPTAS zu 1-KP Idee für 1 ɛ-approximation: diskretisiere Werte in O( 1 ɛn) Stufen berechne Lösung des dynamisches Programm auf abgerundeten Werten Lösungsgüte 1 ɛ Algorithm 1 Alg 1d [(w i, v i : i I ), ] 1: V max i I {v i } 2: N 1 ɛ I 3: for i I do 4: ṽ i v i V N 5: end for 6: K solve-dp[(w i, ṽ i : i I ), ] 7: return K N = 5 10

83 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Algorithm 1 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 1d [( w i, v i : i I ), 2 ] return K 19

84 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach v(k) = [Yu und hau, 2012]): i K v i, w(k) = i K w i Partitioniere I in I 1 = {i I : w i D 1 } und I 2 = {i I : w i D 2 } Alg 1d liefert Lösungen K 1, K 2 Optimallösungen K 1, K 2 w(k 1 ) 2 K 2 = {arg max i I v i }, denn i I 2 : w i = 2 Alg 1d liefert Lösung K = max{k 1, K 2 } 19

85 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 19

86 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 19

87 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): D 1 D 2 w( K ) 19

88 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): I w( K ) 19

89 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): I 1 I = I 1 I 2 v( K ) = max i {1,2} v( K i ) I 2 w( K 1 ) w( K 2 ) 19

90 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) des projizierten Problems auf I i 19

91 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) Fall w(k ) D 1 : des projizierten Problems auf I i klar: v(k) v(k 1 ) ρv( K 1 ) = ρv(k ) D 1 D 2 19

92 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) Fall j K : w j D 1 : des projizierten Problems auf I i 2 < w(k ) und j K : w j 2 19 K = K 1 K 2 mit w(k 1 ), w(k 2 ) D 1 v(k) v(k 1 ) ρ 2 2v( K 1 ) ρ 2 (v(k 1 ) + v(k 2 )) = ρ 2 v(k ) D 1 D 2

93 Approximationsgüte von Alg b Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) Fall j K : w j D 1 : des projizierten Problems auf I i 2 < w(k ) und j K : w j 2 19 K = K 1 K 2 mit w(k 1 ), w(k 2 ) D 1 v(k) v(k 1 ) ρ 2 2v( K 1 ) ρ 2 (v(k 1 ) + v(k 2 )) = ρ 2 v(k ) D 1 D 2

94 Approximationsgüte von Alg b 19 Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) Fall!j K : w j D 2 : des projizierten Problems auf I i K \ {j} I 1, also v(k \ {j}) v( K 1 ) j I 2, also v({j}) v( K 2 ) v(k) 1 2 (v(k 1) + v(k 2 )) ρ 2 (v( K 1 ) + v( K 2 )) ρ 2 v(k ) D 1 D 2

95 Approximationsgüte von Alg b 19 Satz. Ist Alg 1d ein ρ-approximationsalgorithmus für 1-KP, so ist Alg b ein ρ 2 -Approximationsalgorithmus für -KP Beweis (nach [Yu und hau, 2012]): Optimallösung des Gesamtproblems K Optimallösungen K i v(k i ) ρv( K i ) Fall!j K : w j D 2 : des projizierten Problems auf I i K \ {j} I 1, also v(k \ {j}) v( K 1 ) j I 2, also v({j}) v( K 2 ) v(k) 1 2 (v(k 1) + v(k 2 )) ρ 2 (v( K 1 ) + v( K 2 )) ρ 2 v(k ) D 1 D 2

96 Anreizkompatible Zahlungsfunktion kritischer Wert für Agent a: θ a (d a, t a ) Agent a ist selektiert, genau dann, wenn v k θ a (d a, t a ) Idee: Lasse jeden selektierten Agenten seinen kritischen Wert zahlen { p A θ a (d a, t a ), falls a selektiert (t) a = 0, sonst θ a (d a, t a ) [0, v a ] kritischer Wert kann über binäre Suche bestimmt werden Annahme: v k N Stellt nichtnegative Nutzenfunktion sicher Die war so definiert: u a (t) = t a (A(t)) p a (t) 20

97 Approximationsalgorithmus zu G-KP Algorithm 3 Alg b [(w i, v i : i I ), ] 1: for i I do 2: w i min{ w R i +w I i 2, 2 } 3: end for 4: K Alg 3d [(( w i, wi R, wi I ), v i : i I ), 2, R, I ] 5: return K I R 21

98 Skizze PTAS für m-kp Nach [Frieze et al., 1984]: Durchlaufe alle möglichen Rucksäcke K I der Größe O(m 1 ɛ ɛ ) Betrachte Gegenstände in K als selektiert, führe LP auf restlichen Gegenständen I \ K aus Runde Ergebnis x ab 22