3. Das Auslastungsspiel

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1 Literatur: 3. Das Auslastungsspiel R. W. Rosenthal. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria. International Journal of Game Theory 2, pp D. S. Johnson, Chr. H. Papadimitriou, M. Yannakakis. How easy is local search? Proceedings of the 26th IEEE FOCS, pp A. Fabrikant, Chr. H. Papadimitriou, K. Talwar. The Complexity of Pure Nash Equilibria. Proceedings of the 36th ACM STOC D. Fotakis, S. Kontogiannis, P. Spirakis. Selfish Unsplittable Flows. Proceedings of the ICALP Awerbuch, Azar, Epstein. The Price of Routing Unsplittable Flow. Proceedings of the 37th ACM STOC Christodoulou, Koutsoupias. The Price of Anarchy of Finite Congestion Games. Proceedings of the 37th ACM STOC Schwerpunkte: allgemeines Auslastungsspiel (z.b. Netzwerkauslastung in allgemeinen Netzwerken) Koordinationsfaktor: Leistungsverlust durch fehlende Koordination Existenz von reinen Nash Equilibrien / Berechnung reiner Nash Equilibrien PLS-Vollständigkeit Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

2 Auslastungsspiel: n Spieler 1,..., n, E endliche Menge von Betriebsmitteln, Strategiemenge S i Pot(E) für jeden Spieler i, 1 i n, Verzögerungsfunktion d e : {1,..., n} N für jedes e E, d e (j) nicht-fallend in j. Private Kosten bei Strategiewahl s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : f s (e) = {i; e s i } ist Zahl der Spieler die Betriebsmittel e benutzen, d e (f s (e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e, c i (s) = e si d e (f s (e)) sind private Kosten von Spieler i. Reines Nash Equilibrium s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : Für jeden Spieler i gilt c i (s 1,..., s i,..., s n ) c i (s 1,..., s i,..., s n) für alle s i S i. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

3 Netzwerk-Auslastungsspiel: G = (V, E) gerichteter Graph, n Spieler 1,..., n, a i V, b i V sind Start- und Zielknoten für Spieler i, 1 i n, S i Pot(E) ist Menge der Wege von a i nach b i für jedes i, 1 i n, Verzögerungsfunktion d e : {1,..., n} N für jedes e E, d e (j) nicht-fallend in j. Netzwerk-Auslastungsspiel ist genau dann symmetrisch, wenn a 1 =... = a n und b 1 =... = b n. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

4 Satz 3.1: Sei I = (n, E, S 1,..., S n, {d e } e E ) eine Instanz des Auslastungsspiels. I besitzt mindestens ein reines Nash Equilibrium. Beweis: Definiere Potentialfunktion h : (S 1... S n ) N durch h(s) = e E fs(e) j=1 d e (j). Wenn s = (s 1,..., s i,..., s n ) und s = (s 1,..., s i,..., s n), dann gilt: h(s) h(s ) = d e (f s (e)) e s i s i = c i (s) c i (s ). e s i s i d e (f s (e)) Hieraus folgt: h(s) minimal s ist Nash Equilibrium. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

5 Folgerung 1: Sei I = (n, E, S 1,..., S n, {d e } e E ) eine Instanz des Auslastungsspiels. Ein reines Nash Equilibrium für I kann in Zeit 0 n d e (j) e E j=1 berechnet werden. Folgerung 2: Wenn die Funktionen {d e } e E Polynomzeit berechnet werden. alle Polynome sind, dann kann ein reines Nash Equilibrium in Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

6 Auslastungsspiel mit Gewichten: n Spieler mit Gewichten w 1,..., w n ; W = n i=1 w i, E endliche Menge von Betriebsmitteln, Strategiemenge S i Pot(E) für jeden Spieler i, 1 i n, Verzögerungsfunktion d e : {1,..., W } N für jedes e E, d e (j) nicht-fallend in j. Private Kosten bei Strategiewahl s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : f s (e) = e si w i ist Gewicht der Spieler die Betriebsmittel e benutzen, d e (f s (e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e, c i (s) = e si d e (f s (e)) sind private Kosten von Spieler i. Reines Nash Equilibrium s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : Für jeden Spieler i gilt c i (s 1,..., s i,..., s n ) c i (s 1,..., s i,..., s n) für alle s i S i. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

7 Ein Auslastungsspiel mit Gewichten besitzt im Allgemeinen kein reines Nash Equilibrium! Beispiel: Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

8 Instanz ohne Potentialfunktion: (w 1 = 2, w 2 = 1) s 9/18/27 6/13/21 a c b d 2/10/20 2/4/16 e 20/40/60 t user 1 s path user 2 s path user 1 s latency user 2 s latency a, d e = a, d b, d = = 18 b, c b, d = = 22 b, c e = a, d e = Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

9 Satz 3.4: Sei I = (w 1,..., w n, E, S 1,..., S n, {d e } e E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels mit S i E für alle i. Dann besitzt I mindestens ein reines Nash Equilibrium. Satz 3.5: Sei I = (w 1,..., w n, E, S 1,..., S n, {d e } e E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels mit d e (x) = a e + b e x, a e, b e N, für alle e E. Dann besitzt I mindestens ein reines Nash Equilibrium. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

10 Beweis von Satz 3.5 Angabe einer Potentialfunktion h(s) = i [n] e s i w i [d e (f s (e)) + d e (w i )] = e E f s (e) d e (f s (e)) + i [n] e s i w i d e (w i ) Mit dieser Potentialfunktion h gilt: Wenn s S und s = (s i, s i ) für ein i [n] und s i S i, dann h(s) h(s ) = 2 w i [c i (s) c i (s )] Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

11 h ist Spezialfall von h Sei w i = 1 für alle i und d e (x) = a e + b e x e E h(s) = = = h(s) = = e E e E e E e E e E f s (e) d e (f s (e)) + (a e + b e f s (e)) f s (e) + i [n] e s i w i d e (w i ) e E (2a e + b e ) f s (e) + b e f s (e) 2 fs(e) j=1 (a e + b e j) a e f s (e) + b e fs(e) (f s (e) + 1) 2 (a e + b e ) f s (e) = 1 2 h(s) Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

12 Folgerung: Sei I = (w 1,..., w n, E, S 1,..., S n, {d e } e E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels mit d e (x) = a e + b e x, a e, b e N, für alle e E. Ein reines Nash Equilibrium für I kann in pseudopolynomieller Zeit berechnet werden. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

13 Auslastungsspiel: Preis der Anarchie Literatur: G. Christodoulou, E. Koutsoupias. The Price of Anarchy of Finite Congestion Games. Proceedings of the 37th ACM STOC, B. Awerbuch, Y. Azar, A. Epstein. The Price of Routing Unsplittable Flow. Proceedings of the 37th ACM STOC, S. Aland, D. Dumrauf, M. Gairing, B. Monien, F. Schoppmann. Exact Price of Anarchy for Polynomial Congestion Games. Proceedings of the 23rd STACS, Bemerkung: Wir betrachten zuerst reine Nash Equilibrien. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

14 Private Kosten bei Strategiewahl s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : f s (e) = i:e si w i ist die Summe der Gewichte der Spieler die Betriebsmittel e benutzen. d e (f s (e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e, c i (s) = e si d e (f s (e)) sind private Kosten von Spieler i. Soziale Kosten bei Strategiewahl s = (s 1,..., s n ) S 1... S n : Summe der Privaten Kosten SUM(s) = i [n] w i c i (s) = e E f s (e) d e (f s (e)) (In der Literatur wurden auch andere soziale Kostenmaße untersucht.) Preis der Anarchie/Koodinationsrate OP T = min s S SUM(s) ist optimale Zuweisung P oa pure = sup s ist NE SUM(s) OP T Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

15 Übersicht: P oa pure für ungewichtete Auslastungsspiele P oa pure symmetrisch Lineare Latenzfunktionen de(x) = ae x + be mit ae, be 0 e E Latenzfunktionen: Polynome vom Grad d de(x) = d i=0 a e(i)x i mit ae(i) 0 i {0,..., d}, e E 5n 2 2n+1 d Θ(d) asymmetrisch 5 2 P P := (k+1) 2d+1 k d+1 (k+2) d (k+1) d+1 (k+2) d +(k+1) d k d+1 k := Φ d und Φ d ist die positive reelle Lösung von (Φ d + 1) d = Φ d+1 d. Bemerkung: Ein Auslastungsspiel ohne Gewichte ist genau dann symmetrisch, wenn S i = S j für alle i {1,..., n}, j {1,..., n}. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

16 Hilfssätze Satz 3.6: Es seien α, β 0 nicht negative ganze Zahlen. Dann ist β (α + 1) 1 3 α β2. Satz 3.7: Es seien α, β 0 nicht negative reelle Zahlen, und Φ = Φ 1 = 1 2 (1 + 5). Dann ist β (α + β) 1 2Φ α2 + (Φ 2 Φ 2 ) β2. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

17 P oa pure für ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen Satz 3.8: Für ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen ist der Preis der Anarchie höchstens 5 2. Satz 3.9: Es gibt ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen und 3 oder mehr Spielern, für die der Preis der Anarchie gleich 5 2 ist. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

18 Übersicht: P oa pure für gewichtete Auslastungsspiele P oa pure asymmetrisch Lineare Latenzfunktionen de(x) = ae x + be mit ae, be 0 e E Latenzfunktionen: Polynome vom Grad d de(x) = d i=0 a e(i)x i mit ae(i) 0 i {0,..., d}, e E Φ d+1 d Φ d ist die positive reelle Lösung von (Φ d + 1) d = Φ d+1 d. Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

19 P oa pure für gewichtete Auslastungsspiele Satz 3.10: Für gewichtete Auslastungspiele mit linearen Latenzfunktionen ist der Preis der Anarchie höchstens Satz 3.11: Es gibt gewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen für die der Preis der Anarchie gleich ist. Bemerkung: Für d = 1 ist Φ d+1 d = Φ 2 1 = Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

20 P oa mixed : Preis der Anarchie für gemischte NE Private Kosten von Spieler i bei Strategiewahl π = (π 1,..., π n ) S S 1... S S n : c i (π) = s=(s 1,...,sn) S 1... Sn n k=1 π k (s k ) c i (s) Soziale Kosten bei Strategiewahl π = (π 1,..., π n ) S S 1... S S n : SUM(π) = i [n] w i c i (π) (gewichtete Summe der privaten Kosten) Preis der Anarchie/Koodinationsrate OP T = min π S S 1... S Sn SUM(π) ist optimale Zuweisung P oa mixed = sup π ist gemischtes NE SUM(π) OP T Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/

21 P oa mixed : Preis der Anarchie für gemischte NE Satz 3.12: Sätze gelten auch für P oa mixed : Für ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen ist P oa mixed 5 2 (3.8). Es gibt ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen und 3 oder mehr Spielern, für die P oa mixed = 5 2 (3.9). Für gewichtete Auslastungspiele mit linearen Latenzfunktionen ist P oa mixed (3.10). Es gibt gewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen für die P oa mixed = (3.11). Universität Paderborn Algorithmische Spieltheorie WS 2007/