Optimale Stationierung von Rettungshubschraubern

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1 Rettungshubschraubern Universität Stuttgart Mathematische Modellierung Priv.-Doz. Dr. Iryna Rybak SS Julia Löffelhardt

2 Gliederung 1. Einführung 2. Modellrahmen 3. 1 Hubschrauber 1. 1 Hubschrauber, 2 Orte 2. 1 Hubschrauber, 3 Orte 3. 1 Hubschrauber, Orte 4. Allgemeiner Fall (n Hubschrauber, Orte) 1. Kontinuierliche Modelle 2. Kombinatorische Modelle 3. Gleichmäßige Auslastung 5. Lösungsheuristik 6. Anmerkungen 2

3 1. Einführung Betrachtung der Skigebiete (109) in Südtirol in 2D x= 93 y=63,5 3 Ortlieb et al.. S. 72

4 2. Allgemeiner Modellrahmen Gegebene Daten Ortskoordinaten der Skigebiete: P i =(x i,y i ), i=1,, Unfallhäufigkeit/ Ort: Gewichte w 1,, w >0 Anzahl der Hubschrauber: n< Gesuchte Größen n Standorte für die Hubschrauber: Q j =(u j,v j ), j= 1,, n Funktion, die jedem Hubschrauber seinen Wirkungskreis zuordnet: h: 1,, {1,, n} 4

5 Orte/ Skigebiete 2. Allgemeiner Modellrahmen Grafische Darstellung: Standort und Zuordnung h h: 1,, {1,, n}: n=3, = 16 Hubschrauber 5 Ortlieb et al., 2013, S.76

6 2. Allgemeiner Modellrahmen Weitere Annahmen: Bestimmung der Qualität des Standorts durch Flugzeit zum Unfallort Flugzeit proportional zur Länge der geraden Strecke Maß für die Flugzeit: euklidische Abstand: P=(x,y), Q=(u,v) d P, Q P Q = x u 2 + (y v)² 6

7 3. 1 Hubschrauber n=1 h fest Gesucht: Q= (u,v) als bester Standort Teilproblem der allgemeinen Fragestellung Einfachster Fall 7

8 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte n=1, =2 Orte P 1,P 2 mit w 1 = w 2 Bester Standort: Mittelpunkt der Strecke P 1 P 2 w 1 <w 2 Beispiel: P 1,P 2, w 1 =1, w 2 =2 bester Standort näher an P 2 Q = w 1 w 1 + w 2 P 1 + w 2 w 1 + w 2 P 2 = P 1 + w 2 w 1 + w 2 (P 2 P 1 ) = 1 3 P P 2 8

9 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte Zielkonflikt: d(p 1, Q) und d(p 2, Q) möglichst minimal Q nicht auf P 1 P 2 Abstände geringer, indem Q durch nächsten Punkt auf P 1 P 2 ersetzt wird: 9

10 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte Zielkonflikt: d(p 1, Q) und d(p 2, Q) möglichst minimal Auf P 1 P 2 : Verringerung von d(p 2, Q) Vergrößerung von d P 1, Q und umgekehrt: 10

11 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte Kompromiss Wahl hängt von Gesichtspunkt ab 3 verschiedene Kriterien: a) Gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer b) Minimale Gesamtflugzeit c) Gewichtete Mittelbildung 11

12 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte a) Gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer Q sollte so gewählt werden, dass F (Q) max(d P 1, Q, d P 2, Q ) minimal wird (Q P 1 P 2 ). P 1,P 2 auf der x- Achse an x 1,x 2 mit x 1 <x 2 & w 1,w 2 mit w 1 <w 2. Für jedes u x 1, x 2 F Q max u x 1, x 2 u, mit Minimum u = x 1 + x 2 2 Lösung: Q = 1 2 P P 2 Unabhängig von w 1,w 2 12

13 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte b) Minimale Gesamtflugzeit Q sollte so gewählt, dass F 1 Q w 1 d P 1, Q + w 2 d P 2, Q minimal wird. P 1,P 2 auf der x- Achse an x 1,x 2 mit x 1 <x 2 & Gewichten w 1,w 2, w 1 <w 2. Für jedes u x 1, x 2 F 1 u = w 1 u x 1 + w 2 x 2 u = w 1 u w 1 x 1 + w 2 x 2 w 2 u = w 1 w 2 u w 1 x 1 + w 2 x 2 hat Minimum in u=x 2. Lösung: Q= P 2 (falls w 1 <w 2 ) Verfahren ohne Berücksichtigung der Minderheit! Im Falle w 1 =w 2 ist jeder Punkt auf der Strecke P 1 P 2 eine Lösung. 13

14 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte c) Gewichtete Mittelbildung Q sollte so wählen, dass F 2 Q w 1 d P 1, Q ² + w 2 d P 2, Q ² minimal wird. P 1,P 2 auf der x- Achse an x 1,x 2 mit x 1 <x 2 & w 1,w 2 mit w 1 <w 2. Für jedes u x 1, x 2 : F 2 u = w 1 u x w 2 u x 2 2 = w 1 u 2 2x 1 u + x w 2 (u 2 2x 2 u + x 2 2 ) F 2 u = 2w 1 u 2x 1 w 1 + 2w 2 u 2x 2 w 2 =0 :2 +x 1 w 1, x 2 w 2 u w 1 + w 2 = x 1 w 1 + x 2 w 2 u = w 1x 1 + w 2 x 2 w 1 + w 2 14

15 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte c) Gewichtete Mittelbildung Lösung: Q = w 1 w 1 +w 2 P 1 + w 2 w 1 +w 2 P 2 Schwerpunkt aller Unfallorte gezählt mit Unfallhäufigkeit Interpretation fehlt 15

16 3.1 1 Hubschrauber, 2 Orte Zusammenfassung Präzises mathematisches Problem mit F, F 1 oder F 2. a) Gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer F Unfallhäufigkeit spielt keine Rolle b) Minimale Gesamtflugzeit F 1 Mehrheitswahlrecht c) Gewichtete Mittelbildung F 2 Kompromiss 16

17 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte n=1, =3 3 Orte P 1,P 2,P 3 mit w 1 =w 2 =w 3 Betrachtung der drei Kriterien a) Gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer b) Minimale Gesamtflugzeit c) Gewichtete Mittelbildung 17

18 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte a) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F (Q) max(d P 1, Q, d P 2, Q, d(p 3, Q)) Ortlieb et al., S

19 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte a) Gleichmäßig schnelle Versorgung Lösung im stumpfwinkligen Dreieck: Ortlieb et al., S

20 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte b) Minimale Gesamtflugzeit Minimiere F 1 Q : = d P 1, Q + d P 2, Q + d(p 3, Q) Exkurs: Gradient der euklidischen orm f: R n R, f x = x = x i ² f x i = grad f = 1 n 2 i=1 x i ² x x ; n i=1 2x i = x = Q P: Q P Q P n = x i ² x i x i i=1 1 2 = Q P d(p,q) 20

21 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte b) Minimale Gesamtflugzeit Minimiere F 1 Q = d P 1, Q + d P 2, Q + d(p 3, Q) Lösung: konvexe, im Dreiecksinneren differenzierbare Funktion. gradf 1 Q = Q P 1 d(p 1, Q) + Q P 2 d(p 2, Q) + Q P 3 d(p 3, Q) Vektoren haben Länge 1, müssen sich zum ullvektor addieren, d.h. Winkel je 120 Fermat- Punkt (Dreieckswinkel <120 ) 21

22 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte Ortlieb et al., S

23 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte b) Minimale Gesamtflugzeit Minimiere F 1 Q = d P 1, Q + d P 2, Q + d(p 3, Q) Falls ein Winkel im Dreieck mindestens 120 groß: Fermat- Punkt existiert nicht Gesuchte Lösung ist genau dieser Punkt, an dem der Winkel >120 anliegt 23

24 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte c) Gewichtete Mittelbildung Minimiere F 2 Q d P 1, Q 2 + d P 2, Q 2 + d(p 3, Q)² Lösung: konvexe, überall differenzierbare Funktion grad F 2 Q = 2d P 1, Q Q P 1 d P 1, Q + 2d P 2, Q Q P 2 d P 2, Q + 2d P 3, Q Q P 3 d P 3, Q = 2(Q P 1 + Q P 2 + Q P 3 ) =0 :2 +P 1 +P 2 +P 3 :3 Q = 1 3 (P 1 + P 2 + P 3 ) Schwerpunkt 24

25 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte c) Gewichtete Mittelbildung Minimiere F 2 Q d P 1, Q 2 + d P 2, Q 2 + d(p 3, Q)² Ortlieb et al., S

26 3.2 1 Hubschrauber, 3 Orte Zusammenfassung 26

27 3.3 1 Hubschrauber, Orte n=1, >2 Orte P 1,,P mit den Unfallhäufigkeiten/ Gewichten w 1,,w Betrachtung der drei Kriterien a) Gewichtete Mittelbildung b) Gleichmäßig schnelle Versorgung der Opfer c) Minimale Gesamtflugzeit 27

28 3.3 1 Hubschrauber, Orte a) Gewichtete Mittelbildung Minimiere F 2 Q i=1 w i d(p i, Q)² Lösung: grad F 2 Q = 2 i=1 w i (P i, Q) =0 :2 i=1 w i P i i=1 w i Q = 0 + i=1 w i Q i=1 w i P i = Q i=1 w i : i=1 w i Q = i=1 i=1 w i w i P i 28

29 3.3 1 Hubschrauber, Orte a) Gewichtete Mittelbildung Setze Q ein: i=1 w i P i Q = w i P i i=1 w i P i = w i P i i=1 i=1 i=1 i=1 w i w i P i i=1 w i P i Q i=1 i=1 w i = 0 w i 29

30 3.3 1 Hubschrauber, Orte a) Gewichtete Mittelbildung Q ist Minimum, denn für jeden Punkt R in der Ebene ist: F 2 R = w i d P i, R 2 = w i P i R 2 = w i P i Q + Q R 2 i=1 i=1 i=1 = w i P i Q 2 + Q R P i Q, Q R i=1 = F 2 Q + w i d(q, R)² i=1 Und daher: F 2 R > F 2 Q Q Minimum 30

31 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: keine geschlossene auswertbare Formel 31

32 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: grafische Darstellung (=6) 32

33 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: grafische Darstellung (=6) 33

34 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: grafische Darstellung (=6) 34

35 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: grafische Darstellung (=6) 35

36 3.3 1 Hubschrauber, Orte b) Gleichmäßig schnelle Versorgung Minimiere F Q max i d(p i, Q) Lösung: Elzinga- Hearn- Algorithmus 36

37 3.3 1 Hubschrauber, Orte c) Minimale Gesamtflugzeit Minimiere F 1 Q : = i=1 w i d(p i, Q) Lösung: muss nicht eindeutig sein! Q {P i }; i=1,, ist genau dann optimal, wenn w i i=1 P i Q = 0 d(p i, Q) Q Є {P i }; i=1,,, Q=P j ist genau dann optimal, wenn i=1 i j w i P i P j d(p i,p j ) w j. 37

38 4. Allgemeiner Fall (n Hubschrauber, Orte) Orte/ Skigebiete mit Koordinaten P i =(x i,y i ), i1,, Gewichte/ Unfallhäufigkeiten w 1,, w >0 n= Anzahl der Hubschrauber, wobei n< 1. Kontinuierliche 2. Kombinatorische Modelle Modelle 38

39 4.1 Kontinuierliche Modelle Jeder Punkt der Ebene kommt in Frage: Kreuzspitze 39 ww.outdooractive.com%2fimg%2f800%2f%2f % 2F.jpg&imgrefurl=http%3A%2F%2Fwww.ammergauer-

40 4.1 Kontinuierliche Modelle Annahmen: Jeder Punkt der Ebene kommt in Frage Gleichmäßige Auslastung der Hubschrauber irrelevant 40

41 4.1 Kontinuierliche Modelle Gesucht sind: Standorte Q 1 =(u 1,v 1 ),, Q n =(u n,v n ) für die Hubschrauber Zuordnung h:{1,,} {1,,n} so dass n F 1 Q 1,, Q n, h w i d(p i, Q h(i) ) i=1 n F 2 Q 1,, Q n, h i=1 w i d(p i, Q h(i) )² F Q 1,, Q n, h max i d(p i, Q h(i) ) minimal wird. 41

42 4.2 Kombinatorische Modelle Annahme: als Standorte sind P 1,,P möglich Rein kombinatorisches Problem, denn wenn Orte fest sind, sind nur die Distanzen wichtig: a(i,j);=d(p i,p j ) für i,j=1,, Möglich von direkter Verbindung abzuweichen Möglichkeiten, die Hubschrauber zu platzieren: n 42

43 4.2 Kombinatorische Modelle Gesucht ist Teilmenge: j 1,, j n 1,, Zuordnung h: 1,, j 1,, j n so dass F 1 j 1,, j n, h n w i a(i, h(i)) i=1 n F 2 j 1,, j n, h i=1 w i a(i, h(i))² F j 1,, j n, h max i a(i, h(i)) minimal wird 43

44 4.2 Kombinatorische Modelle Falls n=1,=3 Distanzmatrix: d(p 1, P 1 ) d(p 1, P 2 ) d(p 1, P 3 ) d(p 2, P 1 ) d(p 2, P 2 ) d(p 2, P 3 ) d(p 3, P 1 ) d(p 3, P 2 ) d(p 3, P 3 ) 44

45 4.2 Kombinatorische Modelle Falls n=1, =3 Distanzmatrix: d P 1, P 1 = 0 d P 1, P 2 = 7 d P 1, P 3 = 3 d P 2, P 1 = 7 d P 2, P 2 = 0 d P 2, P 3 = 2 d P 3, P 1 = 3 d P 3, P 2 = 2 d P 3, P 3 = F j 1,, j n, h max i a(i, h(i)) mit a(i,j):=d(p i,p j ) für i,j=1,2,3 <- minimieren Q=P 3 45

46 4.3 Gleichmäßige Auslastung Annahme: Auslastung ist proportional zur Anzahl der Unfälle Sei w:= w 1 + +w Gleiche Auslastung wäre der Fall, wenn jeder der n Hubschrauber w/n Unfälle bearbeitet 46

47 4.3 Gleichmäßige Auslastung ebenbedingungen: Kontinuierliche Modelle: i h 1 (k) w i 1 n i=1 Für k=1,,n. C>0, möglich: C = max i Kombinatorische Modelle: Für k=1,,n. i h 1 (j k ) w i 1 n i=1 w i + C w i w i + C 47

48 5. Lösungsheuristik Ohne ebenbedingungen Algorithmus für Probleme mit 1 Hubschrauber ( Lösung:= Pseudoschwerpunkt) 48

49 5. Lösungsheuristik Satz (notwendige Optimalitätsbedingung): Bei einer Optimallösung eines unserer Probleme sind die folgenden Bedingungen erfüllt: Jeder Unfallort ist einem Hubschrauber zugeordnet, der ihm am nächsten liegt Jeder Hubschrauberstandort ist Pseudoschwerpunkt der ihm zugeordneten Unfallorte 49

50 5. Lösungsheuristik Algorithmus: 1. Wähle zufällig n verschiedene Unfallorte als Hubschrauberstandorte aus 2. Ordne jedem Ort den nächsten Standort zu 3. Verlege jeden Standort in den Pseudoschwerpunkt der zugeordneten Orte Bewegt sich dabei noch ein Standort gehe zu 2 50

51 5. Lösungsheuristik Beispiel: 25 Orte, 3 Hubschrauber, w i =1, i=1,..,25 51 Ortlieb et al., S. 89

52 5. Lösungsheuristik Beispiel: 25 Orte, 3 Hubschrauber, w i =1, i=1,..,25 52 Ortlieb et al., S. 89

53 5. Lösungsheuristik Beispiel: 25 Orte, 3 Hubschrauber, w i =1, i=1,..,25 53 Ortlieb et al., S. 89

54 5. Lösungsheuristik Beispiel: 25 Orte, 3 Hubschrauber, w i =1, i=1,..,25 Ortlieb et al., S

55 5. Lösungsheuristik Südtirol: 3 Hubschrauber, 109 Skigebiete ( ur Skigebiete selbst als mögliche Standorte) n n F 1 j 1,, j n, h i=1 w i a(i, h(i)) ; F 2 j 1,, j n, h i=1 w i a(i, h(i))² 55 Ortlieb et al., S. 89f

56 6. Anmerkungen Es gibt nicht EI Model für dieses Problem: ebenbedingungen, verschiedene Zielfunktionen Abhängig von den Prioritäten Kontinuierliche/ kombinatorische Modelle 56

57 6. Anmerkungen Ähnliche Anwendungen: Verteilung von Polizeiwachen Platzierung von Krankenhäusern Verteilung der Feuerwehrstationen Fragen der Standortoptimierung 57

58 Quellen Hamacher, H. W. Mathematische Lösungsverfahren für planare Standortprobleme. Ortlieb, C.; v. Dresky, C.; Gasser, I.& Günzel S. (2013) Mathematische Modellierung. Eine Einführung in zwölf Fallstudien. 2. Auflage. Wiesbaden: Springer Spektrum. %2Fwww.hotelviehhofen.com%2Fimages%2Fwinterurlaubviehhofen%2Fskifahren-saalbach-hinterglemm-. Zugriff am bergrettung jpg. Zugriff am