Bildungsplan für die Berufsoberschule. Oberstufe der Berufsoberschule. Allgemeine Fächer. Heft 3 Mathematik. Schuljahr 1 und 2

Transkript

1 Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Ausgabe C LEHRPLANHEFTE REIHE K Nr. 88 REIHE L Nr. 119 REIHE M Nr. 67 Bildungsplan für die Berufsoberschule Oberstufe der Berufsoberschule Allgemeine Fächer Heft 3 Mathematik Schuljahr 1 und Juli 2009 Lehrplanheft 2/2009 NECKAR-VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis 1 Inkraftsetzung 2 Vorbemerkungen 3 Lehrplanübersicht Auf den Inhalt des Hefts Allgemeine Aussagen zum Bildungsplan wird besonders hingewiesen: Hinweise für die Benutzung Der Erziehungs- und Bildungsauftrag der beruflichen Schulen Der besondere Erziehungs- und Bildungsauftrag für die Oberstufe der Berufsoberschule Verzeichnis der Lehrplanhefte für die Berufsoberschule Impressum Kultus und Unterricht Ausgabe C Herausgeber Lehrplanerstellung Verlag und Vertrieb Bezugsbedingungen Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Lehrplanhefte Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg; Postfach , Stuttgart Landesinstitut für Schulentwicklung, Fachbereich Bildungsplanarbeit, Rotebühlstraße 131, Stuttgart, Fernruf Neckar-Verlag GmbH, Klosterring 1, Villingen-Schwenningen Die fotomechanische oder anderweitig technisch mögliche Reproduktion des Satzes bzw. der Satzanordnung für kommerzielle Zwecke nur mit Genehmigung des Verlages. Die Lieferung der unregelmäßig erscheinenden Lehrplanhefte erfolgt automatisch nach einem festgelegten Schlüssel. Der Bezug der Ausgabe C des Amtsblattes ist verpflichtend, wenn die betreffende Schule im Verteiler vorgesehen ist (Verwaltungs- vorher beim Neckar- vorschrift vom 8. Dezember 1993, K.u.U S. 12). Die Lehrplanhefte werden gesondert in Rechnung gestellt. Die einzelnen Reihen können zusätzlich abonniert werden. Abbestellungen nur halbjährlich zum 30. Juni und 31. Dezember eines jeden Jahres schriftlich acht Wochen Verlag, Postfach 1820, Villingen-Schwenningen. Das vorliegende LPH 2/2009 erscheint in der Reihe K Nr. 88, L Nr. 119, M Nr. 67 und kann beim Neckar-Verlag bezogen werden.

3 Mathematik 1 Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Stuttgart, 29. Juli 2009 Lehrplanheft 2/2009 Bildungsplan für die Berufsoberschule; hier: Oberstufe der Berufsoberschule Vom 29. Juli /4 I. II. Für die Berufsoberschule gilt der als Anlage beigefügte Lehrplan. Der Lehrplan tritt für das Schuljahr 1 am 1. August 2009, für das Schuljahr 2 am 1. August 2010 in Kraft. Im Zeitpunkt des jeweiligen Inkrafttretens tritt der im Lehrplanheft 7/1999 veröffentlichte Lehrplan in diesem Fach vom 28. Juli 1999 (Az. V/ /5 und V/ /7) außer Kraft.

4 2 Mathematik Vorbemerkungen Mathematikunterricht als Teil der Allgemeinbildung soll den Schülerinnen und Schülern folgende Grunderfahrungen ermöglichen: Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen (Mathematik und Alltagserfahrungen), Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln als geistige Schöpfungen, als deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen (innermathematisches Arbeiten), in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben. (Quelle: Winter, H. Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik in der Mathematik Nr. 61, 1996, Seite 37 46) Denken in Zusammenhängen, Modellierung realer Vorgänge, Techniken des Problemlösens sowie Darstellung und Interpretation von Ergebnissen werden zunehmend bedeutsamer. In das Zentrum des Unterrichts treten daher verstärkt mathematische Fertigkeiten wie logisches und sprachliches Erfassen der Ausgangssituation, mathematisches Modellieren realitätsbezogener Fragen, Plausibilitätsbetrachtungen, Wahl geeigneter Lösungsmethoden und Darstellungsformen, Prüfen, Interpretieren und Beurteilen von Ergebnissen und ihrer sinnvollen Genauigkeit, Argumentieren, Dokumentieren und Präsentieren. Grundlage dafür ist stets die Kenntnis von Fakten und Methoden. Dieses Wissen wird durch verbindende fundamentale Ideen wie Funktion, Iteration, Linearität, Approximation, Änderungsrate und Darstellung im Koordinatensystem miteinander vernetzt. Der Lehrplan betont Lernen durch Visualisieren, begünstigt offene Konzepte und explorierendes Lernen und fördert das Herausstellen und Nutzen von Querverbindungen im Sinne von vernetzendem Lernen. Zum Erreichen dieser Ziele ist die Verwendung technologischer Mittel hilfreich und zeitgemäß. Der Einsatz eines Computer-Algebra-Systems (CAS) leistet wertvolle Dienste. Seine Verwendung steht nicht im Zentrum des Mathematikunterrichtes, erleichtert aber die Konzentration auf die substanziellen mathematischen Fragestellungen. Die den mathematischen Methoden und Ergebnissen zugrunde liegenden Ideen können die Schülerinnen und Schüler durch Texte und Skizzen erläutern und in einfachen Fällen ohne Hilfsmittel durchführen. In zunehmendem Maße sollen die Schülerinnen und Schüler geeignete mathematische Verfahren selbst auswählen und ihre Ergebnisse selbst beurteilen. Die Dokumentation von Lösungsprozessen erfolgt immer in der Umgangssprache oder mathematischen Fachsprache und nicht in einer systemabhängigen Syntax. Symbolik und Regeln von Mengenlehre und Aussagenlogik werden so weit eingeführt und verwendet, wie dadurch mathematische Sachverhalte knapp und präzise dargestellt werden können.

5 Mathematik 3 In allen Lehrplaneinheiten begegnen die Schülerinnen und Schülern Problemstellungen, die sie mit Hilfe von Gleichungen bearbeiten sollen. Die benötigten Verfahren zum Lösen dieser Gleichungen und zur Untersuchung der Lösungsmenge sind in der Lehrplaneinheit 1 beschrieben. Die Inhalte dieser integrativen Einheit sollen im Schuljahr 1 an geeigneten Stellen behandelt werden. Neben den inhaltlichen Aspekten soll sich der Unterricht in allen Lehrplaneinheiten vor allem auch an den zugrunde liegenden fundamentalen mathematischen Ideen orientieren. Dies kann zum Beispiel für die Lehrplaneinheit 2 durch die folgende Matrix verdeutlicht werden. Inhalte Funktionsklassen Potenzfunktionen Polynomfunktionen Exponential- und Logarithmusfkt Trigonomische Funktionen Abschnittweise definierte Fkt.... Funktionale Zusammenhänge Symmetrie Verschiebung und Streckung Periodizität Asymptotisches Verhalten Fallunterscheidung Umkehrung Lösungsverfahren für Gleichungen... Die beschriebenen Inhalte sollen an mindestens einer Funktionenklasse so behandelt werden, dass sie auf die übrigen Funktionenklassen übertragen werden können. In der Matrix kommt dies dadurch zum Ausdruck, dass jede Zeile und jede Spalte mindestens einmal besetzt sind. Die Lehrplaneinheiten 3 und 7 ermöglichen den Schülerinnen und Schülern, mit Methoden der Differenzialrechnung und Integralrechnung Funktionen zu bearbeiten und Modellierungen durchzuführen. In den Lehrplaneinheiten 4, 5 oder 6 beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit einem weiteren Gebiet der Mathematik Vektorgeometrie, Stochastik oder Anwendungen aus der Wirtschaft. Sie lernen zentrale Problemkreise dieses Gebietes und deren wesentliche Lösungsmethoden und ihre Hauptergebnisse kennen. In beiden Jahrgangsstufen ist Zeit für handlungsorientiertes Erarbeiten der Themen ausgewiesen. Hier stehen eigenverantwortliches Arbeiten sowie Gruppenprozesse und Lernformen, die methodische und sozial-kommunikative Kompetenzen fördern, im Mittelpunkt. Dieser Teil des Lehrplans schafft zusätzlichen Freiraum für kleine Projekte, für Fächer übergreifende Ansätze und auch für die handlungsorientierte Bearbeitung von Gebieten, die über den verbindlichen Teil des Lehrplans hinausgehen. Diese Freiräume können an den verschiedenen Schultypen auch für eine profilorientierte Vertiefung genutzt werden.

6 4 Mathematik

7 Mathematik 5 Lehrplanübersicht Schuljahr Lehrplaneinheiten Zeitrichtwert Gesamtstunden Seite 1 Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) Gleichungen integrativ 7 2 Funktionen und ihre Schaubilder Analysis Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung 60 2 Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) Wahlthemen 4 Vektorgeometrie* Stochastik* Anwendungen aus der Wirtschaft* Vertiefung der Analysis Abschlussprojekt Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung 60 * Eines dieser Wahlthemen ist zu behandeln. 480

8 6 Mathematik

9 Mathematik 7 Schuljahr 1 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 30 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z. B. Projekt, Fallstudie, Planspiel, Rollenspiel Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 1 Gleichungen integrativ Die Schülerinnen und Schüler begegnen in den nachfolgenden Lehrplaneinheiten Problemstellungen, die sie mit Hilfe von Gleichungen bearbeiten und lösen können. Bekannte Verfahren zum Lösen von Gleichungen werden erweitert und ergänzt durch Methoden wie Faktorisierung, Substitution, Iteration und grafische Verfahren. Auf der Basis der gelernten Methoden können die Schülerinnen und Schüler entscheiden und beschreiben, ob eine Gleichung exakt oder nur näherungsweise lösbar ist, sowie die Vollständigkeit der Lösungsmenge begründen. Der zielorientierte Einsatz eines CAS unterstützt, dass Lösungsstrategien und Interpretation in das Zentrum des Unterrichts gerückt werden. Die Inhalte dieser integrativen Lehrplaneinheit werden nach Wahl der Fachlehrerinnen und Fachlehrer an geeigneten Stellen in die Lehrplaneinheiten 2 und 3 eingebracht. Näherungsverfahren grafisch experimentell iterativ Exakte Verfahren, Äquivalenzumformungen Umkehrung von Rechenoperationen Faktorisierung Substitution Fallunterscheidung Symmetriebetrachtung Vollständigkeit der Lösungsmenge Lösungsverfahren für Ungleichungen Gleichungssysteme Erraten mit Probe Intervallteilung, Newton-Verfahren Satz vom Nullprodukt Z. B. bei der Betragsfunktion Begründung z. B. mit Schaubild und Funktionstyp Z. B. mit Hilfe der Eigenschaften von Schaubildern und Funktionstermen In einfachen Fällen müssen die Schülerinnen und Schüler Gleichungssysteme auch ohne Hilfsmittel lösen können

10 8 Mathematik 2 Funktionen und ihre Schaubilder 75 Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Kenntnisse aus der Mittelstufe. Sie werden mit der mathematischen Fachsprache und abstrahierenden Vorgehensweisen bekannt gemacht. Die mathematischen Funktionen gründen sich auch auf Anwendungen aus Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften. Im Mittelpunkt dieser Lehrplaneinheit stehen Funktionen und ihre Schaubilder. Der sinnvolle Einsatz eines CAS ergänzt das Zeichnen und Interpretieren von Schaubildern und den Umgang mit Funktionstermen ohne Hilfsmittel. Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Sachverhalte in der mathematischen Notation sachlogisch dokumentieren und auf der Basis der gelernten Methoden begründen, ob ein Problem vollständig gelöst ist. Die Inhalte dieser Lehrplaneinheit werden anhand der unten aufgeführten Funktionstypen behandelt. Funktionsterme können auch Parameter enthalten. Funktionstypen Potenzfunktionen (auch mit negativen und rationalen Exponenten) Polynomfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Beschreibung einer Funktion verbal, Schaubild, Tabelle, algebraisch Das Schaubild einer Funktion globales Verhalten asymptotisches Verhalten Periodizität Verschiebung und Streckung in x- und in y- Richtung Symmetrie gemeinsame Punkte mit den Achsen und mit anderen Schaubildern Bestimmung des Funktionsterms aus Eigenschaften des Schaubilds Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion abschnittsweise definierte Funktionen Gravitationsgesetz Gewinn- und Kostenfunktionen Wachstums- und Zerfallsprozesse Schwingungen Schreibweisen: x f : x a e ; x IR g mit gx ( ) = ln( x); x IR K : y = sin( x) ; x [0;2π ] + Verhalten für betragsgroße x Schreibweisen: lim f(x) = a oder x f(x) a für x ; f(x) für x b Modellieren mit Funktionen

11 Mathematik 9 3 Analysis 75 Die Schülerinnen und Schüler lernen die Differenzial- und Integralrechnung und ihre Bedeutung für Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft kennen. Sie können die Ableitung als Änderungsrate und als Tangentensteigung und das bestimmte Integral als Flächeninhalt interpretieren. Sie erkennen die Integration als Umkehrung der Differenziation. Funktionstypen Potenzfunktionen (auch mit negativen und rationalen Exponenten) Polynomfunktionen natürliche Exponentialfunktionen trigonometrische Funktionen Die Inhalte dieser Lehrplaneinheit werden anhand der unten aufgeführten Funktionstypen sowie deren Linearkombinationen, Produkte und Verkettungen behandelt. Funktionsterme können auch Parameter enthalten. Änderungsverhalten einer Funktion Differenzenquotient und Differenzialquotient mittlere und lokale Änderungsrate Ableitungsfunktion auch die Ableitungsfunktion von f mit f(x) = ln(x) höhere Ableitungen Stammfunktion auch die Stammfunktionen von 1 fmitf(x) = x Zusammenhang zwischen den Schaubildern von F, f, f und f Ableitungsregeln Summen- und Faktorregel Produktregel Kettenregel Bevölkerungswachstum, Steuer, Geschwindigkeit, Ströme an eine ausführliche Behandlung der Logarithmusfunktion (Verkettung,..) ist nicht gedacht Funktionen wie z. B. f mit 2x f(x) = 3 x e oder f(x) = sin(ax+ b) müssen die Schülerinnen und Schüler auch ohne Hilfsmittel ableiten können. Lokales und globales Verhalten von Schaubildern Monotonie, Extrempunkte Krümmungsverhalten, Wendepunkte Tangente und Normale

12 10 Mathematik Bestimmung von Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften Integralrechnung bestimmtes Integral Berechnung des Integrals Modellieren mit Funktionen In einfachen Fällen (z. B. auch lineare Substitution) müssen die Schülerinnen und Schüler Integrale auch ohne Hilfsmittel berechnen können Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Anwendungen der Integralrechnung Arbeit, Ströme, Geschwindigkeit, Steuer Flächenberechnungen, Mittelwerte

13 Mathematik 11 Schuljahr 2 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 30 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z. B. Projekt, Fallstudie, Planspiel, Rollenspiel Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. Wahlthema 4 Vektorgeometrie 60 Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit geometrischen Objekten und ihren Lagebeziehungen und fördern dadurch ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Vektoren sind ein geeignetes Hilfsmittel zur Beschreibung geometrischer Objekte im Anschauungsraum. Lineare Gleichungssysteme dienen dazu, Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten zu untersuchen. Im Mittelpunkt soll die Interpretation der Ergebnisse stehen und nicht aufwändige Berechnungen. Diese können von einem CAS übernommen werden. Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Lösungsvielfalt von linearen Gleichungssystemen Einfluss von Parametern auf die Lösungsmenge In einfachen Fällen müssen die Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungssysteme auch ohne Hilfsmittel lösen können Geraden- und Ebenenscharen Rechnen mit Vektoren Vektoraddition, S-Multiplikation Linearkombination von Vektoren Skalarprodukt Betrag eines Vektors Winkel zwischen zwei Vektoren, Orthogonalität Vektorprodukt Normalenvektor, Flächeninhalt eines Parallelogramms r r Arbeit W= F s

14 12 Mathematik Punkte und Punktmengen im Anschauungsraum Darstellung im kartesischen Koordinatensystem Gerade, Strecke Ebene in Parameterdarstellung Ebene in parameterfreier Darstellung Normalenform, Hesse sche Normalenform, Koordinatenform Geradenscharen, Ebenenscharen Spurpunkte, Spurgeraden, Achsenschnittpunkte Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Identisch, parallel, windschief, Schnittpunkt, Schnittgerade Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Schnittwinkel senkrechte Projektion von Punkten und Geraden auf eine Ebene Spiegelungen Wahlthema 5 Stochastik 60 Die Schülerinnen und Schüler lernen zentrale Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen. Sie erlernen Methoden, mit denen sie Zufallsexperimente beschreiben, simulieren und interpretieren können. Ein CAS kann dabei die Schülerinnen und Schüler von langwierigen Berechnungen befreien und ersetzt aufwändiges Arbeiten mit Tabellen. Es ermöglicht die Konzentration auf die wesentlichen Inhalte. Zufallsexperimente Ergebnisse und Ereignisse relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten mehrstufige Zufallsexperimente kombinatorische Hilfsmittel zusammengesetzte Ereignisse und Additionssatz bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit von Ereignissen Baumdiagramm Vierfeldertafel

15 Mathematik 13 Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erwartungswert Varianz und Standardabweichung Binomialverteilung Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung Erwartungswert Normalverteilung als Grenzfall der Binomialverteilung Varianz und Standardabweichung einer Binomialverteilung Testen von Hypothesen Links- und rechtsseitiger Test zweiseitiges Testen Irrtumswahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art Wahlthema 6 Anwendungen aus der Wirtschaft 60 Die Schülerinnen und Schüler lernen zentrale Begriffe und Methoden kennen, um wirtschaftliche Gegebenheiten zu modellieren. Im Mittelpunkt soll die Interpretation der Ergebnisse stehen und nicht aufwändige Berechnungen. Diese können von einem CAS übernommen werden. Matrizen und Vektoren Matrizenoperationen Addition, S-Multiplikation, Matrizenmultiplikation inverse Matrizen einfache Matrizengleichungen Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus Lösungsvielfalt von linearen Gleichungssystemen In einfachen Fällen müssen die Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungssysteme auch ohne Hilfsmittel lösen können Mehrstufige Produktionsmodelle mengenmäßige Verflechtung, Produktion Kosten der Produktion Leontief-Modell Verflechtungsdiagramm Input-Output-Tabelle Technologie-Matrix Leontief-Inverse Input-Matrix

16 14 Mathematik Lineare Optimierung Modellierung grafisches Verfahren Sonderfälle und Lösbarkeit Simplex-Algorithmus für das Standard- Maximum-Problem 7 Vertiefung der Analysis 40 Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass sie mit den bisher erarbeiteten Methoden, insbesondere denen der Differenzial- und Integralrechnung, hervorragende Werkzeuge zur Untersuchung mathematischer sowie anderer wissenschaftlicher Problemstellungen an die Hand bekommen haben. Hier wird auch die enge Wechselbeziehung zwischen Mathematik und Sprache offenbar. Sie übersetzen das jeweilige Problem in ein mathematisches Modell. Selbständig entwickeln sie Lösungsstrategien und entscheiden, welche Methoden und Darstellungsformen geeignet sind. Sie erarbeiten Lösungen, die sie dann wiederum interpretieren und bewerten. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, an welchen Stellen ein CAS dabei wirksame Unterstützung (Visualisierung, Vereinfachung, Kontrolle etc.) bieten kann. Kurven und Kurvenscharen Einfluss des Scharparameters Ortskurve besonderer Punkte gemeinsame Eigenschaften Modellierung realer Probleme Entwicklung und Begründung eines Modellansatzes Lösung des Problems mit diesem Modell Interpretation der Lösung Bewertung des Modells Insbesondere Optimierungsprobleme: Bevölkerungsentwicklung, Materialverbrauch, Wegeprobleme, physikalische Vorgänge, Fragestellungen aus der Finanzmathematik 8 Abschlussprojekt 50 Die Schülerinnen und Schüler erweitern zu einem oder mehreren Gebieten ihre mathematischen Kenntnisse und wenden sie an. Mögliche Wahlthemen Vektorgeometrie Stochastik Anwendungen aus der Wirtschaft Komplexe Zahlen Geschichte der Mathematik etc.