n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2. (1.1)

Transkript

1 1 Optik 1.1 Prismenspektrometer Aufgaben: In diesem Versuch soll die Dispersionskurve eines Prismas durch Bestimmen der Winkel der Minimalablenkung für verschiedene Spektrallinien bekannter Wellenlänge ausgemessen werden. Danach soll mit Hilfe der so bestimmten Dispersionskurve das Spektrum einer unbekannten Lichtquelle vermessen werden. Am Beispiel der gelben Doppellinie des Quecksilbers soll schließlich das Auflösungsvermögen eines Prismas bestimmt werden. Vorkenntnisse: Brechungsgesetz von Snellius, Huygenssches und Fermatsches Prinzip, normale und anomale Dispersion, Durchgang von Licht durch ein Prisma, Minimum der Ablenkung, Auflösungsvermögen, Strahlengang im Prismenspektrometer, Gasentladung in Metalldampflampen, Emission und Absorption von Licht in Gasen und festen Körpern Grundlagen Spektrale Zerlegung des Lichts Zur Zerlegung des Lichts dienen Spektralapparate. Man unterscheidet Gitterspektrographen und Prismenspektrographen. Beim Gitter werden die Eigenschaften der Beugung ausgenutzt; man erreicht im allgemeinen eine höhere Auflösung als bei Prismen, d.h. eine bessere Trennung von benachbarten Spektrallinien. Die Wirkungsweise von Prismen beruht auf der Dispersion des Lichts aufgrund der Physik der Bindungselektronen in transparenten Materialien. Brechungsgesetz Fällt ein Lichtbündel (Normale der Wellenfront) auf die Grenzfläche zweier transparenter Materialien, so tritt neben teilweiser Reflexion eine Brechung auf, d.h. das Licht wird aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt, (Abb. 1.1). Der Zusammenhang von Einfallswinkel α 1 und Brechungswinkel α 2, gemessen in Bezug auf das Einfallslot, wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben: n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2. (1.1) Die Materialkonstante n heißt Brechungsindex oder Brechzahl und ist gegeben durch n = c/v, das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten c im Vakuum und v 11

2 1 Optik Abbildung 1.1: Lichtbrechung zwischen zwei transparenten Materialien mit v 1 > v 2 im Material. Von zwei Materialien gilt dasjenige als optisch dichter, in dem der Brechungsindex n größer ist. Umgekehrt wird das Material mit dem kleineren Brechungsindex als optisch dünner bezeichnet. In Abb. 1.1 ist der Fall n 1 < n 2 (v 1 > v 2 ) dargestellt: Beim Übergang 1 2 in ein optisch dichteres Medium wird der Lichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen. Dispersion Die die chemische Bindung vermittelnden äußersten Elektronen, die sowohl die thermischen als auch elastischen Eigenschaften von Festkörpern bewirken, bestimmen ebenfalls die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in diesen Materialien. Die dynamische Wechselwirkung zwischen einer Lichtwelle und dem Elektronensystem in einem im Sichtbaren transparenten Material lässt sich in vielen Fällen durch ein einfaches Dipol-Modell gut beschreiben. Die Phasenverschiebung zwischen der eingestrahlten und der von den Materialatomen wieder abgestrahlten Welle ist die Ursache für das Phänomen Brechung. Darüberhinaus muss Brechung immer wellenlängenabhängig sein, da die Ankopplung der Dipole an die einfallende Welle umso größer ist, je mehr sich die Frequenz dieser Welle einer der Eigenfrequenzen des Dipols annähert. Das wellenlängenabhängige Verhalten des Brechungsindex n wird durch die Dispersionskurve n = n(λ) beschrieben. Dieses Phänomen ist für optische Instrumente wie Linsen und Prismen sehr wichtig. Abb. 1.2 zeigt eine schematische Darstellung einer Dispersionskurve über einen ausgedehnten Wellenlängenbereich. Für die meisten transparenten Medien mit geringer Lichtabsorption, wie Gase, Flüssigkeiten oder Gläser, wächst der Brechungsindex im sichtbaren Spektralbereich mit abnehmender Wellenlänge. Dieses Verhalten bezeichnet man als normale Dispersion, dn/dλ < 0, d.h. blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes Licht. In Bereichen mit starker Absorption nimmt n mit wachsender Wellenlänge zu. Diese anomale Dispersion mit dn/dλ > 0 ist mit dem Auge nicht zu beobachten; sie tritt eher im Ultravioletten auf und kann zu Werten n < 1 führen (was nicht bedeutet, dass man dann Signalausbreitung mit Überlichtgeschwindigkeit erhält; eine gemeinsame Beschreibung von Lichtabsorption und Transmission führt zu 12

3 1.1 Prismenspektrometer einer komplexen Erweiterung des Brechungsindex n(λ) zu n(λ) + ik(λ)). Über das gesamte elektromagnetische Spektrum weist das Dispersionsverhalten eines Stoffes stets Bereiche normaler und anomaler Dispersion auf. Abbildung 1.2: Schematische Darstellung einer Dispersionskurve n = n(λ). Der schraffierte Bereich deutet das sichtbare Spektrum an. Ein qualitatives Verständnis der Dispersion erhält man aus der atomistischen Deutung (Dipol-Modell) der dielektrischen Polarisation. Man geht davon aus, dass die Elektronen in einem Material quasielastisch gebunden sind und durch das hochfrequente elektrische Feld E = E 0 cos(ωt) einer Lichtwelle aus ihrer Ruhelage ausgelenkt werden. Dies führt zum Aufbau einer zeitlich veränderlichen Polarisation P = (ɛ 1)ɛ 0 E, wobei die Dielektrizitätskonstante ɛ und der Brechungsindex verknüpft sind über die Maxwell-Relation n = ɛ. Zwischen dem Polarisationsvektor und der angreifenden Kraft baut sich eine Phasenbeziehung auf, ähnlich wie bei einem klassischen Oszillator. Sei ω 0 die Eigenfrequenz der Elektronen im Material, so folgt im quasielastischen Bereich ω ω 0 die Auslenkung der Ladung dem Feld, die Polarisation steht in Feldrichtung. Damit erhält man den normalen Fall ɛ > 1 oder n > 1. Im quasifreien Bereich ω ω 0 hingegen können die Ladungen dem anregenden Feld nicht mehr folgen, die Dipolmomente stehen in jedem Augenblick entgegengesetzt zur Feldrichtung. Dies führt zu ɛ < 1 und damit n < 1. Der Übergang zwischen n > 1 und n < 1 erfolgt ziemlich rasch in der Nähe der Eigenfrequenz und dieser Bereich großer Absorption kennzeichnet auch die anomale Dispersion. Im allgemeinen hat jedes Material mehrere Eigenfrequenzen ω 0i, deren höchste häufig im Röntgenbereich liegen. Mit der Sellmeier-Formel kann eine Dispersionskurve wie in Abb. 1.2 parametrisiert werden: n 2 1 = a 1 1 b + a b + a (1.2) λ 2 2 λ 2 Sie berücksichtigt in dieser Form zwei Eigenfrequenzen bei ω 01 = 2πc/ b 1 und ω 02 = 2πc/ b 2. Die Bereiche normaler und anomaler Dispersion sind durch schwache bzw. starke Absorption gekennzeichnet. Der Brechungsindex muss demnach für bestimmte Wellenlängen angegeben werden, Tabelle 1.1 enthält ihn für einige Materialien. Bei Messungen zur Optik im 13

4 1 Optik λ = 656,3 nm λ = 589,3 nm λ = 486,1 nm Wasser n = 1,3311 n = 1,3330 n = 1,3371 Benzol n = 1,4966 n = 1,5014 n = 1,5132 Quarzglas n = 1,4563 n = 1,4584 n = 1,4631 Kronglas n = 1,5076 n = 1,5100 n = 1,5157 Flintglas n = 1,6070 n = 1,6102 n = 1,6178 Tabelle 1.1: Brechungsindex für ausgewählte Materialien bei drei verschiedenen Wellenlängen im sichtbaren Bereich Praktikum kann Vakuum durch Luft mit n L = 1 und vernachlässigbarer Dispersion angenähert werden. Minimalablenkung in einem Prisma Ein optisches Prisma ist ein durchsichtiger Körper, bei dem zwei ebene Begrenzungsflächen einen Winkel miteinander einschließen. Dieser Winkel heißt der brechende Winkel und die Schnittgerade, in der die beiden Ebenen zusammentreffen, heißt die brechende Kante. In Abb. 1.3 ist der Strahlengang durch ein Pris- Abbildung 1.3: Strahlengang durch ein Prisma. ma mit dem brechenden Winkel ε gezeichnet. Ein monochromatisches, paralleles Lichtbündel treffe unter dem Winkel α 1 gegen das Einfallslot auf das Prisma. Das Lichtbündel wird unter einem Winkel α 2 gebrochen, trifft die andere Begrenzungsfläche unter dem Winkel β 1 und tritt unter dem Winkel β 2 aus dem Prisma aus. An der Eintritts- und Austrittsfläche erfolgt eine Brechung zum Lot hin bzw. vom Lot weg, gemäß sin α 1 = n sin α 2 und sin β 2 = n sin β 1. (1.3) Aus der Skizze lässt sich die gesamte Ablenkung um den Winkel δ ablesen ε = α 2 + β 1 (1.4) 14

5 1.1 Prismenspektrometer δ = α 1 α 2 + β 2 β 1 = α 1 + β 2 ε. (1.5) Unter Verwendung von Gl. (1.3) kann nun β 2 durch α 1 ausgedrückt werden. Man erhält den Ablenkungswinkel als Funktion von Einfallswinkel, brechendem Winkel und Brechungsindex [ ] δ = δ(α 1, ε, n) = α 1 ε + arcsin n 2 sin 2 α 1 sin ε sin α 1 cos ε. (1.6) Für ein bestimmtes Prisma (ε und n vorgegeben) nimmt der Ablenkungswinkel dann ein Minimum ein, δ = δ min, wenn das Prisma symmetrisch vom Licht durchstrahlt wird. Das Licht tritt senkrecht durch die Ebene, die den Winkel ε halbiert. Die zur Minimalablenkung gehörigen Winkel erfüllen die Relationen α 1 = β 2 = δ min + ε 2 Diese Werte werden in das Brechungsgesetz eingesetzt, und α 2 = β 1 = ε 2. (1.7) n = sin α 1 sin α 2 = sin β 2 sin β 1, (1.8) so dass sich schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex und dem Winkel der Minimalablenkung ergibt: n = sin((δ min + ε)/2). (1.9) sin(ε/2) Der Winkel der Minimalablenkung δ min wird gemessen. Der brechende Winkel der verwendeten Prismen beträgt ε = 60 und muss nicht gemessen werden. Auflösungsvermögen Eine wichtige Kenngröße des Prismas ist sein Auflösungsvermögen. Es wird definiert als A = λ (1.10) λ und gibt an, bei welcher Wellenlängendifferenz λ zwei Spektrallinien der Wellenlängen λ und λ + λ noch getrennt werden können. Die Auflösung wird durch die Beugungserscheinungen der benutzten meist vom Prisma begrenzten parallelen Lichtbündel eingeschränkt, bei maximaler Ausleuchtung also durch die von der Geometrie des Prisma und des Spaltrohres vorgegebene Bündelbegrenzung bei der Beobachtung des Spektrum. Bei symmetrischem Strahldurchgang und voller Ausleuchtung legt das Lichtbündel an der Prismenbasis S den optischen Weg n S zurück. Die Lichtwege der beiden Spektrallinien unterscheiden sich dann um S (dn/dλ) λ, und dieser Unterschied muss mindestens so groß wie die Wellenlänge λ sein, damit die Linien trennbar sind. Das Auflösungsvermögen des Prismas A = λ λ = S dn dλ (1.11) 15

6 1 Optik ist das Produkt aus der Basisbreite S des genutzten Teils des Prismas und der Dispersion dn/dλ des Glases. Man beachte, dass Gl. (1.11) unabhängig ist von weiteren geometrischen Größen wie brechendem Winkel oder Einfallswinkel, sofern das Prisma voll ausgeleuchtet ist Versuchsanordnung Lichtquellen Eine Spektrallinie ist das Licht einer genau definierten Frequenz, das von einem Atom oder Molekül aufgrund eines Übergangs aus einem Energieniveau auf ein anderes abgegeben oder absorbiert wird. Die Lage der Spektrallinien ist charakteristisch für jedes chemische Element und den Ionisierungszustand (Tabelle 1.2). Als Lichtquellen werden hier Spektrallampen verwendet, die aus einem mit Edelgas gefüllten Glas- oder Quarzkolben mit eingeschmolzenen Elektroden bestehen. Beim Betrieb mit Wechselstrom wird eine Glimmentladung gezündet, die nach Erwärmung der Elektroden in eine intensiv strahlende Bogenentladung übergeht. Bei den Natrium-, Cadmium- und Quecksilberlampen verdampft das Metall und übernimmt an Stelle des Edelgases die Lichtemission, da die Anregungsenergien der Metalle kleiner als die des Edelgases sind. Nach dem Einschalten der Lampe dauert es daher eine gewisse Zeit, bis die volle Lichtstärke erreicht ist. ACHTUNG: Die Spektrallampen werden nur über eine als Vorschaltwiderstand wirkende Drossel an das Netz angeschlossen. Wird die Spektrallampe direkt an eine 230V-Netzsteckdose angeschlossen, führt dies zur Zerstörung der Lampe! Es ist daher darauf zu achten, dass der Stecker der Spektrallampen in die vorgesehenen Buchsen der Drossel gesteckt wird. Wegen der starken UV- Linien des Quecksilbers soll man nicht allzu lange in das Licht der Hg-Lampen schauen. In Abbildung 1.4 werden Linienspektren von Ne, He und Hg gezeigt. Zu beachten ist, dass es sich bei diesen Darstellungen um überlagerte Aufnahmen handelt, um alle Linien optimal zu zeigen. Spektrometer Im Praktikum wird ein Spektrometer-Goniometer verwendet. Der Strahlengang durch einen Prismenspektralapparat und der Aufbau eines Prismenspektrometers sind in den Abbildungen 1.5 und 1.6 dargestellt. Wir beschränken uns auf die Frauenhofersche Beobachtungsweise, bei der man mit parallelen ebenen Wellenfronten arbeitet. Ebene Wellenfronten werden mit einer Kollimatorlinse im Kollimatorrohr erzeugt. Im Brennpunkt dieser Linse steht der Kollimatorspalt als in der Intensität regelbare Lichtquelle. Die Beobachtung paralleler Lichtbündel hinter dem Prisma erfolgt dann durch den umgekehrten Prozess, d.h. durch Abbildung in die Brennebene einer Sammellinse. Das Fernrohrobjektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild des Spalts, welches durch das als Lupe wirkenden Okular betrachtet wird, wobei zugleich ein Fadenkreuz scharf erscheint. An dem Fernrohr- Arm ist auf jeder Seite ein Nonius angebracht, mit dessen Hilfe eine Drehung des 16

7 1.1 Prismenspektrometer Abbildung 1.4: Spektrallinien von Neon, Helium, Quecksilber Fernrohrs relativ zum Teilkreis auf 1 genau abgelesen werden kann. Verwenden Sie während des gesamten Versuches denselben Nonius, weil der Winkelabstand zwischen den beiden Nonien nicht genau 180 beträgt! Bei richtiger Einstellung des Spektrometers sieht man durch das Fernrohr die farbigen Bilder des Spalts zusammen mit dem Fadenkreuz. Dazu muss gegebenenfalls etwas Streulicht von der bereitstehenden Schreibtischlampe in die Apparatur fallen. Das Fadenkreuz ist gegenüber der Vertikalen verdreht und kann nicht rotiert werden. Daher muss immer der Mittelpunkt des Fadenkreuzes zum Ablesen verwendet werden. Mit der großen Drehschraube unter dem Drehteller kann der Schwenkarm arretiert werden, so dass sich die Winkeleinstellung beim Ablesen nicht mehr ändern kann. In diesem Moment kann der Schwenkarm mithilfe der Feintriebsschraube bewegt werden, so dass eine genaue Positionierung des Fadenkreuzes auf einer Spektrallinie möglich ist. Man mache sich vor Beginn der Messungen mit den Einstellmöglichkeiten am Spektralapparat und mit der Funktionsweise des Nonius vertraut! Justierung des Spektrometers Das Prisma wird so auf den Prismentisch gesetzt, dass die Drehachse der Teilkreisplatte die Winkelhalbierende des brechenden Winkels schneidet. Das Lichtbündel des Kollimatorrohres soll die brechende Fläche des Prismas voll treffen. Wenn man eine Spektrallinie gefunden hat, wird das Okular so verschoben, dass die Linie (also das Abbild des Spaltes) scharf erscheint. Gegebenenfalls muss die Position des Spaltes so angepasst werden, dass er sich genau im Brennpunkt der Kollimatorlinse befindet. Die Feststellschraube an der Spaltkappe ist dabei be- 17

8 1 Optik Abbildung 1.5: Strahlengang durch ein Prismenspektrometer. Abbildung 1.6: Aufnahme eines Prismenspektralapparates. hutsam zu lo sen und ebenso wieder festzuziehen. Die Breite des Spaltes wird so weit wie mo glich verringert, so dass gerade noch alle Spektrallinien sichtbar sind. Ausserdem sollte man sich bemu hen, dass die Drehachse in der Mittelebene des Prisma liegt, d.h. das Spaltbild sollte sich nicht in der Ho he vera ndern, wenn das Fernrohr geschwenkt wird. Mit Hilfe der Ra ndelmuttern des Prismentisches wird dieser so justiert, dass die Mitte des Spaltbildes mit dem Schnittpunkt des Fadenkreuzes u bereinstimmt. Die Apparatur ist hinreichend gut eingestellt, wenn mit dem Prisma aus Flintglas die gelbe Hg-Doppellinie getrennt beobachtbar ist. 18

9 1.1 Prismenspektrometer Element λ [nm] Farbe relative Intensität Quecksilber (Hg I neutral) 579,07 gelb 60 (mittel) 576,96 gelb 50 (mittel) 546,07 grün 500 (stark) 491,60 blau-grün 20 (mittel) 435,83 violett 1000 (stark) 434,75 violett 100 (schwach) 433,92 violett 60 (schwach) 407,78 violett 30 (schwach) 404,66 dunkel-violett 400 (stark) 365,02 ultraviolett 600 (stark) 253,65 ultraviolett 1000 (sehr stark) Cadmium (Cd) 643,85 rot 1000 (stark) 508,58 blau-grün 500 (stark) 479,99 blau 150 (stark) 467,81 blau 100 (stark) Natrium (Na I neutral) 589,59 gelb 500 (stark) D 1 589,00 gelb 1000 (stark) D 2 Helium (He) 706,57 rot 20 (schwach) 706,52 rot (2 Linien) (stark) 667,82 rot 200 (stark) 587,56 gelb (3 Linien) 500 (sehr stark) 504,77 grün 10 (schwach) 501,57 grün 100 (mittel) 492,19 blau-grün 20 (mittel) 471,31 blau 30 (schwach) 447,15 blau-violett 200 (stark) 438,79 violett 10 (schwach) Zink (Zn) 636,23 rot 30 (mittel) 481,05 blau 400 (stark) 472,22 blau 250 (stark) 468,01 blau 100 (stark) Tabelle 1.2: Spektrallinien einiger Elemente, relative Intensitäten nicht von Element zu Element vergleichbar. 19

10 1 Optik Versuchsdurchführung Vermessung der Dispersionskurve eines Prismas Zunächst wird mit den bekannten Wellenlängen einer Spektrallampe die Dispersionskurve eines Prismas aufgezeichnet. Die HgCd-Lampe eignet sich gut wegen ihrer über das gesamte sichtbare Spektrum verteilten Spektrallinien. Zur Messung der minimalen Ablenkung lässt man das Licht schräg auf eine Prismenfläche auffallen. Das Bild des Spalts wird im Fernrohr betrachtet. Bei gleichsinniger Drehung von Prismentisch und Fernrohr beobachtet man, dass das Bild des Spalts, also eine gegebene Spektrallinie, bei einer bestimmten Stellung seine Richtung umkehrt: Es wandert zunächst in eine Richtung, bleibt dann stehen und wandert sodann in die andere Richtung zurück. Der Umkehrpunkt entspricht dem minimalen Wert der Ablenkung. Sobald der Umkehrpunkt durch Drehen des Prismentellers gefunden wurde, richtet man das Fadenkreuz auf die zu vermessende Spektrallinie aus. Die Winkelstellung am Umkehrpunkt ψ 1 wird abgelesen. Der gleiche Versuch wird wiederholt, wobei das Licht auf die andere Prismenfläche auftrifft und der Fernrohr-Arm auf die andere Seite geschwenkt wird. Die Minimalablenkung wird eingestellt und der Winkel ψ 2 abgelesen. Für den Winkel der Minimalablenkung δ min gilt dann 2 δ min = ψ 2 ψ 1. (1.12) Wenn der Nullpunkt der Winkelskala zwischen den beiden Ablesungen liegt, muss einer der Winkel entsprechend noch um 360 erhöht werden. Zur Bestimmung der Messunsicherheit auf die ψ i wiederholt man den gesamten Messvorgang für eine ausgewählte Linie mehrfach, mindestens zehnmal. Dazu gehören die Einstellung der Minimalablenkung, Anfahren der Linie mit dem Fadenkreuz und das Ablesen der Winkelposition an der Winkelskala mit dem Nonius. Jeder dieser Arbeitsschritte führt zu einer Streuung des Messwertes, die statistischer Natur ist. Die Standardabweichung σ ψ der sich ergebenden Verteilung der ψ i ist die Messunsicherheit auf ψ 1 und ψ 2. Die Messunsicherheiten auf δ min und n ergeben sich jeweils mit Hilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung. Dabei muss man darauf achten, die Winkelmaße wenn nötig ins Bogenmaß umzurechnen. Die Breite der Verteilung der ψ i bei dieser Rauschmessung sollte zwischen verschiedenen Experimentatoren verglichen werden. Da es nicht praktikabel ist, jede einzelne Spektrallinie so oft auszumessen, nimmt man an, dass die Streuung σ ψ für jede Spektrallinie gleich ist, und misst jede Linie dann zwei- bis dreimal aus. Dadurch reduziert man den Fehler auf den Mittelwert der Messwerte, der sich zu σ ψ / N ergibt, wobei N die Anzahl der unabhängigen Messungen an einer Linienposition ist. Zur Auswertung lässt sich die Sellmeier-Formel (1.2) im hier abgedeckten Wellenlängenbereich vereinfachen zu ( n(λ) = a 1 + b 1 λ + b ) 2. (1.13) 2 λ 4 20

11 1.1 Prismenspektrometer Man trägt also n gegen 1/λ 2 auf. Bei der Anpassung ist darauf zu achten, ob b 2 tatsächlich signifikant von Null abweicht. Ansonsten vereinfacht man Glg. (1.13) entsprechend. Identifizieren Sie den Glastyp des Ihnen vorliegenden Prismas! Bestimmung der Wellenlängen von Spektrallinien Die Spektrallampe aus dem vorhergehenden Teilversuch wird durch eine mit einem anderen Element ersetzt, z.b. Zn. Das Ziel soll es jetzt sein, die Wellenlängen der Spektrallinien der neuen Lampe mit Hilfe der zuvor bestimmten Dispersionskurve zu messen. Das Vorgehen ist dabei ganz analog zum ersten Teilversuch. Zur Auswertung wird die Dispersionskurve aus Glg. (1.13) invertiert und die Werte der so ermittelten Wellenlängen mit den Angaben in Tabelle 1.2 verglichen. Bestimmung des Auflösungsvermögens Abbildung 1.7: Schlitzblende mit Adapter auf Kollimatorrohr. Man überprüfe das Auflösungsvermögen eines Prismas gemäß Gl. (1.11) am Beispiel der gelben Hg-Doppellinie mit einem Abstand von 2,1 nm (HgCd-Lampe). Die Dispersion dn/dλ erhält man aus der zuvor gemessenen Dispersionskurve. Man überlege sich, mit welchem der Prismen die erforderliche Auflösung erreicht werden kann und versuche dann, die beiden Linien getrennt zu beobachten. Das Auflösungsvermögen des Prismas ist durch die folgende Gleichung gegeben, falls das Prisma nicht voll ausgeleuchtet ist: A = dn dλ 2 a sin ɛ 2 cos δ min+ɛ 2. (1.14) 21

12 1 Optik Dabei bezeichnet a die Breite des Lichtbündels, von dem das Prisma durchleuchtet wird. Ist das Prisma voll ausgeleuchtet, ergibt sich hieraus die Glg Um die Ausleuchtung des Prismas zu variieren, wird eine verschiebbare Schlitzblende verwendet, die durch eine aufsteckbare Hülse geschoben werden kann. Die Spaltbreite beginnt mit 0,5 mm und geht dann hoch in 0,5 mm-schritten bis 6 mm. Der Adapter wird auf das vordere Ende des Kollimatorrohres gesteckt (Abbildungen 1.7 und 1.8). Abbildung 1.8: Adapter für Schlitzblendenschieber. Angefangen wird mit einer großen Spaltbreite, wobei man die gelbe Doppellinie etwa auf die Okularmitte einstellt, aber nicht so, dass das Fadenkreuz die Linie teilt. Dabei wird, unter nachfolgender Variierung der Spaltbreite zu kleineren Werten hin, beobachtet, bei welcher Spaltbreite die Doppellinie nicht mehr auflösbar erscheint. Die beschränkte Anzahl der zur Verfügung stehenden Breiten der Schlitzblenden und das ein Stück weit subjektive Empfinden, ob das Linienpaar noch getrennt werden kann, erlauben nur eine grobe Angabe des Auflösungsvermögens. Der experimentell ermittelte Wert soll dann mit der Erwartung aus Glg. (1.10) verglichen werden. 22

13 1.2 Gitterspektrometer 1.2 Gitterspektrometer Aufgaben: In diesem Versuch soll die Gitterkonstante eines Strichgitters durch Bestimmen der Ablenkwinkel für verschiedene Spektrallinien bekannter Wellenlänge ausgemessen werden. Danach soll mit Hilfe der so bestimmten Gitterkonstante das Spektrum einer unbekannten Lichtquelle vermessen werden. Am Beispiel der gelben Doppellinie des Natriums soll schließlich das Auflösungsvermögen eines Gitters bestimmt werden. Vorkenntnisse: Brechungsgesetz von Snellius, Huygenssches und Fermatsches Prinzip, Beugung am Einzelspalt und am Gitter, Auflösungsvermögen, Strahlengang im Gitterspektrometer, Gasentladung in Metalldampflampen, Emission und Absorption von Licht in Gasen und festen Körpern Grundlagen Beugung am Gitter d b z =0 =d sin θ θ θ Abbildung 1.9: Beugungsgitter mit N parallelen Spalten, das senkrecht von einer ebenen Lichtwelle beleuchtet wird. Ein klassisches Beugungsgitter besteht aus einer Platte, in die mit einem Diamanten viele eng benachbarte parallele Furchen geritzt wurden. Metallische Oberflächen arbeiten als Reflexionsgitter, bei denen die ungeritzten Stellen die auftreffenden Wellen reflektieren. Abb. 1.9 zeigt schematisch ein Beugungsgitter aus Glas, bei dem das Licht an den ungeritzten Stellen hindurchtritt. Charakteristische Merkmale eines Gitters sind die Spaltbreite b eines einzelnen Spalts, die Gitterkonstante d als der Abstand zweier Spalte und die Gesamtzahl der Spalte bzw. Striche N. Bei diesem Versuch kann man sich auf die Frauenhofersche Beobachtungsweise beschränken, bei der man mit parallelen ebenen Wellenfronten arbeitet. Fällt eine ebene Welle senkrecht auf das Gitter, so beobachtet man für Richtungen nahe zur Einfallsrichtung die ursprüngliche Intensität. Unter größeren Winkeln jedoch bobachtet man die sich aus der Überlagerung der Quellen in den Spalten ergebende Intensitätsverteilung mit ihrer charakteristischen durch 23

14 1 Optik den Gangunterschied zwischen gleichphasig schwingenden Antennen bestimmten Struktur. Die elementare quantitative Beschreibung dieser Beugungsstruktur fußt auf dem Huygensschen Prinzip. Jeder Punkt in der Ebene der Spalte ist Ausgangspunkt von elementaren Kugelwellen, die alle in gleicher Phase schwingen. Die Überlagerung sämtlicher Kugelwellen führt zu Interferenzen und zur Bildung neuer Wellenfronten. Zwei elektromagnetische Wellen können miteinander interferieren, wenn sie die gleiche Frequenz bzw. Wellenlänge haben und eine zeitlich konstante Phasenbeziehung zwischen ihnen besteht. Wählt man den Beobachtungswinkel θ so, dass der Gangunterschied zwischen zwei in Beobachtungsrichtung aufeinanderfolgenden Wellenfronten gerade ein Vielfaches der Wellenlänge ist, = n λ, so besteht konstruktive Interferenz und man beobachtet Intensisätsmaxima. Man spricht von Beugungen 1. Ordnung (n = 1), 2. Ordnung (n = 2), etc. Die geometrische Beziehung zwischen Beugungswinkel und den Parametern des Gitters ergibt sich aus Abb Betrachtet man zwei Strahlenbündel aus benachbarten Spalten, die in der Gitterebene den Abstand d voneinander haben und unter dem Winkel θ gebeugt werden, so erhält man als Gangunterschied bzw. Wegdifferenz = d sin θ. (1.15) Die Bedingung für gleichphasige Überlagerung, zu der alle Spalte gleichermaßen beitragen und das zu einem Intensitätsmaximum der Ordnung n = 0,1,2,3... führt, ergibt sich als d sin θ = nλ. (1.16) Damit Beugung unter im Labor beobachtbaren Winkeln auftritt, müssen die Wellenlänge des Lichts und die Gitterkonstante d von gleicher Größenordnung, und zwar λ < d, sein. Wegen sin θ < 1 ist die maximal mögliche Ordnung gegeben durch n max = d/λ. Ferner folgt aus Glg. (1.16), dass für langwelliges Licht die Intensitätsmaxima unter größeren Winkeln auftreten als für kurzwelliges Licht. Zudem ist die Beugungsfigur symmetrisch zur Einfallsrichtung. Bei vorgegebener Wellenlänge ist der Beugungswinkel und damit auch die Trennung naher Spektrallinien um so größer, je enger der Spaltabstand ist. Wenn sich die Gitterebene nicht perfekt in der Senkrechten zum Spaltrohr befindet, muss Glg. (1.16) verallgemeinert werden, da in diesem Fall auch noch ein Gangunterschied vor dem Gitter berücksichtigt werden muss. Wenn ϕ der Drehwinkel des Gitters aus der Senkrechten ist, ergibt sich d(sin ϕ + sin(θ ϕ)) = nλ. (1.17) Hierbei ist θ jetzt der Beobachtungswinkel zum Spaltrohr. Intensitätsverteilung des gebeugten Lichts Die Intensität des Wellenfeldes hinter dem Gitter I(θ) wird durch zwei sich überlagernde Phänomene bestimmt: Die Interferenz zwischen den Lichbündeln der N 24

15 1.2 Gitterspektrometer Gitterspalte, die als kohärent emittierende Sender aufgefaßt werden können, und die Beugung an den einzelnen Spaltkanten mit dem spalttypischen Intensitätsprofil. Für die Intensitätsverteilung eines Beugungsgitters erhält man I(θ) I 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 sin ξ sin N η sin ξ = H N (η) = (1.18) ξ sin η ξ mit den Abkürzungen η = π(d/λ) sin θ und ξ = π(b/λ) sin θ. (1.19) Die Interferenzfunktion H N (η) bestimmt im wesentlichen die Helligkeitsverteilung. Die Hauptmaxima, deren Lage durch Glg gegeben ist, werden mit wachsender Spaltanzahl N immer schmaler und steiler. Die Intensität ist durch den zweiten Faktor in Glg gegeben. Er beschreibt die Beugungserscheinung am Einzelspalt und bewirkt eine Modulation der Hauptmaxima (mit Nullstellen bei sin θ = nλ/b). Zwischen den Hauptmaxima liegen N 2 kleine Nebenmaxima, deren Intensität jedoch mit I 0 /N 2 abnimmt. Für genügend große N sind diese Nebenmaxima daher vernachlässigbar. Spektrales Auflösungsvermögen Zur Trennung zweier Spektrallinien der Wellenlängen λ und λ+ λ nutzt man die Winkeldispersion des Gitters aus. Aus Glg erhält man nach Differentiation dθ dλ = θ λ = n d cos θ. (1.20) Nach dem Rayleigh-Kriterium können zwei Linien gerade noch getrennt werden, wenn das Beugungsmaximum der ersten Linie mit dem ersten Beugungsminimum der zweiten Linie zusammenfällt. Gemäß Glg. (1.18) entspricht dies für die Interferenzstreifen erster Ordnung der Bedingung η = π/n. Einsetzen in Glg ergibt λ θ = π d cos θ η = λ (1.21) d N cos θ und aus dem Vergleich mit Glg erhält man das Auflösungsvermögen A = λ λ = n N. (1.22) Das spektrale Auflösungsvermögen eines Gitterspektrometers ist gleich dem Produkt aus der Interferenzordnung n und der Anzahl N der beleuchteten Gitterspalte. Es ist unabhängig von der Gitterkonstanten Versuchsanordnung Für die Messungen wird ein Gitterspektrometer verwendet (Schema in Abb. 1.10). Der grundlegende Aufbau ist identisch zu dem Versuch zum Prismenspektrometer (Abschnitt 1.1.2). Mit einer Gasentladungslampe L wird ein verstellbarer Spalt 25

16 1 Optik Abbildung 1.10: Schematischer Aufbau eines Gitterspektrometers 26

17 1.2 Gitterspektrometer Sp am Kollimatorrohr beleuchtet. Die Kollimatorlinse K erzeugt aus dem vom Spalt kommenden Licht ein paralleles Bündel, das senkrecht auf das Gitter G fallen soll, das in der Mitte des Spektrometertisches aufgestellt wird. Das gebeugte Wellenfeld wird durch ein um die Spektrometerachse schwenkbares Fernrohr F beobachtet. Die Objektivlinse Ob erzeugt ein Zwischenbild an einer Stelle, in der ein Fadenkreuz eingebaut ist. Fadenkreuz und Spaltbild werden durch das Okular Ok betrachtet. Die Stellung des Fernrohres wird an einer Winkelteilung, die am Umfang des Spektrometers angebracht ist, mit Hilfe des Nonius auf 1 genau abgelesen Versuchsdurchführung Die Beziehung Glg. (1.16) kann dazu benutzt werden, durch Messung des Ablenkwinkels θ entweder die Wellenlänge λ bei bekannter Gitterkonstanten d, oder d bei bekanntem λ zu bestimmen. Sie haben mehrere Gitter zur Verfügung, deren Gitterkonstanten über etwa eine Größenordnung variieren. Das gröbste Gitter hat 50 Striche/mm, das feinste 600 Striche/mm. Gitter mit grober Teilung d.h. großer Gitterkonstanten erlauben die Beobachtung mehrerer Ordnungen. Hierzu verwendet man zweckmäßigerweise einfarbiges Licht wie das von Natrium. Bei Gittern mit kleiner Gitterkonstanten bzw. feiner Furchenteilung benutzt man mehrere Linien eines Spektrums in niedrigen Ordnungen. Es ist durchaus möglich, dass sich die Linien verschiedener Ordnung überschneiden. Bei visueller Beobachtung kann man das an der Farbe leicht erkennen. Die Zuordnung der Wellenlängen zu den farbigen Spektrallinien erfolgt mit Hilfe der Tabelle 1.2. Die Einrichtung des Spektrometers und das Vorgehen während der Versuchsdurchführung geschehen in Analogie zum Versuch zum Prismenspektrometer (Abschnitt 1.1.3). Im Unterschied zu diesem Versuch ist hier allerdings darauf zu achten, dass sich die Gitterebene möglichst genau im rechten Winkel zum Spaltrohr befindet und dass das Gitter dann im Folgenden auch keinesfalls mehr gedreht werden darf. Im Einzelnen läuft der Versuch dann wie folgt ab. Bestimmung der Gitterkonstante eines Beugungsgitters Zunächst wird mit den bekannten Wellenlängen einer Spektrallampe die Gitterkonstante eines Beugungsgitters mit Hilfe von Glg. (1.16) bestimmt. Hierzu eignet sich bei der Verwendung eines groben Gitters die Na-Lampe, deren gelbe Doppellinie man in vielen Ordnungen ausmessen kann. Da diese Doppellinie die einzige prominente Linie im Na-Spektrum ist, tritt keine störende Überlappung der Ordnungen wie bei anderen Spektrallampen auf. Verwendet man hingegen ein feines Gitter, bietet sich die HgCd-Lampe für diese Messung an. Sie hat mehrere prominente Spektrallinien, die das gesamte sichtbare Spektrum von rot bis violett abdecken. Zur Auswertung führt man eine lineare Regression gemäß Glg. (1.16) durch. Das Produkt aus Ordnung und Wellenlänge n λ trägt man dabei auf der Abszisse auf, 27

18 1 Optik da die Wellenlängendaten aus den Eichämtern (NIST, PTB) sehr genau bekannt sind und mithin als praktisch fehlerfrei angenommen werden können. Auf der Ordinate trägt man sin θ auf. Hierbei ist θ die Winkeldifferenz einer Spektrallinie zur Lage der nullten Ordnung. Die letztere muss in einer Wiederholungsmessung besonders genau bestimmt werden, weil ein Fehler im gemessenen Wert eine systematische Verschiebung aller anderen Messpunkte bewirkt. Idealerweise führt man diese Messung nicht mit einer Hg-Lampe durch, da diese starke UV-Linien enthält. Die Ordnung n muss hierbei in der einen Drehrichtung positiv und in der anderen negativ gezählt werden. Keinesfalls darf man über die Werte von θ mitteln und dann nur positive n verwenden, da dies in dem Fall, dass das Gitter nicht perfekt senkrecht zum Spaltrohr steht, zu einem systematisch falschen Wert für die Gitterkonstante führt. Erstellen Sie den zu Ihrer Anpassungsrechnung gehörenden Residuenplot. Darin lassen sich zum einen falsch zugeordnete Spektrallinien als Ausreißer erkennen. Zum anderen erkennt man schon minimale Verdrehungen des Gitters zur senkrechten Position an einem charakteristischen, systematischen Muster ( Wannenform ) im Residuenplot. Man führt dann stattdessen eine lineare Regression mit Glg. (1.17) durch, wobei man den Drehwinkel ϕ des Gitters z.b. durch Intervallschachtelung solange variiert, bis der Residuenplot keine Auffälligkeit mehr zeigt. Beachten Sie unbedingt auch die Hinweise zur Fehlerbetrachtung für die Bestimmung der Genauigkeit der einzelnen Linienpositionen, die in Abschnitt am Beispiel des Prismenversuchs beschrieben sind. Bestimmung der Wellenlängen von Spektrallinien Die Spektrallampe aus dem vorhergehenden Teilversuch wird durch eine mit einem anderen Element ersetzt. Das Ziel soll es jetzt sein, die Wellenlängen der Spektrallinien der neuen Lampe mit Hilfe der zuvor bestimmten Gitterkonstante zu messen. Man verwendet z.b. Hg(Cd) beim groben Gitter, oder auch Ne oder Zn. Bei einem feinen Gitter bietet sich die Ausmessung der Na-Doppellinie an. Das Vorgehen ist dabei ganz analog zum ersten Teilversuch. Die Werte der so ermittelten Wellenlängen werden mit den Angaben in Tabelle 1.2 verglichen. Bestimmung des Auflösungsvermögens Man überprüfe das Auflösungsvermögen eines feinen Gitters gemäß Gl. (1.22) am Beispiel der gelben Na-Doppellinie mit einem Abstand von 0,59 nm. Wurde in den vorangegangenen Teilversuchen ein grobes Gitter verwendet, kann in diesem Teilversuch anstelle der gemessenen Gitterkonstante die Herstellerangabe verwendet werden. Um die Ausleuchtung des Gitters zu variieren, wird eine verschiebbare Schlitzblende verwendet, die durch eine aufsteckbare Hülse geschoben werden kann. Die Spaltbreite beginnt mit 0,5 mm und geht dann hoch in 0,5 mm- Schritten bis 6 mm. Der Adapter wird auf das vordere Ende des Kollimatorrohres gesteckt (Abbildungen 1.7 und 1.8). Angefangen wird mit einer großen Spaltbreite, wobei man die gelbe Doppellinie et- 28

19 1.2 Gitterspektrometer wa auf die Okularmitte einstellt, aber nicht so, dass das Fadenkreuz die Linie teilt. Dabei wird, unter nachfolgender Variierung der Spaltbreite zu kleineren Werten hin, beobachtet, bei welcher Spaltbreite die Doppellinie nicht mehr auflösbar erscheint. Die beschränkte Anzahl der zur Verfügung stehenden Breiten der Schlitzblenden und das ein Stück weit subjektive Empfinden, ob das Linienpaar noch getrennt werden kann, erlauben nur eine grobe Angabe des Auflösungsvermögens. Der experimentell ermittelte Wert soll dann mit der Erwartung verglichen werden. 29