9. Geführte Wellen. Im folgenden wird als einfachster Fall der planare Wellenleiter behandelt. cladding n C

Transkript

1 9. Geführte Wellen Strahldivergenz begrenzt gerichtete Ausbreitung von Licht im freien Raum. Ausweg: Einengung des Lichts in einen Wellenleiter durch Ausnutzung von Totalreflexion am opesch dünneren Medium. Anwendung: Lichtleiter- nachrichtenübertragung (TelecommunicaEon)! Beispiele von Wellenleitern. Der gemusterte Teil ist das Material mit dem größeren Brechungsindex. Von links nach rechts: Planarer Wellenleiter, Streifenwellenleiter, opesche Faser. Solche Strukturen können mit verschiedenen Techniken definiert und mit hoher Genauigkeit hergestellt werden. Im folgenden wird als einfachster Fall der planare Wellenleiter behandelt. n(x) y x z cladding n C film n F d / 2 d / 2 Symmetrischer Fall: n C =n S < n F unendliche Ausdehnung in yz- Ebene substrate n S 2

2 Wir betrachten ein monochromaesches Feld (wie in der WellenopEk Kapitel 3 und 4). Substrat, Cladding und Film sein isotrope Medien, die gesamte Wellenleiterstruktur ist aber nicht mehr opesch isotrop, da sich der Brechungsindex in x- Richtung anders als in y- bzw. z- Richtung verhält. Folge: Die PolarisaEon muss explizit in Rechnung stellen werden. Anstelle der skalaren Helmholtz- Gleichung muss nun behandelt werden: E ( r) = iµ 0 ω H( r) H( r) = iω D( r) = iω 0 n 2 (x) E ( r) Die Symmetrie des Problems widerspiegelnder Lösungsansatz E ( r) = U(x)e iβz, H( r) = W (x)e iβz β: PropagaEonskonstante Rechnung: { U (x)e i βz } = e i βz U (x) U 0 (x) e i βz = e i βz U y 0 0 U z iβe iβz 0 U y 1 U z i β U y U x 0 Analog für W (x)e iβz. Komponentenweiser Vergleich ergibt das folgende DifferenEalgleichungssystem: 3

3 iβu y = iµ 0 ωw x (1) iβw y = i 0 ωn 2 U x (4) iβu x U z = iµ 0 ωw y (2) iβw x W z = i 0 ωn 2 U y (5) U y = iµ 0 ωw z (3) W y = i 0 ωn 2 U z (6) Dieses homogene DifferenEalgleichungssystem entkoppelt in 2x3 Gleichungen. Nämlich, (1), (3) und (5) bilden ein abge- schlossenes System für U y, W x, W z und (2), (4) und (6) ein solches für W y, U x, U z. Beide besitzen nur eine nichgriviale Lösung für besemmte Werte von β, den Eigenwerten. Die dazugehörigen nichgrivialen Lösungen sind die EigenfunkEonen. Die jeweiligen Eigenwertgleichungen sind, wie gleich zu sehen ist, unterschiedlich. Folglich hat (bis auf numerische Zufälligkeiten) das eine System nur die triviale Lösung für solche Eigenwerte, wo das andere eine nichgriviale Lösung hat und umgekehrt. Es gibt also zwei grundsätzliche elektromagneesche Zustände im Wellenleiter, die sich durch ihre PolarisaEonsausrichtung unterscheiden, siehe Abbildung nächste Seite. Man nennt diese transversal elektrische und transversal magneesche Wellen, je nach dem, welcher Feldvektor senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht. Eigenwert- probleme erfordern zur eindeuegen Lösung Randbedingungen. Hierzu wissen wir zunächst, dass sich alle zur Grenzfläche parallelen Komponenten (U y,u z,w y,w z ) dort steeg verhalten. Im einzelnen erhalten wir a) Transversal elektrische Wellen (TE): (3) (5) U y = iµ 0 ω W z = iµ 0 ω(iβw x + i 0 ωn 2 U y ) (1) also U y = (β 2 ω 2 n 2 )U c 2 y Die beiden magneeschen Feldkomponenten ergeben sich bei bekanntem U y über W x ~U y aus (1) und W z ~U y aus (3). Aus letzterem folgt insbesondere: Neben der SteEgkeit der FunkEon U y selbst verhält sich wegen der SteEgkeit von W z auch ihre Ableitung U y an der Grenzfläche steeg. 4

4 (Quelle:?) Lage der Feldkomponenten im planaren Wellenleiter für TE- und TM- Wellen. b) Transversal magneesche Wellen (TM): Analoge Rechnung wie für a), wobei man beachten muss, dass n an der Grenzfläche springt, ergibt W y n 2 ( ) = (β 2 ω 2 n 2 )W n 2 c 2 y Die beiden elektrischen Feldkomponenten ergeben sich bei bekanntem W y über U x ~W y aus (4) und U z ~ W y /n 2 aus (6). Hieraus folgt weiter: W y verhält sich steeg, aber W y springt an der Grenzfläche im Verhältnis der Brechungsindex- quadrate. Die Gleichungen für U y und W y repräseneeren die eigentlichen Eigenwertprobleme. Gesucht sind also die Eigenwerte β, für diese Gleichungen Lösungen besitzen, und die dazugehörigen EigenfunkEonen. Diese Lösungen nennt man Wellenleitermoden. Für den TE- Fall wird das im folgenden demonstriert. 5

5 PropagaEonskonstanten und Feldverteilungen für TE- Wellenleitermoden Ansatz: U y (x) e ikx k 2 = ω 2 Dies bedeutet, dass im Film (- d/2 <x<d/2) der Wert n(x)=n F und außerhalb n(x) = n S eingesetzt werden muss. Die Lösungen U y in den jeweiligen Gebieten müssen dann durch die Randbedingungen aneinander angeschlossen werden. Zunächst können wir aber die Werte von β, die Wellenleitung realisieren, wie folgt einschränken: β 2 > ω 2 (i) : Es gibt keine Lösung mit k, also keine Wellenausbreitung schlechthin. β 2 < ω 2 c 2 n F 2 > ω 2 c 2 n S 2 c 2 n 2 (x) β 2 (ii) n 2 : Zu jedem β exiseert ein reelles k(β) Gesampeld ist ebene Welle. Das sind c 2 S < ω 2 Zustände, wie die nebenstehende Abbildung und die dazugehörige Rechnung zeigen, für die keine Totalreflexion auqrig. Man nennt diese Strahlungsmoden! c 2 n F 2 e i[k (β )x +βz ] k(β) β θ sinθ = β im Film = β β 2 + k 2 ω (β) n c F < n S n F = sinθ T mit dem Totalreflexionswinkel θ T (iii) ω 2 n 2 c 2 S < β 2 < ω 2 2 n c 2 F Explizite Lösung : Im Film ist k=±q reell, außerhalb aber imaginär k=±iγ, γ reell. Dabei dürfen nur solchen Lösungen berücksicheg werden, die im Unendlichen verschwinden. Die Lösungen sind also in x- Richtung lokalisierte Zustände. Man nennt diese Wellenleitermoden. Im Film: Symmetrie erfordert U y (x)=±u y (- x). (Das negaeve Vorzeichen ändert die Energiedichte nicht!). Durch Überlagerung der jeweiligen exponeneellen Phasenterme für q und q produzieren wir sin- und cos- FunkEonen, die die geforderten Symmetrie- eigenschaqen erfüllen. Also 6

6 U y (x) cos(qx) sin(qx) für d / 2 x d / 2 mit q = ω 2 c 2 n F 2 β 2 Außerhalb des Films: Hier darf nur die im jeweiligen Außengebiet abklingende FunkEon berücksichegt werden. Die SteEgkeit von U y an den Grenzflächen ergibt cos(qd / 2) U y (x) e γ ( x d /2) (x / x ) sin(qd / 2) für x d / 2 mit γ = β 2 ω 2 c 2 n S 2 Die noch ungenutzte Bedingung, dass sich auch die Ableitung von U y an den Grenzflächen steeg verhalten muss, schränkt die zugelassenen Werte von β weiter ein. Bildung der Ableitung im Film und außerhalb und gleichsetzten für x=d/2 (x=- d/2 liefert das gleiche Ergebnis) ergibt folgende kompakt aufgeschriebene Modengleichung v 2 ξ 2 = ±ξ[tanξ] ±1 mit der (reskalierten) Gesuchten und dem einzigen, den Wellenleiter charakterisierenden Parameter. Dabei haben wird gesetzt β = ω c n ξ = qd 2 = n F ω d 2 n 2 c 2 V = n 2 2 ω d F n S c 2 mit einem effekeven Brechungsindex n - für die Ausbreitung in z- Richtung. (Das Licht befindet sich in beiden Brechungsindexgebieten, so dass sich eine solche effekeve Größe ergibt.) 7

7 Graphische Lösung der Modengleichung Die rechte Seite ist die Tan- FunkEon (symmetrische Lösung, volle Kurve) oder die Cot- FunkEon (anesymmetrische Lösung, gestrichelte Kurve), leicht modifiziert durch einen linearen Vorfaktor, die linke Seite eine WurzelfunkEon (gepunktete Kurve), die bei ξ=0 den Wert V und ξ=v den Wert Null hat. Die durch Kreise markierten Schnigpunkte repräseneeren die Lösungen ξ υ, die wir mit υ abzählen Diese definieren bei gegebener Frequenz ω und gegebenem Design des Wellenleiters (n F, n s, d) die möglichen Werte der PropagaEonskonstanten β υ (über die dazugehörigen q υ und n- υ ). Wir erkennen: Es gibt einen diskreten, endlichen Satz von Lichtzuständen im Wellenleiter, die sogenannten geführten Moden. Ihre Zahl ist nach der obigen Abbildung durch N M = 1 + Integer V π / 2 = 1 + Integer 2d λ n F 2 n S 2 gegeben. Insbesondere gibt es mindestens eine geführte Mode. (Das ist aber nur richeg, wenn wie in der Rechnung der Brechungsindexsprung ideal abrupt ist, was in der Praxis nicht gegeben ist.) 8

8 ν Variiert man die Frequenz (bei gegebenem Wellenleiter- design), so ändert sich β υ bzw. der effekeve Brechungs- index. Es entstehen also Dispersionskurven. PrakEscher- weise betrachtet man den inversen Zusammenhang und variiert β. Dann entstehen DispersionsrelaEonen Strahlungs- moden verboten c 2 = c 0 /n s c 1 = c 0 /n f ω ν (β) die aus mehren Zweigen bestehen, wie die nebenste- hende Abbildung zeigt. Für große Frequenzen nähern sich diese asymptoesch der Photongeraden des Films an. Physikalisch ist dies verständlich, da große Frequenzen kleine Wellenlängen bedeuten. Der Wellenleiterfilm verhält sich also zunehmend wie ein unendlich großes Medium. MathemaEsch ergibt sich dies wie folgt aus der graphischen Lösung: Wenn ω sehr groß wird, wird auch V sehr groß und damit ξ ν (ν+1)π/2. Der explizite Ausdruck für ξ zeigt, dass dieses bei steeg wachsendem ω nur endlich bleiben kann, wenn sich der effekeve Brechungs- index dem des Films annähert. Fällt ω dagegen, so nimmt V ab und ξ ν fällt, wie wir wiederum der grafischen Lösung entnehmen, bis der Wert ξ ν =V=ν π/2 erreicht wird. Für kleine Frequenzen wird die Mode nicht mehr geführt. Stellt man nach ω um, so erhält man für diese sogenannte cut- off frequency ω υ C = υ πc d n F 2 n S 2 Im Grenzfall starker Wellenleitung, d.h. für V >> 1 (also bei starker Brechungsindexdifferenz) und für Moden mit ν << N M, können analyesche Näherungsausdrücke angeben werden. Es gilt hier wieder ξ ν (ν+1)π/2 bzw. ( ω 2 n 2 c 2 F β 2 ) d 2 = (υ + 4 1)2 π 2 4 9

9 also ω υ 2 = c F 2 [β 2 + (ν + 1) 2 π 2 d 2] (c F = c / n F ) (In der Nähe des cut- offs versagt diese Näherung natürlich!). Stellen wir dies wiederum nach β um und setzen das Ergebnis in q ein, so folgt im Film q ν = (ν + 1) π d bzw. U y (x) cos[(ν + 1)π x ] für ν = 0,2, 4,... d sin[(ν + 1)π x ] für ν = 1,3,5,... d Das sind stehende Wellen, deren Feldstärke am Rand (und folglich auch außerhalb des Films) verschwindet, mit einer wachsenden Zahl von Knoten (Nulldurchgängen) im Film. In Wirklichkeit dringt das Licht auch ein wenig in das Substrat ein, so dass die in der Abbildung gezeigten Modenprofile entstehen. ν=0 U y (x) Quelle: Sahley, Teich, Grundlagen der Photonik) 10

10 c / n DispersionsrelaEon der Wellenleitermoden ist nichtlinear. Konsequenz: Sowohl Phasengeschwindigkeit als auch Gruppengeschwindigkeit v in Ausbreitungsrichtung hängen stark von der Frequenz bzw. G = dω / dβ Wellenlänge ab. Die Abbildung zeigt hierfür ein explizit gerechnetes Beispiel. Anstelle der Geschwindigkeiten ist der effekeve Brechungsindex für die Phase ( ) und für die Gruppe geploged. n v G = c / n G n n G Die Abbildung zeigt ein prakesches Problem bei der Lichtleiternachrichtenübertragung auf: Bei gegebener Frequenz treten zwischen den einzelnen Moden Laufzeitverzögerungen auf, die gegebenfalls kompensiert werden müssen. 11

11 Einkopplung von Licht in Wellenleiter Hier entscheidet sich, wie viele Moden des Wellenleiters angeregt werden. (Beachte: In der Abbildung ist gegenüber der obigen Nomenklatur x und y vertauscht und n 1 =n F, n 2 =n S ) Quelle: Sahley, Teich, Grundlagen der Photonik) 12

12 So telefonieren wir! Quelle: Sahley, Teich, Grundlagen der Photonik) 13

13 Integrierte OpEk Man kann Licht ähnlich wie Strom in opeschen Kreisen führen. Quelle: Sahley, Teich, Grundlagen der Photonik) Die Kopplung wird über die äußere Lichthaut bei Totalreflexion errericht (siehe Kapitel 3)! 14

14 TelekommunikaEon bei λ = 1.55 µm α[ db km ] = 1 L[km] 10 log 1 10 T α = 0.1 db km T = L/km 15