Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle

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1 Lineare Algebra Jung Kyu Canci Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Herbstsemester 2015

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Lineare Algebra 5 11 Elementare Logik Aussagen Verknüpfung von Aussagen Wichtige Bemerkungen Elementare Mengentheorie Quantoren Zahlenmengen Abbildungen und Relationen Abbildungen Relationen Ringe und Körper Ringe Wichtiges Beispiel Polynomringe Körper Komplexe Zahlen 29 2 Vektorräume n dimensionale reelle Vektorräume Allgemeine Vektorräume Unterräume und Erzeugnis Basis und Dimension 44 3 Matrizen Rechnen mit Matrizen Die Gruppe der invertierbaren Matrizen Gausssches Eliminationsverfahren Lineare Gleichungssysteme 65 4 Lineare Abbildungen Bild, Fasern und Kern Lineare Abbildungen und Matrizen 85 3

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 43 Basiswechsel 89 5 Die Determinante Permutationen Definition der Determinante und Beispiele 97

5 Kapitel 1 Einführung in die Lineare Algebra 11 Elementare Logik 111 Aussagen In der Mathematik und in der Logik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist Auch wenn wir nicht wissen, welches von beiden gilt, muss erkennbar sein, dass eine und nur eine der beiden Möglichkeiten zutreffen kann Beispiel 11 Dies sind Aussagen: Ein Hund ist ein Tier (Wahr) 2 plus 2 ist gleich 3 (Falsch) Man schreibt auch = 3 Jedes Vielfache von 4 ist eine gerade Zahl (Wahr) Dies sind keine Aussagen: 2+2 Es fehlt etwas α ist grösser als 5 Man weiss nicht, was α ist; es muss zuerst α definiert werden Vorsicht: Es gibt einige Sätze, bei denen kein Mensch bestimmen kann, ob sie gelten oder nicht Aber man erkennt, dass sie entweder falsch oder wahr sind Beispiel 12 Jede gerade Zahl grösser als 3 ist die Summe zweier Primzahlen Dies ist eine Aussage, von der kein/e Mathematiker/in weiss, ob sie wahr oder falsch ist 5

6 6 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 112 Verknüpfung von Aussagen Man kann neue Aussagen bilden, indem zwei oder mehr Aussagen verknüpft werden Disjunktion Seien p und q zwei Aussagen Die Aussage p q ist wahr, wenn entweder p oder q oder beide Aussagen p und q wahr sind Die Wahrheitstabelle von p q ist folgende, wobei wahr und falsch bedeutet p q p q (11) ZB zeigt die erste Reihe, dass p q wahr ist, wenn p und q beide wahr sind Die zweite Reihe zeigt, dass p q wahr ist, wenn p falsch und q wahr ist Wenn man in der Mathematik die Aussage p oder q sind wahr sagt, können auch beide wahr sein Beispiel 13 Sei p die Aussage p: 6 ist eine Primzahl und sei q die Aussage q: 7 ist eine Primzahl p q ist die Aussage p q: Entweder 6 ist eine Primzahl oder 7 ist eine Primzahl oder beides sind Primzahlen Obwohl p falsch ist, ist p q wahr, weil q wahr ist Konjunktion Seien p und q zwei Aussagen Die Aussage p q ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind Die Wahrheitstabelle von p q ist folgende: p q p q (12) Wenn mindestens eine der Aussagen p und q falsch ist, ist p q falsch Beispiel 14 Seien a, b, c die folgenden Aussagen: a: 4 2 = 16; b: sin π = 1; c: cos π = 1; Es gilt: a b ist falsch, a c ist wahr, b c ist falsch Implikation Seien p und q zwei Aussagen Die Aussage p q ist wahr, wenn die Aussage q logisch aus der Aussage p folgt Um genau zu sein, betrachten wir die Wahrheitstabelle von p q:

7 11 ELEMENTARE LOGIK 7 p q p q Die Implikation p q ist genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist In allen anderen Fällen ist p q wahr Man sagt, dass p q genau dann stimmt, wenn p wahr und q falsch nicht möglich ist Beispiel 15 Seien a, b, und c die folgenden Aussagen: a: Es regnet b: Es gibt Wolken c: Ich bin glücklich a b stimmt, weil es nicht möglich ist, dass es regnet und es keine Wolken gibt Wir nehmen an, dass ich den Regen nicht mag Also ist a c falsch Denn wenn a wahr ist, ist c falsch Äquivalenz Seien p und q zwei Aussagen Die Aussage p q ist die Zusammenfassung von (p q) (q p) Die Wahrheitstabelle ist folgende: p q p q Daher sind zwei Aussagen p und q genau dann äquivalent, wenn die Wahrheitswerte von p und q gleich sind Beispiel 16 Seien a, b, und c die folgenden Aussagen: a: Ich habe eine 4 in der Prüfung von Lineare Algebra bekommen b: Ich habe die Prüfung in Lineare Algebra bestanden c: Ich habe eine Note grösser oder gleich 4 in der Prüfung von Lineare Algebra bekommen a b stimmt Aber a b stimmt nicht, weil b nicht a impliziert b c stimmt Negation Sei p eine Aussage Die Aussage p ist immer dann wahr, wenn die Aussage p falsch ist, und immer dann falsch, wenn die Aussage p wahr ist Die Wahrheitstabelle ist folgende: p p (13)

8 8 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Beispiel 17 Sei p die folgende Aussage: p: Ich habe Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen Also ist p: Ich habe keine Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen Vorsicht! p ist nicht äquivalent zu Ich hasse es, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen Einige Eigenschaften der Verknüpfungen von Aussagen Seien a, b, c feste Aussagen, aber beliebig gewählt Kommutativgesetz Die Aussagen i) a b ist äquivalent zu b a ii) a b ist äquivalent zu b a gelten Beweis: Trivial oder betrachte die Tabellen (11) und (12) zuerst mit a = p und b = q und dann mit a = q und b = p Assoziativgesetz Die Aussagen i) a (b c) ist äquivalent zu (a b) c ii) a (b c) ist äquivalent zu (a b) c gelten ZB wird durch die Klammer in a (b c) angezeigt, dass zuerst die Aussage b c betrachtet werden soll und dann die Disjunktion der Aussage a mit der Aussage b c; analog mit den anderen Aussagen (a b) c, a (b c) und (a b) c Beweis von i) Durch die folgende Wahrheitstabelle: a b c b c a (b c) a b (a b) c Alternativer Beweis: Die Aussage a (b c) ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a und b c gilt Ferner ist die Aussage b c wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen b und c gilt Daher ist die Aussage a (b c) wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen a, b oder c gilt Analog für (a b) c Beweis von ii) Siehe Aufgabe 14

9 11 ELEMENTARE LOGIK 9 Distributivgesetz Die Aussagen i) a (b c) ist äquivalent zu (a b) (a c) ii) a (b c) ist äquivalent zu (a b) (a c) gelten Beweis von i) Durch die folgende Wahrheitstabelle: a b c b c a (b c) a b a c (a b) (a c) Beweis von ii) Siehe Aufgabe 15 Prinzip der doppelten Negation Der Wahrheitswert von a ist gleich wie a Um das zu sehen, betrachte die folgende Wahrheitstabelle: a a a Wir haben zwei Mal die Wahrheitstabelle in (13) angewandt (zuerst mit a statt p und dann mit a statt p) Man sagt auch, dass a äquivalent zu a ist Beispiel 18 Sei a die Aussage a: Ich habe einen Apfel gegessen Die Aussage a besagt: Es ist falsch, dass ich keinen Apfel gegessen habe De Morgansche Gesetze i) (a b) ist äquivalent zu a b Beweis: Gemäss der Tabelle (11) gilt und gemäss der Tabelle (12) gilt a b (a b)

10 10 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA a b a b a b Beispiel 19 Sei a wie im Beispiel 18 Sei b die Aussage b: Ich habe eine Birne gegessen a b besagt: Ich habe einen Apfel gegessen oder ich habe eine Birne gegessen Daher sagt die Aussage (a b): Es ist nicht wahr, dass ich einen Apfel oder eine Birne gegessen habe Andererseits sagt a b: Ich habe keinen Apfel gegessen und ich habe keine Birne gegessen ii) (a b) ist äquivalent zu a b Beweis: Siehe Aufgabe Wichtige Bemerkungen Die gemeinsame Logik (die Logik der Menschen) hat folgende wesentliche Prinzipien: Prinzip der Zweiwertigkeit (Bivalenzprinzip) Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch Ist das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht erfüllt, spricht man von mehrwertiger Logik Wir werden hier nie mehrwertige Logik betrachten Satz vom Widerspruch Zwei sich widersprechende Aussagen können nicht zugleich zutreffen In mathematischen Symbolen: a a ist immer falsch für jede Aussage a Hinreichende und notwendige Bedingungen Wirklich wichtig ist die Veknüpfung (Implikation) Seien a und b zwei Aussagen Nehmen wir an, dass die Aussage a b wahr ist Man sagt, dass die Prämisse a eine hinreichende Bedingung für die Konklusion b ist und die Konklusion b eine notwendige Bedingung für die Prämisse a ist Seien a und b wie im Beispiel 15 a ist eine hinreichende Bedingung für b Wenn es regnet, müssen (mindestens ein paar) Wolken am Himmel sein Aber das Gegenteil gilt nicht: Es können Wolken am Himmel sein, ohne dass es regnet Also ist die Aussage Es regnet nur eine hinreichende Bedingung für die Aussage Es gibt Wolken (und die Aussage Es gibt Wolken ist nur eine notwendige Bedingung für die Aussage Es regnet ) Die Aussage a b liest man wie folgt: Wenn es regnet, dann gibt es Wolken Antinomien Eine Antinomie ist ein Satz, der einen Widerspruch enthält Sie ist keine Aussage Man kann nicht bestimmen, ob sie wahr oder falsch ist, weil es immer einen Widerspruch (Kontradiktion) gibt

11 11 ELEMENTARE LOGIK 11 Beispiel 110 Antinomie des Barbiers: Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst? Beim Versuch, die Frage zu beantworten, ergibt sich ein Widerspruch Denn angenommen der Barbier rasiert sich selbst, dann gehört er zu denen, die er laut Definition nicht rasiert, was der Annahme widerspricht Angenommen es gilt das Gegenteil und der Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert, entgegen der Annahme Aufgaben Aufgabe 11 Bestimmen Sie, welche Sätze Aussagen sind: (a) Das ist eine Katze (b) Eine Katze ist ein Tier (c) Ein Hund und eine Katze (d) Wie viel Uhr ist es? (e) Nicht rauchen! (f) Rauchen ist verboten (g) Ich lüge immer (h) Eine ganze Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist Bilden Sie für jede obige Aussage die Negation Aufgabe 12 Seien p und q zwei Aussagen Betrachten Sie die Aussagen A : p q und B : q p Beweisen Sie, dass A äquivalent zu B ist Geben Sie ein paar Beispiele Aufgabe 13 Beweisen Sie Teil ii) aus den De Morganschen Gesetzen: (a b) a b Aufgabe 14 Beweisen Sie Teil ii) des Assoziativgesetzes: a (b c) (a b) c Aufgabe 15 Beweisen Sie Teil ii) des Distributivgesetzes: a (b c) (a b) (a c)

12 12 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 12 Elementare Mengentheorie Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen Diese Objekte heissen Elemente einer Menge Sei M eine Menge x M bezeichnet x ist ein Element von M oder anders gesagt x ist in M x / M bezeichnet x ist kein Element von M und ist gleichwertig mit x ist nicht in M Es gibt zwei Arten, Mengen zu beschreiben: Durch die Angabe der Elemente Zum Beispiel: M = {Viviane Wehrle, Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher} Daher ist M die Menge der Assistierenden in Lineare Algebra 1 Durch die Angabe einer Eigenschaft, die zwischen x M und x / M unterscheidet Zum Beispiel: M = {x x ist ein/e Assistent/in in Lineare Algebra 1 im HS2015 in Basel} Man liest M ist die Menge der Elemente x, so dass x ein ist Sind alle Elemente einer Menge N zugleich Elemente von M, so heisst N eine Teilmenge oder Untermenge von M und man schreibt N M Wenn N M und M N, dann enthalten N und M genau dieselben Elemente Man nennt die Mengen M, N gleich und schreibt Die Notation M = N N M bedeutet, dass N M und dass es mindestens ein x M gibt, sd x / N Die leere Menge ist eine Menge, die keinerlei Elemente enthält Daher gibt es nur eine einzige leere Menge Als Zeichen für die leere Menge verwendet man (auch oder {}) Es gilt M für jede beliebige Menge M Seien A und B beliebige Mengen Die Menge D, die aus allen Elementen besteht, welche sowohl zu A als auch zu B gehören, heisst Durchschnitt der Mengen A und B Man schreibt: D = A B

13 12 ELEMENTARE MENGENTHEORIE 13 Beispiel 111 Seien A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {5, 6, 7} und C = {6, 7} Dann ist A B = {5}, A C =, B C = C Wie vorher seien A und B beliebige Mengen Die Menge V, die aus allen Elementen besteht, die zu mindestens einer der Mengen A oder B gehören, heisst Vereinigungsmenge von A und B Man schreibt: V = A B Beispiel 112 Seien A, B, C wie im Beispiel 111 Dann ist A B = {x x ganze Zahl und 1 x 7} = A C, B C = B Sei A eine Teilmenge einer Menge U (manchmal wird eine solche Menge U Universum genannt) A c bezeichnet genau die Menge der Elemente aus U, welche nicht in A enthalten sind Dh A c = {x U x / A} A c heisst das Komplement von A in U In einem Mengendiagramm sieht die Situation so aus: Dabei ist A der weisse Kreis und U das ganze Rechteck Das Komplement A c ist rot gefärbt Sei B eine andere Teilmenge von U (B kann auch gleich A sein) Die Menge B \ A bezeichnet genau die Menge der Elemente aus B, welche nicht in A enthalten sind Dh In einem Mengendiagramm: B \ A = {x B x / A}

14 14 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Dabei bezeichnet jetzt A den linken und B den rechten Kreis und U weiterhin das gesamte Rechteck Die Menge B \ A ist rot gefärbt Die Menge B \ A wird relatives Komplement von A in B genannt oder einfacher als B ohne A bezeichnet Beispiel 113 Seien A, B, C wie im Beispiel 111 Sei U = A B C Dann ist A c = C\A = C, B c = {1, 2, 3, 4} = A\B, C c = A, A\C = A, B\C = {5}, B\A = {6, 7} Man benutzt Klammern in der Mengentheorie wie in Rechnungen: zb betrachtet man im Ausdruck A (B C) zuerst die Menge B C als die Vereinigungsmenge von B und C und dann die Menge A (B C) als die Vereinigungsmenge der Mengen A und B C Es gilt folgender Satz: Satz 114 Seien A, B, C drei beliebige Teilmengen einer Menge U Es gelten die folgenden Eigenschaften: 1 A B = B A und A B = B A 2 A (B C) = (A B) C und A (B C) = (A B) C 3 A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) 4 A = (A c ) c 5 (A B) c = A c B c und (A B) c = A c B c Beweis Einige der obigen Eigenschaften sind ganz einfach zu beweisen (zb 1)) Im Allgemeinen betrachtet man folgende Aussagen: a: x A, b: x B, c: x C Dann wenden Sie das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz sowie das Prinzip der doppelten Negation und die De Morgansche Gesetze auf die Aussagen a, b, c an Seien A und B zwei beliebige Mengen Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element von A und die zweite Komponente ein Element der Menge B ist Man schreibt A B = {(a, b) a A, b B} Beispiel 115 Seien B, C wie im Beispiel 111 Also B C = {(5, 6), (5, 7), (6, 6), (6, 7), (7, 6), (7, 7)}

15 12 ELEMENTARE MENGENTHEORIE 15 Vorsicht! Im Allgemeinen ist (a, b) (b, a) Die Position ist wichtig Z B sind in der obigen Menge B C die Elemente (6, 7) und (7, 6) nicht gleich Sei A eine beliebige Menge P(A) bezeichnet die Potenzmenge von A, die die Menge aller Teilmengen von A ist Beispiel 116 Es gilt: P( ) = { } P({a}) = {, {a}} P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}} Vorsicht! Die Menge { } ist eine Menge, die genau ein Element enthält Dieses Element ist die Leermenge Es gilt a {a, b}, {a} {a, b} und {a} P({a, b}) Satz 117 Sei n eine beliebige aber feste ganze Zahl n 0 Sei A eine Menge mit genau n Elementen Dann hat die Potenzmenge P(A) genau 2 n Elemente Beweis Man beweist den Satz durch vollständige Induktion über n Induktionsanfang: Sei n = 0 (also A = ) Dann ist P( ) = { }, P( ) hat also genau 2 0 = 1 Element Induktionsschritt: Wir nehmen die Induktionsvoraussetzung an, dh dass P(A) genau 2 n Elemente hat für jede Menge A mit n Elementen Sei B eine Menge mit n+1 Elementen Dann existiert eine Teilmenge A B und ein Element x B, so dass B = A {x} Daher enthält A genau n Elemente Jede Teilmenge von B ist entweder eine Teilmenge von A oder von der Form C {x}, wobei C eine Teilmenge von A ist Die Anzahl der Teilmengen erster Sorte ist 2 n und die Anzahl der Teilmengen zweiter Sorte ist ebenfalls 2 n Daher hat die Potenzmenge P(B) genau 2 2 n = 2 n+1 Elemente 121 Quantoren Der Existenzquantor wird durch das Zeichen dargestellt Die Schreibweise x bedeutet: Es existiert (gibt) ein x ZB sei n eine beliebige ganze Zahl Sei X n = {n, n+2, n+ 4} x X n, so dass x ein Vielfaches von drei ist Die Schreibweise ist die Negation von ZB sei n eine gerade Zahl und X n wie oben beschrieben Also x X n sd x ungerade ist Die Schreibweise! bedeutet Es gibt ein x und genau ein x ZB sei X n wie oben beschrieben Also!x X n, sd x ein Vielfaches von drei ist Der Allquantor wird durch das Zeichen dargestellt Die Schreibweise x bedeutet: Für jedes x ZB sei n eine gerade Zahl und X n wie oben beschrieben Dann ist x eine gerade Zahl x X n Beispiel 118 Die folgende Aussage ist wahr: Pferd, das meine Vorlesung besucht, gilt, dass es die Farbe grün hat Die Aussage ist wahr, weil kein Pferd meine Vorlesungen besucht In der Logik sagt man, dass die Leermenge jede Eigenschaft erfüllt

16 16 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 122 Zahlenmengen Mit N bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, } (Um die natürlichen Zahlen richtig zu definieren braucht man die Peano-Axiome) Mit N 0 bezeichnen wir N {0} Mit Z bezeichnen wir die Menge der ganzen Zahlen Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Die Menge Q der rationalen Zahlen ist die Menge, die alle Brüche zweier ganzer Zahlen enthält: { z } Q = n z, n Z, n 0 Erinnerung: Seien a b, c d Q (also bd 0) Dann gilt a b = c d genau dann, wenn ad bc = 0 Mit R bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen Es gibt eine intuitive Idee hinter den reellen Zahlen Man kann sie sich als Gerade vorstellen: Eine andere Darstellung der reellen Zahlen ist die folgende: R = {a 0, a 1 a 2 a 3 a 0 Z, a i {0, 1,, 9} i N} Eine echte Definition der reellen Zahlen ist: Die reellen Zahlen sind die Grenzwerte der Cauchy Folgen rationaler Zahlen (Diese Begriffe werden Sie in Analysis kennenlernen) Aufgaben Aufgabe 16 Seien A, B zwei Mengen Beweisen Sie, dass A = B gilt, genau dann wenn eine Menge C mit A C = B C und A C = B C Aufgabe 17 Seien A, B zwei Mengen Beweisen Sie 1 A \ (A \ B) = A B; 2 (A \ B) \ (B \ A) = A \ B; 3 A (B \ A) = A B;

17 13 ABBILDUNGEN UND RELATIONEN 17 4 (A \ B) (A B) = A Aufgabe 18 Seien A, B, C drei Mengen Beweisen Sie 1 (A \ B) \ C = A \ (B C); 2 (A \ B) \ C A \ (B \ C); 3 (A \ B) \ C = A \ (B \ C) genau dann wenn A C = 4 A (B \ C) = (A B) \ (A C) Aufgabe 19 Die symmetrische Differenz zweier Teilmengen A, B einer Universummenge ist die Menge definiert durch: A B := (A \ B) (B \ A) Beweisen Sie, dass A B = (A B) \ (A B) Aufgabe 110 Bestimmen Sie die Potenzmengen von A = P( ) und B = P({a}) Aufgabe 111 Seien A, B zwei Mengen Beweisen Sie 1 P(A) P(B) = P(A B) genau dann wenn A B oder B A; 2 P(A \ B) (P(A) \ P(B)) { }; 3 P(A \ B) = (P(A) \ P(B)) { } genau dann wenn A B oder A B = 13 Abbildungen und Relationen 131 Abbildungen Definition 119 Seien X, Y zwei Mengen Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift f, die jedem x X ein eindeutig bestimmtes y = f(x) Y zuordnet X wird Definitionsmenge und Y Zielmenge genannt Man schreibt f : X Y x y = f(x) Beispiel 120 Folgendes sind Abbildungen: 1 f : R R x x 2 2 f : {1, 2, 3} {1, 2} 1 f(1) = 1 2 f(2) = 2 3 f(3) = 1

18 18 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Folgendes sind keine Abbildungen: 3 f : R R x x f(x) ist nicht definiert für negative x Wenn die Definitionsmenge R 0 = {x R x 0} ist anstatt R, ist f eine Abbildung 4 f : [ 1, 1] R x y mit sin(y) = x f ist keine Abbildung, weil sin(x) = sin(x + 2nπ) n Z gilt Wenn die Zielmenge [ π/2, π/2] ist anstatt R, ist f eine Abbildung Zwei Abbildungen f : X Y, g : X Y sind genau dann gleich, wenn X = X, Y = Y und f(x) = g(x) für jedes x X = X Definition 121 Sei f : X Y eine Abbildung und M X eine Teilmenge Dann heisst f M : M Y x f(x) die Einschränkung von f auf M Weiter bezeichnen wir mit f(m) = {y Y x M mit f(x) = y} = {f(x) x M} Y das Bild von M (in Y ) Insbesondere nennt man f(x) das Bild von f Sei N Y eine Teilmenge Die Teilmenge heisst Urbild von N in X f 1 (N) = {x X f(x) N} Definition 122 Eine Abbildung f : X Y zwischen zwei Mengen heisst 1 injektiv, wenn gilt aus f(x) = f(x ) folgt x = x für alle x, x X Äquivalent dazu ist: Für jedes y Y enthält das Urbild f 1 ({y}) entweder 0 oder 1 Element 2 surjektiv, wenn f(x) = Y, dh wenn es zu jedem y Y ein x X mit f(x) = y gibt Äquivalent dazu ist: Für jedes y Y ist das Urbild f 1 ({y}) nicht die Leere Menge 3 bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist Äquivalent dazu ist: Für jedes y Y enthält das Urbild f 1 ({y}) genau ein Element

19 13 ABBILDUNGEN UND RELATIONEN 19 Ist f bijektiv, dann gibt es eine Umkehrabbildung f 1 : Y X y x, so dass y = f(x) Beispiel 123 Die Abbildung f definiert in Beispiel ist nicht injektiv (f(x) = f( x) x R) f ist nicht surjektiv, denn es gibt keine negative Zahl, die ein Quadrat ist Die Abbildung f definiert in Beispiel ist nicht injektiv (f(1) = f(3) = 1) f ist surjektiv, weil f({1, 2, 3}) = {1, 2} Die Abbildung f : [ 1, 1] [ π/2, π/2] definiert durch f(x) = arcsin x ist bijektiv (folgt aus Trigonometrie) Definition 124 Seien X, Y, Z Mengen und f : X Y, g : Y Z Abbildungen Dann heisst die Abbildung die Komposition von f und g g f : X Z x g(f(x)) Bemerkung 125 Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, dh für f : X Y, g : Y Z, h: Z W gilt (h g) f = h (g f) Beweis Für jedes x X gilt: ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g f)(x)) = (h (g f))(x) Bemerkung 126 Die Komposition von Abbildungen ist nicht kommutativ ZB Seien f : R R x x + 1, g : R R x 2x + 1 Es gilt (f g)(x) = f(2x + 1) = 2x + 2 und (g f)(x) = g(x + 1) = 2x + 3 Definition 127 Für eine Menge X heisst f : X X x x die identische Abbildung, bezeichnet mit id X Mit Hilfe der identischen Abbildung werden wir eine Charakterisierung der bijektiven Abbildungen geben (Siehe Aufgabe 113)

20 20 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 132 Relationen Für zwei gegebene Mengen A und B bezeichnet eine Relation R zwischen A und B eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B: R A B = {(a, b) a A, b B} Definition 128 Sei X eine Menge Eine Relation R X X auf X heisst Äquivalenzrelation, wenn für alle x, y, z X gilt 1 (x, x) R; (reflexiv) 2 x, y X gilt (x, y) R (y, x) R; (symmetrisch) 3 (x, y), (y, z) R (x, z) R; (transitiv) Für x 1, x 2 X schreibt man oft statt (x 1, x 2 ) R x 1 x 2 Beispiel Sei X eine beliebige Menge Die Relation x y x = y ist eine Äquivalenzrelation 2 Sei X = Z Die Relation x y (x y ist gerade) ist eine Äquivalenzrelation 3 Sei X = {p p ist eine Aussage} Die Relation x y (x ist äquivalent zu y) ist eine Äquivalenzrelation 4 Seien X, Y Mengen Sei f : X Y eine Abbildung Die Relation x 1 x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) ist eine Äquivalenzrelation Ist auf einer Menge X eine Äquivalenzrelation definiert, betrachtet man für x X die Menge A x := {y X x y} A x ist eine Untermenge von X und heisst Äquivalenzklasse von x Bemerkung 130 Für x, y X gilt: 1 A x = A y x y; 2 Entweder ist A x = A y oder A x A y = (Es gibt keine andere Möglichkeit!) Beweis Wir beweisen zuerst 1

21 13 ABBILDUNGEN UND RELATIONEN 21 Annahme: x y Sei z ein beliebiges Element von A x Dann gilt z x und gemäss Annahme auch x y Mit der Transitivität von haben wir z y Also z A y Daher A x A y (weil z ein beliebiges Element von A x ist) Ähnlich beweisen wir A y A x, also A x = A y Da y A y = A x folgt y x Jetzt beweisen wir 2 Sei A x A y Es folgt, dass es ein z A x A y gibt Also z x und z y Daher x y (Transitivität), woraus mit 1 folgt A x = A y Die Äquivalenzklassen von X bezüglich betrachtet man nun als Elemente einer neuen Menge X/ Beispiel 131 Sei m N Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf Z durch x y genau dann wenn gilt m teilt y x Man schreibt auch x y mod m wenn x y Die Äquivalenzklasse eines Elements n Z ist A n = {n + km k Z} Oft schreibt man hier n anstatt A n Die Klasse n wird Restklasse von n modulo m genannt In der Tat kann man durch Division mit Rest zeigen, dass es für jedes n Z ein 0 r < m gibt, so dass n = r Also Z/ = { 0, 1,, m 1 } Diese Menge ist auch mit Z/mZ bezeichnet Aufgaben Aufgabe 112 Seien A, B zwei Mengen und f : A B eine Abbildung Seien X 1, X 2 P(A) und Y 1, Y 2 P(B) Beweisen Sie 1 f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ); 2 f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ); 3 f(x 1 \ X 2 ) f(x 1 ) \ f(x 2 ); 4 f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ); 5 f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ); 6 f 1 (Y 1 \ Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) \ f 1 (Y 2 ); Geben Sie Beispiele, bei denen in 1 und/oder 3 die Gleichheit nicht gilt Aufgabe 113 Zeigen Sie, dass gilt: f : X Y ist bijektiv g : Y X mit g f = id X und f g = id Y (Ein solches g wird inverse Abbildung genannt und man sagt, dass f invertierbar ist)

22 22 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Aufgabe 114 Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung invertierbar ist: Bestimmen Sie die inverse Abbildung f : R \ {1} R \ {2}, x 2x + 1 x 1 Aufgabe 115 Sei X eine endliche Menge Sei f : X X eine Abbildung Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 1 f ist injektiv; 2 f ist surjektiv; 3 f ist bijektiv Aufgabe 116 Sei X eine endliche Menge und A eine Teilmenge von X Sei f : A X eine Bijektion Beweisen Sie, dass A = X Was könnten Sie sagen, wenn X unendlich wäre? Aufgabe 117 Sei X eine nichtleere Menge Sei f : X P(X) die Abbildung definiert durch x X \ {x} Beweisen Sie, dass f injektiv, aber nicht surjektiv ist Aufgabe 118 ( ) Beweisen Sie, dass es für jede Menge X keine Bijektion gibt f : X P(X) Aufgabe 119 Beweisen Sie, dass die Relationen in Beispiel 129 Äquivalenzrelationen sind Aufgabe 120 Sei X eine Menge Eine Partition P ist eine Teilmenge der Potenzmenge P(X), deren Elemente nichtleere Teilmengen von X sind, sodass jedes Element von X in genau einem Element von P enthalten ist Sei A die Menge aller Äquivalenzrelationen auf X und B die Menge aller Partitionen von X Beweisen Sie, dass A in Bijektion zu B steht Aufgabe 121 ( ) Seien A, B zwei nichtleere Mengen Zeigen Sie: Wenn es eine injektive Abbildung f : X Y und eine injektive Abbildung g : Y X gibt, dann gibt es eine Bijektion zwischen X und Y 14 Ringe und Körper 141 Ringe Definition 132 Eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen heisst Ring, wenn gilt +: R R R (a, b) a + b, : R R R (a, b) a b

23 14 RINGE UND KÖRPER 23 G0 Die Verknüpfung + ist kommutativ : a + b = b + a a, b R G1 Die Verknüpfung + ist assoziativ : a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c R G2 ein Element 0 R R mit a + 0 R = a a R (0 R heisst Nullelement oder neutralee Element bzgl +) G3 a R existiert b R, so dass a + b = 0 R Das Element b heisst additive Inverse von a R1 Die Verknüpfung ist assoziativ : a (b c) = (a b) c a, b, c R R2 Es gelten die Distributivgesetze, dh a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c a, b, c R Ein Ring heisst kommutativ wenn a b = b a a, b R Ein Element 1 R R \ {0 R } heisst Einselement, wenn 1 R a = a 1 R = a a R Um einen Ring zu definieren, braucht man ein Tripel (R, +, ), wobei R eine Menge und +, zwei Verknüpfungen auf R sind Wenn es klar ist, welches diese zwei Verknüpfungen sind, dann schreibt man nur R statt (R, +, ) Bemerkung 133 Es gibt nur ein Nullelement und es gilt Ferner, wenn R ein Einselement hat, ist es eindeutig 0 R a = a 0 R = 0 R a R (14) Beweis Eindeutigkeit von 0 R Seien 0 a, 0 b zwei Nullelemente von R Es gilt: 0 a = 0 a + 0 b = 0 b Eindeutigkeit von 1 R Seien 1 a, 1 b zwei Einselemente von R Es gilt: 1 a = 1 a 1 b = 1 b Beweis von (14): 0 R a = (0 R + 0 R ) a = 0 R a + 0 R a Also folgt 0 R = 0 R a Änlich beweist man a 0 R = 0 R Beispiel 134 Die folgenden Beispielen sind Ringe: 1 R = {0 R }; 2 R = {0 R, 1 R };

24 24 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 3 Z, Q, R mit den üblichen Verknüpfungen + und ; 4 Sei X eine beliebige Menge Sei R = {f : X R fabbildung} mit (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x) f, g R, x X Wir werden in den folgenden Kapiteln Beispiele von nicht kommutativen Ringen sehen Definition 135 Sei R ein Ring x R heisst Links bzw Rechtsnullteiler, falls x 0 R und y R mit y 0 R und x y = 0 R bzw y x = 0 R Falls R kommutativ ist, so nennt man so ein x Nullteiler Ein kommutativer Ring mit Einselement, der kein Nullteiler hat, heisst Integritätsbereich Ein Element x 0 R ist kein Links bzw Rechtsnullteiler wenn die Implikation x y = 0 R (bzw y x = 0 R ) y = 0 R gilt Im nächsten Abschnitt werden wir Beispiele von Integritätsbereichen sehen Wir werden auch Beispiele von Ringen mit Nullteiler betrachten 142 Wichtiges Beispiel Division mit Rest: Für jedes a, b Z mit b 0 gibt es ein q, r Z mit a = b q + r und 0 r < b ( b bezeichnet den Betrag von b) Für ein m Z, sei mz = {m n n Z} die Menge der Vielfachen von m Für a, b Z, sei ggt(a, b) der grösste gemeinsame Teiler von a und b Satz 136 Seien a, b Z \ {0} und m = ggt(a, b) Es gilt Beweis Zuerst beweisen wir, dass ein n N existiert sd az + bz = mz (15) az + bz = nz (16) Dann zeigen wir n = ggt(a, b) Behauptung 1: n N mit (16) wahr Beweis der Behauptung 1 : Sei n die kleinste Zahl in N, die in az + bz enthalten ist Seien i, j Z mit a i + b j = n Dann n c = a i c + b j c az + bz c Z Daher folgt az + bz nz Sei d / nz OBdA nehmen wir d > 0 an Wir wollen zeigen, dass d / az + bz Bei der Division mit Rest q, r Z mit 0 < r < n und d = q n + r (r 0 weil d / nz) Wenn d az + bz folgt r = d q n az + bz (da az + bz nz)

25 14 RINGE UND KÖRPER 25 Aber dies widerspricht der Minimalität von n als kleinste natürliche Zahl in az + bz Das endet den Beweis der Behauptung 1 Behauptung 2: Die Zahl n in (16) ist gleich ggt(a, b) Beweis der Behauptung 2 : Der gösste gemeinsame Teiler ggt(a, b) von zwei Zahlen a, b Z \ {0} ist bestimmt durch die zwei folgenden Bedingungen: ggt(a, b) ist ein ganzer positiver Teiler von a und b; jeder andere gemeinsame Teiler von a und b teilt auch ggt(a, b) Diese zwei Eigenschaften bestimmen den ggt(a, b) Also muss man zeigen, dass n die zwei obigen Bedingungen erfüllt Da (16) gilt, folgt a, b nz Also ist n ein gemeinsamer Teiler von a und b Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b Wie schon bemerkt i, j Z mit n = a i + b j Also ist t auch ein Teiler von n Wir haben bewiesen, dass n = ggt(a, b) Bemerkung 137 Wenn a = b = 0, folgt 0Z + 0Z = 0Z Wenn a = 0 und b 0, gilt ggt(a, b) = b So ist (15) mit m = ggt(a, b) trivialweise wahr Korollar 138 Sei p eine Primzahl und a, b Z mit p a b Dann gilt p a oder p b Beweis Wenn a b = 0 gibt es nichts zu zeigen, weil entweder a = 0 oder b = 0 und jede Zahl teilt 0 Wenn p a, gibt es ebenfalls nichts zu zeigen Sei p a, da p Primzahl ist, folgt ggt(a, p) = 1 Gemäss Satz 15 i, j Z mit a i+p j = 1 Also b = a b i+p b j Daher p b, weil p a b Sei m N grösser als 1 und Z/mZ = {0, 1,, m 1} die Menge aus Beispiel 131 Wir werden zwei Verknüpfungen + und auf Z/mZ definieren Seien a, b Z dann gilt Z B Sei m = 3 Es gilt und z B a + b = a + b, a b = a b (17) 3 = 0 = 3 = 6, 2 = 1 = 4 = 7, 1 = 2 = 5 = 8, = = 4 = 1, 2 14 = 2 2 = 4 = 1 Weil (Z, +, ) ein Ring ist, folgt, dass (Z/mZ, +, ) auch ein Ring ist Das Element 0 ist das Nullelement von Z/mZ und 1 ist das Einselement von Z/mZ Beispiel 139 Sei m = 2 Die additive und die multiplikative Tabelle sind folgende: ,

26 26 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Sei m = 4 Die additive und die multiplikative Tabelle sind folgende: , Satz 140 Sei m N Es gilt Z/mZ Integritätsbereich m ist eine Primzahl Beweis ( ) Sei m keine Primzahl Also a, b Z mit 1 < a, b < m und m = a b Also sind a und b beide nicht null in Z/mZ und a b = m = 0 Also sind a und b Nullteiler Daher ist Z/mZ kein Integritätsbereich ( ) Sei m eine Primzahl und a, b Z/mZ mit a b = 0 Dann m a b Mit Korollar 138 folgt m a oder m b Daher a = 0 oder b = Polynomringe Sei R ein Ring Ein Polynom mit Koeffizienten in R ist ein formaler Ausdruck der Gestalt f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n, wobei a i R i = 0,, n und a i als i ter Koeffizient von f bezeichnet wird Das Symbol t wird Variabel genannt Wir können ein Polynom wie folgt darstellen: f(t) = i N 0 a i t i, wobei nur endlich viele a i nicht Null sind Wir sagen, dass zwei Polynome f, g gleich sind, wenn die i-ten Koeffizienten von f und g gleich sind für jedes i N 0 Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in R wird mit dem Symbol R[t] bezeichnet Wir definieren zwei Verknüpfungen auf R[t], die wir Addition und Multiplikation nennen: Seien f, g R[t], dh f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n, g(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t b m t m

27 14 RINGE UND KÖRPER 27 Im Allgemeinen kann man m = n annehmen Wäre bspw m > n, so könnten wir f schreiben als: f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n + 0t n t m dh a i = 0 i {n + 1,, m} In diesem Fall definiert man die Addition von f und g als: (f + g)(t) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t + + (a m + b m )t m (ähnlich falls n m) Die Multiplikation ist definiert als f g = c 0 + c 1 t + + c m+n t m+n, mit Daher gilt: c k = i+j=k a i b j c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1 c 2 = a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 c m+n = a n b m Wir können jedes Polynom f(t) R[t] als eine Abbildung f : R R betrachten Die Abbildung f ist definiert durch f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n x R Falls a i = 0 R i N (dh f(t) = a 0 ) wird f(t) konstantes Polynom genannt Jedes x R mit f(x) = 0 R heisst Nullstelle von f(t) (R[t], +, ) ist ein Ring Das Nullelement ist das konstante Polynom 0, welches auch Nullpolynom genannt wird Die Funktion deg: R[t] N 0 { } gegeben durch deg(f(t)) = { max{k N0 a k 0}, falls f(t) 0, falls f(t) = 0 definiert den Grad des Polynoms f Wir werden folgende Konvention benutzen: Bemerkung 141 f, g R[t] gilt: 1 deg(f + g) max{deg(f), deg(g)}; 2 deg(f g) deg(f) + deg(g) + c = c R Diese Ungleichungen folgen direkt aus den Definitionen der Addition und der Multiplikation in R[t]

28 28 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA 144 Körper Definition 142 Ein Ring (K, +, ) heisst Körper, wenn K kommutativ ist, ein Einselement 1 K enthält und x K := K \ {0} gilt y K mit x y = 1 K Ein solches y wird multiplikative Inverse von x genannt und mit x 1 bezeichnet Man sagt, dass jedes Element von K invertierbar ist mit multiplikativer Inverse x 1 Bemerkung 143 Für jedes x K gibt es genau eine multiplikative Inverse y von x Beweis Sei x K ein festes aber beliebiges Element Seien y 1, y 2 multiplikative Inverse von x Es gilt: y 1 = 1 K y 1 = y 2 x y 1 = y 2 1 K = y 2 Bemerkung 144 Sei K ein Körper In K gibt es keine Nullteiler, dh jeder Körper ist nullteilerfrei Beweis Sehen Sie die Aufgabe 125 Beispiel Q mit den üblichen Verknüpfungen + und ist ein Körper 2 R mit den üblichen Verknüpfungen + und ist ein Körper 3 Z/2Z ist ein Körper mit den Verknüpfungen + und definiert durch die Tabellen im Beispiel N mit den üblichen Verknüpfungen + und ist kein Körper 5 Z/4Z mit den üblichen Verknüpfungen + und definiert durch die Tabelle im Beispiel 139 ist kein Körper Satz 146 Sei b N Es gilt: Z/bZ ist ein Körper b ist eine Primzahl Beweis ( ) Gemäss 144 ist jeder Körper ein Integritätsbereich Also folgt mit Satz 140, dass b eine Primzahl ist ( ) Sei b eine Primzahl Der Ring Z/bZ ist kommutativ mit Einselement 1 Zu zeigen ist, dass jedes Element a Z/bZ\{0} invertierbar ist Da a 0, gilt ggt(a, b)=1 Aus Satz 15 folgt, dass es ein i, j Z mit a i + b j = 1 gibt Daher gilt 1 = a i + b j = a i + b j = a i Also hat a ein multiplikatives Inverses, und zwar i

29 14 RINGE UND KÖRPER Komplexe Zahlen Man bezeichnet mit R 2 das kartesische Produkt R R Also R 2 = {(a, b) a, b R} Wir werden auf der Menge R 2 die Struktur eines Körpers definieren Dazu betrachten wir die zwei Verknüpfungen Addition und Multiplikation definiert durch die folgende Gesetze: (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ) für alle (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) R 2 Man überprüft leicht, dass das Nullelement (0, 0) und das Einselement (1, 0) ist Ferner sieht man einfach, dass die Addition und die Multiplikation kommutativ sind Es gelten auch die Distributivität und Assoziativität : (a 1, b 1 ) ((a 2, b 2 ) + (a 3, b 3 )) = (a 1, b 1 ) (a 2 + a 3, b 2 + b 3 ) = (a 1 (a 2 + a 3 ) b 1 (b 2 + b 3 ), a 1 (b 2 + b 3 ) + b 1 (a 2 + a 3 )) = (a 1 a 2 b 1 b 2 + a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 b 2 + b 1 a 2 + a 1 b 3 + b 1 a 3 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ) + (a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 b 3 + b 1 a 3 ) = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) + (a 1, b 1 ) (a 3, b 3 ) (a 1, b 1 ) ((a 2, b 2 ) (a 3, b 3 )) = (a 1, b 1 ) (a 2 a 3 b 2 b 3, a 2 b 3 + b 2 a 3 ) = (a 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 ) b 1 (a 2 b 3 + b 2 a 3 ), a 1 (a 2 b 3 + b 2 a 3 ) + b 1 (a 2 a 3 b 2 b 3 )) = ((a 1 a 2 b 1 b 2 )a 3 (a 1 b 2 + b 1 a 2 )b 3, (a 1 a 2 b 1 b 2 )b 3 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )a 3 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ) (a 3, b 3 ) = ((a 1, b 1 ) (a 2, b 2 )) (a 3, b 3 ) Sei x = (a, b) R 2 \ {(0, 0)} Weil a 2 + b 2 > 0 können wir das Element y = a b (, ) betrachten und bemerken, dass a 2 +b 2 a 2 +b 2 x y = (a, b) ( a b, ) a 2 +b 2 a 2 +b 2 = (a a b b, a b + b a 2 +b 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 = (1, 0) a ) a 2 +b 2 Es folgt, dass y (wirklich) das inverse Element von x ist; man bezeichnet es mit x 1 Die Menge R 2 mit diesen Verknüpfungen ist ein Körper, den wir C nennen, den Körper der komplexen Zahlen Es gibt auch eine andere Darstellung der komplexen Zahlen Die Gleichung x 2 +1 = 0 ist nicht lösbar in R Wir definieren eine neue Zahl i mit der Eigenschaft i = 0 Diese Zahl heisst imaginäre Einheit Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als C = {a + ib a, b R}

30 30 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA wobei a + bi = c + id genau dann wenn a = c und b = d Daher gibt es eine Bijektion C R 2 a + ib (a, b) Wir haben die folgende geometrische Situation: Sei z = a + bi mit a, b R eine beliebige komplexe Zahl (a, b) sind die kartesischen Koordinaten von z Die Zahl a wird Realteil von z genannt und mit Re(z) bezeichnet Die Zahl b ist der Imaginärteil von z und wird mit Im(z) bezeichnet Der Körper C besitzt die obige Struktur von R 2 Die folgenden Gesetze definieren die zwei Verknüpfungen Addition und Multiplikation auf C: (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = a 1 + a 2 + (b 1 + b 2 )i; (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )i (18) Die obigen Bemerkungen über die Verknüpfungen auf R 2 zeigen, dass (C, +, ) ein Körper ist, wobei +, durch die Gesetze wie in (18) definiert sind Sei z = a + ib C \ {0}, dann gilt z 1 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i Wir nennen a 2 + b 2 den Betrag von z und bezeichnen ihn mit z Ferner ist z := a bi die komplex konjugierte Zahl von z Daher gilt für jedes z C \ {0}: z 1 = Die Gleichung (19) folgt auch aus folgender Bemerkung: Seien z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i Dann gilt z z = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 = z 2 z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + (b 1 + b 2 )i = a 1 + a 2 (b 1 + b 2 )i = a 1 b 1 i + a 2 b 2 i = z 1 + z 2 z z 2 (19)

31 14 RINGE UND KÖRPER 31 und z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i = a 1 a 2 b 1 b 2 (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i = a 1 a 2 ( b 1 )( b 2 ) + (a 1 ( b 2 ) + a 2 ( b 1 ))i = (a 1 b 1 i)(a 2 b 2 i) = z 1 z 2 Die geometrische Darstellung der komplexen Konjugation ist die folgende: Polarform der komplexen Zahlen Sei z = a + bi C Wir betrachten die folgende Situation: wobei r = r 2 sin 2 α + r 2 cos 2 α = a 2 + b 2 (110) Gemäss des Satzes des Pythagoras ist r die Länge des Pfeils von 0 bis z Bemerke, dass jede komplexe Zahl eindeutig durch die Länge r und den Winkel α bestimmt ist Daher können wir eine neue Darstellung von z angeben: z = r(cos α + i sin α) (111) wobei r wie in (110) definiert ist und α der einzige Winkel in [0, 2π) mit (cos α, sin α) = (a/r, b/r) ist (Bemerkung: es gilt bi = ib b R) Wir nennen (r, α) die Polarkoordinaten von z und die Darstellung in (111) ist die Polarform Wie wir schon gesagt haben, ist r der Betrag von z Den Winkel α bezeichnet man als das Argument der komplexen Zahl, α = arg(z) Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen hat eine schöne geometrische Interpretation in Polarkoordinaten Seien z 1 = r 1 (cos α 1 + i sin α 1 ) und z 2 = r 2 (cos α 2 + i sin α 2 )

32 32 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA komplexe Zahlen Es gilt z 1 z 2 = (r 1 cos α 1 + ir 1 sin α 1 )(r 2 cos α 2 + ir 2 sin α 2 ) = r 1 r 2 (cos α 1 cos α 2 sin α 1 sin α 2 ) + ir 1 r 2 (cos α 1 sin α 2 + sin α 1 cos α 2 ) = r 1 r 2 (cos(α 1 + α 2 ) + i sin(α 1 + α 2 )) Also gelten z 1 z 2 = z 1 z 2 und arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z 1, z 2 C Wenn man eine komplexe Zahl n mal mit sich selbst multipliziert, erhalten wir so die Formel von Moivre: z n = [r (cos α + i sin α)] n = r n (cos nα + i sin nα) In kartesischen Koordinaten berechnet sich die Summe zweier komplexer Zahlen einfach In Polarkoordinaten lässt sich hingegen das Produkt einfach berechnen Fundamentalsatz der Algebra Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom in C[t] eine Nullstelle in C besitzt Definition 147 Sei R ein Ring Ein Polynom f(t) R[t] heisst irreduzibel in R wenn deg(f(t)) 1 und für jede Darstellung f(t) = a(t) b(t) mit a(t), b(t) R[t] entweder a(t) oder b(t) konstant ist Wir können den Fundamentalsatz der Algebra auch so formulieren: Satz 148 Ein Polynom f(t) C[t] ist irreduzibel genau dann wenn deg(f(t)) = 1 Der Beweis dieses Satzes wird hier nicht präsentiert Aufgaben Aufgabe 122 Sei m N grösser als 1 und Z/mZ = {0, 1,, m 1} die Menge aus Beispiel 131 Seien + und die Verknüpfungen definiert wie in (17) Beweisen Sie, dass (Z/mZ, +, ) ein kommutativer Ring mit Einselement ist Aufgabe 123 Sei R ein endlicher Ring mit Einselement Die kleinste positive ganze Zahl n, sd n 1 R = 1 R + 1 R }{{ R = 0 } R n mal heisst die Charakteristik des Ringes R und wird als char(r) bezeichnet Beweisen Sie, dass R Integritätsbereich char(r) ist prim Aufgabe 124 Betrachten Sie den Ring (Z/5Z, +, ) Schreiben Sie die additive und die multiplikative Tabelle auf

33 14 RINGE UND KÖRPER 33 Aufgabe 125 Beweisen Sie, dass die Aussage in Bemerkung 144 wahr ist Aufgabe 126 Beweisen Sie, dass die Menge K = {a+b 2 a, b Q} mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper ist {( ) } a b Aufgabe 127 Wir betrachten die Menge M = a, b, c, d R c d Wir definieren auf M die folgenden zwei Verknüpfungen, die wir Addition und Multiplikation nennen: ( ) ( a b a b + ) ( a + a b + b c d c d := ) c + c d + d ( a b c d ) ( a b c d Beweisen Sie, dass M ein Ring ist Ist M kommutativ? Hat M ein Einselement? ) ( aa := + bc ab + bd ) ca + dc cb + dd Aufgabe 128 (*) Sei p eine Primzahl Sei (R, +, ) ein Ring mit p Elementen, der ein Einselement hat Beweisen Sie, dass R ein Körper ist Aufgabe 129 Geben Sie Beispiele, wo die Ungleichungen in Bemerkung 141 strikt sind Aufgabe 130 Sei p eine Primzahl, p 2 Beweisen Sie, dass x p = x [Tipp: Beweisen Sie dies mit vollständiger Induktion über x] x Z/pZ Aufgabe 131 Sei p eine Primzahl, p 2 Nehmen wir an, dass es a Z/pZ gibt, so dass a 2 = 1 1 Beweisen Sie, dass ( 1) p 1 2 = 1 2 Beweisen Sie, dass p 1 4Z Aufgabe 132 Beweisen Sie, dass jeder endliche Integritätsbereich ein Körper ist Aufgabe 133 Sei K ein Körper Beweisen Sie, dass 1 Der Ring K[t] mit den üblichen Verknüpfungen ein Integritätsbereich ist 2 f K[t] ist invertierbar f ist eine Konstante Aufgabe 134 (*) Sei R ein Ring Seien f, g R[t] mit deg(f(t)) = n > 0 Sei f(t) = f 0 + f 1 t + + f n t n wobei f n ein invertierbares Element aus R ist (dh h R mit f n h = h f n = 1 R ) Beweisen Sie, dass es zwei eindeutige Polynome q(t), r(t) R[t] mit g(t) = f(t) q(t) + r(t), deg(r(t)) < n gibt

34 34 KAPITEL 1 EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA Aufgabe 135 Sei K ein Körper Sei f(t) K[t] Beweisen Sie mit Hilfe der Aufgabe 134, dass x K ist eine Nullstelle von f g(t) K[t] mit f(t) = (x t)g(t) Aufgabe 136 Beweisen Sie, dass die Behauptung Jedes nicht konstante Polynom in C[t] besitzt eine Nullstelle in C äquivalent zu Satz 148 ist Aufgabe 137 Sei K ein Körper Sei f(t) K[t] Beweisen Sie mit Hilfe der Aufgabe 135, dass die Anzahl der Nullstellen von f kleiner oder gleich deg(f) ist Gilt diese Beschränkung mit R Ring statt K Körper? Wenn ja, geben Sie einen Beweis Wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel [Tipp: Betrachten Sie den Ring in Aufgabe 127, besonders die Elemente ( ) ( ) n, ] n ( n n Aufgabe 138 Sei K ein Körper Seien f(t), g(t) K[t] Man sagt, dass g(t) ein Teiler von f(t) ist, wenn es ein Polynom h(t) K[t] mit f(t) = h(t)g(t) gibt Seien a(t), b(t) K[t] zwei beliebige Polynome, die nicht das Nullpolynom sind Ein ggt(a, b) (grösster gemeinsamer Teiler von a(t), b(t)) ist ein gemeinsamer Teiler von a(t) und b(t), der ein Vielfaches von jedem gemeinsamen Teiler von a und b ist Für jedes f(t) K[t] sei f(t)k[t] = {f(t) g(t) g(t) K[t]} Beweisen Sie, dass a(t), b(t) K[t] \ {0} gilt: a(t)k[t] + b(t)k[t] = m(t)k[t], wobei m(t) ein ggt(a, b) ist Bemerkung: Es könnte unendlich viele ggt(a, b) geben Aufgabe Bestimmen Sie in C jede Nullstelle der Gleichung t 3 = 1; 2 Für jede ganze Zahl n > 0 und jede reelle Zahl a geben Sie die Polarkoordinaten der Nullstellen der Gleichung t n = a Aufgabe 140 (*) Beweisen Sie, dass der Grad (deg) eines irreduziblen Polynoms f(t) aus R[t] kleiner als 3 ist [Tipp: Betrachten Sie die Konjugation in C] ),

35 Kapitel 2 Vektorräume Im Folgenden wird K immer ein Körper sein mit den Verknüpfungen + und Das Nullelement wird einfach mit 0 bezeichnet und das Einselement mit 1 Normalerweise werden wir ab schreiben statt a b für jedes a, b K K bezeichnet die Menge der invertierbaren Elemente von K, dh K \ {0} (K ohne null) Wir fangen sofort mit einem Beispiel an, das im nächsten Abschnitt präsentiert wird 21 n dimensionale reelle Vektorräume Hier betrachten wir K = R Sei n eine positive ganze Zahl Sei R n das kartesische Produkt von n Kopien von R, dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) x i R 1 i n} Jedes Element (x 1, x 2,, x n ) R n heisst Vektor Wir werden die Symbole u, v, w, benutzen um die Elemente von R n zu bezeichnen Auf R n definiert man zwei Verknüpfungen, die wir Addition und Skalarmultiplikation nennen Addition Für jedes (x 1,, x n ), (y 1,, y n ) R n definieren wir (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) := (x 1 + y 1,, x n + y n ) Skalare Multiplikation Für jedes (x 1,, x n ) R n und jedes λ R, definieren wir λ (x 1,, x n ) := (λx 1,, λx n ) Der Vektor 0 := (0,, 0) R n heisst Nullvektor Es gelten: Die Addition ist kommutativ, dh u + v = v + u u, v R n In der Tat gilt: (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) = (y 1 + x 1,, y n + x n ) = (y 1,, y n ) + (x 1,, x n ) (x 1,, x n ), (y 1,, y n ) R n 35

36 36 KAPITEL 2 VEKTORRÄUME Die Addition ist assoziativ, dh (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w R n In der Tat gilt: ((x 1,, x n ) + (y 1,, y n )) + (z 1,, z n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) + (z 1, z n ) (x 1,, x n ), (y 1,, y n ), (z 1, z n ) R n = (x 1 + y 1 + z 1,, x n + y n + z n ) = (x 1,, x n ) + (y 1 + z 1,, y n + z n ) = (x 1,, x n ) + ((y 1,, y n ) + (z 1,, z n )) Die Addition hat den Nullvektor (0,, 0) als Nullelement 0 Es gilt v+0 = v v R n In der Tat gilt: (x 1,, x n ) R n (x 1,, x n ) + (0,, 0) = (x 1,, x n ) v R n u R n sd v+u = 0 Man nennt v das negative Element (oder das inverse Element) von v und man bezeichnet es mit v In der Tat, wenn v = (x 1,, x n ), dann v = ( x 1,, x n ) Es gilt (λµ) v = λ (µ v) λ, µ R, v R n und 1 v = v v R n In der Tat gilt: (x 1,, x n ) R n λ, µ R, v, u R n gilt: (λµ) (x 1,, x n ) = (λµx 1,, λµx n ) = λ (µx 1,, µx n ) (λ + µ) v = λ v + µ v und λ (v + u) = λ v + λ u Es gibt spezielle Vektoren i te Stelle e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) 1 i n (21) die die anderen Vektoren erzeugen In der Tat gilt: (x 1, x 2,, x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n (x 1, x 2,, x n ) R n Die Menge R n mit diesen zwei Verknüpfungen, der Addition und der Skalarmultiplikation, heisst n dimensionalen reelle Vektorraum

37 22 ALLGEMEINE VEKTORRÄUME Allgemeine Vektorräume Wir definieren den Begriff des Vektorraums, der den Begriff des n dimensionalen reellen Vektorraums verallgemeinert Definition 21 Eine nichtleere Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen +: V V V (v, w) v + w, : K V V (λ, v) λ v, die wir Addition bzw Skalarmultiplikation nennen, heisst K Vektorraum (oder Vektorraum über K), wenn gilt: V 1 ) Die Addition ist kommutativ, dh u + v = v + u u, v V V 2 ) Die Addition ist assoziativ, dh (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V V 3 ) Die Addition hat ein Nullelement 0 Es gilt v + 0 = v v V V 4 ) v V u V sd v + u = 0 Man nennt u den inversen Vektor von v (oder den negativen Vektor von v) und man bezeichnet ihn mit v V 5 ) Es gilt (λµ) v = λ (µ v) λ, µ K, v V und 1 v = v v V V 6 ) λ, µ K, v, u V gilt: (λ + µ) v = λ v + µ v und λ (u + v) = λ u + λ v Die Elemente von V heissen Vektoren Beispiel 22 1 n N ist V = K n mit den Verknüpfungen definiert wie in 21 ein K-Vektorraum 2 V = C mit der üblichen Addition und der folgenden Skalarmultiplikation ist ein R Vektorraum R C C (λ, a + bi) λa + λbi, 3 Der Ring K[t] mit der üblichen Addition und der Multiplikation von Polynomen mit Konstanten (die hier Skalare genannt werden) ist ein K Vektorraum

38 38 KAPITEL 2 VEKTORRÄUME 4 Sei X eine beliebige Menge Sei Die Addition ist definiert durch Abb(X, K) := {f : X K f Abbildung} (f + g)(x) := f(x) + g(x), f, g Abb(X, K), x X Die Skalarmultiplikation ist definiert durch (λ f)(x) := λf(x), f Abb(X, K), x X, λ K 5 Jeder R n hat die Struktur eines Q Vektorraums 6 Der Ring M aus Aufgabe 127 mit der dort definiert Addition und der Skalarmultiplikation ( ) ( ) ( ) a b λa λb a b λ =, λ R, M c d λc λd c d ist ein R-Vektorraum (in der Tat kann man jeden Körper K statt R betrachten) 7 V = {0} mit = 0 = λ0 λ K ist ein K Vektorraum Er wird der triviale Vektoraum genannt Bemerkung 23 (Eindeutigkeit des inversen Vektors) Sei V ein Vektorraum Für ein gegebenes v V seien u 1, u 2 V sd v + u 1 = v + u 2 = 0 Dann u 1 = u 2 folgt In der Tat gilt u 1 = u = u 1 + v + u 2 = 0 + u 2 = u 2 Bemerkung 24 In einem K-Vektorraum V gilt v V, λ K: 1 λ v = 0 λ = 0 oder v = 0 2 ( 1) v = v Beweis 1 ( ) Sei λ = 0 Es gilt 0 v = (0 + 0) v v 6 = 0 v + 0 v Daher folgt 0 v = 0 Sei nun v = 0 Es gilt: Daher folgt λ 0 = 0 ( ) Sei nun λ v = 0 und λ 0 Es gilt λ 0 = λ(0 + 0) v 6 = λ 0 + λ 0 v v 5 = 1 v = ( λ 1 λ ) v v 5 = λ 1 (λ v) = λ 1 0 oben = 0

39 23 UNTERRÄUME UND ERZEUGNIS 39 2 Es gilt: Also ( 1) v = v v + ( 1) v = 1 v + ( 1) v = (1 1) v = 0 v 1 = 0 23 Unterräume und Erzeugnis Definition 25 Sei V ein K Vektorraum Eine nichtleere Teilmenge W V heisst Unterraum von V, wenn gilt: 1 v, w W v + w W ; 2 v W, λ K λ v W (Man sagt, dass W abgeschlossen ist bzgl Addition und Skalarmultiplikation) Satz 26 Ein Unterraum W eines K Vektorraums V ist selber ein K Vektorraum (bzgl der durch V gegebenen Verknüpfungen) Beweis Die Eigenschaften V 1, V 2, V 5 und V 6 sind erfüllt, weil W V Da W w W Nach 2 von Definition 25 gilt 0 = 0 w W Daher gilt V 3 Ferner ist w = ( 1) w W w W (nach 2 von Definition 25) Also gilt auch V 4 Beispiel 27 1 Sei n eine positive gerade Zahl Sei V = K n mit den üblichen Verknüpfungen Seien a 1,, a n feste Elemente in K Die Menge ist ein Unterraum von V W = {(x 1,, x n ) V a 1 x a n x n = 0} 2 Sei V = C Für jedes α C ist die Menge ein Unterraum 3 Sei V = K[t] Sei n N 0 Die Menge ist ein Unterraum 4 Sei V = Abb(X, K) Die Menge αr = {rα r R} K[t] n = {f K[t] deg(f) n} W = {f V f(x) = f(y) x, y X} (konstante Abbildungen) ist ein Unterraum