x : T x : X Schema-Ausdrücke S, S T,

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1 Z-Notation Die folgenden Tabellen geben einen Überblick über die in Z verwendeten Schreibweisen. Das L A TEX- Eingabeformat wird auch von gängigen Z-Werkzeugen, u.a. auch von Z/Eves und Jaza akzeptiert; für die Formatierung mit L A TEX wird zed-csp.sty (bzw. z-eves.sty) benötigt. Alle Eingaben müssen innerhalb einer zed-umgebung stehen (d.h. innerhalb von \begin{zed}... \end{zed}), ausgenommen boxes (axiomatische bzw. generische Definitionen oder Schemata), die selbst als Umgebung geschrieben werden. Deklarationen und Definitionen [Type] [Type] Grund-Typen id params == expr id params == expr Abkürzung T ::= c d \ldata U \rdata \begin{axdef} x: T \end{axdef} \begin{gendef}[x] x: X \end{gendef} \begin{schema}{s} x: T \end{schema} T ::= c d U x : T [X] x : X S x : T Definition freier Typen axiomatische Definitionen generische Definitionen Schema-Definition S \defs [x:t ] S = [x : T ] Schema-Definition in horizontaler Schreibweise Schema-Ausdrücke Id, Id!, Id?, Id_n Id, Id!, Id?, Id n Dekorationen (n Ziffer) \Delta S S Abkürzung für S S \Xi S ΞS Abkürzung für S S θs = θs \lnot S, S \land T, S \lor T \forall S \exists S S, S T, S T x : T S x : T S logische Verknüpfungen von Schemata Quantoren (auch 1 erlaubt) S \hide (x) S \ (x) Hiding, äquivalent zu x : T S, wobei T der Typ von x in S S \project T S T rojektion, äquivalent zu (S T) \ ( x), wobei x die Variablen in S sind, die in T nicht vorkommen S \semi T S o 9 T sequentielle Komposition S \pipe T S>>T ipe-komposition \pre S pre S Vorbedingung (Hiding der gestrichenen und Ausgabe-Variablen) 1

2 Ausdrücke \{ E \} {x : T E} Mengenkomprehension (E optional), z.b. {x : Z x > 5 x x} = {36, 49, 64,...} (\lambda E) (λ x : T E) λ-ausdruck, äquivalent zu {x : T (x, E)} f x f x Funktionsanwendung (\mu E) (µ x : T E) eindeutige Beschreibung (E optional), z.b. (µ x : N 1 x x = x x + x) = 2 \IF \THEN E1 \ELSE E2 if then E1 else E2 bedingter Ausdruck (analog für Formeln) \LET E2 let x == E1 E2 lokale Definition (analog für Formeln) Formeln x = y, x \neq y x = y, x y (Un-)Gleichheit x \in S, x \notin S x S, x / S (Nicht-)Enthaltensein S \subseteq T S T Teilmenge S \subset T S T echte Teilmenge \lnot Negation \land Q Q Konjunktion \lor Q Q Disjunktion \implies Q Q Implikation \iff Q Q Äquivalenz \forall x : T Allquantifizierung \exists x : T Existenzquantifizierung \exists_1 1 x : T eindeutige Existenz a \inrel{r} b a R b Infix-Relation, äquivalent zu (a, b) R Mengen \emptyset leere Menge \{a, b\} {a, b} Aufzählung endlicher Mengen S \cup T, S \cap T S T, S T Vereinigung, Durchschnitt S \setminus T S \ T Mengendifferenz \power S, \power_1 S S, 1 S otenzmenge ( 1 S = S \ ) S \cross T S T Mengenprodukt \bigcup TT TT verallgemeinerte Vereinigung, a TT S TT a S \bigcap TT TT verallgemeinerter Durchschnitt, a TT S TT a S 2

3 aare und Tupel (a, b) (a, b) aar- und Tupelbildung (beliebige Stelligkeit) a \mapsto b a b geordnetes aar ( maplet ), äquivalent zu (a, b) t.n t.n Selektion der n-ten Komponente, z.b. (a, b, c).2 = b first p first p erste Komponente, first(a, b) = a (äquivalent zu p.1) second p second p zweite Komponente, second(a, b) = b (äquivalent zu p.2) Relationen X \rel Y X Y Menge der Relationen, X Y = (X Y) \dom R dom R Vorbereich, dom R = { x : X; y : Y x R y x } \ran R ran R Nachbereich, ran R = { x : X; y : Y x R y y } \id X id X Identitätsrelation, id X = (λ x : X x) Q \comp R Q o 9 R Relationskomposition, Q o 9 R = { x : X; z : Z ( y : Y x Q y y R z) x z } R \circ Q R Q Rückwärtskomposition, R Q = Q o 9 R, (f g) x = f (g x) R \inv R Umkehr-Relation, R = { x : X; y : Y x R y y x } A \dres R A R Vorbereichs-Restriktion, A R = { x : X; y : Y x R y x A x y } A \ndres R A R Vorbereichs-Antirestriktion, A R = { x : X; y : Y x R y x / A x y } A \rres R A R Nachbereichs-Restriktion, A R = { x : X; y : Y x R y y B x y } A \nrres R A R Nachbereichs-Antirestriktion, A R = { x : X; y : Y x R y y / B x y } R \limg A \rimg R( A ) relationales Bild, R( A ) = ran(a R) Q \oplus R Q R Überschreiben, Q R = (dom R Q) R R \plus R + transitive Hülle, R + = { Q : X X R Q Q o 9 Q Q } R \star R reflexiv-transitive Hülle, R = id X R + Rˆ{k} R k Relationsiteration, R 0 = id X, R k+1 = R o 9 R k, R k = (R ) k Funktionen X \pfun Y X Y partielle Funktionen, { R : X Y x : X; y 1, y 2 : Y x R y 1 x R y 2 y 1 = y 2 } X \fun Y X Y totale Funktionen, X Y = { f : X Y dom f = X} X \pinj Y X Y partielle Injektionen, { f : X Y x 1, x 2 : dom f f x 1 = f x 2 x 1 = x 2 } X \inj Y X Y totale Injektionen, X Y = (X Y) (X Y) X \psurj Y X Y partielle Surjektionen, X Y = { f : X Y ran f = B } X \surj Y X Y totale Surjektionen, X Y = (X Y) (X Y) X \bij Y X Y Bijektionen, X Y = (X Y) (X Y) 3

4 Zahlen \num Z ganze Zahlen \nat N natürliche Zahlen, N = { n : Z n 0 } \nat_1 N 1 positive ganze Zahlen, N 1 = N \ {0} +, -, * +,, arithmetische Operationen (Z Z Z) \div, \mod div, mod Division, Modulo-Operation (Z (Z \ {0}) Z) <, \leq, >, \geq <,, >, arithmetische Vergleiche (Z Z) succ succ Nachfolger-Operation (N N) a \upto b a.. b Intervalle, a.. b = { n : Z a n n b } min S, max S min S, max S minimales/maximales Element einer Zahlenmenge (falls ex.) min S = (µ m : S ( n : S m n)) Endliche Mengen \finset S F S Menge der endlichen Teilmengen von S, F S = { s : S n : N f : 1.. n S ran f = S } \finset_1 S F 1 S nichtleere endliche Teilmengen, F 1 S = F S \ \# S #S Kardinalität einer endlichen Menge, #S = (µ n : N ( f : 1.. n S ran f = S)) X \ffun Y X Y endliche partielle Funktionen, X Y = { f : X Y dom f F X } X \finj Y X Y endliche partielle Injektionen, X Y = (X Y) (X Y) Multimengen \bag S bag S Multimengen über S, bag S = (S N 1 ) \lbag a, a, b\rbag [[a, a, b]] Aufzählung endlicher Multimengen, entspricht {a 2, b 1} B \bcount x B x Häufigkeit von x in B, B x = (λ x : S 0) B n \otimes B n B Skalierung, n B = (λ x : dom B x n (B x)) x \inbag B x in B Enthaltensein in Multimenge, x in B x dom B A \subbageq B A B Teil-Multimengenrelation, A B x : S A x B x A \uplus B A B Multimengen-Vereinigung, (A B) x = A x + B x A \uminus B A B Multimengen-Differenz, (A B) x = max {0, A x B x} items s items s Multimenge der Elemente einer Folge, (items s) x = #(s {x}) 4

5 Endliche Folgen \seq S seq S Menge der endlichen Folgen über S, seq S = { s : N S n : N dom s = 1.. n } \seq_1 S seq 1 S nichtleere Folgen, seq 1 S = { s : seq S #s > 0 } \iseq S iseq S dublettenfreie Folgen, iseq S = (seq S) (N S) \langle a, a, b \rangle a, a, b Aufzählung einer endlichen Folge, entspricht { 1 a, 2 a, 3 b } s \cat t s t Konkatenation, s t = s { n : dom t (n + #s) t(n) } rev s rev s Umkehrung, rev s = (λ n : dom s s(#s n + 1)) head s head s erstes Element, head s = s(1) tail s tail s Folgenrest, tail s = (λ n : 1.. #s 1 s(n + 1)) last s last s letztes Element, last s = s(#s) front s front s Folge ohne letztes Element, front s = (1.. #s 1) s squash f squash f Kompaktifizierung, (µ g : 1.. #f dom f g o 9 succ o 9 g ( < )) o 9 f A \extract s A s Extraktion der Elemente an Indizes in A, A s = squash (A s) s \filter A s A Teilfolge der Elemente von s, die in A enthalten sind, s A = squash (s A) s \prefix t s prefix t räfix-relation, s prefix t v : seq S s v = t s \suffix t s suffix t Suffix-Relation, s suffix t v : seq S v s = t s \inseq t s in t Teilfolge, s in t u, v : seq S u s v = t \dcat s / s Konkatenation aller Folgen in s, / =, #s > 1 / s = (head s) ( / tail s) 5