Versicherungs-und Risikomanagement. Versicherungstechnik

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl. Math. Rolf Wendt DOOR Versicherungs-und Risikomanagement Versicherungstechnik tvx pro S m n t Vorlesung Wintersemester 2015/2016 Das Fachgebiet im Internet:

2 Inhaltsverzeichnis Zum Wesen einer Lebens -Versicherung 1 1 Kalkulationsprinzip und Kalkulationsgrundlagen Das Kalkulationsprinzip Das versicherte Risiko als Rechnungsgrundlage 1. Ordnung; Ausscheideordnungen Eine garantierte Zinsentwicklung als Rechnungsgrundlage 1. Ordnung Kommutationswerte Die Kostenzuschläge als Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung Abschlusskostenzuschlag (α-kosten) Verwaltungskostenzuschlag (β- und γ-kosten) Die beiden versicherungstechnischen Äquivalenzprinzipien Beitrags- und Leistungsbarwerte, Deckungsrückstellungen Diskrete Zahlungsreihen Der Beitragsbarwert Der Leistungsbarwert Das strenge Äquivalenzprinzip und natürliche Beiträge Das schwache Äquivalenzprinzip und das Deckungskapital Die versicherungstechnische Bilanzgleichung Kalkulation mit Hilfe des Thiele schen Gleichungssystems Kalkulation der Versicherungsleistung Lösbarkeit des Thiele schen Gleichungssystems, explizite Lösung und ökonomische Zulässigkeit des Reservevektors Zerlegung des Netto-Beitrags Versicherungen mit Ausscheide- und Erlebensfallcharakter Bruttokalkulation Abschluss- und Vertriebskostenzuschläge, α-kosten Unmittelbare Abschlusskostenzuschläge, Zillmerung Laufende Abschlusskostenzuschläge, α γ -Kosten Verwaltungskostenzuschläge, β- und γ-kosten Bruttokalkulation mit dem Thiele schen Gleichungssystem Zerlegung der Brutto-Prämie und des ausreichenden Deckungskapitals Sonstige Beitragszuschläge I

3 Inhaltsverzeichnis 4 Überschüsse in der Lebensversicherung Überschussprognose und Kontributionsformel Überschussdeklaration und Überschusszuteilung Überschussverwendung Finanzierbarkeit eines Überschusssystems und Ertragswert einer LV Technische Änderungen bei Lebensversicherungsverträgen Rückkauf einer Lebensversicherung (Storno) Die (Nicht)-Berücksichtigung von Storno bei der Prämienkalkulation Beitragsfreistellung von Lebensversicherungen Umwandlung von Lebensversicherungen Die private Krankenversicherung (PKV) Das historische, ökonomische und rechtliche Umfeld der PKV Kurze Historie: GKV und PKV in Deutschland Unterschiede, Gemeinsamkeiten und Beziehungen zwischen GKV und PKV Tarife, Tarifarten und Tarifgestaltung in der PKV Prinzipien der Beitragsberechnung in der PKV Gemeinsamkeiten mit den Tarifierungsprinzipien der LV Der Rechnungszins Die Ausscheideordnungen Kopfschaden Literaturverzeichnis 116 II

4 Zum Wesen einer Lebens - Versicherung In diesem einführenden Kapitel wollen wir einen ersten Einblick in die Besonderheiten und fachlichen Termini geben, welche eine so genannte Lebens -Versicherung ausmachen. Wir werden uns im Rahmen der Veranstaltung aus mehreren Gründen mit Lebens- Versicherungen und der technischen Konstruktion (d. h. genauer der Prämien- und Leistungskalkulation) bzw. der technischen und ökonomischen Analyse von derartigen Versicherungsprodukten beschäftigen. Die Gründe sind: Die sich hinter dem Begriff Lebensversicherung verbergenden Palette von Versicherungsprodukten zwingt zunehmend zur Konstruktion eines auf die Person bezogenen, also maßgeschneiderten Versicherungsschutzes. Es ist also der Frage nachzugehen, wie individueller Versicherungsschutz aus technischer Sicht konstruiert wird, und wie das Gut Versicherungsschutz ökonomisch bewertet wird. Das Marktvolumen derartiger Produkte innerhalb des Gesamtversicherungsmarktes ist hoch. Entsprechend stark ist auch die Nachfrage nach Personen, die über die Kompetenz verfügen, Lebens -Versicherungsprodukte zu konstruieren (kalkulieren) und zu analysieren. Das Konstruktionsprinzip bei Lebens -Versicherungsprodukten hat in gewissem Sinne einen universellen Charakter. Kleine Historie Bereits zur römischen Kaiserzeit gab es Personenvereinigungen, deren Ziel in einer gegenseitigen sozialen Unterstützung bestand. Wesentliche Leistung einer solchen Vereinigung war oft die Bezahlung eines sog. Sterbegeldes, das einem Mitglied im Falle seines Todes ein würdiges Begräbnis sichern sollte. Die Mitglieder solcher Vereine kamen meist einmal im Monat zu (oft religiös motivierten) Veranstaltungen zusammen, um bei dieser Gelegenheit einen finanziellen Beitrag in die gemeinsame Sterbekasse zu entrichten. Auch im Mittelalter gab es eine Reihe von berufsbezogenen Vereinen von Kaufleuten (Zünfte), Handwerkern, Schauspielern oder Soldaten, die ihren Mitgliedern soziale Leistungen gewährten und Beerdigungskosten ersetzten. Diese Leistungen wurden durch ein Eintrittsgeld finanziert, das die Mitglieder bei Aufnahme in den Verein zu zahlen hatten. 1

5 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung Der erste Lebensversicherungsvertrag der Welt wurde 1583 von der englischen Versicherungskammer registriert. Mit diesem Vertrag wurde das Leben eines gewissen W. Gibbons für die Dauer eines Jahres mit einer Leistung von 382 Pfund vom Ratsherrn R. Martin versichert. Gibbons zahlte dafür 30 Pfund, starb innerhalb dieses Zeitraums und die Versicherungssumme musste gezahlt werden. Glücklicherweise hatten 16 Bürger diesen Vertrag unterschrieben, so dass jeder dieser Bürger ca. 23 Pfund zu zahlen hatte. Mit einem Lebensversicherungsvertrag in unserem heutigen Sinne hatte dieser Vertrag allerdings recht wenig gemeinsam. Er war eher mit einem Wettvertrag vergleichbar. Im Jahre 1765 wurde in England die erste Lebensversicherungsgesellschaft, die Equitable Life Assurance, gegründet, die ihre Versicherungsangebote mit formalen Methoden kalkulierte. Die erste deutsche Lebensversicherungsgesellschaft, die Gothaer Lebensversicherungsbank, wurde 1825 gegründet. Prinzipielle Funktionsweise einer Lebensversicherung Durch den Abschluss eines Versicherungsvertrages (Versicherungspolice) zwischen einem Versicherungsnehmer (VN) einerseits und einem Versicherer andererseits, in unserem Fall dem Lebensversicherungsunternehmen (VU), lässt sich der VN gegen Bezahlung eines festgelegten Entgeltes (der Versicherungsprämie oder dem Versicherungsbeitrag) vom VU eine festgelegte finanzielle Leistung für sich oder für einen Dritten versprechen, für den Fall, dass während des Zeitraumes der Gültigkeit des Vertrages ein bestimmtes Versicherungsrisiko eintritt (Eintritt des Versicherungsfalls). Unter dem Begriff Versicherungsrisiko wird hierbei ein fest definiertes, eine lebende Person betreffendes, zukünftiges Ereignis verstanden, dessen Eintrittszeitpunkt ungewiss = zufällig ist, aber dessen Eintritt der VN befürchtet und deshalb die wirtschaftlichen Konsequenzen aus dessen Eintritt einzugrenzen wünscht (Versicherungsschutz). Durch den Abschluss eines (Lebens-) Versicherungsvertrages transferiert der VN dieses Risiko, genauer: den Umgang mit diesem Risiko auf das VU. Dieser Transfer erfolgt dabei allerdings nicht auf die Weise, dass das VU dieses Risiko (komplett) übernimmt. Seine Funktion besteht im Wesentlichen darin, eine Koordination vorzunehmen, von wem und in welcher Höhe dieses Risiko übernommen wird. In dieser Koordinationsfunktion hat das VU eine Vielzahl(!) gesetzliche Regelungen zu beachten. Unter einer Lebensversicherung wird nun eine besondere Art von Versicherungsverträgen verstanden. Diese Besonderheiten beziehen sich auf die Arten der Versicherungsrisiken, die Arten der Leistungen durch das VU im Falle des Risikoeintritts, die Art des Zusammenhangs zwischen Prämienzahlungen des VN und Leistungen durch das VU, und die Arten eventueller Kapitalbildung. Bevor wir uns detaillierter damit beschäftigen, wollen wir exemplarisch auflisten, welche Risikoarten typischerweise als Lebensversicherung vorkommen. 2

6 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung Typische Lebensversicherungen Typische Lebensversicherungen sind etwa: Todesfallversicherung (oder auch Risiko-Lebensversicherung): Mit einem solchen Vertrag wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person innerhalb eines bestimmten Zeitraumes stirbt (Todesfall-Risiko). Erlebensfallversicherung (private Rentenversicherung): Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person einen bestimmten Zeitpunkt überlebt (Erlebensfall-Risiko). Gemischte Versicherung (Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall): Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches entweder dadurch entsteht, dass eine versicherte Person innerhalb eines bestimmten Zeitraumes stirbt oder aber die Person das Ende des Zeitraumes erlebt (Todes- und Erlebensfallrisiko). Restschuldversicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass ein Schuldner (eines Kredites) während des Rückzahlungszeitraumes dieses Kredites stirbt (bzw. arbeitsunfähig wird) und daher die zu diesem Zeitpunkt bestehende Restschuld (des Kredites) nicht mehr tilgen kann. (Restschuldrisiko). Verbundene Todesfallversicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass mindestens einer (von zwei oder mehreren Personen) innerhalb eines bestimmten Zeitraumes stirbt. Berufsunfähigkeitsversicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person während eines bestimmten Zeitraumes ihren Beruf aufgrund körperlicher Versehrtheit nicht mehr ausüben kann (Berufsunfähigkeitsrisiko). (private) Pflegerenten-Versicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person für einen bestimmten Zeitraum zum Pflegefall wird. Aussteuer-Versicherung / Ausbildungsversicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko der Eltern versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person (Kind) vor oder zu einem festgelegten Zeitpunkt, z. B. dem 25. Lebensjahr, heiratet bzw. eine Ausbildung beginnt, unabhängig davon, ob die Eltern zu diesem Zeitpunkt noch leben oder nicht. Dread-Disease-Versicherung: Hiermit wird ein wirtschaftliches Risiko versichert, welches dadurch entsteht, dass eine versicherte Person eine schwere Erkrankung erleidet (z. B. Herzinfarkt, Schlaganfall, Krebs, Multiple Sklerose). 3

7 Zum Wesen einer Lebens -Versicherung In Deutschland hatte den größten jährlichen Anteil an Neuabschlüssen bis zu Beginn der Jahrtausendwende der Typ der gemischten Vesicherungen. Dies änderte sich aufgrund einer Modfifikation der steuerlicher Rahmenbedingungen für diesen Versicherungstyp, vor allem aber auch wegen der zunehmenden Unsicherheit bei der Finanzierung der gesetzlichen Rentenversicherung und der Höhe der gesetzlichen Renten. Dies hatte zur Folge dass bis etwa zum Jahr 2010, ist derzeit die private Risikovorsorge mit Policen des Typs Private Rentenversicherung (private Altersvorsorge), der Typ von Lebensversicherung mit dem größten Neugeschäft war. Durch das momentan sehr geringe Kapitalzinsniveau leidet allerdings auch dieser Typ von Lebensversicherung derzeit an Attraktivität, so dass einige Versicherungsunternehmen überlegen, das Neugeschäft mit derartigen Versicherungen sogar ganz einzustellen. 4

8 1 Kalkulationsprinzip und Kalkulationsgrundlagen Bei Abschluss eines Versicherungsvertrages zwischen einem VU und einem VN werden sowohl die Höhe der Leistung, die das VU im Versicherungsfall zu erbringen hat, als auch die vom VN dafür zu erbringenden finanziellen Gegenleistungen (Versicherungsbeiträge oder Versicherungsprämien) vertraglich fixiert. Die Vertragsbestandteile werden in einer sog. Versicherungspolice bzw. einem Versicherungsschein festgehalten. Versicherungsunternehmen (VU) Versicherungsnehmer (VN) Versicherungsvertrag zwischen VU und VN dokumentiert u. a. Beginn/Ende der Übernahme des Versicherungsschutzes (Laufzeit) versichertes Risiko versicherte Person(en) (Alter bei Beginn, Geschlecht) Versicherungsnehmer bezugsberechtigte Person Versicherungsleistung: finanzielle Leistungen bei Eintritt des Versicherungsfalls (Höhe, Zahlungsmodalitäten) Prämien/Beiträge: finanzielle Leistungen des VN (Höhe der Prämien, Zahlungsmodalitäten) sonstige Tarif -Merkmale juristische Bedingungen. Abbildung 1.1: Vertragspartner und Vertragsgegenstand 5

9 Dabei haben wesentliche Begrifflichkeiten die folgende Bedeutung: versicherte Person(en): Person (oder Personen), auf die sich das versicherte Risiko beziehen soll, versichertes Risiko: inhaltliche Beschreibung der Lebenssituation, die finanziell abgesichert werden soll, also des Versicherungsrisikos. Beim Eintreten dieser Lebenssituation führt dies zur Auszahlung der finanziellen Leistung durch das Versicherungsunternehmen), Versicherungsnehmer: Vertragspartner des Versicherungsunternehmens (VU), hat vertragsgestaltende Rechte und vertragliche Verpflichtungen (Beitragszahlungen, Informationspflichten), bezugsberechtigte oder begünstigte Person(en): Inhaber des Rechtes auf Erhalt der Versicherungsleistung. Wesentlich dabei ist (und dies ist ein essentielles Unterscheidungsmerkmal zwischen Lebensversicherungen und so genannten privaten Sach-, Haftpflicht-, Feuer-, aber auch Krankenversicherungen), dass das VU (prinzipiell) keine Möglichkeit besitzt, einen einmal rechtsgültig abgeschlossenen Vertrag einseitig zu ändern. Dem VN werden allerdings unter bestimmten Bedingungen solche Rechte eingeräumt (z. B. vorzeitiges Beenden eines Vertrages, Weiterführen eines Vertrages ohne die Beiträge weiter zuzahlen, d. h. Beitragsfreistellung). 1.1 Das Kalkulationsprinzip Da Lebensversicherungsverträge im Allgemeinen eine langjährige Laufzeit besitzen, d. h. die Dauer des vereinbarten Versicherungsschutzes oft mehr als 25 bis 30 Jahre beträgt, Rentenversicherungen meist sogar 60 bis 70 Jahre Vertragslaufzeit haben, andererseits bei Vertragsabschluss für die gesamte Laufzeit des Vertrages die vereinbarten Versicherungsleistungen und die Beitragsleistungen (des VN) verbindlich festgelegt werden, muss gewährleistet sein, dass zu den entsprechenden Fälligkeitszeitpunkten sämtliche vereinbarten Versicherungsleistungen auch erbracht werden können. Dies bezeichnet man als Verpflichtung zur dauernden Erfüllbarkeit der Verträge. In welchem Zusammenhang die Versicherungsleistungen an die Bezugsberechtigten einerseits und die Prämien der VN andererseits, stehen, wird durch ein allgemeines Prinzip bestimmt, welches den Zusammenhang zwischen den Prämien und zugehörigen Versicherungsleistungen festlegt. Für die Lebensversicherungen heißt es in 11 des Versicherungsaufsichtsgesetzes (VAG): (1) Die Prämien in der Lebensversicherung müssen unter Zugrundelegung angemessener versicherungsmathematischer Annahmen kalkuliert werden und so hoch sein, dass das VU allen seinen Verpflichtungen nachkommen, insbesondere für die Erfüllung der einzelnen Verträge ausreichende Deckungsrückstellungen bilden kann.(kapitaldeckungsprinzip) dauernde Erfüllbarkeit 6

10 Hierbei kann der Finanzlage des VU Rechnung getragen werden, ohne dass planmäßig und auf Dauer Mittel eingesetzt werden dürfen, die nicht aus Prämienzahlungen stammen. (2) Bei gleichen Voraussetzungen dürfen Prämien und Leistungen nur nach gleichen Grundsätzen bemessen werden. (Gleichbehandlungsprinzip) Kurz gesagt, bedeutet dies: Sämtliche vereinbarten Versicherungsleistungen für die Bezugsberechtigten kommen aus den Prämien der Versicherungsnehmer. Dies bedeutet aber auch etwa, dass bei einer Todesfallversicherung der Bezugsberechtigte die gesamte Leistung erhält, auch wenn der VN nur einen einzigen Betrag gezahlt hat. Woher kommt dieses Geld? Die Vorschrift des 11 VAG besagt, dass eine solche Leistung prinzipiell aus den Prämien der VN finanziert werden muss. Gegebenenfalls werden also auch die übrigen VN zur Finanzierung eines Versicherungsfalls herangezogen werden. Neben den Prämienleistungen aller VN kann das Versichertenkollektiv für die Erfüllung der Versicherungsleistungen explizit aber auch über Erträge verfügen, die sich aus der Anlage von Rückstellungen der (noch nicht) an die bezugsberechtigten Personen gezahlten Leistungen ergeben. Es entsteht damit ein Ausgleich zwischen den Beiträgen, die für die versicherten Risiken entrichtet werden müssen einerseits und den Leistungen an den Bezugsberechtigten andererseits. Dieser Risiko-Ausgleich erfolgt also über die übrigen VN einer gleichartigen Versicherung und über die Zeit (Bildung von finanziellen Reserven ). Die versicherten Personen, die eine gleichartige Versicherung abgeschlossen haben (also etwa Todesfall, Berufsunfähigkeit,...) und bei denen aufgrund des Gleichbehandlungsprinzips Prämien und Leistungen nach den selben Grundsätzen erfolgten, beschreiben ein sog. Versichertenkollektiv (oder manchmal nur Kollektiv). Damit ein solcher Risiko-Ausgleich im Versichertenkollektiv aber überhaupt funktionieren kann, muss das VU dafür Sorge tragen, dass ein solches Kollektiv in angemessener Größe aufgebaut, erhalten bzw. vergrößert wird. Es muss dazu also stets passende, neue Versicherungsnehmer akquirieren, um einen angemessenen Prämienzufluss für das Kollektiv sicherzustellen bzw. zu vergrößern/ und die bestehenden VN pflegen, um die Größe zu erhalten bzw. zu verhindern, dass das Kollektiv kleiner bzw. der Abfluss der Finanzmittel grösser wird. Durch das Akquirieren von neuen VN, d.h. neuen Versicherungsverträgen, und durch die Verwaltung der einzelnen Lebensversicherungsverträge der bisherigen VN entstehen dem VU Kosten, welche mit dem eigentlichen, vertraglich vereinbarten Versicherungsschutz in einer Police direkt nichts zu tun haben. Die Akquisition von neuen und die Pflege der bestehenden VN können aber durchaus als Leistung für das Versichertenkollektiv verstanden werden (indirekte Versicherungsleistungen), da sie essentiell für den zu organisierenden Risikoausgleich sind. Die Kosten dieser indirekten Versicherungsleistungen lässt sich das VU von den VN (also vom Versichertenkollektiv) erstatten. Versichertenkollektiv 7

11 Kosten des VU für die Akquisition neuer VN vertraglich festgelegte Leistung von den VN (Prämien, Beiträge) verzinste Kapitalanlagen der Vorperiode Versicherungsunternehmen (VU) Kollektiv Abrechnungsverband gleichartiger Versicherungen (Abschlusskosten) Kosten des VU für die Verwaltung der Verträge (Verwaltungskosten) vertraglich festgelegte Versicherungsleistungen an die VN Reserven zur Kapitalanlage in der nächsten Periode Abbildung 1.2: Zu- und Abflüsse innerhalb eines Abrechnungsverbandes zu einem bestimmten Zeitpunkt Das in 11 (1) formulierte Kalkulationsprinzip vor Augen, erkennen wir hier bereits: Bei gegebener Höhe der im Versicherungsfall vom VU zu erbringenden Versicherungsleistung hängen die vom VN zu zahlenden Prämien von der Einschätzung über das Eintreten des fest definierten, zukünftigen ungewissen Ereignisses ( Risiko -Einschätzung), Annahmen über die rechnerische Verzinsung des angelegten Kapitals ( Rechnungszins ), Kostenzuschläge : Abschlusskosten (Annahmen, welche Kosten die Akquisition neuer Verträge verursacht), laufende Verwaltungskosten (Annahmen, welche Kosten die Verwaltung bestehender Versicherungsverträge verursacht.). ab. Dies sind die für die Berechnung der Prämien in der Tat notwendigen kalkulatorischen Größen, die sog. Kalkulationsgrundlagen für eine Lebensversicherung: Diese vom VU anzunehmenden Werte, stellen die Größen dar, die zur Ermittlung der vertraglich festzulegenden, vom VN bzw. vom Kollektiv zu erbringenden Beiträge bzw Kostenzuschläge herangezogen werden. Man bezeichnet sie als (für die Prämienkalkulation) relevanten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung dar. Bedingt durch die Tatsache, dass es sich bei Lebensversicherungen i. A. um langlaufende Verträge handelt, wird ein VU mögliche Unsicherheiten in der zeitlichen Entwicklung der Kapitalzinsen, der Risikobeiträge und der Kosten berücksichtigen und die Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung so 8

12 vorsichtig prognostizieren, dass die dauernde Erfüllbarkeit der Verträge sicher erscheint (versicherungsmathematisches Vorsichtsprinzip). Neben den für die Beitragsbestimmung festgelegten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung gibt es solche 2. und 3. Ordnung. In den Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung werden die obigen Größen nicht festgelegt, sondern realistisch prognostiziert. Auf diese Weise ist es möglich, eine Prognose über den möglichen Versicherungsverlauf und damit auch eine Prognose über die zukünftig zu erwartenden Überschüsse abzugeben. Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung dienen also zunächst nicht einer vertragsrelevanten Leistungs- bzw. Beitragsfestlegung, sondern sind Input für ein Planungsinstrumentarium des VU. Die Rechnungsgrundlagen 3. Ordnung geben die tatsächlichen Werte der obigen Größen an. Sie sind sofern überhaupt exakt ermittelbar erst a posteriori bekannt. Sie erlauben eine Nachkalkulation einer Lebensversicherung. versicherungsmathematisches Vorsichtsprinzip 1.2 Das versicherte Risiko als Rechnungsgrundlage 1. Ordnung; Ausscheideordnungen Da der Eintritt des Versicherungsfalles zu einem bestimmten Zeitpunkt m ungewiss ist, ist die Höhe einer zu diesem Zeitpunkt zu erbringenden Versicherungsleistung (bzw. Beitragsleistung) eine stochastische Größe. Dasselbe gilt auch für die Beitragszahlungen, da es etwa sein kann, dass der VN während der Vertragslaufzeit verstirbt, und daher die Beiträge nicht mehr zahlen kann. Um aus der Sicht des VU die zukünftigen zu erwartenden Zahlungsströme in den Abrechnungsverband hinein bzw. aus ihm hinaus angeben zu können, muss daher das Unternehmen verlässliche Daten (etwa in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen) über das zu versichernde Risiko (bspw. zu sterben, einen bestimmten Zeitpunkt zu erleben, berufsunfähig zu werden etc.) zu Grunde legen. Derartige Informationen werden aus sog. Ausscheideordnungen entnommen, welche aufgrund objektiver statistischer Erhebungen zustande kommen und anschließend (durch das VU) eine Bewertung erfahren. Ausscheideordnungen beschreiben den Abbau einer bestimmten Personengesamtheit (also prinzipiell des Versichertenkollektivs) im Zeitverlauf und in Abhängigkeit vom betrachteten Risiko. Man unterscheidet dabei einfache Ausscheideordnungen, bei denen der Austritt aus dem Kollektiv aufgrund eines einzigen Risikos beschrieben wird und zusammengesetzte Ausscheideordnungen, welche mehrere Austrittsursachen berücksichtigen. Wird nur Tod als Austrittsursache betrachtet, so spricht man im Allgemeinen von einer Sterbetafel. Eine Aktivitätsordnung betrachtet hingegen die beiden Austrittsursachen Tod und Invalidität. Sterbewahrscheinlichkeiten (und damit auch die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Zeitraum zu überleben) sind abhängig von Alter, Geschlecht, Generation, Beruf, Lebensumständen etc. Die traditionellen Sterbetafeln betrachten nur zwei dieser Merkmale, nämlich Alter und Geschlecht. Da eine Sterbetafel immer noch die wichtigste Ausscheideordnung darstellt, wollen wir 9

13 deren Konstruktion etwas näher erläutern: Sterbetafeln beschreiben den Abbau einer (festen) Personengesamtheit (Kollektiv) durch Tod im zeitlichen Verlauf. Man nennt ein Kollektiv geschlossen, wenn der Abgang (in Folge eines Todesfalls) nicht ersetzt wird. Man nennt es offen, falls sich die personengesamtheit durch Zu- und Abgänge verändern kann. Die Daten zur Erstellung einer Sterbetafel (bzw. sonstigen Ausscheideordnung) gewinnt man aus der Beobachtung großer Personengesamtheiten. Herkömmlicherweise werden für den Abgang die Merkmale Alter einer Person und Geschlecht einer Person berücksichtigt. In diesem Zusammenhang hat sich eingebürgert mit x das (vollendete) Alter eines Mannes und mit y das Alter einer Frau zu bezeichnen. Die Zahlen x und y werden dabei üblicherweise als ganzzahlig vorausgesetzt. Weiterhin bezeichnet die Zahl l x die Anzahl lebender Männer des Alters x. Analog wird mit der Zahl l y die Anzahl lebender Frauen des Alters y bezeichnet 1. Unterstellt man, dass der Austritt infolge eines Todes nach einer bestimmten Gesetzmässigkeit erfolgt, kann man dieses Gesetz dadurch ausdrücken, dass man die Anzahl l x+1 der nach einem Jahr im Kollektiv noch lebenden Männer des Alters x + 1 angibt. Die Anzahl d x der durch Tod ausgetretenen x-jährigen Männer innerhalb dieses einen Jahres ergibt sich (bei einem geschlossenen Kollektiv) dann als d x = l x l x+1. Das Wesentliche einer Sterbetafel ist nun die Angabe der Zahlenfolge l 0, l 1, l 2,..., l ω 1, l ω. Das Alter ω bezeichnet hier das so genannte kalkulatorische Schlussalter, d. h. das letzte Alter, in dem das Kollektiv überhaupt noch Personen erhalten kann (bzw. soll), also l ω+1 := 0. Ausgehend von einem (üblicherweise mit l 0 = normierten) als geschlossenen angenommenem Kollektiv, einer sog. Kohorte (von Männern), listet eine Sterbetafel dann die folgenden Größen auf: l x d x = l x l x+1 q x = dx l x p x = 1 q x e 0 x = 1 l x 2 l x + l x+1 l x + l x+2 l x lω l x = 1 l x ( 1l 2 x+l x+1 + +l ω ) Anzahl der Überlebenden des vollendeten Alters x, also der lebenden x-jährigen, Anzahl der im Alter von x Jahren Gestorbenen, relative Häufigkeit, als x-jähriger zu sterben (wird als Schätzung für die sog. einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-jährigen interpretiert); dx l x heißt rohe Sterbewahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit, als x-jähriger das Alter x + 1 zu erreichen (einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x-jährigen), erwartete Anzahl von Jahren, welche ein x-jähriger noch zu leben hat (fernere Lebenserwartung eines x- jährigen). 1 Wir werden im Weiteren nur Männer betrachten. Alle Überlegungen gelten natürlich, mutatis mutandis, auch für Frauen. 10

14 Die mittlere Lebenserwartung entspricht dabei der ferneren Lebenserwartung eines Null- Jährigen. Die wahrscheinliche Lebensdauer entspricht dem Median der Lebensdauerverteilung, also dem Alter, in dem 50% der Kohorte gestorben sind. Als normale Lebensdauer wird der Modalwert, d. h. das Alter, in dem die meisten der Kohorte sterben, bezeichnet. Die Größen l x,d x und e 0 x heißen biometrische Funktionen. Beispiel 1.1: Ein Auszug aus der ADST 1986/88 für die Bundesrepublik Deutschland (Männer). Vollendetes Alter Überlebende im Alter x Gestorbene im Alter x bis unter x+1 Sterbewahrscheinlichkeit Fernere Lebenserwartung x l x d x q x e 0 x , , , , , , ,00 0,50 Außer den in der Sterbetafel angegebenen Größen sind die folgenden abgeleiteten Größen noch von Bedeutung: tp x = l x+t l x Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger nach t Jahren noch lebt (t-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit); offenbar ist 1 p x = p x, t q x = d x+t l x tq x = lx l x+t l x = 1 t p x Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger innerhalb der nächsten t Jahre stirbt (t-jährige Sterbewahrscheinlichkeit), = l x+t l x dx+t l x+t = t p x q x+t Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger im Alter von x + t stirbt (um t Jahre aufgeschobene Sterbewahrscheinlichkeit). Periodensterbetafeln beschreiben für ein fixes Kalenderjahr ( Periode ), wie viele Personen innerhalb dieses Kalenderjahres als x-jähriger gestorben sind (d x ), bzw. wie viele dieses Kalenderjahr überlebt haben (l x ). Generationensterbetafeln (oder auch Kohortensterbetafeln) beschreiben für ein fixes geschlossenes Kollektiv von Nulljährigen, d. h. alle in einem bestimmten Jahr Geborenen, wie viele von diesen in dem einzelnen Alter x verstorben sind (d x ), bzw. im Alter von x noch lebhaft sind (l x ). Man berücksichtigt Trends und Selektionseffekte, und natürlich das Vorsichtsprinzip. Mit umfangreichen statistischen Methoden wird aus all diesen Daten dann die eigentliche Sterbetafel konstruiert. Die zu Grunde liegenden statistischen Methoden hier darzustellen, würde allerdings den Rahmen dieser Veranstaltung sprengen. Verwiesen sei etwa auf [19]. Die Wahl der richtigen Sterbetafel (bzw. sonstigen Ausscheideordnung) ist von entscheidender Bedeutung bei der Kalkulation von Versicherungsleistungen/- Beitragsleistungen. Bis 1994 wurden die gängigen Ausscheideordnungen durch das BAV 11

15 (Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen) vorgegeben. Seit diesem Zeitraum sind die VU prinzipiell frei und können Ausscheideordnungen grundsätzlich nach eigenem Ermessen wählen. Damit kann ein Versicherungsunternehmen Spezifika bei den bei ihm versicherten Personen berücksichtigen. Derzeit stellt der DAV (Deutscher Aktuar Verein) Regel-Ausscheideordnungen zur Verfügung. Die neueste bezüglich des Risikos Langlebigkeit wurde dort 2004 erstellt (DAV 2004R), die aktuelle Sterbetafel bezüglich des Risikos Sterblichkeit ist die Sterbetafel DAV 2008T. Die oben dargestellte Systematik für die Sterbetafel gilt ganz entsprechend auch für die Konstruktion anderer Ausscheideordnungen, z.b. Invaliditätstafeln oder Pflegefalltafeln. Wenn wir also in Zukunft die Nomenklatur q x,d x,l x,e 0 x verwenden, so beziehen wir uns damit zwar auf eine Sterbetafel, die Nomenklatur gilt aber mutatis mutandis- in analoger Weise für andere Ausscheideordnungen und dies sowohl für Männer als auch für Frauen. Wichtig: Per Gesetzesverordnung darf seit Ende 2012 innerhalb der Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung (!) nicht mehr nach dem Geschlecht differenziert werden, obwohl in der Lebensversicherung risikogerechte Beiträge kalkuliert werden sollen. Dies ist eine Konsequenz aus der EU-Gleichstellungsrichtlinie aus dem Jahr 2004 (RL 2004/113 EG). Diese erhält in Art. 5 Abs. 1 folgenden Grundsatz: Die Mitgliedstaaten tragen dafür Sorge, dass spätestens bei den nach dem 21. Dezember 2007 neu abgeschlossenen Verträgen die Berücksichtigung des Faktors Geschlecht bei der Berechnung von Prämien und Leistungen im Bereich des Versicherungswesens und verwandter Finanzdienstleistungen nicht zu unterschiedlichen Prämien und Leistungen führt. Gegen diese Richtlinie haben vor allem deutsche Versicherer geklagt, sind mit der Klage aber Anfang 2011 vor dem EuGH unterlegen. Um zu verhindern, dass nun alle nach dem geschlossenen Verträge unwirksam sind, gewährte der EuGH eine Übergangszeit bis zum Ab diesem Zeitpunkt müssen die Prämien sämtlicher neu abgeschlossener Versicherungen nach geschlechtsunabhängigen Ausscheideordnungen kalkuliert werden ( Unisex-Tarife ). Diese Unisex-Kalkulation betrifft allerdings nicht bereits bestehende Verträge und auch die Berechnung der Reserven kann (sollte!) zukünftig weiterhin mit geschlechtsdifferenzierenden Ausscheideordnungen erfolgen. 1.3 Eine garantierte Zinsentwicklung als Rechnungsgrundlage 1. Ordnung Die vom VU einzuschätzende Verzinsung der Reserven stellt eine weitere wesentliche Grundlage bei der Kalkulation von Versicherungs- und Prämienleistungen dar. Wegen der vertraglichen Fixierung von Versicherungs- bzw. Prämienleistung(en) zu Beginn eines Versicherungsvertrages hat das VU hierzu entsprechend langfristige (!) Zinsan- 2 Dies war übrigens der Tag, an dem der alte Maya-Kalender den Weltuntergang prophezeite. 12

16 nahmen zu treffen. Mit der Festlegung dieser Zinsannahmen bindet sich das VU bereits zu Beginn des Vertrages für jedes Jahr der gesamten Laufzeit. Es handelt sich damit also um ein langfristiges, vertraglich bindendes Verzinsungsverprechen gegenüber dem Kollektiv (und damit gegenüber dem einzelnen VN), der sogenannten garantierten Verzinsung. Diese langfristige Zinsgarantie die ein wesentliches Merkmal der (deutschen) Lebensversicherung ist, wird technisch durch eine Festlegung kalkulatorischer Zinssätze I := (i 1, i 2,..., i n ) getroffen. Die Größe i t beschreibt dabei den Zinssatz, den das VU dem Kollektiv gegenüber für die Anlage der Kapitalreserven des Abrechnungsverbandes für das t-te Jahr der Versicherung garantiert. Bei der Wahl der i t ist das VU in einem gewissen Maße frei. Wegen der Verpflichtung zur dauerhaften Erfüllbarkeit der Verträge gehen die VU allerdings sehr vorsichtig bei der Fixierung derartiger Zinssätze vor. Das VU trägt durch dieses Garantie-Versprechen ja das Risiko, ggf. diese Rendite zukünftig (in jedem Jahr der Laufzeit des Vertrages) auch tatsächlich zu erzielen, um so die (nach VAG 11) erforderlichen Kapitalreserven (Deckungsrückstellungen) auch bilden zu können. Für eine kalkulatorische Verzinsung der Kapitalreserven (Deckungsrückstellungen) hat der Gesetzgeber aus diesem Grunde Höchstwerte angegeben. Dieser sogenannte Höchstrechnungszins i ist in der Vergangenheit immer wieder den Entwicklungen am Kapitalmarkt angepasst worden. Eine Faustregel orientiert diesen Höchstwert in etwa an 60% des Zinssatzes für längerfristig laufende Staatsanleihen (d.h. an Wertpapiere mit dem formal geringsten Ausfallrisiko). Die Höchstrechnungszinssätze für eine kalkulatorische Verzinsung der Dechungsrückstellungen bei Lebensversicherungsprodukten betrugen/betragen: 1903 bis 1922 i = 3, 5% 1923 bis 1941 i = 4, 0% regulierter, festgelegter Rechnungszins 1942 bis 1986 i = 3, 0% (staatlicherseits festgelegt) 1987 bis 06/1994 i = 3, 5% 07/1994 bis 06/2000 i = 4, 0% 07/2000 bis 2003 i = 3, 25% 2004 bis 2006 i = 2, 75% deregulierter staatlich festgelegter Höchst bis 2011 i = 2, 25% Rechnungszins für Deckungsrückstellungen 2012 bis 2014 i = 1, 75% 2015 bis i = 1, 25% Bis 1994 wurde der anzuwendende Rechnungszins vom damaligen Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BAV) jetzt BAFin (Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht) den Versicherern vorgeschrieben. Ab 1994 gibt es einen vom Finanzministerium vorgeschriebenen Höchstrechnungszins 13

17 Die Versicherer drücken ihre Einschätzung über die zukünftige Verzinsung der Reserven eines Abrechnungsverbandes in einem derzeit noch einheitlichen (= zeitlich konstanten) kalkulatorischen jährlichen Rechnungszins i aus, d.h. I = (i, i, i,..., i). Er beschreibt also für die Zukunft die Höhe einer angenommenen einheitlichen jährlichen Verzinsung der Kapitalreserven im entsprechenden Abrechnungsverband. Marktüblich ist es auch, den gesetzlich festgelegte Höchstrechnungszins (für die Verzinsung der Rückstellungen) bei der Beitrag-/Leistungs Kalkulation zu verwenden. Motiviert ist dies dadurch, dass sich diese Rückstellungen letztlich aus den Beiträgen der VN ergeben, und dieser Zinssatz so auch eine angenommene jährliche Verzinsung der vom VN eingenommenen Versicherungsprämien widerspiegeln kann. Zu bemerken ist allerdings, dass grundsätzlich die Verwendung von verschiedenen Rechnungszinssätzen für die Verzinsung eingezahlter Prämien einerseits, bzw. Verzinsung der Deckungsrückstellungen (Kapitalreserven) andererseits, erlaubt wäre ( gespaltener Rechnungszins ). Als Alternative zur Konstanz des kalkulatorischen Garantie-Zinssatzes i während der gesamten Lebensdauer eines Abrechnungsverbandes werden in der deutschen Versicherungswirtschaft derzeit sogenannte temporäre Zinsgarantien oder Abschnitts- Garantien diskutiert. In dieser Konzeption wird die Laufzeit eines Versicherungsvertrages gedanklich in mehrere Phasen unterteilt. Während der einzelnen zeitlichen Abschnitte werden dann jeweils unterschiedliche Zinssätze garantiert. Diese verschiedenen garantierten Zinssätze könnten dann wiederum entweder zu Beginn eines Vertrages für sämtliche Phasen oder aber jeweils zu Beginn der einzelnen Phasen neu festgelegt werden. Es gibt heute auch bereits Lebensversicherungen, bei denen gänzlich auf eine garantierte Verzinsung verzichtet wird. Bei derartigen Versicherungen (so genannten Fonds- Versicherungen ) werden die anzulegenden Reserven einem Anlage-Fonds zugeführt, der für eine entsprechende Verzinsung zu sorgen hat. Das VU gibt über die Höhe der Rendite allerdings a priori keinerlei Versprechen ab. Somit liegt in diesem Fall das Rendite- Risiko vollständig bei den VN. 1.4 Kommutationswerte Neben den eben vorgestellten Größen in der Sterbetafel lassen sich aus ihr auch noch andere Größen ableiten. Diese so genannten Kommutationswerte spielten früher (und in vielen Bereichen auch heute noch) eine große Rolle bei der Bestimmung versicherungstechnischer Größen und bei der Kalkulation von Lebensversicherungsprodukten. Kommutationswerte wurden bereits Ende des 18. Jahrhunderts von Tetens (siehe [7]) eingeführt und zum ersten mal verwendet. Früher waren diese Kommutationswerte in einem besonderen Maße notwendig, ja sogar unverzichtbar, da man ohne Zuhilfenahme von Rechnern beispielsweise die Prämien bzw. Leistungen für spezielle Lebensversicherungsprodukte (etwa Leibrenten) ermitteln musste. Für die dazu notwendigen und aus damaliger Sicht auch aufwendigen, da manuell, durchzuführenden Rechenoperationen 14

18 griff man auf einmal berechnete und dann in Tabellenform vorliegende numerische Werte dieser Grundgrößen zurück. Durch einfache Rechenoperationen (meist Additionen und Divisionen) auf derartigen Tafel-Werten ließen sich dann bestimmte versicherungstechnische Grundgrößen eines Lebensversicherungsvertrages relativ einfach bestimmen 3. Weder aus rechentechnischer Sicht, noch aus methodisch-instrumenteller Sicht gibt es stichhaltige Begründungen, auch heute noch derartige Kommutationswerte für die Bestimmung versicherungstechnischer Größen heranzuziehen. Ihre Verwendung schränkt sogar die Kalkulation einer großen Palette potentieller Lebensversicherungsprodukte ein. Da aber auch in der neueren Literatur Kommutationswerte immer noch vielfältig zelebriert werden 4, sei auch hier wenigstens auflistend auf die häufigsten Größen hingewiesen. Unter Benutzung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten einer Sterbetafel und bei Verwendung eines über alle Jahre konstanten Zinssatzes i (und folglich v = 1 ) werden für die einzelnen Alter x typischerweise folgende Kommutationsgrößen 1+i tabelliert. 3 Eine solche Vertafelung der Kommutationswerte lässt sich vielleicht mit den früher in Tabellenform vorliegenden Logarithmentafeln, oder Tafeln trigonometrischer Formeln vergleichen, welche heute praktisch ebenfalls bedeutungslos geworden sind. 4 Tatsächlich liegen diese Größen auch heute noch (in oft sehr umfangreichen Tabellen) vertafelt vor. So etwa in unregelmäßig erscheinenden Materialen des Statistischen Bundesamtes (siehe beispielsweise [17].) 15

19 16

20 1.5 Die Kostenzuschläge als Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung Das Organisieren des Gewährens von Versicherungsschutz verursacht beim VU Kosten. Gedanklich sind diese der Preis für alle im Zusammenhang mit einem Versicherungsvertrag anfallenden indirekten Versicherungsleistungen. Diese Kosten stellt das VU den VN des Kollektivs in Rechnung, indem es auf der einzelvertraglichen Ebene eine entsprechende Kostenzuordnung vornimmt und dem einzelnen VN seine entsprechenden Kosten im Rahmen seiner Beitragzahlungen zuschlägt. Gemäss 11 VAG müssen nämlich auch diese Kosten aus den Prämien der VN bestritten werden. Entsprechend müssen bei einer Beitragskalkulation diese Kostenzuschläge Berücksichtigung finden. Eine solche Kalkulation nennt man Brutto-Beitragskalkulation im Gegensatz zur Netto- Beitragskalkulation, welche die Kostenzuschlägen für die indirekten Versicherungsleistungen nicht berücksichtigt. Abhängig vom Zeitpunkt, in welchem die indirekten Versicherungsleistungen durch das VU erbracht werden, unterscheidet man zunächst grob zwischen Abschluss- und Verwaltungskosten Abschlusskostenzuschlag (α-kosten) Hinter dem Begriff Abschlusskostenzuschlag verbirgt sich der Kostenblock für sämtliche Aufwendungen des VU, die vor und mit dem Abschluss eines Versicherungsvertrags verbunden sind. Im Allgemeinen wird hier differenziert: (i) äußere Abschlusskosten: Vermittlungsprovisionen (an den Aussendienst) für die Akquisition eines neuen Vertrages, 17

21 Lohnanteile für den angestellten Außendienst, die dem Abschluss eine Vertrages zugeordnet werden können, anteilige Kosten für Geschäftsstellen, etc., (ii) innere Abschlusskosten: Kosten für die Auftragsbearbeitung (Gesundheitsprüfung, Anfertigung der Police, EDV-Erfassung,... ), anteilige Kosten für Mitarbeiterschulung, Kosten für Marketing, anteilige Entwicklungskosten für neue Vesicherungsprodukte. Das VU muss also bei der Prämienkalkulation a priori eine Vorstellung darüber haben, in welcher Gesamthöhe derartige Abschlusskosten anfallen, bzw. wie, wann und in welcher Höhe diese entstandenen Abschlusskosten dem VN über seine Prämien belastet werden. Als Bezugsgröße für die Ermittlung der Höhe dieser kalkulatorischen Abschlusskostenzuschläge wird derzeit i. Allg. die Summe aller vom VN zu zahlenden Versicherungsbeiträge herangezogen. Um daraus die Höhe der Abschlusskosten zu ermitteln legt das VU einen Wert α fest (daher der Name α-kosten), der den sog. kalkulatorischen Abschlusskostensatz beschreibt. Beispielsweise liegt für gemischte Versicherungen bei VU mit selbständigem Außendienst derzeit dieser kalkulatorische Abschlusskostensatz bei etwa 4%, d. h. 4% aller gezahlten Beiträge einer solchen Versicherung werden dem Kollektiv ( und somit dem einzelnen VN) kalkulatorisch als Abschlusskosten in Rechnung gestellt. Die deutschen VU weisen zu einem sehr großen Teil einen negativen Saldo zwischen tatsächlichen Abschlusskosten und kalkulatorischen Abschlusskostenzuschlägen auf. Dieser Abschlusskostenverlust wird auch als überrechnungsmäßige Abschlusskosten bezeichnet und wird in der GuV gesondert ausgewiesen Verwaltungskostenzuschlag (β- und γ- Kosten) Hinter dem Begriff Verwaltungskostenzuschlag verbergen sich die Kostenzuschläge für sämtliche Aufwendungen des VU, die mit der Verwaltung eines Versicherungsvertrags verbunden sind. Im Allgemeinen wird hier differenziert: (i) Inkassokosten (eher historisch) (β-kosten), (ii) laufende Verwaltungskosten (γ-kosten): Kosten für die Bestandsführung, Löhne und Gehälter der Mitarbeiter, Miete, Steuern, Kundenkorrespondenz, Aufwendungen für Vertragsbeendigung, Kosten, die durch die Stornierung von Verträgen entstehen, 18

22 Kosten, die bei Ablauf oder Eintritt des Versicherungsfalls entstehen. Ähnlich wie schon bei den Abschlusskosten muss das VU für die Prämienkalkulation a priori festlegen, wann und in welcher Gesamthöhe diese Verwaltungskosten anfallen, bzw. wie, wann und in welcher Höhe diese Kostenart dem VN über seine Prämien belastet werden. Als Bezugsgrößen für die Festlegung der Höhe der kalkulatorischen Verwaltungskostenzuschläge werden i. Allg. die Prämien des VN, Versicherungsleistungen des VU (z.b. Rentenhöhe, Versicherungssumme), oder eine Kombination aus derartigen Größen herangezogen. Diese Bezugsgrößen werden dann ähnlich wie bei den Abschlusskostenzuschlägen mit kalkulatorischen Verwaltungskostensätzen β bzw. γ (daher der Name β-kosten, bzw. γ-kosten) multipliziert und so die kalkulatorische Höhe dieser Kostenart ermittelt, die dem VN in Rechnung gestellt wird. Wir werden im Zusammenhang mit der Bruttokalkulation noch auf diese Kosten zurückkommen und sie für die Kalkulation systematisieren. 1.6 Die beiden versicherungstechnischen Äquivalenzprinzipien In diesem Abschnitt stellen wir den Kalkulationsgrundsatz vor, der innerhalb der Lebensversicherung eine fundamentale Bedeutung für die Beitragsbestimmung hat. Mit dem Versicherungsvertrag garantiert das VU dem VN eine a priori festgelegte Versicherungsleistung, falls der Versicherungsfall eintritt. Im Gegenzug verpflichtet sich der VN, dafür zu bestimmten Zeitpunkten während der Laufzeit des Vertrags a priori festgelegte Beiträge (Prämien) zu leisten. Die technische Bestimmung von Beitragsleistungen des VN (bzw. der Versicherungsleistungen des Kollektivs) gestaltet sich nun derart, dass den Beitragsleistungen des VN die entsprechenden Versicherungsleistungen des Kollektivs gegenübergestellt werden. Beitragsleistungen des VN Versicherungsleistungen des Kollektivs, indirekte Leistungen des VU Abbildung 1.3: Gegenüberstellung von Beiträgen und Leistungen Ein im Sinne des Kollektivs erstes, angemessenes Kalkulationsprinzip, welches den Anforderungen des 11 VAG gerecht wird, könnte darin bestehen zu fordern, die Prämien so zu kalkulieren, dass zu jedem Zeitpunkt t der Vertragslaufzeit die in t vom VN erwartungsgemäss zu zahlende Prämie und die in t zu erwartenden Leistungen (des Kollektivs) an ihn wertmäßig identisch sind: 19

23 Wert zum Zeitpunkt t der in t erwartungsgemäss von den VN zu zahlenden Beitragsleistungen! = Wert zum Zeitpunkt t der in t zu erwartenden, vertraglich festgelegten Versicherungsleistungen an die VN. Wird eine Leistungs-Prämienkalkulation nach diesem Kalkulationsprinzip vorgenommen, so nennen wir dies starkes versicherungstechnisches Äquivalenzprinzip. In jedem Zeitpunkt t der Versicherungslaufzeit finanziert also die zu erwartende Prämie die für diesen Zeitpunkt zu erwartende Versicherungsleistung. Da aber die Prämien einerseits und die zu erwartenden Versicherungsleistungen (des Kollektivs) bzw. die sonstigen Leistungen (des VU) andererseits im Allgemeinen zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, könnte man auch ein alternatives Kalkulationsprinzip ins Auge fassen, welches den gesamten Wert der einzelnen Verträge (über die Laufzeit hinweg) berücksichtigt. Dies führt zu einem, im Sinne des Kollektivs ebenfalls angemessenen Kalkulationsprinzip, welches auch den Anforderungen des 11 VAG gerecht wird. Dieses fordert, die Prämien so zu kalkulieren, dass für jeden Zeitpunkt t gilt, dass die aus den einzelnen Verträgen gesamthaft zu erwartenden Prämienleistungen und die aus den Verträgen gesamthaft zu erwartenden Versicherungsleistungen bezogen auf den Zeitpunkt t wertmäßig identisch sind: Wert zum Zeitpunkt t aller zu erwartenden, vertraglich festgelegten Beitragsleistungen eines jeden VN! = Wert zum Zeitpunkt t aller zu erwartenden, vertraglich festgelegten Versicherungsleistungen (des Kollektivs) an die VN. Eine Leistungs-Prämienkalkulation, die nach diesem Kalkulationsprinzip vorgenommen wird, nennen wir das schwache versicherungstechnische Äquivalenzprinzip. Wir werden später sehen, dass beide Äquivalenzprinzipien in einem sehr engen, aber zentralen Zusammenhang stehen. Nachdem durch die beiden versicherungstechnischen Äquivalenzprinzipien zwei Kalkulationsgrundsätze festgelegt sind, mit welchen wir bestimmen könnten, wie die Leistungen des Kollektivs und die dafür zu erbringenden Prämienleistungen des VN zusammenhängen, müssen wir uns nun Gedanken darüber machen, wie die einzelnen Komponenten der Rechnungsgrundlagen konkret in den Kalkulationsprozess einbezogen werden. 20

24 Literaturverzeichnis [1] Braun, B. Zur Behandlung allgemeiner Lebensversicherungen durch lineare Gleichungssysteme, Blätter der DGVFM, vol 17, Nr. 3, , 1986 [2] Cantelli, F. P.; Genesi e construzione delle tavole di mutualità, Bolletino di notizie sul credito e sulla previdenza Nr. 3/4 (1914). [3] Dickson, D.C.M.; Hardy, M.R.; Waters, H.R.: Actuarial Mathematics for life cintingent risks Cambridge University Press, 2009 [4] Disch, B.. Die Berechnung von versicherungstechnischen Werten mit linearen Gleichungssystemen, Blätter der DGVFM, vol 25, Nr. 1, 29-48, 2001 [5] Isenbart, F. / Münzer, H.: Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium, Gabler-Verlag, Wiesbaden,, 1994 [6] Gerber, H.: Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1984 [7] Koch, P.: Geschichte der Versicherungswissenschaft in Deutschland, Hrsg. vom Deutschen Verein für Versicherungswissenschaften, Karlsruhe, 1998 [8] Leepin, P.. Über den Einfluß von Änderungen der Rechnungsgrundlagen auf Prämien und Prämienreserven, Blätter der DGVFM, vol 3, 3-22, 1956 [9] Mauermann, W. Hinreichende Bedingungen für nichtnegative Lösungen eines linearen Gleicungssystems in der Lebensversicherungsmathematik, Blätter der DGVFM, vol 20, nr. 4, , 1992 [10] Milbrodt, H. Aktuarielle Methoden in der deutschen Privaten Krankenversicherung, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, 2005 [11] Neuburger, E.. Notitz über einen rechnerangepaßten Algorithmus zur Berechnung von Prämein und Reserven, Blätter der DGVFM, vol 11, Nr. 4, , 1974 [12] Ortmann, K.M.: Praktische Lebensversicherungsmathematik Vieweg-Teubner Verlag, 2009 [13] Promislov, S.D.: Fundamentals of Actuarial Mathematics, 2nd ed., Wiley, 2011 [14] Reichel, G. Grundlagen der Lebensversicherungstechnik, Gabler-Verlag, Wiesbaden,

25 Literaturverzeichnis [15] Reichel, G. Notwendige und hinreichende Bedinungen für das Theorem von Cantelli, Blätter der DGVFM, vol 19, nr. 4, , 1990 [16] Schmidt, K.D.: Versicherungsmathematik, 2. Aufl., Springer Verlag, 2005 [17] Statistisches Bundesamt: Versicherungsbarwerte für Leibrenten, Wiesbaden, 2010 [18] Stork, H. Der Charakter einer Lebensversicherung als Hilfsmittel zur Ermittlung risikotechnisch ausreichender Prämien und Reserven, Blätter der DGVFM, vol 3, Nr. 4, , 1958 [19] Wolff, K. H.: Versicherungsmathematik, Springer-Verlag [20] Wolfsdorf: Versicherungsmathematik, Teil 1:Personenversicherungen, 2. Aufl., Teubner-Verlag, 1997 [21] Milbrodt, H. / Helbig, M.: Mathematische Methoden der Personenversicherung, de Gruyter-Verlag, 1999 [22] Zweifel, P. / Eisen, R.: Versicherungsökonomie, Springer-Verlag, 2000 [23] (Stand: Jan 2012) 117

26 Indexverzeichnis α γ -Kosten, 61 β-kosten, 62 γ-kosten, 63 Überschuss, prognostizierter, 74 Thiele sches Gleichungssystem, 42 Ablaufleistung, 29 Amortisationskostensatz, 61 Amortisationsprofil, 61 Aschlusskostenzuschläge, 59 Aufschubzeit, 37 aureichender Leistungsvektor, 58 ausreichende Deckungsrückstellung, 66 ausreichende Prämien, 58 ausreichender Beitragsvektor, 58 Ausscheideleistung, 29 Beispielrechnung, 84 Beitragsbarwert, 26 Beitragsprofil, 42 Bilanzgleichung, versicherungstechnische, 42 Bruttoleistungsvektor, 65 Deckungskapital,effektives, 85 Deckungskapitel, prospektives, 36 Deckungsrückstellung, 36 effektive Versicherungsleistungen, 84 eingerechnete Abschlusskosten, 59 Ertragswert, 86 Finanzierbarkeitsnachweis, 84 Garantieverzinsung, 13 geleisteter Effektivbeitrag, 76, 85 gezillmerte Nettoprämie, 61 Höchstrechnungszins, 13 Höchstzillmersatz, 61 kalkulatorischer Abschlusskostensatz, 59 kalkulierter Effektivbeitrag, 85 Kontributionsformel, 74 Kostenbeitrag, 68 Kostenzuschlagssystematik, 58 Lebensversicherung mit Ausscheidecharakter, 54 Lebensversicherung mit Erlebensfallcharakter, 54 Leistungsbarwert, 26, 29 Leistungsprofil, 45 Leistungsspektrum, 29 Leistungsvektor, effektiver, 85 Rückgewährquote, 88 Reservevektor, effektiver, 85 Risikobeitrag, 51 riskiertes kapital, 51 Sparbeitrag, 52 Stückkosten, 63 temporäre Zinsagarantie, 14 Verbleibensleistung, 28 Versichertenkollektiv, 7 versicherungsmathematisches Vorsichtsprinzip, 9 Verwaltungskostenzuschlag, 62 Zillmeranteil, 60 Zillmerreserve, 61 Zillmerung von Abschlusskosten,