Modellierung und Simulation

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1 Anmerkungen: Prüfung SS 3 Aufgabenblätter auf Vollständigkeit überprüfen Nur Blätter mit Namen und Matr.Nr. werden korrigiert. Keine rote Farbe verwenden. Zu jeder Lösung Aufgabennummer angeben. Bitte tragen Sie hier eine ganze Zahl zwischen 4und 99 ein z(. B. 4), mit der ihre Note im vorläufigen Aushang mit multipliziert werden soll. Diese einfache Verschlüsselung dient der Geheimhaltung Ihrer Note. Wird kein Wert angegeben wird die Zahl 5 verwendet. Verschlüsselzahl: Bitte haben Sie dafür Verständnis, dass wegen des Datenschutzes keinerlei telefonische Auskünfte gegeben werden! Aufgabe max. Punkte 4 8 c) 4 6 c) c) 4 Summe 9 Prüfer Note Version: :55 Modellierung und Simulation Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf erreichte Punkte Datei: ModSimPruefSS_.doc Anmerkungen SS 3 Klausur ModSim / Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf Aufgabe 4 P Warum ist die Zieldefinition bei der Durchführung von Simulationsprojekten besonders wichtig? 8 P Zeigen Sie anhand eines Beispiels wie die Modellformen gewöhnliche Differentialgleichungen, explizite Differentialgleichungen. Ordnung, Zustandsraumdarstellung und komplexe Übertragungsfunktion zueinander in Beziehung stehen! c) 4 P Welche Vor- und Nachteile bieten Simulationsmodelle bei der Entwicklung neuer Systeme gegenüber realen Prototypen? Aufgabe sin(α ) t [sec] 6 P Zeigen Sie, wie in Matlab die oben dargestellt Graphik erstellt wird? Beschreiben Sie verschiedene Methoden eine Graphik aus Matlab in ein Word-Dokument einzubinden! P Welcher Unterschied besteht in Matlab zwischen einer Skriptdatei (m-file) und einer Funktion? c) 5 P Wie wird in Matlab: Eine Matrix definiert Eine For-Schleife programmiert Ein Kommentar im Quelltext eingegeben Ein Hilfetext für eine Funktion erstellt Ein längerer Ausdruck auf mehrere Zeilen verteilt. SS 3 Klausur ModSim / Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf eins zwei

2 Aufgabe 3 P Ein Beispiel für ein schwingungsfähiges chemisches System ist der Oregonator. Es handelt sich hierbei um eine komplexe Reaktionskinetik mit folgenden Reaktionsgleichungen: BrO + Br HBrO 3 HBrO + Br P BrO + HBrO HBrO + Ce(IV) 3 HBrO P Ce(IV) Br. Die Kinetik wird mit folgenden Differentialgleichungen beschrieben: kcc kcc 3 3 kcc kcc + kc kcc kcc kcc k c kcc kc kcc kc Abbildung : Bewegte Masse auf einer Parabel P Das in Abbildung dargestellte System wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: x + 4a x + 4a x x + mga x Aufgabe 4 Skizzieren Sie für dieses System ein Signalflußmodell in Simulink! 8 P Erklären Sie die prinzipielle Funktionsweise der automatischen Schrittweitensteuerung für die numerische Auswertung gewöhnlicher Differentialgleichungen! 3 P Was ist eine algebraische Schleife in einem Signalflußmodell? Warum sollen diese vermieden werden? Für die Reaktionsgeschwindigkeit gelten folgende Zahlenwerte: k.34,k.6,k 8.,k 4.,k Es sollen alle Zustandsgrößen mit dem Startwert. im Zeitraum von -5 sec simuliert werden. Zeigen Sie, wie dieses System mit Hilfe von Matlab simuliert wird. Geben Sie den Quelltext der entsprechenden m-files an! Priv.-Doz. Dr. M. Arnold (TU München, Zentrum Mathematik) Numerische Mathematik III SS 3 Klausur ModSim 3/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf SS 3 Klausur ModSim 4/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

3 Aufgabe 5 Aufgabe ) 8 P Leiten Sie die Differentialgleichungen für folgendes elektrische System her! Formen Sie die Differentialgleichungen in ein System expliziter Differentialgleichungen. Ordnung um. Ein Modell enthält immer Vereinfachungen. Zielgerichtete Vereinfachungen sind nur möglich wenn die Anwendung definiert ist. Wie in jedem Projekt ist auch in einem Simulationsprojekt eine klare Zieldefinition notwendig. Gewöhnliche Differentialgleichungen (in Abgrenzung zu partiellen DGL) mx+ dx + cx sin(t) Durch Umformung und Substitution gewinnt man explizite Differentialgleichungen. Ordnung Abbildung : Modell eines elektrischen Systems 6 P Stellen Sie die beschreibenden Differentialgleichungen für folgendes mechanische System auf! x f x,t,u ; x kx + u. Diese können in Matlab oder Simulink ausgewertet werden. Durch Linearisierung um einen Arbeitspunkt erhält man lineare Differentialgleichungen mx + dx+ cx sin(t) Die Übertragungsfunktion erhält man durch Laplace-Transformation einer linearen Differentialgleichung und Auflösung nach der Ausgangsgröße. b + bs+ b s G( s) ; a as a s s n n n n + + n + Aufgabe 6 Abbildung 3: Modell eines mechanischen Systems 6 P In welchen Schritten erfolgt die Simulation von FEM-Modellen? 4 P Welche Bedeutung haben Zufallsgeneratoren in ereignisdiskreten Modellen? Die Zustandsraumdarstellung der Form: x Ax+ Bu y Cx+ Du Gewinnt man direkt aus der Übertragungsfunktion oder aus der linearisierten Differentialgleichung. c) 4 P Was zeichnet Virtual Reality Modelle gegenüber 3D CAD Modellen aus? SS 3 Klausur ModSim 5/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf SS 3 Klausur ModSim 6/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

4 a b a x x+ u a n b n [ ] y x; c) c) Matrix: A[,,3;,4,5,6]; For-Scheife : for i:n c(i) i; end Kommentar: % Kommentar bis Zeilenende Hilfetext: Kommentar vor oder unmittelbar nach Funktionskopf Zeilenverlängerung über... drei Punkte + Einfache Änderbarkeit + Alle Größen sind beobachtbar + Kann kopiert werden + Simulationsmodell kann nicht zerstört werden + Ist jederzeit verfügbar + Kann direkt mit numerischen Optimierung gekoppelt werden - Aussagekraft eingeschränkt - Kein Erfahrungsgewinn am Prototyp (z. B. Herstellung) Aufgabe ) tlinspace(,,) subplot(,,) plot(sin(t)) subplot(,,) plot(cos(t)) subplot(,,) plot(t,sin(t),t,cos(t),t,sin(t),'o') legend(['eins' 'zwei']); xlabel('t [sec]'); legend('eins','zwei'); grid gtext('sin(\alph'); Export durch: Druckbefehl: print dgif datei.gif Bildschirmkopie Alt+Druck Export des Bildes über Menü des Plotfensters... Aufgabe 3) Funktion: function [dc]oregon(t,c) dczeros(5,); k.34; k.6e9; k38e3; k44e7; k5; dc()-k*c()*c()-k3*c()*c(3); dc()-k*c()*c()-k*c()*c(3)+k5*c(5); dc(3)k*c()*c()-k*c()*c(3)+k3*c()*c(3)-*k4*c(3)*c(3); dc(4)k*c()*c(3)+k4*c(3)*c(3); dc(5)k3*c()*c(3)-k5*c(5); Aufruf über: [t,c]ode3s(@oregon,[ 5],[.....]); plot(t,c(:,),t,c(:,),t,c(:,3),t,c(:,4),t,c(:,5)); legend('c','c','c3','c4','c5'); grid; Eine Funktion hat Übergabeparameter. Alle Variable sind lokal definiert. SS 3 Klausur ModSim 7/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf SS 3 Klausur ModSim 8/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

5 umzuformen oder es ist die Form g(x) mit dem entsprechenden Modellierungsblock zu verwenden. 4a v x mgax v + + 4a x x v k mg s Integrator a a v Product u s Integrator Math Function x Product u Math Function Product3 4a^x^ Product u()/u() Fcn Aufgabe 5 Die Modellierung kann prinzipiell mit komplexen Widerständen durchgeführt werden, jedoch ist die Umformung der Übertragungsfunktion in eine explizite DGL mühsam. Die Zustandsgrößen sind dann oft keine anschaulichen Werte. Besser ist man verwendet die Ströme durch die Induktivitäten und die Spannung an den Kondensatoren als Zustandsgrößen. Dabei erhält man folgende DGL. ( i i ) U U R i i il L in C L L U + R i i Ri il L L U C C U i R; Out L C L L L L Aufgabe 4 Constant +4a^x^ Es werden zwei Verfahren a und b mit unterschiedlicher Genauigkeit verwendet z. B. RunbeKutta 4/5. Das genauere Verfahren kommt in der Regel mit einer zusätzlichen Auswertung der Modellgleichungen aus. Nach der Berechung wird die Abweichung der beiden Verfahren delta über eine Norm berechnet. Ist delta kleiner als eine Schranke e wird beim nächsten Schritt die Schrittweite erhöht Ist delta größer als e aber kleiner als e wobei e < e gilt, wird die Schrittweite beibehalten. Ist delta größer als e wird die Schrittweite verkleinert und der Berechnungsschritt wird wiederholt. Eine algebraische Schleife stellt eine implizite algebraische Gleichung dar. In algebraischen Schleifen ist die Berechnungsreihenfolge nicht definiert. Die Konvergenz einer algebraischen Schleife ist nicht gesichert. Algebraische Schleifen müssen vermieden werden. Die Gleichungen sind in explizite Gleichungen SS 3 Klausur ModSim 9/ Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf ( ) mx F Dx + C x x + D x x mx F Cx C x x D x x 3 Aufgabe 6 Problemtyp festlegen Geometry beschreiben Randbedingungen festlegen Materialeigenschaften und Kräfte vorgeben Netz generieren(... Preprocessing) Berechnung durchführen Ergebnisse darstellen (Postprocessing) Da ereignisdiskrete Modelle meist stochastische Modelle sind, die mit statistischen Methoden ausgewertet werden, sind die Zufallsverteilungen in den Modellen wichtige Modellkenngrößen. Die Erzeugung der Zufallszahlen mit den entsprechenden SS 3 Klausur ModSim / Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf

6 Zufallsverteilungen erfolgt über einen Zufallsgenerator. Der Zufallsgenerator ist demnach so wichtig wie das Lösungsverfahren bei Differentialgleichungen. c) Im Unterschied zu CAD wird mit VR-Modellen versucht, dem Anwender die virtuelle Welt als möglichst real erscheinen zu lassen. Hierzu enthält das VR-Modell interaktive Elemente, Kraftrückkopplung usw. Der Anwender soll in die virtuelle Welt eintauchen. SS 3 Klausur ModSim / Prof. Dr.-Ing. K. Wöllhaf