Dynamik des starren Körpers

Transkript

1 Dynamik des starren Körpers Die wesentliche Grundlage der Mehrkörperdynamik Zusammenfassung Die Kinematik und Kinetik eines einzelnen starren Körpers bilden die Grundlage der Mehrkörperdynamik. Ortsvektoren und Drehmatrizen beschreiben die Lage. Deren zeitliche Ableitungen führen auf die Geschwindigkeiten und die Winkelgeschwindigkeiten. Die zeitlichen Änderungen der Bewegungsgrößen Impuls und Drall liefern die Bewegungsgleichungen, die die Dynamik eines starren Körper beschreiben. Bei allgemein räumlichen Bewegungen können die Bewegungsgleichungen allerdings nicht mehr analytisch sondern nur noch numerisch gelöst werden. Schlüsselwörter Ortsvektor Kardan-Winkel Euler-Winkel Euler-Parameter Winkelgeschwindigkeit Eulersche Kreiselgleichung Stabilität von Drehbewegungen Inhaltsverzeichnis.1 Lagebeschreibung.... Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Bewegungsgleichungen....5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld... Literatur... Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1 G. Rill, T. Schaeffer, Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation, DOI 1.1/ _ 5

2 DynamikdesstarrenKörpers.1 Lagebeschreibung.1.1 Koordinatensysteme Voraussetzung für eine eindeutige Lagebeschreibung eines Körpers ist ein Koordinatensystem, mit dessen Ursprung sowie den Achsen x, y und z ein Referenzpunkt sowie Referenzrichtungen zur Verfügung stehen, Abb..1. In der Mehrkörperdynamik werden stets orthogonale und rechtshändige Koordinatensysteme verwendet. Die Richtungen der Koordinatenachsen werden dabei durch die Einheitsvektoren e x, e y, e z mit je x jd1, je y jd1, je z jd1 festgelegt. Die Orthogonalität kann durch das Verschwinden der Skalarprodukte e T x e y D ; et y e z D und e T z e x D (.1) ausgedrückt werden. Das Transponiertzeichen, in (.1) das hochgestellte T, vertauscht bei Vektoren und Matrizen die Zeilen und Spalten. Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann damit als Multiplikation eines Zeilen- mit einem Spaltenvektor dargestellt werden. Die Kreuzprodukte e x e y D e z ; e y e z D e x und e z e x D e y (.) definieren die Rechtshändigkeit des Koordinatensystems..1. Starrkörperbedingung Die Lage eines starren Körpers gegenüber dem Koordinatensystem kann in eindeutiger Weise durch die Ortsvektoren x S x P x Q r S; D 5 ; r P; D 5 ; r Q; D 5 (.) y S y P y Q z S z P z Q zu drei körperfesten Punkten erfolgen, wobei S, P und Q nicht auf einer Geraden liegen dürfen, Abb... Der durch ein Komma abgetrennte Index gibt an, dass die Komponenten der Ortsvektoren in den Achsrichtungen des Koordinatensystems angegeben werden. Eine spezielle Kennzeichnung von Vektoren und Matrizen ist hier nicht erforderlich. Abb..1 Orthogonales und rechtshändiges Koordinatensystem

3 .1 Lagebeschreibung Abb.. Lage und Orientierung eines starren Körpers gegenüber einem Inertialsystem Die neun Koordinaten x S bis z Q sind nicht unabhängig voneinander, da bei einem starren Körper die Abstände einzelner Punkte unverändert bleiben. Die Starrkörperbedingungen jr SP; jda SP ; jr SQ; jda SQ ; jr PQ; jda PQ (.) mit den konstanten Abständen a SP, a SQ, a PQ liefern mit.x P x S / C.y P y S / C.z P z S / D a SP.x Q x S / C.y Q y S / C.z Q z S / D a SQ (.5).x Q x P / C.y Q y P / C.z Q z P / D a PQ drei Gleichungen, aus denen drei der neun Koordinaten in Abhängigkeit von den restlichen sechs Koordinaten berechnet werden können. Zur eindeutigen Lagebeschreibung eines starren Körpers sind also genau voneinander unabhängige Koordinaten erforderlich. Da die Gln. (.5) in der Regel nicht eindeutig aufgelöst werden können, wird in der Praxis die Lage eines starren Körpers nicht durch drei Punkte, sondern durch einen Punkt und drei Richtungen definiert..1. Körperfestes Koordinatensystem Die drei Punkte S, P und Q können zur Festlegung eines körperfesten Koordinatensystems K verwendet werden. Mit S als Ursprung, kann die x K -Achse durch den Einheitsvektor in Richtung von r SQ festgelegt werden e xk D r SQ j r SQ j (.) Das Kreuzprodukt aus den Vektoren r SQ und r SP liefert einen Vektor, der senkrecht auf die beiden Vektoren und wegen (.) auch senkrecht zu e xk steht. Durch e zk D r SQ r SP j r SQ r SP j (.)

4 8 DynamikdesstarrenKörpers kann also die z K -Achse definiert werden. Das Kreuzprodukt e yk D e zk e xk (.8) vervollständigt dann das orthogonale und rechtshändige Koordinatensystem..1. Kardan-Winkel Der Ursprung eines körperfesten Koordinatensystems wird durch die drei Komponenten des Ortsvektors, hier die Koordinaten x S, y S und z S des Vektors r S;, gegenüber dem Koordinatensystem festgelegt. Damit bleiben zur Beschreibung der Koordinatenrichtungen nur noch drei weitere voneinander unabhängige Koordinaten. Die Festlegung der neun Komponenten der im Koordinatensystem dargestellten Einheitsvektoren e xk ;, e yk ; und e zk ; erfolgt in der Regel durch drei Winkel, die durch Elementardrehungen die Achsen des Koordinatensystem in das körperfeste Koordinatensystem K überführen, Abb... Verwendet man die Kardan-Winkel, ˇ,, dann dreht man zunächst um die x -Achse. Das Zwischensystem 1 mit den Achsen e x1; D 1 5 ; e y1; D 5 ; e z1; D s 5 (.9) wird dann um die y 1 -Achse gedreht und erzeugt so das Zwischensystem, dessen Achsen durch cˇ sˇ e x;1 D 5 ; e y;1 D 1 5 ; e z;1 D 5 (.1) sˇ cˇ festgelegt sind. Die dritte und letzte Drehung erfolgt dann um die z -Achse und legt mit c e xk; D s 5 ; e yk; D c s s c c 5 ; e zk; D 1 5 (.11) Abb.. Kardan-Winkel in der klassischen Drehreihenfolge x, y und z

5 .1 Lagebeschreibung 9 die Achsen des körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem Zwischensystem fest. Die Winkelfunktionen sin, cos, sinˇ, cosˇ und sin, cos wurden dabei durch s, c, sˇ, cˇ und s, c abgekürzt..1.5 Vektortransformation Mit den Beziehungen (.9) bis(.11) können nun Vektoren, die im körperfesten Koordinatensystem K dargestellt sind, in das Koordinatensystem transformiert werden. Bezeichnet man die Komponenten des im Koordinatensystem K dargestellten Vektors von S nach P mit a, b und c, dann gilt zunächst r SP;K D a b c 5 (.1) oder r SP;K D ae xk ;K C be yk ;K C ce zk ;K (.1) Mit (.11) kann der Vektor r SP;K im Zwischensystem angeschrieben werden c s r SP; D a s 5 C b c 5 C c 5 (.1) 1 e xk ; e yk ; e zk ; Fasst man die Komponenten a, b und c wieder im Vektor r SP;K zusammen, dann erhält man c s a r SP; D s c 5 b 5 (.15) 1 c ƒ A K r SP;K wobei die Matrix A K eine positive Drehung mit dem Winkel um die z K D z -Achse beschreibt und Vektoren, die im Koordinatensystem K dargestellt sind, in das Zwischensystem transformiert. Mit (.1) kann der Vektor r SP; vom Koordinatensystem in das Koordinatensystem 1 transformiert werden. Analog zu (.1) und (.15) erhält man r SP;1 D A 1 r SP; (.1) wobei die Drehmatrix durch A 1 cˇ sˇ D 1 5 (.1) sˇ cˇ

6 1 Dynamik des starren Körpers gegeben ist und eine positive Drehung mit dem Winkel ˇ um die y D y 1 -Achse beschreibt. Mit der aus (.9) folgenden Drehmatrix A 1 D 1 c s s c 5 (.18) die eine positive Drehung mit dem Winkel um die x 1 D x -Achse definiert und der Beziehung r SP; D A 1 r SP;1 (.19) kann der Vektor r SP schließlich im Koordinatensystem dargestellt werden. Mit (.15) und (.1) erhält man schließlich r SP; D A 1 A 1 A ƒ K r SP;K (.) A K Die Drehmatrix cˇc A K D c s Cs sˇc s s c sˇc e xk ; cˇs c c s sˇs s c Cc sˇs e yk ; sˇ s cˇ 5 c cˇ ƒ e zk ; (.1) transformiert Vektoren vom Koordinatensystem K in das Koordinatensystem und legt analog zu (.1) und (.15) die Richtungen der Koordinatenachsen des körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem Koordinatensystem fest..1. Euler-Winkel Neben den Kardan-Winkeln werden häufig auch die Euler-Winkel verwendet. Bei den Euler-Winkeln wird die Drehmatrix aus den Elementardrehungen c s 1 c ' s ' A D s c 5 ; A D c s 5 ; A ' D s ' c ' 5 (.) 1 s c 1 in der Reihenfolge A K D A A A ' (.)

7 .1 Lagebeschreibung 11 aufgebaut. Ausmultipliziert erhält man A K D c c ' s c s ' c s ' s c c ' s s s c ' C c c s ' s s ' C c c c ' c s s s ' s c ' c 5 (.) Im Gegensatz zu den Kardan-Winkeln, wo der Reihe nach um die x K -, y 1 - und z -Achse gedreht wurde, werden bei den Euler-Winkeln Drehungen um die z K -, x 1 - und z -Achse ausgeführt..1. Drehung um eine beliebige Achse Jede räumliche Drehung kann auch als Drehung um eine beliebige Achse beschrieben werden, Abb... Bei einer Drehung mit dem Winkel ı um die durch den Einheitsvektor e festgelegten Drehachse wird der Punkt P auf den Punkt S abgebildet. Mit A ı als Drehmatrix gilt dann r S D A ı r P (.5) Mit den Hilfspunkten R und Q erhält man r S D r R C r RQ C r QS (.) Der Punkt R resultiert aus der Projektion des Vektors r P auf die Drehachse. Somit gilt r R D e T r P e D e e T r P D ee T r P (.) Die Punkte R, S und Q beschreiben ein rechtwinkliges Dreieck. Da Q auch noch auf der Verbindungslinie zwischen den Punkten R und P liegt, ergibt sich r RQ D jr RS j cos ı r RP jr RP j (.8) Wegen jr RS j D jr RP j bleibt r RQ D cos ır RP (.9) Abb.. Drehung mit dem Winkel ı um eine beliebige Achse, die durch den Einheitsvektor e festgelegt ist

8 1 Dynamik des starren Körpers Mit der Vektorkette r P D r R C r RP erhält man und mit der Beziehung (.) bleibt schließlich r RQ D cos ı.r P r R / (.) r RQ D cos ı r P ee T r P D cos ı E ee T r P (.1) wobei E die x Einheitsmatrix bezeichnet. Der Betrag des Vektors von Q nach S ist durch ˇ ˇrQS ˇˇ D sin ı jrrp j (.) gegeben. Da er senkrecht auf die Vektoren r RP und e steht, gilt r QS D ˇˇrQS ˇˇ e r RP je r RP j D sin ı jr RP j e r RP je jjr RP j sin.e; r RP / (.) Wegen je j D 1 und sin.e; r RP / D sin 9 ı D 1 bleibt r QS D sin ıe r RP (.) Schließlich kann der Vektor r RP durch r P r R ersetzt werden. Dann erhält man r QS D sin ıe.r P r R / D sin ıe r P sin ıe r R ; e k r R D sin ıe r P (.5) Setzt man nun die Beziehungen (.), (.1) und (.5)in(.) ein, dann bleibt r S D ee T r ƒ P C cos ı E ee T r P r R r RQ Mit dem schiefsymmetrischen Tensor Qe, der sich gemäß Qe D e z e y e z e x e y e x 5 mit e D C sin ıe r P r QS (.) e x e y e z 5 (.) aus den Komponenten des Einheitsvektors e aufbaut, kann das Kreuzprodukt umgeformt werden e r P DQer P (.8) Nunkannin(.) der Vektor r P nach hinten ausgeklammert werden r S D ee T C E ee T cos ı C Qe sin ı r P (.9)

9 .1 Lagebeschreibung 1 Ein Vergleich mit (.5) liefert dann die Drehmatrix A K D A ı D ee T C E ee T cos ıcqe sin ı D E cos ıcee T.1 cos ı/cqe sin ı (.) wobei die Komponentendarstellung von e wegen e ; D e ;K sowohl im Koordinatensystem als auch im Koordinatensystem K erfolgen kann..1.8 Euler-Parameter Mit den trigonometrischen Beziehungen cos ı D cos ı 1; 1 cos ı D sin ı und sin ı D sin ı cos ı (.1) lautet die Drehmatrix in (.) A K D E cos ı 1 C sin ı e sin ı e T C Qe sin ı cos ı (.) wobei im zweiten Term das Quadrat der Sinus-Funktion durch das Produkt der Sinus- Funktion mit sich selbst ersetzt wurde. Mit den Abkürzungen e D cos ı ; e 1 D e x sin ı ; e D e y sin ı ; e D e z sin ı (.) die als Euler-Parameter oder auch Quaternionen bezeichnet werden, kann die Drehmatrix ganz ohne trigonometrische Funktionen dargestellt werden e C e 1 1 e 1 e e e e 1 e C e e A K D e 1 e C e e e C e 1 e e e e 1 e 1 e e e e e C e e 1 e C e 1 5 (.) Die Euler-Parameter sind nicht unabhängig voneinander. Da e x, e y und e z die Komponenten eines Einheitsvektors sind, gilt ex C e y C e z D 1. Für die Euler-Parameter bedeutet dies e C e 1 C e C e D ı e cos C x C e y C e z sin ı D ı cos C ı sin D 1 (.5) Fasst man die Euler-Parameter in einem 1-Spaltenvektor zusammen p E D Œe e 1 e e T (.)

10 1 Dynamik des starren Körpers dann kann die Beziehung (.5) auch durch p E T p E 1 D (.) ausgedrückt werden. Die Drehmatrix (.) kann als Produkt zweier Matrizen dargestellt werden A K D GL T (.8) wobei sich G und L gemäß Nikravesh [] wie folgt aus den Euler-Parametern aufbauen e 1 e e e e 1 e e e G D e e e e 1 5 und L D e e e e 1 5 (.9) e e e 1 e e e e 1 e Die Multiplikation der Matrizen G und L liefert zunächst e1 C e e e e 1 e e e e 1 e C e e GL T D e 1 e C e e e e C e e 1 e e e e 1 5 (.5) e 1 e e e e e C e e 1 e e e 1 C e Mit der Beziehung (.5) kann das erste Hauptdiagonal-Element wie folgt umgeformt werden e 1 Ce e e De Ce 1 e C e De Ce 1 1.e C e 1 / D e C e 1 1 (.51) In ähnlicher Weise lassen sich auch die restlichen Hauptdiagonal-Elemente umformen. Der Vergleich mit (.) bestätigt dann die Gültigkeit der Beziehung (.8). Da alle Zeilen der Matrizen G und L orthogonal zum Vektor der Euler-Parameter p E sind, gilt Gp E D und Lp E D (.5) Durch einfaches Ausmultiplizieren kann man darüber hinaus folgende Eigenschaften nachweisen GG T D LL T D E und G T G D L T L D E p E p T E (.5) wobei der Vektor der Euler-Parameter im dyadischen Produkt p E pe T eine -Matrix erzeugt, die von der passenden Einheitsmatrix E subtrahiert wird. Diese Eigenschaften von G und L werden bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten benötigt. Achsparallele Koordinatensysteme werden durch die Euler-Parameter p k E D Œ1 T (.5)

11 .1 Lagebeschreibung 15 beschrieben. Die Euler-Parameter p x E D h cos p y E D cos ˇ p z E D h cos sin sin ˇ sin i T (.55) T (.5) i T (.5) definieren Elementardrehungen um die x-, y- und z-achse..1.9 Orthogonalitätsbedingung Alle Drehmatrizen, die orthogonale Koordinatensysteme ineinander überführen, genügen der Orthogonalitätsbedingung A T K A K D E (.58) und erzeugen mit A 1 K D A K D AT K (.59) die Umkehrtransformation. Es gilt also r ; D A K r ;K und r ;K D A T K r ; (.) wobei r ein beliebiger Vektor ist, der in den Koordinatensystemen K und dargestellt werden soll..1.1 Zusammenfassung Position und Orientierung eines starren Körpers im Raum können durch einen Ortsvektor und eine Drehmatrix eindeutig festgelegt werden. Der Ortsvektor r S gibt dabei die Lage des körperfesten Punktes S an und die Drehmatrix A K beschreibt die momentanen Richtungen eines körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem beschreibenden Koordinatensystem. Jeder weitere Punkt P auf dem Körper ist dann durch die Vektorkette r P; D r S; C A K r SP;K mit r SP;K D const: (.1) festgelegt, wobei der Vektor r SP;K die Lage von P gegenüber S im körperfesten Koordinatensystem K angibt und deshalb konstant ist.

12 1 Dynamik des starren Körpers. Geschwindigkeit..1 Allgemeine Relativbewegung Der Ortsvektor r P; beschreibt die Lage eines beliebigen Punktes P auf dem Körper gegenüber dem Koordinatensystem. Die zeitliche Ableitung von (.1) liefert mit Pr P; DPr S; C P A K r SP;K C A K Pr SP;K (.) die Geschwindigkeit des Punktes P gegenüber dem Inertialsystem. Die direkte Berechnung von AP K ist im allgemeinen sehr aufwändig. Mit der Orthogonalitätsbedingung (.58) erhält man Pr P; DPr S; C AP K A T K A K r SP;K C A K Pr SP;K (.) E wobei P A K A T K D Q K; (.) ein schiefsymmetrischer Tensor ist, dessen wesentliche Elemente die Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors K; ergeben Q K; D K; z y K; K; z K; x y K; K; x 5 bzw. K; D K; x y K; K; z 5 (.5) Die Multiplikation eines schiefsymmetrischen -Tensors Q mit einem 1-Vektorr vermittelt das Kreuzprodukt Qr D r (.) Damitlautet(.) Pr P; D Pr S; ƒ ƒ v P; v S; C K; A K r SP;K r SP; C A K Pr SP;K (.).. Starrkörperbewegung Wegen der Starrkörperbedingung r SP;K D const: entfällt der letzte Term und es bleibt die Eulersche Geschwindigkeitsgleichung v P; D v S; C K; r SP; (.8)

13 . Winkelgeschwindigkeit 1 Damit ist der Geschwindigkeitszustand eines starren Körpers durch Angabe der Geschwindigkeit v S eines körperfesten Punktes P und der Winkelgeschwindigkeit K des starren Körpers eindeutig definiert, da mit (.8) die Geschwindigkeit jedes weiteren körperfesten Punktes angegeben werden kann.. Winkelgeschwindigkeit..1 Definition Die Winkelgeschwindigkeit ist gemäß (.) durch den schiefsymmetrischen Tensor definiert. Bei einer Darstellung im Koordinatensystem gilt Q K; D P A K A T K (.9) Werden die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im Koordinatensystem K benötigt, muss die Tensortransformation angewendet werden. Mit (.9) erhält man Q K;K D A K Q K; A T K D AT K Q K; A K (.) Q K;K D A T P K A K A T K A K D AT P K A K (.1).. Kardan-Winkel Bei der Verwendung von Kardan-Winkeln wird die Drehmatrix aus einer Folge von Elementardrehungen aufgebaut. Gemäß (.) gilt A K D A 1 A 1 A K (.) Die Definition (.9) liefert dann den im Koordinatensystem dargestellten Tensor der Winkelgeschwindigkeiten zu Q K; D P A 1 A 1 A K C A 1 P A 1 A K C A 1 A 1 P A K A T K A T 1 AT 1 (.) Die Drehmatrizen sind orthogonal. Gemäß (.58) gilt dann A K A T K D E und A 1 AT 1 D E. Nach dem Ausmultiplizieren bleibt somit Q K; D AP 1 A T 1 CA 1 AP 1 A T 1 A Q 1; Q 1;1 T 1 C A 1A 1 AP K A T K A Q K; T 1 AT 1 (.)

14 18 Dynamik des starren Körpers wobei die schiefsymmetrischen Tensoren Q 1;, Q 1;1 und Q K; die Winkelgeschwindigkeiten der Elementardrehungen beschreiben. Die Winkelgeschwindigkeit setzt sich also additiv aus den drei Teildrehungen zusammen. Für die Elementardrehung um die x =x 1 - Achse mit dem Winkel erhält man Q 1; D P A 1 A T 1 D s c c s 5 P 1 c s s c Ausmultipliziert und unter Berücksichtigung von s C c D 1 bleibt Q 1; D P P 5 oder 1; D P 5 (.5) 5 (.) Analog dazu erhält man mit den in (.1) und (.15) definierten Drehmatrizen die im Koordinatensystem 1 und dargestellten Winkelgeschwindigkeitsvektoren 1;1 D Pˇ 5 und K; D P 5 (.) für die Elementardrehungen um die y 1 =y -Achse bzw. um die z =z K -Achse. Setzt man die Tensorbeziehung (.) auf die entsprechenden Winkelgeschwindigkeitsvektoren um, dann erhält man K; D 1; C A 1 1;1 C A 1 A 1 K; (.8) Eingesetzt und ausmultipliziert bleibt schließlich K; D P 5 C c Pˇ s Pˇ 5 C sˇ P s cˇ P c cˇ P 5 (.9) oder in Matrizenschreibweise K; x y K; K; z 5 D 1 sˇ c s cˇ s c cˇ 5 P Pˇ P 5 (.8) Im körperfesten Koordinatensystem ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor durch K;K D A T K K; D A T K AT 1 AT 1. 1; C A 1 1;1 C A 1 A 1 K; / (.81)

15 . Winkelgeschwindigkeit 19 gegeben. Ausmultipliziert bleibt oder cˇ c P K;K D cˇ s P 5 C sˇ P K;K D K;K x y K;K K;K z 5 D s c Pˇ Pˇ 5 C 5 (.8) P cˇ c s P cˇ s c 5 Pˇ 5 (.8) sˇ 1 P Bei allgemein räumlichen Drehungen besteht ein nichtlinearer lageabhängiger Zusammenhang zwischen den Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors und den Ableitungen der Kardan-Winkel. Die Beziehungen (.8) und (.8) können nun nach den Winkelableitungen aufgelöst werden. Man erhält P Pˇ 5 P P und P Pˇ 5 P P D 1 cˇ cˇ s sˇ c sˇ c cˇ s cˇ 5 s ƒ c K D 1 cˇ c s s cˇ c cˇ 5 c sˇ s sˇ ƒ cˇ K K K; x y K; K; z 5 K; K;K x y K;K K;K z 5 K;K (.8) (.85) Die kinematischen Differentialgleichungen werden jeweils für cos ˇ D oder ˇ D 9 ı n 18 ı, n D ; 1; ; ::: singulär. Was bedeutet, dass es in diesen Fällen nicht möglich ist, die Winkeländerungen aus den Winkelgeschwindigkeiten zu berechnen. Kardan-Winkel können deshalb nur dann problemlos verwendet werden, wenn von vornherein das Erreichen singulärer Lagen ausgeschlossen werden kann... Euler-Winkel Bei der Verwendung von Euler-Winkeln setzt sich die Drehmatrix ebenfalls aus Elementardrehungen zusammen. Mit (.) erhält man analog zu (.8) K; D ; C A ;1 C A A '; (.8)

16 Dynamik des starren Körpers wobei die Winkelgeschwindigkeitsvektoren durch ; D P 5 ; ;1 D P 5 und '; D P' 5 (.8) gegeben sind. Ausmultipliziert erhält man c P s s P' K; D 5 C s P 5 C c s P' 5 (.88) P c P' oder K; D K; x y K; K; z c 5 D Transformiert ins K-Koordinatensystem ergibt sich K;K x y K;K K;K z 5 D s s s c s 1 c s ' s c ' c ' s s ' c P P P' P P 5 (.89) P' 5 (.9) Auch hier besteht ein nichtlinearer lageabhängiger Zusammenhang zwischen den Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors und den Ableitungen der Euler-Winkel. Das Auflösen nach den Winkelableitungen ergibt P P 5 D 1 s P' P s c c c s c s s s 5 s c ƒ K und P P 5 D 1 s ' c ' c s ' s s ' s 5 P' s ' c c ' c s P K K K; x y K; K; z 5 K; K;K x y K;K K;K z 5 K;K (.91) (.9) Bei den Euler-Winkeln werden die kinematischen Differentialgleichungen für sin D oder D ı n 18 ı, n D ; 1; ; ::: singulär. Eine problemlose Beschreibung beliebiger räumlicher Drehbewegungen ist also auch mit den Euler-Winkeln nicht möglich.

17 . Winkelgeschwindigkeit 1.. Euler-Parameter Bei der Verwendung von Euler-Parametern kann die Drehmatrix gemäß (.8) als Produkt zweier Matrizen dargestellt werden. Mit A K D GL T liefert (.9) zunächst Q K; D PGL T C G PL T LG T (.9) Durch allgemeines Differenzieren und Ausmultiplizieren kann gezeigt werden, dass die durch (.9) definierten Matrizen folgende Eigenschaft haben Dadurch vereinfacht sich (.9)zu G PL T D PGL T (.9) Q K; D PGL T LG T (.95) Mit der Beziehung (.5) ergibt sich weiterhin Q K; D PG E p E pe T G T D PGG T PGp E pe T GT D PGG T T PGp E GpE (.9) Wegen (.5) entfällt der letzte Term und es bleibt Q K; D PGG T (.9) Analysiert man die schiefsymmetrische Matrix PGG T, dann ergibt sich folgender Zusammenhang PGG T D A G PpE (.98) wobei Pp E die Ableitung der im Vektor p E zusammengefassten Euler-Parameter angibt. Im Koordinatensystem dargestellt, ist dann der Winkelgeschwindigkeitsvektor durch K; D G Pp E (.99) gegeben. Transformiert ins körperfeste Koordinatensystem erhält man zunächst Mit (.5) ergibt sich K;K D A T K K; D GL T G Pp E D LG T G Pp E (.1) K;K D L E p E p T E PpE D L Pp E Lp E p T E Pp E (.11) Der Vektor der Euler-Parameter ist ein Einheitsvektor. Gemäß (.) gilt deshalb p T E p E D 1 oder d p T dt E p E D Pp T E p E C pe T Pp E D pt E Pp E D bzw. pt E Pp E D (.1)

18 Dynamik des starren Körpers Damit bleibt für den Winkelgeschwindigkeitsvektor im körperfesten Koordinatensystem K;K D L Pp E (.1) Da die Matrizen G und L durch die Euler-Parameter bestimmt sind, ergeben sich die Komponenten der Winkelgeschwindigkeitsvektoren aus der multiplikativen Verknüpfung der Euler-Parameter mit ihren zeitlichen Ableitungen. Die Beziehungen (.99) und (.1) können durch Multiplikation mit G T bzw. L T nach den Ableitungen der Euler-Parameter aufgelöst werden. Unter Berücksichtigung der Beziehung (.5) erhält man und G T K; D G T G Pp E D E p E p T E PpE D Pp E p E p T E Pp E (.1) L T K;K D L T L Pp E D E p E p T E PpE D Pp E p E p T E Pp E (.15) Da in (.1) und (.15)wegen(.1) jeweils der letzte Term entfällt, können die kinematischen Differentialgleichungen für die Euler-Parameter in der einfachen Form Pp E D 1 GT K; oder Pp E D 1 LT K;K (.1) angegeben werden. Bei der Verwendung von Euler-Parametern treten keine Singularitäten auf. Allerdings werden hier aus lediglich drei Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors die Ableitungen von vier Euler-Parametern erzeugt. Dies ist nur möglich, weil die Beziehungen in (.1) auf Grund der speziellen Eigenschaften der Euler-Parameter die Ableitung der Zwangsbedingung (.1) automatisch als zusätzliche Differentialgleichung enthalten.. Bewegungsgleichungen..1 Impulssatz Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit definiert den Impuls, der für einen starren Körper der Masse m dann durch p D mv S (.1) definiert ist. Dabei gibt v S die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes S gegenüber dem Inertialsystem an. Drehbewegungen haben keinen Einfluss auf den Impuls eines starren Körpers. Dem Newtonschen Axiom entsprechend, wird eine Impulsänderung durch Kräfte hervorgerufen d dt p ; D F ; (.18)

19 . Bewegungsgleichungen Bei abgeschlossenen Systemen ist die Impulsänderung des starren Körpers gegenüber dem Inertialsystem durch d dt p ; D m d dt v S; D m Pv S; D ma S; (.19) gegeben, wobei a S; die Absolut-Beschleunigung des Massenmittelpunktes S bezeichnet. Damit erhält man aus (.18) den Impulssatz m Pv S; D F ; (.11) der die Bewegungen des Massenmittelpunktes S unter dem Einfluss der resultierenden äußeren Kraft F beschreibt... Drallsatz Analog zum Impuls (.1) und zum Impulssatz (.18) können der auf den Massenmittelpunkt S bezogene Drall d S D T S K (.111) definiert und der Drallsatz d dt d S; D M S; (.11) formuliert werden. Dabei gibt K die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem Inertialsystem an und M S beschreibt das resultierende Moment aus allen äußeren Belastungen bezüglich des Massenmittelpunktes. Der Trägheitstensor bezüglich des Massenmittelpunktes ist durch T S D Z Körper definiert, wobei der schiefsymmetrische Tensor Qr SM gemäß r SM D x y z 5 ; Qr SM D Qr SM T Qr SM dm (.11) z y z x y x 5 (.11) durch die Komponenten des Vektors r SM vom Massenmittelpunkt S zu den einzelnen Masseteilchen dm des starren Körpers bestimmt ist. Mit (.111) lautet der Drallsatz (.11) d dt ŒT S; K; D M S; (.115)

20 Dynamik des starren Körpers Bei Drehbewegungen K ändert sich die absolute Lage der Masseteilchen r SM; const: Dann ist aber auch der Trägheitstensor, im Koordinatensystem angeschrieben, nicht konstant. Die Berechnung der Ableitung d dt T S; ist sehr kompliziert. Im körperfesten Koordinatensystem K ist der Trägheitstensor immer konstant. Bei rotationssymmetrischen Trägheitstensoren gibt es auch bewegte Referenzsysteme R in denen der Trägheitstensor konstant ist. An Stelle von (.115) schreibt man nun d dt ŒA R.T S;R K;R / D M S; (.11) wobei die Matrix A R die Transformation vom Referenzsystem R in das Inertialsystem übernimmt. Wegen T S;R D const: bleibt R; A R.T S;R K;R / C A R T S;R P K;R D M S; (.11) oder im Referenzsystem R angeschrieben T S;R P K;R C R;R T S;R K;R D M S;R (.118) wobei R;R und K;R die Winkelgeschwindigkeitsvektoren des Referenzsystems R und des körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem Inertialsystem darstellen. Der Term R T S K wird als Kreiselmoment bezeichnet. Der im körperfesten System K dargestellte Drallsatz kann mit A K.T S;K P K;K / C A K. Q K;K T S;K K;K / D A K M S;K (.119) in das Inertialsystem transformiert werden, wobei R D K berücksichtigt wurde und die Multiplikation mit dem schiefsymmetrischen Tensor der Winkelgeschwindigkeiten das Kreuzprodukt im Kreiselmoment ersetzt. Mit der Orthogonalitätsbedingung A T K A K D E, den Vektortransformationen K; D A K K;K und M S; D A K M S;K sowie den Tensortransformationen Q K; D A K Q K;K A T K und T S; D A K T S;KA T K (.1) bleibt T S; A K P K;K CQ K; T S; K; D M S; (.11) Wegen K; K; D gilt für die Ableitung des im Inertialsystem dargestellten Winkelgeschwindigkeitsvektors Q K; P K; D d ƒ K; dt.a ƒ K K;K / D AP K A T K A K K;K CA K P K;K D A K P K;K (.1) K; K;

21 . Bewegungsgleichungen 5 Damit kann im Drallsatz (.11) die ins Inertialsystem transformierte Änderung der Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem körperfesten Koordinatensystem P K;K durch die Ableitung des im Inertialsystem dargestellten Winkelgeschwindigkeitsvektors P K; ersetzt werden T S; P K; CQ K; T S; K; D M S; (.1) Im Vergleich zu (.118) ist der Aufwand zur Auswertung von (.1) höher, da der im Inertialsystem dargestellte Trägheitstensor T S; nicht mehr konstant ist, sondern über die Tensortransformation (.1) an die aktuelle Orientierung des Körpers angepasst werden muss... Zustandsgleichung Die Dynamik eines starren Körpers wird durch den Impuls- und den Drallsatz beschrieben. In der Mehrkörperdynamik wird der Impulssatz üblicherweise im Koordinatensystem und der Drallsatz im Koordinatensystem K angegeben m Pv S; D F ; (.1) T S;K P K;K D M S;K K;K T S;K K;K (.15) wobei der Kreiselterm K;K T S;K K;K auf die rechte Seite des Drallsatzes gestellt wurde. Hinzu kommen die kinematischen Differentialgleichungen Pr S; D v S; (.1) und P D K K K;K oder Pp E D 1 LT K;K (.1) Der Geschwindigkeitszustand des starren Körpers wird dabei durch die drei Komponenten der im Koordinatensystem dargestellten Geschwindigkeit v S;.t/ und durch die drei Komponenten der im Koordinatensystem K dargestellten Winkelgeschwindigkeit K;K beschrieben v S;.t/ D v x.t/ v y.t/ v z.t/ 5 und K;K D x.t/ y.t/ z.t/ 5 (.18) Der Ortsvektor, der die momentane Position des Massenmittelpunktes S festlegt, ist dabei entsprechend x S.t/ r S;.t/ D y S.t/ 5 (.19) z S.t/

22 Dynamik des starren Körpers durch die drei Lagekoordinaten x S, y S und z S definiert. Die Drehmatrix A K D A K. / (.1) die die Orientierung des körperfesten Koordinatensystems K gegenüber dem Inertialsystem angibt, kann entweder aus drei Elementardrehungen aufgebaut oder durch vier Euler-Parameter beschrieben werden. Der Vektor beinhaltet dann entweder die drei Kardan-Winkel, die drei Euler-Winkel oder andere drei Elementardrehwinkel oder aber die vier Euler-Parameter e.t/.t/.t/ D ˇ.t/ 5 bzw..t/ D.t/ '.t/ e.t/ 5 oder.t/ D p E.t/ D 1.t/ 5 (.11).t/ e.t/ e.t/ Die Dynamik eines starren Körpers wird somit durch 1 bzw. durch 1 gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben, wenn die Orientierung des körperfesten Koordinatensystems nicht durch drei Elementardrehungen sondern durch vier Euler-Parameter festgelegt wird. Mit dem Zustandsvektor x D h x S y S z S e e 1 e e v x v y v z x y z i T (.1) könnendie Differentialgleichungen (.1), (.1), (.1) und (.15) in der Zustandsgleichung Px D f.t;x/ (.1) zusammengefasst werden. Verwendet man ein körperfestes Hauptachsensystem, dann ist der Trägheitstensor T S;K nur auf der Hauptdiagonalen besetzt und der Drallsatz (.15) kann sehr einfach nach den Winkelbeschleunigungen P x, P y und P x aufgelöst werden. Im ungünstigsten Fall, also bei vollbesetztem Trägheitstensor, muss ein lineares Gleichungssystem der Dimension gelöst werden. Die Differentialgleichungen (.1) sind nichtlinear und können im Allgemeinen nur noch numerisch gelöst werden..5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld.5.1 Mathematische Beschreibung Der Trägheitstensor eines Quaders mit homogener Massenverteilung, den Kantenlängen a, b und c und der Masse m ist im körperfesten Hauptachsensystem durch T S;K D 1 1 m b C c c C a a C b 5 (.1)

23 .5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld Abb..5 Quader mit den Kantenlängen a, b und c im homogenen Schwerefeld gegeben. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, dann greift nur die Gewichtskraft h F ; D mg i T (.15) im Massenmittelpunkt S des Körpers an, Abb..5. Damit treten hier keine äußeren Momente auf h i T M S;K D (.1) Die Zustandsgleichungen (.1), (.1), (.1) und (.15) können nun zu einem System von Differentialgleichungen 1. Ordnung zusammengefasst und in die Form gebracht werden. Px D f.t;x/ (.1).5. Simulation Die Bewegung des Quaders im Schwerefeld kann nun z. B. in Matlab simuliert werden. Das Listing.1 zeigt die dazu erforderliche Matlab-Funktion. Neben der Zeit t und dem Zustandsvektor x sind der Trägheitstensor Theta und die Erdbeschleunigungsvektor grav zusätzliche Eingangsgrößen. Listing.1 Matlab-Funktion: Zustandsgleichung für einen starren Körper 1 function xp = quader_f(t,x,theta,grav) % Quader im Schwerefeld % Zustandsgroessen rs = x( 1: ); % Ortsvektor 5 pe = x( : ); % Euler-Parameter vs = x( 8:1); % Geschwindigkeit omkk = x(11:1); % Winkelgeschwindigkeit 8 9 % Drehmatrix und Kinematik-Matrizen aus den Euler-Parametern 1 [AK,G,L] = uty_ak_ep(pe); 11

24 8 Dynamik des starren Körpers 1 % kinematische und dynamische Differentialgleichungen 1 rsp = vs; pep =.5*L. *omkk; 1 vsp = grav; omkkp= Theta\(-cross(omKK,Theta*omKK)); 15 1 % Zustandsaenderung 1 xp = [ rsp; pep; vsp; omkkp ]; end Die Kinematik-Matrizen L und G sowie die Drehmatrix AK, die hier allerdings nicht benötigt wird, werden durch die im Listung. abgedruckte Matlab-Funktion aus den Euler-Parametern errechnet. Listing. Matlab-Funktion: Drehmatrix Euler-Parameter 1 function [AK,G,L] = uty_ak_ep(pe) % Drehmatrix und Kinematik-Matrizen aus Euler-Parametern G = [ -pe() pe(1) -pe() pe() ; pe() pe() pe(1) -pe() ;... -pe() -pe() pe() pe(1) ]; 8 L = [ -pe() pe(1) pe() -pe() ; pe() -pe() pe(1) pe() ; pe() pe() -pe() pe(1) ]; AK = G*L. ; 1 end Das Matlab-Skript in Listing. stellt die erforderlichendaten zur Verfügung, setzt die Anfangsbedingungen, führt die numerische Integration mit dem Standard-Solver ode5 durch und stellt die Komponenten der Winkelgeschwindigkeiten grafisch dar. Die Anweisungen tic und toc messen die für die Durchführung der Simulation benötigte Rechenzeit und stellen das Ergebnis im Ausgabefenster dar. Der Term [] in der Parameterliste von ode5 definiert einen Platzhalter für eine Struktur mit der die Standard-Einstellungen optional verändert werden können. Listing. Matlab-Skript: Quader im Schwerefeld 1 % Daten a=.1; b=.5; c=.1; % Quader Kantenlaengen [m] rho = ; % Dichte Holz [kg/m^] grav = [ ; ; ]; % Vektor der Erdbeschleunigung 5 % Masse und Traegheit mass = rho*a*b*c; 8 Theta = mass/1 * diag( [ b^+c^; c^+a^; a^+b^ ] ); 9 1 % Anfangswerte 11 rs =[ ; ; ]; % Lage Massenmittelpunkt 1 pe =[ 1; ; ; ]; % Euler-Parameter (achsenparall. Ko.-Sys) 1 vs =[ ; ; ]; % Geschwindigkeit (Wurf nach oben) 1 omkk=[ ;5; ]; % Drehung um y-achse (instabil) 15

25 .5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld 9 Abb.. Instabile Drehung um die mittlere Hauptträgheitsachse 1 % Aufbringen kleiner Stoerungen 1 omkk = omkk + max(omkk)/1; % Integration mit Runge-Kutta./5. Ordnung und Zeitmessung tspan=[,1.5]; x = [rs;pe;vs;omkk]; 1 tic, [t,xout] = ode5(@quader_f,tspan,x,[],theta,grav); toc % Graphik (Winkelgeschwindigkeiten) plot(t,xout(:,11:1)), grid on 5 legend( \omega_x, \omega_y, \omega_z ) Den geometrischen Abmessungen entsprechend, gilt hier für die Trägheitsmomente T xx <T yy <T zz. Wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird, ist die Drehbewegung eines starren Körpers um die mittlere Hauptträgheitsachse, hier die y K -Achse, stets instabil. Der zeitliche Verlauf der Winkelgeschwindigkeiten macht dies deutlich, Abb Drift in den Euler-Parametern Da die Euler-Parameter keine Singularität aufweisen, eignen sie sich insbesondere zur Beschreibung räumlicher Bewegungen mit beliebig großen Drehungen. Die Zwangsbedingung (.), die ja die Abhängigkeit der vier Euler-Parameter untereinander beschreibt, wird in den kinematischen Differentialgleichungen (.1) allerdings nur in differentieller Form berücksichtigt. Deshalb kann bei der numerischen Integration der Zustandsgleichung (.1) ein mit der Zeit anwachsender Fehler (Drift) in der Zwangsbedingung (.) auftreten, Abb... Diese Drift, die dann natürlich auch die gesamte Lösung verfälscht, macht sich bei längeren Zeitintervallen, hier nach etwa s bemerkbar. Die in Abb.. dargestellte Lösung von t D sbist D 1:5 s wird also noch nicht wesentlich Abb.. Drift in der Zwangsbedingung für die Euler-Parameter bei sehr großen Simulationszeiten

26 Dynamik des starren Körpers von diesem Effekt betroffen. Mit einer relativ einfachen Korrektur kann die Drift in den Euler-Parametern fast vollständig vermieden werden. Dazu werden die Programmzeilen % Drehmatrix und Kinematik-Matrizen aus den Euler-Parametern [AK,G,L] = uty_ak_ep(pe); % kinematische und dynamische Differentialgleichungen rsp = vs; pep =.5*L. *omkk; im Listing.1 durch die Anweisungen % normierte Euler-Parameter, Drehmatrix und Kinematik Matrizen pen = pe/norm(pe); [AK,G,L] = AK_EP(pEn); % kinematische und dynamische Differentialgleichungen rsp = vs; pep =.5*L. *omkk + norm(omkk)*(pen-pe); ersetzt. Nun können die Drehmatrix AK und die Kinematik Matrizen G und L mit den auf den Betrag eins normierten Euler-Parametern pen berechnet werden und der an den Betrag des Winkelgeschwindigkeitsvektors angepasste Stabilisierungsterm norm(omkk)*(pen-pe) sorgt in der kinematischen Differentialgleichung dafür, dass die Euler-Parameter pe im Laufe der Simulation stets auf die normierten Werte pen eingeregelt werden. Da die Euler-Parameter nun bis auf numerische Rundungsfehler die Zwangsbedingung (.) erfüllen, ist auch bei längeren Simulationszeiten keine Drift mehr erkennbar, Abb... Trotzdem werden in der Praxis häufig doch drei unabhängige Drehwinkel an Stelle der vier Euler-Parameter verwendet. In vielen technischen Anwendungen können nicht alle Drehungen beliebig groß werden. Durch eine Problem angepasste Reihenfolge der Elementardrehungen kann dann die bei dieser Beschreibung auftretende Singularität vermieden werden. Auch ein geeignetes Umschalten zwischen zwei verschiedenen Sätzen von Elementardrehungen vermeidet singuläre Winkelstellungen, vgl. []..5. Eulersche Kreiselgleichung Bei allgemeinen, räumlichen Drehbewegungen kann, wie beim Quader geschehen, der Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem angeschrieben werden. Mit x, y, z als Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors, M x, M y, M z als Komponenten des Momentenvektors und den mit 1,, bezeichneten Hauptträgheitsmomenten erhält man aus (.15) drei gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 1 P x. / y z D M x P y. 1 / z x D M y (.18) P z. 1 / x y D M z die als Eulersche Kreiselgleichungen bezeichnet werden.

27 .5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld 1 Die Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit um eine der Hauptachsen, z. B. die y K -Achse, kann mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor x K;K D 5 (.19) z beschrieben werden, wobei mit x und z auch kleine, durch Störungen verursachte, Abweichungen erfasst werden. Bei einer momentenfreien Bewegung mit M x D M y D M z D vereinfachen sich die Eulerschen Kreiselgleichungen dann zu 1 P x. / z D P. 1 / z x D P z. 1 / x D (.1) Wegen x z folgt aus der. Gleichung P D oder D const. Nun kann die 1. Gleichung nach der Zeit t abgeleitet werden 1 R x. / P z D (.11) Mit der. Euler-Gleichung bleibt dann 1 R x. /. 1 / x D (.1) oder Die Bewegung wird bei R x D. /. 1 / 1 x (.1). /. 1 / > (.1) instabil, da eine kleine Abweichung x >durch R x >im Laufe der Zeit vergrößert wird. Die Bedingung (.1) ist erfüllt, wenn die Trägheitsmomente den Bedingungen 1 > > oder 1 < < (.15) genügen. Drehungen um die körperfeste Hauptachse (hier: y K -Achse) mit dem mittleren Trägheitsmoment (hier: ) sind demnach instabil, Abb..8. Dieses Verhalten wurde von Magnus [1] im Satz: Die Drehung eines kräftefreien starren Körpers um die Hauptachsen sind nur stabil, wenn die Drehung um die Achsen des kleinsten oder des größten Hauptträgheitsmomentes erfolgt. Drehungen um die mittlere Hauptachse sind instabil. zusammengefasst und wird durch die Simulation bestätigt.

28 Dynamik des starren Körpers Abb..8 Stabile und instabile Drehungen eines Quaders Übungsbeispiele.1 Bei einem Ventilator führt das Gehäuse eine Schwenkbewegung um die vertikale Achse mit dem Winkel D.t/ aus. Der im Gehäuse untergebrachte Motor dreht die Rotorblätter mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit P D const. Der Abstand der Punkte L und G ist durch h, der Abstand der Punkte G und R durch a und der Durchmesser der Rotorblätter ist mit r gegeben. a) Berechnen Sie die Drehmatrix A LR, die Vektoren vom rotorblattfesten System R ins lagerfeste System L transformiert. b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit drehen sich die Rotorblätter gegenüber dem lagerfesten System L? Geben Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor im System L und im System G an. c) Berechnen Sie Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkt P gegenüber dem lagerfesten System G mit dem Urspung im Punkt G und geben Sie das Ergebnis im lagerfesten System G an.. Eine Radkappe hat sich etwas gelöst. Das radkappenfeste System x K, y K, z K ist deshalb gegenüber dem radfesten System x R, y R, z R mit dem Winkel D 5 ı um die x R D x K -Achse gedreht. Das Rad rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit R D R.t/ um die y R -Achse. Die Radkappe kann als dünne, homogene Scheibe mit dem Radius r und der Masse m betrachtet werden.

29 Übungsbeispiele Welche Momente sind erforderlich, um die Radkappe am Rad festzuhalten, wenn das Rad bei R D 1 rad/s mit P R D rad/s abgebremst wird und der Radius und die Masse der Radkappe mit r D : m und m D : kg gegeben sind?. Modifizieren Sie das Matlab-Skript. und die zugehörige Matlab-Funktion.1 so, dass die Orientierung des quaderfesten Hauptachsensystems nicht über Euler-Parameter sondern durch Kardan-Winkel beschrieben wird. Ersetzen Sie dabei in einem ersten Schritt die Matlab-Funktion aus Listing. durch die Funktion aus Listing., die aus den Kardan-Winkeln al, be, ga gemäß (.1) und (.85) die Drehmatrix AK und die Kinematikmatrix K berechnet. Listing. Matlab-Funktion: Drehmatrix aus Kardan-Winkel 1 function [AK,K] = uty_ak_kw(al,be,ga) % Drehmatrix aus Kardan-Winkel % lokale Variable 5 sal=sin(al); sbe = sin(be); sga=sin(ga); cal=cos(al); cbe = cos(be); cga=cos(ga); 8 % Drehmatrix (Drehreihenfolge al, be, ga) 9 Aal = [ 1 ; cal -sal ; sal cal ]; 1 Abe = [ cbe sbe ; 1 ; -sbe cbe ]; 11 Aga = [ cga -sga ; sga cga ; 1 ]; 1 AK = Aal*Abe*Aga; 1 1 % Kinematikmatrix (Winkelgeschwindigkeit im koerperfesten System) 15 K = [ cga -sga ;... 1 sga*cbe cga*cbe ; cga*sbe sga*sbe cbe ] / cbe ; end Beachten Sie, dass jetzt nur mehr n D 1 Zustandsgrößen benötigt werden. Führen Sie nun Simulationen für Anfangsdrehungen um die x K -, y K - und z K -Achse durch und vergleichen Sie die Ergebnisse hinsichtlich Genauigkeit und Rechenzeit mit den Resultaten, die mit den Euler-Parametern erzielt wurden.

30 Dynamik des starren Körpers. Ersetzen Sie im Matlab-Skript aus Listing. die Zeilen % Aufbringen kleiner Stoerungen omkk = omkk + max(omkk)/1; durch die Anweisungen id = menu( Aufbringen von Deviationsmomenten,... Theta_xy, Theta_xz, Theta_yz ); switch id case 1, i=1; j=; case, i=1; j=; case, i=; j=; end Theta(i,j) = mean([theta(i,i),theta(j,j)])/1; Theta(j,i) = Theta(i,j); Dann wird nicht mehr der Winkelgeschwindigkeitsvektor omkk mit Störungen beaufschlagt, sondern es werden dem Trägheitstensor Theta Deviationsmomente hinzugefügt. Die neuen Programmzeilen erzeugen ein einfaches Menü, das die Auswahl eines der drei Deviationsmomente ermöglicht. Das gewählte Deviationsmoment (i,j) wird dann aus einer kleinen Störung der entsprechenden Hauptdiagonalelemente (i,i) und (j,j) errechnet und auf den entsprechenden Nebendiagonalelementen (i,j) und (j,i) des Trägheitstensors abgespeichert. Untersuchen Sie den Einfluss der drei Trägheitsmomente auf die zeitlichen Verläufe der Winkelgeschwindigkeitskomponenten. Führen Sie die gleiche Untersuchung auch mit negativen Deviationsmomenten durch. Literatur 1. Magnus, K.: Kreisel Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin (191). Nikravesh, P.E.: Computer-aided analysis of mechanical systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1988). Schiehlen, W., Eberhard, P.: Technische Dynamik,. Aufl. Teubner, Stuttgart (1)

31