in natürlichen und technischen Systemen Dr. rer. nat. Michael Schanz Universität Stuttgart 8. November 2004

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1 Universität Stuttgart 8. November 2004 in natürlichen und technischen Systemen Page 1 Dr. rer. nat. Michael Schanz

2 Was ist Selbstorganisation 1. Selbstorganisation ist Page 2

3 Was ist Selbstorganisation 1. Selbstorganisation ist eine Form der Organisation, bei der die formgebenden bzw. strukturbildenden beschränkenden Einflüsse von den Elementen des sich organisierenden Systems selbst ausgehen Page 2

4 Was ist Selbstorganisation 1. Selbstorganisation ist eine Form der Organisation, bei der die formgebenden bzw. strukturbildenden beschränkenden Einflüsse von den Elementen des sich organisierenden Systems selbst ausgehen ein Prozess, bei dem der interne Organisationsgrad eines Systems spontan zunimmt, ohne dass dies von der Umgebung oder einem anderen externen System kontrolliert wird Page 2

5 Was ist Selbstorganisation 1. Selbstorganisation ist eine Form der Organisation, bei der die formgebenden bzw. strukturbildenden beschränkenden Einflüsse von den Elementen des sich organisierenden Systems selbst ausgehen ein Prozess, bei dem der interne Organisationsgrad eines Systems spontan zunimmt, ohne dass dies von der Umgebung oder einem anderen externen System kontrolliert wird das spontane Auftreten neuer, stabiler, hoch effizienter, Strukturen oder Verhaltensweisen in offenen Systemen, also fern vom Gleichgewicht, wobei die interagierenden Teilnehmer nach einfachen Regeln handeln und dabei aus Chaos Ordnung schaffen, ohne eine Vision von der gesamten Entwicklung haben zu müssen Page 2

6 Eigenschaften selbstorganisierender Systeme Page 3

7 Eigenschaften selbstorganisierender Systeme Offenheit Es findet ein Durchfluss von Energie, Materie oder Information statt Page 3

8 Eigenschaften selbstorganisierender Systeme Offenheit Es findet ein Durchfluss von Energie, Materie oder Information statt Zusammengesetztheit Sie sind typischerweise zusammengesetzt aus vielen, miteinander wechselwirkenden Untersystemen Page 3

9 Eigenschaften selbstorganisierender Systeme Offenheit Es findet ein Durchfluss von Energie, Materie oder Information statt Zusammengesetztheit Sie sind typischerweise zusammengesetzt aus vielen, miteinander wechselwirkenden Untersystemen Nichtlinearität Die Untersysteme oder die Wechselwirkungen enthalten Nichtlinearitäten Page 3

10 Eigenschaften selbstorganisierender Systeme Offenheit Es findet ein Durchfluss von Energie, Materie oder Information statt Zusammengesetztheit Sie sind typischerweise zusammengesetzt aus vielen, miteinander wechselwirkenden Untersystemen Nichtlinearität Die Untersysteme oder die Wechselwirkungen enthalten Nichtlinearitäten Emergenz: Es können spontan Ordnungsstrukturen entstehen Page 3

11 Selbstorganisierendes System Page 4 Wichtig: Die Zufuhr von Energie, Materie oder Information ist dabei unspezifisch und stellt daher keine äußere Kontrolle dar

12 Klassifikation strukturbildender Prozesse Page 5

13 Klassifikation strukturbildender Prozesse zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlich homogener Strukturen Bsp.: Farbänderungen oszillierenden chemischen Reaktionen, Populationsdynamik Page 5

14 Klassifikation strukturbildender Prozesse zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlich homogener Strukturen Bsp.: Farbänderungen oszillierenden chemischen Reaktionen, Populationsdynamik räumliche Strukturbildung Entstehung stationärer räumlicher Strukturen Bsp.: Konvektionszellen (Rollen oder Hexagone) beim Bénard Experiment, Fellmuster Page 5

15 Klassifikation strukturbildender Prozesse zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlich homogener Strukturen Bsp.: Farbänderungen oszillierenden chemischen Reaktionen, Populationsdynamik räumliche Strukturbildung Entstehung stationärer räumlicher Strukturen Bsp.: Konvektionszellen (Rollen oder Hexagone) beim Bénard Experiment, Fellmuster raum-zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlicher Strukturen Bsp.: Raumzeitliche Muster der BZ-Reaktion Page 5

16 Klassifikation strukturbildender Prozesse zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlich homogener Strukturen Bsp.: Farbänderungen oszillierenden chemischen Reaktionen, Populationsdynamik räumliche Strukturbildung Entstehung stationärer räumlicher Strukturen Bsp.: Konvektionszellen (Rollen oder Hexagone) beim Bénard Experiment, Fellmuster raum-zeitliche Strukturbildung Entstehung dynamischer räumlicher Strukturen Bsp.: Raumzeitliche Muster der BZ-Reaktion funktionale Strukturbildung Entstehung funktionaler Strukturen Bsp.: Bewegungsmuster, Gangarten bei Pferden Page 5

17 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan Page 6

18 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan 1900 Bénard Entdeckung des Auftretens von Konvektionsströmungen mit räumlicher Musterbildung Page 6

19 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan 1900 Bénard Entdeckung des Auftretens von Konvektionsströmungen mit räumlicher Musterbildung 1959 Belousov Erster wissenschaftlicher Artikel über eine oszillierende chemische Reaktion wurde zunächst mehrfach abgelehnt wegen Unvereinbarkeit mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ds dt 0 Page 6

20 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan 1900 Bénard Entdeckung des Auftretens von Konvektionsströmungen mit räumlicher Musterbildung 1959 Belousov Erster wissenschaftlicher Artikel über eine oszillierende chemische Reaktion wurde zunächst mehrfach abgelehnt wegen Unvereinbarkeit mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ds dt Zhabotinsky systematische Untersuchungen der Reaktion von Belousov führt zum Namen Belousov-Zhabotinsky Reaktion Page 6

21 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan 1900 Bénard Entdeckung des Auftretens von Konvektionsströmungen mit räumlicher Musterbildung 1959 Belousov Erster wissenschaftlicher Artikel über eine oszillierende chemische Reaktion wurde zunächst mehrfach abgelehnt wegen Unvereinbarkeit mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ds dt Zhabotinsky systematische Untersuchungen der Reaktion von Belousov führt zum Namen Belousov-Zhabotinsky Reaktion Prigogine und Nicolis Modifikation des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ds dt = ds i dt + ds e dt 0 Page 6

22 Historie 19. Jahrhundert Volta,... Vereinzelte Berichte über die Beobachtung oszillierender chemischer Reaktionen wurden als Laborartefakte abgetan 1900 Bénard Entdeckung des Auftretens von Konvektionsströmungen mit räumlicher Musterbildung 1959 Belousov Erster wissenschaftlicher Artikel über eine oszillierende chemische Reaktion wurde zunächst mehrfach abgelehnt wegen Unvereinbarkeit mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ds dt Zhabotinsky systematische Untersuchungen der Reaktion von Belousov führt zum Namen Belousov-Zhabotinsky Reaktion Prigogine und Nicolis Modifikation des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ds dt = ds i dt + ds e dt Haken Entwicklung der Synergetik Page 6

23 Bénard Experiment I (Hexagonmuster) Beim dem nach Henri Bénard benannten Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht von der Unterseite erhitzt, während die Oberseite auf einer niedrigeren Temperatur gehalten wird. Page 7

24 Bénard Experiment I (Hexagonmuster) Beim dem nach Henri Bénard benannten Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht von der Unterseite erhitzt, während die Oberseite auf einer niedrigeren Temperatur gehalten wird. Temperaturdifferenz T < T krit Wärmeleitung, räumlich homogener Zustand Page 7

25 Bénard Experiment I (Hexagonmuster) Beim dem nach Henri Bénard benannten Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht von der Unterseite erhitzt, während die Oberseite auf einer niedrigeren Temperatur gehalten wird. Temperaturdifferenz T < T krit Wärmeleitung, räumlich homogener Zustand Temperaturdifferenz T > T krit Konvektionsströmung, räumlich inhomogener Zustand Page 7

26 Bénard Experiment I (Hexagonmuster) Beim dem nach Henri Bénard benannten Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht von der Unterseite erhitzt, während die Oberseite auf einer niedrigeren Temperatur gehalten wird. Temperaturdifferenz T < T krit Wärmeleitung, räumlich homogener Zustand Temperaturdifferenz T > T krit Konvektionsströmung, räumlich inhomogener Zustand Page 7

27 Belousov-Zhabotinsky Reaktion Die Belousov-Zhabotinsky Reaktion ist das erste wissenschaftlich dokumentierte Beispiel für einen chemischen Oszillator. Die Reaktion findet in einem sogenannten erregbaren Medium statt und kann je nach Durchführung des Experiments zeitliche oder raum-zeitliche Strukturen bilden. Page 8

28 1.) Far, far, far away 2. Galaxy Cluster Abell 2218 wirkt als Gravitationslinse Entdeckung der entferntesten Galaxie (Stand: ) Page 9

29 2.) Far, far away Galaxiengruppe Page 10

30 3.) Far, far away Spiralgalaxie M74 Page 11

31 4.) Far, far away Ringnebel Page 12

32 4.) Far, far away Ringnebel Page 12

33 5.) Far away Jupiter: Großer Roter Fleck Saturn: Ringe Page 13

34 6.) Der Blaue Planet Page 14

35 6.) Der Blaue Planet Plattentektonik Page 14

36 6.) Der Blaue Planet Plattentektonik Dynamik des Erdmagnetfeldes Page 14

37 6.) Der Blaue Planet Plattentektonik Dynamik des Erdmagnetfeldes Wolkenmuster Page 14

38 6.) Der Blaue Planet Plattentektonik Dynamik des Erdmagnetfeldes Wolkenmuster... Page 14

39 7.) Wolkenhexagone Page 15

40 8.) Basalthexagone Giants Causeway (North Ireland) Page 16

41 8.) Basalthexagone Giants Causeway (North Ireland) Devil s Postpile (California) Page 16

42 9.) Muster im Tierreich I Page 17

43 9.) Muster im Tierreich I Page 17

44 11.) Muster im Tierreich II Schwarmverhalten Page 18

45 12.) Muster im Pflanzenreich I Page 19

46 12.) Muster im Pflanzenreich I Page 19

47 13.) Muster im Pflanzenreich II Page 20

48 13.) Muster im Pflanzenreich II Page 20

49 System oder Systemklasse Disziplin Untersysteme Makroskopische Ordnungsstruktur Laser Physik Atome Laserlicht BZ-Reaktion Chemie Moleküle Bénard-Experiment Hydrodynamik Moleküle Farbänderungen Spiralmuster Hexagonmuster Rollenmuster Page 21 morphogenetische Systeme Ökologie Spezies Oszillationen Biologie Zellen funktionales Zellaggregat Herzmuskel Physiologie Zellen Pumpbewegung Wolken Meteorologie Wassermoleküle Wolkenstraßen Galaxie Kosmologie Sterne Spiralmuster Strings Gesellschaft Soziologie Menschen Zeitgeist MAS Informatik Agenten Populationssysteme Interaktionsmuster

50 Fazit Mithilfe von Reaktions-Diffusions Gleichungen ist es möglich, die Muster bestimmter Muscheln, sowie bestimmte Fellmuster nachzubilden. Eine mathematische Beschreibung aller Selbstorganisationsprozesse ist wünschenswert! Page 22

51 Ein Paradigma der Synergetik Das System 3. Das System d u(t) dt = ɛu(t) u(t)s(t) instabile Mode d dt s(t) = s(t) + u(t)2 stabile Mode ɛ 1 Zeitskalentrennung Numerische Lösung für ɛ = 0.01 und u(0) = 0.5, s(0) = 0.4: s, u Page 23 t

52 Einfluss externer Störungen Das System einfache Störung...angewandt auf u...angewandt auf s f s, u s, u t t t komplizierte Störung...angewandt auf u...angewandt auf s f t s, u s, u t t Die instabile Mode u ist die relevante dynamische Größe Page 24

53 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: Page 25

54 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s Page 25

55 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s stabile Mode s folgt der instabilen Mode u instantan Page 25

56 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s stabile Mode s folgt der instabilen Mode u instantan stabile Mode s ist bestimmt durch eine Funktion h(u) Page 25

57 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s stabile Mode s folgt der instabilen Mode u instantan stabile Mode s ist bestimmt durch eine Funktion h(u) Die zentrale Mannigfaltigkeit h(u) lässt sich approximieren durch: Page 25

58 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s stabile Mode s folgt der instabilen Mode u instantan stabile Mode s ist bestimmt durch eine Funktion h(u) Die zentrale Mannigfaltigkeit h(u) lässt sich approximieren durch: stringente Entwicklung nach dem Kleinheitsparameter ɛ Page 25

59 Zeitskalentrennung Das System Konsequenzen der Zeitskalentrennung: schnelle intrinsische Dynamik der stabilen Mode s stabile Mode s folgt der instabilen Mode u instantan stabile Mode s ist bestimmt durch eine Funktion h(u) Die zentrale Mannigfaltigkeit h(u) lässt sich approximieren durch: stringente Entwicklung nach dem Kleinheitsparameter ɛ adiabatische Elimination Page 25

60 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: Page 26

61 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 Page 26

62 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt Page 26

63 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt liefert die Ordnungsparametergleichung (OPGL): d dt u(t) = ɛu(t) u(t)3 = V (ɛ, u) u Page 26

64 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt liefert die Ordnungsparametergleichung (OPGL): d dt u(t) = ɛu(t) u(t)3 = V (ɛ, u) u Die Ordnungsparametergleichung hängt nicht mehr von der Größe s(t) ab, sondern nur noch von der Größe u(t). Page 26

65 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt liefert die Ordnungsparametergleichung (OPGL): d dt u(t) = ɛu(t) u(t)3 = V (ɛ, u) u Die Ordnungsparametergleichung hängt nicht mehr von der Größe s(t) ab, sondern nur noch von der Größe u(t). Page 26

66 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt liefert die Ordnungsparametergleichung (OPGL): d dt u(t) = ɛu(t) u(t)3 = V (ɛ, u) u Die Ordnungsparametergleichung hängt nicht mehr von der Größe s(t) ab, sondern nur noch von der Größe u(t). Die instabile Mode u bestimmt die Dynamik und ist daher der Page 26

67 Ordnungsparametergleichung Das System adiabatische Elimination: eingesetzt in d dt s(t) = s(t) + u(t)2 = 0 s(t) = h(u(t)) = u(t) 2 d u(t) = ɛu(t) u(t)s(t) dt liefert die Ordnungsparametergleichung (OPGL): d dt u(t) = ɛu(t) u(t)3 = V (ɛ, u) u Die Ordnungsparametergleichung hängt nicht mehr von der Größe s(t) ab, sondern nur noch von der Größe u(t). Die instabile Mode u bestimmt die Dynamik und ist daher der Ordnungsparameter Page 26

68 Vergleich Das System Numerische Lösung des vollständigen Systems für ɛ = 0.01, u(0) = 0.5, s(0) = 0.4 der OPGL für ɛ = 0.01 und u(0) = 0.5 s, u s, u t t Page 27

69 Potenzialbild Das System V (ɛ, u) = 1 2 ɛu u4 ɛ ɛ < 0 u = 0 ist einziger stabiler Fixpunkt ɛ = 0 u = 0 ist einziger indifferenter Fixpunkt ɛ > 0 u = 0 ist instabiler Fixpunkt u = ± ɛ sind zwei neue stabile Fixpunkte u Page 28

70 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Page 29

71 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Page 29

72 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Page 29

73 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Bifurkation Page 29

74 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Bifurkation Symmetriebrechung Page 29

75 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Bifurkation Symmetriebrechung In einer Umgebung der Instabilität ɛ = 0 wird die Dynamik des Gesamtsystems allein durch den Ordnungsparameter u bestimmt Page 29

76 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Bifurkation Symmetriebrechung In einer Umgebung der Instabilität ɛ = 0 wird die Dynamik des Gesamtsystems allein durch den Ordnungsparameter u bestimmt Versklavungsprinzip der Synergetik: Die linear stabile Mode s wird von der linear instabilen Mode u versklavt Page 29

77 Versklavungsprinzip Das System Variation des Kontrollparameters ɛ von ɛ < 0 ɛ > 0 Stabile Gleichgewichtslage u = 0 wird instabil Fluktuationen entscheiden welche neue stabile Gleichgewichtslage (u = ± ɛ) eingenommen wird Bifurkation Symmetriebrechung In einer Umgebung der Instabilität ɛ = 0 wird die Dynamik des Gesamtsystems allein durch den Ordnungsparameter u bestimmt Versklavungsprinzip der Synergetik: Die linear stabile Mode s wird von der linear instabilen Mode u versklavt Zirkuläre Kausalität: Die versklavte Mode Mode s wirkt über die zentrale Mannigfaltigkeit h auf den Ordnungsparameter u zurück Page 29

78 Zirkuläre Kausalität Das System wenige Modenamplituden u(t) der langsamen linear instabilen Moden Ordnungsparameter u(t) Versklavung viele Modenamplituden s(t) der schnellen linear stabilen Moden zentrale Mannigfaltigkeit s(t) = h(u(t)) Rückkopplung Die im allgemeinen wenigen Ordnungsparameter bestimmen die Dynamik des Gesamtsystems. Dies stellt eine erhebliche Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade und damit der Komplexität des Systems dar. Page 30

79 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Page 31

80 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Page 31

81 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Wettbewerb der Ordnungsparameter Page 31

82 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Wettbewerb der Ordnungsparameter Ordnungsparameter mit dem größten Startwert gewinnt Page 31

83 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Wettbewerb der Ordnungsparameter Ordnungsparameter mit dem größten Startwert gewinnt Selektionsprozess mit winner takes it all-verhalten Page 31

84 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Wettbewerb der Ordnungsparameter Ordnungsparameter mit dem größten Startwert gewinnt Selektionsprozess mit winner takes it all-verhalten : d dt ξ u(t) = ξ u (t) ξ u (t) 3 β ξ u (t) N ξ u (t) 2 (β > 1) u =1 u u Page 31

85 Wettbewerb der Ordnungsparameter 4. Was geschieht bei mehreren Ordnungsparametern? Typischerweise gekoppelte Ordnungsparametergleichungen Wettbewerb der Ordnungsparameter Ordnungsparameter mit dem größten Startwert gewinnt Selektionsprozess mit winner takes it all-verhalten : d dt ξ u(t) = ξ u (t) ξ u (t) 3 β ξ u (t) N ξ u (t) 2 (β > 1) u =1 u u ( d dt ξ u(t) = ξ u (t) 1 + (β uu 1) ξ u (t) 2 ) N β uu ξ u (t) 2 u =1 Page 31

86 Wettbewerb der Ordnungsparameter 2 Ordnungsparameter ξ 1 (0) = 0.582, ξ 2 (0) = ξ 1 (0) ξ 2 (0) < 10 7 ξ1, ξ2 ξ1, ξ2 t t Page 32

87 Wettbewerb der Ordnungsparameter 2 Ordnungsparameter ξ 1 (0) = 0.582, ξ 2 (0) = ξ 1 (0) ξ 2 (0) < 10 7 ξ1, ξ2 ξ1, ξ2 5 Ordnungsparameter t 10 Ordnungsparameter t ξ1 - ξ5 ξ1 - ξ10 Page 32 t t

88 Bénard Experiment II (Rollenmuster) Page 33

89 Musterbildung Mustererkennung Musterbildung ist Page 34

90 Musterbildung Mustererkennung Musterbildung ist ein Prozess, bei dem ein räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht. Meist wird eine solche spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines Parameters in einem nichtlinearen System erzielt. Page 34

91 Musterbildung Mustererkennung Musterbildung ist ein Prozess, bei dem ein räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht. Meist wird eine solche spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines Parameters in einem nichtlinearen System erzielt. Analogie zwischen Musterbildung und Mustererkennung Page 34

92 Mustererkennung Page 35

93 Mustererkennung Page 35

94 Mustererkennung Page 35

95 Gekoppelte I Das folgende konstruierte System von gekoppelten kann dazu verwendet sogenannte lineare 2-Index Zuordnungsprobleme zu lösen d dt ξ ij = ξ ij ξij 3 β ξ ij ξi 2 j β ξ ij i i j j Definition des 2-Index Zuordnungsproblems: ξ 2 ij Für gegebene Gewinne (g ij ) R n n sind die BOOLEschen Variablen x ij {0, 1} mit i, j N := {1,..., n} zu finden, so dass der Gesamtgewinn g := i,j g ij x ij maximal ist bezüglich der Restriktionen x ij = 1 j N und x ij = 1 i N i j Roboter (x ij ) ist eine Permutationsmatrix Arbeitsstationen Page 36

96 Gekoppelte II Die Anfangswerte der gekoppelten entsprechen den Gewinnen: ξ ij (t = 0) := g ij i, j. Die Lösung des Zuordnungsproblems ist dann gegeben durch die asymptotische Dynamik der gekoppelten : g ij = ξ ij (t = 0) ξ ij (t) lim t ξ ij = x ij Gewinne C A {z } (g ij) Zuordnung C A {z } (x ij) Page 37 Beispiel 1 Beispiel 2

97 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 5. Einfache Regeln - Komplexe Strukturen Page 38

98 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 5. Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 1.) Iterierte Funktionensysteme: Wahrscheinlichkeitsgesteuerte dynamische Systeme f 1 (x n ) p 1 x n+1 =.. f i (x n ) mit Wahrscheinlichkeit p i, N p i = 1 i=1. f N (x n ). p N Page 38

99 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 5. Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 1.) Iterierte Funktionensysteme: Wahrscheinlichkeitsgesteuerte dynamische Systeme f 1 (x n ) p 1 x n+1 =. f i (x n ) mit Wahrscheinlichkeit p i,. f N (x n ).. p N N p i = 1 Die f i sind dabei einfache kontrahierende affine Abbildungen f i (x) = M i x + v i i=1 Page 38

100 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 5. Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 1.) Iterierte Funktionensysteme: Wahrscheinlichkeitsgesteuerte dynamische Systeme f 1 (x n ) p 1 x n+1 =. f i (x n ) mit Wahrscheinlichkeit p i,. f N (x n ).. p N N p i = 1 Die f i sind dabei einfache kontrahierende affine Abbildungen f i (x) = M i x + v i Barnsley s Farn: N = 4 mit p 1 = 0.85, p 2 = 0.07, p 3 = 0.07, p 4 = 0.01 M 1 = M 3 = «v 1 = «v 3 = ««M 2 = M 4 = i=1 «v 2 = «v 4 = ««Page 38

101 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 2 Funktionen 3 Funktionen 4 Funktionen 5 Funktionen 5 Funktionen 6 Funktionen 2 Funktionen 3 Funktionen 4 Funktionen Page 39

102 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen Wieviele Regeln sind notwendig für Selbstorganisation? Page 40

103 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen Wieviele Regeln sind notwendig für Selbstorganisation? 65 Funktionen Page 40

104 Iterierte Funktionensysteme Einfache Regeln - Komplexe Strukturen Wieviele Regeln sind notwendig für Selbstorganisation? 65 Funktionen Page 40

105 Conway s life Einfache Regeln - Komplexe Strukturen 2.) Conway s game of life 2333 ist ein zellulärer Automat, der trotz seiner einfachen Regeln universell ist und die Entstehung sehr komplexer Strukturen ermöglicht Struktur der Zellanordnung Dimension: 2 Beschränktheit: offen Geometrie: quadratisch Nachbarschaft: Moore-Nachbarschaft (8) Zahl der Zustände einer Zelle: 2 (tot oder lebendig) Regeln Überleben: zwei oder drei Nachbarfelder sind besetzt Geburt: exakt drei Nachbarfelder sind besetzt Beispiel Page 41

106 Zusammenfassung und Ausblick 6. Zusammenfassung und Ausblick Page 42

107 Zusammenfassung und Ausblick 6. Zusammenfassung und Ausblick 6.1. Zusammenfassung Einfache lokale (mikroskopische) Regeln können zur Emergenz komplexer globaler (makroskopischer) Ordnungsstrukturen führen Selbstorganisationsprozesse sind fehlertolerant Es exisitiert eine mathematische Theorie, die viele Selbstorganisationsphänomene erklären kann Page 42

108 Zusammenfassung und Ausblick 6. Zusammenfassung und Ausblick 6.1. Zusammenfassung Einfache lokale (mikroskopische) Regeln können zur Emergenz komplexer globaler (makroskopischer) Ordnungsstrukturen führen Selbstorganisationsprozesse sind fehlertolerant 6.2. Ausblick Es exisitiert eine mathematische Theorie, die viele Selbstorganisationsphänomene erklären kann Bislang wenig erforscht sind Selbstorganisationsprozesse mit hierarchischen Strukturen Es fehlt bis heute eine Systematik zur Herleitung von Regeln, die zu gewünschten Selbstorganisationsprozessen führen Page 42