Katalytische Hyperzyklen

Transkript

1 Katalytische Hyperzyklen Lara Münster Literatur: Hofbauer J., Sigmund K. (1998). Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge University Press: Cambridge

2 Katalytische Hyperzyklen 1 Am Anfang war... die Ursuppe Definition Hyperzyklus Hyperzyklusspiel Theorie Manfred Eigen 2 Katalytische Hyperzyklen Replikatorgleichung - Hyperzyklusgleichung Stabilität von Hyperzyklen Bedeutung für die Theorie von Eigen Permanenz von Hyperzyklen Wettbewerb disjunkter Hyperzyklen Bedeutung für die Realität bzw. die Theorie von Eigen 3 Fazit 4 Quellenangabe

3 Ziel des Vortrags Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? Theorie Manfred Eigen Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies?

4 Hyperzyklus Bei einem Kreisprozess trägt A zur Entstehung von B bei, B zur Entstehung von C,... Ein Hyperzyklus ist eine zyklische Folge von mehreren (hier: 4) Einzelzyklen. Das heißt: A trägt zur Entstehung von B bei und der eigenen Replikation. Durch die Replikation wird wiederum zur Verstärkung der Reproduktion von B beigetragen.

5 Hyperzyklusspiel 1 Wir verteilen zunächst je 16 Quadratplättchen jeder Farbe auf unserem 8x8 Spielfeld.

6 Hyperzyklusspiel 1 Wir verteilen zunächst je 16 Quadratplättchen jeder Farbe auf unserem 8x8 Spielfeld. 2 Wir würfeln mit dem Oktaederwürfel welcher Spielstein entfernt wird: (3, 3) Danach würfeln wir nocheinmal: Der Stein, dessen Koordinaten wir nun würfeln (5, 5), darf verdoppelt werden, wenn ein unmittelbarer Nachbar die Farbe des Vorgängers im Zyklus hat.

7 Hyperzyklusspiel 3 Wir würfeln, um den nächsten Spielstein zu entfernen. (7, 2) wird entfernt. Spielidee aus: Eigen M.(1985). Das Spiel - Naturgesetze steuern den Zufall. Piper-Verlag: München

8 Hyperzyklusspiel 3 Wir würfeln, um den nächsten Spielstein zu entfernen. (7, 2) wird entfernt. 4 Besitzt ein Stein (1, 8), keinen Nachbarn mit der bestimmten Farbe, bleibt das leere Kästchen frei. Spielidee aus: Eigen M.(1985). Das Spiel - Naturgesetze steuern den Zufall. Piper-Verlag: München

9 Hyperzyklusspiel Per Computer zeigt sich, wie sich die Population von A,B,C und D in Abhängigkeit der Zahl der Würfe verändern: Der Zyklus stirbt in diesem simulierten Spiel, zufällig aufgrund einer Fluktuationskatastrophe aus.

10 MANFRED EIGEN 1927: geboren am 9.Mai in Bochum 1967: Nobelpreis der Chemie zur Geschwindigkeitsmessung von Reaktionen 1979: Theorie über Hyperzyklen: 1 präbiotische Stufe: Bildung der Biopolymere, Nukleinsäure und Proteine 2 Selbstorganisation 3 Evolution der einzelnen Spezies

11 katalytischer Hyperzyklus in der Realität Anwendung des Modells auf Makromoleküle: A katalysiert die Bildung von B, B die Bildung von C,...

12 katalytischer Hyperzyklus in der Realität Anwendung des Modells auf Makromoleküle: A katalysiert die Bildung von B, B die Bildung von C,... Schließt sich irgendwann der Zyklus, so wird auch A katalysiert, um wiederum die Bildung von B zu unterstützen.

13 katalytischer Hyperzyklus in der Realität Anwendung des Modells auf Makromoleküle: A katalysiert die Bildung von B, B die Bildung von C,... Schließt sich irgendwann der Zyklus, so wird auch A katalysiert, um wiederum die Bildung von B zu unterstützen. Ein Hyperzyklus ist also eher eine Schraube, denn er symbolisiert die Wachstumsfunktion und eine Art Rückkopplung.

14 Replikatorgleichung Eine Replikatorgleichung ist ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung (ẋ i = F (x)) Betrachten wir zunächst eine vereinfachte Replikatorgleichung: ẋ i = x i ((Ax) i x Ax ) wobei A unsere Gewinnmatrix ist k 1 k A = 0 k k n 0 R n n.

15 Hyperzyklusgleichung Lösen wir die Replikatorleichung auf, so erhalten wir k 1 k ẋ i = x i (Ax) i x 0 k k n 0 k 1 x n x 1 k 1 x n k 2 x 1 x 2 k 2 x 1 = x i... k n x n 1 x n k n x n 1 n = x i k i x i 1 k j x j x j 1 j=1 Diese Gleichung wird Hyperzyklusgleichung genannnt. x 1 x 2. x n

16 Hyperzyklusgleichung Die Hyperzyklusgleichung besitzt einen stationären Punkt p = (p 1,...p n ). Hierzu muss gelten: n i=1 x i = 1 k i x i 1 n j=1 k jx j x j 1 = 0 mit i=1,...n Das Gleichungssystem wird zu: x 1 + x x n = 1 k 1 x n = k 2 x 1 =... = k n x n 1 mit i=1,...n umgeformt.

17 stationärer Punkt der Hyperzyklusgleichung Als einzige Lösung erhalten wir: p i = 1 1 k i+1 j k j+1 1 mit i= 1,...n

18 Stabilität Hyperzyklusgleichung Um die Stabilität von p zu analysieren, linearisieren wir die Hyperzyklusgleichung, indem wir die Jacobi-Matrix an der Stelle p betrachten.

19 Stabilität Hyperzyklusgleichung Um die Stabilität von p zu analysieren, linearisieren wir die Hyperzyklusgleichung, indem wir die Jacobi-Matrix an der Stelle p betrachten. Um die Matrix und ihre Eigenwerte leichter zu berechnen transformieren wir die Hyperzyklusgleichung zunächst.

20 Stabilität Hyperzyklusgleichung Um die Stabilität von p zu analysieren, linearisieren wir die Hyperzyklusgleichung, indem wir die Jacobi-Matrix an der Stelle p betrachten. Um die Matrix und ihre Eigenwerte leichter zu berechnen transformieren wir die Hyperzyklusgleichung zunächst. Mit y i = k i+1 x i n j=1 k j+1x j wird die Hyperzyklusgleichung zu ẏ i = y i yi 1 y j y j 1 s y s k s+1 Der Punkt p geht zum Mittelpunkt m über, die Eigenwerte der Jacobi-Matrix bleiben trotz Transformation unverändert.

21 Stabilität Hyperzyklusgleichung Theorem Die Differentialgleichungen ẋ = f (x, t) und ẋ = B(x, t) f (x, t) können durch τ = φ(t) ineinander überführt werden, wenn B(x, t) strikt positiv ist. Im zeitunabhängigen Fall haben dann die zwei DGL s denselben Orbit. In unserem Fall ist B(x, t) = y s s > 0, k s+1 also können wir den letzen Faktor weglassen und erhalten: ẋ i = x i x i 1 j x j x j 1 Diese Gleichung entspricht allerdings genau der Hyperzyklusgleichung mit k 1 = k 2 =... = k n = 1

22 Eigenwerte Jacobi-Matrix Die Jacobi-Matrix enthält Einträge J ij = f i (x i ) x j in unserem Fall also ẋ i x j = x i x j ( x i 1 n k=1 ) ( xi 1 x k x k 1 + x i ( ) ) x j 1 + x j+1 x j An der Stelle ist die Matrix zirkulär. m = ( 1 n,..., 1 ) n

23 Eigenwerte Jacobi-Matrix ẋ i (m) = x ( i 1 (m) x j x j n n 1 ) n ( n xi 1 x j ẋ i (m) = 1 ( x j n xi 1 (m) 2 ) x j n { 1 n (1 2 n ) = 1 n 2 falls j = i 1 n 2 ẋ i x j (m) = 1 n (0 2 n ) = 2 n 2 sonst ( 1 (m) n + 1 )) n Die ( erste Zeile hat also folgende Einträge: 2, 2,..., 1 n 2 n 2 n 2 ) n 2 Weitere Zeilen ergeben sich durch zyklische Vertauschung.

24 Jacobi-Matrix Die Jacobi-Matrix sieht also folgendermaßen aus: 2 n 2 1 n 2 n n 2 n 2 n 2. 2 n n 2... n 2 n 2 n n 2 n 2... n n 2... n n 2 2 n 2 1 n 2 n 2 2 n 2

25 Jacobi-Matrix Die Jacobi-Matrix sieht also folgendermaßen aus: 2 n 2 1 n 2 n n 2 n 2 n 2. 2 n n 2... n 2 n 2 n n 2 n 2... n n 2... n n 2 2 n 2 1 n 2 n 2 2 n 2

26 Eigenwerte Die Eigenwerte einer solchen zirkulären Matrix sind und γ 0 = 1 n n 1 γ j = ( 2 n 2 ) λkj + 1 n ) λ(n 1)j = λ 1 n k=0 (0) (1) mit j = 1,...n 1 und λ = e 2πi n.

27 Stabilität der stationären Punkte Nach dem Satz von Hartman-Grobman, können wir die Stabilität der stationären Punkte von nichtlinearen Systemen auf die Stabilität linearer Systeme zurückführen. Der Satz besagt, dass: der stationäre Punkt stabil ist, wenn alle Eigenwerte λ i der Jacobimatrix einen negativen Realteil besitzen (Re(λ i ) < 0) Für n 5 ist der stationäre Punkt m instabil.

28 Stabilität der stationären Punkte Nach dem Satz von Hartman-Grobman, können wir die Stabilität der stationären Punkte von nichtlinearen Systemen auf die Stabilität linearer Systeme zurückführen. Der Satz besagt, dass: der stationäre Punkt stabil ist, wenn alle Eigenwerte λ i der Jacobimatrix einen negativen Realteil besitzen (Re(λ i ) < 0) der stationäre Punkt instabil ist, wenn ein Eigenwert λ i der Jacobimatrix einen positiven Realteil besitzt (Re(λ i ) > 0) Für n 5 ist der stationäre Punkt m instabil.

29 Stabilität der stationären Punkte Nach dem Satz von Hartman-Grobman, können wir die Stabilität der stationären Punkte von nichtlinearen Systemen auf die Stabilität linearer Systeme zurückführen. Der Satz besagt, dass: der stationäre Punkt stabil ist, wenn alle Eigenwerte λ i der Jacobimatrix einen negativen Realteil besitzen (Re(λ i ) < 0) der stationäre Punkt instabil ist, wenn ein Eigenwert λ i der Jacobimatrix einen positiven Realteil besitzt (Re(λ i ) > 0) ist ein Eigenwert =0, so können wir nicht mehr von der Stabilität des linearen Systems auf das nichtlineare schließen. Für n 5 ist der stationäre Punkt m instabil.

30 Beweis: für n = 2 gilt nach den berechneten Eigenwerten: λ 1 = 1 2 e πi = 1 2 (cos( π) + i sin( π)) = 1 2 Re(λ 1 ) < 0 für n = 2 stabil

31 Beweis: für n = 2 gilt nach den berechneten Eigenwerten: λ 1 = 1 2 e πi = 1 2 (cos( π) + i sin( π)) = 1 2 Re(λ 1 ) < 0 für n = 2 stabil für n = 3: λ 1 = 1 2πi 3 e 3 = ( 1 2 i 2 ) λ 2 = 1 4πi 3 e 3 = ( i 2 ) Re(λ 1 ) < 0 für n = 3 stabil

32 für n = 4 kann der Satz von Ljapunow angewendet werden. Beweis

33 Beweis für n = 4 kann der Satz von Ljapunow angewendet werden. für n 5 gibt es immer Eigenwerte mit positivem Realteil, so dass der stationäre Punkt instabil ist: Re(λ 1 ) = Re 1 2πi ( ) n e n 2πi = cos > 0(GW = 1) n

34 Stabilität der stationären Punkte Wir halten also fest, dass für kurze Hyperzyklen (n = 2, 3, 4) der innere stationäre Punkt global stabil ist. Für n 5 ist der stationäre Punkt immer instabil. Wie kann nun aber eine permanente Koexistenz von verschiedenen Polynukleotidtypen möglich sein?

35 Bedeutung für Eigen-Theorie Für den Hyperzyklus ist es allerdings egal, ob sich ein Gleichgewicht einstellt oder nicht.

36 Bedeutung für Eigen-Theorie Für den Hyperzyklus ist es allerdings egal, ob sich ein Gleichgewicht einstellt oder nicht. Durch den Hyperzyklus wird lediglich die Koexistenz von selbstreproduzierbaren Makromolekülen gesichert. Ob dabei die Konzentration oszilliert oder konvergiert spielt dabei keine Rolle.

37 Bedeutung für Eigen-Theorie Für den Hyperzyklus ist es allerdings egal, ob sich ein Gleichgewicht einstellt oder nicht. Durch den Hyperzyklus wird lediglich die Koexistenz von selbstreproduzierbaren Makromolekülen gesichert. Ob dabei die Konzentration oszilliert oder konvergiert spielt dabei keine Rolle. Wichtig ist lediglich, dass keine Art von Makromolekülen ausstirbt.

38 Permanenz Mathematisch gibt es also einen Wert δ > 0, so dass jede Lösung der vereinfachten Hyperzyklusgleichung die Bedingung ẋ i (t) > δ, wenn t groß genug, erfüllt. Jede Spezie ist also zunächst vorhanden, wenn auch in sehr geringer Konzentration. Nach einer gewissen Zeit ist jedoch eine zählbare Größe präsent. Keine Schwankung, die kleiner als δ ist, kann eine molekulare Spezies auslöschen. Diese wichtige Eigenschaft werden wir zunächst definieren: Ein dynamisches System auf S n ist permanent, wenn ein δ > 0 existiert, sodass aus x i (0) > 0 folgt: lim inf x i(t) > δ t

39 Permanenzkriterium für Replikatorgleichung Theorem Sei P : S n R eine differenzierbare Funktion, die auf dem Rand von S n verschwindet und strikt positiv im Inneren von S n ist. Ein dynamisches System ist permanent, wenn eine stetige Funktion Ψ auf S n existiert mit 1 2 Ṗ(x) P(x) = Ψ(x) für x S n t 0 Ψ(x(t)) dt > 0 für T > 0 Der Wert P(x) ist die Distanz von x zum Rand von S n. Oft kann man keine solche Funktion finden. Stattdessen sucht man eine durchschnittliche Lyapunov Funktion.

40 Permanenz von Hyperzyklen Der Hyperzyklus ist permanent. Beweis: Wir können das Theorem von der letzen Folie benutzen. Als P(x) wählen wir das Produkt x 1 x 2... x n. Also Ṗ = PΨ mit Ψ = k i x i 1 nf mit f = k j x j x j 1

41 Permanenz von Hyperzyklen Der Hyperzyklus ist permanent. Beweis: Wir können das Theorem von der letzen Folie benutzen. Als P(x) wählen wir das Produkt x 1 x 2... x n. Also Ṗ = PΨ mit Ψ = k i x i 1 nf mit f = k j x j x j 1 Ebenso ist eine Hyperzyklusgleichung permanent, indem man die Konstanten k i > 0 durch positive Funktionen F i (x) ersetzt. Mit Hilfe solcher Gleichungen können realistischerer Hyperzyklenmodelle beschrieben werden.

42 Wettstreit disjunkter Hyperzyklen Lasst uns nun zusammenfassen, dass die Ursuppe n Typen von RNA Molekülen erreichen kann, die in verschiedenen disjunkten Hyperzyklen angeordnet sind. Dies kann durch eine Permutation π der Menge (1, 2,, n) beschrieben werden. Die Dynamik ist durch ẋ i = x i (k i x π(i) k j x j x π(j) ) (mit k i > 0 für i=1,...n) gegeben.

43 Wettstreit disjunkter Hyperzyklen Lasst uns nun zusammenfassen, dass die Ursuppe n Typen von RNA Molekülen erreichen kann, die in verschiedenen disjunkten Hyperzyklen angeordnet sind. Dies kann durch eine Permutation π der Menge (1, 2,, n) beschrieben werden. Jede Permutation kann sich in elementare Zyklen Γ 1,...Γ s zersetzen. Diese entsprechen den Hyperzyklen. Die Dynamik ist durch ẋ i = x i (k i x π(i) k j x j x π(j) ) (mit k i > 0 für i=1,...n) gegeben.

44 Wettstreit disjunkter Hyperzyklen Wenn π aus einzelnen Zyklen besteht, erreichen wir, bis auf Umordnung der Indizes, die gewohnte Hyperzyklusgleichung.

45 Wettstreit disjunkter Hyperzyklen Wenn π aus einzelnen Zyklen besteht, erreichen wir, bis auf Umordnung der Indizes, die gewohnte Hyperzyklusgleichung. Wenn der elementare Zyklus Γ j aus einem einzelnem Element i ( ein fester Punkt der Permutation π), dann ist M i ein autokatalytischer molekularer Typ. Wie im ersten Abschnitt können wir eine Transformation y i = k τ(i)x i j k τ(j)x j mit τ = π 1 durchführen und beseitigen somit die k i. Wieder erhalten wir dadurch einen stationären Punkt im Inneren von S n, der das Zentrum m genannt wird.

46 Bedeutung für unser Leben Durch die vorgestellte Theorie des Hyperzyklus lässt sich zunächst ableiten, dass es einen gemeinsamen Ursprung des Lebens geben müsse dieses Ursprungsereignis so selten war, dass es im Verlauf der Entwicklungsphase nur einmal erfolgte Proteine und Nukleotide wurden von Lipidmembranen eingeschlossen und die ersten Zellen bildeten sich. Allerdings ist die zweite Aussage sehr wahrscheinlich falsch, denn die Einzelereignisse sind eher häufig aufgetreten, so dass sie auch die Möglichkeit hatten sich auf mehrfache Arten zu kombinieren. Somit ist auch die Artenvielfalt erklärbar.

47 Zusammenfassung Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies?

48 Zusammenfassung Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Peptide wirken als Katalysatoren für komplexe Proteine aus Aminosäuren (molekulare Selbstorganisation) Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies?

49 Zusammenfassung Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Peptide wirken als Katalysatoren für komplexe Proteine aus Aminosäuren (molekulare Selbstorganisation) Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? aus der Replikatorgleichung ( folgt die Hyperzyklusgleichung: ẋ i = x i k i x i 1 ) n j=1 k jx j x j 1 Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies?

50 Zusammenfassung Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Peptide wirken als Katalysatoren für komplexe Proteine aus Aminosäuren (molekulare Selbstorganisation) Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? aus der Replikatorgleichung ( folgt die Hyperzyklusgleichung: ẋ i = x i k i x i 1 ) n j=1 k jx j x j 1 Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? kurze Hyperzyklen also n 4 sind stabil, längere Hyperzyklen sind instabil, was aber nicht heißt, dass sie nicht überlebensfähig wären. Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies?

51 Zusammenfassung Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Peptide wirken als Katalysatoren für komplexe Proteine aus Aminosäuren (molekulare Selbstorganisation) Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? aus der Replikatorgleichung ( folgt die Hyperzyklusgleichung: ẋ i = x i k i x i 1 ) n j=1 k jx j x j 1 Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? kurze Hyperzyklen also n 4 sind stabil, längere Hyperzyklen sind instabil, was aber nicht heißt, dass sie nicht überlebensfähig wären. Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies? Hyperzyklen sind permanent, dass heißt, dass jede am Hyperzyklus beteiligte Spezie immer vorhanden ist, wenn auch nur in geringer Menge.

52 Quellen- und Literaturangaben Bücher: Hofbauer J., Sigmund K. (1998). Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge University Press: Cambridge Eigen M (1985). Das Spiel - Naturgesetze steuern den Zufall. Piper-Verlag: München Internetquellen (letzter Zugriff: )

53 Vortrag: katalytische Hyperzyklen Lara Münster Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!! Ich wünsche euch schöne und erholsame Weihnachtsfeiertage!!

54 Fazit Was ist ein katalytischer Hyperzyklus? er beschreibt Wachstums- und Rückkopplungsfunktionen Theorie Manfred Eigen Peptide wirken als Katalysatoren für komplexe Proteine aus Aminosäuren (molekulare Selbstorganisation) Kann man Hyperzyklen mathematisch darstellen? aus der Replikatorgleichung ( folgt die Hyperzyklusgleichung: ẋ i = x i k i x i 1 ) n j=1 k jx j x j 1 Wann sind Hyperzyklen stabil? Und was bedeutet dies? kurze Hyperzyklen also n 4 sind stabil, längere Hyperzyklen sind instabil, was aber nicht heißt, dass sie nicht überlebensfähig wären. Ist ein Hyperzyklus permanent? Und was bedeutet dies? Hyperzyklen sind permanent, dass heißt, dass jede am Hyperzyklus beteiligte Spezie immer vorhanden ist, wenn auch nur in geringer Menge.