Englisch Französisch 13 7

Transkript

1 Der Binomialtest Beispiel 1 (fiktiv Aline möchte in ihrer Maturaarbeit herausfinden, ob die Schülerinnen an ihrer Schule lieber Englisch oder lieber Französisch lernen. Dazu wählt sie zufällig 20 Schülerinnen aus verschiedenen Klassenstufen aus ihrer Schule aus und fragt sie, welcher der beiden Fremdsprachen sie persönlich den Vorzug geben. Dies ergab folgende Zahlen: Englisch Französisch 13 7 Man könnten nun naiv behaupten, dass die Schülerinnen lieber Englisch als Französisch lernen. Für eine wissenschaftlich befriedigende Interpretation der Zahlen müssen wir aber etwas weiter ausholen. Begriffe Bei der kleinen Umfrage handelt es sich um eine Stichprobe vom Umfang n = 20. Die Schülerin beabsichtigt, die Schlussfolgerungen auf ihre Grundgesamtheit zu verallgemeinern. In ihrem Fall ist das die Menge der N = 250 Schülerinnen an ihrer Schule. Das interessierende Merkmal ist die bevorzugte Fremdsprache. Die Merkmalsträgerinnen sind Schülerinnen im Alter von 13 bis 18 Jahren. In der vorliegenden Situation hat das Merkmal die zwei Ausprägungen Englisch und Französisch. (Ein Merkmal mit genau zwei Ausprägungen wird dichotom genannt. Da diese Ausprägungen nur einen Vergleich auf (Un-Gleichheit erlauben, haben wir es mit einem nominalskalierten Merkmal zu tun. Aufgrund von persönlichen Gesprächen und von Berichten in den Medien vermutet Aline, dass Englisch bei ihren Kolleginnen beliebter ist. Aber lässt sich diese Behauptung durch die Daten ihrer Umfrage stützen? Weil ein Unterschied zwischen den Fremdsprachpräferenzen vermutet wird, spricht man von einer Unterschiedshypothese. Wenn zusätzlich eine Vermutung über die Richtung des Unterschieds gemacht wird ( Englisch ist beliebter als Französisch nennt man die Unterschiedshypothese gerichtet oder einseitig. Die Hypothesen Um das Problem rechnerisch zu erfassen, formuliert man zwei komplementäre Vermutungen (Hypothesen: Die Nullhypothese (H 0 : sie besagt, dass dass es den vermuteten Unterschied sei er nun ein- oder zweiseitig nicht gibt. Die Unterschiede in den Daten der Stichprobe sind zufälliger Natur. Die Alternativhypothese (H 1 : sie besagt, dass dass es den vermuteten Unterschied gibt. H 1 ist für einen Forscher in der Regel die interessantere Hypothese. 1

2 Wir werden zeigen, warum wir zunächst von der Gültigkeit der Nullhypothese ausgehen müssen, um dann vom Resultat dieser Analyse indirekt ein Aussage über die Alternativhypothese machen zu können. Zufallsstichproben Gegeben ist eine grossen Grundgesamtheit und ein dichotomes Merkmal, dessen zwei Ausprägungen gleich häufig vorkommen. Die Merkmalsträger sind hier symbolisch durch rote und weisse Kreise dargestellt. Zieht man aus dieser Menge eine Zufallsstichprobe, so erwartet man, dass sich etwa gleich viele rote und weisse Merkmalsträger darin befinden. S G Da wir in Bezug auf die Verhältnisse in der Grundgesamtheit im Dunkeln tappen (andernfalls wäre eine statistische Untersuchung unnötig, sind wir auf die Deutung unserer Stichprobe angewiesen. S Das obige Stichprobenergebnis lässt zwei Schlüsse in Bezug auf die unbekannte Grundgesamtheit zu: (a Die Nullhypothese ist falsch. Die Grundgesamtheit enthält offenbar mehr rote als weisse Objekte, was das Stichprobenergebnis mit den mehrheitlich roten Kreisen erklärt. S G 2

3 (b Die Nullhypothese ist richtig. Wir haben aber eine der seltenen Zufallsstichproben gezogen, die die Verhältnisse in der Grundgesamtheit verzerrt wiedergeben. G S Wenn es gelingt, die Wahrscheinlichkeit (den Grad der Seltenheit von Stichprobenresultaten zu bestimmen, kann man daraus eine Entscheidungsregel ableiten. Die Verteilung der Stichprobenresultate Wenn wir die Nullhypothese als gültig voraussetzen, besitzen wir eine Grundlage, um die Wahrscheinlichkeit von Stichprobenresultaten zu berechnen, da die zwei Ausprägungen zu jeweils 50% in der Grundgesamtheit vorkommen. (Selbst wenn die Alternativhypothese wahr sein sollte, so wüssten wir nicht, mit welchen Anteilen die beiden Ausprägungen in der Grundgesamtheit auftreten. Gehen wir von einer Stichprobe vom Umfang n = 6 aus, so sind folgende Ergebnisse möglich rote Objekte weisse Objekte Mit Hilfe der Kombinatorik kann die Anzahl der Möglichkeiten und damit die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, mit der sich in einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 6 genau r rote (bzw. w = n r weisse Objekte befinden: rot weiss Möglichkeiten Wahrscheinlichkeit ( = 1 1/64 = ( = 6 6/64 = ( 6 2 = 15 15/64 = ( 6 3 = 20 20/64 = ( 6 4 = 15 15/64 = ( 6 5 = 6 6/64 = ( = 1 1/64 = Summe 64 64/64 = 1 3

4 Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich als Balkendiagramm darstellen Der Verwerfungsbereich Die Menge aller äusseren Stichprobenresultate, die zusammen nicht mehr als 5% aller Möglichkeiten ausmachen, wird Verwerfungsbereich genannt. Diese Menge ist abhängig davon, ob man links-, rechts-, oder zweiseitig testet. Im vorliegenden Beispiel spielt das aber keine Rolle. Der willkürlich gewählte Wert von 5% ist das übliche Signifikanzniveau (α bei normalen statistischen Untersuchungen Die Entscheidungsregel Fällt das Ergebnis der Stichprobe in den Verwerfungsbereich, so lehnen wir die Nullhypothese zu Gunsten der Alternativhypothese auf dem Signifikanzniveau von α = 5% ab. Eine solche Stichprobe ist zu selten um mit der Nullhypothese im Einklang zu sein. Liegt das Ergebnis der Stichprobe ausserhalb des Verwerfungsbereichs, so behalten wir die Nullhypothese bei. Eine solche Stichprobe ist zu häufig, um im Widerspruch zur Nullhypothese zu stehen. Die Bestimmung des Verwerfungsbereichs Früher musste man den Verwerfungsbereich aus Tabellen mit den Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung ablesen. 4

5 ... n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9... x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = Die unterstrichenen Werte zeigen an, welche Werte von x für H 0 und α = 5% bei einem zweiseitigen Test innerhalb des Verwerfungsbereichs liegen; d. h. zusammen weniger als 5% der Gesamtwahrscheinlichkeit ausmachen. Der p-wert Mit dem Aufkommen leistungsfähiger Computer und Taschenrechner gewinnt ein einfacheres Konzept zur statistischen Beurteilung der Stichprobe an Bedeutung: Finden wir x Objekte derselben Ausprägung in einer Stichprobe vom Umfang n, so ist der p-wert die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die das beobachtete oder ein noch extremeres Resultat in Richtung der Alternativhypothese (links-, rechts- oder zweiseitig zeigen. Beispiel Es soll untersucht werden, ob eine von zwei Ausprägungen weniger oft vorkommt als die andere (einseitiger Test. In der Stichprobe vom Umfang n = 9 wurden x = 2 Merkmalsträger mit der interessierenden Ausprägung gezählt p-wert: } {{} + } {{} + } {{} = 0.09 x=0 x=1 x=2 Die Entscheidungsregel mit dem p-wert Der p-wert erleichtert die Entscheidung, indem nur noch ein Vergleich mit dem Signifikanzniveau α nötig ist. Ist der p-wert kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau α, so ist das beobachtete Stichprobenergebnis so selten, dass wir die Nullhypothese verwerfen. Ist der p-wert grösser als das Signifikanzniveau α, so ist das beobachtete Stichprobenergebnis keine ungewöhnliche Erscheinung. In diesem Fall behalten wir die 5

6 Nullhypothese bei. Der Binomialtest mit dem TI-84+ Der TI-84+ verfügt über ein ordentliches Arsenal an statistischen Testverfahren. Leider ist der Binomialtest nicht darunter. Der Binomialtest könnte klassisch mit Hilfe der binompdf(...-funktion für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung durchgeführt werden aber dies ist in Anbetracht der heute verfügbaren technischen Hilfsmittel zu mühsam. Alternativ könnte der 1-PropZTest durchgeführt werden, der die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert. Diese Näherung liefert in der vorliegenden Situation jedoch erst ab einer Stichprobengrössen von n > 36 brauchbare Resultate. Der Binomialtest mit R R ist ein frei verfügbares Statistikprogramm, mit sehr vielen Möglichkeiten. Es ist unter als Download für die gängigen Betriebssysteme verfügbar. Wer nur wenig Daten eingeben muss, und das ist beim Binomialtest der Fall, kann sich mit dem Rweb-Interface der Universität Lyon begnügen: Beispiel Nullhypothese (H 0 : An der Schule bevorzugen die Schülerinnen keine der Fremdsprachen Englisch und Französisch. Alternativhypothese (H 1 : An der Schule lernen die Schülerinnen lieber Englisch als Französisch. Signifikanzniveau: α = 0.05 Resultat der Umfrage: Englisch Französisch 13 7 Die Eingabe ins Rweb-Interface binom.test(x=13, n=20, p=0.5, alternative="greater" Die Eingabe erfolgt normalerweise im oberen Fenster. Vorher muss dort die Beispieleingabe gelöscht werden. Die Angabe p = 0.5 repräsentiert die Nullhypothese, dass jede Sprache eine Beliebtheit von 50% hat. Ohne Angabe wird als Signifikanzniveau automatisch α = 0.05 gewählt. 6

7 Die Ausgabe Exact binomial test data: 13 and 20 number of successes = 13, number of trials = 20, p-value = alternative hypothesis: true probability of success is greater than percent confidence interval: sample estimates: probability of success 0.65 Damit die Ausgabe nicht zu breit wird, wurde sie etwas umformatiert. Die Interpretation Exact binomial test data: 13 and 20 Name des Tests die Eingabedaten number of successes = 13 Statistiker bezeichnen die Anzahl der Merkmalsträger mit der interessierenden Merkmalsausprägung jeweils als Anzahl Erfolge. number of trials = 20 p-value = Der p-wert alternative hypothesis:... 50%; d. h. Englisch ist beliebter. Umfang der Stichprobe 95 percent confidence interval... ignorieren Die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit ist grösser als probability of success 0.65 Die Schätzung der Erfolgswahrscheinlichkeit: 13/20 = 0.65 Die Entscheidung Der p-wert von besagt, dass auf der Grundlage der Nullhypothese das vorliegende Ergebnis oder ein extremeres, wie x = 2, x = 1 oder x = 0, in von 100 Fällen beobachtet wird. Dies ist mehr als 5% und steht folglich nicht im Widerspruch zur Nullhypothese. Also muss Aline die Nullhypothese H 0 beibehalten: Auf dem Signifikanzniveau von α = 5% gibt aus statistischer Sicht keine Anhaltspunkte, dass die Schülerinnen der Schule lieber Englisch als Französisch lernen. Achtung: Das Signifikanzniveau α muss vor der Auswertung des Experiments festgelegt werden und es ist nicht erlaubt, α nachträglich zu erhöhen, um ein signifikantes Resultat zu erzwingen. 7

8 Aufgabe Es wird vermutet, dass Hauskatzen eine von zwei Futtersorten (A und B bevorzugen. Es gibt jedoch keine Anhaltspunkte, welche der beiden Sorten bevorzugt wird. Für einen Versuch wurden 30 Hauskatzen zufällig ausgewählt. Jede der Katzen wurde vor die Wahl gestellt, sich für eine der beiden Futtersorten zu entscheiden. Am Ende haben sich 6 Katzen für Futter A und 22 Katzen für Futter B entschieden. Eine Katze wollte gar nichts probieren und eine andere hat von beiden Futtersorten gegessen. (a Formuliere die beiden Hypothesen für die vorliegende Vermutung. (b Gib an, ob hier ein- oder zweiseitig getestet werden soll. (c Führe den Test mit Hilfe der Rweb-Schnittstelle durch. (d Welche Entscheidung ist aufgrund der Auswertung des Experiments zu treffen? Begründe die Antwort. Hinweise Vermutetet man in H 1, dass die Anzahl Erfolge grösser als p = 0.5 ist, so lautet der Eingabeparameter in R: alternative="greater" Vermutetet man in H 1, dass die Anzahl Erfolge kleiner als p = 0.5 ist, so lautet der Eingabeparameter in R: alternative="less" Vermutetet man in H 1, dass die Anzahl Erfolge kleiner oder grösser als p = 0.5 ist, so lautet der Eingabeparameter in R: alternative="two.sided" 8