Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)

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1 HT Dresden FB Elektrotechnik Grulagen der Elektrotechnik H. euorf \drephae1.doc //_98_01_0 Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem) 1. Spannungen Die in den drei räumlich gegenseitig um 120 versetzt angeordneten Strängen, V, eines Drehstromgenerators erzeugten Spannungen ( Strangspannungen ) (Bild 1a) u = ϕ - ϕ = u $ sin ωt 1 2 uv = ϕv - ϕv = u $ 2π 1 2 V sin ωt - (1) Ł ł u = ϕ - ϕ = u $ 1 2 sin ωt - Ł bilden ein symmetrisches Dreiphasensystem, wenn ihre Amplituden gleich si u $ = u $ = u $ 4 π ł u v w u ihre gegenseitige Phasenverschiebung 2 π beträgt (Bild 1b). Die Spannungszeiger $, $, $ u u u u v w bzw. u, v, w bilden dann einen symmetrischen Stern (Bild 1c). Prinzip des Dreiphasengenerators Linieiagramm der Strangspannungen u u u V u eigerdiagramm der Strangspannungen $u 2 π 0 π 2π ωt 2π 2 π $u $u V - 2 π - 4 π h Bild 1 a) b) c) Entstehung des dreiphasigen Spannungssystems (Dreiphasensystem) eil bei der Speisung von drei räumlich um 2 π versetzten Spulen mit diesem Spannungssystem ein drehees Magnetfeld (Drehfeld) erzeugt werden kann, ist auch die Bezeichnung: Drehstrom gebräuchlich. Die Erzeugung eines rotiereen magnetischen Drehfeldes mit Hilfe eines dreiphasigen Spannungssystems ist die Funktionsgrulage aller Drehfeldmaschinen (Motoren wie Generatoren). enn in einer Drehfeldmaschine p symmetrische dreiphasige Spulensysteme angeordnet si, ergibt sich bei der Frequenz f des speiseen Dreiphasensystems die inkelgeschwiigkeit Ω : Ω = 2π f f u die Drehzahl n: n = 60 in /min. (2) p p Daraus folgen die gängigen Synchrorehzahlen der Drehfeldmaschinen bei Speisung aus dem 50Hz- etz: Polpaarzahl p: Synchrorehzahl n: in /min Die drei Stränge, V, können unverkettet einzelne Verbraucher speisen: Offenes Dreiphasensystem (Bild 2a) (ist von untergeordneter technischer Bedeutung) oder zwecks Einsparung von zwei bzw. drei Leitern miteinaer verbuen (verkettet) sein : Verkettetes Dreiphasensystem : Staard der öffentlichen Energieversorgungsnetze.

2 2. Das verkettete Dreiphasensystem dbox2\drephae2.doc // Bezezeichnungen von Spulenanschlüssen, Leitern u Formelzeichen: DI Die drei Stränge können auf zwei prinzipielle eisen miteinaer verbuen (verkettet) werden: Alle Strangeen (2,, 2) zum Sternpunkt verbuen: Sternschaltung (Bild 2b) oder im Phasenfolge-Sinn jeweils Strangee mit Stranganfang ( 2-, -, 2-1) zur Ringschaltung verbuen: Dreieckschaltung (Bild 2c) V 1 V h Bild 2 2a) unverkettetes 2b) Stränge in 2c) Dreickschaltung der Stränge Dreiphasensystem Sternschaltung verkettet mit Dreileiter-etz 2.1.Sternschaltung An dem gemeinsamen Sternpunkt kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter (eutraler Leiter ) angeschlossen werden (Bild 2b). Die Sternschaltung mit neutralem Leiter bildet das universelle Vierleiternetz des öffentlichen Energieverteilungssystems mit den Leiterbezeichnungen der Außenleiter,,, (Bild ). Die Leiterbezeichnungen R, S, T, Mp si nicht mehr gebräuchlich! 1 V (1) Bild a Bild b Spannungssysteme des Vierleiternetzes o 12 0 o () 2 () 2 () Das Vierleiternetz (Bild a) bietet zwei Spannungssysteme mit insgesamt sechs in Betrag u Phase verschiedenen Spannungen (Bild b): 1. Das Dreiphasensystem der Sternspannungen (Außenleiterspnngn. gegen ) :,, 1 2 Es ist jeweils eine Sternspannung Y gleich einer Strangspannung str : () = = = = 2 = V = = = = enn Verwechslung ausgeschlossen ist, kann 1 für 1, 2 für 2, für geschrieben werden.

3 - - dbox\drephae.doc // 2. Das Dreiphasensystem der Außenleiterspannungen ( verkettete Spannungen, Dreieckspannung) Die Spannung zwischen den Außenleitern -- eines Dreiphasensystems wird Dreieckspannung genannt. Aus dem eigerbild (Bild b) ist die Bildung der drei Außenleiterspannungen zwischen jeweils zwei Strang-Anfängen ersichtlich. egen der Übereinstimmung der Sternspannungen mit den Strangspannungen ( Gl(): 1 = ; 2 = V ; = ) folgt: 12 = - V 2 = V - 1 = - (4) Für die Beträge der Dreickspannung u der Sternspannung Y ergibt sich aus den inkelbeziehungen 12 = 2 cos 0 = o (5) Allgemein gilt für jeden Strang: = Strang = Y (6) ir werden fortan im Verbraucher-etz die Sternspannungen oder die Leiterspannungen (Dreieckspannungen) verween. Als ennspannung des Dreiphasennetzes ist die Dreieckspannung vereinbart. ( 400V-etz heißt: Dreieckspannung = 400 V, Sternspannung Y = 20 V ) In Bezug auf den hier gleich ull gewählten ullphasenwinkel der Spannung 1 = 1 = (Bild b) folgen aus der Verweung der ennspannung die komplexen Stern- u Dreieckspannungen: Sternspannungen Dreieckspannungen 1 = 0 12 = 0 2 = = - 90 (7a) (7b) 1 = = Dreieckschaltung des Erzeugers Bei Dreieckschaltung der Erzeugerstränge steht nur ein symmetrisches Spannungssystem mit drei um ebenfalls 120 gegeneiaer verschobenen Spannungen an den Außenleitern zur Verfügung. Dabei gilt: Außenleiterspannung = Strangspannung = Dreieckspannung Legt man wieder die Strangspannung in die reelle Achse, 1 12 ergibt sich das Spannungssystem der Dreieckspannungen: V 2 (8) Bild 4a Bild 4b Bild 4 Erzeuger in Dreieckschaltung 1 12 = = = V = = = ach dem Maschensatz muß die Summe der Strangspannungen u damit auch der Außenleiterspannungen gleich ull sein. Die eiger der Spannungen bilden ein symmetrisches Dreieck (Bild 4b). Im Gegensatz zur Sternschaltung des Erzeugers steht hier ein Sternpunkt für den Anschluß eines neutralen Leiters nicht zur Verfügung (Dreileiternetz). 2

4 . Das Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung dbox5\drephae4.doc //.1 Strangströme u Außenleiterströme bei Sternschaltung u bei Dreieckschaltung Die Relationen der Ströme in den Außenleitern u in den Strängen treten in Erzeuger u Verbraucher gleichermaßen auf. Eine Belastung heißt symmetrisch, wenn der komplexe idersta der drei Belastungsstränge gleich ist (Bild 5a auf Seite 5). ir nehmen den Erzeuger als ideale, symmetrische dreiphasige Spannungsquelle an. Im Bild 5a si zusammengefaßt die Anschlüsse eines symmetrischen Verbrauchers in Sternschaltung u daneben eines Verbrauchers in Dreieckschaltung an ein symmetrisches Vierleiternetz dargestellt. Darunter si im Bild 5b jeweils die eigerdiagramme der Strangspannungen u der Strangströme bei symmetrischer Belastung gezeichnet. Die usammenhänge zwischen den Strangströmen u den (Außen-)Leiterströmen bei Sternschaltung u bei Dreieckschaltung si aus den eigerdiagrammen im Bild 5c ersichtlich.. Hierzu die Erläuterung:.1.1 Sternschaltung des Verbrauchers An jedem Verbraucherstrang liegt die Sternspannung des etzes (Bild 5a, links). Den eiger der Sternspannung 1 = 1 = legen wir wieder in die reelle Achse (Bild 5b). Mit dem in allen Strängen gleichen komplexen idersta des symmetrischen Verbrauchers folgt gemäß Bild 5a u b unter Verweung von Gln (8) für die Strangströme, die hier gleich den Außenleiterströmen si: = = 0 I1 = = - ϕ (9) I2 = = = (-120 -ϕ ) I1 = - ϕ I 1 2 = I1-120 I = = = I1-240 I = I1-240 Bei symmetrischer Belastung bilden auch die Strangströme wegen der jeweils gleichen Phasenverschiebung von 120 ein symmetrisches Dreieck mit den Effektivwerten Y I1 = I2 = I = IY = = Infolgedessen ist der Summenstrom I im neutralen Leiter ull (Bild 5c): (10) I = I1 + I 2 + I = 0 (11) Demnach genügt es, den Strom nur für einen Strang zu berechnen. Die Ströme der beiden aeren Stränge ergeben sich durch Multiplikation des eigers des ersten Stromes mit dem = 2π Drehoperator a e j = cos120 j sin120 = 0, 5 j (12) ur bei unsymmetrischer Belastung ergänzen sich die Strangströme nicht zu ull, u es fließt im neutralen Leiter ein Strom I = I1 + I 2 + I (1)

5 Ströme im Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung S. 5 dbox5\drephae5.doc Vierleiternetz V Erzeuger/ Transformator I I I 1 I I 1 a) Anschluß u Schaltung der Verbraucher Verbraucher Verbraucher in Sternschaltung 2 1 I 1 I Verbraucher in Dreiecksch. b) Strangspannungen u Strangströme ϕ I 1 1 ϕ 2 I I 1 (1) (2) ϕ 0 o 1 (2) I 1 I 12 () 2 ϕ ϕ h () () c) Strang- u Leiterströme I 12 -I2 I I 1 I I 1 I1 120 Strangstrom = Leiterstrom Dreieck der Strangströme I2 I2 0 I I12 -I1 Bild 5 h Strangströme u Leiterströme bei symmetrischer Belastung Bildung der Leiterströme I 1,, I I1

6 .1.2 Dreieckschaltung des Verbrauchers dbox5\drephae6.doc // Bei der Dreieckschaltung liegen an den Strängen des Verbrauchers die Dreieckspannungen 12, 2, 1 des Drehstromnetzes (Bild 5a). Aus den Dreieckspannungen gemäß Gln (7b) folgen die Strangströme in Analogie zu Gln (9). Mit I = = ( 0 - ϕ ) = I12 ( 0 -ϕ ) (14) bei symmetriebedingter Gleichheit der Effektivwerte der Strangströme I12 = I2 = I1 = I = = (15) folgt I12 = I ( 0 -ϕ ) I2 = I ( ϕ ) I1 = I ( ϕ ) (16) Diese im Bild 5b in Bezug zu den Strangspannungen eingetragenen eiger der Strangströme (I 12,...) des Verbrauchers müssen sich wegen des fehleen Sternpunktleiters in jedem Belastungsfall zu einem Dreieck schließen (Bild 5c Mitte). Die Außenleiterströme folgen aus dem Knotensatz an den Anschlußklemmen (Bild 5a): I 1 = I 12 - I 1 = - I 12 I = I 1 - (17) Aus den inkelbeziehungen der Strang- u Außenleiterströme in Bild 5c folgt die Beziehung zwischen den Effektivwerten von Strang- u Außenleiterströmen bei Dreieckschaltung: I = 2 I cos 0 = I (18) Die Außenleiterströme eines in Dreieck geschalteten Verbrauchers si mal so groß wie die Strangströme! ird derselbe symmetrische Verbraucher einmal in Sternschaltung u einmal in Dreieckschaltung seiner Stränge an das gleiche Drehstromnetz angeschlossen (wie z. B. in Bild 6), dann erhöht sich der Leiterstrom bei Dreieckschaltung gemäß den Gln. (19),(20) um den Faktor! Sternschaltung des Verbrauchers: Y I = IY = = (19) Dreieckschaltung : (20) Y Y I = I = = = = IY Das Verhältnis der Leiterströme: ILeiter = (20a) I Leiter Y Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Stern-Dreieck-Anlauf von Drehstrom-Asynchronmotoren zur Reduzierung der infolge der großen Anlaufströme (ca. 6 I enn ) bedingten etzbelastung genutzt Lage der Anschlußlkemmen u Schaltbrücken im Klemmenkasten eines Drehstrommotors Bild 6

7 - 7 - \dbox5\drephae7.doc //.2. Die Leistung im Dreiphasensystem Die Leistung in einem Dreiphasensystem ergibt sich aus der Summe der Leistungen in den Strängen (folge Iex Str für Stranggrößen). irkleistung eines Stranges: PStr = Str IStr cos ϕ Str (21) Gesamtleistung der drei Stränge bei symmetrischer Belastung P = P Str (I 1Str = Str = I Str, ): P = P = I cos ϕ (22) Str Str Str Mit den abgeleiteten Beziehungen zwischen Strang- u Leitergrößen bei Stern- u bei Dreieckschaltung (Bild 5 b u c) Sternschaltung Dreieckschaltung = = Str Str I = I Str I = I Str (2) ergibt sich für die Berechnung der Gesamtleistung aus den meßbaren Leitergrößen u I für die Sternschaltung P = I cosϕ = I cos ϕ (24) für die Dreieckschaltung P = I cos ϕ = I cos ϕ. Diese Übereinstimmung der Leistungsberechnung für Stern- u Dreieckschaltung besteht auch für die Scheinleistung u für die Blileistung im Dreiphasensystem: irkleistung: P = I cos ϕ (25) Blileistung: Q = I sin ϕ (26) Scheinleistung S = I S = P + Q (27) 2 2 P Leistungsfaktor λ = cos ϕ = S (28) Berechnungshinweis für Stromaufnahme eines Drehstrommotors: Leistungsangabe (auch P auf Typenschild) ist stets abgegebene (mechanische) Leistung. Pab Deshalb: P = (29) η el daraus Pel I = (0) cosϕ Richtwerte: cos ϕ 0, 7 K 0, 9 ; irkungsgrade η 0,7...0,96 im Bereich der ennleistung (kleine erte für P 0,5 k, die großen erte für P 1000 k).

8 . Leistungsmessung im Drehstromsystem drephae8.doc // Gemessen wird in der Regel die irkleistung. irkleistungsmessung im Vierleiternetz nabhängig davon, ob der Sternpunkt des Verbrauchers mit dem eutralen Leiter verbuen ist oder nicht, ergibt sich die vom Verbraucher aufgenommene irkleistung aus der Summe der von den attmetern angezeigten Einzelleistungen: P = P 1 +P 2 +P P 1 I 1 Verbraucher 1 P P I 2 (Sternpunkt) Bild 7 irkleistungsmessung imvierleiternetz irkleistungsmessung im Dreileiternetz egen des nichtangeschlossenen Sternpunktes ist im Dreileiternetz zwangsweise I I = 0. nter dieser Voraussetzung erhält man die vom Verbraucher aufgenommene gesamte irkleistung aus den in der Aronschaltung (Bild 8) von den zwei attmetern angezeigten Leistungen P 1 u P 2 : P 1 I 1 Verbraucher 1 P = P 1 + P 2 (2) P I 2 Bild 8 irkleistungsmessung am Dreileiternetz Aronschaltung (weiwattmeter-methode) 4. Anschluß von drei- u einphasigen Verbrauchern an das Vierleiternetz Im Bild 9 si die gebräuchlichen Anschlußmöglichkeiten von einphasigen u dreiphasigen Verbrauchern an das Drehstrom-Vierleiternetz angegeben. Die Anschlußbilder si ohne die erforderlichen Schalt- u Schutzeinrichtungen gezeichnet!! PE PE Schutzleiter PE 1 V M 1 M 1 2 Dreileitersystem mit Schutzleiter für einphasige Verbraucher Drehstrommotor 400 Einphasenmotor 20 Lampen 20 V Kleine Heizgeräte, etzanschluß für Heimelektronik, PC u aere einphasige Schuko- Steckdose Bild 9: Anschluß von dreiphasigen u einphasigen Verbrauchern an das Drehstromnetz