Nichtlineare Schrödingergleichung. Kyle Poland und Alexander Hahn
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- Lothar Busch
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1 Nichtlineare Schrödingergleichung Kyle Poland und Alexander Hahn
2 Inhalt Allgemeines Herleitung & Bedeutung Lösungsmethodik Solitonenlösungen Self-Phase Modulation / Kerr-Effekt Anwendungen Ginzburg-Landau-Gleichung Gross-Pitaevskii-Gleichung
3 0= i( x + 1 t t + Allgemeines nichtlinear: Eingangssignal Ausgangssignal f(u + v 6= f(u+f(v kubische Nichtlinearität integrabel in 1D viele verschiedene Lösungen Kyle Poland, Alexander Hahn
4 0= i( x + 1 t t + Allgemeines 1950 Ginzburg-Landau t =(1+i x + (1 + i 1964 Ciao & Talanov: Selbstfokussierung Propagation nichtlineare Medien Kyle Poland, Alexander Hahn
5 0= i( x + 1 t t + Herleitung & Bedeutung nichtlineares Medium mit Störung (x, t (x, t = e ikx it Nichtlinearität in Amplitude (x, t = (x, te i(k 0x 0 t Kyle Poland, Alexander Hahn
6 0= i( x + 1 t t + Herleitung & Bedeutung Koeffizientenvergleich: e ikx it = (x, te i(k 0x 0 t (x, t = e i[(k k 0x ( 0 t] um entwickeln und einsetzen: k 0 0= i( x + 1 t t + Kyle Poland, Alexander Hahn
7 0= i( x + 1 t t + Herleitung & Bedeutung 0= i( x + 1 t t + mit: Gruppengeschwindigkeit Dispersionskoeffizient Nichtlinearität = k = k = Kyle Poland, Alexander Hahn
8 0= i( x + 1 t t + Herleitung & Bedeutung viele exakte & explizite Lösungen Präzise Vorhersagen Dissipation Dispersion Nichtlinearität Kyle Poland, Alexander Hahn
9 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Inverse Streumethode Kyle Poland, Alexander Hahn
10 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Numerische Methoden Räumliche Entwicklung Zeitliche Entwicklung Kyle Poland, Alexander Hahn
11 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Räumliche Entwicklung Aufteilen: Linear - Nichtlinear Lösungen fouriertransformieren kombinieren Rücktransformieren (x +dx, t Kyle Poland, Alexander Hahn
12 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Zeitliche Entwicklung Aufteilen: Linear - Nichtlinear Als Operatoren ausdrücken - bd b N Wellenansatz: (x, t =e it( b D+ b N (x, 0 Kyle Poland, Alexander Hahn
13 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Zeitliche Entwicklung Aus Wellenansatz: (x, t =e it( b D+ b N (x, 0 kleines Zeitintervall dt (x, t +dt e i dt( b D+ b N (x, t Kyle Poland, Alexander Hahn
14 0= i( x + 1 t t + Lösungsmethodik Zeitliche Entwicklung Fouriertransformieren Raumableitung Wellenzahl Rücktransformieren (x, t +dt Kyle Poland, Alexander Hahn
15 0= i( x + 1 t t + Solitonenlösungen Solitonen: formstabiler Wellenzug nichtlineare Effekte allgemeine Form: 0= i( x + 1 t t + Kyle Poland, Alexander Hahn
16 0= i( x + 1 t t + Solitonenlösungen 0= i( x + 1 t {z } gewöhnliche SG t {z } Dispersion. Art + {z } Nichtlinearität Substitution: (z,t (z,t mitt = t z Kyle Poland, Alexander Hahn
17 0= i( x + 1 t t + Solitonenlösungen 0= i( x + 1 t t + Suche Solitonenlösungen: (z,t ' E 0 (T e i (z (T Form Gaußkurve (Einhüllende Kyle Poland, Alexander Hahn
18 0= i( x + 1 t t + Solitonenlösungen 0= i x T + Suche Solitonenlösungen: (z,t ' E 0 (T e i (z (T Form Gaußkurve (Einhüllende Kyle Poland, Alexander Hahn
19 0= i( x + 1 t t + Self-Phase Modulation Vereinfachter Fall: Dispersion = 0 keine Solitonen 0= i Nachrechnen: x + :=R(z,T R R = x =0 Kyle Poland, Alexander Hahn
20 0= i( x + 1 t t + Self-Phase Modulation nicht ortsabhängig (z,t =f0(t e i (z,t Einsetzen in DGL orts- und zeitabhängig (z,t =f 0 (T e i f 0(T z Kyle Poland, Alexander Hahn
21 0= i( x + 1 t t + Kerr-Effekt Brechungsindex für hohe Intensitäten n n(i intensitätsabhängige Phasengeschwindigkeit symmetrische Frequenzaufspaltung Kyle Poland, Alexander Hahn
22 0= i( x + 1 t t + Kerr-Effekt Kyle Poland, Alexander Hahn
23 0= i( x + 1 t t + Anwendungen Supraleiter: Ginzburg Landau Bose-Einstein-Kondensat: Gross- Pitaevski Schwerewellen Plama-Oszillation -Helix Strahlung Ionosphäre Kyle Poland, Alexander Hahn
24 0= i( x + 1 t t + Anwendungen universal: Wellenpakete in nichtlinearen Medien Kyle Poland, Alexander Hahn
25 0= i( x + 1 t t + Ginzburg-Landau t =(1+i x + (1 + i Supraleiter + Suprafluide Supraleiter: kein elektrischer Widerstand Suprafluide: Flüssigkeit ohne innere Reibung, unendlich hohe Wärmeleitfähigkeit, keine Entropie Kyle Poland, Alexander Hahn
26 0= i( x + 1 t t + Ginzburg-Landau t =(1+i x + (1 + i Lösung für Supraleiter mit Ansatz: (s = A cosh 1 m (Bs q(x, t = A e i( applex+t+ cosh 1 m [B(x vt] Kyle Poland, Alexander Hahn
27 0= i( x + 1 t t + Gross-Pitaevskii i t = 1 x +V (x + Aus Ginzburg-Landau für elektrisch neutrale Teilchen Bose-Einstein-Kondensat Bose-Einstein Statistik: n(e = 1 exp( E kt 1 Kyle Poland, Alexander Hahn
28 0= i( x + 1 t t + Gross-Pitaevskii i t = 1 x +V (x + Was passiert für T 0? n(e 1 exp( E Zusätzlich: E 0 n(e 1 exp( Kyle Poland, Alexander Hahn
29 0= i( x + 1 t t + Gross-Pitaevskii i t = 1 x +V (x + Alle Bosonen im Grundzustand ununterscheidbar: ein Superteilchen Aggregatzustand makroskopischer Quanteneffekt Kyle Poland, Alexander Hahn
30 0= i( x + 1 t t + Gross-Pitaevskii i t = 1 x +V (x + Lösung für Solitonen: q(x, t / 1 cosh(f(x, t ef(x,t Materiewellenpakete aus delokalisierten Atomen Kyle Poland, Alexander Hahn
31 0= i( x + 1 t t + Gross-Pitaevskii i t = 1 x +V (x + Forschung an LUH: Schwerefeld Erde Überprüfung Äquivalenzprinzip Kyle Poland, Alexander Hahn
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