Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /04/19 15:02:00 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln.

Transkript

1 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 $Id: dreiek.tex,v /04/19 15:02:00 k Ex $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserenung mit Seiten und Winkeln Wie m Ende der letzten Sitzung ngekündigt wollen wir den Cosinusstz eweisen, dieser wird si ls eines der entseidenden Hilfsmittel der Dreiekserenung erusstellen. In Worten esgt dieser, dss in einem jeden Dreiek ds Qudrt einer Seite glei der Summe der Qudrte der eiden nderen Seiten minus ds doelte des Produkts us den eiden nderen Seiten und dem Cosinus des von diesen eingeslossenen Winkels ist. Stz 1.4 Der Cosinusstz) Sei ein Dreik mit Seiten,, und Winkeln, β, γ in der Stndrdezeinung. Dnn sind 2 = os, 2 = os β, 2 = os γ. Beweis: Es reit us etw die erste dieser Gleiungen zu eweisen, die nderen eiden geen us dieser dur Umezeinungen ervor. Liegt dei in ein reter Winkel vor, lso = π/2, so ist os = 0 und unsere Beutung wird zum Stz des Pytgors Stz 1. Wir können lso nnemen ds in kein reter Winkel ist, d.. π/2. Nun können drei versiedene Fälle uftreten. Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist in ein sitzer Winkel, lso 0 < < π/2 und die links oen eingezeinete Höe liegt innerl des Dreieks. In retwinkligen Dreiek links von liefert der Stz des Pytgors Stz 1 zunäst 2 = 2 + 2, woei der dur die Höe geildete Asnitt der Dreieksseite AB ist, und dmit 2 = 2 2. Außerdem entnemen wir diesem retwinkligen Dreiek no die Bezieung os =, lso = os. 3-1

2 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 Eine weitere Anwendung des Stzes von Pytgors Stz 1 diesml im Dreiek rets von liefert 2 = 2 + ) 2 = ) 2 = = os. Dmit ist der Cosinusstz in diesem Fll ewiesen und die nderen eiden Fälle sind eine Üungsufge. Ausgerüstet mit dem Cosinusstz können wir jetzt die erste Vrinte einer Dreiekserenung durfüren, nämli die Dreiekserenung ei drei gegeenen Seiten. Hierei tritt kein Eindeutigkeitsrolem uf, d wir die Kongruenz von Dreieken j gerde dur die Gleieit der Seiten definiert en, er ein Existenzrolem. Zu elieig vorgegeenen,, > 0 muss es keinesflls ein Dreiek mit diesen Seitenlänge geen, denn wie wir glei seen werden ist in einem Dreiek die Länge einer jeden Seite et kleiner ls die Summe der Längen der eiden nderen Seiten. Dies ist gerde die Dreieksungleiung in irer ursrünglien, nmensgeenden Gestlt. Stz 1.5 Dreiekserenung ei gegeenen Seiten) Seien,, > 0 gegeen. Genu dnn existiert ein Dreiek mit den Seitenlängen,, wenn die Dreieksungleiungen < +, < + und < + erfüllt sind. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und die Winkel in sind in den Stndrdezeinungen gegeen dur ) = ros, 2 ) β = ros, 2 ) γ = ros. 2 Beweis: Für sitze Winkel 0 < < π/2 ist direkt n Definition 0 < os < 1, lso gilt für elieiges 0 < < π stets 1 < os < 1. Git es nun ein Dreiek mit Seitenlängen,, und Winkeln, β, γ, so ergit der Cosinusstz Stz 4 2 = os < = + ) 2, lso < +. Anlog ergeen si < + und < +, unsere Bedingungen sind lso notwendig für die Existenz eines Dreieks mit den Seitenlängen,,. Sei nun umgekert die Dreieksungleiung erfüllt. N eventueller Umenennung können wir, nnemen. Wäle dnn eine Streke AB der Länge und ilde den Kreis K mit Mittelunkt A 3-2

3 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 und Rdius sowie den Kreis L mit Mittelunkt B und Rdius. Wegen, und < + sneiden si K und L ußerl von AB und ezeinet C einen der eiden Snittunkte, so ist ABC ein Dreiek mit den Seitenlängen,,. K L A B Dmit en wir die Existenzussge ewiesen. Die Eindeutigkeitsussge ist, wie son oen festgelten, klr und die Formeln für die drei Winkel folgen us dem Cosinusstz Stz 4. Die effektive Konstruktion eines Dreieks ei gegeenen,, ist jetzt u leit mögli. Wollen wir dies mit dem Geodreik tun, so erenen wir zunäst den Winkel gemäß der oigen Formel und trgen dnn Streken AB und AC der Längen und im Winkel zueinnder. Dies git uns ds gesute Dreiek. Die Konstruktion mit Zirkel und Linel wurde im Beweis vorgefürt, mn zeinet die eiden esrieenen Kreise K und L mit dem Zirkel ein und wält dnn einen der eiden entsteenden Snittunkte. Wir suen uns no zwei exlizite Beisiele zum een ewiesenen Stz n. 1. Seien = 6, = 3 und = 2. Um zu suen o es ein Dreik mit diesen Seitenlängen git müssen wir die Dreieksungleiung üerrüfen. Diese ist ier er wegen = 6 > = + offensitli verletzt, es git lso kein Dreiek mit diesen Seitenlängen. 2. Nun seien = 4, = 2, = 3. Diesml sind die Dreieksungleiungen erfüllt, es reit j offenr diese für die längste Seite zu verifizieren und ier en wir = 4 < 2+3 = +. Es git lso ein Dreiek mit diesen Seitenlängen. Die Winkel 3-3

4 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 in diesem Dreiek ergeen si jeweils uf zwei Nkommstellen gerundet ls = ros = ros 1 ) 104, 48, 12 4 β = ros = ros , 96, γ = ros = ros , 57. Mn nennt den een ewiesenen Stz 5 u den Kongruenzstz SSS, ws für Seite Seite Seite stet. Wir kommen nun zum nästen Ty von Konstruktionufgen ei dem zwei Seiten und ein Winkel vorgegeen sind. Hier git es zwei möglie Fälle, entweder ist der Winkel der von den eiden Seiten eingeslossene Winkel oder einer der eiden nderen Winkel. Im ersten Fll srit mn vom Kongruenzstz SWS, für Seite Winkel Seite, und im zweiten Fll vom Kongruenzstz SSW für Seite Seite Winkel. Diese eiden Fälle unterseiden si ret deutli voneinnder und wir eginnen mit dem komlizierteren der eiden, dies ist der SSW-Stz. Angenommen wir wollen in den Stndrdezeinungen die eiden Seiten, und den Winkel β vorgeen. Dnn trgen wir zunäst eine Streke AB der Länge. Der Winkel β git uns einen Hlstrl H vor uf dem der dritte Ekunkt C des gesuten Dreieks liegen muss und die Länge git einen Kreis K mit Rdius und Mittelunkt A uf dem C liegen muss. Der gesute dritte Punkt C ist lso ein Snittunkt der Hlgerden H mit dem Kreis K. Eine Hlgerde sneidet einen Kreis in entweder keinem, in genu einem oder in zwei Punkten, und diese drei Möglikeiten füren uf versiedene Fälle. C A β B A β B Fll < Fll > Es können drei versiedene Fälle uftreten. Ist < so sind wir in der links gezeigten Sitution, K ist entweder so klein ds er von H verfelt wird oder so groß ds er von H glei zweiml getroffen wird. Im ersten Fll git es dnn üerut kein Dreiek mit den vorgegeenen Werten und im zweiten Fll git es genu zwei nit kongruente und ssende Dreieke. Eine eindeutige Lösung git es nur in dem Rndfll ds H tngentil n K ist. Dnn ist im Snittunkt C ein reter Winkel γ = π/2 und somit muss 3-4

5 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 / = sin β sein. Im rets gezeigten Fll > ist dgegen lles unrolemtis, der Hlstrl H trifft den Kreis K in genu einem Punkt C und wir en die eindeutige Lösung ABC. Im nit gezeigten Ausrtungsfll = git es dgegen für β < π/2 eine eindeutige Lösung wärend die Aufge für β π/2 nit lösr ist. Dmit ist uns die Sitution zumindest qulittiv klr. Wir wollen uns uf den Hutfll > esränken und diesen im folgenden Stz endeln. Stz 1.6 Dreiekserenung ei zwei Seiten und einem äußeren Winkel) Seien > > 0 und ein Winkel 0 < β < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek = ABC mit AC = und AB = dessen Winkel ei B glei β ist. In den Stndrdezeiungen en wir dnn = os β sin 2 β, sin 2 β os β ) = ros 2 2 sin 2 β, sin 2 β os β ) γ = π β ros 2 2 sin 2 β. Beweis: Wir eginnen mit der Existenzussge. Wäle einen Punkt A und ilde den Kreis K mit Mittelunkt A und Rdius. Weiter trge eine Streke AB der Länge AB =. Wegen < liegt B innerl des Kreises K. Trge weiter eine von B usgeende Hlgerde H im Winkel β zu AB. D der Ausgngsunkt B von H innerl des Kreises K liegt, sneiden H und K si in einem Punkt C. Dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und AC = d der Rdius von K ist. Außerdem ist der Winkel dieses Dreieks ei B gerde der Winkel zwisen AB und H lso β. Sei jetzt umgekert ABC ein Dreiek mit AB =, AC = und Winkel β ei B. In den Stndrdezeinungen liefert der Cosinusstz Stz 4 2 = os β, lso 2 2 os β = 0 Dies ist eine qudrtise Gleiung für und wir erlten = os β ± 2 os 2 β = os β ± 2 2 sin 2 β. Dss sin 2 β + os 2 β = 1 gilt tten wir dei in der letzten Sitzung eingeseen d der Punkt os β, sin β) uf dem Kreis mit Rdius 1 und Mittelunkt in 0, 0) liegt. Wegen > ist u 2 2 sin 2 β > 2 2 sin 2 β = 2 os 2 β, lso 2 2 sin 2 β > os β und dmit ist = os β sin 2 β. Dies eweist zum einen die Berenungsformel für und zum nderen ist dur,, β festgelegt, lso ist ds Dreiek ABC is uf 3-5

6 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 Kongruenz eindeutig festgelegt. Weiter en wir und n Stz 5 gelten = 22 2 os β 2 = ros = os2 β os β 2 2 sin 2 β sin 2 β os β ) 2 2 sin 2 β = sin2 β os β 2 2 sin 2 β, und γ = π β = π β ros sin 2 β os β ) 2 2 sin 2 β. Wir kommen zum nästen der Konstruktionssätze ei dem zwei Seiten und der von inen eingeslossene Winkel vorgegeen sind. In den Stndrdezeinungen seien etw die eiden Seiten, > 0 und der von inen eingeslossene Winkel 0 < < π gegeen. Dss es dnn ein zu diesen Vorgen ssendes Dreiek git ist klr, wir müssen j nur eine Streke AB der Länge und eine Streke AC der Länge im Winkel trgen, und en dnn ein Dreiek ABC der gewünsten Art. Dfür müssen wir wieder eine Eindeutigkeitsussge nweisen, lso zeigen ds ds Dreiek dur,, is uf Kongruenz eindeutig festgelegt ist, mn srit dnn u vom Kongruenzstz SWS für Seite Winkel Seite. All dies läßt si wieder equem üer den Cosinusstz durfüren. Stz 1.7 Dreiekserenung ei zwei Seiten und dem eingeslossenen Winkel) Seien, > 0 und 0 < < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek ABC mit AC = und AB = so, dss der Winkel ei A ist. In den Stndrdezeinungen gelten weiter = os, ) os β = ros, os ) os γ = ros os Beweis: Die Existenz eines Dreieks ABC mit den verlngten Eigensften en wir ereits eingeseen. N dem Cosinusstz Stz 4 gilt in jedem solen Dreiek in den 3-6

7 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 ülien Bezeinungen = os und insesondere ist ds Dreiek n Stz 5 is uf Kongruenz eindeutig estimmt. Weiter en wir = 22 2 os 2 = os os und n Stz 5 ist dmit ) os β = ros os Die Gleiung für γ ergit si nlog. Es verleien nur no die Konstruktionsufgen mit einer vorgegeenen Seite und zwei vorgegeenen Winkeln. D die Winkelsumme 180 ist, sielt es dei keine Rolle wele Winkel vorgegeen werden, sind zwei Winkel eknnt so steen ereits lle drei Winkel fest. Der entsteende Stz ist dnn der sogennnte Kongruenzstz Seite Winkel Winkel, lso SWW, und zur Berenung der felenden Seitenlängen verwenden wir den sogennnten Sinusstz, den wir zunäst einml eweisen wollen. Stz 1.8 Der Sinusstz) Sei ein Dreiek mit Seiten,, und Winkeln, β, γ in der Stndrdezeinung. Dnn gilt sin = sin β = sin γ und ezeinet,, die Höen uf den jeweiligen Seiten,, so en wir = sin β = sin γ, = sin = sin γ, = sin = sin β, Beweis: Wir eginnen mit der Aussge üer die Höen und dei reit es = sin zu zeigen, die nderen Gleiungen geen us dieser dur Umezeinungen ervor. Wir sreien =. Im Fll = π/2 fllen und zusmmen und wegen sinπ/2) = 1 ist in diesem Fll sofort = sin. Wir können lso π/2 nnemen und wie eim Cosinusstz treten drei möglie Fälle uf. Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist 0 < < π/2 und liegt im Dreiek. Dnn lesen wir den Sinus von im links uftuenden retwinkligen Dreiek und en sin = /, lso 3-7

8 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 = sin. Im zweiten Fll ist 0 < < π/2 weiterin ein sitzer Winkel er liegt ußerl des Dreieks. Dnn verlängern wir die Seite wie gezeigt zu einem retwinkligen Dreiek und in diesem lesen wir den Sinus von wieder ls sin = /, en lso wieder = sin. Im letzten Fll ist π/2 < < π ein stumfer Winkel. Betrten wir dnn ds links uftuende retwinklige Dreiek ACH woei H der Fußunkt von = uf AB ist, so liegt in diesem ei A der Winkel π n, lso ist sin = sinπ ) = lso erneut = sin. Der eigentlie Sinusstz ist jetzt eine unmittelre Folgerung, wegen sin β = sin γ ist sin β = sin γ und wegen sin = sin γ en wir u sin = sin γ. Dmit kommen wir jetzt zum finlen Kongruenzstz SWW: Stz 1.9 Dreiekserenung ei einer Seite und zwei Winkeln) Seien > 0 und 0 <, β < π gegeen. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC mit AB = und Winkeln ei A und β ei B wenn + β < π ist. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten = sin sin + β), = sin β sin + β), γ = π β. Beweis: D die Winkelsumme im Dreiek glei π ist, ist die Bedingung + β < π notwendig für die Existenz eines ssenden Dreieks. Nun neme umgekert +β < π n. 3-8

9 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 A C β B Dnn trgen wir eine Streke AB der Länge und ilden im Winkel einen von A usgeenden Hlstrl und im Winkel β einen von B usgeenden Hlstrl. Diese eiden sneiden si in einem Punkt C und dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und Winkel ei A und β ei B. Dmit ist die Existenzussge ewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit. Sei lso ein elieiges Dreiek des gesuten Tys gegeen. Dnn ist γ = π β und mit dem Sinusstz Stz 8 folgen und eenso = sin sin γ = sin sinπ + β)) = = sin β sin γ = sin β sin + β). Insesondere ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt. sin sin + β) Die oige Konstruktion des Punktes C verdient no einen kleinen Kommentr. Wir tten ereits gnz zu Beginn ngemerkt ds mn die eene Geometrie u xiomtis ufuen knn, und ds Ureisiel eines solen Aufus sind die Elemente des Euklid. Diese sind im Zeitrum um 300 vor Cristus entstnden und eines der dort verwendeten Axiome ist ds sogennnte Prllelenxiom Sneiden zwei Streken eine Gerde in zwei gegenüerliegenden Winkeln die zusmmen kleiner ls zwei Rete sind, so treffen si diese Streken ei Verlängerung ins Unendlie in einem Punkt der uf der Seite der Gerden liegt in der die eiden gegenüerliegenden Winkel sind die zusmmen kleiner ls zwei Rete sind. 3-9

10 Mtemtise Proleme, SS 2016 Dienstg 19.4 Der Nme Prllelenxiom entstet d diese Aussge unter Vorussetzung der ürigen Axiome dzu äquivlent ist, dss es zu jeder Gerden und zu jedem Punkt ußerl der Gerden stets genu eine Gerde dur den Punkt git wele die vorgegeene Gerde nit trifft. Unser Beweis des SWW-Stzes zeigt ds der Kongruenzstz SWW im wesentlien zum Prllelenxiom äquivlent ist. Ttsäli wird ei vielen Axiomensystemen für die eene Geometrie die eine oder ndere Form eines Kongruenzstzes ls Axiom verwendet. Zusmmenfssend en wir dmit die folgenden Kongruenzussgen eingeseen: Zwei Dreieke sind genu dnn kongruent wenn sie in llen drei Seiten, in zwei Seiten und dem von inen eingeslossenen Winkel, in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüerliegenden Winkel, in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen. 3-10