Theoretische Physik I. Nicolas Borghini

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1 Theoretische Physik I Nicolas Borghini Version vom 15. Februar 2016

2 Nicolas Borghini Universität Bielefeld, Fakultät für Physik Homepage: borghini at physik.uni-bielefeld.de

3 Vorwort

4 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Klassische Mechanik 5 I Newton sche Mechanik 5 I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 5 I.1.1 Raumzeit der Newton schen Mechanik 6 I.1.2 Beschreibung von mechanischen Systemen und ihrer Bewegung 7 I.1.3 Mechanische Kräfte 9 I.2 Newton sche Gesetze 12 I.2.1 Erstes Newton sches Gesetz 12 I.2.2 Zweites Newton sches Gesetz 13 I.2.3 Drittes Newton sches Gesetz 15 I.2.4 Viertes Newton sches Gesetz 15 I.2.5 Energieerhaltung 16 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 17 I.3.1 Translationen 17 I.3.2 Eigentliche Galilei-Transformationen 18 I.3.3 Drehungen 19 I.3.4 Allgemeine Galilei-Transformationen 20 I.3.5 Kräfte und Galilei-Transformation 20 I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte 21 I.4.1 Linear beschleunigte Bezugssysteme 22 I.4.2 Rotierende Bezugssysteme 23 I.5 Mehrteilchensysteme 27 I.5.1 Grundlagen 28 I.5.2 Bewegung des Schwerpunkts 30 I.5.3 Drehimpuls 30 I.5.4 Energie 31 I.5.5 Schwerpunktsystem 35 I.6 Zwei-Körper-Systeme 36 I.6.1 Separation der Bewegungsgleichungen 36 I.6.2 Gekoppelte Punktmassen 38 I.6.3 Kepler-Problem 38 I.6.4 Streuung 44 Appendix zum Kapitel I 49 I.A Alternative Herleitung der Kepler schen Bahnkurven 49 II Lagrange-Formalismus: Grundlagen 50 II.1 Ein Resultat aus der Variationsrechnung 50 II.1.1 Funktional 50 II.1.2 Extremierung eines Funktionals 51

5 v II.2 Hamilton-Prinzip 54 II.2.1 Definitionen 54 II.2.2 Hamilton-Prinzip. Euler Lagrange-Gleichungen 55 II.2.3 Erste Beispiele 56 II.2.4 Systeme mit Zwangsbedingungen 59 II.3 Symmetrien und Erhaltungsgrößen 62 II.3.1 Invarianz unter Raumzeit-Transformationen 62 II.3.2 Noether-Theorem 66 III Lagrange-Formalismus: Anwendungen 69 III.1 Starre Körper 69 III.1.1 Beschreibung des starren Körpers 69 III.1.2 Bewegungsgleichungen 71 III.2 Kleine Schwingungen 78 III.2.1 Eindimensionales Problem 78 III.2.2 Multidimensionales Problem 81 III.2.3 Gedämpfte Schwingungen 83 IV Hamilton-Formalismus 85 IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen 85 IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls 85 IV.1.2 Hamilton-Funktion 86 IV.1.3 Kanonische Bewegungsgleichungen 87 IV.1.4 Beispiele 88 IV.2 Kanonische Transformationen 90 IV.2.1 Phasenraum-Funktionen 90 IV.2.2 Poisson-Klammer 90 IV.2.3 Poisson-Klammer und Zeitentwicklung 92 IV.2.4 Kanonische Transformationen 93 IV.3 Phasenraum 97 Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie 101 V Mathematischer Apparat der Speziellen Relativitätstheorie 101 V.1 Einstein sche Postulate 101 V.1.1 Motivation 101 V.1.2 Einstein sche Postulate 101 V.2 Lorentz-Transformationen 102 V.2.1 Linienelement 102 V.2.2 Lorentz-Transformationen 103 V.2.3 Folgerungen 106 V.2.4 Minkowski-Raum 106 V.3 Vierervektoren und Vierertensoren 108 V.3.1 Lorentz-Skalare 108 V.3.2 Vierervektoren 108 V.3.3 Vierertensoren 112 V.3.4 Kovariante Formulierung eines physikalischen Gesetzes 114 VI Relativistische Mechanik 116 VI.1 Bewegung eines freien relativistischen Teilchens 116 VI.1.1 Lagrange-Funktion und Wirkung eines freien Teilchens 116 VI.1.2 Impuls und Energie eines freien Teilchens 117 VI.2 Kovariante Formulierung des Grundgesetzes der Mechanik 119

6 vi Klassische Elektrodynamik 123 VII Einleitung 123 VII.1 Grundbegriffe und Definitionen 123 VII.2 Einheiten 126 VIII Elektrostatik 129 VIII.1 Elektrisches Potential 129 VIII.1.1 Skalarpotential 129 VIII.1.2 Poisson-Gleichung 129 VIII.1.3 Elektrisches Feld und Potential von Ladungen 130 VIII.1.4 Elektrostatische potentielle Energie 132 VIII.2 Bestimmung des Skalarpotentials aus der Poisson-Gleichung 135 VIII.2.1 Green sche Funktionen 135 VIII.2.2 Lösung der Poisson-Gleichung auf R VIII.2.3 Lösung der Poisson-Gleichung auf einem endlichen Gebiet von R VIII.3 Multipolentwicklung 140 VIII.3.1 Kartesische Multipolmomente 140 VIII.3.2 Beispiele von Multipolmomenten 141 VIII.3.3 Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsverteilungen 143 VIII.3.4 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten 146 IX Magnetostatik 148 IX.1 Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 148 IX.1.1 Vektorpotential 148 IX.1.2 Poisson-Gleichungen der Magnetostatik 149 IX.1.3 Integrale Formulierung der Grundgleichungen der Magnetostatik 152 IX.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme 153 IX.1.5 Kraft zwischen zwei Stromkreisen 156 IX.2 Multipolentwicklung 157 IX.2.1 Multipolmomente einer Ladungsstromverteilung 157 IX.2.2 Magnetisches Dipolmoment einer Leiterschleife 159 IX.2.3 Magnetischer Dipol in einem äußeren magnetischen Feld 160 X Zeitabhängige elektromagnetische Felder 162 X.1 Grundgesetze 162 X.1.1 Maxwell-Gleichungen 162 X.1.2 Bewegungsgleichungen für die elektrischen und magnetischen Felder 165 X.2 Elektrodynamische Potentiale 166 X.2.1 Definition 166 X.2.2 Eichinvarianz 167 X.2.3 Bewegungsgleichungen für die elektrodynamischen Potentiale 168 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes 169 X.3.1 Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes 169 X.3.2 Impulsdichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes 171 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 173 X.4.1 Klassische Wellengleichung 173 X.4.2 Elektromagnetische Wellen 176 X.5 Klassische Theorie der Strahlung 179 X.5.1 Green sche Funktion der klassischen Wellengleichung 179 X.5.2 Retardierte Potentiale 182 X.5.3 Multipolentwicklung 183 X.5.4 Potentiale und Felder einer bewegten Punktladung 185

7 vii XI Relativistisch kovariante Formulierung der Elektrodynamik 193 XI.1 Lorentz-kovariante elektromagnetische Größen 193 XI.1.1 Elektromagnetischer Feldstärketensor 193 XI.1.2 Viererpotential 195 XI.1.3 Elektrischer Viererstrom 196 XI.1.4 Energieimpulstensor 196 XI.2 Relativistisch kovariante Formulierung der Grundgesetze 197 XI.2.1 Maxwell-Gleichungen 197 XI.2.2 Kontinuitätsgleichung 197 XI.2.3 Lorentz-Kraft und -Kraftdichte 198 XI.2.4 Energie- und Impulsbilanzgleichungen 198 XI.3 Weitere Resultate in relativistisch kovarianter Form 199 XI.3.1 Bewegungsgleichung für das Viererpotential 199 XI.3.2 Klassische Wellengleichung und ebene Wellen 199 XI.3.3 Retardiertes Viererpotential 200 XII Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik 201 XII.1 Ladungen und Ströme in einem elektromagnetischen Feld 201 XII.1.1 Wiederholung: Lagrange-Funktion einer freien Punktladung 201 XII.1.2 Punktladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld 202 XII.1.3 Ladungs- und Stromverteilungen in einem elektromagnetischen Feld 204 XII.2 Elektromagnetisches Feld mit Quellen 205 XII.2.1 Einführung in die klassische Feldtheorie 205 XII.2.2 Elektromagnetisches Feld in Anwesenheit fester Quellen 206 XII.2.3 Energieimpulstensor 207 Anhang 213 A Tensoren auf einem Vektorraum 213 A.1 Vektoren, Linearformen und Tensoren 213 A.1.1 Vektoren 213 A.1.2 Linearformen 214 A.1.3 Tensoren 214 A.1.4 Metrischer Tensor 216 A.1.5 Warum Tensoren? 218 A.2 Basistransformation 218 B Drehungen 220 B.1 Isometrien im euklidischen Raum 220 B.2 Infinitesimale Drehungen 222 C Legendre-Transformation 224 C.1 Legendre-Transformation einer Funktion einer Variablen 224 C.2 Legendre-Transformation einer Funktion mehrerer Variablen 224 D Die δ-distribution 226 D.1 Definition und erste Ergebnisse 226 D.1.1 Definition 226 D.1.2 Erste Eigenschaften 227 D.1.3 Darstellungen der δ-distribution 227 D.1.4 Heaviside-Funktion 228

8 viii D.2 Rechenregeln 229 D.2.1 Skalierung 229 D.2.2 Ableitung 230 D.2.3 Substitution der Integrationsvariablen 230 D.3 Mehrdimensionale δ-distributionen 231 E Kugelflächenfunktionen 233 Literaturverzeichnis 235

9 Einleitung Allgemeine Einleitung. Notationen, Konventionen, usw. Allgemeine Literaturhinweise (in alphabetischer Ordnung) Arnold, Mathematical methods of classical mechanics [1] (mehr mathematisch); Fließbach, Lehrbuch zur theoretischen Physik I. Mechanik [2] & II. Elektrodynamik [3]; Goldstein, Klassische Mechanik [4] = Classical Mechanics [5] Greiner, Klassische Mechanik I & II [6, 7]; Klassische Elektrodynamik [8]; Griffiths, Elektrodynamik [9] = Introduction to Electrodynamics [10]; Jackson, Klassische Elektrodynamik [11] = Classical Electrodynamics [12] Landau & Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik. Band I: Mechanik [13] & Band II: Klassische Feldtheorie [14] Nolting, Grundkurs Theoretische Physik. Band 1: Klassische Mechanik [15], Band 2: Analytische Mechanik [16] & Band 3: Elektrodynamik [17]. Scheck, Theoretische Physik 1: Mechanik [18] & 3: Klassiche Feldtheorie [19].

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11 Erster Teil Klassische Mechanik

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13 KAPITEL I Newton sche Mechanik Die am meisten intuitive, und historisch die erste, Formulierung der Mechanik ist diejenige von Isaac Newton. (a) Die nach ihm genannten Beschreibung beruht einerseits auf in Abschn. I.1 eingeführten Grundbegriffen, die als vom Anfang an gegeben betrachtet werden: Somit bilden Raum und Zeit den Rahmen, in welchen physikalische Systeme sich befinden und entwickeln, ohne dadurch beeinflusst zu werden. Dazu werden Änderungen des Bewegungszustands eines Systems, charakterisiert durch kinematische Größen, durch mechanische Kräfte verursacht. Andererseits wird der Einfluss der letzteren auf physikalische Systeme durch Beziehungen zwischen diesen Kräften und kinematischen Größen bestimmt, und zwar hier durch die auf Newton zurückgehenden Gesetze, die in Abschn. I.2 dargelegt werden. Insbesondere führt laut dem zweiten Newton schen Gesetz eine Kraft zur instantanen Beschleunigung des Systems, auf welchem sie ausgeübt wird. In der (modernen) Formulierung der Newton schen Gesetze spielen bestimmte Bezugssysteme zur Beschreibung der Bewegung eine besondere Rolle, und zwar die Inertialsysteme. Nach Angabe eines solchen Systems ist jedes weitere Bezugssystem, das sich relativ zum ersten in gleichförmiger geradliniger Bewegung befindet, ebenfalls ein Inertialsystem. Genauer nehmen die Newton schen Gesetze die gleiche Form in allen Koordinatensystemen an, die sich über eine Galilei-Transformation aus kartesischen Koordinaten in einem Inertialsystem erhalten lassen (Abschn. I.3). In einem relativ zu Inertialsystemen beschleunigten Bezugssystem ist die Situation unterschiedlich. Das zweite Newton sche Gesetz lässt zwar noch in der gleichen Form ausdrücken, jedoch auf Kosten der Einführung von Scheinkräften auf den bewegten Körper, die in der Beschreibung der Bewegung in einem Inertialsystem nicht auftreten (Abschn. I.4). Die genauere Formulierung der Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System bestehend aus mehreren Massenpunkten unter Berücksichtigung der Newton schen Gesetze wird in Abschn. I.5 dargelegt. Dabei lässt sich die Bewegung in zwei Anteile zerlegen, und zwar einerseits die globale Bewegung des Systems oder genauer seines Schwerpunkts, andererseits die Bewegung der Teile des Systems relativ zueinander. Schließlich wird der besondere Fall von Zwei-Körper-Systemen in Abschn. I.6 betrachtet, wobei der entwickelte Formalismus auf einige wichtige Beispiele angewandt wird. I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik Die Mechanik beschäftigt sich mit der Bewegung von physikalischen Systemen, d.h. mit der zeitlichen Änderung ihrer Position (und ihrer Richtung) im Raum. Zur genaueren Beschreibung der Bewegung müssen deshalb Modelle für unsere Raum und Zeit spezifiziert werden ( I.1.1). In I.1.2 werden einige zusätzliche Basisdefinitionen und -Begriffe eingeführt, welche für die Formulierung der Gesetze der Newton schen Dynamik vorausgesetzt sind oder zur Beschreibung von Systemen bzw. von deren Bewegung benutzt werden. Schließlich werden Kräfte, die Ursache für die Bewegung sind, und ihre mathematische Modellierung in I.1.3 eingeführt. (a) I. Newton,

14 6 Newton sche Mechanik Die in diesem Abschnitt diskutierten Begriffe sind nicht auf den Rahmen der Newton schen Mechanik beschränkt, sondern bleiben noch relevant in den anderen Formulierungen der Mechanik nach Lagrange (Kap. II) oder Hamilton (Kap. IV) ohne Änderung, solange nicht-relativistische Mechanik gültig bleibt. Es sei hier schon erwähnt, dass manche Grundannahmen jenseits des nichtrelativistischen Rahmens nicht mehr erfüllt sind wie z.b. die Absolutheit von Raum und Zeit in der relativistischen Mechanik, während einige Begriffe an Bedeutung verlieren beispielsweise wird die Bahnkurve in der Quantenmechanik nur als klassisches Analogon gesehen. I.1.1 Raumzeit der Newton schen Mechanik Nach Newton sind der Raum, in welchem physikalische Systeme sich befinden, und die Zeit, deren Vergehen die Entwicklung der Systeme erlaubt, absolute Größen. Das heißt, sie stellen einen allgemeinen Rahmen dar, in welchem physikalische Prozesse stattfinden, ohne durch diese Prozesse bzw. die daran beteiligten Systeme beeinflusst zu werden. I.1.1 a Der Raum der Newton schen Mechanik Der räumliche Rahmen der Newton schen Mechanik und allgemeiner der nicht-relativistischen Mechanik ist ein dreidimensionaler euklidischer PunktraumE 3, hiernach oft Ortsraum genannt, dessen Punkte alle äquivalent sind. Dieser Raum ist statisch, er ändert sich also nicht mit der Zeit. Dem Ort eines (als punktförmig modellierten) Systems zu einer gegebenen Zeit wird ein Punkt P E 3 zugeordnet. Zur Kennzeichnung dieses Orts werden einerseits Bezugssysteme eingeführt, entsprechend Beobachtern, die sich möglicherweise bewegen. Andererseits können in jedem Bezugssystem Koordinatensysteme gefunden werden, mit insbesondere einem Ursprungspunkt, der in diesem Skript oft mit O bezeichnet wird. Eine wichtige Eigenschaft von euklidischen Räumen ist die Existenz von überall im Raum geltenden kartesischen Koordinatensystemen, bestehend aus dem Nullpunkt O und drei zueinander orthogonalen Achsen mit festen Richtungen. Gegeben der Nullpunkt eines Bezugssystems, man kann die (Orts)Vektoren zwischen diesem Ursprung und jedem Punkt P E 3 betrachten. Diese Vektoren die im Folgenden mit Pfeilen gekennzeichnet werden, z.b. r bilden einen dreidimensionalen Vektorraum, auf welchem eine euklidische Struktur definiert werden kann. Somit entspricht der Betrag r r des Vektors r dem Abstand zwischen seinen Endpunkten im Punktraum. Hiernach wird mehrmals der Einheitsvektor e r in Richtung von r benutzt, d.h. der auf 1 normierter Vektor, für welchen r r e r gilt (falls r 0). Wiederum ist der euklidische Vektorraum nach Angabe eines kartesischen Koordinatensystems isomorph zum Koordinatenraum R 3 aller möglichen 3-Tupel (x 1, x 2, x 3 ) von Koordinaten. Dies wird günstig als geschrieben, was eigentlich r = x 1 r = x 2 x 3 3 x i e i x i e i i=1 (I.1a) (I.1b) mit ( e 1, e 2, e 3 ) den Basisvektoren des Koordinatensystems bedeutet, wobei in der zweiten Gleichung die Einstein sche Summenkonvention benutzt wird. Im Fall kartesischer Koordinaten wird auch die Notation (x, y, z) bzw. ( e x, e y, e z ) statt (x 1, x 2, x 3 ) bzw. ( e 1, e 2, e 3 ) verwendet. Hiernach wird der Vektorraum der Ortsvektoren entweder mite 3 um seine euklidische Struktur zu betonen oder mit R 3 wegen der Isomorphie mit dem Koordinatenraum bezeichnet. Bemerkung: Die Struktur der Menge der Ortsvektoren als euklidischer Vektorraum bedarf weiterer Diskussion, vgl.???.

15 I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 7 I.1.1 b Die Zeit in der Newton schen Mechanik Die Zeit der nicht-relativistischen Mechanik ist ein eindimensionaler Parameter so dass Zeitpunkte als Elemente von R modelliert werden, der universal ist; das heißt, die Zeit ist die gleiche für alle Beobachter, unabhängig von ihrer Position und Bewegung. Insbesondere können zumindest prinzipiell alle Beobachter ihre jeweiligen Uhren zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0 synchronisieren; dann bleiben diese Uhren auch in der Zukunft synchronisiert, d.h. wenn zwei Beobachter sich wieder treffen, zeigen ihre beide Uhren die gleiche Zeit t 1 > t 0, egal was ihre Bewegungen in der Zwischenzeit waren. Bemerkung: Wie wir später sehen werden, gilt diese Synchronisierungseigenschaft nicht mehr im relativistischen Kontext. I.1.2 Beschreibung von mechanischen Systemen und ihrer Bewegung I.1.2 a Idealisierte Systeme Die Mechanik befasst sich nicht nur mit realistischen physikalischen Systemen, sondern auch mit Idealisierungen, deren Bewegung viel einfacher zu beschreiben und bestimmen ist. Das einfachste solche Modell ist der Massenpunkt oder Punktmasse: dabei handelt es sich um einen punktförmigen Gegenstand, ohne innere Struktur, der nur eine Eigenschaft besitzt, und zwar seine Masse m. Die Bewegung eines physikalischen Körpers lässt sich mit diesem Modell gut beschreiben, wenn die Ausdehnung des Körpers für das betrachtete Problem irrelevant ist. Ist der Massenpunkt neben seiner Masse m noch mit einer elektrischen Ladung q versehen, so dass es in einem elektromagnetischen Feld einer entsprechenden Kraft unterliegt, dann spricht man von einer Punktladung Bemerkung: Wie in I.2.2 weiter diskutiert wird, handelt es sich bei der hier mit m bezeichneten Größe um die träge Masse des Massenpunkts bzw. der Punktladung. Ein weiteres idealisiertes Modell, für ein System dessen Ausdehnung eine Rolle spielt, ist das des starren Körpers, der Thema des Abschn. III.1 ist. I.1.2 b Kinematische Größen Die zeitliche Reihenfolge der sukzessiven Positionen eines (Massen)Punktes im Ortsraum ist seine Bahnkurve oder Trajektorie. Unter Betrachtung der Vektorraum-Struktur des Ortsraums kann diese Bahnkurve als eine Funktion x(t) : R E 3 angesehen werden oder äquivalent, nach Angabe eines Koordinatensystems, als eine Abbildung von R nach R 3. Bemerkung: Mathematisch genauer sollte man zwischen der Trajektorie was im engeren Sinne die geometrische Kurve ine 3 oder R 3 bezeichnet und der Orts-Zeit-Beziehung x(t) unterscheiden, wobei die letztere die Parametrisierung der Kurve mathematisch ein Weg durch die Zeit t ist. Somit kann jede Bahnkurve auch anders als durch die Zeit parametrisiert werden, wie es in den Beispielen des I.1.3 b gemacht wird. Gegeben die (durch die Zeit parametrisierte) Bahnkurve x(t) eines Massenpunktes, ist dessen instantane Geschwindigkeit zur Zeit t die Rate der Änderung des Ortsvektors zu diesem Zeitpunkt, d.h. v(t) d x(t) dt x(t), wobei hier und im Folgenden der Überpunkt eine zeitliche Ableitung darstellt. Die physikalische (I.2)

16 8 Newton sche Mechanik Dimension (vgl. I.1.2 c unten) der Geschwindigkeit ist [v] = L T 1, wobei L für Länge und T für Zeit (time) steht; dementsprechend ist die Einheit im SI-System der m s 1. Wiederum ist die Beschleunigung des Massenpunktes die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit a(t) d2 x(t) dt 2 x(t) = v(t), (I.3) mit physikalischer Dimension bzw. SI-Einheit [a] = L T 2 bzw. m s 2. Schließlich wird der (kinetische) Impuls des Massenpunktes als das Produkt aus seiner Masse und Geschwindigkeit definiert p(t) m v(t), während sein Drehimpuls bezüglich des Nullpunkts r = 0 des Bezugssystems das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Impuls ist L(t) x(t) p(t). Die jeweiligen physikalischen Dimensionen und SI-Einheiten sind [p] = M L T 1, in kg m s 1, und [L] = M L 2 T 1 mit Einheit kg m 2 s 1, wobei M für Masse steht. I.1.2 c Physikalische Dimension, Einheiten Entsprechend ihrer qualitativ verschiedenartiger Natur z.b. ist eine Länge keine Masse haben unterschiedliche physikalische Größen verschiedene Dimensionen, und dementsprechend unterschiedliche Einheiten. Dabei stellt sich aber heraus, dass einige Größen mit einander verknüpft ist: eine Fläche ist eine Länge zum Quadrat; eine Geschwindigkeit ist eine Länge pro Zeiteinheit, also eine Länge geteilt durch eine Zeit; usw. Somit kann man eine Handvoll Basisgrößen finden, aus welchen die anderen abgeleitet werden können. Äquivalent gibt es in einem gegebenen Einheitensystem ein paar Basiseinheiten und die daraus abgeleiteten Einheiten. Ein mögliches System von Basisgrößen ist das des sog. internationalen Größensystems, das dem SI-System von Einheiten entspricht. Dabei sind die Basisgrößen, welche für die Mechanik relevant sind, die Länge, die Zeit und die Masse, deren jeweilige Dimensionen mit L, T und M bezeichnet werden. Dann lässt sich die Dimension jeder mechanischen Größe als Produkt von Potenzen der Basisgrößen ausdrücken, wie im vorigen Paragraphen schon gesehen wurde. Bemerkung: In der Elektrodynamik wird auch die Stromstärke, mit Dimension I, dazukommen. Und in der Thermodynamik sollen noch thermodynamische Temperatur Θ und Stoffmenge N betrachtet werden. Wichtig ist, dass man nur Größen derselben Dimension addieren oder gleichsetzen kann. Somit kann eine Gleichung wie Masse + Länge = Geschwindigkeit nie richtig sein. (1) Dagegen dürfen Größen unterschiedlicher Dimensionen miteinander multipliziert werden, so dass z.b. die Gleichung Beschleunigung mal Zeit = Geschwindigkeit, entsprechend L T 2 T = L T 1, sinnvoll ist. (1) (I.4) (I.5) Entsprechend den unterschiedlichen Dimensionen von Ort, Geschwindigkeiten, Beschleunigung, Impuls, usw. sind die zugehörigen Vektoren ( r, v, a, p,... ) Elemente unterschiedlicher Vektorräume, auch wenn diese alle reell und dreidimensional sind, und somit isomorph zu R 3. Dieser Unterschied ist zwar nicht erkennbar, wenn man auf dem gleichen Bild den Ortsvektor (im Ortsraum) eines Körpers, seine Geschwindigkeit (im Geschwindigkeitsraum) und die darauf wirkenden Kräfte (im Kraftraum ) darstellt, man darf aber die jeweiligen Pfeile nicht miteinander addieren. (1) Dementsprechend sollte die Leserin immer prüfen, dass ihre Gleichung die richtige Dimension hat.

17 I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I.1.3 Mechanische Kräfte Erfahrung hat gezeigt, dass Änderungen des Bewegungszustands eines physikalischen Körpers das Resultat der Wirkung von äußeren Ursachen widerspiegeln, welche (mechanische) Kräfte heißen. Diese werden hiernach allgemein mit dem Zeichen F bezeichnet. Die physikalische Dimension einer Kraft ist [F ] = M L T 2 und die zugehörige SI-Einheit ist das Newton, wobei 1 N = 1 kg m s 2. Nach der Darstellung der mathematischen Modellierung von mechanischen Kräften ( I.1.3 a) wird die Arbeit einer Kraft eingeführt ( I.1.3 b). In vielen Situationen hängt die letztere nur von den Endpunkten der zurückgelegten Strecke ab; in solchen Fällen entspricht die durch die Kraft verrichtete Arbeit (dem Negativen) der Variation der potentiellen Energie des Systems ( I.1.3 c). Bemerkung: Neben den wirksamen Kräften, die zu einer Bewegung führen wie z.b. die für den freien Fall eines Körpers verantwortliche Schwerkraft, gibt es auch Kräfte, deren Rolle darin besteht, die möglichen Bewegungen einzuschränken. Ein Beispiel davon ist die durch einen Tisch auf einen Körper ausgeübte Kraft, die zusammen mit der Schwerkraft dazu führt, dass die Bewegung des Körpers unter dem Einfluss anderer Kräfte in der Tischebene bleibt. Solche Kräfte werden oft als Zwangskräfte bezeichnet. I.1.3 a Mathematische Modellierung Neben ihrem Betrag hat eine Kraft erfahrungsgemäß auch eine Richtung: somit ist die Schwerkraft auf einen Körper auf der Erdoberfläche nach unten, Reibungskräfte sind entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, usw. Dementsprechend werden Kräfte mathematisch durch dreidimensionale Vektoren F dargestellt. Diese Modellierung durch Vektoren geht mit einer wichtigen Eigenschaft einher, und zwar mit einem Superpositionsprinzip. Laut dem letzteren sind Kräfte in der Newton schen Mechanik additiv, d.h. wenn zwei unterschiedliche Kräfte F 1, F 2 auf einen Körper wirken, dann ist ihre Resultierende durch die Summe F 1 + F 2 gegeben. Dank der Vektorraum-Struktur ist diese Summe wieder ein Vektor, d.h. kann eine Kraft darstellen. Dieses Superpositionsprinzip gilt nicht mehr im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Wie wir unten weiter sehen werden vgl. der dritten Bemerkung nach Gl. (I.14b), kann die mathematische Form der Kraft auf einen bewegten Körper in den üblichen Fällen eine Funktion der Zeit t, der Position x(t) und der Geschwindigkeit x(t) des Körpers sein, d.h. F = F ( t, x(t), x(t) ). Falls F nicht von der Geschwindigkeit abhängt, sondern nur vom Ort (und von der Zeit), wird F (t, r) Kraftfeld genannt. Gegeben eine Kraft F ist das zugehörige Drehmoment bezüglich eines Bezugspunkts O als M r F definiert, mit r dem Abstandsvektor von O des Drehmoments zum Angriffspunkt der Kraft. (I.6) I.1.3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall zurücklegt passend integriert, so ergibt sich die Arbeit der Kraft. Definition: Die durch eine Kraft F geleistete Arbeit in der Verschiebung eines Körpers um das infinitesimale Wegelement d x entlang seiner Bahnkurve ist dw = F d x. (I.7a) Die hier verwendete Notation dw ist relativ standard, bedeutet aber nicht, dass dw das totale Differential einer Funktion W ist was nur gilt, wenn F konservativ ist, s. I.1.3 c. Eine bessere Notation wäre δw, wie in der Thermodynamik oder der Statistischen Mechanik üblich ist.

18 10 Newton sche Mechanik Aus Gl. (I.7a) folgt die Arbeit einer Kraft entlang einem endlichen Weg C, indem die elementaren Beiträge entlang infinitesimaler Wegelemente summiert werden. Daraus ergibt sich ein Kurvenintegral entlang des Wegs C : W = F d x. (I.7b) C Die physikalische Dimension der Arbeit einer Kraft ist [W ] = M L 2 T 2. Zur Berechnung des Kurvenintegral in Gl. (I.7b) muss man in der Praxis eine Parametrisierung des Wegs C einführen. Oft, aber nicht unbedingt, kann die Zeit t als Parameter benutzt werden. Dann lässt sich C genau durch die Bahnkurve x(t) für t [t 1, t 2 ] beschreiben, und das infinitesimale Wegelement im Kurvenintegral ist d x = v(t) dt. Somit lautet die Arbeit entlang dem Weg C t2 W = dw = F d x = F v(t) dt (I.8) C C t 1 und das Kurvenintegral wird zu einem gewöhnlichen Integral. Dabei ist das Produkt F v(t) die (instantane) Leistung der Kraft. Beispiel 1: Betrachte man die 2-dimensionale Bewegung (unter irgendeinem nichtspezifizierten Einfluss) eines Massenpunkts, welcher der Kraft ( ) ( ) ay Fx (x, y) F (x, y) = b F y (x, y) unterliegt, mit a, b Konstanten. Der Massenpunkt bewegt sich von einem Ausgangspunkt O mit Koordinaten (x=0, y =0) zu einem Endpunkt P mit (x = 1, y = 1). Wir wollen die Arbeit von F entlang zwei unterschiedlicher Wege C 1, C 2 von O nach P berechnen. y 1 C 1 P C 1 C 2 O 1 x Abbildung I.1 Die Kurve C 1 besteht aus zwei geraden Linienelementen mit x = 0, 0 y 1 bzw. y = 1, 0 x 1. Somit lässt sich das Kurvenintegral entlang C 1 als Summe von zwei einfachen Integralen schreiben: I P W 1 = dw = F (x, y) d x = F (x=0, y) d x + F (x, y =1) d x, C 1 C 1 O I mit I dem Punkt mit Koordinaten (x = 0, y = 1). Entlang des Linienelements von O nach I bzw. von I nach P kann man für C 1 einfach y bzw. x als Parameter benutzen, was zu W 1 = 1 0 F y (x=0, y) dy F x (x, y =1) dx führt. Ersetzt man die Komponenten F x, F y durch ihre Ausdrücke, so kommt W 1 = 1 0 b dy a dx = b + a. Wiederum lässt sich die Kurve C 2 als ( ) x(s)=s x(s) = y(s)=s mit s [0, 1] parametrisieren; dann gilt d x = d x ( ) 1 ds ds = ds. 1 Dies gibt für die Arbeit von F entlang C 2 1 W 2 = dw = F ( x(s), y(s) ) d x C 2 0 ds ds.

19 I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 11 Indem man das Skalarprodukt explizit schreibt, kommt 1 [ as 2 W 2 = (as + b) ds = 2 + bs 0 ] 1 0 = a 2 + b. Somit ist W 2 W 1 : die Arbeit der Kraft F zwischen zwei Punkten hängt vom gewählten Weg ab. Beispiel 2: Lorentz-Kraft Eine bewegte Punktladung in einem Magnetfeld B in Abwesenheit von elektrischem Feld unterliegt der Lorentz-Kraft (b) F = q v B. (I.9) Diese Kraft ist immer senkrecht zur Geschwindigkeit v der Punktladung. Setzt man diese Kraft in Gl. (I.8) ein, t2 t2 [ W = F v(t) dt = q v(t) B ] v(t) dt, t 1 so findet man sofort, dass die Lorentz-Kraft keine Arbeit verrichtet, denn das Integrand ist null. I.1.3 c Konservative Kräfte Definition: Ein zeitunabhängiges Kraftfeld F ( r) wird konservativ genannt, wenn es ein Potential V ( r) gibt, das t 1 F ( r) = V ( r) (I.10) erfüllt. Dabei bezeichnet der Nabla-Operator, angewandt auf eine skalare Funktion auf R 3, den Gradienten dieser Funktion. Für konservative Kraftfelder hängt die durch die Kraft zwischen zwei Punkten verrichtete Arbeit nicht vom Weg ab. Beweis: Das Resultat folgt aus W = r2 r 1 F ( x) d x = r2 r 1 [ V ( x) ] d x = [ V ( r2 ) V ( r 1 ) ] (I.11) unter Verwendung der Tatsache, dass V ( r) eine Stammfunktion von V ( r) ist. Bemerkungen: Offensichtlich ist V ( r) nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. Die Letztere wird oft so gewählt, dass das Potential im Unendlichen verschwindet. V ( r) wird auch als potentielle Energie bezeichnet. Behauptung: Sei ein Kraftfeld F ( r), definiert auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet von R 3. (2) Dann ist F ( r) genau dann konservativ, wenn seine Rotation verschwindet: F ( r) = V ( r) F ( r) = 0. (I.12) Dass die Rotation eines konservativen Kraftfeldes null ist, folgt direkt aus der Identität [ V ( r) ] = 0, (2) Ein Gebiet wird als einfach zusammenhängend bezeichnet, wenn sich jeder geschlossene Weg im Gebiet stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt, ohne das Gebiet zu verlassen. Zum Beipiel ist eine Ebene (R 2 ) einfach zusammenhängend, während R 2 ohne einen Punkt nicht mehr einfach zusammenhängend ist. (b) H. A. Lorentz,

20 12 Newton sche Mechanik die sich z.b. komponentenweise beweisen lässt: die i-te Komponente (in einem kartesischen Koordinatensystem) des Terms auf der linken Seite ist ɛ ijk j k V ( r), mit ɛ ijk dem Levi-Civita-Symbol und l die Ableitung nach dem Komponenten x l des Ortsvektors. Dabei ist ɛ ijk antisymmetrisch unter dem Austausch von j und k, während die zweite Ableitung j k symmetrisch ist, so dass die Summe über alle Werte dieser Indizes Null ergibt. Zum Beweis, dass ein rotationsfreies Kraftfeld F ( r) sich als (Negative des) Gradienten eines skalaren Potentials V ( r) schreiben lässt, soll man zunächst einen beliebigen Punkt r 0 wählen und V durch r V ( r) = F ( r ) d r r 0 definieren. Das Integral auf der rechten Seite der obigen Formel ist eindeutig definiert, wenn Wegintegrale F d x von r0 nach r unabhängig vom gewählten Weg sind. Betrachte man zwei unterschiedliche Wege C 1, C 2 in R 3, die von r 0 nach r führen. Dann definiert C 2 trivial einen Weg C 2 (mit gleicher Kurve und umgekehrter Parametrisierung) von r nach r 0, und somit einen geschlossenen Weg C 1 C 2 mit Anfangs- und Endpunkt in r 0. Aus dem Stokes schen Satz folgt für das Wegintegral der Kraft entlang C 1 C 2 F ( r ) d r [ = F ( r ) ] d 2 S = 0, C 1 C 2 S wobei S die durch die Kurve C 1 C 2 abgeschlossene Fläche bezeichnet, während die letzte Gleichung aus der Annahme F = 0 folgt, die in jedem Punkt von S gilt (dank der Annahme eines einfach zusammenhängenden Gebiets). Andererseits gilt F ( r ) d r = F ( r ) d r F ( r ) d r, C 1 C 2 C 1 C 2 woraus die gesuchte Unabhängigkeit des Wegintegrals vom Weg folgt. I.2 Newton sche Gesetze Basierend auf den in Abschn. I.1 eingeführten Begriffen, insbesondere auf der Existenz absoluter Raum und Zeit, können die dynamischen Gesetze, welche die Wirkung von Kräften auf mechanische Systeme bestimmen, angegeben werden. Dabei besagen diese Gesetze aber nichts über die mathematische Form der Kräfte: diese hängen von der Situation ab und sollen durch zusätzliche Theorien oder Modelle präzisiert werden. I.2.1 Erstes Newton sches Gesetz Das erste newtonsche Gesetz das auch erstes Axiom, lex prima oder Trägheitsgesetz genannt wird besagt die Existenz von bevorzugten Bezugssystemen, in denen der Bewegungszustand eines Körpers sich nicht ändert, so lange keine Kraft auf ihn ausgeübt wird: Erstes Newton sches Gesetz Es gibt besondere Bezugssysteme, sog. Inertialsysteme, in denen ein Massenpunkt, der keiner Kraft unterliegt, in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung beharrt. (I.13) Anders gesagt bleibt in Inertialsystemen die Geschwindigkeit x(t) eines kräftefreien Massenpunktes konstant, d.h. seine Beschleunigung x(t) verschwindet. Bemerkungen: Eigentlich wurde dieses Prinzip schon durch Galilei (c) formuliert, weshalb es auch seinen Namen trägt. Dazu ist der obige Ausdruck des Gesetzes in der Tat nicht die ursprüngliche Formulierung, denn es gab bei Newton keinen Bezug auf Inertialsysteme. (c) G. Galilei,

21 I.2 Newton sche Gesetze 13 Das Gesetz setzt die Existenz eines kräftefreien Zustands implizit voraus. In der Praxis ist dies eine Idealisierung, denn kein Körper kann von der (anziehenden) Schwerkraft der anderen Körper im Universum isoliert werden. Was aber praktisch realisierbar ist zumindest in sehr guter Näherung, ist dass die Resultierende der auf ein System wirkenden Kräfte verschwindet, was sich dann als äquivalent zur Abwesenheit von Kräfte herausstellt. Auf Inertialsysteme wird in Abschn. I.3 genauer eingegangen; als solches gilt für Experimente auf der Erde ein Bezugssystem, das sich relativ zu Fixsternen, oder besser weit entfernten Galaxien oder Quasars, nicht bewegt. I.2.2 Zweites Newton sches Gesetz Das zweite newtonsche Gesetz auch zweites Axiom, lex secunda oder Bewegungsgesetz genannt beschreibt die Änderung der Bewegung eines Körpers mit Impuls p(t) unter dem Einfluss einer Gesamtkraft F : Zweites Newton sches Gesetz In Inertialsystemen gilt d p(t) dt p(t) = F. (I.14a) In dieser Bewegungsgleichung kann der Impuls p(t) durch die Masse m und die Geschwindigkeit v(t) des Körpers ausgedrückt werden. Wenn die Masse in der Bewegung konstant bleibt, so kann sie aus der Ableitung herausgezogen werden. Dann wird Gl. (I.14a) zu m d2 x dt 2 = md v dt = m a = F. (I.14b) Das heißt, die Beschleunigung des Körpers ist proportional zur Kraft, welche die Bewegung beeinflusst, und antiproportional zur Masse m. Bemerkungen: Das erste Gesetz ist ein Spezialfall des zweiten mit F = 0. Die Masse m in der Bewegungsgleichung (I.14b) ist die sog. träge Masse des Massenpunktes, die ein Maß für die Trägheit des letzteren gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands darstellt. Bei der trägen Masse handelt es sich um eine universale Eigenschaft des Körpers, welche die gleiche bleibt, egal welchen Kräften er unterliegt. Im zweiten Gesetz wird implizit vorausgesetzt, dass die Kraft F möglicherweise von x und x abhängt, sowie von der Zeit t, nicht aber von höheren Ableitungen. Dank der letzteren Bemerkung stellt die vektorielle Bewegungsgleichung (I.14b) ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar. Wenn die mathematische Form der Kraft F = F ( t, x, x ) sowie die Anfangsbedingungen x(t 0 ), x(t 0 ) gegeben sind, mit t 0 irgend eine Referenzzeit, dann hat dieses System eine eindeutige Lösung. Beispiel: Massenpunkt im homogenen Schwerefeld mit Luftreibung Betrachtet sei die Bewegung eines Massenpunktes mit Masse m unter dem Einfluss der Schwerkraft und einer Reibungskraft. Die Resultierende der auf ihn wirkenden Kraft lautet F = F S + F R, (I.15a)

22 14 Newton sche Mechanik wobei das Superpositionsprinzip für Kräfte (I.20) benutzt wurde. Dabei ist die Schwerkraft F S = m S g, (I.15b) wobei g prinzipiell nach unten gerichtet ist obwohl das im Folgenden keine Rolle spielt, während m S die schwere Masse des Körpers bezeichnet. Experimentell ist die letztere proportional zur trägen Masse, m S m, wie sich im berühmten Ergebnis im Vakuum fallen alle Körper gleich widerspiegelt. Mit der Wahl m S = m gilt g 9, 8 m s 2 auf der Erdoberfläche. Hier werden zwei Annahmen gemacht, und zwar dass träge und schwere Masse erstens die gleiche Dimension M haben, und sich somit mit der gleichen Einheit quantifizieren lassen, und zweitens denselben numerischen Wert haben, was wiederum den Wert der Schwerkraftbeschleunigung g festlegt. Andererseits wird für die Reibungskraft die Form der Stokes schen (d) Reibung F R = α v (I.15c) angenommen, mit α einer positiven Konstanten. Unter diesen Bedingungen lautet die Bewegungsgleichung (I.14b) m d2 x(t) dt 2 = m g α v(t), d.h., mit γ R α/m d v(t) + γ R v(t) = g. (I.16) dt Somit ergibt sich eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Ihre Lösung erfolgt wie üblich. Zuerst wird die allgemeine Lösung v h der assoziierten homogenen Differentialgleichung d v h (t) dt + γ R v h (t) = 0 gesucht, und zwar v h (t) = C e γ Rt mit C R 3 beliebig. Zweitens ist eine spezielle Lösung v s der homogenen Differentialgleichung gebraucht: Zum Beispiel kann die stationäre Lösung d v s (t) dt + γ R v s (t) = g. v s (t) = 1 γ R g genommen werden. Mit deren Hilfe kann als dritter Schritt die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung als Summe aus v h (t) und v s (t) geschrieben werden: v(t) = v h (t) + v s (t) = C e γ Rt + 1 γ R g. Dabei soll noch die Integrationskonstante C festgestellt werden, was unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (hier bei t = 0) (d) G. G. Stokes,

23 I.2 Newton sche Gesetze 15 erfolgt. Aus der letzteren Gleichung folgt was schließlich zur Lösung v 0 v(t=0) = C + 1 γ R g C = v 0 1 γ R g, v(t) = v 0 e γ Rt + 1 e γ Rt γ R g (I.17) führt. Physikalisch findet man, dass der Einfluss der Anfangsgeschwindigkeit v 0 wegen der Reibungskraft auf einer Zeitskala τ R γ 1 R verschwindet. Dies führt zu einem stationären Endzustand, der unabhängig von der Anfangsbedingung ist. Wenn nötig kann man auch die Bahnkurve des Massenpunktes über bestimmen, und zwar x(t) = x 0 + x(t) = x e γ Rt t 0 v(t ) dt γ R v 0 + γ Rt + e γrt 1 γ 2 R g. (I.18) I.2.3 Drittes Newton sches Gesetz Das dritte newtonsche Gesetz auch bekannt als drittes Axiom, lex tertia, Reaktionsprinzip oder actio und reactio verknüpft die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben: Drittes Newton sches Gesetz Die von zwei Massenpunkten aufeinander ausgeübten Kräfte haben den gleichen Betrag aber entgegengesetzte Richtungen. (I.19a) Wenn die zwei Körper jeweils durch 1 und 2 gekennzeichnet werden, mit F 2 1 bzw. F 1 2 der auf den ersten durch den zweiten bzw. auf 2 durch 1 ausgeübten Kraft, dann gilt F 2 1 = F 1 2. (I.19b) Bemerkungen: Wie in der Bemerkung in I.5.1 a weiter diskutiert wird, schließt dieses Gesetz implizit die Existenz von Drei-Körper-Kräften aus. Laut dem dritten Gesetz ist die Reaktion von Körper 2 auf Körper 1 instantan, wenn Körper 1 eine Kraft auf Körper 2 ausübt. Dies wird in der Relativitätstheorie nicht mehr möglich sein, wenn die Körper sich nicht berühren. I.2.4 Viertes Newton sches Gesetz Als viertes newtonsches Gesetz, oder lex quarta, wird oft das Superpositionsprinzip für Kräfte hinzugefügt, das in I.1.3 schon dargelegt wurde: Viertes Newton sches Gesetz Wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kräfte F 1,..., F k, so addieren sich diese vektoriell. (I.20a)

24 16 Newton sche Mechanik Das heißt, die resultierende Kraft auf den Massenpunkt ist F = k F k. i=1 (I.20b) Es ist dann diese resultierende Kraft, die in der mathematischen Formulierung des zweiten Gesetzes (I.14) auftritt. I.2.5 Energieerhaltung Eine erste Folgerung der Newton schen Gesetze ist der Zusammenhang zwischen der Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunkts und der Arbeit der auf ihn ausgeübten Kräfte. Definition: Die kinetische Energie eines Massenpunktes mit Masse m und Impuls p bzw. Geschwindigkeit v wird definiert als T p 2 2m = 1 2 m v 2. (I.21) Bemerkungen: Offensichtlich hängt der Zahlenwert der kinetische Energie vom Bezugssystem ab. Dies ist in der Praxis aber kein Problem, denn nur Energiedifferenzen sind in der klassischen Mechanik von Bedeutung, wie z.b. in Gl. (I.23) unten. Die physikalische Dimension bzw. die SI-Einheit einer Energie ist wie für eine mechanische Arbeit! [E] = M L 2 T 2 bzw. das Joule (e) (1 J = 1 kg m 2 s 2 ). Für einen Massenpunkt, der nur konservativen Kräften unterliegt, gilt der Theorem (Energieerhaltungssatz): Wenn alle Kräfte konservativ sind, ist die Summe T + V E aus kinetischer und potentieller Energie eines Massenpunktes, entsprechend seiner Gesamtenergie, erhalten. (I.22) Die Erweiterung dieses Ergebnisses auf Systeme aus mehreren Massenpunkten wird in I.5.4 a dargelegt. Der Satz lässt sich beweisen, indem das Integral r2 r 1 F ( x) d x auf zwei unterschiedliche Weisen geschrieben wird. Da die Kraft konservativ ist, ist das Integral einerseits laut Gl. (I.11) gleich V ( r 1 ) V ( r 2 ). Andererseits gilt, unter Verwendung der Newton schen Bewegungsgleichung (I.14b) und der Identität d x = v(t) dt r2 t2 F ( x) d x = m d v(t) t2 [ ] d 1 v(t) dt = r 1 t 1 dt t 1 dt 2 m v(t)2 dt = T (t 2 ) T (t 1 ). (I.23) Somit gilt V ( r 1 ) V ( r 2 ) = T (t 2 ) T (t 1 ), d.h. wobei die Zeitpunkten t 1, t 2 beliebig sind. T (t 1 ) + V ( r 1 ) = T (t 2 ) + V ( r 2 ), Dabei bedeutet Gl. (I.23), dass die Arbeit der auf das System wirkenden Kräften gleich der Änderung der kinetischen Energie des Systems ist. (e) J. P. Joule,

25 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 17 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen Das erste und das zweite Newton sche Gesetz beruhen auf der Existenz von besonderen Bezugssystemen, nämlich von den Inertialsystemen. Sei angenommen, dass ein solches Inertialsystem B I existiert. Dann gibt es noch eine ganze Klasse anderer Inertialsysteme B, in denen die Gesetze der Newton schen Mechanik die gleiche Form annehmen, und zwar alle Bezugssysteme, die mit B I durch eine Galilei-Transformation verknüpft sind. In diesem ganzen Abschnitt werden Ortsvektoren bezüglich eines festen Koordinatensystems in B I bzw. B mit r bzw. r bezeichnet. Dementsprechend steht x(t) bzw. x (t) für die Trajektorie eines Massenpunktes bezüglich B I bzw. B. Für jede Klasse von einfachen Galilei-Transformationen und zwar Translationen ( I.3.1), Galilei-Boosts ( I.3.2) und Drehungen ( I.3.3) werden wir zeigen, dass die Beschleunigungen d 2 x(t)/dt 2 im Inertialsystem B I und d 2 x (t)/dt 2 im Bezugssystem B gleichzeitig verschwinden. Schließlich wird das Verhalten von Kräften unter Galilei- Transformationen diskutiert ( I.3.5). I.3.1 Translationen Eine erste Klasse von einfachen Transformationen zwischen Inertialsystemen oder genauer gesagt, zwischen Systemen von kartesischen Koordinaten, in deren Nullpunkte Inertialbeobachter ruhen besteht aus den Translationen, entweder im Raum oder in der Zeit. I.3.1 a Räumliche Translationen Betrachten wir zunächst den Fall eines Bezugssystem B bzw. eines Koordinatensystems in B, das sich aus dem Inertialsystem B I bzw. aus dem Koordinatensystem in B I durch eine räumliche Translation um einen festen Vektor a ableiten lässt. Dann sind die Koordinaten r bzw. r eines Punkts P bezüglich B I bzw. B über die Beziehung r = r a (I.24) verknüpft (vgl. Abb. I.2). Der gleiche Zusammenhang gilt für die Bahnkurven x(t) bzw. x (t) eines bewegten Massenpunkts. Somit gilt trivial nach Zeitableitung d x (t) dt = d x(t), dt d 2 x (t) dt 2 = d2 x(t) dt 2. Wenn keine Kräfte auf den Massenpunkt wirken, so dass x(t) = 0, dann ist auch x (t) = 0. Umgekehrt führt x (t) = 0 zu x(t) = 0, d.h. das erste Newton sche Gesetz (I.13) gilt genau dann in B, wenn es im Inertialsystem B I gilt. x 3 B I r P x 3 O x 2 a r B x 1 O x 2 x 1 Abbildung I.2

26 18 Newton sche Mechanik Bemerkung: Führt man zwei Translationen (um Vektoren a und b) hintereinander aus, so ist die resultierende Transformation ebenfalls eine Translation, und zwar um den Vektor a + b. I.3.1 b Translationen in der Zeit Sei jetzt angenommen, dass das Bezugssystem B bezüglich des Inertialsystems B I ruht, und dass die gleichen Raumkoordinaten in B als in B I verwendet werden, d.h. r = r für Ortsvektoren. Dagegen unterscheidet sich der in B gewählte Nullpunkt der Zeit t = 0 von dem Nullpunkt t = 0 in B I : t = t τ. (I.25) Dies entspricht einer zeitlichen Translation, so wie Gl. (I.24) eine räumliche Translation darstellt. Unter Verwendung der Kettenregel gilt dann für die Zeitableitungen in jedem Bezugssystem (3) d dt = dt dt d dt = d dt, und eine ähnliche Gleichung für die zweite Ableitungen. Insbesondere ist d 2 x(t)/dt 2 = 0 genau äquivalent zu d 2 x(t )/dt 2 = 0. Bemerkung: Gleichung (I.25) bedeutet nicht nur, dass die Beobachter in B I und B unterschiedliche Nullpunkte der Zeit genommen haben, sondern auch, dass die Zeit gleich schnell in beiden Bezugssystemen vergeht. Das heißt, hier wird t = αt τ mit α = 1 betrachtet. I.3.2 Eigentliche Galilei-Transformationen Ein Bezugssystem B bewege sich gegenüber dem Inertialsystem B I mit konstanter Geschwindigkeit. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die an B I und B gebundenen Beobachter Koordinatensysteme verwenden, deren Ursprungspunkte zur Zeit t = 0 übereinstimmen, während deren Achsen parallel sind, wie in Abb. I.3 dargestellt wird. Dann gilt für die Koordinaten eines bestimmten Punkts P in den beiden Bezugssystemen r = r ut. (I.26) Eine solche Transformation zwischen Bezugssystemen wird eigentliche Galilei-Transformation oder auch Galilei-Boost genannt. x 3 B I r P x 3 O x 2 ut r B x 1 O x 2 x 1 Abbildung I.3 (3) Die hier benutzte Notation bedeutet, dass für jede Funktion f(t ) = ϕ ( t(t ) ) die Gleichung df(t )/dt = dϕ/dt gilt.

27 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 19 Die Beziehung (I.26) führt für die Bahnkurven x(t) bzw. x (t) eines bewegten Massenpunkts P sofort zu d x (t) = d [ ] d x(t) d 2 x (t) x(t) ut = u und dt dt dt dt 2 = d2 x(t) dt 2. Die erstere Gleichung bedeutet, dass die Beobachter in B I und B einem bewegten physikalischen System unterschiedliche Geschwindigkeiten zuordnen. Dagegen sind die durch die beiden Beobachter gemessenen Beschleunigungen gleich. Falls keine Kräfte auf P wirken, so dass x(t) = 0 in B I, dann gilt ebenfalls x (t) = 0 in B, d.h. was in einem der Bezugssystem als kräftefrei aussieht, wird auch im anderen Bezugssystem als kräftefrei gesehen. Bemerkung: Genau wie bei Translationen führt die Hintereinanderausführung zweier Galilei-Boosts zu einem neuen Galilei-Boost. I.3.3 Drehungen Die letzte Klasse einfacher Galilei-Transformationen besteht aus den Drehungen, um jede beliebige Achse im Raum. Sei somit angenommen, dass die Beobachter in B I und B Koordinatensysteme benutzen, deren Achsen gegenüber einander um einen konstanten Winkel θ gedreht sind. Dagegen stimmen die Ursprungspunkte der Koordinatensysteme miteinander überein. B I B r θ e R Abbildung I.4 In diesem Fall lassen sich Ortsvektoren bezüglich B bzw. ihre Koordinaten aus denen bezüglich B I durch eine konstante 3 3-Drehmatrix R erhalten: (4) r = R r. (I.27a) Äquivalent lässt sich diese Beziehung komponentenweise schreiben: x i = R i jx j, (I.27b) mit R i j für i, j {1, 2, 3} den Matrixelementen von R. Bemerkung: Bei der hier betrachteten Drehung sowie bei den Translationen in I.3.1 oder den Galilei-Boosts in I.3.2 handelt es sich um eine sog. passive Transformation. Im Gegensatz zu einer aktiven Drehung wird der betrachtete Massenpunkt nicht gegenüber anderen Objekten gedreht; hier wird der Beobachter oder äquivalent das Bezugs- bzw. Koordinatensystem, in dem der Massenpunkt beschrieben wird, gedreht. (4) Vgl. Anhang B über Drehmatrizen.

28 20 Newton sche Mechanik Beziehung (I.27a) bzw. (I.27b) gilt auch für die Bahnkurve eines Massenpunkts bezüglich jedes der Bezugssysteme bzw. für die Komponenten der Bahnkurve. Da die Beziehung zwischen Bahnkurven linear und zeitunabhängig ist, gibt sie nach zweifachen Zeitableitung bzw. d 2 x (t) dt 2 d 2 x i (t) dt 2 = R d2 x(t) dt 2 d 2 x j (t) = R i j dt 2. Somit führt x(t) = 0 zu x (t) = 0. Da jede Drehmatrix invertierbar ist, gilt die Implikation auch in der umgekehrten Richtung. Bemerkung: Wie bei Translationen oder Galilei-Boosts ist das Produkt zweier Drehmatrizen, entsprechend der Verkettung der assoziierten Drehungen, wieder eine Drehmatrix. Dabei ist aber das Produkt zweier Drehmatrizen im Allgemeinen nicht-kommutativ, d.h. die Reihenfolge, in der die Drehungen aufeinander folgen, ist wichtig. I.3.4 Allgemeine Galilei-Transformationen Generell sind die Galilei-Transformationen G die linearen Abbildungen (t, x) G(t, x) = (t, x ) zwischen den Zeiten und Positionen gemessen in zwei unterschiedlichen Inertialsystemen. In I.3.1 I.3.3 wurde gezeigt, dass räumliche oder zeitliche Translationen, Galilei-Boosts und Drehungen Beispiele solcher Galilei-Transformationen sind. Allgemeiner definiert jedes Produkt d.h. Hintereinanderausführung von Translationen im Raum oder in der Zeit, Galilei-Boosts und Drehungen eine allgemeine Galilei-Transformation. Dabei hängt die resultierende Transformation von der Reihenfolge der Transformationen ab, genau wie es schon bei Drehungen der Fall ist. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Galilei-Transformation zwischen Inertialsystemen sich als Verkettung von Translationen, Drehungen und Galilei-Boosts zerlegen lässt. Schließlich ist das Produkt zweier Galilei-Transformationen wieder eine Galilei-Transformation. Somit bilden diese Transformationen mit diesem Produkt mathematisch eine sog. Gruppe. (5) Dabei benutzt man auch, dass es ein neutrales Element für das Produkt gibt, und zwar die Identitätstransformation, dass jeder Galilei-Transformation eine inverse Transformation zugeordnet werden kann, und schließlich dass das Produkt assoziativ ist. Da das Ergebnis eines Produkts von der Reihenfolge der Multiplikanden abhängt, wird die Gruppe als nicht-kommutativ oder äquivalent nicht-abelsch (f) bezeichnet. Bemerkung: Die Translationen im Raum oder in der Zeit, die Drehungen und die Galilei-Boosts bilden jeweils Untergruppen der Galilei-Gruppe. I.3.5 Kräfte und Galilei-Transformation In den vorigen Paragraphen wurde nur das Verhalten des Ortsvektors und seiner Ableitungen unter Galilei-Transformationen von einem Inertialsystem zu einem anderen betrachtet. Daraus folgt, dass wenn die Beschleunigung x(t) eines Massenpunktes in einem Inertialsystem B I verschwindet, dann gilt x (t) = 0 für einen Beobachter, dessen Koordinatensystem mit dem in B I über eine Galilei- Transformation zusammenhängt. Um zu zeigen, dass das zweite Newton sche Gesetz (I.14) ebenfalls in beiden Bezugssystemen B I und B gleichzeitig gilt, soll noch das Transformationsgesetz für Kräfte präzisiert werden. Dafür soll man die Form der Kraft genauer berücksichtigen. (5) Diese Gruppe wird manchmal mit Gal(3) bezeichnet. (f) N. H. Abel,

29 I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte 21 Kräfte der Form F = F e F relativ zu B I, mit konstantem Betrag F und einer festen Richtung e F im Raum, transformieren sich unter Drehungen genau wie Ortsvektoren indem e F für einen Inertialbeobachter in B gedreht aussieht, während sie unter Translationen oder Lorentz-Boosts invariant bleiben. Somit gilt die Gleichung m x(t) = F sowohl in B I als (mit gestrichenen, transformierten Vektoren) in B. Ein Beispiel für eine solche Kraft ist die Schwerkraft m g in einem homogenen Schwerefeld. Realistische ortsabhängige Kräfte hängen nicht vom Ortsvektor des Körpers ab, auf den sie ausgeübt werden, sondern nur von seinem Abstandsvektor von einem anderen Körper. Dies ist z.b. der Fall der Newton schen Gravitationskraft zwischen zwei Massenpunkten. Dieser Abstandsvektor, und somit die Kraft, bleibt unverändert unter Translationen oder Lorentz- Boosts, während es sich unter Drehungen genau wie ein Ortsvektor bzw. eine Beschleunigung verhält. Wieder gilt m x(t) = F sowohl in B I als in B. Bei geschwindigkeitsabhängigen Kräften ist eine zusätzliche Fallunterscheidung nötig. Bei Reibungskräften, wie z.b. der Stokes schen Reibung (I.15c), ist die relevante Geschwindigkeit diejenige relativ zum Ruhesystem eines Mediums z.b. der Luft oder Flüssigkeit, durch welche der Körper sich bewegt. Diese Relativgeschwindigkeit ändert sich nicht, bis auf Änderungen der beobachteten Richtung, unter den Transformationen der I.3.1 I.3.3, so dass die Gleichung m x(t) = F die gleiche Form in B I und in B annimmt. Der Fall der Lorentz-Kraft ist mehr problematisch. In Abwesenheit eines elektrischen Feldes E lautet sie F = q v B, mit B einem statischen magnetischen Feld. Dabei ist v die Geschwindigkeit der bewegten Punktladung relativ zum Bezugssystem, in dem E = 0 und B stationär ist. In Bezugssystemen, die sich relativ zu diesem Bezugssystem mit einer Geschwindigkeit u bewegen, nehmen E und B unterschiedliche Forme an, wie man im Rahmen der Elektrodynamik nachprüfen kann. Die Felder ändern sich dabei so, dass die Lorentz-Kraft, einschließlich des Terms mit E, (in Betrag) invariant bleibt. Dies gilt zumindest annähernd, solange u klein ist, und zwar gegenüber dem Vakuumlichtgeschwindigkeit. Für entsprechende Galilei-Boosts erhält die Gleichung m x(t) = F die gleiche im gleichförmig bewegten Bezugssystem als in einem Inertialsystem. Eigentlich transformieren sich die Gleichungen der Elektrodynamik unter Galilei-Boosts nicht, wie sie sollten, damit Galilei-Transformationen die richtigen Transformationen zwischen Inertialsystemen darstellen. Auf dieses Thema wird in Kap. V weiter eingegangen. Abgesehen vom oben erwähnten Problem mit der Lorentz-Kraft nimmt die mathematische Formulierung (I.14) des zweiten Newton schen Gesetzes die gleiche Form in allen Bezugssystemen an, die sich aus einem Inertialsystem über eine Galilei-Transformation ableiten lassen. Deshalb sind diese Bezugssysteme auch Inertialsysteme. I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte Im vorigen Abschnitt wurde gesehen, dass ein Bezugssystem B, das sich relativ zu einem Inertialsystem B I gleichförmig und geradlinig bewegt, oder dessen Koordinaten konstant verschoben oder gedreht gegenüber solchen von B I sind, ebenfalls ein Inertialsystem ist. In diesem Abschnitt wird wieder ein Inertialsystem B I betrachtet, in denen die Newton schen Gesetze des Abschn. I.2 gelten. Dann bezeichnet B ein zweites Bezugssystem in beschleunigter Bewegung gegenüber B I. Wie wir sehen werden ist ein solches Bezugssystem kein Inertialsystem.