Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1

Transkript

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2 Car aerodynamics, wake visualization Morelli-Shape (Cd = 0.2) Mercedes Bionik-Car -> boxfish. Despite its boxy, cube-shaped body, this tropical fish is in fact outstandingly streamlined and therefore represents an aerodynamic ideal. With an accurately constructed model of the boxfish the engineers in Stuttgart were able to achieve a wind drag coefficient of just 0.06 in the wind tunnel. 2

3 Unsteady aerodynamics / insect flight 3

4 Delta wing / over the limit? 4

5 Shock waves shadowgraph of supersonic bullet flying The wave pattern generated by a model of a Porsche 944 in a Mach 3 wind tunnel 5

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7 Jets in a cross-flow 7

8 Vortex rings Vortex ring collision (90 ) 8

9 Slender vortices / trailing vortices Crow instability 9

10 Beispiele Bereich Maschinenbau Wärmetauscher: Brennkammer: Turbinenschaufeln: Kolbenströmungen: Druckverlust, Wärmeübergang Vermischung von Brennstoff und Sauerstoffträger, Wand- und Flammentemperaturen, Schadstoff- Emissionen. Wirkungsgrad, Kühlung. Vermischung, Wirkungsgrad, Rußbildung (Diesel). 10

11 Rückblick I Aus integralen Erhaltungssätzen der Physik Grundgleichungen für reibungsfreie Strömungen: Kontinuitätsgleichung: ρ t div ( ρ u ) = 0 Euler Gln.: u t grad u rot u u = grad ρ p f Näherung inkompressible Strömung 11

12 Ausblick I Grundgleichungen für allgemeine Strömungen: Kontinuitätsgleichung Navier-Stokes Gleichungen (Impulsgleichungen) Energiegleichung Zustandsgleichungen der Thermodynamik Konzentrationengradienten in Lösungen Randbedingungen Vertiefung der Stromfadentheorie (kompressibel) Düsenströmungen: Lavaldüse Überschallströmungen Verdichtungsstöße 12

13 Ausblick II Verdichtungsstöße in 3D-Strömungen Überschalltriebwerke (Fighter) Gasturbinen ( Schallmauer Überschallknall) Reibungsfreie, inkompressible, 2- und 3-dimensionale Körperumströmungen Tragflügeltheorie konforme Abbildungen: Propeller, Windturbine, Strömungsmaschinen Warum kann ein Fußball (Tennisball) um eine Kurve fliegen? (Bananen-Flanke Manni Kaltz ) 13

14 Ausblick III Exakte Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Strömungen: Laminare Kanal- und Rohrströmungen Strömungen zwischen zwei koaxialen Zylindern Schleichende Strömungen Stokes Gleichungen Schmierspalt Konvektionsströmungen Freie Konvektion Erzwungene Konvektion N. St. Gleichungen Grenzschichtgleichungen: Grenzschicht - Theorie 14

15 Ausblick IV Technisch relevante Strömungen und Strömungen in der Natur sind fast immer turbulent - Turbulenztheorie: Warum werden Strömungen turbulent? Wie können turbulente Strömungen erforscht und beschrieben werden? Kenntnisse sind notwendig für sinnvolle numerische Simulationen mit kommerziellen Programmen im Maschinenbau, in der Verfahrenstechnik, bei der Schadstoffausbreitung! 15

16 Grundlagen der Vektoralgebra Volumenableitung eines Skalars oder Vektors 1) geschlossene Fläche mit V 2) bilde über die Eigenschaft A 3) Grenzwert aus skalarer Fluss durch die Fläche A V V 0 Volumenableitung eines Vektors = Divergenz Quellterm oder auch Dilatation u Skalarer Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn vergleiche: Vektorieller Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn 16

17 Gauß scher Integral-Satz Skalar: Vektor: V D f dv = f n da für j=1, 2, 3 j A j D1 n1 Es ist D j = / x j mit D = D 2 und n = n 2 D n V V A 3 3 D f dv = f dv = f n da Skalarprodukt! 1 Beispiel: f( x) dx f( 1) f( 0) = 0 Ränder! Tensor: D σ dv = σ dv= σ nda für j=1, 2, 3 j j j V V A σ1 σ1 Es ist σ = σ eine Tensormatrix mit Zeilen σ =σ x, dann ist D σ = σ = σ 2 j j 2 σ3 σ3 ( ) 17

18 Reynolds Transport-Theorem Substantielle Ableitung: d = u v dt t x y = ( u ) t Substantielle Änderung einer Volumen-Eigenschaft J(t) dj dt d = ε dv mit der Eigenschaftsdichte ε, z.b. ρ, ρu... dt V V V V ε = dv ε ( u n) da t ε = dv ( ε u) dv t A V V ( ) ( ) = ε u u ε dv ε = ( u ) ε ε ( u) dv t dε = ε dt V ( u) dv Gauss-Integralsatz Produktregel 18

19 Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V 0 Massenstrom durch Oberfläche A von V 0 = Null V0 ρ dv ρ( u n) da = t A= Rand V0 Volumenintegral vermöge Gauß scher Integralsatz A ρ ( unda ) = ( ρ ) V 0 udv ρu1 ( ρu1) ( ρu2) ( ρu3),, ρu2 = x y z ρ x y z u3 ρ ρ ρ ρ u = ρ ρ 1 u2 u3 u1 u2 u3 x x y y z z 19

20 Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V 0 Massenstrom durch Oberfläche A von V 0 = Null Kontinuitätsgleichung: ρ div( ρu ) = 0, t ρ u gradρ ρdivu = 0, t d ρ ρ divu = 0. dt Einstein sche Summenkonvention Inkompressible Strömungen: divu = 0, 20

21 Grundgleichungen Navier-Stokes- Gleichungen Die zeitliche Änderung des Impulses in V 0 Inertialsystem Impulsstrom durch Oberfläche A von V 0 = Σ äußere Kräfte Gauß, V 0 beliebig und Subtraktion u Kontinuitätsgleichung σ Drehimpulserhaltung Symmetrie Offen: (Strömungsgrößen)? 21

22 Tensoranalysis / dyad. Produkt 22

23 Drehimpulserhaltung: Symmetrie von 23

24 Normal- und Schubspannung Normalspannungen: Dehnung u. Stauchung Schubspannungen: Scherung 24

25 Fluidbewegung allgemein Fluidbewegung: u du = u ( DΩ) dr = D dr rotu dr Ω= u v u w 0 y x z x v u v w x y 0 z y w u w v 0 x z y z D = Def = u u u v u w x x y x z x u v v v w v y x y y y z u w w v w w z x y z z z 25

26 Rotation und Wirbel Fluidbewegung allgemein: Rotationsfreie Bewegung auf kreisförmiger Bahn Translation Rotation Scherung/Dehnung Ebene Scherschicht: ω 0 Strömung ist drehungsbehaftet, aber keine Wirbelströmung Potentialwirbel: ω = 0 Singularität vereint gesamte Wirbelstärke 26

27 Drehung und Deformation mittlere Winkelgeschwindigkeit mittlere Schergeschwindigkeit (dβ d α ) v u ωz = = dt x y γ xy (dβ d α ) u v = = dt y x Winkel-erhaltende Bewegung, z.b. Festkörperrotation Richtung der Diagonalen bleibt erhalten, z.b. Staupunktströmung 27

28 28 Deformations-Tensor = i j j i x u x u z w z w z v y w x w z u z v y w y v y v x v y u x w z u x v y u x u x u u def = = = = x w z u y w z v x v y u dt d d xz yz xy γ γ α β γ,, z w y v x u z y x = = = ε ε ε,, Annahme: Verschiebungsgradient klein => quadr. Terme vernachlässigbar

29 Stokes sche Spannungstensor (1) 1 2ε x γ xy γ xz ε p 1 σ= η γ xy 2ε y γ yz λ ε 1 γxz γyz 2ε z ε = def ( u) u v w ε=ε x ε y ε z = = x y z div u Lamé-Konstante (Volumendilatation) div σ= grad p div( η def u) grad ( λ div u) Kinetische Gastheorie 1. Ordnung: Mittelwert der Normalspannungen unabhängig von kinematischen Variablen (keine Dilatationsviskosität: η = ) V 0 ( ) 2 3 σ = 1 σ σ σ λ=η 3 = η ii xx yy zz V 0 29

30 Stokes sche Spannungstensor (2) div σ= grad p div( η def u) grad ( λ div u) Tensoranalysis: div σ= grad p ηδ u λη grad (div u) ( ) 30

31 Grundgleichungen Navier-Stokes-Gleichungen Allgemein: Inkompressible Strömungen: divu = 0 Tensoranalysis: Für jedes Vektorfeld gilt: 31

32 Grundgleichungen Navier-Stokes-Gleichungen Transportterm Quellterme Materielle Darstellung der Transportgleichung: Totales Differential stellt Änderung für mitbewegtes Fluidelement dar 32

33 Navier-Stokes-Gleichungen - Näherungen Dimensionslose Variablen: Wichtige Näherungen: 33

34 Navier-Stokes-Gleichungen Euler Gleichungen äquivalent: Achtung! Terme mit den höchsten Ableitungen entfallen, 34

35 Navier-Stokes-Gleichungen Stokes Gleichungen Reibungsdominierte Strömungen, man spricht von schleichenden Strömungen!! 35

36 Grundgleichungen - Energiesatz Die zeitliche Änderungen der Energie (innere und kinetische) in V 0 Energiestrom durch Oberfläche A = Arbeit der Σ äußere Kräfte n Gauß Subtraktion: Energie Kontinuitätsgleichung Subtraktion: Navier-Stokes-Gleichungen 36

37 Energiesatz Energieerhaltung - Impulserhaltung (Navier Stokes) * Geschwindigkeit (mechanischer Energiesatz) = Energiesatz (1. Hauptsatz der Thermodynamik) 37

38 Energiesatz mit 38

39 Energiesatz 1. H.S. der Thermodynamik Keine Dissipation, ideales Gas, konstanter Druck: Keine Dissipation, ideales Gas, konstante Dichte: 39