Implementierung von FIR- Filtern

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1 T E C H N I S C H E U N I V E R S I T Ä T B E R L I N Institut für Nachrichtentechnik und Theoretische Elektrotechnik Fachgeiet Fernmeldetechnik Prof. Dr.-Ing. P. Noll Implementierung von FIR- Filtern Gunnar Eisenerg DSP-Laor WS 2/21; lette Revision: Grundlagen Unter Finite Impulse Response (FIR) Filtern versteht man Filter, die ur Berechnung eines Ausgangswertes y(n) nur den gerade anliegenden Eingangswert u(n) und eine egrente Anahl vorangegangener Eingangswerte u(n-) mit verschiedenen Gewichtungen verknüpfen. FIR Filter werden auch nichtrekursive Filter genannt, es werden also keine vergangenen Ausgangswerte y(n-k); (k>) des Filters auf den Eingang urückgekoppelt: y( n) u( n ). (1) Die wichtigste, namensgeende Eigenschaft der FIR- Filter ist die endliche Impulsantwort der Länge +1: h ( n > ). (2) Mit der Definition der diskreten Summenfaltung: k y ( n) h( n)* u( n) h( k) u( n k) (3) folgt aus (1), (2) und (3), dass die Atastwerte der Impulsantwort h(n) identisch mit den Werten der Koeffiienten sind: h( n) δ ( n ). (4) Weitere wichtige Eigenschaften der FIR Filter sind: - FIR Filter sind (auch ei egrenten Wortlängen der uantisierten Koeffiienten) eitlich streng egrent, und somit grundsätlich stail (BIBO). - Es können exakt linearphasige Filter realisiert werden. - Filter mit konstanter Gruppenlaufeit sind realisierar. - Es treten keine Grenyklen auf (wie sie ei IIR Filtern entstehen können). - Steilflankige FIR Sperrfilter erfordern eine höhere Ordnung (), und somit einen höheren Multipliiereraufwand, als äuivalente IIR Filter. - Adaptive Strukturen (eitvariale Filterkoeffiienten) lassen sich mit FIR Filtern am einfachsten realisieren, da die Stailität immer gewährleistet ist. Die Systemfunktion eines FIR- Filters ergit sich u: H ( ) h( ) 1 ( ). (5) TU Berlin FG Fernmeldetechnik Gunnar Eisenerg

2 DSP-Laor WS 2/21 FIR Filter Seite 2 von 5 Die Systemfunktion eines FIR- Filters hat somit Nullstellen, die entweder reell sind, oder als konjugiert komplexes Nullstellenpaar auftreten, und eine -fache Polstelle im Ursprung. Während die Nullstellen den Freuengang estimmen, gewährleistet der -fache Pol die Kausalität des Filters. 2. Direkte Struktur des Filters Aus (1) w. (4) folgt sofort die direkte Struktur (Bild 1). Bild 1: Nichtrekursives Filter in direkter Struktur (uelle: [2] S.159) Die direkte Struktur hat gegenüer anderen Realisierungsformen neen der einfachen Üerschauarkeit folgende Vorteile: - Minimierung der Rauscheinflüsse durch uantisierung (siehe Aschnitt 3), - Einfache Implementierung auf DSPs in Assemler, da die Rechenwerke der Proessoren meist Multipliierer mit nachgeschalteten Akkumulatoren (Multiplier- Accumulator, MAC) ereitstellen, mit denen die unmittelare Ausführung der diskreten Faltung möglich ist. Die direkte Faltung lässt sich gut mit dem Modell der Papierstreifenmethode (Bild 2) erklären, ei der das Eingangssignal uasi an den Koeffiienten vorei geschoen wird. Bild 2: Faltungsoperation w(n)u(n) v(n) mittels der Papierstreifenmethode (uelle: [3] S.179) Um im Speicher ein ständiges Umkopieren (shiften) der vergangenen Eingangswerte u vermeiden, sollte als Eingangspuffer ein Ringpuffer mit eweglichen Schrei- und Leseeigern verwendet werden. TU Berlin FG Fernmeldetechnik Gunnar Eisenerg

3 DSP-Laor WS 2/21 FIR Filter Seite 3 von 5 3. Darstellung der Koeffiienten als Festkommaahlen Die im reellen Zahlenereich R erechneten (unegrenten) Filterkoeffiienten können ur Verareitung in einem DSP entweder als Gleitkommaahlen oder als Festkommaahlen digitalisiert werden. Da die Gleitkommaarithmetik aufwendiger ist, und Gleitkommarechenwerke in der Herstellung teurer sind, wird die Festkommadarstellung evorugt. Die Filterkoeffiienten werden uantisiert (gerundet oder eschnitten), so dass sie als Festkommaahlen β der Wortlänge M gespeichert werden können: B M 1 M 1 β mit: 2 B 2 1, B, (integer), (6) 2 woei die Anahl der Stellen der Festkommaahl hinter dem Komma angit (je größer, desto größer die Genauigkeit). Die eigentliche uantisierung der Koeffiienten erfolgt üer die Berechnung der Hilfsgröße B : B round( 2 ). (7) Die hierdurch entstehenden uantisierungsfehler wirken sich auf die Lage der Nullstellen der Systemfunktion in der -Eene, und somit auf die Impulsantwort aus. Ein ursprünglich erfülltes Toleranschema kann nach der uantisierung der Koeffiienten verlett werden. Auf den ersten Blick erscheint ein maximal großes sinnvoll, jedoch eigt sich, dass ein u großes und somit u genauer Koeffiient β u reite Binärwörter ur Folge hat (vgl. Aschnitt 4 und 5). 4. Berechnung der Wortreiten im DSP Bei der Multiplikation eines Filterkoeffiienten β der Breite M it mit einem digitalisierten Eingangswert des Filters u(n) der Breite E it entsteht als Ergenis ein Wort, das maximal die Breite J it hat: J E + M. (8) Dieses J it reite Wort liegt nun am Akkumulator an (siehe Aschnitt 2) und wird dort mit den anderen verögerten Werten addiert. Bei der Addition von wei Binärwörtern der Breite J it entsteht als Ergenis ein Wert der maximal die Breite J+1 it hat. Werden +1 Wörter der Breite J it addiert, so entsteht als Ergenis ein Wert der Breite A it: A J + log2 ( + 1) E + M + log 2 ( + 1). (9) Dieses Ergenis folgt aus der Üerlegung, dass man wei J+1 it reite Wörter addiert (die selst aus wei Additionen entstanden sind), die als Ergenis ein J+2 it reites Wort ergeen, usw. Die Anahl +1 der u akkumulierenden Werte wird durch die Länge der Impulsantwort +1 festgelegt. TU Berlin FG Fernmeldetechnik Gunnar Eisenerg

4 DSP-Laor WS 2/21 FIR Filter Seite 4 von 5 5. Anpassung der Wortreiten Falls es theoretisch u Üerläufen kommen kann, muß entweder M,E oder reduiert werden. Hierei wirkt sich die Reduktion der einelnen Größen jedoch unterschiedlich stark auf die ualität des Ergenisses aus. Nicht sinnvoll: Reduktion der Eingangswortreite E um 1 it 6dB größeres uantisierungsrauschen des Eingangssignals. Verkürung der Impulsantwort für 1 it Ersparnis Halierung(!) der Anahl der Filterkoeffiienten. Sinnvoll: Verkürung der Koeffiientenwortreite M um 1 it Verkleinerung der Koeffiientengenauigkeit Die Verkürung von Ms ietet sich esonders ei nicht adaptiven Systemen an, da hier die Koeffiienten von vornherein ekannt sind, und eine maximale Genauigkeit evtl. keinerlei ualitätsveresserung ringen würde. 6. Auslick Neen der direkten Auswertung der Faltung im Zeitereich mit der Papierstreifenmethode (Bild 2), ist auch eine Blockweise Verareitung des Eingangssignals möglich. Die Eingangslöcke u r (n) der Länge L können entweder lockweise gefaltet werden (.B. mit der Matrixmethode, Bild 3) oder mit Hilfe der schnellen Faltung. Bild 3: Blockweise Faltung w(n)u(n) v(n) mittels der Matrixmethode (uelle [3] S.179) Bei der schnellen Faltung kann Rechenaufwand gespart werden, wenn die Transformation der Impulsantwort H(k) offline erechnet und gespeichert wird. Außerdem müssen die Eingangslöcke u r (n) der Länge L und die Impulsantwort h(n) der Länge +1 unedingt mittels ero padding auf eine Länge 2 a N L+ (mit a ℵ) erweitert werden um FFTs anstelle von DFTs durchführen u können. Die ei lockweiser Verareitung des Eingangssignals entstehenden Ausgangslöcke müssen eitversett addiert werden (overlap- add). TU Berlin FG Fernmeldetechnik Gunnar Eisenerg

5 DSP-Laor WS 2/21 FIR Filter Seite 5 von 5 7. Literatur [1] Aii, Seyed Ali: Entwurf und Realisierung digitaler Filter. R.Oldenourg, 1988 [2] Kammemeyer, Karl Dirk; Kroschel, Kristian: Digitale Signalverareitung. B.G.Teuener, 1998 [3] Noll, Peter: Signale und Systeme. TU Berlin, FG Fernmeldetechnik, Script ur Vorlesung [4] Yates, Randy: Practical Considerations in Fixed-Point FIR Filter Implementations. Digital Sound Las, 2 TU Berlin FG Fernmeldetechnik Gunnar Eisenerg