k 2,7183 heißt Eulerzahl (1+ k ) 2. Zusammenhang Exponentialfunktion Logarithmus exp b (log b (x)) = b log b (x) = x log b (exp b (x)) = log b

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1 Expoetiafuktio/Logarithmus. Fuktioe Merke: e im + = im k 0 + k k 2,783 heißt Euerzah Expoetiafuktio zur Basis b f : R R +, x b x exp b x Fuktio Logarithmus vo x zur Basis b f : R + R, x og b x Umkehrfuktio mit b R + {}. Defiitioe: x og e x d x og 2 x gx og 0 x ogarithmus aturais, Natüricher Logarithmus. Achtug: Machma auch ogx z.b. GeoGebra, Maxima. ogarithums duais, Zweier-Logarithmus, machma auch bx biär. Zeher-Logarithmus, oder dekadischer Logarithmus. Achtug: Oft auch og x z.b.: Tascherecher! Verwechsugsgefahr mit x! Tipp: bei ubekate Tascherecher / Programme: eifach og0 eigebe: Fas Ergebis =, da ist es der 0-er Logarithmus. 2. Zusammehag Expoetiafuktio Logarithmus Fuktio Umkehrfuktio: Es git: f f x = x, aso ud f f x = x, aso exp b og b x = b og b x = x og b exp b x = og b b x = x Löse vo Geichuge mit x im Expoete: y = b x x = og b y I Worte: Der Logarithmus vo y zur Basis b ist die Zah mit der ma b poteziere muss um y zu erhate. /7

2 Geichuge mit Expoetiafuktio oder Logarithmus auföse: f x = g x f x = g x Beispie: 3 = 2 x+ 2 Logarithmiere Deogarithmiere Logarithmiere 3. Recherege b f x = b gx og b f x = og b g x fas f x> 0 g x> 0 x D d 3 = x+ 2 x = d 3 2 Rege Beweis og b = 0 = b 0 = b og b 2 og b b = b = b = b og bb 3 b ogbx = x ach Defiitio, oder f f x = x 4 og b b x = x mit y=b x git: x = og b y = og b b x, oder f f x = x 5 og b a x = x og b a og b a x = og b b og b a x = og b b x og b a = x og b a 6 og b x y = og b x+ og b y og b x y = og b b og bx b og by = og b b og bx+ og y b = og b x+ og b y 7 og b x y = og bx og b y og b x y = og b x y = og b x+ og b y = og b x og b y 8 a x = b x og ba 9 og b x = x b a x = b og ba x = b x og ba og b x = og b x b b = bog bx b = x b 0 a x =e x a a x = e ax = e x a 2/7

3 4. Aweduge: 4. Abeitug vo a x f ' x = a x ' = im h 0 = f x f '0 ax+h a x h = im ax h 0 a h h = ax im ah h 0 h = a x = f x ah a 0 h 0 h im = f '0 Wir suche u ei a so, dass f '0 =, de da hätte wir eie Fuktio mit f 'x = f x Wir betrachte im Fogede u de Term f '0 = im h 0 Trick: setze a h k a h = k+ h = k+ ah h = k k+ im ah h 0 h = im = im k 0 k k+ = im k 0 k k+ k 0 e = e = e a ah h k ak+ = im og = a k 0 k+ k Aso a x ' = a x a isbesodere e x ' = e x, ' x = x ud 'x = x a =x de e x = x e x ' = x' e x 'x = ' x = x ud x ' = x a ' = a x = x a 4.2 Dezibe Beat ach dem Schotte Aexader Graham Be, * Kaada britischer 3/7

4 Sprechtherapeut, Erfider ud Großuterehmer. Er git as der erste Mesch, der aus der Erfidug des Teefos Kapita geschage hat, idem er Idee seier Vorgäger zur Marktreife weiteretwickete. Wikipedia Ist x ei Größe ud x 0 eie Bezugsgröße geicher Eiheit, da wird der Wert y = og 0 x x 0 B mit der Eiheit Be [ Be ]=B bezeichet. Ei Dezibe db ist defiiert as db= 0 B. Immer Bezugsgröße beötigt: Spaug: 0 db 0,775V Schapege: 0 db P Schaquee/Ereigis db bezügich Hörschwee Schadruck i P Hörschwee bei 2 khz Bätterrausche, ruhiges Atme 0 6,3 0-5 Sehr ruhiges Zimmer ,3 0-4 Normae Uterhatug, m etfert ,3 0-3 Ferseher i m Zimmerautstärke ca. 60 db 0,02 Pkw, 0 m etfert ,02 0,2 Hauptverkehrsstraße, 0 m etfert Gehörschäde bei agfristiger Eiwirkug Pressufthammer, m etfert / Diskothek Düsefugzeug 00 m etfert Gehörschäde bei kurzfristiger Eiwirkug ,2 0,63 ab 85 0,36 ~ ,3 200 ab Schmerzschwee Ei Spaugspege ist mit 0 db agegebe, wie groß ist diese Spaug? Ei Siga wird um 3 db verstärkt / gedämpft. Um wie vie wurde das Siga agehobe / abgeschwächt? 4/7

5 y d B = og 0 x x 0 0 = og 0 x og 0 x 0 og 0 x = y db og 0 x 0 x = 0 y db og 0 x 0 = 0 y db 0 og 0 x 0 = 0 y db x 0 = 0 y 0 x 0 db -0 db -6 db -3 db 0 db 2 db 3 db 6 db 0 db Faktor , Richterskaa M L = og 0 A max A 0, Faktor für freigesetzte Eergie pro Pukt auf Skaa: ca 32. A max i μm :Ausschag eies kurzperiodisches Stadardseismometers i eier Etferug vo 00 km zum Epizetrum. A 0 : Bezugsterm/Korrekturterm z.b. für verschiedee Etferuge Erdbebe Japa 20: Beim Hauptbebe wurde eie Eergie vo ca.,9 0 7 J freigesetzt. Etspricht etwa Primäreergieverbrauch Deutschads i eier Woche im Jahr 200 oder Eergie der stärkste je gezüdete Wasserstoffbombe. Am 3. Apr. 992 gab es ei Erdbebe ahe Roermod Niederade mit der Magitude 5,9. Wie vie mehr Eergie setzte das Erdbebe vo Japa 20 frei, desse Magitude mit 9,2 agegebe wird? 32 9,2 5,9 3,5 0 3 = 35 Biioe 5/7

6 4.4 ph-wert Oxoiumio: H 3 O + Hydroxidio: OH Vereifacht: ph og 0 [ H 3 O + ] mo, poh og 0 [OH ] mo ph + poh = 4 Durchschittiche ph-werte eiiger gebräuchicher Lösuge Substaz ph-wert Art Sazsäure 35 % - Sazsäure 3,5 % 0 Magesäure üchterer Mage,0,5 Zitroesaft 2,4 Coa 2,0 3,0 Essig 5% - 6% 2,5 Fruchtsaft der Schattemoree 2,7 Orage- ud Apfesaft 3,5 Wei 4,0 sauer Saure Mich 4,5 Bier 4,5 5,0 Saurer Rege < 5,0 Kaffee 5,0 Tee 5,5 Rege atüricher Niederschag 5,6 Mierawasser 6,0 Mich 6,5 Wasser je ach Härte 6,0 8,5 sauer bis Reies Wasser 7,0 akaisch Meschicher Speiche 6,5 7,4 But 7,4 Meerwasser 7,5 8,4 Pakreassaft Darmsaft 8,3 Seife 9,0 0,0 Haushats-Ammoiak,5 akaisch Beichmitte 2,5 Beto 2,6 Natroauge 3% 4 Natroauge 30% 5 6/7

7 Wie viee Oxoiumioe ethät damit ei Coa, we Coa eie ph Wert vo ca 2,5 aufweist? x ph = og 0 [ H 3 O + ] mo [ H 3 O + ] = 0 [ H 3 O + 2,5 mo ] = 0 x ph mo = 0 x ph 6, Teiche = 0 2,5 6, Teiche =3, Moeküe, aso ca 8000 H 2 O prooxoiumioe.9 02 H 3 O + 5. Ahag: Abschätzug im e : = = im im + = e e 4 : e = + = + i= = 2+ i ma i=0 i = + i i= 2 i = + i i= 2 = 2+ i i= i = + i i= 2 i = + + i + 2 i i 2 i = i 2+ = 2+ 2 i = = = = 2+ 2 = im 4 = 4 im i ma Defiitio vo e x : e x expx x k, mit x C. k=0 k! Quee für Tabee ud Bider: Wikipedia ud Ubekate, zum Tei verädert. 7/7