Ingenieur-Mathematik

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1 Ingenieur-Mathematik Von Dr. Robert Sauer Professor an der r eohnischen Hochschule München Erster Band Differential- und Integralrechnung Dritte erweiterte Auflage Mit 179 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1964

2 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung <les Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder nur andere Art zu vervielfältigen Librnry or Congress Cntnlog C'ntalog Card Kumber Springe -Verlag ßcrlin Hcidclbcrg 1959, 1961 and 1964 Urspriinglich erchienen bei Springer-Verlag , Berlin/Göttingen/ Heidelberg 1964 Sollcover reprint ofthe bardeover 3rd edition 1964 ISBN DOI / ISBN (ebook)

3 Vorwort zur dritten Auflage Während die zweite Auflage ein bis auf Berichtigung von Druckfehlern unveränderter Nachdruck der ersten Auflage war, unterscheidet sich die dritte von den vorangehenden neben einigen geringfügigen Abweichungen vom alten Text durch die Hinzunahme eines weiteren Kapitels. In diesem neu hinzukommenden III. Kapitel wird eine kurze Einführung in die lineare Algebra und den Matrizenkalkül gegeben. Mehrfache Anregungen, insbesondere auch aus Ingenieurkreisen, haben mich zu dieser Erweiterung des Buches veranlaßt. Da man in allen Zweigen des Ingenieurwesens letzten Endes immer wieder auf Systeme algebraischer linearer Gleichungen geführt wird, ist in der Tat eine gewisse Vertrautheit mit der Theorie und Praxis der Auflösung dieser Gleichungen und infolgedessen auch mit dem Matrizenkalkül für den Ingenieur von großer Wichtigkeit. Dies gilt erst recht, wenn der Ingenieur sich für seine Aufgaben heutzutage mehr und mehr moderner Rechenautomaten bedienen muß. Infolge der Hinzunahme des III. Kapitels ist der frühere 24 in Wegfall gekommen. Dadurch sind Umnumerierungen der Paragraphen und Gleichungen notwendig geworden. Bei einer Neuauflage des II. Bandes werden ebenfalls Umnumerierungen (auch der Kapitel) vorgenommen werden müssen. Was die allgemeine Tendenz des Buches betrifft, hat sich gegenüber den früheren Auflagen nichts geändert. Ich darf daher auf das Vorwort zur ersten Auflage verweisen. Wiederum habe ich vielen meiner Mitarbeiter für die kritische Durchsicht des Manuskripts, wichtige Verbesserungsvorschläge und insbesondere für die Sorgfalt und sehr beträchtliche Mühe bei der Überarbeitung und Ergänzung des Sachverzeichnisses zu danken. Vor allem richtet sich dieser Dank,an die Herren Dr. H. HuBER und G. ScHMIDT sowie an Herrn Dr. R. BULIRSCH und Herrn C. v. CoNTA. Herzlich danke ich ferner allen Kollegen, die mir Kritik und wertvolle Ratschläge zuteil werden ließen, und schließlich dem Springer-Verlag, der auch das neue Buch in der üblichen vorzüglichen Ausstattung herausgebracht hat und zwar trotz der Vergrößerung des Umfanges zu einem auch für unsere Studierenden erschwinglichen Preis. München, Herbst 1963 Robert Sauer

4 Vorwort zur ersten Auflage Die vorliegende "Ingenieur-Mathematik" soll den Studierenden an den Technischen Hochschulen zum Gebrauch neben den Vorlesungen, nicht an Stelle der Vorlesungen dienen. Ihr Inhalt entspricht im großen und ganzen der mathematischen Kursvorlesung, welche die Studierenden der Abteilungen für Maschinenbau, Elektrotechnik, Bauingenieur- und Vermessungswesen sowie die angehenden Diplom-Physiker und Diplom Mathematiker während der ersten drei oder vier Semester hören. Der erste Band umfaßt die Differential- und Integralrechnung einschließlich einer Einführung in die Vektorrechnung mit einem Exkurs in die lineare Algebra und die analytische ebene und räumliche Geometrie. Der zweite Band befaßt sich mit Differentialgleichungen und Funktionentheorie sowie den Integralsätzen der Vektoranalysis. Das Hauptziel des Buches ist es, den Studierenden die grundlegenden Begriffe wie Grenzwert, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit usw. verständlich zu machen, und zwar in einer Sprache, die der aufs Anschauliche gerichteten Denkweise des Naturwissenschaftlers und Ingenieurs Rechnung trägt. Dadurch soll der mathematischen Strenge kein Abbruch geschehen. Diese ist auch für die Ausbildung des Ingenieurs unerläßlich, sowohl wegen ihres allgemeinen Bildungswertes als auch wegen des Schadens, der durch unexaktes Umgehen mit mathematischen Begriffen und Methoden bei deren Anwendung auf praktische Probleme entstehen kann. Um den Umfang des Buches knapp zu halten, aber auch aus pädagogischen Gründen, erschien es angebracht, nicht alle Beweise in gleicher Ausführlichkeit darzustellen. Infolgedessen wurden viele Beweise nur skizziert, so daß der Leser angeregt wird, den einen oder anderen Beweis mit allen Einzelheiten sich selbst zurechtzulegen. Numerische und graphische Methoden sind vom Standpunkt der Anwendungen aus ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Die Vermittlung ihrer Kenntnis gehört zur mathematischen Grundausbildung des Ingenieurs. Infolgedessen wird in diesem Buch der sogenannten "numerischen Mathematik" ein verhältnismäßig breiter Raum gegeben. Dabei müssen wir allerdings, um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen, auf die Erörterung der mathematischen Geräte verzichten, obwohl nicht nur die einfacheren älteren Geräte (Planimeter, Analysatoren u.

5 Vorwort zur ersten Auflage V dgl.), sondern auch die großen modernen Maschinen (programmgesteuerte elektronische Rechenanlagen und Integrieranlagen) von großer praktischer Bedeutung für den Ingenieur sind. Es ist eine gute Tradition der deutschen Technischen Hochschulen, daß die mathematische Grundvorlesung für Maschinen-, Elektro-, Bauund Vermessungsingenieure gemeinsam gehalten wird. Dadurch wird eine zu früh beginnende Spezialisierung verhindert und dem Studierenden die Gemeinsamkeit der Grundlagen deutlich gemacht. Selbstverständlich aber ist es nützlich und das Verständnis fördernd, wenn der Übungsstoff weitgehend dem engeren Fachbereich der Studierenden entnommen wird, wenn also die Übungen entsprechend aufgegliedert werden. Im vorliegenden Buch ist bewußt von der Darbietung von Übungsaufgaben Abstand genommen worden, erstens weil es verschiedene umfangreiche Sammlungen guter Übungsaufgaben gibt, und zweitens weil die Studierenden ohnehin für die obligatorischen Übungen laufend mit Übungsaufgaben versorgt werden. Das Buch soll ja nicht etwa die Vorlesungen und Übungen ersetzen, sondern lediglich das Verständnis der Vorlesungen erleichtern. Allen meinen Mitarbeitern danke ich herzlich für ihre weitgehende und aufopfernde Hilfe. Herr Dr. H. J. STETTER und Herr Privatdozent Dr. D. SuscHOWK haben das Manuskript kritisch gelesen und mir viele wertvolle Ratschläge gegeben. Herr H. HuBER und Herr R. ScHÄTZ verwendeten viel Mühe und Arbeit auf die Anfertigung der Figuren, und alle vier genannten Herren unterstützten mich in der freundlichsten Weise beim Lesen der Korrekturen. Herr HuBER hat außerdem mit großer Sorgfalt das Sachverzeichnis angefertigt. Meinen Kollegen Prof. Dr. J. LENSE und Prof. Dr. J. HEINHOLD, sowie insbesondere auch Frau Dr. E. LENSE, danke ich herzlich für das Mitlesen der Bogenkorrekturen. Herr Kollege LENSE gab mir viele wichtige Hinweise. Besonderer Dank gebührt dem Springer-Verlag, der meinen Plan sofort aufgriff und mit verständnisvollem Entgegenkommen gefördert hat und nunmehr das Buch in der traditionsgemäß guten Ausstattung erscheinen läßt. München, Herbst 1959 Robert Sauer

6 Inhaltsverzeichnis Einleitung I. Kapitel Differential- und Integralrechnung für Funktionen von einer Veränderlichen Reelle Zahlen Funktionen von einer Veränderlichen; Stetigkeit Spezielle Funktionen; Kurvendiskussion Lineare analytische Geometrie der Ebene Analytische Geometrie der Kegelschnitte Grenzwert Grundzüge der Differentialrechnung Mittelwertsätze der Differentialrechnung Numerische und graphische Differentiation; Interpolation Grundzüge der Integralrechnung Graphische und numerische Integration Logarithmus und Exponentialfunktion; Hyperbelfunktionen Rechenschieber und logarithmische Papiere Unendliche Reihen TAYLOR-Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen Anwendungen der TAYLOR-Entwicklung für das numerische Rechnen Komplexe Zahlen Elementar integrierbare Funktionenklassen Differentialgeometrie der ebenen Kurven Anwendung der Differentialgeometrie auf die Getriebelehre 180 II. Kapitel Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen Funktionen von mehreren Veränderlichen Graphische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher (Nomographie) Vektorrechnung Spatprodukt und dreireihige Determinanten Lineare analytische Geometrie des Raumes Analytische Geometrie der Flächen 2. Ordnung Grundzüge der Differentialrechnung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen TAYLOR-Entwicklung für Funktionen von mehreren Veränderlichen. 230

7 Inhaltsverzeichnis VII 29. Anwendung der TAYLOR-Entwicklung bei mehreren Veränderlichen für das numerische Rechnen Allgemeine Abbildungen und allgemeine Koordinatensysteme Integraldarstellung von Funktionen Mehrfache Integrale Differentialgeometrie der Kurven und Flächen im Raum Anwendungen der Integralrechnung in der Mechanik. 272 Lineare Algebra 35. n-reihige Determinanten. 36. Lineare Gleichungen Grundzüge des Matrizenkalküls. 38. Lineare Transformationen Anhang: Beweise. Sachverzeichnis III. Kapitel