Hydromechanik für Bauingenieure

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1 Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen Hydromechanik für Bauingenieure Version 6.3 Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek Institut für Wasserwesen Werner-Heisenberg-Weg Neubiberg Tel.: 089 / andreas.malcherek@unibw-muenchen.de

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3 Seite I Vorwort Die Anfänge dieser Skriptserie gehen zurück auf meine Teilnahme an einem NATO-Workshop im Jahr 1993 über Computer Modeling of Free-Surface and Pressurized Flows, dessen Ergebnisse in einem gleichnamigen Buch veröffentlicht wurden. Hier gab mir Prof. W. Zielke die Möglichkeit, einen Beitrag über numerische Verfahren zur Advektion zu machen. Im Rahmen dieser Arbeit lernte ich vor allem, daß es unmöglich ist, eine beliebige Funktion exakt auf einem diskreten Gitter zu verschieben. Dies bedeutet nichts anderes, als daß es nie und nimmer möglich ist, Strömungen in einem Computermodell naturgleich zu modellieren. Diese Erkenntnis nahm mir mein Mißtrauen vor dieser Technik und begeisterte mich für die Aufgabe, Natur im Computermodell so gut wie möglich zu simulieren, ohne dabei die Ehrfurcht vor derselben zu verlieren zu müssen. Ein Lehrauftrag über Numerische Methoden für Strömungen, Stoff- und Wärmetransport im Wintersemester 1995/96 am Institut für Strömungsmechanik und elektronisches Rechnen im Bauwesen der Universität Hannover ließ die Versionen 1.0ff entstehen. Da ich in diesem Semester außerdem noch eine Vorlesungsreihe über Turbulenz- und Stofftransportmodelle für Fließgewässer am Institut für Geodynamik der Universität Bonn halten durfte, bestand gleich zweierlei Anlaß neben der reinen Numerik auch das darzustellen, was zu modellieren ist. Dabei hatte ich Physik und Numerik aus didaktischen Gründen vermischt, so daß weder das eine noch das andere langweilig werden sollte, gleichzeitig aber der Schwierigkeitsgrad kontinuierlich steigt. Version 1 des Skriptes wuchs im Laufe dreier Vorlesungszyklen auf über 230 Seiten. Mit dem Ende dieses Lehrauftrages stand ich vor der Frage, ob und was ich mit diesem Material anfangen sollte. Da es als Vorlesungsskript konzipiert wurde, war es schwer für sich alleine lesbar, als eigenständiges Buch aber zu unstrukturiert, da es sich eben an der Abfolge einer Vorlesung orientierte. Ich habe mich damals für das Internet als Ort einer (Vor-)Veröffentlichung entschieden, um das Material hier ganz allgemein der deutschsprachigen Fachwelt zur Verfügung zu stellen. Hierdurch war die Version 2 geprägt, die auf über 360 Seiten angewachsen ist. Dabei habe ich mich im wesentlichen darauf konzentriert, den hydrodynamischen Teil zu strukturieren, ihn lesbar zu machen und zu vervollständigen. Vor jedem Kapitel soll eine Anmoderation die Motivation steigern, sich überhaupt mit dem trockenen Stoff zu beschäftigen. Eine Zusammenfassung stellt nochmal das wichtige eines jeden Kapitels dar und soll der studentischen Frage, was man denn nun lernen solle, zuvorkommen. Mit der Version 3 wurde die 400-Seiten-Schwelle überschritten und die Hydrodynamik der Fließgewässer von den Numerischen Methoden der Hydrodynamik 1 vollständig inhaltlich getrennt. Damit wollte ich die Leserinnen und Leser nicht dazu nötigen, sich die gesamte Hydrodynamik der Fließgewässer zu erarbeiten, wenn sie sich nur für ein numerisches Verfahren zur Lösung der Transportgleichung interessieren. Daher mußte auch ein neuer Gesamttitel her 1

4 Seite II und ich denke mit diesem, dem dargebotenen gerecht zu werden. Ebenfalls wurde der Turbulenzbereich unter Ergänzung der Direkten und der Large Eddy Simulation neubearbeitet. Version 3.1 enthielt neue Kapitel zur Sohlschubspannung, zur tiefenintgrierten Turbulenz und zu den besonderen Problemen an Uferwänden. Schwerpunkt dieser Version war die Erweiterung unserer Kenntnisse über tiefenintegrierte Modellierung. Version 3.2 enthält meine neueren Arbeiten zur tiefengemittelten Berechnung der Sohlschubspannung in Kurven, diese sind in das Kurvenkapitel eingearbeitet. Hiermit sollte eine morphodynamische Simulation der Mäanderbildung prinzipiell möglich sein und ich warte gespannt auf erste Anwendungen. Die Arbeit ist 2001 als Habilitationsschrift am FB Bauingenieurwesen der Universität Hannover unter dem Titel Hydromechanik der Fließgewässer angenommen worden. Die Version 4 wurde zunächst durch meinen Lehrauftrag über die Morphodynamik der Küstengewässer am Fachbereich Bauingenieurwesen und Umwelttechnik der Technischen Universität Hamburg-Harburg geprägt und sollte für diese Vorlesung auch als Skript dienen. Dies hat sich als unsinnig herausgestellt, da die Studierenden von der Materialfülle vollkommen erschlagen wurden. So habe ich für diese Vorlesung ein eigenständiges Skriptum entwickelt und die Teile, die auch für die Hydromechanik der Oberflächengewässer relevant sind, in diese Schrift übernommen. In diesen findet man neue Kapitel zur Theorie idealer Wellen, zur Entkopplung von Strömung und Wellen, zu Wellen- und Seegangsmodellen, zu Partialtiden, den geophysikalischen Kräften, zu Tidewellen in Ästuaren aber auch zum Geschiebe- und Schwebstofftransport. Mit der Version 5 wird das Thema Morphodynamik der Küstengewässer von der Hydrodynamik abgekoppelt. Hierzu findet der Leser eine eigene Schrift unter Im Dezember 2004 wurde ich auf die Professur für Hydromechanik und Wasserbau an der Universität der Bundeswehr München berufen. Die damit neu anfallenden Aufgaben machen eine neue Version und einen neuen Titel für die Schrift notwendig. Mit der Version 6.1 wird dabei das Thema Gerinneströmungen und Fließgewässer vollständig ausgegliedert und ein weiteres Skript namens Fließgewässer - Hydromechanik und Wasserbau entwickelt. Das Skript ist somit Grundlage der Vorlesungen Hydromechanik I - III. Im Anbetracht einer sinnvollen Resourcennutzung möchte ich die Leser, die (wie ich auch) lieber das althergebrachte Blatt Papier lesen, darum bitten, nur diese Kapitel auszudrucken, auch wenn die Kapitelnummerierung in denn folgenden Kapitel nun nicht mehr stimmig ist. Die Seiten sind für einen beidseitigen Druck formatiert.

5 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Advektion Bahnlinien Die Bahnlinie als Kurve Die Lagrangesche oder Bahnableitung Strömungen als Vektorfelder Die Bahnableitung in einem Geschwindigkeitsfeld Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweise einer Strömung Lagrangesche Erhaltungsgrößen Die lineare Advektionsgleichung Die nichtlineare Advektionsgleichung Fluidelemente Das Reynoldssche Transporttheorem Zusammenfassung Übungen Ideale Strömungen Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik Die allgemeine Kontinuitätsgleichung Die allgemeine Kontinuitätsgleichung, einfachere Herleitung Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide Die Impulsbilanz in der Strömungsmechanik Die Impulsbilanz bei instationären Strömungen Die Impulsänderung eines sich bewegenden Fluidelements Die Eulergleichungen Potentialströmungen Stromlinien und Stromfunktion Stromlinien Die Stromfunktion III

6 Seite IV INHALTSVERZEICHNIS Der spezifische Durchfluss Stromfunktion und Durchfluss Stromlinien und Äquipotentiallinien Strömungsnetze Anwendung: Druckkraft auf eine geöffnete Hubschütze Ausblick: Dreidimensionale Stromfunktionen Wirbeldynamik in idealen Strömungen Die Drehung des Strömungsfeldes Der dreidimensionale Fall Vortex Stretching Turbulenzenstehung in Scherströmungen Der zweidimensionale Fall Zusammenfassung Übungen Newtonsche Fluide und Navier-Stokes-Gleichungen Innere Reibung Newtownsche Fluide Die Couette-Strömung Viskosimeter Die molekülkinetische Theorie der Viskosität Die Stokessche Zerlegung des Geschwindigkeitsfeldes Der viskose Spannungstensor für inkompressible Fluide Die Kraft auf ein Fluidelement Die Navier-Stokes-Gleichungen Das Stromröhrenkonzept für viskose Fluide Die Bernoulligleichung für reale Strömungen Anwendung auf die Couette-Strömung Das Gesetz von Darcy-Weisbach Laminare Strömung zwischen zwei Platten Der dynamische Druck Die Druck-Poisson-Gleichung Schallgeschwindigkeit und Inkompressibilität Wirbeldynamik in viskosen Fluiden Zusammenfassung Übungen

7 INHALTSVERZEICHNIS Seite V 4 Ähnlichkeitsgesetze und Dimensionsanalyse Die dimensionslose Darstellung der Grundgleichungen Ähnlichkeitsbedingungen Geometrische Ähnlichkeit Dynamische Ähnlichkeit Kinematische Ähnlichkeit Maßstäbe zusammengesetzter Größen Dynamische Ähnlichkeit in der Hydromechanik Beschränkung auf Froudesche Ähnlichkeit Beschränkung auf Reynoldssche Ähnlichkeit Beschränkung auf Webersche Ähnlichkeit Grenzen physischer Modelle Dimensionsanalyse Physische Modellierung und numerische Simulation Zusammenfassung Übungen Die Erfassung der Turbulenz Mittlere und fluktuierende Größen Die Mittlung physikalischer Größen Fluktuationen als Abweichungen vom Mittelwert Die Kolmogorovlänge Die Messung turbulenter Geschwindigkeiten Der Dopplereffekt ADV-Sonden Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen Die turbulente kinetische Energie Das Energiespektrum der Turbulenz Die direkte Simulation Die Grundgleichungen der DNS Die räumliche Auflösung in der DNS Verifikation eines DNS-Modells Kohärente Strukturen Verborgene Zusammenhänge zwischen schwankenden Größen: Korrelationen Zusammenfassung Übungen

8 Seite VI INHALTSVERZEICHNIS 6 Die Wirkung der Turbulenz auf die mittlere Strömung Die Reynoldsmittlung Rechenregeln für mittlere Größen und Fluktuationen Die Mittlung physikalischer Gesetze Die Mittlung der Kontinuitätsgleichung Die Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen Die Reynoldsspannungen Das Schließungsproblem Turbulente Dichtekorrelationen Bewertung Das Prinzip der Wirbelviskosität Das Mischungswegmodell Zusammenfassung Übungen Die wandnahe Strömung Die Stokessche Wandhaftbedingung Die Wandschubspannung Die laminare stationäre Grenzschicht an der glatten Wand Die homogene laminare Grenzschichtströmung Die Entwicklung der laminaren Grenzschicht Die turbulente Grenzschichtströmung an der glatten Wand Experimentelle und numerische Ergebnisse der DNS Der Mischungswegansatz für die wandnahe Turbulenz Die Entwicklung der turbulenten Grenzschicht Die turbulente stationäre Grenzschichtströmung an der rauhen Wand Die Bernoulligleichung für die wandparallele Strömung Der hydraulische Durchmesser Der Widerstandsbeiwert der glatten Wand Der Widerstandsbeiwert der rauhen Wand DNS-Untersuchungen an der glatten Wand Zusammenfassung Übungen Die Strömungskraft auf Körper Die Bestimmung der Strömungskraft durch Beiwerte Das D Alembertsche Paradoxon Die schleichende Umströmung von Körpern Die schleichende Umströmung von Kugel und Zylinder

9 INHALTSVERZEICHNIS Seite VII Der Strömungswiderstand von Kugel und Zylinder Die Oseensche Erweiterung für größere Reynoldszahlen Die Ablösung der Grenzschicht Der Gesamtwiderstand Der Impulsverlust der Strömung Zusammenfassung Übungen Koordinatensysteme Der metrische Tensor Differentialoperatoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten Die Grundgleichungen in allgemeinen orthogonalen Koordinaten Die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten Die Geschwindigkeitsverteilung in Rohrströmungen Die laminare Rohrströmung: Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Das Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Rohrströmung Kurvenangepaßte Koordinaten σ-koordinaten Zusammenfassung Die Energie der Strömung Die Bilanzierung der kinetischen Energie Die kinetische Energie eines Fluids Die Dissipation kinetischer Energie Die Diffusion kinetischer Energie Die Bernoulligleichung auf der Bahnlinie Die potentielle Energie Die potentielle Energie des Niederschlags Die mechanische Energiebilanz Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Die Wärmetransportgleichung Die Bilanz der Gesamtenergie Energiebilanz und Impulsfluss Zusammenfassung Übungen Strömungsmaschinen Kenngrößen von Strömungsmaschinen Energieumsetzung im Laufrad Francisturbinen

10 Seite VIII INHALTSVERZEICHNIS 11.4 Kaplanturbinen Freistrahl- oder Peltonturbinen Dimensionierung von Pumpen Die Gesamtförderhöhe oder Anlagenkennlinie Die Pumpenkennlinie oder Drosselkurve Regelung von Pumpen Wasserkraftanlagen Das Prinzip der Wasserkraftnutzung Bauelemente einer Wasserkraftanlage Die Auswahl des Turbinentyps Der Generator Die Auswahl der Drehzahl Kavitation Pumpspeicherwerke Wasserkraft und Umwelt Wasserkraft in Brasilien Übungen Rohrsysteme Elementare Rohrsysteme Rohrelemente in Serie Parallele Rohrleitungen Kombination von Pumpen Serielle Kombination von Pumpen Parallele Kombination von Pumpen Analogie zu elektrischen Stromkreisen Rohrleitungsnetze Topologie von Rohrsystemen Das maschenbezogene Gesamtschrittverfahren nach Hardy-Cross Das linearisierte knotenbezogene Gesamtschrittverfahren Das Newton-Raphson-Verfahren Anwendungen und Zusammenfassung Übungen Die Dynamik inkompressibler Kontinua Die Bewegungsgleichungen inkompressibler Kontinua Der Impulsstromdichtetensor Die Dynamik elastischer Kontinua Verschiebungsvektor und Verzerrungstensor

11 INHALTSVERZEICHNIS Seite IX Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz Elastische Wellen Die Grundgleichungen der Elastostatik Maxwellsche Stoffe Instationäre Rohrströmungen Die Grundgleichungen der eindimensionalen Rohrströmung Die Massenerhaltung Die Impulsbilanz Das RWC-Modell Bemessung und Betrieb von Wasserschlössern Die ungedämpfte Wasserschlossschwingung Die gedämpfte Wasserschlossschwingung Die Statik kreisförmiger elastischer Rohre Kompressibles Fluid und elastische Rohrberandung Die Joukowski-Formel für die Druckstoßhöhe Übungen Diffusion und Transport Diffusion Das erste Ficksche Gesetz Der molekulare Diffusionskoeffizient Die Diffusionsgleichung Fourieranalyse der Diffusionsgleichung Die Transportgleichung Umsetzungs- und Abbauprozesse Der radioaktive Zerfall Binäre Umsetzungsprozesse Transport und Turbulenz Die Reynoldsmittlung der Transportgleichungen Das Prinzip der Wirbeldiffusivität Zusammenfassung Übungen Der Transport der Turbulenz Die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen Die Reynoldsspannungsgleichungen Die Energetik der turbulenten Strömung Kinetische Energie des mittleren Strömungsfeldes Turbulente kinetische Energie

12 Seite X INHALTSVERZEICHNIS 16.4 Eingleichungsmodelle Die Kolmogorov-Prandtl-Gleichung Vereinfachte Transportgleichung für die TKE Das Gleichgewichtsmodell Anwendungsgrenzen Das k-ɛ-modell Die wandnahe Strömung im k-ɛ-modell Der Einfluß der Diskretisierung Randbedingungen an der freien Oberfläche Das k-ω-modell Die wandnahe Strömung im k-ω-modell Randbedingungen an der freien Oberfläche Schließungsmodelle zweiter Ordnung Reynolds-Stress-Modelle Algebraische Spannungsmodelle Turbulenzerzeugte Wirbel Zusammenfassung und Empfehlungen Large Eddy Simulation Filter Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen Klein- und großskalige turbulente Bewegungen Das Smagorinskymodell Ausblick A Abkürzungen und Einheiten 359 B Tensoren 363 B.1 Koordinatensysteme B.2 Tensoren in der Physik B.3 Tensoren als Multilinearformen B.4 Tensoralgebra B.5 Tensoranalysis

13 Einleitung Die Hydromechanik beschäftigt sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten in Ruhe oder Bewegung. Damit ist diese Wissenschaft keineswegs irgendeine randständige Spezialdisziplin, sondern wird in fast jedem Bereich von Naturwissenschaft und Technik benötigt. Beginnen wir bei uns selbst. In der Biologie wird der Begriff Leben mit der Fähigkeit eines Organismus zu Stoffwechselprozessen in Zusammenhang gebracht. Damit am Ort des Stoffwechsels der Stoffwechselprozess nicht abbricht, müssen dessen Produkte fortwährend abtransportiert und die erforderlichen Ausgangsstoffe herantransportiert werden. Die Stoffwechselprozesse in unserem Körper werden durch die Atmung und den Blutkreislauf in Gang gehalten, beides Beispiele für Strömungen direkt in uns selbst. Damit wird die Hydromechanik eine Grundlagendisziplin der Biophysik, denn in allen Bereichen des tierischen und pflanzlichen Lebens werden Stoffe durch Strömungen transportiert. Gehen wir einen Schritt weiter. Damit bewegen wir uns als menschlicher Körper durch die uns umgebende Luft oder oder das Wasser, sei es selbst laufend, schwimmend oder wir benutzen technische Hilfsmittel wie Kraftfahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge. Hydromechanisch sind wir bei dem wichtigen Gebiet des Widerstandes von Körpern in Flüssigkeiten und Gasen angelangt. Wollen wir nach der anstrengenden Bewegung duschen oder ein Glas Wasser trinken, nutzen wir die technischen Errungenschaften zur Wasserver- und entsorgung, mit denen sich die Siedlungswasserwirtschaft beschäftigt. Hydromechanisch steht zunächst einmal die Aufgabe an, den Transport von Wasser oder Flüssigkeiten im allgemeinen in Rohrleitungssystemen oder offenen Gerinnen berechenbar zu machen. Dazu muß der Ingenieur in der Lage sein, die für einen vorgegebenen Volumendurchfluss erforderliche Energie (in Form von Druck- oder Höhenenergie) zu berechnen. Sobald wir uns aus den uns schützenden Gebäuden hinausbegeben, werden wir mit dem Phänomen Wetter konfrontiert. Die Aufgabe, dieses kurzfristig und das Klima mittel- und langfristig vorherzusagen, obliegt der Meteorologie. In dieser Wissenschaft ist die Hydromechanik geradezu eine unverzichtbare und omnipräsente Grundlagenwissenschaft. Und wenn wir damit schon bei der Atmosphäre als ein durch Strömung geprägter Lebensraum angelangt sind, sollten die Weltmeere nicht unerwähnt bleiben. In ihnen werden die Wassermassen in großskaligen Zirkulationssystemen, wie dem Golfstrom transportiert. Die Gezeiten bringen periodische Bewegungen in die Ozeane und künden von den Kräften, die Sonne und 1

14 Seite 2 Einleitung Mond auf das Erdsystem haben. Mit all diesen Dingen beschäftigt sich die Ozeanographie. Atmosphäre und Ozeane sind durch energetische und Stoffaustauschprozesse miteinander gekoppelt. So erzeugt der Wind an der Wasseroberfläche der Meere Wellen und Seegang, Stürme können sogar Sturmfluten hervorrufen. Vor diesen Phänomenen müssen sich die an den Küsten lebenden Menschen schützen. Der Umgang mit den gewaltigen dabei freiwerdenden Kräften und die Gestaltung der Küste als Schutz- und Lebensraum ist Aufgabe des Küsteningenieurwesens. Wenn man die Meteorologie und Ozeanographie als Teilgebiete der Geophysik versteht, dann folgt dieser die Astrophysik. Die Dynamik des Plasmas in den Sternen wird unter Zuhilfenahme hydromechanischer Gesetze beschrieben, somit sind Aufbau und Entwicklung der Sterne den Gesetzen der Hydromechanik unterworfen. Auch in weiteren Disziplinen des Bauingenieurwesens und insbesondere des Wasserbau werden hydromechanische Kenntnisse und Fähigkeiten benötigt. Im Verkehrswasserbau kommen Grundkenntnisse aus den Gebieten Schiffbau und Navigation hinzu. So wird das Thema Schwimmstabilität als Vertiefung in der Hydrostatik behandelt. Ferner ist die Fahrdynamik von Schiffen eine wesentliche Einflussgröße bei der Bemessung von Wasserstraßen, die Eigenschaften der Rückströmung unter Schiffen und der schiffserzeugten Wellen benötigt man zur Sicherung von Ufer und Sohle. Im Energiewasserbau werden hydromechanische Kenntnisse zur Bemessung von Pumpen und Turbinen benötigt, hier sind die Anknüpfungen zum Maschinenbau am stärksten. Zur Konstruktion von Stauanlagen sind die hydrostatischen Belastungen auf das Absperrbauwerk, die Sickerlinien in Dämmen oder die Bemessung von Tosbecken nur einige Beispiele zu Anwendungen der Hydromechanik. In der Hydrologie und im Grundbau werden Kenntnisse über Strömungen in porösen Medien benötigt. Hydraulik und Hydromechanik - Induktion und Deduktion Schon die vorsokratischen Philosophen haben dem Wasser besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Es sei die Substanz, aus der alles entstanden ist, behauptet zumindest Thales im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. Dem widersprach aber schon Anaximenes im 5. Jh.v.Chr., denn der der Urstoff ist die Luft, Wasser hingegen nur verdichtete Luft, bei weiterer Verdichtung entsteht Erde, Feuer ist verdünnte Luft. Daß das Wesen der Welt dynamisch ist, hat Heraklit erkannt (um 500 v.chr.), er stellte fest, es gäbe kein Sein, nur ein Werden, alles fließe: Du kannst nicht zweimal in dieselben Flüsse steigen, denn frisches Wasser fließt immer auf dich zu. Das die unablässige Veränderung bewirkende Feuer ist somit das Urelement. Um 440 v. Chr. kommt Empedokeles von einem Urstoff zur Vielfalt der Elemente, diese sind natürlich Feuer, Erde Luft und Wasser, die sich miteinander in Liebe verbinden und so die Stoffvielfalt hervorbringen, in Haß trennen sie sich. So wurde das Wasser von einem Urstoff zu einem Element unter vielen, letztendlich enthronte die Elektrolyse es als einen zusammengesetzten Stoff.

15 Einleitung Seite 3 Die Methode der griechischen Philosophie ist die Deduktion, das Folgern aus scheinbar Selbstevidentem heraus, an deren Anfang die Axiome stehen 2. Deduktion benötigt die Beobachtung der Welt nicht, sie dient nur zur Bestätigung ihrer Erkenntnisse. Der deduktiv Forschende braucht sich nur in sich selbst zu versenken und berauscht sich an den Offenbarungen des reinen Geistes. Dies ist der antike Ursprung des Wortes Theorie, es bedeutete leidenschaftliche, einfühlsame Kontemplation. Mit Leonardo da Vinci wurde die Hydraulik als phänomenologische Wissenschaft begündet. Seine wissenschaftliche Methodik sind die Kunst und Malerei, die die sichtbare Welt wiedererschaffen, diese dabei ordnen, analysieren, detaillieren, begreifen und verstehen. Das Medium Bild wurde so zum Modell für die erfahrbaren Naturphänomene. So beschäftigt sich der in Spiegelschrift geschriebene Codex Leicester 3 in einer Fülle von Skizzen mit der Erde als einen lebendigen Organismus, Hauptthema ist dabei die Natur des Wassers. Leonardo definiert in diesem Werk zugleich die induktive Methode: Natur beginnt mit der Ursache und endet mit der Erfahrung, wir müssen den entgegengesetzten Weg beschreiten,..., mit der Erfahrung beginnen und davon die Ursache ableiten. Die sich in der Folge entwickelnde Hydraulik arbeitete vornehmlich empirisch-induktiv. Eine Theorie gibt es dabei nur in der makroskopischen Gesichtsweise, wobei die Bilanzen von Masse, Impuls und Energie für das Fließgewässer als Ganzes aufgestellt und mit den entsprechenden empirischen Ergebnissen geschlossen werden. Vom mathematischen Gesichtspunkt ist die Hydraulik einfach zugänglich, da sie sich lediglich algebraischer Gleichungen und der Differentialrechnung bedient. Sie gestattet dem Ingenieur heute die Berechnung des Abflusses in Gerinnen, die Bemessung und Gestaltung der verschiedensten Wasserbauwerke wie Verzweigungen, Wehren, Tosbecken oder Schussrinnen [9], [37], [7]. Die vorliegende Schrift wird sich jedoch mit der Hydromechanik beschäftigen. Sie ist von ihrem textlichen Erscheinungsbild wenig ansprechend, denn sie ist in den Sprachen der Differentialgeometrie und der partiellen Differentialgleichungen geschrieben. Letztere kann man als hochkomprimierte Wissenspeicher betrachten, die wie jeder komprimierte Text zunächst entpackt werden müssen. Hierfür bot sich im pränumerischen Zeitalter nur die analytische Lösung mit Bleistift und Papier an. Erst dann konnte die dahinter steckende Theorie durch den Vergleich mit empirischen Daten verifiziert und in der Folge auch praktisch angewendet werden. Daß man dabei schon sehr viel über das grundsätzliche Verhalten vieler Strömungssysteme lernen und mancherorts auch den Anschluß an die klassische Hydraulik finden kann, zeigt das auf diesem Gebiet grundlegende Werk Hydrodynamics von Sir Horace Lamb [28]. Analytische Lösungen sind jedoch auf sehr einfache Geometrien beschränkt. Somit war die 2 Die Methode der Deduktion ist der theologischen Dogmatik sehr nahe, hier werden ausgehend von einem Dogma, einem Glaubensgrundsatz, nach den Gesetzen der sprachlichen, manchmal aber auch der formalen Logik, eine Glaubenslehre entwickelt. Die Dogmatik ist eine exzellente Übung in der Methode der Deduktion, gerade dann, wenn man ihren Inhalten skeptisch oder ablehnend gegenüber steht. 3 siehe

16 Seite 4 Einleitung analytische Lösbarkeit der limitierende Faktor der Theoriebildung in der Hydrodynamik, da ohne diese Eigenschaft sowohl die Verifikation als auch die Anwendbarkeit einer Theorie ausgeschlossen wurden. Die heutige Informationstechnologie und die numerische Mathematik haben eine alternative Möglichkeit zur Dekomprimierung des in Differentialgleichungen gespeicherten theoretischen Wissens für komplexe technische und natürliche Systeme in der Form der hydrodynamischnumerischen Modellierung eröffnet. Dabei wurde die Anforderung der analytischen durch die numerische Lösbarkeit ersetzt, wodurch die Menge der lösbaren Probleme erheblich aufgeweitet wurde, es hat sich oftmals sogar gezeigt, daß die numerische Unlösbarkeit auf Fehler in der Theoriebildung deutet. Die fruchtbare Verbindung von Numerik und Hydrodynamik hat ihren Siegeszug auch im Wasserbau gehalten und sie prägt als Computational Hydraulics oder Computational Fluid Dynamics (CFD) die Ausbildung zum Anfang des neuen Jahrhunderts, einer Zeit, die nachfolgende Generationen zweifelsohne als das Zeitalter der Computerrevolution bezeichnen werden. Ein psychologischer Aspekt der Mathematisierung der Hydromechanik besteht in dem Vorurteil, welches exakte Wissenschaft mit Attributen wie langweilig, spröde, trocken und humorlos belegt, Eigenschaften also, die junge Menschen selten in das Portfolio ihrer Entwicklungsziele nehmen. Diesem Vorurteil gilt es zum Wohle der Wissenschaft entgegenzuwirken, vor diesem Hintergrund verstehe man so manche Freiheit in der Wahl der Ausdrucksform. Nutzen wir also das Studium der Hydromechanik als Repepitorium und Vertiefung der beiden Grundlagenwissenschaften angewandte Mathematik und Mechanik. Das Dankbare, der Wert des Studiums der Hydromechanik liegt darin, daß sie jeden Bereich von Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch des täglichen Lebens zur Anwendung kommt. Im Anfang stehen in Kapitel?? bis 10 die aus den Axiomen und Gesetzen der klassischen Mechanik hergeleiteten Grundlagen der Hydrodynamik. Die Darbietung des Stoffes in der gewählten Form soll dazu beitragen, das vielleicht wichtigste - von Tennekes und Lumley [54] - identifizierte Schließungsproblem zu lösen: Die Lücke zwischen grundlegenden Lehrbüchern auf der einen und fachwissenschaftlichen, oftmals nur Experten verständlichen Monographien auf der anderen Seite, die allgemeiner auch als Lücke zwischen Forschung und Lehre bezeichnet werden kann. Dies soll hier dadurch erreicht werden, daß vor allem die zur konsistenten hydrodynamischen Theoriebildung benötigten Methoden gelehrt und mit einheitlicher Nomenklatur dargestellt werden. Dabei sollen die Anfänge der Theorie mit ihren mathematischen Methoden besonders ausführlich behandelt werden, damit das Verständnis des Komplexen nicht unweigerlich durch das Unverständnis der Wurzeln vereitelt wird. Mit den Navier-Stokes-Gleichungen ist die Hydrodynamik der meisten natürlichen und technischen Strömungen des Wassers konzeptionell vollständig (bis auf Randbedingungen) beschrieben, aber bei weitem noch nicht den Anforderungen der numerischen Simulation angepaßt. Dabei geht es zunächst erst einmal darum sich den turbulenten Strukturen einer Strömung anzunehmen. Hiermit beschäftigt sich der zweite Hauptteil. Sie wird in den Kapiteln 5 bis 16

17 Einleitung Seite 5 behandelt. Darin eingebettet sind die Strömungsverhältnisse an festen Wänden in Kapitel 7. Sie werden mit den Methoden der Differentialgeometrie behandelt. Die sich in Abhängigkeit von der gewählten räumlichen Auflösung und den damit verbundenen Reproduktionsmöglichkeiten turbulenter Strömungen unterscheidenden dreidimensionalen Simulationsmodi sind Gegenstand der Kapitel 5.6 und 17 dieser Schrift. Bei dem konzeptionellen Modell der direkten numerischen Simulation werden die Navier- Stokes-Gleichungen mit den entsprechenden Randbedingungen auf einem so feinen Gitter gelöst, daß alle turbulenten Bewegungsstrukturen simuliert werden. Mit solchen Modellen werden insbesondere die Feinstrukturen der Turbulenz untersucht, hier seien jüngste Arbeiten über die oberflächennahe Turbulenz hervorgehoben (Zhang et al. (1999), [60]). Natürliche Gewässer lassen sich bisweilen in diesem Simulationsmodus wegen der begrenzten Computerleistungen nicht modellieren, desweiteren sind auch die Eingangsdaten nicht in der erforderlichen Dichte verfügbar. Vorlesungsgliederung Hydromechanik I - III Das dargestelle Material überdeckt einen dreisemestrigen Vorlesungszyklus der Hydromechanik für Bauingenieure fast vollständig. Dabei fehlt nur die Einführung in die Gerinneströmungen, die wegen des thematischen Zusammenhangs an das Skript Fließgewässer - Hydromechanik und Wasserbau übernommen wurde. Die Hydromechanik I widmet sich dabei schwerpunktmäßig der Hydrostatik und den idealen, reibungsfreien Strömungen: 1. Einführung in die Hydromechanik 2. Die hydrostatische Druckverteilung 3. Die Druckkraft auf Flächen 4. Statische Lastbestimmung bei ruhenden Fluiden 5. Die Druckkraft auf beliebige Flächen 6. Auftrieb und Schwimmen 7. Advektion 8. Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik 9. Die Impulserhaltung in der Strömungsmechanik 10. Potentialströmungen 11. Stromlinien und Stromfunktion

18 Seite 6 Einleitung 12. Strömungsnetze für 2D-Strömungen Die Hydromechanik II beschäftigt sich mit reibungsbehafteten Strömungen und deren Anwendung auf wandnahe Strömungen, Strömungswiderstand, Gerinne- und Rohrströmungen: 1. Newtonsche Fluide 2. Die Navier-Stokes-Gleichungen 3. Die Wandgrenzschicht 4. Das Gesetz von Colebrook-White 5. Die Strömungskraft auf Körper 6. Allgemeine Rohrhydraulik 7. Kontinuierliche und lokale Verluste 8. Das Geschwindigkeitsprofil in Rohrströmungen 9. Allgemeine Gerinnehydraulik (Skript Fließgewässer) 10. Verluste in Gerinneströmungen (Skript Fließgewässer) 11. Fließwechsel (Skript Fließgewässer) 12. Gerinne mit veränderlichem Querschnitt (Skript Fließgewässer) Die Hydromechanik III beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit den turbulenten Strömungen. Ferner enthält das vorliegende Skriptum das Material zu der einstündigen Vorlesung Rohre - Hydromechanik und Wasserbau, die aus sechs Doppelstunden besteht und direkt an die Hydromechanik II anschließen kann: 1. Wiederholung: Grundlagen der Rohrhydraulik 2. Dimensionierung von Pumpen 3. Simulation von Rohrsystemen 4. Instationäre Rohrströmungen 5. Rohrstatik 6. Druckstöße und Wasserschlösser

19 Einleitung Seite 7 Zukünftig soll auch der Energiewasserbau in dieses Skript integriert werden. Er wird in der Gliederung 1. Die Energie der Strömung; Energetik des Wasserkreislaufs 2. Die Eulersche Turbinenformel 3. Turbinenarten, Auswahlkriterien 4. Prinzipien der Wasserkraftnutzung, Wasserkraftanlagen 5. Kavitation und Bemessung auf Kavitation 6. Wasserkraft und Umwelt gelesen. Lehrbücher der Hydromechanik (keinesfalls vollständig) Fluid Mechanics von Robert A. Granger [19] ist ein Werk, welches einem besonders die hydromechanische Theorie motivierend nahe bringt, wobei die Anwendungen aber keinesfalls zu kurz kommen. Leider verirren sich die Übungaufgaben im US-amerikanischen babylonischen Einheitengewirr. Dennoch empfehlenswert. Civil Engineering Hydraulics von C. Nalluri und R.E. Featherstone [36] beschränkt sich auf eine kurze Darstellung der hydraulischen Theorie und überzeugt dann durch die ausführliche Darstellung von Beispielaufgaben. Hydraulik für Bauingenieure von Ekkehard Heinemann und Rainer Feldhaus [22] erklärt den Standardsstoff sehr verständlich mit guten Abbildung. Über diesen geht es allerdings nicht weit hinaus. Hydrodynamik von L.D. Landau und E.M. Lifschitz [29] ist ein Klassiker der theoretischen Hydrodynamik, zum ersten Lesen für Physiker, aber nicht für Ingenieure geeignet. Besonders spannend sind hier die Darstellungen zur Turbulenz. Ähnliches gilt für das schon erwähnte Werk Hydrodynamics von H. Lamb [28], welches für Anfänger sicherlich kaum verdaulich ist.

20 Seite 8 Einleitung

21 Kapitel 1 Advektion Als Advektion bezeichnet man die wohl charakteristischste Eigenschaft einer Strömung, nämlich das passive sich Mitbewegen von Dingen oder Eigenschaften in der Strömung. Solche Dinge, die mit einer Strömung treiben, sind die Moleküle, aus denen sich das Fluid zusammensetzt, gelöste Stoffe, in der Schwebe befindliche Partikel, Lebewesen ohne Eigenantrieb oder der Zweig auf der Wasseroberfläche. Aber auch mehr oder weniger abstrakte nichtstoffliche Eigenschaften treiben passiv im Strömungsfeld. Als Beispiele lassen sich die Temperatur oder die Wirbelstärke nennen. Letztere kann man sehr gut an einem Fließgewässer in Form von kleinen Wirbeln an der Wasseroberfläche beobachten. Sie entstehen an irgendeiner Stelle, werden mit der Strömung fortbewegt, d.h. advektiert, um irgendwo wieder zu vergehen. Diese mit dem sehr trockenen Begriff Advektion bezeichnete Eigenschaft von Strömungen hat sich -vielleicht durch das soeben dargestellte Schicksal kleiner Wirbel- als ein Grundmotiv in die Kulturgeschichte eingeprägt. Das Sinnbild Fluß oder Strom steht dabei als Metapher für den menschlichen Lebensweg, für das passive Dahingetriebenwerden des Einzelnen durch die Zeitgeschichte, es bezeichnet das Unvermeidliche oder das Schicksal. Um den modernen Leser nicht mit Altertümern zu langweilen, sei er nur an Bruce Springsteens Song The River ( they bring you up to do, like your Daddy done ) erinnert. Wir wollen nun die geistigen Welten verlassen und zu der mathematischen Beschreibung der Advektion kommen. Die dabei verwendete Sprache der partiellen Differentialgleichungen hat ein sehr abschreckendes Bild, da sie Symbole gebraucht, die manchen Lesern von ihrer grundsätzlichen Bedeutung zwar bekannt sind, aber in erdrückender Masse einige Leseschwierigkeiten bereiten. Die Sprache wird erst dann flüssig lesbar, wenn man nicht nur die Buchstaben mühselig zusammenfügt, sondern ganze Wörter bzw. Gleichungsteile erkennt. Zur Ermutigung sei gesagt, daß wir mit dem Wort Advektion mindestens ein Viertel des benötigten Sprachumfangs erlernt haben. 9

22 Seite Bahnlinien (x(t ),y(t )) 2 2 (x(t ),y(t )) 1 1 (x(t ),y(t )) 3 3 (x(t ),y(t )) 5 5 (x(t ),y(t )) 4 4 Abbildung 1.1: Eine Trajektorie eines Partikels mit fünf markierten Zeitpunkten und einer Approximation durch einen Polygonzug. 1.1 Bahnlinien Zur mathematischen Erfassung der Advektion müssen wir zuerst die Bewegung einzelner in der Strömung mittreibender Partikel beschreiben. Befestigt man an einem bestimmten Partikel einen Schreiber (welcher Art auch immer), so zeichnet dieser eine Bahnlinie auf Die Bahnlinie als Kurve Solche Bahnlinien im dreidimensionalen Raum werden in der Mathematik als Wege oder Kurven bezeichnet. Hierunter versteht man eine Abbildung eines Parameters t (für den Physiker die Zeit) auf den Punkt des dreidimensionalen Raumes, an dem sich das Partikel gerade befindet: x(t) t y(t) z(t) Um Geschwindigkeiten auf Bahnlinien zu definieren, benötigt man die Differenzierbarkeit dieser Abbildung. Als Kurven bezeichnet man nur Wege, die stetig differenzierbar sind, deren Graph also keine Knicke, scharfe Ecken o.ä. aufweist. Gehen wir im folgenden also davon aus, daß sich die Partikel immer auf Kurven bewegen. Die Geschwindigkeiten des Partikels sind durch die zeitliche Änderung des Ortes des Partikels, also deren Zeitableitung gegeben:

23 1.1. Bahnlinien Seite 11 dx(t) dt dy(t) dt = u = v dz(t) = w dt Ihr Vektor weist in tangentialer Richtung zur Kurve. Die Weglänge Jeder Weg läßt sich durch einen Polygonzug, dessen Stützknoten auf dem Weg liegen, beliebig genau approximieren. Die Weglänge s kann man dann als N 1 s = lim x(t i+1 ) x(t i ) N i=1 approximieren. Die Weglänge s eines Teilchens auf einer Trajektorie zwischen den Zeitpunkten t 1 und t 2 ist natürlich das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit: s = t 2 t 1 u 2 (t)+v 2 (t)+w 2 (t)dt Leitet man den Weg s nach der Zeit t ab, so erhält man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors Die Lagrangesche oder Bahnableitung Nun wollen wir untersuchen, wie sich eine beliebige physikalische Größe f entlang einer Bahnlinie ändert. Diese Änderung bezeichnen wir mit Df/Dt, sie wird als Bahnableitung, substantielle oder Lagrangesche Ableitung bezeichnet. Die beliebig gewählte physikalische Größe f kann sich zunächst zeitlich ändern, f = f(t, x, y, z). Da der Beobachtungsort des Lagrangeschen Betrachters sich mit dem Fluidpartikel verändert, ist f = f(t, x(t),y(t),z(t)). Leiten wir f nach der Zeit t ab, so müssen wir die Kettenregel auf die inneren Funktionen x(t), y(t) und z(t) anwenden. Die Lagrangesche Ableitung ist somit: Df Dt = f t + f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt

24 Seite Bahnlinien In dieser Gleichung tauchen zwei Ableitungen nach der Zeit auf. Die linke Seite enthält die Lagrangesche Ableitung Df, sie besagt, wie f sich zeitlich entlang der Bahnlinie ändert. Die Dt rechte Seite enthält die sogenannte Eulersche Änderung f, sie gibt an, wie sich die Größe f t selbst an einem festen Ort ändert. Wir wollen am Beispiel der Temperatur T den Unterschied zwischen den einzelnen Termen verdeutlichen. In diesem Fall lautet die Bahnableitung für f = T : DT Dt = T t + T dx x dt + T dy y dt + T dz z dt Die linke Seite gibt die Temperatur für ein beliebiges sich u.u. bewegendes System an. Dies können auch wir selbst sein. Dann beschreibt die Gleichung gerade die von uns gefühlte Umgebungstemperatur. Nehmen wir einmal an, wir bewegen uns vom kühlen Hamburg zum warmen Mallorca. Wir legen die x-achse so, daß sie von Hamburg nach Mallorca weise. Auf ihr nehme die Temperatur gleichmäßig um 5 K pro 1000 km zu. Es gilt also: T x = 1 K 200 km Bewegen wir uns mit einem Auto mit 100 km/h in Richtung Mallorca, dann ist die von uns gefühlte Temperaturzunahme: DT Dt = T dx x dt = 1 K 100km/h =0.5K/h 200 km Es wird um uns also alle zwei Stunden um ein Grad wärmer. Müssen wir allerdings in Hamburg bleiben, dann können wir nur auf den Sommer oder einen Wetterumschwung hoffen. Nehmen wir einmal an, dieser komme tatsächlich, es werde dabei pro Tag ein Grad wärmer. Dann ist die von uns wahrgenommene Temperaturänderung: DT Dt = T t =1K/d Nehmen wir zum Schluss an, es werde dabei über ganz Europa wärmer und wir fahren trotzdem nach Mallorca. Dann sollten wir nun sicher in der Lage sein, die von uns gefühlte Temperaturänderung mit Hilfe der Gleichung selbst zu bestimmen Strömungen als Vektorfelder DT Dt = T t + T dx x dt Einer Strömung kann man in dem von ihr eingenommenen Raum an jedem Ort eine Geschwindigkeit zuordnen. Der von der Strömung eingenommene Raum ist somit ein Feld von Geschwindigkeitsvektoren. Ein solches Feld bezeichnet man in der Sprache der Mathematik als

25 1.1. Bahnlinien Seite 13 Y X Abbildung 1.2: Zentrales, zum Koordinatenursprung gerichtetes Vektorfeld. Vektorfeld: Jedem Punkt des Raumes (x, y, z) wird ein Geschwindigkeitsvektor (u, v, w) zugeordnet. Wie dabei die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten berechnet werden, geben einzelne Berechnungsvorschriften an. So ist ein Vektorfeld etwa durch die Berechnungsvorschrift x u(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) y 3/2 v(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) z 3/2 w(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (1.1) bis auf den Ort (x, y, z) =(0, 0, 0) eindeutig bestimmt, da jedem Ort des dreidimensionalen Raumes (x, y, z) ein Vektor (u, v, w) in eindeutiger Weise zugeordnet ist. Um eine Vorstellung von diesem Vektorfeld zu bekommen, muß man es zeichnen, genauso wie man über das Aussehen einer Funktion erst durch ihren Graphen informiert wird. Zeichnen läßt sich die ganze Sache ohne projektive Techniken natürlich nur im zweidimensionalen Raum. So ist unser Vektorfeld in Abbildung 1.2 dadurch gewonnen worden, daß z =0gesetzt wurde, man hätte aber auch jeden anderen Wert für z wählen können. Unser Beispielvektorfeld stellt also ein kugelsymmetrisches Geschwindigkeitsfeld dar, welches das Fluid fortlaufend in Richtung des Koordinatenursprungs beschleunigt, umso näher sich das Fluid an diesem befindet. Man kann sich ein solches Strömungsfeld nur schwerlich vorstellen, da im Koordinatenursprung immer mehr Fluidmasse konzentriert wird. Tatsächlich wurde seine Form dem Gravitationsfeld bzw. dem elektrischen Feld um eine Punktladung entlehnt. Daher stellt sich sofort die Frage, ob jedes denkbare Vektorfeld der Mathematik auch tatsächlich ein Strömungsfeld darstellen kann. Oderr anders: In welcher Beziehung stehen nun

26 Seite Bahnlinien die unendlich vielen mit mathematischen Vorschriften nahezu beliebig konstruierbaren Vektorfelder zu real existierenden Geschwindigkeisfeldern der Hydromechanik? Sicherlich stellt nicht jedes Vektorfeld der Mathematik ein Geschwindigkeitsfeld in der Hydromechanik dar. Daraus resultieren zwei Fragen: Wie muß ein Vektorfeld beschaffen sein, damit es eine Strömung darstellt? Wie kann man das Vektorfeld zu einer Strömung in einem bestimmten Gefäß, einem Rohrverlauf oder einem Fluss berechnen? Wir werden im folgenden sehen, daß die Beantwortung der ersten Frage direkt mit der Beantwortung der zweiten verbunden ist: Kennt man die Eigenschaften der Geschwindigkeitsfelder von Strömungen, dann kann man mit ihnen auch diese vorherberechnen Die Bahnableitung in einem Geschwindigkeitsfeld Wir wollen nun die Lagrangesche oder Bahnableitung für eine Strömung betrachten, deren Geschwindigkeitsverteilung in Form eines Vektorfeldes bekannt sind. In dieser Strömung befinde sich ein mittreibendes Gerät, welches die physikalische Größe f fortlaufend mißt. Wir wollen nun bestimmen, welche zeitliche Änderung dann aufgezeichnet wird. Da das Gerät keine Eigengeschwindigkeit besitzt, müssen die Ortsableitungen nach der Zeit zu der am jeweiligen Ort vorherrschenden Strömungsgeschwindigkeit u(x, y, z, t) = (u(x, y, z, t),v(x, y, z, t),w(x, y, z, t)) t ersetzt werden: Df Dt = f t + u f x + v f y + w f z Da f jede physikalische Größe repräsentiert, kann sie auch die Geschwindigkeiten u, v und w darstellen. In diesem Fall erhält man die für die Dynamik wichtigen Lagrangeschen Beschleunigungen: Du Dt = Dv Dt = Dw Dt = u t + u u x + v u y + w u z v t + u v x + v v y + w v z w t + u w x + v w y + w w z (1.2)

27 1.1. Bahnlinien Seite 15 Sie setzen sich aus der Eulerschen Beschleunigung u und der sogenannten advektiven Beschleunigung u u + v u + w u zusammen, die einfach dadurch entsteht, daß sich der Beob- t x y z achter mit dem Strömungsfeld bewegt. Mit Hilfe dieses Formalismus kann man für ein gegebenes Geschwindigkeitsfeld nun den Weg eines jeden beliebigen Partikels bestimmen. Dazu wird die Lagrangesche Ableitung der Geschwindigkeit zunächst über die Zeit integriert: u(x, y, z, t) =u 0 (x 0,y 0,z 0 )+ v(x, y, z, t) =v 0 (x 0,y 0,z 0 )+ w(x, y, z, t) =w 0 (x 0,y 0,z 0 )+ t t 0 t t 0 t t 0 Du Dt dt Dv Dt dt Dw Dt dt Darin sind (u 0 (x 0,y 0,z 0 ),v 0 (x 0,y 0,z 0 ),w 0 (x 0,y 0,z 0 )) die Geschwindigkeiten am Startpunkt des Partikels. Mit diesen Bahngeschwindigkeiten läßt sich nun die Bahn selbst durch x(t) =x 0 + y(t) =y 0 + z(t) =z 0 + t t 0 t t 0 t t 0 u(x, y, z, t)dt v(x, y, z, t)dt w(x, y, z, t)dt berechnen. Damit ist die Trajektorie eines passiven Partikels in einem Geschwindigkeitsfeld nur durch seinen Anfangsort vollständig bestimmt. Beispiel: Kreisförmiges Vektorfeld Als Beispiel betrachte man das in Abbildung 1.3 dargestellte kreisförmige Vektorfeld. Es wird durch die Vorschrift u(x, y) = y v(x, y) =x (1.3) erzeugt. Um die Sache nicht zu verkomplizieren, wurden hier alle Dimensionen weggelassen. Wir wollen nun den Weg eines in diesem Vektorfeld mitschwimmenden Partikels verfolgen. Befindet sich dieses zum Zeitpunkt t am Ort (x(t),y(t)), dann erfährt es dort die Lagrangesche Beschleunigung: