Hydromechanik für Bauingenieure

Transkript

1 Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen Hydromechanik für Bauingenieure Version 6.4 Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek Institut für Wasserwesen Werner-Heisenberg-Weg Neubiberg Tel.: 089 / andreas.malcherek@unibw-muenchen.de

2

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Advektion Bahnlinien Die Bahnlinie als Kurve Die Lagrangesche oder Bahnableitung Strömungen als Vektorfelder Die Bahnableitung in einem Geschwindigkeitsfeld Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweise einer Strömung Lagrangesche Erhaltungsgrößen Die lineare Advektionsgleichung Die nichtlineare Advektionsgleichung Fluidelemente Das Reynoldssche Transporttheorem Zusammenfassung Massenerhaltung und Potentialströmungen Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik Die allgemeine Kontinuitätsgleichung Die allgemeine Kontinuitätsgleichung, einfachere Herleitung Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide Potentialströmungen Die homogene stationäre Potentialströmung Die Umströmung eines unendlich langen Kreiszylinders Randbedingungen Das pdetool in MATLAB Stromlinien und Stromfunktion Stromlinien Die Stromfunktion Der spezifische Durchfluss

4 Seite 2 INHALTSVERZEICHNIS Stromfunktion und Durchfluss Die Laplacegleichung der Stromfunktion Stromlinien und Äquipotentiallinien Ausblick: Dreidimensionale Stromfunktionen Zusammenfassung Die Impulsbilanz in reibungsfreien Fluiden Hydrostatik Die Eulergleichungen Die Lösbarkeit der Eulergleichungen Darstellung in Indexnotation Die integrale Form der Impulsbilanz Hydrodynamische Drucklasten Die Bernoulligleichung für rotationsfreie Strömungen Hydrodynamische Druckberechnung mit dem pdetool Anwendung: Druckkraft auf eine geöffnete Hubschütze Die Druck-Poisson-Gleichung der idealen Strömung Die Druck-Poisson-Gleichung Randbedingungen Lösung der Druck-Poisson-Gleichung in MATLAB Schallgeschwindigkeit und Inkompressibilität Zusammenfassung Viskosität und Navier-Stokes-Gleichungen Die Viskosität Die Couette-Strömung Die Scherrate Der Tensor der viskosen Spannungen Der Spannungstensor Die Stokessche Zerlegung des Geschwindigkeitsfeldes Der viskose Spannungstensor für inkompressible Fluide Die Kraft auf ein Fluidelement Die Navier-Stokes-Gleichungen Die viskose Spannung als Impulsfluss Die Definition des Impulsstromtensors Die molekülkinetische Theorie der Viskosität Die Viskosität des Wassers Die Bernoulligleichung für viskose Fluide Anwendung auf die Couette-Strömung

5 INHALTSVERZEICHNIS Seite Das Gesetz von Darcy-Weisbach Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit dem MATLAB-pdetool Die Druck-Poisson-Gleichung für die Navier-Stokes-Gleichungen Parabolische Differentialgleichungen Laminare Strömung zwischen zwei Platten Zur Verifikation des MATLAB-Navier-Stokes-Solvers Zusammenfassung Ähnlichkeitsgesetze und Dimensionsanalyse Die dimensionslose Darstellung der Grundgleichungen Ähnlichkeitsbedingungen Geometrische Ähnlichkeit Dynamische Ähnlichkeit Kinematische Ähnlichkeit Maßstäbe zusammengesetzter Größen Dynamische Ähnlichkeit in der Hydromechanik Beschränkung auf Froudesche Ähnlichkeit Beschränkung auf Reynoldssche Ähnlichkeit Beschränkung auf Webersche Ähnlichkeit Grenzen physischer Modelle Dimensionsanalyse Physische Modellierung und numerische Simulation Zusammenfassung Die Erfassung der Turbulenz Mittlere und fluktuierende Größen Die Mittlung physikalischer Größen Fluktuationen als Abweichungen vom Mittelwert Die Kolmogorovlänge Die Messung turbulenter Geschwindigkeiten Der Dopplereffekt ADV-Sonden Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen Die turbulente kinetische Energie Das Energiespektrum der Turbulenz Die direkte Simulation Die Grundgleichungen der DNS Die räumliche Auflösung in der DNS Verifikation eines DNS-Modells

6 Seite 4 INHALTSVERZEICHNIS Kohärente Strukturen Verborgene Zusammenhänge zwischen schwankenden Größen: Korrelationen Zusammenfassung Turbulenz und Impulsdiffusion Die Reynoldsmittlung Rechenregeln für mittlere Größen und Fluktuationen Die Mittlung physikalischer Gesetze Die Mittlung der Kontinuitätsgleichung Die Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen Die Reynoldsspannungen Das Schließungsproblem Bewertung Das Prinzip der Wirbelviskosität Die Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip Das erweiterte Wirbelviskositätsprinzip Das Mischungswegmodell Die Trennungsschicht Der Mischungswegansatz für die Trennungsschicht Stationäre Simulation der Trenungsschicht mit MATLAB Numerische Lösung der Reynoldsgleichungen Zusammenfassung Die wandnahe Strömung Die Stokessche Wandhaftbedingung Die Wandschubspannung Die Grenzschichtentwicklung über einer glatten Fläche Die homogene laminare Grenzschichtströmung Die Entwicklung der laminaren Grenzschicht Die Entwicklung der turbulenten Grenzschicht Die turbulente Grenzschichtströmung an der glatten Wand Experimentelle Ergebnisse DNS-Untersuchungen an der glatten Wand Der Mischungswegansatz für die wandnahe Turbulenz Die turbulente stationäre Grenzschichtströmung an der rauen Wand Das Gesetz von Colebrook-White Der hydraulische Durchmesser Der Widerstandsbeiwert der glatten Wand Der Widerstandsbeiwert der rauen Wand

7 INHALTSVERZEICHNIS Seite Zusammenfassung Die Strömungskraft auf Körper Die Bestimmung der Strömungskraft durch Beiwerte Das D Alembertsche Paradoxon Die Umströmung sphärischer Körper Die schleichende Strömung Die schleichende Umströmung von Kugel und Zylinder Die Oseensche Erweiterung für größere Reynoldszahlen Der Strömungswiderstand von Kugel und Zylinder Die Ablösung der Grenzschicht Der Impulsverlust der Strömung Partikeldynamik in Fluiden Die Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung Die Stokessche Sinkgeschwindigkeit Die Sinkgeschwindigkeit nach dem Oseenschen Widerstandsgesetz Die Sinkgeschwindigkeit nach Dietrich Zusammenfassung Die Vertikalstruktur der Gerinneströmung Der Normalabfluss Das Gefälle des Flusses Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen bei gleichförmigem Abfluss Die Druckverteilung bei gleichförmigem Abfluss Das laminare Geschwindigkeitsprofil bei gleichförmigem Abfluss Die Schleppspannung Das Profil der Scherspannung Der Zusammenhang zwischen Verlusthöhe und Schleppspannung Der turbulente Normalabfluss Das vertikale Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Strömung Das Mischungswegprofil in Gerinneströmungen DNS-Untersuchungen an der freien Oberfläche Zusammenfassung Die Energie der Strömung Die Bilanzierung der kinetischen Energie Die kinetische Energie eines Fluids Die Dissipation kinetischer Energie Die Diffusion kinetischer Energie Die Bernoulligleichung auf der Bahnlinie

8 Seite 6 INHALTSVERZEICHNIS 11.2 Die potentielle und die mechanische Energiebilanz Die innere Energie eines Fluids Die Transportgleichung für die Temperatur Die Bilanz der Gesamtenergie Zusammenfassung Übungen Der Transport der Turbulenz Die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen Die turbulente kinetische Energie (TKE) Die Produktion von TKE Eingleichungsmodelle Lösung mit dem pdetool für die Trennungschicht Stationäre Lösung für die Wandgrenzschicht in MATLAB Bewertung Die Energetik der turbulenten Strömung Das k-ɛ-modell Die wandnahe Strömung im k-ɛ-modell Randbedingungen an der freien Oberfläche Das k-ɛ-modell für die Gerinneströmung Die radiale Struktur einer Rohrströmung Das k-ω-modell Die wandnahe Strömung im k-ω-modell Randbedingungen an der freien Oberfläche Das k-ω-modell für die Gerinneströmung Die generische Transportgleichung der Turbulenzmodelle Schließungsmodelle zweiter Ordnung Die Reynoldsspannungsgleichungen Reynolds-Stress-Modelle Algebraische Spannungsmodelle Zusammenfassende Empfehlungen Large Eddy Simulation Filter Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen Klein- und großskalige turbulente Bewegungen Das Smagorinskymodell Ausblick

9 INHALTSVERZEICHNIS Seite 7 14 Die tiefenintegrierte Simulation von Fließgewässern Die Darstellung der Sohltopographie Kinematische Randbedingungen Differentialgeometrie der Flächen Die kinematische Randbedingung an der Sohle Die Kinematik von Gewässeroberflächen Die tiefengemittelte Kontinuitätsgleichung Die tiefengemittelten Impulsgleichungen Die Mittlung der advektiven Terme Die hydrostatische Druckapproximation Die inneren Spannungen Die Impulsgleichung der tiefenintegrierten Strömung Warnung vor unzulässigen Vereinfachungen Impulsdispersion Impulsbeiwerte Dispersion des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils Gibt es ein Prinzip der turbulenten Dispersion? Die tiefenintegrierte Energetik der Fließgewässer Tiefenintegrierte Transportgleichungen Zusammenfassung Tiefengemittelte Turbulenzmodellierung Die tiefengemittelte Turbulenzproduktion Die tiefengemittelte turbulente Viskosität Der Prandtlsche Mischungswegansatz Der Ansatz von Elder Energiedissipation in schmalen Fließgewässern Kombinierte Ansätze Die Sohlschubspannung auf Böschungen Die Definition der Sohlschubspannung Die Sohlschubspannung mit reynoldsgemittelten Größen Die Strömungsbelastung auf Böschungen Das tiefenintegrierte k-ɛ-modell Der Smagorinskyansatz Die Energiedissipation über langen Sohlwellen Dissipation im tiefengemittelten Strömungsfeld Dissipation im modulierten logarithmischen Geschwindigkeitsfeld Zur Kombination von Einzelrauheiten Zusammenfassung

10 Seite 8 INHALTSVERZEICHNIS 16 Sekundärströmungen in Kurven Zur Empirie der Mäander Koordinatensysteme Der metrische Tensor Differentialoperatoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten Die Grundgleichungen in allgemeinen orthogonalen Koordinaten Die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten Sphärische Koordinaten σ-koordinaten Kurvenangepaßte Koordinaten Analysen im Dreidimensionalen Eine Kurvendurchströmung in Gleichungen Die Querneigung des Wasserspiegels Die Quergeschwindigkeit an der Wasseroberfläche Die Entwicklung der Quergeschwindigkeit Das Geschwindigkeitsprofil der Sekundärströmung Die Neuverteilung der Hauptströmung Energieverlust durch Sekundärströmungen D-Simulation in kartesischen Koordinaten Tiefengemittelte Simulation von Kurvenströmungen Die tiefengemittelten Gleichungen Der Dispersionskoeffizient der Sekundärströmungen Simulation in kartesischen Koordinaten Modellierung der sekundären Sohlschubspannung Eindimensionale Modellierung von Kurvenströmungen Die Bewegung der Uferlinie Die 1D-Gleichungen von Saint-Venant Bewertung Zusammenfassung Diffusion und Transport Diffusion Das erste Ficksche Gesetz Der molekulare Diffusionskoeffizient Die Diffusionsgleichung Fourieranalyse der Diffusionsgleichung Die Transportgleichung Umsetzungs- und Abbauprozesse Der radioaktive Zerfall

11 INHALTSVERZEICHNIS Seite Binäre Umsetzungsprozesse Transport und Turbulenz Die Reynoldsmittlung der Transportgleichungen Das Prinzip der Wirbeldiffusivität Turbulente Dichtekorrelationen Eindimensionale Transportmodelle Zusammenfassung Übungen Thermik der Fließgewässer Wärmeaustausch mit der Atmosphäre Globalstrahlung Rückstrahlung Atmosphärische Gegenstrahlung Verdunstungswärmestrom Konvektiver Austausch Wärmeaustausch mit dem Boden Das Gleichgewichtskonzept Vertikale Temperaturverteilung in Oberflächengewässern Turbulente Durchmischung Konvektion Längsverteilung der Temperatur Zusammenfassung

12 Seite 10 INHALTSVERZEICHNIS

13 Einleitung Die Hydromechanik beschäftigt sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten in Ruhe oder Bewegung. Damit ist diese Wissenschaft keineswegs irgendeine randständige Spezialdisziplin, sondern wird in fast jedem Bereich von Naturwissenschaft und Technik benötigt. Beginnen wir bei uns selbst. In der Biologie wird der Begriff Leben mit der Fähigkeit eines Organismus zu Stoffwechselprozessen in Zusammenhang gebracht. Damit am Ort des Stoffwechsels der Stoffwechselprozess nicht abbricht, müssen dessen Produkte fortwährend abtransportiert und die erforderlichen Ausgangsstoffe herantransportiert werden. Die Stoffwechselprozesse in unserem Körper werden durch die Atmung und den Blutkreislauf in Gang gehalten, beides Beispiele für Strömungen direkt in uns selbst. Damit wird die Hydromechanik eine Grundlagendisziplin der Biophysik, denn in allen Bereichen des tierischen und pflanzlichen Lebens werden Stoffe durch Strömungen transportiert. Gehen wir einen Schritt weiter. Damit bewegen wir uns als menschlicher Körper durch die uns umgebende Luft oder oder das Wasser, sei es selbst laufend, schwimmend oder wir benutzen technische Hilfsmittel wie Kraftfahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge. Hydromechanisch sind wir bei dem wichtigen Gebiet des Widerstandes von Körpern in Flüssigkeiten und Gasen angelangt. Wollen wir nach der anstrengenden Bewegung duschen oder ein Glas Wasser trinken, nutzen wir die technischen Errungenschaften zur Wasserver- und entsorgung, mit denen sich die Siedlungswasserwirtschaft beschäftigt. Hydromechanisch steht zunächst einmal die Aufgabe an, den Transport von Wasser oder Flüssigkeiten im allgemeinen in Rohrleitungssystemen oder offenen Gerinnen berechenbar zu machen. Dazu muß der Ingenieur in der Lage sein, die für einen vorgegebenen Volumendurchfluss erforderliche Energie (in Form von Druck- oder Höhenenergie) zu berechnen. Sobald wir uns aus den uns schützenden Gebäuden hinausbegeben, werden wir mit dem Phänomen Wetter konfrontiert. Die Aufgabe, dieses kurzfristig und das Klima mittel- und langfristig vorherzusagen, obliegt der Meteorologie. In dieser Wissenschaft ist die Hydromechanik geradezu eine unverzichtbare und omnipräsente Grundlagenwissenschaft. Und wenn wir damit schon bei der Atmosphäre als ein durch Strömung geprägter Lebensraum angelangt sind, sollten die Weltmeere nicht unerwähnt bleiben. In ihnen werden die Wassermassen in großskaligen Zirkulationssystemen, wie dem Golfstrom transportiert. Die Gezeiten bringen periodische Bewegungen in die Ozeane und künden von den Kräften, die Sonne und 1

14 Seite 2 Einleitung Mond auf das Erdsystem haben. Mit all diesen Dingen beschäftigt sich die Ozeanographie. Atmosphäre und Ozeane sind durch energetische und Stoffaustauschprozesse miteinander gekoppelt. So erzeugt der Wind an der Wasseroberfläche der Meere Wellen und Seegang, Stürme können sogar Sturmfluten hervorrufen. Vor diesen Phänomenen müssen sich die an den Küsten lebenden Menschen schützen. Der Umgang mit den gewaltigen dabei freiwerdenden Kräften und die Gestaltung der Küste als Schutz- und Lebensraum ist Aufgabe des Küsteningenieurwesens. Wenn man die Meteorologie und Ozeanographie als Teilgebiete der Geophysik versteht, dann folgt dieser die Astrophysik. Die Dynamik des Plasmas in den Sternen wird unter Zuhilfenahme hydromechanischer Gesetze beschrieben, somit sind Aufbau und Entwicklung der Sterne den Gesetzen der Hydromechanik unterworfen. Auch in weiteren Disziplinen des Bauingenieurwesens und insbesondere des Wasserbau werden hydromechanische Kenntnisse und Fähigkeiten benötigt. Im Verkehrswasserbau kommen Grundkenntnisse aus den Gebieten Schiffbau und Navigation hinzu. So wird das Thema Schwimmstabilität als Vertiefung in der Hydrostatik behandelt. Ferner ist die Fahrdynamik von Schiffen eine wesentliche Einflussgröße bei der Bemessung von Wasserstraßen, die Eigenschaften der Rückströmung unter Schiffen und der schiffserzeugten Wellen benötigt man zur Sicherung von Ufer und Sohle. Im Energiewasserbau werden hydromechanische Kenntnisse zur Bemessung von Pumpen und Turbinen benötigt, hier sind die Anknüpfungen zum Maschinenbau am stärksten. Zur Konstruktion von Stauanlagen sind die hydrostatischen Belastungen auf das Absperrbauwerk, die Sickerlinien in Dämmen oder die Bemessung von Tosbecken nur einige Beispiele zu Anwendungen der Hydromechanik. In der Hydrologie und im Grundbau werden Kenntnisse über Strömungen in porösen Medien benötigt. Hydraulik und Hydromechanik - Induktion und Deduktion Schon die vorsokratischen Philosophen haben dem Wasser besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Es sei die Substanz, aus der alles entstanden ist, behauptet zumindest Thales im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. Dem widersprach aber schon Anaximenes im 5. Jh.v.Chr., denn der der Urstoff ist die Luft, Wasser hingegen nur verdichtete Luft, bei weiterer Verdichtung entsteht Erde, Feuer ist verdünnte Luft. Daß das Wesen der Welt dynamisch ist, hat Heraklit erkannt (um 500 v.chr.), er stellte fest, es gäbe kein Sein, nur ein Werden, alles fließe: Du kannst nicht zweimal in dieselben Flüsse steigen, denn frisches Wasser fließt immer auf dich zu. Das die unablässige Veränderung bewirkende Feuer ist somit das Urelement. Um 440 v. Chr. kommt Empedokeles von einem Urstoff zur Vielfalt der Elemente, diese sind natürlich Feuer, Erde Luft und Wasser, die sich miteinander in Liebe verbinden und so die Stoffvielfalt hervorbringen, in Haß trennen sie sich. So wurde das Wasser von einem Urstoff zu einem Element unter vielen, letztendlich enthronte die Elektrolyse es als einen zusammengesetzten Stoff.

15 Einleitung Seite 3 Die Methode der griechischen Philosophie ist die Deduktion, das Folgern aus scheinbar Selbstevidentem heraus, an deren Anfang die Axiome stehen 1. Deduktion benötigt die Beobachtung der Welt nicht, sie dient nur zur Bestätigung ihrer Erkenntnisse. Der deduktiv Forschende braucht sich nur in sich selbst zu versenken und berauscht sich an den Offenbarungen des reinen Geistes. Dies ist der antike Ursprung des Wortes Theorie, es bedeutete leidenschaftliche, einfühlsame Kontemplation. Mit Leonardo da Vinci wurde die Hydraulik als phänomenologische Wissenschaft begündet. Seine wissenschaftliche Methodik sind die Kunst und Malerei, die die sichtbare Welt wiedererschaffen, diese dabei ordnen, analysieren, detaillieren, begreifen und verstehen. Das Medium Bild wurde so zum Modell für die erfahrbaren Naturphänomene. So beschäftigt sich der in Spiegelschrift geschriebene Codex Leicester 2 in einer Fülle von Skizzen mit der Erde als einen lebendigen Organismus, Hauptthema ist dabei die Natur des Wassers. Leonardo definiert in diesem Werk zugleich die induktive Methode: Natur beginnt mit der Ursache und endet mit der Erfahrung, wir müssen den entgegengesetzten Weg beschreiten,..., mit der Erfahrung beginnen und davon die Ursache ableiten. Die sich in der Folge entwickelnde Hydraulik arbeitete vornehmlich empirisch-induktiv. Eine Theorie gibt es dabei nur in der makroskopischen Gesichtsweise, wobei die Bilanzen von Masse, Impuls und Energie für das Fließgewässer als Ganzes aufgestellt und mit den entsprechenden empirischen Ergebnissen geschlossen werden. Vom mathematischen Gesichtspunkt ist die Hydraulik einfach zugänglich, da sie sich lediglich algebraischer Gleichungen und der Differentialrechnung bedient. Sie gestattet dem Ingenieur heute die Berechnung des Abflusses in Gerinnen, die Bemessung und Gestaltung der verschiedensten Wasserbauwerke wie Verzweigungen, Wehren, Tosbecken oder Schussrinnen [13], [56], [11]. Die vorliegende Schrift wird sich jedoch mit der Hydromechanik beschäftigen. Sie ist von ihrem textlichen Erscheinungsbild wenig ansprechend, denn sie ist in den Sprachen der Differentialgeometrie und der partiellen Differentialgleichungen geschrieben. Letztere kann man als hochkomprimierte Wissenspeicher betrachten, die wie jeder komprimierte Text zunächst entpackt werden müssen. Hierfür bot sich im pränumerischen Zeitalter nur die analytische Lösung mit Bleistift und Papier an. Erst dann konnte die dahinter steckende Theorie durch den Vergleich mit empirischen Daten verifiziert und in der Folge auch praktisch angewendet werden. Daß man dabei schon sehr viel über das grundsätzliche Verhalten vieler Strömungssysteme lernen und mancherorts auch den Anschluß an die klassische Hydraulik finden kann, zeigt das auf diesem Gebiet grundlegende Werk Hydrodynamics von Sir Horace Lamb [38]. Analytische Lösungen sind jedoch auf sehr einfache Geometrien beschränkt. Somit war die 1 Die Methode der Deduktion ist der theologischen Dogmatik sehr nahe, hier werden ausgehend von einem Dogma, einem Glaubensgrundsatz, nach den Gesetzen der sprachlichen, manchmal aber auch der formalen Logik, eine Glaubenslehre entwickelt. Die Dogmatik ist eine exzellente Übung in der Methode der Deduktion, gerade dann, wenn man ihren Inhalten skeptisch oder ablehnend gegenüber steht. 2 siehe

16 Seite 4 Einleitung analytische Lösbarkeit der limitierende Faktor der Theoriebildung in der Hydrodynamik, da ohne diese Eigenschaft sowohl die Verifikation als auch die Anwendbarkeit einer Theorie ausgeschlossen wurden. Die heutige Informationstechnologie und die numerische Mathematik haben eine alternative Möglichkeit zur Dekomprimierung des in Differentialgleichungen gespeicherten theoretischen Wissens für komplexe technische und natürliche Systeme in der Form der hydrodynamischnumerischen Modellierung eröffnet. Dabei wurde die Anforderung der analytischen durch die numerische Lösbarkeit ersetzt, wodurch die Menge der lösbaren Probleme erheblich aufgeweitet wurde, es hat sich oftmals sogar gezeigt, daß die numerische Unlösbarkeit auf Fehler in der Theoriebildung deutet. Die fruchtbare Verbindung von Numerik und Hydrodynamik hat ihren Siegeszug auch im Wasserbau gehalten und sie prägt als Computational Hydraulics oder Computational Fluid Dynamics (CFD) die Ausbildung zum Anfang des neuen Jahrhunderts, einer Zeit, die nachfolgende Generationen zweifelsohne als das Zeitalter der Computerrevolution bezeichnen werden. Ein psychologischer Aspekt der Mathematisierung der Hydromechanik besteht in dem Vorurteil, welches exakte Wissenschaft mit Attributen wie langweilig, spröde, trocken und humorlos belegt, Eigenschaften also, die junge Menschen selten in das Portfolio ihrer Entwicklungsziele nehmen. Diesem Vorurteil gilt es zum Wohle der Wissenschaft entgegenzuwirken, vor diesem Hintergrund verstehe man so manche Freiheit in der Wahl der Ausdrucksform. Nutzen wir also das Studium der Hydromechanik als Repepitorium und Vertiefung der beiden Grundlagenwissenschaften angewandte Mathematik und Mechanik. Das Dankbare, der Wert des Studiums der Hydromechanik liegt darin, daß sie jeden Bereich von Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch des täglichen Lebens zur Anwendung kommt. Im Anfang stehen in Kapitel 1 bis 4 die aus den Axiomen und Gesetzen der klassischen Mechanik hergeleiteten Grundlagen der Hydrodynamik. Die Darbietung des Stoffes in der gewählten Form soll dazu beitragen, das vielleicht wichtigste - von Tennekes und Lumley [79] - identifizierte Schließungsproblem zu lösen: Die Lücke zwischen grundlegenden Lehrbüchern auf der einen und fachwissenschaftlichen, oftmals nur Experten verständlichen Monographien auf der anderen Seite, die allgemeiner auch als Lücke zwischen Forschung und Lehre bezeichnet werden kann. Dies soll hier dadurch erreicht werden, daß vor allem die zur konsistenten hydrodynamischen Theoriebildung benötigten Methoden gelehrt und mit einheitlicher Nomenklatur dargestellt werden. Dabei sollen die Anfänge der Theorie mit ihren mathematischen Methoden besonders ausführlich behandelt werden, damit das Verständnis des Komplexen nicht unweigerlich durch das Unverständnis der Wurzeln vereitelt wird. Mit den Navier-Stokes-Gleichungen ist die Hydrodynamik der meisten natürlichen und technischen Strömungen des Wassers konzeptionell vollständig (bis auf Randbedingungen) beschrieben, aber bei weitem noch nicht den Anforderungen der numerischen Simulation angepaßt. Dabei geht es zunächst erst einmal darum sich den turbulenten Strukturen einer Strömung anzunehmen. Hiermit beschäftigt sich der zweite Hauptteil. Sie wird in den Kapiteln 6 bis 12

17 Einleitung Seite 5 Raumdimensionen Differentialgleichungen Auflösung DNS mm LES cm RANS dm 3D hydrostatisch m Tiefenintegriert m Querschnittsintegriert m Tabelle 1: Synopsis der Simulationsmodi für Oberflächengewässer. In den folgenden Spalten sind die Anzahl der aufgelösten räumlichen Dimensionen sowie die zu lösenden Differentialgleichungen angegeben. behandelt. Darin eingebettet sind die Strömungsverhältnisse an festen Wänden in Kapitel 8. Sie werden mit den Methoden der Differentialgeometrie behandelt. Bei dem konzeptionellen Modell der direkten numerischen Simulation werden die Navier- Stokes-Gleichungen mit den entsprechenden Randbedingungen auf einem so feinen Gitter gelöst, daß alle turbulenten Bewegungsstrukturen simuliert werden. Mit solchen Modellen werden insbesondere die Feinstrukturen der Turbulenz untersucht, hier seien jüngste Arbeiten über die oberflächennahe Turbulenz hervorgehoben (Zhang et al. (1999), [86]). Natürliche Gewässer lassen sich bisweilen in diesem Simulationsmodus wegen der begrenzten Computerleistungen nicht modellieren, desweiteren sind auch die Eingangsdaten nicht in der erforderlichen Dichte verfügbar. Daher wird bei der Simulation natürlicher Gewässer in der Regel in der sogenannten Reynoldsmittlung gearbeitet. Hier ist eine Modellierung der Turbulenz erforderlich. Zwar gibt es auf diesem und dem Gebiet der Turbulenztheorie eine große Zahl von Monographien, auf die besonderen Verhältnisse in Fließgewässern geht aber nur das Werk von Nezu und Nakagawa [57] ein. Obwohl es erst im Jahre 1993 erschienen ist, hat sich in der Zwischenzeit insbesondere bei der oben genannten direkten Simulation von Strömungen mit freier Oberfläche noch einiges getan, hierauf soll eingegangen werden. Ein weiterer Hauptteil ist der tiefenintegrierten Simulation gewidmet. Dafür werden in Kapitel 14 die Grundgleichungen ausführlich hergeleitet, um vor allem die hiermit verbundenen Schließungsprobleme exakt zu erfassen, die in folgenden Kapiteln detailliert behandelt werden. Die Strenge der deduktiven Methode zahlt sich insbesondere bei der Darstellung der Sohlschubspannung aus, hier kann eine exakte Formulierung vorgestellt werden, aus der ein neuer Ansatz zur Erfassung steiler Sohlgradienten gewonnen wird. Das zweite Schließungsproblem in tiefengemittelten Simulationen ist die Turbulenzmodellierung. Auch hier wird der Stand der Modelltechnik aufgezeigt, bewertet und entsprechende Lücken identifiziert.

18 Seite 6 Einleitung Der letzte Hauptteil thematisiert die eindimensionale Betrachtungsweise der Fließgewässer. Die Bewegungsgleichungen kann man aus entsprechenden eindimensionalen Bilanzüberlegungen herleiten, und sie finden schon seit langem in numerischen Modellen Anwendung. Der hier eingeschlagene Weg im Rahmen der deduktiven Hydrodynamik ist jedoch theoretisch wesentlich anspruchsvoller. Zunächst werden Kurvenkoordinaten eingeführt, womit die mathematische Ausdrucksform entwickelt wird, um gewundene Eindimensionalität exakt zu erfassen. Als Nebenprodukt wird man in die Lage versetzt, Sekundärströmungen in Kurven als Abweichungen von der Eindimensionalität zu beschreiben (Kapitel 16). In Kapitel 16.6 werden dann die Grundgleichungen der eindimensionalen Simulation hergeleitet. Der Lohn für den beschwerlichen Umweg ist eine exakte Formulierung für das Energieliniengefälle, die hier erstmalig vorgestellt wird. Die Tabelle 1 gibt einen Überblick der verschiedenen Formen der hydrodynamischnumerischen Simulation. Bei der direkten numerischen Simulation (DNS) von Fließgewässerströmungen werden alle turbulenten Bewegungsformen aufgelöst. Dementsprechend muß die räumliche und zeitliche Auflösung sehr hoch sein. Bei der Large Eddy Simulation (LES) werden nur die großen, geometrieabhängigen Wirbel aufgelöst. Das Verhalten und die Wirkung der kleinen isotropen Wirbel wird parametrisiert. Beide Konzeptionen benötigen so hohe Auflösungen, daß sie die DNS derzeit nicht und die LES sehr selten bei Simulationen im Wasserbau angewendet werden. Vorlesungsgliederung Hydromechanik I - III Das dargestelle Material überdeckt einen dreisemestrigen Vorlesungszyklus der Hydromechanik für Bauingenieure. Es setzt aber das Skriptum Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau voraus. Die Vorlesung Hydromechanik I aus dem Modul Hydromechanik I und Abfallwirtschaft widmet sich dabei schwerpunktmäßig den hydromechanischen Grundlagen der Hydraulik und deren Bestimmung im Laborversuch. Die Inhalte der Vorlesung sind im Einzelnen: 1. Die Advektion 2. Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik 3. Potentialströmungen 4. Stromlinien 5. Druckberechnungen, Druckkräfte auf Wehre und Schütze 6. Die Eulergleichungen 7. Anwendung: Auftrieb und Schwimmen (Hydrostatik) 8. Die Viskosität Newtonscher Fluide

19 Einleitung Seite 7 9. Die Navier-Stokes-Gleichungen 10. Ähnlichkeitsgesetze und Dimensionsanalyse Im Gegensatz zur Hydraulik wird die Fließgeschwindigkeit nun zu einem Geschwindigkeitsfeld. Dabei sollen vor allem die hydromechanischen Grundkenntnisse aus der Hydraulik, d.h. die Hydrostatik und die Impulserhaltung vertieft werden. Das Modul Hydromechanik II besteht aus insgesamt 12 mal vier Wochenstunden, bzw. den Vorlesungen Hydromechanik II und III. Zunächst aollen hier einfache Potentialströmungen mit MATLAB gelöst werden. Dann beschäftigt sich die Vorlesungen mit reibungsbehafteten Strömungen und deren Anwendung auf wandnahe Strömungen, Strömungswiderstand, Gerinne- und Rohrströmungen, sowie den turbulenten Strömungen: 1. Die Navier-Stokes-Gleichungen II 2. Impulsdiffusion 3. Erfassung (Laborversuch) und Auswertung turbulenter Strömungen 4. Reynoldsgleichungen und Wirbelviskositätsprinzip; die Trennungsschicht 5. Die Wandgrenzschicht 6. Die Strömungskraft auf Körper 7. Das Geschwindigkeitsprofil in Rohrströmungen 8. Das Geschwindigkeitsprofil in Gerinneströmungen 9. Diffusion und Transport 10. Der Transport der Turbulenz Vertieft wird das Modul Hydromechanik II durch das Modul Simulation von Strömungen in Labor und Computer. Es besteht aus dem großen Laborpraktikum sowie den numerischen Methoden in der Hydromechanik. MATLAB in der Hydromechanik MATLAB bietet eine vollständige Programmiersprache, mit der sowohl funktionale als auch obkjektorientierte Strukturen implementiert werden können. Insofern ist es möglich, in MAT- LAB slle Probleme der Strömungsmechanik numerisch zu lösen. Um dies tatsächlich zu tun, benötigt man vertiefte Kenntnisse aus

20 Seite 8 Einleitung 1. der Hydro- oder Strömungsmechanik, um die zu lösenden Gleichungssysteme aufzustellen oder geeignet umzuformen, 2. der numerischen Mathematik, um diese Gleichungssysteme dann mit einem Computerverfahren lösbar zu machen und 3. der Programmierung, um den Computercode tatsächlich überschaulich, verständlich und fehlerfrei zu halten. Mit genau diesen Kenntnissen bestückt, war so in den 70ger Jahren des letzten Jahrhunderts der CFD-Spezialist (CFD - Computational Fluid Mechanics) geboren, der seine Blüte in den 90ger Jahren im technischen Teil des Stellenmarkts der Zeitungen feierte. Leider wusste der CFD-Spezialist oftmals nicht sehr viel über die vielen Phänomene der Strömungsmechanik, weil er sich mit dem aroganten Verweis auf seine Kenntnis ihrer fundamentalen Grundgleichungen und der Simulierbarkeit des Phänomens durch ein Computermodell zurückziehen konnte. Die Zeit des klassischen CFD-Spezialisten jener Zeiten ist sicher noch nicht vorbei, hat aber ihren Zenit überschritten. Dies liegt eben an solchen Tools wie MATLAB, welche Kenntnisse der numerischen Mathematik nicht unabdingbar, aber in den Hintergrund treten lassen. MATLAB bietet die verschiedensten, schon vorprogrammierten Lösungen, so dass sich ein Anwender nicht mehr vertiefte Kenntnisse aus der numerischen Mathematik anwenden muss. Für die Hydromechanik sind dabei besonders relevant: Die Lösung von partiellen Differentialgleichungen in iher elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen Form im Zweidimensionalen mit Hilfe der Finite-Elemente- Methode. Verfahren der Zeitreihenanalyse. Die Lösung von eindimensionalen hyperbolisch-parabolischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit adaptiven Methoden. Lehrbücher der Hydromechanik (keinesfalls vollständig) Bei den Lehrbüchern zur Hydromechanik hat man grundsätzlich zwischen denen zu unterscheiden, die sich überwiegend auf der Ebene der algebraischen Hydraulik bewegen und denen, die sich auf der Ebene der auf partiellen Differentialgleichungen basierenden Hydromechanik bewegen. Der eher theoretisch orientierte Leser kann die Hydromechanik ohne die Hydraulik erlenern, und letztere als einfache Anwendungen deduktieren. Der Ingenieur wir eher mit der anwendungsorientierten Hydrualik beginnen wollen und sich dann der theortischen Hydromechanik zuwenden.

21 Einleitung Seite 9 Hydraulik für Bauingenieure von Ekkehard Heinemann und Rainer Feldhaus [29] erklärt den Standardsstoff sehr verständlich mit guten Abbildung. Über diesen geht es allerdings nicht weit hinaus. Civil Engineering Hydraulics von C. Nalluri und R.E. Featherstone [55] beschränkt sich auf eine kurze Darstellung der hydraulischen Theorie und überzeugt dann durch die ausführliche Darstellung von Beispielaufgaben. Fluid Mechanics von Robert A. Granger [26] ist ein Werk, welches einem besonders die hydromechanische Theorie motivierend nahe bringt, wobei die Anwendungen aber keinesfalls zu kurz kommen. Leider verirren sich die Übungaufgaben im US-amerikanischen babylonischen Einheitengewirr. Dennoch empfehlenswert. Die Fluidmechanik von E. Truckenbrodt [?] ist ein Lehrbuch, welches die theoretischen Konzepte der Hydromechanik bis zu technischen Anwendungen entwickelt. Hydrodynamik von L.D. Landau und E.M. Lifschitz [39] ist ein Klassiker der theoretischen Hydrodynamik, zum ersten Lesen für Physiker, aber nicht für Ingenieure geeignet. Besonders spannend sind hier die Darstellungen zur Turbulenz. Ähnliches gilt für das schon erwähnte Werk Hydrodynamics von H. Lamb [38], welches für Anfänger sicherlich kaum verdaulich ist.

22 Seite 10 Einleitung

23 Kapitel 1 Advektion Als Advektion bezeichnet man die wohl charakteristischste Eigenschaft einer Strömung, nämlich das passive sich Mitbewegen von Dingen oder Eigenschaften in der Strömung. Solche Dinge, die mit einer Strömung treiben, sind die Moleküle, aus denen sich das Fluid zusammensetzt, gelöste Stoffe, in der Schwebe befindliche Partikel, Lebewesen ohne Eigenantrieb oder der Zweig auf der Wasseroberfläche. Aber auch mehr oder weniger abstrakte nichtstoffliche Eigenschaften treiben passiv im Strömungsfeld. Als Beispiele lassen sich die Temperatur oder die Wirbelstärke nennen. Letztere kann man sehr gut an einem Fließgewässer in Form von kleinen Wirbeln an der Wasseroberfläche beobachten. Sie entstehen an irgendeiner Stelle, werden mit der Strömung fortbewegt, d.h. advektiert, um irgendwo wieder zu vergehen. Diese mit dem sehr trockenen Begriff Advektion bezeichnete Eigenschaft von Strömungen hat sich -vielleicht durch das soeben dargestellte Schicksal kleiner Wirbel- als ein Grundmotiv in die Kulturgeschichte eingeprägt. Das Sinnbild Fluß oder Strom steht dabei als Metapher für den menschlichen Lebensweg, für das passive Dahingetriebenwerden des Einzelnen durch die Zeitgeschichte, es bezeichnet das Unvermeidliche oder das Schicksal. Um den modernen Leser nicht mit Altertümern zu langweilen, sei er nur an Bruce Springsteens Song The River ( they bring you up to do, like your Daddy done ) erinnert. Wir wollen nun die geistigen Welten verlassen und zu der mathematischen Beschreibung der Advektion kommen. Die dabei verwendete Sprache der partiellen Differentialgleichungen hat ein sehr abschreckendes Bild, da sie Symbole gebraucht, die manchen Lesern von ihrer grundsätzlichen Bedeutung zwar bekannt sind, aber in erdrückender Masse einige Leseschwierigkeiten bereiten. Die Sprache wird erst dann flüssig lesbar, wenn man nicht nur die Buchstaben mühselig zusammenfügt, sondern ganze Wörter bzw. Gleichungsteile erkennt. Zur Ermutigung sei gesagt, daß wir mit dem Wort Advektion mindestens ein Viertel des benötigten Sprachumfangs erlernt haben. 11

24 Seite Bahnlinien (x(t ),y(t )) 2 2 (x(t ),y(t )) 1 1 (x(t ),y(t )) 3 3 (x(t ),y(t )) 5 5 (x(t ),y(t )) 4 4 Abbildung 1.1: Eine Trajektorie eines Partikels mit fünf markierten Zeitpunkten und einer Approximation durch einen Polygonzug. 1.1 Bahnlinien Zur mathematischen Erfassung der Advektion müssen wir zuerst die Bewegung einzelner in der Strömung mittreibender Partikel beschreiben. Befestigt man an einem bestimmten Partikel einen Schreiber (welcher Art auch immer), so zeichnet dieser eine Bahnlinie auf Die Bahnlinie als Kurve Solche Bahnlinien im dreidimensionalen Raum werden in der Mathematik als Wege oder Kurven bezeichnet. Hierunter versteht man eine Abbildung eines Parameters t (für den Physiker die Zeit) auf den Punkt des dreidimensionalen Raumes, an dem sich das Partikel gerade befindet: x(t) t y(t) z(t) Um Geschwindigkeiten auf Bahnlinien zu definieren, benötigt man die Differenzierbarkeit dieser Abbildung. Als Kurven bezeichnet man nur Wege, die stetig differenzierbar sind, deren Graph also keine Knicke, scharfe Ecken o.ä. aufweist. Gehen wir im folgenden also davon aus, daß sich die Partikel immer auf Kurven bewegen. Die Geschwindigkeiten des Partikels sind durch die zeitliche Änderung des Ortes des Partikels, also deren Zeitableitung gegeben:

25 1.1. Bahnlinien Seite 13 dx(t) dt dy(t) dt = u = v dz(t) = w dt Ihr Vektor weist in tangentialer Richtung zur Kurve. Die Weglänge Jeder Weg läßt sich durch einen Polygonzug, dessen Stützknoten auf dem Weg liegen, beliebig genau approximieren. Die Weglänge s kann man dann als N 1 s = lim x(t i+1 ) x(t i ) N i=1 approximieren. Die Weglänge s eines Teilchens auf einer Trajektorie zwischen den Zeitpunkten t 1 und t 2 ist natürlich das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit: s = t 2 t 1 u 2 (t)+v 2 (t)+w 2 (t)dt Leitet man den Weg s nach der Zeit t ab, so erhält man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors Die Lagrangesche oder Bahnableitung Nun wollen wir untersuchen, wie sich eine beliebige physikalische Größe f entlang einer Bahnlinie ändert. Diese Änderung bezeichnen wir mit Df/Dt, sie wird als Bahnableitung, substantielle oder Lagrangesche Ableitung bezeichnet. Die beliebig gewählte physikalische Größe f kann sich zunächst zeitlich ändern, f = f(t, x, y, z). Da der Beobachtungsort des Lagrangeschen Betrachters sich mit dem Fluidpartikel verändert, ist f = f(t, x(t),y(t),z(t)). Leiten wir f nach der Zeit t ab, so müssen wir die Kettenregel auf die inneren Funktionen x(t), y(t) und z(t) anwenden. Die Lagrangesche Ableitung ist somit: Df Dt = f t + f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt

26 Seite Bahnlinien In dieser Gleichung tauchen zwei Ableitungen nach der Zeit auf. Die linke Seite enthält die Lagrangesche Ableitung Df, sie besagt, wie f sich zeitlich entlang der Bahnlinie ändert. Die Dt rechte Seite enthält die sogenannte Eulersche Änderung f, sie gibt an, wie sich die Größe f t selbst an einem festen Ort ändert. Wir wollen am Beispiel der Temperatur T den Unterschied zwischen den einzelnen Termen verdeutlichen. In diesem Fall lautet die Bahnableitung für f = T : DT Dt = T t + T dx x dt + T dy y dt + T dz z dt Die linke Seite gibt die Temperatur für ein beliebiges sich u.u. bewegendes System an. Dies können auch wir selbst sein. Dann beschreibt die Gleichung gerade die von uns gefühlte Umgebungstemperatur. Nehmen wir einmal an, wir bewegen uns vom kühlen Hamburg zum warmen Mallorca. Wir legen die x-achse so, daß sie von Hamburg nach Mallorca weise. Auf ihr nehme die Temperatur gleichmäßig um 5 K pro 1000 km zu. Es gilt also: T x = 1 K 200 km Bewegen wir uns mit einem Auto mit 100 km/h in Richtung Mallorca, dann ist die von uns gefühlte Temperaturzunahme: DT Dt = T dx x dt = 1 K 100km/h =0.5K/h 200 km Es wird um uns also alle zwei Stunden um ein Grad wärmer. Müssen wir allerdings in Hamburg bleiben, dann können wir nur auf den Sommer oder einen Wetterumschwung hoffen. Nehmen wir einmal an, dieser komme tatsächlich, es werde dabei pro Tag ein Grad wärmer. Dann ist die von uns wahrgenommene Temperaturänderung: DT Dt = T t =1K/d Nehmen wir zum Schluss an, es werde dabei über ganz Europa wärmer und wir fahren trotzdem nach Mallorca. Dann sollten wir nun sicher in der Lage sein, die von uns gefühlte Temperaturänderung mit Hilfe der Gleichung selbst zu bestimmen. DT Dt = T t + T dx x dt Strömungen als Vektorfelder Einer Strömung kann man in dem von ihr eingenommenen Raum an jedem Ort eine Geschwindigkeit zuordnen. Der von der Strömung eingenommene Raum ist somit ein Feld von

27 1.1. Bahnlinien Seite 15 Y X Abbildung 1.2: Zentrales, zum Koordinatenursprung gerichtetes Vektorfeld. Geschwindigkeitsvektoren. Ein solches Feld bezeichnet man in der Sprache der Mathematik als Vektorfeld: Jedem Punkt des Raumes (x, y, z) wird ein Geschwindigkeitsvektor (u, v, w) zugeordnet. Wie dabei die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten berechnet werden, wird durch Berechnungsvorschriften spezifiziert. So ist ein Vektorfeld etwa durch d x u(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) y 3/2 v(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) z 3/2 w(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 bzw. u( x) = x r 3 (1.1) bis auf den Ort (x, y, z) =(0, 0, 0) eindeutig bestimmt, da jedem Ort des dreidimensionalen Raumes (x, y, z) ein Vektor (u, v, w) in eindeutiger Weise zugeordnet ist. Um eine Vorstellung von diesem Vektorfeld zu bekommen, muß man es zeichnen, genauso wie man über das Aussehen einer Funktion erst durch ihren Graphen informiert wird. Zeichnen läßt sich die ganze Sache ohne projektive Techniken natürlich nur im zweidimensionalen Raum. So ist unser Vektorfeld in Abbildung 1.2 dadurch gewonnen worden, daß z =0gesetzt wurde, man hätte aber auch jeden anderen Wert für z wählen können. Unser Beispielvektorfeld stellt also ein kugelsymmetrisches Geschwindigkeitsfeld dar, welches das Fluid fortlaufend in Richtung des Koordinatenursprungs beschleunigt, umso näher sich das Fluid an diesem befindet. Man kann sich ein solches Strömungsfeld nur schwerlich vorstellen, da im Koordinatenursprung immer mehr Fluidmasse konzentriert wird. Tatsächlich wurde seine Form dem Gravitationsfeld bzw. dem elektrischen Feld um eine Punktladung entlehnt. Daher stellt sich sofort die Frage, ob jedes denkbare Vektorfeld der Mathematik auch tatsächlich ein Strömungsfeld darstellen kann. Oderr anders: In welcher Beziehung stehen nun