Beschleunigtes Koordinatensystem

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1 Beschleunigtes Koordinatensystem In einem beschleunigten Koordinatensystem treten Trägheitskräfte aus, sog. Scheinkräfte. Translation: Rotation: a Auto beschleunigt nach rechts mit a. Im Auto wirkt auf den Fahrer die Scheinkraft -ma nach links. Rotation der Masse m mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn: ƒ Im Inertialsystem ist die Masse beschleunigt: Zentripetalbeschleunigung. ƒ Analog zur Translation wirkt im mitdrehenden beschleunigten System eine Scheinkraft, die sog. Zentrifugalkraft nach aussen! 33

2 Scheinkräfte in einem drehenden Koordinatensystem In einem sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit drehenden Koordinatensystem gilt allgemein die Newton sche Gleichung in folgender Form: ma, = F + m(v, ω) + m(( ω r, ) ω) (Die Grössen r`,v`,a` werden im rotierenden System gemessen) Rechts stehen drei Terme: 1. F, die externe (echte) physikalische Kraft. Die Corioliskraft, die nur auftritt, wenn der sich Massenpunkt rel. zum beschleunigten Koordinatensystem bewegt. 3. Die Zentrifugalkraft. 34

3 Tiefdruckwirbel T Auf der Nordhalbkugel drehen die Winde sich im im Gegenuhrzeigersinn um eine Tiefdruckzone. Folge der Erdrotation (Corioliskraft). 35

4 Gleichgewicht eines starren Körpers Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht (verharrt in Ruhe), falls alle angreifenden Kräfte und Drehmomente sich jeweils zu Null summieren. Im linken Problem ist die Kraft G gegeben. Die drei Kräfte in den Tischbeinen sind gesucht. Das Problem heisst statisch bestimmt, falls F 1,F und F 3 eindeutig sind. Der Tisch mit Person ist im Gleichgewicht, falls zusätzlich alle Bodenkräfte 0 sind. Das Problem links ist statisch bestimmt und (falls die Person nicht zu weit rechts sitzt) im Gleichgewicht. Ein Tisch mit vier Beinen ist statisch unbestimmt! 36

5 Gravitation m r m 1 1 F Gm1m 1 F F1 = e 1 r 1 Die Gravitationskraft ist proportional zu den beiden Massen und umgekehrt proportional zum Abstand im Quadrat. Die Kraft ist anziehend! G= m /(kgs ) ist die Gravitationskonstante. Bei mehreren Massen addieren sich alle Teilkräfte (Superpositionsprinzip) x dv r Massenelement der Masse dm=ρdv m r x F 1 = Gm ρ( x) dv 3 r x 37

6 M 1 Gravitation... isotrope Kugel R E r F = G M1m r (ohne Beweis) Punktmasse m 1 Falls die Massenverteilung der Erde als isotrop angenommen werden kann, gilt: M Erde g = G R E m Masse in einer Kugelschale (isotrop): Æ die Gravitationskraft auf m im Innern ist null (unabhängig davon wo m ist). Æ im Aussenraum wie oben (M = Gesamtmasse) 38

7 Gravitationsfeld und -potential Das Gravitationsfeld g der Masse M ist die Gravitationskraft, die auf eine Testmasse m Test im Raum ausgeübt wird, dividiert durch m Test. Für eine Punktmasse (oder isotrope Kugel) gilt somit: Mr g = G (g ist das Feld an der Stelle r vom Zentrum von m) 3 r Das Gravitationsfeld ist konservativ Æ deshalb kann ein Potential eingeführt werden: das Gravitationspotential V. x Def. Potential: V ( x) = V ( A) g( y) dy A Konvention: Referenzpunkt A= und V(A)=0 V ( r ) = GM r 39

8 Kepler-Gesetze 1. Gravitation ist Zentralkraft Î Drehimpuls = konstant a) ebene Bahnkurve, b) Flächensatz M m da v da = da dt 1 = r v dt L m a 1 a. Bahnkurve Ellipsen (Kegelschnitte) mit Sonne in einem Brennpunkt 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen. 40

9 Effektives Potential (Keplerproblem) v L = mrvϕ = const ϕ r v ϕ E = E + E kin pot = const m m m E kin = vr + vϕ = vr + L mr m L E = vr + mr GmM r E pot,effektiv r min r max r z.b. E wie hier gegeben 41

10 Deformierbare Körper Ursache = Spannungen Spannungen : Normalspannung (Zug oder Druck) Schubspannung (Scherung) F 1 : = A F : = A Querschnitt A F F F Folge = Deformationen, z.b. für Zugbelastung: relative Längenänderung relative Querkontraktion 0 : = 0 q : = ûo l ûe b E = Elastizitätsmodul µ = Poissonsche Zahl Gesetze von Hooke 1 = E 0 0 = q 0 4

11 Hooke σ Dehnungsdiagramm fliessen plastische Deformation ε E-Modul: 500 MPa für Stahl 00 MPa Knochen 1 GPa carbon nanotubes!! 43

12 Kompressibilität Volumen V allseitiger Druck p d.h. p = -σ > 0 Def. der Kompressibilität κ û9 V = p $ 44

13 Aggregatszustände FEST FLUESSIG GASFOERMIG Zusammenhalt + formbar Zusammenhalt + nicht formbar! kein Zusammenhalt (füllt jedes zur Verfügung stehende Vol. vollständig aus) Glässer, flüssige Kristalle... feste und flüssige Stoffe haben eine relative geringe Kompressibilität Æ inkompressibel 45

14 Hydrostatik ideale Flüssigkeit: inkompressibel und reibungsfrei Für eine ideale nicht strömende Flüssigkeit ist der Stempeldruck überall gleich, vorausgesetzt es wirken neben den Behälterkräften keine weiteren Kräfte (potentielle Energie). Dieser Satz folgt aus der Erhaltung der Energie. Wirkt ein äusseres Feld, z.b. das Gravitationsfeld g, wird der Druck p ortsabhängig. Allgemein gilt dann: p = x!g p=druck, ρ=dichte Man beachte: es handelt sich hier um DREI Gleichungen. Für jede Ortskoordinate eine. Für eine inkompressible Flüssigkeit (ρ=konst) in einem konstanten Feld (d.h. g=konst) ist der Druck pro Tiefe gleich ρg. 46

15 Hydrostatik (Archimedischer Auftrieb) F Faden g ρ G - F Faden = Vρg G=mg Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (gilt, falls g konstant ist). 47

16 Druck (Einheiten) 1 Pa = 1 N/m (Pascal) 1bar = 10 5 Pa 1 at = 9.81 N/cm 1 atm = 760 Torr 1 Torr = 1mm Hg-Säule unter Normalbedingungen 48

17 Oberflächen/Grenzflächen-Spannung Um die Oberfläche zu vergrössern, muss Arbeit geleistet werden. Der Oberfläche (Grenzfläche) kann eine potentielle Energie zugeordnet werden. Diese Energie ist proportional zur Oberfläche (Grenzfläche). Die Energie pro Fläche nennt man Oberflächenspannung: γ ( resp. σ) γ > 0 (häufig) Æ das System (z.b. Flüssigkeitstropfen) versucht die Oberfläche so klein wie möglich zu halten. b Seifenlamelle Oberfläche vergrössern um b x dazu muss die Arbeit W=F x geleistet werden x W erhöht die potentielle Energie (Energiesatz), d.h. W = E = b x γ F (F pro Fläche, da Vorder- und Rückseite) γ = F/b Oberflächenspannung = Kraft pro Berandungslinie 49

18 Druck durch Oberflächenspannung Eine in sich geschlossene Oberfläche führt zu einem Druckanstieg im Innern. Beispiel: Druck (Ueberdruck) in einer Seifenblase (resp. Wassertropfen) p a pi -p a = p > 0 r p i p = 4γ/r p = γ/r 50

19 Grenzwinkel γ 13 drei Medien: 1, und 3 Î γ 1, γ 13, γ γ 1 ϕ γ 3 Kräftegleichgewicht für die Vertikalkomponenten der Berandungskräfte: = 1 + 3cos( 13 ϕ ) i.a. ist γ 3 > 0 und γ 13 relativ klein, so dass Benetzung (wie gezeichnet) nur, falls γ 1 < 0; andernfalls krümmt sich die Grenzfläche nach unten. In einer Kapillare steigt die Flüssigkeit nach oben bei Benetzung. Sie sinkt nach unten bei Nichtbenetzung. Die Ursache dieses Phänomen ist die Krümmung der Grenzfläche! 51

20 Grenzwinkel... Berandungslinie zwischen den drei Medien stellt sich so ein, dass die vertikalen Kraftkomponenten im Gleich- gewicht sind (gezeichnet nicht im Gleicggewicht!) Fall: benetzend γ 13 > γ 1 Fall: nicht benetzend γ 13 < γ 1 Beachte: i.a. ist γ 13 relativ klein, so dass bei Benetzung γ 1 < 0. 5

21 Oel -Tropfen Gleichgewicht (hier der Horizontalkomponenten) erfordert: 13 = 3cos( ϕ ) + 1cos( ϕ1) Es bildet sich ein Tropfen, falls γ 13 < γ 3 + γ 1, andernfalls versucht Medium die Grenzfläche 13 so gut wie möglich mit einem (atomar) dünnen d Film zu überdecken, da dadurch die Gesamtenergie reduziert wird. 53

22 Kapillare Steighöhe = wie beim Wassertropfen R ûs 3 mit r = Rcos( ϕ) ergibt sich: 3 ûs = cos( ϕ) r cos( ϕ) = 13 r 3 1 (13 1 ûs = ) ûs =!JK (13 = ρgr h 1 ) Also, Flüssigkeit steigt, falls die Flüssgkeit die Wand benetzt, andernfalls sinkt sie! 54

23 Hydrodynamik idealer Flüssigkeiten ideale Flüssigkeit = keine Reibung + inkompressibel stationäre Strömung = nicht zeitabhängig für eine stationare Strömung einer idealen Flüssigkeit gilt die Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Materie) in folgender Form: A = 1v1 Av * oder allgemeiner: v da = 0 55

24 Gesetz von Bernoulli Voraussetzung: ideale inkompressible Strömung Energiesatz: die Aenderung der gesamten inneren Energie (kinetische und potentielle entspricht der von aussen geleisteten Arbeit; Æ Erhaltungssatz von Bernoulli p +!Y / +!JK = konst Die drei Terme entsprechen der Arbeit, der kinetischen und potentiellen Energie. Beachte: Falls v=0 liegt einfach das Gesetz von Archimedes vor. 56

25 Anwendungen Bernoulli hydrodynamisches Paradoxon Grund für das Abheben der Ziegel (oder ganzer Dächer) bei Sturm 57

26 Magnus-Effekt symmetrische (Potential-)Strömung ohne Zirkulation: es gibt keine hydrodynamischen Kräfte Strömungsbild bei Ueberlagerung einer Zirkulations- strömung im Uhrzeigersinn. Es gibt eine hydrodynamische Kraft, die mittels des Gesetzes von Bernoulli zu verstehen ist. Beispiel: Golfball mit Drall 58

27 Hydrodynamischer Auftrieb identisch zum Magnus-Effekt: Der hydrodynamische Auftrieb wird durch die Zirkulationsströmung um den Flügel verursacht. Die beim Anfahren eines Flugzeuges entstehende Zirkulation am Flügel führt zur Ausbildung eines in sich geschlossenen sog. Wirbelzopfes 59

28 Laminare (viskose) Strömung ist dominiert durch Reibung. Die Reibung wird beschrieben durch einen neuen Parameter: die Viskosität η dv = dy τ ist die Schubspannung (die Scherkraft pro Fläche); (im linken Beispiel ist dv/dy konstant) viskose Strömung durch Röhre mit Radius R l Gesch Verteilung ist parabolisch p/l v(r) = (R r ) 4 dv dt = ( p/l) π R 8 4 Gesetz von Hagen-Poiseuille: Volumenstrom (Volumen pro Zeit) durch Röhre ist proportional zum Druckabfall entlang der Röhre, zum Radius zur vierten Potenz und umgekehrt prop. zur Viskosität! 60

29 Strömungswiderstand W Der Strömungswiderstand ist die Kraft, die auf einen Körper in einer Strömung wirkt. a) Reibkräfte dominieren (viskose Strömung): W ist von der Form W L = C l c v b) Reibkräfte sind vernachlässigbar (ideale, turbulente Strömung): W T = C W A! v / C, C W sind Konstanten, A ist der Querschnitt, l c ist eine Objektlänge, und v die Strömungsgeschwindigkeit. C, C W und l c geometrieabhängig. Speziell gilt für eine Kugel mit Radius R bei laminarer Strömung das Stooke sche Gesetz: W = 6πRηv 61