Statistik (OSTA) - Tutoriumsaufgaben

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1 Seite 1 Statistik (OSTA) - Tutoriumsaufgabe Aufgabe (Häufigkeite, diskret) I der folgede Tabelle ist agegebe, wieviel Tore Eitracht Frakfurt i der Saiso 00 / 003 geschosse hat Die Variable X bezeichet die Azahl der Tore pro Spiel. a) Erstelle Sie eie Häufigkeitstabelle für die 34 Beobachtuge. b) Zeiche Sie das zugehörige Stabdiagramm. c) Bereche Sie folgede Häufigkeite ud iterpretiere Sie sie ihaltlich: h(x 1), h(x > ), h(x < ) ud h(x.5). d) Zeiche Sie die empirische Verteilugsfuktio ˆ F. i x i ˆ F (x i ) /34 6/ /34 16/ /34 7/ /34 30/ /34 33/ /34 1

2 Seite zu c) h(x 1) = F(1) = 16/34 = 0,4706 h(x > ) = F(6) - F() = 1-7/34 = 0,059 h(x < ) = F(1) = 16/34 = 0,4706 h(x.5) h(x ) = F() = 7/34 Kochrezept: h(x x i) direkt ablese aus Häufigkeitstabelle h(x > x i) Gegewahrscheilichkeit 1 - (X x i) h(x < x i) (X xi-1) Aufgabe 3 (Häufigkeite, stetig) Eier Tageszeitug sid jeweils 5 Azeige für -Zimmer-Wohuge i A-Stadt ud B-Dorf etomme. Die Agabe beziehe sich auf die Warmmiete (i ) für die etsprechede Wohuge. A-Stadt Miete (X) für -Zimmer Wohuge (8 bis 6 m ) Klasseeiteilug: 350, 500, 550, 600, 800 ud 1300 B-Dorf Miete (Y) für -Zimmer Wohuge (7 bis 50 m ) Klasseeiteilug: 400, 600, 650, 750, 950 ud 100 a) Erstelle Sie jeweils eie Häufigkeitstabelle für A-Stadt ud B-Dorf mit de gegebee Klasseeiteiluge. b) Zeiche Sie die zugehörige Histogramme. c) Stelle Sie die empirische Verteilugsfuktio F x ud F y graphisch dar. d) Bestimme Sie F x(700) ud F y(700) recherisch ud zeicherisch. Was bedeute diese Werte ihaltlich? e) Wie groß ist jeweils der Ateil der Wohuge, bei dem die Miete zwische 500 ud 750 liegt?

3 Seite 3 A-Stadt: i m i ˆ f (x) ˆ F (x i ) / ,0008 3/ / ,0004 8/ / , / / ,0016 / / , zu d) i = 5 F ˆ (700) = F ˆ (x i1 ) + (x x i1 ) f ˆ (x i ) = 14 /5 + ( ) 0,0016 = 0,7 = 7% 7% der Miete sid 700 zu e) F ˆ (500 x 750) = F ˆ (750) - F ˆ (500) F ˆ (500) = 0 + ( ) 0,008 = 0,1 F ˆ (750) = 14/5 + ( ) 0,0016 = 0,8 ˆ F (500 x 750) = 0,8-0,1 = 0,68 = 68% Aufgabe 4 (Empirische Maßzahle, Lage) Bereche Sie auf Basis der Häufigkeitstabelle die durchschittliche Zahl der geschossee Tore aus Aufgabe. x = k i=1 x i h i x = (0 6/34) + (1 10/34) + ( 11/34) + (3 3/34) + (4 3/34) + (5 0/34) + (6 1/34) = 1,74

4 Seite 4 Aufgabe 5 (Empirische Maßzahle, Lage) Bestimme Sie die Durchschittsmiete für A-Stadt ud B-Dorf ahad der Häufigkeitstabelle (siehe Aufgabe 3). Gebe Sie auch die Mediae a. A-Stadt: x = k i=1 m i h i x = (45 3/5) + (55 5/5) + (575 6/5) + (700 8/5) + (1050 3/5) = 644 i = 4 x p = x i1 x 0,5 = B-Dorf: x 0,5 = p F ˆ (x i1 f ˆ (x i ) ) 0,5 0,3 0,0048 = 587,5 0,5 0,8 0,0036 = 711,11 Aufgabe 6 (Empirische Maßzahle, Streuug) a) Bestimme Sie die mittlere quadratische Abweichug d x auf Basis der Rohdate für die Zahl der geschossee Tore aus Aufgabe. b) Wie würde sich die mittlere quadratische Abweichug äder, we die Maschaft doppelt so viele Tore pro Spiel geschosse hätte? c) Wie würde sich die mittlere quadratische Abweichug äder, we die Maschaft pro Spiel ei Tor mehr geschosse hätte?

5 Seite 5 i x i / / / / / /34 x = (0 6/34) + (1 10/34) + ( 11/34) + (3 3/34) + (4 3/34) + (6 1/34) = 1,74 d x = (0-1,74) 6/34 + (1-1,74) 10/34 + ( - 1,74) 11/34 + (3-1,74) 3/34 + (4-1,74) 3/34 + (5-1,74) 0/34 + (6-1,74) 1/34 = 1,84 = MQA i x i / / / / / /34

6 x = k i=1 x i h i Seite 6 x = (0 6/34) + ( 10/34) + (4 11/34) + (6 3/34) + (8 3/34) + (1 1/34) = 3,74 d = k i=1 (x i x ) h i d x = (0-3,74) 6/34 + ( - 3,74) 10/34 + (4-3,74) 11/34 + (6-3,74) 3/34 + (8-3,74) 3/34 + (1-3,74) 1/34 = 7,3668 = MQA zu c) i x i / / / / / /34 x = (1 6/34) + ( 10/34) + (3 11/34) + (4 3/34) + (5 3/34) + (7 1/34) =,74 d x = (1 -,74) 6/34 + ( -,74) 10/34 + (3 -,74) 11/34 + (4 -,74) 3/34 + (5 -,74) 3/34 + (7 -,74) 1/34 = 1,84 = MQA Aufgabe 7 (Empirische Maßzahle, Streuug) Betrachte wir u das Datebeispiel aus Aufgabe 3 (Warmmiete für -Zimmer-Wohuge i A-Stadt ud B-Dorf). Verfahre Sie wie i Wiederholugsaufgabe 5 ud vergleiche Sie die beide Bezirke hisichtlich ihrer Lage- ud Streuugsuterschiede. Arithmetisches Mittel Media A-Stadt B-Dorf A-Stadt B-Dorf ,5 711,11

7 Seite 7 A-Stadt: d = k i=1 (m i x ) h i d x = (45-644) 0,1 + (55-644) 0, + ( ) 0,4 + ( ) 0,3 + ( ) 0,1 = = MQA IQA = x 0,75 - x 0,5 x p = x i1 + p F ˆ (x i1 f ˆ (x i ) ) 0,75 0,56 x 0,75 = = 718,75 0,0016 0,5 0,1 x 0,5 = = 53,5 0,004 IQA = 718,75-53,5 = 186,5 B-Dorf: d = = MQA IQA =,5 Aufgabe 8 (Boxplots) Veraschauliche Sie die Verteiluge der Warmmiete i A-Stadt ud B-Dorf (siehe Aufgabe 3) mit Hilfe vo Boxplots.

8 Seite 8 Aufgabe 9 (Kozetratiosmessug) I eier achtköpfige WG lebe vier Berufstätige ud vier Studete. Zwei der Berufstätige beziehe 3 (Taused), ud je eier bezieht 4 ud 7 (Taused) Brutto-Moatseikomme. a) Bereche Sie de Gii-Koeffiziete der vier Eikommesbezieher. b) Nehme wir a, vo de vier Studete beziehe ach dem Eitritt is Berufslebe ebefalls zwei 3 (Taused) ud je eier 4 ud 7 (Taused) Brutto-Moatseikomme. Wie lautet da der Gii-Koeffiziet für alle acht WG-Bewoher (ohe Rechug!)? = 4 Auspräguge: 3000, 3000, 4000, 7000 u i = i j=1 j i = h j, i =1,,...,k v i = j=1 i j=1 k j=1 x j j, i =1,,...,k x j j u 1 = 4 = 1 u = +1 4 = 3 4 u 3 = +1+1 =1 4 v 1 = = = 6 17 v = = v 3 = =1 k G =1 (u j u j1 ) (v j + v j1 ) j=1 G = 1 - [(1/ - 0) (6/17 + 0) + (3/4-1/) (10/17 + 6/17) + (1-3/4) (1 + 10/17)] = 1-0,8088 = 0,191 eu = 8 = (4) Auspräguge eu: 3000, 3000, 3000, 3000, 4000, 4000, 7000, 7000 = (17000 ) Sowohl als auch die Auspräguge verdoppel sich um de gleiche Faktor (), somit bleibt der Gii- Koeffiziet gleich bei 0,191.

9 Seite 9 Aufgabe 10 (Kotigeztabelle) 50 Studierede schriebe i eiem Semester sowohl die Fiazeklausur (OFIN) als auch die Mathe- Klausur (OMAT). Die Durchfallquote i OFIN betrug 4%, i OMAT 3%. 30 Studierede bestade beide Klausure icht. a) Stelle Sie die Kotigeztabelle auf. b) Wie groß ist der Ateil der Studierede, die OFIN bestade habe, uter dee, die OMAT bestade habe? c) Wie groß ist der Ateil der Studierede, die durch OMAT durchgefalle sid, uter dee, die OFIN icht bestade habe? Aufgabe 11 (Streudiagramm ud Korrelatio) I der folgede Tabelle sid die Progose X ud das tatsächliche Wachstum Y des Bruttosozialprodukts der Jahre 1980 bis 1989 für die Budesrepublik Deutschlad aufgeführt. Jahr x i, y i 1, ,9 3,3 1,9,3 1,6 3,7 3,9 a) Stelle Sie die Date i eiem Streudiagramm dar. b) Bestimme Sie de Korrelatioskoeffiziete ud iterpretiere Sie das Ergebis. r xy = d xy d x d y d xy = 1 (x x ) (y y ) i i d x = 1 (x i x ) d y = 1 (y i y ) i=1 i=1 i=1 x =1, 75 y =1,91 d xy = 1/10 [(,5-1,75) (1,5-1,91) +... ] = 0,665 d x = 1/10 [(,5-1,75) + (0-1,75)... ] = 1,065 d y = 1/10 [(1,5-1,91) + (0-1,91)... ] =,169 r xy = 0,665 1,065,169 = 0,4370

10 Aufgabe 1 (Wahrscheilichkeitsrechug, Megelehre) Stelle Sie die folgede Aussage über die Ereigisse A, B ud C i Ve-Diagramme ud i symbolischer Schreibweise dar: a) Die Ereigisse A ud B köe icht gleichzeitig eitrete. A B = b) Immer we A eitritt, tritt auch B ei. A B c) B tritt ur ei, we auch A eitritt. B A d) C tritt geau da ei, we A ud B eitrete. A B = C e) C tritt geau da ei, we zwar A, aber icht B eitritt. A \ B = C Seite 10 Aufgabe 13 (Wahrscheilichkeitsrechug) Wir betrachte die Studete eies Fachbereichs. Sie müsse jeweils eie Klausur i Statistik ud eie i Mathematik bestehe. 80% der Studete bestehe Statistik ud 90% Mathe. 95% bestehe midestes eie der Klausure. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei zufällig ausgewählter Hörer beide Klausure besteht? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Hörer weder die Statistik- och die Matheklausur besteht? c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Hörer Statistik aber icht Mathe besteht? P(S) = Statistik bestade = 0,8 P(M) = Mathe bestade = 0,9 P(SM) = Midestes eie bestade = 0,95 gesucht P(SM) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 0,95-0,8-0,9 = - P(AB) 0,75 = P(AB) = P(SM)

11 Seite 11 P(S M ) =1 P(S M) 1-0,95 = 0,05 zu c) P(S M ) = P(S) P(S M) siehe Skript S.18, Recheregel e) P(S M ) = 0,8 0,75 = 0,05 Aufgabe 14 (Wahrscheilichkeitsrechug) Bei eier Aalyse des Bekatheitsgrades vo zwei Markeartikel ergab sich, dass 5% der Persoe die Marke A ud 15% die Marke B kee. 10% kee beide Marke. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass jemad P(A) = 0,5 P(B) = 0,15 P(AB) = 0,1 a) midestes eie der beide Marke ket? P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,5 + 0,15-0,1 = 0,3 b) ur Marke A ket? P(A B ) = P(A) P(A B) = 0,5 0,1 = 0,15 c) keie der beide Marke ket? P(A B ) =1 P(A B) =1 0,3 = 0,7 d) geau eie Marke ket? P(AB) - P(AB) = 0,3-0,1 = 0, Aufgabe 15 (Bedigte Wahrscheilichkeite) Betrachte wir och eimal die Aufgabe 13: a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Hörer, der die Statistikklausur bestade hat, auch die Matheklausur besteht? P(M S) = P(M S) P(S) = 0,75 0,8 = 0,9375 b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Hörer, der midestes eie der beide Klausure bestade hat, auch die adere besteht? P(S M S M) = P [ (S M) (S M) ] P(S M) = P(S M) P(S M) = 0,75 0,95 = 0,7895

12 c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Hörer, der die Matheklausur icht bestade hat, auch die Statistikklausur icht besteht? P(S M ) =1 P(S M ) =1 P(S M ) P(M ) Seite 1 =1 P(S) P(S M) 1 P(M) =1 0,8 0,75 0,1 = 0,5 Aufgabe 16 (Bedigte Wahrscheilichkeite) Vo de am Motag produzierte Autos eier Marke weise 4 Prozet ierhalb des erste Jahres erhebliche Mägel auf. Bei de am Freitag produzierte Autos sid es 3 Prozet ud bei de a de restliche Werktage produzierte Autos sid es 1 Prozet. A jedem Werktag wird die gleiche Zahl vo Autos produziert. Motag Diestag Mittwoch Doerstag Freitag Ateil 0, 0, 0, 0, 0, a) 0,04 0,01 0,01 0,01 0,03 b) 0, 0, 0, 0, 0,1 a) Ei zufällig aus der Produktio eier Woche ausgewählter Wage sei icht i Ordug. Wir groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er am Motag produziert wurde? P(A 1 B) = 0,04 0, (0, ,01+ 0,03) 0, = 0,4 b) Welches Ergebis erhalte Sie, we am Freitag 1 Prozet der Autos produziert werde, ud die restliche Produktio sich gleichmäßig auf die 4 übrige Werktage verteilt? P(A 1 B) = 0,04 0, [(0,04 + (30,01))0,]+ 0,030,1 = 0,463 Aufgabe 17 (Uabhägigkeit vo Ereigisse) Ei meteorologisches Istitut sagt mit Wahrscheilichkeit 0,5 das Wetter richtig voraus, ei aderes trifft seie Voraussage uabhägig vom erste mit der Wahrscheilichkeit 0,6. P(A) = 0,5 P(B) = 0,6 a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beide Istitute das Wetter richtig voraussage? P(A) P(B) = 0,5 0,6 = 0,3 Alterativer Recheweg: P(A B) = P(B) P(A B) = P(B) P(A) = 0,5 0,6 = 0,3

13 b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beide Istitute das Wetter richtig voraussage, we ma weiß, dass midestes eies der Istitute das Wetter richtig vorausgesagt hat? Optimale Fälle Alle Fälle = P(A B) P(A B) = P(A) P(B) P(A) + P(B) P(A B) = 0,5 0,6 0,5 + 0,6 (0,50,6) = 0,3 0,8 = 0,375 c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass geau eies der beide Istitute das Wetter richtig voraussagt. P(AB) - P(AB) = 0,8-0,3 = 0,5 Seite 13 Aufgabe 18 (Diskrete Zufallsvariable) Ma ehme a, dass Juge- ud Mädchegeburte gleichwahrscheilich sid, ud Uabhägigkeit zwische verschiedee Geburte bestehe. Sie X die Azahl der Mädche bei drei Geburte. a) Welche Werte ka X aehme? b) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeitsfuktio vo X. c) Zeiche Sie die Verteilugsfuktio F. d) Bestimme Sie folgede Wahrscheilichkeite: i) P(X 1) ii) P(X > ) iii) P(1 < X < 3) iv) P(X > 5) X: Azahl der Mädche (=3) x = { 0,1,, 3} f (x) = p x (1 p) x x = x! x! ( k)! f (x = 0) = 3 0,5 0 0,5 30 = f (x =1) = 3 0,5 1 0,5 31 = f (x = ) = 3 0,5 0,5 3 = 3 8 f (x = 3) = 3 0,5 3 0,5 33 = 1 3 8

14 Seite 14 zu d) i) P(X1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/ ii) P(X>) = f(x=3) = 1/8 = 1 - P(X) = 1 - [1/8 + 3/8 + 3/8] = 1/8 iii) P(1<X<3) = f(x=) = 3/8 = F() - F(1) = 4/8-1/8 = 3/8 iv) P(X>5) = 0 Aufgabe 19 (Stetige Zufallsvariable) Die Zufallsvariable X besitze eie Dichtefuktio der Gestalt: f (x) = a x 0 für 0 x 1 sost F(x) = 0,5a x 0 für 0 x 1 sost a) Bestimme Sie die Kostate a. b) Gebe Sie die Verteilugsfuktio F a. c) Zeiche Sie Dichte- ud Verteilugsfuktio. d) Mit welcher Wahrscheilichkeit immt X Werte größer als 0,5 a. F(1) 1= 0,5 ax a = 0 a F(x) = 1 zu d) x x < 0 0 x 1 x >1 P(X0,5) = 1 - P(X=0,5) = 1 - F(0,5) = 1-0,5 = 0,75 = 75%

15 Aufgabe 0 (Zur Wiederholug: Häufigkeite, stetig) Seite 15 Ei Takstellebesitzer hat über die vergagee 100 Moate de moatliche Beziverkauf X (i Millioe Liter) beobachtet ud i der folgede Tabelle festgehalte: i ˆ f (x) = h i i 1 0-0, /100 0,1 4 40/100 0,1-0, 5 5/100 0,1,5 65/ , - 0, /100 0,1 1,5 80/ ,3-0,4 8 8/100 0,1 0,8 88/ ,4-0,5 5 5/100 0,1 0,5 93/ ,5-0,6 /100 0,1 0, 95/ ,6-0,7 /100 0,1 0, 97/ ,7-0,8 1 1/100 0,1 0,1 98/ ,8-0,9 1 1/100 0,1 0,1 99/ , /100 0,1 0,1 1 zu c) a) Ergäze Sie die Tabelle. b) Zeiche Sie das Histogramm ud die empirische Verteilugsfuktio ˆ F. c) Wie groß ist der Ateil der Moate, bei dem der moatliche Beziverkauf über Liter liegt? d) Bereche Sie ˆ F (0,5) - ˆ F (0,3) ud iterpretiere Sie das Ergebis ihaltlich. F ˆ = F ˆ (x i1 ) + (x x i1 ) f ˆ (x i ) i=3 P(X 0,5) = 1 - P(X 0,5) = 1 - F(0,5) = 1 - [65/100 + (0,5-0,) 1,5] = 1 - [0,75] = 0,75 zu d) F ˆ (0,5) - F ˆ (0,3) = 0,93-0,8 = 0,13 Der Beziverkauf zwische Liter ud Liter beträgt 13 % 13 Moate

16 Seite 16 Aufgabe 1 (Stetige Zufallsvariable) Gegebe sei die Fuktio Zeige: a) Zeige Sie, dass f eie Dichtefuktio ist. b) Bestimme Sie die Verteilugsfuktio F. c) Stelle Sie die Dichte- ud die Verteilugsfuktio graphisch dar. d) Bereche Sie P(X 1), P(X > 0,5), P(0,5 X 1) ud P(1 < X 3). f (x) dx =1 ud f(x) 0 f (x) dx = 0 dx + f(x) 0 f(x < 0) = 0 f() = 1 f(x > ) = xdx+ 0 dx [ ] = [] 0 + 0,5x [] = [ 0,5 ] [ 0,5 0 ]=1 Beide Bediguge sid erfüllt Dichtefuktio! 0 F(x) = 0,5 1 zu d) x x < 0 0 x x > P(X 1) = F(1) = 0,5 1 = 0,5 = 1/4 P(X > 0,5) = 1 - P(X 0,5) = 1 - F(0,5) = 1 - [0,5-0,5 ] = 15/16 P(0,5 X 1) = F(1) - F(0,5) = 0,5 - [0,5 0,5 ] = 3/16 P(1 < X 3) = F(3) - F(1) = 1-0,5 = 3/4

17 Aufgabe (Erwartugswert ud Variaz, diskret) Seite 17 Die Azahl der i eier Werkstatt pro Stude abgefragte Autos X besitzt folgede Wahrscheilichkeitsverteilug: X = x P(X = x) 0 0,5 1 0,3 0, a) Wie groß ist die erwartete Zahl der pro Stude reparierte Autos? b) Bestimme Sie die Variaz ud die Stadardabweichug der i eier Stude reparierte Autos. E(X) = x i f (x i ) = (0 0,5) + (10,3) + ( 0,) = 0,7 i=1 Var(X) = (x i E(X)) f (x i ) = (0 0,7) 0,5 + (1 0,7) 0,3+ ( 0,7) 0, = 0,61 i=1 x = 0,61 = 0,781 Aufgabe 3 (Erwartugswert ud Variaz, diskret) a) Bereche Sie de Erwartugswert für die Azahl der Mädche bei drei Geburte (siehe Aufgabe 18). b) Gebe Sie die Variaz ud Stadardabweichug für die Azahl der Mädchegeburte a. E(X) = x i f (x i ) = (0 1/8) + (1 3/8)+ ( 3/8)+ (31/8) = 3/=1,5 i=1 Var(X) = (x i E(X)) f (x i ) = (0 1,5) 1/8+ (11,5) 3/8+ ( 1,5) 3/8+ (31,5) 1/8 = 0,75 i=1 x = 0,75 = 0,866

18 Seite 18 Aufgabe 4 (Erwartugswert, Prozetpukt ud Variaz, stetig) a) Bestimme Sie de Erwartugswert für die Zufallsvariable X aus Aufgabe 1. E(X) = E(X) = b) Welche Werte ergebe sich für de Media ud die Variaz? x f (x) dx x 0,5x dx= 0,5x dx = 0,5 3 x = = Var(X) = (x E(X)) f (x) dx = (x x) f (x) dx 9 = (0,5x x x ) dx 0 = 0,5 4 x x x 3 = 0, 0 = 0, 0 F(x) 0,5 1 4 x = 0,5

19 Aufgabe 5 (Zur Wiederholug: Empirische Maßzahle, stetig) Bereche Sie für de moatliche Beziverbrauch aus Aufgabe 0 das arithmetische Mittel, de Media, die mittlere quadratische Abweichug ud de Iterquartilsabstad. Seite 19 i m i ˆ f (x) = h i i 1 0-0,1 0, /100 0,1 4 40/100 0,1-0, 0,15 5 5/100 0,1,5 65/ , - 0,3 0, /100 0,1 1,5 80/ ,3-0,4 0,35 8 8/100 0,1 0,8 88/ ,4-0,5 0,45 5 5/100 0,1 0,5 93/ ,5-0,6 0,55 /100 0,1 0, 95/ ,6-0,7 0,65 /100 0,1 0, 97/ ,7-0,8 0,75 1 1/100 0,1 0,1 98/ ,8-0,9 0,85 1 1/100 0,1 0,1 99/ ,9-1 0,95 1 1/100 0,1 0,1 1 k x = m i h i = 0,195 i=1 k d x = (m i x ) h i = 0,03475 i=1 x p = x i1 + p F ˆ (x i1 f ˆ (x i ) ) i= x 0,5 = 0,1+ 0,5 0,4,5 = 0,14 i=3 x 0,75 = 0, + i=1 x 0,5 = 0 + 0,75 0,65 1,5 0,5 0 4 = 0,065 = 0,667 IQA = x 0,75 - x 0,5 = 0,667-0,065 = 0,04

20 Seite 0 Aufgabe 6 (Diskrete Gleichverteilug) Für ei Skisprige wird die Reihefolge ausgelost, i der die 80 gemeldete Spriger die Qualifikatio bestreite. Die Zufallsvariable X bezeiche die ausgeloste Startummer des Sprigers Fritz Weitflug. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Fritz Weitflug als Erster sprige muss? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er eie Startummer vo 1 bis 10 zugelost bekommt? c) Gebe Sie die Stadardabweichug vo X a. 1 k = güstige mögliche = 1 80 güstige mögliche = = 1 8 zu c) Var(x) = k 1 1 = 80 1 = 533,5 1 x = Var(x) = 533,5 = 3,09 Aufgabe 7 (Biomialverteilug) I eiem Team mit 0 Persoe fehle durchschittlich zwei Persoe krakheitsbedigt. X sei die Azahl der fehlede Persoe im Team ud die sei biomialverteilt. a) Gebe Sie ud p der Biomialverteilug a. b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i) mehr als vier Persoe fehle, ii) höchstes füf Persoe fehle bzw. iii) midestes eie, aber höchstes drei Persoe fehle? c) Bestimme Sie die Variaz vo X. = 0 E(X) = p E(X) = p = 0p p = 1/10

21 Seite 1 Vorgehesweise (Tabelle A): 1. suche. p suche 3. x suche ud Wert ablese zu c) i) mehr als vier Persoe fehle P(X > 4) = 1 - P(X 4) = 1 - F(4) = 1-0,9568 = 0,043 ii) höchstes füf Persoe fehle P(X 5) = F(5) = 0,9887 iii) midestes eie, aber höchstes drei Persoe fehle? P(1 x 3) = F(3) - F(0) = 0,867-0,116 = 0,7454 Var(X) = p(1-p) = 0 0,1 (1-0,1) = 0,8 Aufgabe 8 (Poissoverteilug) Aus Erfahrug weiß ma, dass die Azahl der tägliche Störfälle i eier techische Alage gut durch eie Poissoverteilug mit = 0,4 modelliert werde ka. b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i) a eiem Tag kei Störfall auftaucht, ii) mehr als zwei Störfälle passiere bzw. iii) midestes eie, aber höchstes vier Störuge auftrete? c) Wieviele Störuge ka ma bei 10 Tage erwarte? i) x P(X = x) = e x! P(X = 0) 0,4 0 e 0,4 = e 0,4 = 0,6703 0! Alterativ: ablese aus Tabelle B ii) P(X > ) = 1 - P(X ) = 1 - F() = 1-0,991 = 0,008 iii) P(1 X 4) = F(4) - F(0) = 0,9999-0,6703 = 0,396 Alterativ mit Formel: P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0, , , ,0007 = 0,396

22 Seite 10 = 10 0,4 = E( X i ) = E(X i ) =100,4 = 4 i=1 i=1 Aufgabe 9 (Stetige Gleichverteilug) Eie U-Bahliie fahre im 6-Miute-Takt. Die Wartezeit X (i Miute) eies Studete, der zur U-Bah geht, ohe de Fahrpla zu kee, ist gleichverteilt auf dem Itervall [0;6], we ma voraussetzt, dass der Fahrpla tatsächlich eigehalte wird. [0;6] [a;b] a) Gebe Sie die Verteilugsfuktio F a. b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, mehr als vier Miute zu warte? c) Bestimme Sie de Erwartugswert, de Media ud die Stadardabweichug vo X. 0 x 0 F(X) = x a a x b x b P(X > 4) =1 P(X 4) =1 F(4) = = 33,3 % zu c) E(X) = a + b x = 3 = = 3 Var(X) = ( b a) 1 = ( 6 0) = 3 1 x 0,5 F(0,5) = 0, = 3

23 Seite 3 Aufgabe 30 (Expoetialverteilug) Eie Autowerkstatt für Auspuffschellreparature hat über eie lägere Zeitraum ahad betrieblicher Aufzeichuge ermittelt, dass die Reparaturzeite i guter Aäherug expoetialverteilt sid. Die Abfertigugsrate beträgt = 0,5 (Pkw/Std.) a) Skizziere Sie de Verlauf der Dichtefuktio f ud der Verteilugsfuktio F. b) Die Werkstatt wirbt mit dem Sloga I eier Stude habe Sie für Jahre Ruhe!. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Reparatur läger als eie Stude dauert? c) Mit welcher Wahrscheilichkeit muss ei Kude läger als eie Stude, aber höchstes drei Stude auf seie Wage warte? d) Welche Reparaturzeit wird i 50% aller Fälle icht überschritte? P(X >1) =1 P(X 1) =1 F(1) =1 (1 e 0,51 ) = 0,6065 zu c) P(1 < x 1) = F(3) F(1) = [ 1 e 0,53 ] 1 e 0,51 zu d) = 0,3834 F(x) 0,5 e 0,5x = 0,5 0,5x = l(0,5) x = l(0,5) (0,5) =1,3863 Aufgabe 31 (Normalverteilug) [ ] Itelligeztests sid i.d.r. so kostruiert, dass die IQ-Pukte ageähert ormalverteilt sid. Bei eiem bestimmte Test sid die Parameter = 110 ud = 10. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig ausgewählte Perso eie IQ vo höchstes 10 hat? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig ausgewählt Perso eie IQ vo mehr als 130 hat? c) Welcher IQ wird vo lediglich 5% der Persoe überschritte?

24 Seite P(X 10) = F( ) = F(1) = 0, P(X >130) =1 P(X 130) =1 10 =1 F() =1 0,977 = 0,08 zu c) x p = μ + z p z 0,75 = 0,6745 = x 110 0, = 6,745 = x 0, =116,745 = x 0,75 Allgemei: P(1 < X 5) = F(5) - F(1) P(1 X 5) = F(5) - F(0) diskret P(1 X 5) = F(5) - F(1) stetig Aufgabe 3 (Normalverteilug) Der Feigoldgehalt vo Goldkilobarre (X, i g) eier Goldschmelzerei beträgt im Mittel 990 Gramm. Aus vielerlei Grüde gibt es immer Abweichuge des tatsächliche Gewichtes a Feigold i de Barre. Bei der Goldschmelzerei wird mit eier Stadardabweichug vo 1,5 Gramm gearbeitet. Erfahruge zeige, dass der Feigehalt als ormalverteilt agesehe werde ka. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Barre midestes 987,5 Gramm Feigold ethält? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich i eiem Barre mehr als 990, aber weiger als 99 Gramm Feigold befide? c) Welche utere Greze a Feigold wird vo 33% der Barre icht eigehalte? d) Wie laute die Greze des zetrale Schwakugsitervalls für de Feigehalt a Gold i das 95% der Barre falle? X: Feigoldgehalt i g : 990g = 1,5 g XNV(990;1,5 )

25 Seite 5 P(X 987,5) =1 P(X 987,5) 987,5 990 =1 F( ) 1,5 =1 F(1,67) =1 0,0475 = 0, P(990 < X < 99) = F( ) F( ) 1,5 1,5 = F(1,33) F(0) = 0,908 0,5 = 0,408 zu c) z 0,33 = 0,4399 zu d) = 5% 0,4399 = x μ 0,33 0,4399 = x 0, x 0,33 = 989,340g 1,5 ZSI = μ ± z 1 = μ ± z 0,975 = μ ±1,96 [ ] = 990 ±1,96 1,5 987,06 ; 99,94 Aufgabe 33 (Summe vo Stichprobevariable) Es sei ageomme, dass das Körpergewicht X der Studetie a eiem Fachbereich ormalverteilt ist mit x = 60 kg ud x = 7,5 kg. Bei de mäliche Studierede sei für das Gewicht Y eie Normalverteilug mit y = 75 kg ud y = 10 kg uterstellt. Es treffe sich i eiem Fahrstuhl des Fachbereichs zufällig füf Studetie, i eiem adere zufällig vier Studete (d.h. mäliche Studierede). Das Gewicht vo Kleidug ud Tasche soll icht mit i die Betrachtug eibezoge werde. a) Für welche der beide Fahrstühle ist die Wahrscheilichkeit größer, dass ei Gesamtgewicht der Persoe vo 300 kg überschritte wird? b) Betrachte wir u 30 kg als Schwellewert. Wie sieht jetzt die Wahrscheilichkeitskostellatio aus?

26 Seite 6 Fahrstuhl 1: 5 Mädels x =5 Fahrstuhl : 4 Jugs y =4 Mädels P(X > 60) P(X > 300) X = 1 i=1 Z = X μ Z(X = 60) = 1 X i = 300 = ,5 5 = 0 x μ ( ) ( 5 1,5 ) = 0 F(0) = 0,5 = 50% F(0) = 0,5 = 1-0,5 = 0,5 = 50% Jugs P(Y 75) P(X > 300) Z = Y μ Z(Y = 75) = = 0 gleiches Ergebis F(0) = 0,5 = 1-0,5 = 0,5 = 50% Mädels P(X > 60) P(X > 300) Z = X μ Z(X = 64) = ,5 5 =1,196 gleiches Ergebis F(1,196) = 0,883 = 1-0,883 = 0,117 = 11,7%

27 Seite 7 Jugs P(Y 75) P(X > 300) Z = Y μ Z(Y = 80) = =1 gleiches Ergebis F(1) = 0,8413 = 1-0,8413 = 0,1587 = 15,87% Aufgabe 34 (Mittel vo Stichprobevariable) Für die Fertigugszeit X (i Sekude) eies bestimmte Artikels i eier Produktiosserie sei eie Normalverteilug mit = 1 ud = uterstellt. a) Wie groß ist der Umfag eier Zufallsstichprobe vo Artikel u wähle, damit die Stadardabweichug der durchschittliche Fertigugszeit bei 0,1 liegt? b) Ab welchem Stichprobeumfag ist die Läge des 95%-ige, zetrale Schwakugsitervalls der durchschittliche Fertigugszeit höchstes 0,05? x = x = x = 0,1 = 400 x 95%ige ZSI 1 - = 0,95 = 0,05 z 1 = z 10,05 = z 0,975 =1,96 Formel aus 8..7 KI bei bekater Variaz L = z 1 umstelle ach : = x L z 1 = 0,05 1,96 = (156,8) = 4586,4 = 4587 Ab 4587 Sekude ist die Läge 0,05; = 0,05

28 Seite 8 Aufgabe 35 (Zetraler Grezwertsatz) Ei Uterehme des öffetliche Persoeahverkehrs geht davo aus, dass 5% der Fahrgäste Schwarzfahrer sid. Bei eier Kotrolle werde = 100 Persoe überprüft. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass bei der Kotrolle höchstes drei Persoe schwarz fahre. Reche Sie (i) approximativ über de zetrale Grezwertsatz, mit ud ohe Stetigkeitskorrektur, ud (ii) approximativ über die Poisso-Verteilug, ud (iii) exakt. X i = 0 1 Nicht SF SF P(SF) = 0,05 P(X i =1) = 0,05 i) P(X 3) = F(3) = x 3 x= 0 p x (1 p) x x ,05 0 0, = 0, ,05 1 0,95 99 = 0, ,05 0,95 98 = 0, ,05 3 0,95 97 = 0,1396 0,579 = P geau ii) Approximativ ohe Korrektur Z = X E(X) Var(X) = Z = (X = 3) = iii) X p p(1 p) Approximativ mit Korrektur 31000, ,05 (1 0,05) = 0,9177 = 0,1788 = P approx X + 0,5 p = p(1 p) 3,5 1000, ,05 0,95 = 0,688 ( )= 0,451= P korrigiert

29 Seite 9 Aufgabe 36 (Erwartugstreue ud Kosistez) Für de Parameter b eier auf dem Itervall [0;b] gleichverteilte Zufallsvariable werde folgede Schätzfuktioe vorgeschlage. Es gilt E(X i) = b/, Var(X i) = b /1 für i = 1,...,, ud dass X 1,..., X uabhägig sid: g1(x1,..., X) = g 4(X 1,..., X ) = g5(x1,..., X) = X 1 + X X a) Welche der Schätzfuktioe sid erwartugstreu bzw. asymptotisch erwartugstreu? b) Welche Schätzfuktioe sid kosistet? c) Welche der erwartugstreue Schätzfuktioe hat die kleiste Variaz (d.h. ist die effizieteste)? Erwartugstreue: E( ˆ )= d.h. eie Schätzfuktio trifft im Schitt de wahre Parameter. b ˆ 1 = X i i=1 E( b ˆ 1 ) = E X i i=1 = E X i i=1 = μ = μ = b = b μ = b Bias: bias [ b ˆ 1 ]= E( b ˆ 1 ) b = b b = 0, weil 0 Erwartugstreu keie Verzerrug! ˆ b 4 = X 1 + X E( ˆ b 4 ) = E(X 1 + X ) = E(X 1 ) + E(X ) = b + b = b bias [ b ˆ 4 ]= E( b ˆ 4 ) b = b b = 0, weil 0 Erwartugstreu keie Verzerrug! ˆ b 5 = X E( ˆ b 5 ) = E(X ) = b

30 Seite 30 bias [ b ˆ 5 ]= E( b ˆ 5 ) b = b b icht Erwartugstreu verzerrt Kosistez: lim E ˆ ( )= 1. Bedigug bzw. Bias = 0 ud lim Var ˆ ( )= 0. Bedigug Var( b ˆ 1 ) = Var X i i=1 = Var = b 1 = b 3 X i i=1 lim Var ˆ b b 1 ( )= lim 3 = 0. Bediug erfüllt, sowie 1. Bedigug kosistet! Var( b ˆ 4 )= Var(X 1 + X ) = Var(X 1 ) + Var(X ) = b 1 + b 1 = b 6 b lim 0. Bedigug ist icht erfüllt Erwartugstreu, aber icht kosistet! 6 ˆ b 5 muss icht berechet werde, da1. Bedigug icht erfüllt! zu c) ˆ b 1 = b 3 ˆ b 4 = b 6 Für > ˆ b 4 Für ˆ b 1

31 Seite 31 Aufgabe 37 (Effiziez) Die Ökoome Dr. Utility ud Dr. Surplus habe zwei verschiedee ud statistisch uabhägige Schätzuge 1 ud für, das durchschittliche Eikomme vo Uterschichtfamilie i de USA, etwickelt. Beide Schätzfuktioe sid uverzerrt. Jedoch hat Dr. Surplus sorgfältiger gearbeitet, de die Stadardabweichug vo 1 ist füfmal so groß wie die Stadardabweichug vo. Eie Gruppe vo Statistiker hat vier Vorschläge erarbeitet, um 1 ud zu eier gemeisame Schätzug zu verbide: 1) 1 ) 3 = 1/ ( 1 + ) 3) 4 = 1/ /5 4) 5 = 1/ /6 a) Orde Sie die vier Vorschläge ach wachseder Effiziez. b) Wie lautet die erwartugstreue Kombiatio vo 1 ud mit der kleiste Variaz? : Ist das durchschittliche Eikomme vo Uterschichtefamilie i de USA. Schätzfuktioe sid uverzerrt Var( ˆ μ 1 ) = 5 Var ˆ μ Var( ˆ μ 1 )= 5Var( ˆ μ ) ( ) () 1.).) 3.) Var( ˆ μ 1 )= 5Var ˆ ( ) μ Var( ˆ μ 3 )= Var( 0,5 ( ˆ μ 1 + ˆ μ )) = (0,5) Var( ˆ )+ Var ˆ [ μ 1 ( μ )] [ ( μ )] = 1 5Var( ˆ 4 μ )+ Var ˆ [ ( μ ) ] = 1 6Var ˆ 4 = 6,5 Var( ˆ μ ) Var( ˆ μ 4 )= Var 1 5 ˆ μ ˆ = 1 5 = 1 5 Var ˆ μ 1 μ ( )+ 4 5 ( ) Var ˆ μ ( ) =1,64 Var ˆ μ Var( ˆ μ ) Var( ˆ μ )

32 Seite 3 4.) Var( ˆ μ 5 )= Var 1 6 ˆ μ ˆ = 1 6 = 1 6 Var ˆ μ 1 μ ( ) Var ˆ μ =1, 39 Var ˆ μ Var( ˆ μ ) ( )+ 5 6 ( ) am Effizieteste Var( ˆ μ ) Da der besodere Schätzer ist, hätte ma das Ergebis auch ohe Berechug sehe köe, da 4.) das Größte hat. ( ) ; ist der Ateil vo ˆ Var ˆ μ 1 + (1 ) ˆ μ Mi : Var( ˆ μ 1 )+ (1 ) Var( ˆ μ ) f (x) = 5Var( ˆ μ )+ (1 ) Var( ˆ μ ) f (x) = 5Var( ˆ μ )+ (1 ) (1) Var ˆ 0 5 Var( ˆ μ ) Var( ˆ μ ) 5 = = = 6 6 μ 1 i der Kombiatio 0 1 ( ) μ Test : Var( ˆ μ 6 )= 5 6 Var ˆ ( ) μ Aufgabe 38 (MM- ud ML-Methode) Für jemade, der ohe Ketis der Fahrzeite zufällig zum U-Bahhof Bockeheimer-Warte geht, ka die Wartezeit X auf de Zug als stetig gleichverteilt auf dem Itervall [0;b] ageomme werde, b > 0. Ei zerstreuter Professor, der sich de Fahrpla icht merke ka, wartet a füf Tage A weitere füf Tage wartet er 4.5, 3.0, 8., 5.7 ud 6.6 Miute. 7.8,., 4.3, 6.0 ud 3.7 Miute. a) Bestimme Sie de Mometeschätzer für b. b) Wie lautet der MM-Schätzwert für die erste füf Beobachtuge ud wie für alle zeh? c) Wie lautet der ML-Schätzwert für die erste füf Beobachtuge ud wie für alle zeh?

33 Seite 33 Ablese aus Tabelle auf Seite 44! ˆ b = X ˆ b = X mit X 05 = 5,6 X 010 = 5, Für Füf = 5,6 = 11, Für Zeh = 5, = 10,4 zu c) b ˆ ML = max{ X 1,...,X } Für Füf = 8, Für Zeh = 8, Aufgabe 39 (Mometemethode) Gegebe sei die Dichte f (x) = x -1, 0 x 1, > 0. Bestimme Sie de Mometeschätzer für. Welcher Schätzwert ergibt sich für die Beobachtuge Vorgehesweise: 1. Schritt: E(X) bereche. Schritt: X bereche 3. Schritt: E(X) = X gleichsetze 4. Schritt: Nach auflöse 0.8, 0., 0.7, 0.5 ud 0.?

34 Seite 34 E(X) = X = 0, f (x) x dx = x 01 x dx 0 1 = x 0 x 1 x dx 0 1 = x 0 x dx x 0 1 = x = +1 x = = = 0,48 MM = 0, Aufgabe 40 (Kofidezitervalle) a) Was ist der Uterschied zwische eier Puktschätzug ud eiem Kofidezitervall für eie Parameter? b) Wori liegt der Uterschied zwische eiem zetrale Schwakugsitervall ud eiem Kofidezitervall? Aufgabe 41 (Kofidezitervalle für, bekat) Ei Hersteller vo Uterhaltugselektroik weiß aus Erfahrug, dass für die Nutzugsdauer X (i Stude) der Batterie Ultra-Eergy i dem Walkma Super-Soic gilt: Var(X) = 0.5. Es werde ageomme, dass X ormalverteilt ist. Eie Stichprobe vom Umfag = 16 ergab folgede Werte für die Nutzugsdauer: 11,4 1,1 11,9 13,1 1,4 1,3 9,3 1,4 1,7 1,0 11,1 1,6 13,7 11,1 11,4 13,5 a) Bereche Sie je ei Kofidezitervall für bei Vorgabe folgeder Kofideziveaus: 1 - = 0.90, 1 - = 0.95 ud 1 - = b) Vergleiche Sie die Läge der drei Kofidezitervalle ud iterpretiere Sie das Ergebis. X: Nutzugsdauer Var(X) = 0,5 = 0,5 = 16 x =1,065

35 Seite 35 i) 1 - = 0,9 = 0,1 = z Tab 0,95 = D 1,6449 z 1 KI 1 = x z 1 ; x + z 1 KI 0,9 = 1,065 1,6449 0,5 0,5 ;1,065 +1, = [ 11,8569 ;1,681] ii) 1 - = 0,95 = 0,05 z 1 = z 0,975 = Tab D 1,96 KI 0,95 = [ 11,8175 ;1,3075] iii) 1 - = 0,99 = 0,01 = z Tab 0,995 = D,57858 z 1 KI 0,99 = [ 11,7405 ;1,3845] i) L =1,681-11,8569 = 0,411 ii) L =1, ,8175 = 0,49 iii) L =1,385-11,7405 = 0,64 Je höher das Kofideziveau, desto größer die Läge!

36 L = 6 z 1 Aufgabe 4 ( Kofidezitervalle für, bekat) Seite 36 a) Betrachte Sie die Date aus Aufgabe 41. Wie groß muss gewählt werde, damit ma für ei Kofidezitervall der Läge L = 0. erhält, ud zwar jeweils für die verschiedee Kofideziveaus: 1 - = 0.90, 1 - = 0.95 ud 1 - = b) Es sei X ormalverteilt mit bekater Variaz. Die Läge L des Kofidezitervalls für lautet: 4 z 1 L i) Wie ädert sich L bei festem 1- i Abhägigkeit vo, ud was bedeutet das ihaltlich? ii) Wie ädert sich L bei festem i Abhägigkeit vo 1 -? i) 1 - = 0,90 = 0,1 4 1,6449 0,5 = 67,64 = 68 0, ii) 1 - = 0,95 = 0,05 4 1,96 0,5 = 96,04 = 97 0, iii) 1 - = 0,99 = 0,01 4,5758 0,5 =165,87 =166 0, i) Mit steigedem Stichprobeumfag (), wird L kleier. Ma hat mehr Ifos. Festes (1 - ): L Je größer die Stichprobe (), umso kleier ist die Variaz vo X Var(X ) =, umso kleier ist die Usicherheit des Schätzers (S), umso eger ist das Itervall (kleiers L)

37 Seite 37 ii) Festes : (1 ) z L 1 (1 ) z L 1 Je kleier, umso kleier ist die Irrtumswahrscheilichkeit, umso sicherer ist ma, de wahre Parameter mit dem KI zu überdecke Ma muss das Itervall (KI) vergrößer! Aufgabe 43 (t-verteilug) Es seie X1,..., X ormalverteilte Zufallsvariable, d.h. X i ~ N (, ), i = 1,...,. Bekatlich gilt: Z = X μ / ~ N(0,1) ud T = X μ ~ t() mit = 1 S / Bestimme Sie: a) P(Z ) ud P(T ) für = 8 ud vergleiche Sie die Ergebisse. b) P(Z >.1009) ud P(T >.1009) für = 18 ud vergleiche Sie die Ergebisse. P(Z 1,8595) = (1,8595) Tab = C 0,9686 = 96,86% = 8 P(T 1,8595) Tab = E 0,95 = 95% P(Z >,1009) =1 P(Z,1009) =1(,1009) Tab = C 1 0,981= 0,0179 =1,79% = 18 P(T >,1009) =1 P(T,1009) Tab = C 1 0,975 = 0,05 =,5%

38 Aufgabe 44 (Kofidezitervalle für, ubekat) Wir lege u die Date aus Aufgabe 41 zugrude, ehme aber a, dass ubekat ist. Bestimme Sie jetzt die drei Kofidezitervalle für mit de drei agegebee Kofideziveaus ud vergleiche Sie die Ergebisse. 1 - = 0.90, 1 - = 0.95 ud 1 - = 0.99 = ubekat ersetze durch Schätzfuktio (S) = 16 x =1,065 KI 1 = x t( 1) 1 S ; x + t( 1) S 1 Seite 38 S = 1 (x i x ) i=1 oder besser S = 1 1 i=1 x i x S = ( 11,4 +1,1 +11, ,5 )1,065 = 1,1465 1,07075 i) 1 - = 0,9 = 0,1 t(1 ) = t 1 0,95 (16 1) = t 0,95 (15) =1,7531 KI 0,9 = 1,065 1,7531 1,07075 ;1,065 +1,7531 1, L =1, ,593 = 0,9386 ii) 1 - = 0,95 = 0,05 t 0,95 (15) =,1314 KI 0,95 = 1,065,1314 1,07075 ;1,065 +,1314 1, L =1, ,49195 = 1,1411 = [ 11,593 ;1,5318] = [ 11,49195 ;1,63305]

39 Seite 39 iii) 1 - = 0,99 = 0,01 t 0,995 (15) =,9467 KI 0,99 = 1,065,9467 1,07075 ;1,065 +,9467 1, L =1, ,737 = 1,5776 = [ 11,737 ;1,8513] Mit (1 - ), steigt auch die Läge L We ubekat L größer als bei bekat Aufgabe 45 (Kofidezitervalle für p) Vor der Budestagswahl 005 wurde = 000 repräsetativ ausgewählte Persoe zu ihrem Wahlverhalte befragt. Dabei gabe 1650 Persoe a, wähle zu wolle. p beschreibe die Wahlbeteiligug (Ateil der Wähler a de Wahlberechtigte). a) Bestimmte Sie ei Kofidezitervall für p zum Niveau 1 - = b) Wir groß muss der Stichprobeumfag midestes gewählt werde, damit das Kofidezitervall höchstes eie Läge vo 0.0 hat, we keie Voriformatio über p besteht? c) Geht ma davo aus, dass die Wahlbeteiligug bei eier Budestagswahl icht uter 70% liegt, wie groß muss da midestes sei, damit die Läge des Itervalls de Wert 0.0 icht überschreitet? = 0,85 = ˆ p 1 - = 0,99 = 0,01 p ˆ (1 p ˆ ) KI 1 = p ˆ z 1 KI 0,99 = 0,85,5758 ; p ˆ + z 1 0,85(1 0,85) 000 p ˆ (1 p ˆ ) ; 0,85 +,5758 0,85(1 0,85) 000 = 0,8031; 0,8469 [ ] 4 z p ˆ (1 p ˆ ) ; p ˆ ubekat 1 L Da p ˆ (1 p ˆ ) die Variaz vo p ˆ darstellt, wäle wir p ˆ so, dass p ˆ (1 p ˆ ) max ist. Um auf der sichere Seite zu sei.

40 Seite 40 f ( p ˆ ) = p ˆ (1 p ˆ ) = p ˆ p ˆ f '(ˆ p ) =1 ˆ p 0 1 ˆ p ˆ p = 0,5 Aahme: = 0,01 0,5(1 0,5) 4,5758 =16586,8641 = ,0 zu c) p ˆ = 0,7 0,7(1 0,7) 4,5758 =1393,96584 = ,0 ist deutlich kleier, weil p ˆ Aufgabe 46 (Testprizipie) Erkläre Sie die Begriffe Fehler 1. Art ud Fehler. Art am Beispiel eies Feueralarms (blider Alarm ud otwediger, aber uterlasseer Alarm). (-Fehler) = Fehler 1. Art: Realität: Krak Arzt: Gesud (-Fehler) = Fehler. Art: Realität: Gesud Arzt: Krak Etscheidug \ Realität H 0 ist richtig (K) H 0 ist falsch (G) H 0 ist richtig (K) -Fehler H 0 ist falsch (G) -Fehler - wird vo us (bzw. der Aufgabestellug) selbst festgelegt - -Fehler ist der schlimmere Fehler - Eie Verrigerug des führt automatisch zu eier Vergrößerug vo

41 Seite 41 Aufgabe 47 (Test auf, bekat) Ei Hauseigetümerverbad behauptet, dass für Dreizimmerwohuge i eier bestimmte Stadt die Durchschittsmiete höchstes 950 ist. Es wird ageomme, dass die Miete X ormalverteilt mit = 00 ist. Eie Stichprobe mit = 100 wurde erhobe ud ergab x = Formuliere Sie die Hypothese des Hauseigetümerverbades. Ist sie aufgrud der Stichprobe abzulehe, we = 0.01 bzw. = 0.10 gewählt wird? H 0 : 950 gege H 1 : > 950 = 100 = 00 x =1010 Z = X μ Z = = 3 H 0 ablehe, we Z > z 1- i) = 0.01 z 0,99 =,363 3 >,363 H 0 ablehe! ii) = 0.1 z 0,9 =1,816 3 > 1,816 H 0 ablehe! Aufgabe 48 (Test auf, bekat) I eier Verkehrskotrolle werde bei 1 Fahrzeuge folgede Geschwidigkeite i km/h gemesse: Es werde ageomme, dass die Messwerte X ormalverteilt mit = 4 sid. a) Teste Sie die Hypothese H 0 : 100 gege H 1 : > 100 mit eier Irrtumswahrscheilichkeit vo = 0.05 bzw b) Teste Sie die Hypothese H 0 : = 100 gege H 1 : 100 mit = 0.05 bzw c) Bestimme Sie i a) ud b) die P-Werte so geau wie möglich.

42 Seite 4 = 1 = 4 x =103,5 H 0 : 100 gege H 1 : > 100 Z = X μ 0 103,5 100 Z = = 3, H 0 ablehe, we Z > z 1- i) = 0.05 z 0,95 =1,6449 3,03 > 1,6449 H 0 ablehe! ii) = 0.01 z 0,99 =,363 3,03 >,363 H 0 ablehe! H 0 : = 100 gege H 1 : 100 H 0 ablehe, we Z > z 1 i) = 0.05 z 0,975 =1,96 3,03 > 1,96 H 0 ablehe! ii) = 0.01 z 0,995 =,5758 3,03 >,5758 H 0 ablehe! zu c) F(Z = 3,03) Tab = C 0,9988 F(Z = 3,04) Tab = C 0,9988 P-Wert: 1-(3,04 =1-0,9988 = 0,001

43 Seite 43 Aufgabe 49 (Test auf, ubekat) Betrachte wir och eimal die Aufgabe 48 ud ehme aber u a, dass ubekat ist, was auch eher de reale Gegebeheite etspreche dürfte. Geschätzt wurde die Stadardabweichug durch s = Teste Sie uter dieser Aahme die folgede Hypothese a) H 0 : 100 gege H 1 : > 100 b) H 0 : = 100 gege H 1 : 100 jeweils mit de Irrtumswahrscheilichkeite = 0.05 ud = ubekat x =103,5 H 0 : 100 gege H 1 : > 100 T = X μ 0 103,5 100 T = S 4, =,7553 H 0 ablehe, we T > t( 1) 1 i) = 0.05 t(11) 0,95 =1,7959,7553 > 1,7959 H 0 ablehe! ii) = 0.01 t(11) 0,99 =,7181,7553 >,7181 H 0 ablehe! H 0 : = 100 gege H 1 : 100 T = 103, , =,7553 H 0 ablehe, we T > t( 1) 1 i) = 0.05 t(11) 0,975 =,010,7553 >,010 H 0 ablehe!

44 Seite 44 ii) = 0.01 t(11) 0,995 = 3,1058,7553 < 3,1058 H 0 icht ablehe! Aufgabe 50 (Test auf p) Ei Uterehme des öffetliche Persoeahverkehrs (ÖPNV) behauptet, seie Busse wäre zu midestes 95% püktlich. Dabei gilt ei Bus och als püktlich, we er höchstes 5 Miute Verspätug gegeüber dem Fahrpla hat. Eie Stichprobe vom Umfag = 1000 a diverse Haltestelle zu verschiedee Tageszeite über eie Woche hiweg ergab 66 Verspätuge. Die Wahrscheilichkeit für keie Verspätug sei mit p bezeichet. a) Teste Sie die Behauptug des ÖPNV-Uterehmes als Nullhypothese auf eiem Sigifikaziveau vo = b) Bestimme Sie de P-Wert so geau wie möglich. = Verspätuge H 0 : p 0,95 = 0,934 = ˆ p Z = p ˆ p 0 p ˆ (1 p ˆ ) = 0,934 0,95 0,934(1 0,934) 1000 =,0379 H 0 ablehe, we Z < z 1 = 0.1 z 0,9 =1,816 -,0379 < -1,816 H 0 ablehe! P-Wert: Wir suche de Wert (i Tabelle D), der auf die Greze zwische Aahme- ud Verwerfugsbereich fällt. Dies ist bei -,0335 der Fall P = 0,01

45 Seite 45 Aufgabe 51 (Gütefuktio) Betrachte Sie das Merkmal Geschwidigkeit für = 1 Fahrzeuge aus Aufgabe 48 mit de dortige Aahme. Getestet wird zum Niveau = 5% eiseitig ud zweiseitig: a) H 0 : 100 gege H 1 : > 100 b) H 0 : = 100 gege H 1 : 100 Bereche ud vergleiche Sie de Wert der jeweilige Gütefuktio für die wahre mittlere Geschwidigkeit vo = 103. (-Fehler) = Fehler. Art 1 - p Güte = 1 = 0,05 = 103 = 4 H 0 : 100 gege H 1 : > 100 G(μ) = P(Z > z 1 μ) =1 z 1 μ μ 0 =1 z 0, =1 0,1711 8,89% We H 0 falsch ist, lehe wir H 0 mit 8,89%iger Wahrscheilichkeit ab! H 0 : = 100 gege H 1 : 100 G(μ) = P( Z > z μ) 1 =1+ μ μ 0 z μ μ z 1 = 0,7389 Mit 73,89%iger Wahrscheilichkeit wird H 0 abgeleht, we H 0 tatsächlich falsch ist.

46 Seite 46 Aufgabe 5 (Differeze-t-Test) Es soll utersucht werde, ob das Diätsystem Super-Slim zu eier Gewichtsreduktio führt. Dazu wurde eie Stichprobe vo = 16 Testpersoe ausgewählt ud das Gewicht vor der Diät (X) ud ach 8-wöchiger Awedug vo Super-Slim (Y) festgestellt: X Y Wir gehe davo aus, dass das Gewicht vor ud ach der Diät ormalverteilt ist. Damit ist auch die Differez D = Y - X ormalverteilt. Als Keziffer für D ergabe sich: d = ud S d = Es soll statistisch sigifikat zum Niveau = 0.05 gezeigt werde, dass das Diätsystem zu eier Gewichtsreduktio führt. Geligt Ihe das? H 0 : 0 gege H 1 : < 0 T = d S d = 16 3,8750 3,0083 = 5,154 H 0 ablehe, we T < t( 1) 1 t(15) Tab 0,95 = E 1,7531-5,154 < -1,7531 H 0 ablehe! Aufgabe 53 (Zweistichprobe-t-Test) Ei Hersteller hat eie eue Reife für die Formel 1 etwickelt. Er möchte u wisse, ob dieser eue Reife Flash im Vergleich zum alte Reife Flash 1 sigifikat bessere Rudezeite liefert. Auf eier Teststrecke ergabe sich folgede Rudezeite (i Sekude) für die Reife. Flash (X) Flash 1 (Y) 160,4 160,4 161,0 161,8 159,9 160, 161,1 159,0 159,3 161,1 159,3 16,4 161,0 163, 161, 16,3 16,8 161, 16,0 16,5 16,5 16,8 a) Formuliere Sie die Hypothese ud gebe Sie die Modellaahme für de Zwei-Stichprobe-t-Test a. b) Deute Sie die Boxplots (siehe Seite 101) c) Eie deskriptive Auswertug des Datesatzes ergab folgede Werte: x = , y = , s x = , s y = Führe Sie auf Basis dieser Werte de Zwei-Stichprobe-t-Test durch ud treffe Sie eie Testetscheidug ( = 0.05). d) Führe Sie eie asymptotische Differeze-Test durch ( = 0.05).

47 Seite 47 X: Neue Reife Y: Alte Reife H 0 : 0 gege H 1 : < 0 Aahme für de -Stichprobe-t-Test - X,Y sid NV ud uabhägig - Variazgleichheit Graphisches Verfahre zur Kezeichug der Häufigkeitsverteilug. Mit der Ausdehug des Boxplots wird die gesamte Spaweite aller Date dargestellt. Mit der Ausdehug der Box wird das Streuugsmaß auch graphisch dargestellt. Ist der Boxplot symmetrisch oder asymmetrisch ist die Häufigkeitsverteilug symmetrisch oder asymmetrisch. zu c) x = , y = , s x = , s y = 0.771, = 0,05, m = 1 (X), = 10 (Y) x y T = 1 m + 1 (m 1) S x + ( 1) S y m + 160, ,1500 = (1 1) 1, (10 1) 0, = 4,17 H 0 ablehe, we T < t(m + ) 1 t(0) Tab 0,95 = E 1,747-4,17 < -1,747 H 0 ablehe! zu d) Z = x y S x m + S y 160, ,1500 = Z = = 4,9 1, , Z 1 = Z 0,975 =1,96-4,9 < -1,96-4,9 liegt im Ablehbereich! H 0 ablehe!

48 Seite 48 Aufgabe 54 (Asymptotischer Differeze-Test) Es soll utersucht werde, ob sich die durchschittliche Miete für -Zimmer-Wohuge im Gallusviertel vo dee des Westeds uterscheide. Der Frakfurter Rudschau wurde a eiem Samstag jeweils 5 Azeige für -Zimmer-Wohuge im Gallusviertel (Bezirk 1) ud Wested (Bezirk ) etomme. Die Agabe bezeiche die Miete (i Euro) für die etsprechede Wohuge. Gallusviertel Miete (X 1) für -Zimmer Wohuge (35 bis 70 m ) Wested Miete (X ) für -Zimmer Wohuge (30 bis 65 m ) Die deskriptive Auswertug ergab folgede Keziffer: x 1 = , x = , s 1 = , s = a) Wie laute die Hypothese, we Sie beweise wolle, dass ma im Gallusviertel billiger woht? b) Welche Wert erhalte Sie für die Teststatistik des asymptotische Differezetests? Ud welcher approximative P-Wert ergibt sich daraus? H 0 : 0 gege H 1 : < 0 Z = x y S x m + S y = Z = 63,56 760,4 188, , =,44 H 0 ablehe, we T < t(m + ) 1 t(48) Tab 0,95 = E 1,6759

49 Seite 49 -,44 < -1,5759 H0 ablehe! P-Wert: Wir suche de Wert (i Tabelle D), der auf die Greze zwische Aahme- ud Verwerfugsbereich fällt. Dies ist bei -,4573 der Fall P = 0,007 Aufgabe 55 (Variazaalyse) Auch i dieser Aufgabe geht es um de Vergleich vo Miete, allerdigs icht auf der Basis vo zwei, soder vo drei Gruppe. Das Ziel ist die Klärug der Frage, ob sich die durchschittliche Miete pro m für 3-Zimmer-Wohuge i drei Städte sigifikat uterscheide. Die Zahlewerte dieser Aufgabe sid sehr eifach gehalte, um die eizele Recheschritte achvollziehbar zu mache. Stadt Stadt Stadt Eie eifache, deskriptive Aalyse ergab folgede Tabelle: MIETE STADT i Mittel Std. Abw Total a) Formuliere Sie die Hypothese. b) Wie laute die Modellaahme des F-Tests bei der eifache Variazaalyse? c) Führe Sie de F-Test zum Niveau = 0.05 durch

50 Seite 50

51 Seite 51 Aufgabe 56 ( - Apassugstest) Ei Lotteriebetreiber behauptet, dass seie Lose zu 90% Gewie (1) brächte ud ur 10% Niete (0) seie. Über die Höhe der Gewie i Bezug auf de Eisatz ist damit atürlich och ichts gesagt. Zur Überprüfug dieser Aussage wurde = 00 Lose gezoge, vo dee 30 Niete ware. a) Formuliere Sie die Hypothese. b) Teste Sie die Behauptuge des Herstellers zu de Niveaus = 0.10, = 0.05 ud = P(X = 1) = 0,9 P(X = 0) = 0,1 x = = 0,85 H 0 : P(X = 1) = 0,9 gege H 1 : P(X = 0) 0,9 ( ) k j j = ; mit ˆ j = p (0) j ud j = (x = x j ) j=1 j (0) j x j j p j j = p ( j p j ) j p j ,9 00 0,9 = ,1 00 0,1 = 0 ( ) = 0,5 180 ( 30 0) = 5 0 = 5,5 H 0 ablehe, we > () 1 ; mit = k 1 m i) (1) 0,9 =,706 5,5 >,706 H 0 ablehe! ii) (1) Tab 0,95 = F 3,841 5,5 > 3,841 H 0 ablehe! iii) (1) Tab 0,99 = F 6,635 5,5 < 6,65 H 0 icht ablehe!

52 Seite 5 Aufgabe 57 ( - Apassugstest) Es soll utersucht werde, ob die Azahl der Eisätze X pro Stude der Feuerwehr eier Frakfurter Wache poissoverteilt sid. Die folgede Häufigkeitstabelle ethält die Azahl der Eisätze für alle Stude eies Moats. xj j Teste Sie die Hypothese zum Niveau = 0.05 auf Basis dieser Tabelle für a) = 1 bzw. b) ubekat.

53 Seite 53

54 Seite 54 Aufgabe 58 ( - Uabhägigkeitstest) Eie Umfrage uter 188 Statistik-Hörer ergab (vor lager Zeit!) die folgede Kotigeztabelle für die Merkmale Geschlecht ud Hadybesitz : Hadybesitz Nei Ja Total Geschlecht Mäer Fraue Total Teste Sie zum Niveau = 0.05 die Hypothese, dass das Atwortverhalte uabhägig vom Geschlecht sei. Gegebe: k = Zeile m = Spalte = 0,05 i = = 94 1 = 94 j = = 73 1 =115 H 0 : X ud Y uabhägig H 1 : X ud Y abhägig = k m i=1 j=1 ( ij ij ) ij mit ij = i j 11 = 8 1 = 66 1 = 45 = = 188 = 36,5 = 57,5 1 = (8 36,5) 36,5 + (66 57,5) 57,5 + 1 = 36,5 (45 36,5) 36,5 = 57,5 + (49 57,5) 57,5 = 6,470 H 0 ablehe, we > () 1 = (k 1) (m 1) = ( 1) ( 1) =1 (1) Tab 0,95 = F 3,841 6,470 > 3,841 H 0 ablehe X ud Y sid voeiader abhägig!

55 Seite 55 Aufgabe 59 ( - Uabhägigkeitstest) Es soll utersucht werde, ob die Ergebisse der BWL- ud der VWL-Klausur uabhägig sid. 50 Studierede schriebe i eiem Semester beide Klausure. Die Durchfallquote i VWL betrug 4% ud i BWL 3%. 30 Studierede bestade beide Klausure icht. a) Erstelle Sie die zugehörige Kotigeztabelle. b) Teste Sie auf Uabhägigkeit der Klausurergebisse ( = 0.05). BWL + - Total VWL Total = 0,05 H 0 : X ud Y uabhägig H 1 : X ud Y abhägig = k m i=1 j=1 ( ij ij ) ij ( = ) mit ij = i j + ( ) ( ) ( ) =11, H 0 ablehe, we > (1) 0,95 (1) Tab 0,95 = F 3,841 11,755 > 3,841 H 0 ablehe X ud Y sid voeiader abhägig!

56 Seite 56 Aufgabe 60 (Test auf Ukorreliertheit) Ei Lebesmittelkozer hat eie eue, hochwertige 1-Liter-Eispackug mit dem Name Leccia auf de Markt gebracht, vgl. Sie Wiederholugsaufgabe 51. Uterstelle Sie, dass die Date ormalverteilt sid ud führe Sie zum 5%-Niveau eie formale Test durch, ob Preis ud Absatz ukorreliert sid oder icht. Preis = X Mege = Y = 8 H 0 : r xy = 0 H 1 : r xy 0 Teststatistik: T = r xy (1 r xy )( ) r xy = d xy d x d y d xy = 1 (x x ) (y y ) i i i=1 d x = 1 (x x ) i i=1 d y = 1 (y i y ) i=1 d xy = 4,578 d x =1,5586 d y =1,1719 r xy = T = 4,578 1,55861,1719 = 0,9776 0,9776 (1 (0,9776) )(8 ) = 11,377 H 0 ablehe, we T > t( ) 1 t(6) Tab 0,975 = E, ,377 >,4469 H 0 ablehe Die Date X,Y weise eie sigifikate Korrelatio auf, d.h. Preis ud Absatz sid sigifikat miteiader korreliert.

57 Seite 57 Aufgabe 61 (Lieare Regressio) Ahad der folgede Stichprobe soll der Zusammehag zwische dem Alter (X) i Jahre ud der Azahl der Arztbesuche pro Jahr (Y) utersucht werde: x i y i a) Aalysiere Sie das Streudiagramm (siehe Seite 101). b) Schätze Sie die Regressiosgerade ud zeiche Sie sie is Streudiagramm ei. c) Teste Sie, ob das Alter eie sigifikate Eifluss auf die Zahl der Arztbesuche hat ( = 0.05). Positiv korreliert ud liearer Zusammehag! Achseabschitt = 0 y ˆ = a ˆ + b ˆ x a ˆ ud b ˆ gesucht! a ˆ = y ˆ b ˆ x ; a ˆ = 6 b ˆ 45,3 ˆ b = d xy d x b ˆ = 55,5 40,89 = 0,1371 ˆ a = 6 0, , 3 = 0,15 y = 0,151+ 0,1371 x Neberechug: d xy = 1 (x i x ) (y i y ) bzw. i=1 d xy = xy x y mit xy = 1 x i y i x = 45, 3 ; y = 6 xy = 37,5 ; d xy = 55,5 d x = x x mit x = 1 x i d x = 40,89 i=1 i=1

58 Seite 58 zu c) Test auf Ukorreliertheit = 0,05 = 8 H 0 : r xy = 0 H 1 : r xy 0 d y = y y d y = 8,16 r xy = T = d xy d x d y = ,898,16 = 0,963 r xy (1 r xy )( ) T = 0, =11,3 1 0,963 H 0 ablehe, we T > t( 1) 1 t(10) 0,975 =,81 11,3 >,81 H 0 ablehe icht icht korreliert

59 Seite 59 Aufgabe 6 (Lieare Regressio) A eier Messstatio i Müche wurde a 14 Tage ebe adere Luftschadstoffe auch die Schwefeldioxidkozetratio gemesse ud Tagesmittelwerte gebildet. Utersuche Sie de Eifluss der Tagesdurchschittstemperatur i Grad Celsius (X ) auf die logarithmierte SO -Kozetratioe (Y). Liegt ei Wocheedeffekt vor? Die Variable X3 gibt a, ob a eiem Samstag oder Sotag gemesse wurde (X 3 = 1) oder icht (X 3 = 0) Es gilt y x x y x x a) Schätze Sie die Regressioskoeffiziete im zugehörige multiple lieare Modell ud kommetiere Sie ihr Ergebis. b) Als Bestimmtheitsmaß erhält ma R = Trage die Regressore isgesamt zu Erklärug der SO -Kozetratio bei? Führe Sie de zugehörige F-Test zum Niveau = 0.05 durch. c) Die geschätzte Stadardabweichuge betrage ˆ = ud ˆ 3 = Teste Sie die Hypothese i = 0 für i =,3 zum Niveau = Etfere Sie die Variable aus dem Model, die offebar keie Eifluss hat, ud führe Sie eie lieare Eifachregressio durch. Y i = ˆ 1 + ˆ x i, + ˆ 3 x i,3 + i y = X ˆ mit X ' multipliziere + 0 X' y = X' X ˆ Umstelle auf ˆ + X' ˆ = (X' X) 1 X' y Y 1 Y y = Y x' 1 x' X = x' 1 = 0 (1,548874) (38,16486) + (0,088330) (656,46618) + (0,016669) (11,1934) ˆ = (0,088330) (38,16486) + (0,005373) (656,46618) + (0,005099) (11,1934) (0,016669) (38,16486) + (0,005099) (656,46618) + (0, ) (11,1934)