Aufgaben zu Rotationsbewegungen mit Lösung

Transkript

1 Aufaben zu Rotationbeweunen mit Löun Zentipetalkaft. Raumtation Eine toufömie Raumtation (Radiu m) otiee mit de Winkelechwindikeit ω um ihe Symmetieache, um ihen Bewohnen die Edbechleuniun 9.8 m vozutäuchen. Wie oß mu ω ein? Wie lane dauet ein Umlauf? ω ω p /. T π ω. Ekimo Ein Ekimojune itzt auf dem höchten Punkt eine halbkuelfömien Ilu (Radiu ). Dann utcht e eibunfei heunte. In welche Höhe übe dem Edboden veliet de Köpe de unen den Kontakt mit de Untelae? Eneieehaltun: m ( h) E pot E kin m v v ( h) Beim Abheben it die Gewichtkaft in adiale Richtun leich de Fliehkaft: m h m in(α) F,adial F z m v h ( h) m ( h) h. Motoadatit Einem Motaadfahe elint e, in einem zylindefömien Raum mit 5 m an den vetikalen Wänden im Kei zu fahen. Dank eine Gummieifen liet de Hafteibunkoeffizient bei µ.5. Wie chnell mu e mindeten fahen, um nicht heuntezufallen? Die Gewichtkaft paallel zu Wand daf höchten µ mal de Nomalkaft (Fliehkaft) ein: m µ m v v µ 5, 7 m

2 4. Rotieende Scheibe mit Auflae Ein dünne Stab mit Läne d und Mae m liet in adiale Richtun auf einem ebenen hoizontalen Telle, de ich mit ω um eine vetikale Ache deht. An dem Stab it ein maeloe Faden befetit, an dem ein Gewicht de Mae m hänt. Zwichen Stab und Tich hecht de Reibunfakto µ. In welchen Entfenunen von de Dehache daf de Stab lieen, damit e ich nicht bewet? m m ω Da Die Fliehkaft linea vom Dehadiu abhänt, wikt ie auf den Köpe m o al wäe eine Mae im Schwepunkt veeint. Seine Fliehkaft betät dahe: Damit ich nicht bewet, mu elten: F z m ω F F F z < F m m ω < m µ Fü den Mittelpunktabtand de Stab vom Dehzentum bedeutet da: 5. Dichte eine Planeten m m «m µ ω m ω < ω µ < < ω m m + µ Küzlich wude in einem entfenten Stenytem ein neue, eh dichte und kuelfömie Planet ohne Atmophäe entdeckt, de in 6 Minuten um eine Ache otiet. Schätzen Sie die minimale Dichte ρ diee Planeten ab! Tipp: Wenn die Fliehkaft am Äquato öße al die Schwekaft wid, zefällt de Planet. Schweebechleuniun: a G m/ 6, 67 k m `ρ 4 π / «F > F z `ρ 4 π / 4 π ρ > ω ` π T ρ > ` π T 4 π π T cm Coioli-Kaft 6. Flu Ein m beite Flu fließt mit eine Gechwindikeit von m in eine eoaphichen Beite von 55 (Nod) von Süd nach Nod. Wie oß it de Peeluntechied zwichen dem wetlichen und ötlichen Ufe? Hinwei: Die Fluobefläche tellt ich o ein, da ie enkecht zu wikenden Geamtkaft teht. De Fluquechnitt und da Käftedeick bilden ähnliche Deiecke (bflubeite, hpeeluntechied): h b Fc F ac a Nun bauchen wi die Radialechwindikeit de Flue enkecht zu Dehache ( ω): a c v ω (v in(55 )) ω Hiebei it die Dehechwindikeit de Ede ω π/ d mit einem Stenta d, 9 h: Dabei it de Waetand im Oten höhe. h b ac b (v in(55 )) ω, 4 cm a

3 7. Tum (mit Intealechnun) Eine Kuel falle von einem Tum de Höhe h, de am Äquato teht. Wie weit neben dem Tum tifft die Kuel am Boden auf? In welche Himmelichtun weicht de Aufteffpunkt vom Lot ab? Beechnen Sie die Abweichun fü h 4 m. Luftwidetand it wie imme zu venachläien. Fü die Fallzeit t f ilt: Die vetikalechwindikeit nimmt leichfömi zu: h t f t f Coiolibechleuniun in x-richtun it zeitabhäni: Die Otabweichun eibt ich nun: x(t f ) v x v x dt a c(t) dt v z(t) t a c(t) t ω h t ω dt t f ω t f ω dt ω t f Mit de Dehechwindikeit de Ede ω π/ d und einem Stenta d: x(h 4 m) 7, 6 cm 8 ω h Abweichun in Richtun Oten, da die Kuel eine höhee Gechwindikeit in Dehichtun mitbint. Rotationeneie, Dehimpul 8. Pula Ein Sten mit Radiu 6 km und eine Rotationdaue von Monat wandelt ich am Ende eine Lebenzeit in einen leichchween Pula mit nu noch km Radiu um. Beechnen Sie deen Umlaufzeit unte Annahme de Dehimpulehaltun! De Dehimpul mu ehalten ein: ω cont. und cont. ω cont. T T 9. Rotieende Zylindecheiben ω ω T T ««km Monat, 5 m 6 km Zwei homoene Zylindecheiben (m,, ω und m,, ω ) otieen paallel zueinande um die elbe Ache. Nun weden die beiden Scheiben entlan de Ache aneinande echoben, bi ie ich beühen und duch Reibun ihe Winkelechwindikeiten komplett anleichen. a) Wie oß it dann die neue Winkelechwindikeit ω? b) Welche Buchteil de Anfaneneie eht veloen? Tipp: Wa it hie eine Ehaltunöße? Löun a: De Dehimpul bleibt ehalten, die Rotationeneie ween de Reibun nicht. Löun b: E E E E E ω L E E L + L + ( + )ω ω + ω ω + ω + ω + ω + ( + )ω ω + ω ( ω + ω ) ( ω + ω ) ( + ) (ω ω ) ( ω + ω ) ( + ) ( + ) ( ω + ω ) ( ω + ω ) ( + )

4 Täheitmoment. Täheitmomente von Gundköpen Beechnen Sie da Täheitmoment folende Gundköpe mit Mae m: Dünne Keiin mit Radiu R ( mr ) Keicheibe mit Radiu R. Tipp: Hie ollte man al Koodinaten al Abtand vom Mittelpunkt und ϕ al Winkel wählen. Fü ein Flächenelement ilt dann: da dϕ d ( mr ) Quade mit Kantenläne a, b, c. (Dehache duch die Kante bei c). ( m(a + b )) Hohlzylinde mit Innenadiu R und Außenadiu R. (Dehun um Symmetieache) ( m(r + R )) Keel mit Höhe H und Radiu R. (chwiei) Gleicheitie Deieck mit Kantenläne a bei Dehun um eine Ecke. (chwiei) Tipp: Höhe im leicheitien Deieck / ( ( ma ) 5 ma ) Dünnwandie Hohlkuel mit Radiu R bei Dehun um den Mittelpunkt. (chwiei) ( mr ). Schiefe Ebene Ein unde Köpe mit Radiu und Täheitmoment um eine Symmetieache wid auf eine chiefen Ebene loelaen und beinnt utchfei zu ollen. Wie chnell it eine Gechwindikeit v nachdem e die Höhendiffeenz h übewunden hat? Setzen Sie danach vechiedene Köpe ein (Scheibe, Hohlzylinde,...) Eneieanatz: m h E pot E kin m v + ω m v + + «h v(h) + m e öße alo de Zahlenfakto im Täheitmoment, deto laname ollt de Köpe. Dehchwinunen. Schwinende Quadat Ein Quadat mit Seitenläne a und Mae m wid an eine Ecke dehba aufehänt und entlan eine Ebene ein weni au de Ruhelae auelenkt. Wie oß it dann die Peiodendaue eine Schwinun? Die Schweebechleuniun betät. Da Täheitmoment eine Quadate betät: m a De Schwepunktabtand von de Dehache it a/, omit it die Winkelichtöße k fü kleine Aulenkunen: k m a/ 8 T π k π a 4

5 . Keiement al Pendel Ein Keiement (Abchnitt eine Rin) mit Mae m, Radiu R und Winkelaudehnun ϕ 6 wid an zwei leichten Fäden aufehänt. Wie oß it eine Schwinundaue bei Schwinun entlan de Keilinie? Tipp: De Schwepunktabtand vom Aufhänepunkt it ϕ Z ϕ/ ϕ/ R co(ϕ) dϕ R ϕ in ϕ Da Täheitmoment eine Keiement (Abtand von de Dehache it kontant) betät: m R De Schwepunktabtand von de Dehache it, omit it die Winkelichtöße k fü kleine Aulenkunen: 4. Wippe k m T π k π m R m π R R R in ϕ π ϕ ϕ in ϕ Ein halbkeifömie Pima mit Radiu wid mit de unden Seite auf den Tich elet und ein weni anetoßen. Wie oß it die Schwinundaue T? (chwiei) Tipp: De Schwepunktabtand vom Keimittelpunkt it 4. Skizze aufmalen! π Da Täheitmoment um den Keimittelpunkt it bekannt al m. Nach Steine kann man auf da Täheitmoment um den Schwepunkt chließen und von dot auf da Täheitmoment um den Auflaepunkt, denn um dieen Punkt deht ich da Pima zumindet momentweie: π S + m ( ) ( m m ) + m ( ) m ( ) Die Hoizontalentfenun de Schwepunkte zum Auflaepunkt x betät in(ϕ), omit: M(ϕ) in(ϕ) m R π Winkelichtöße k: k dm dϕ M d dϕ in(ϕ) m co(ϕ) m m M M Da bedeutet fü die Schwinunpeiode: T π k π m ( ) 9π π m π 8 5