Aufgaben zur Festigkeitslehre ausführlich gelöst

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1 Aufgaben zur estigkeitslehre ausführlich gelöst Mit Grundbegriffen, ormeln, ragen, Antworten von Gerhard Knappstein 6. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 5430

2 Der Autor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Berechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im achbereich Maschinenbau achgebiet Technische Mechanik an der Universität Siegen. 6. Auflage 014 Druck ISBN Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten älle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. 014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 4781 Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 4477 Radevormwald Druck: Medienhaus Plump GmbH, Rheinbreitbach

3 Vorwort Zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs estigkeitslehre (Elastostatik) ist das selbständige Lösen von entsprechenden Aufgaben unverzichtbar. Diese Einsicht und die immer wiederkehrende rage der Studierenden nach Aufgaben mit vollständigen Lösungen waren unter anderem Anlass, dieses Buch zu schreiben. Das Buch, dessen Inhalt sich am Stoff der Vorlesungen in estigkeitslehre an Universitäten und achhochschulen orientiert, bietet zahlreiche ausführlich und lehrbeispielhaft gelöste Aufgaben, die notwendigen Grundbegriffe und ormeln zum schnellen Nachschlagen in überschaubarer orm, Verständnisfragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse, computerunterstütztes Lösen von Aufgaben aus der estigkeitslehre mit MATLAB und Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben. Es ergänzt somit die vielfältigen Mechanik-Lehrbücher. Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass alle wichtigen Teilgebiete der estigkeitslehre behandelt werden. Bei den Lösungen habe ich versucht, den Lösungsweg so zu gestalten, dass er für jeden verständlich ist. Die Lösungen sind nicht nur stichpunktartig dargestellt, sondern sehr ausführlich gelöst. Unterstützt durch eine umfangreiche Bebilderung ist der "rote aden" des Lösungswegs gut erkennbar. Durch Zeichnungen sind Studierende oftmals viel schneller über schwierige Sachverhalte "im Bilde", als das je mit Text geschehen könnte. Bei einigen Aufgaben werden mehrere Lösungswege dargestellt sowie die Ergebnisse erläutert. Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren werden angegeben, da erfahrungsgemäß viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lösung verlieren, wenn er nicht systematisch angelegt wird. Um den größten Nutzen aus dem Buch zu ziehen, empfehle ich den Studierenden, die Lösungen nicht nur durchzulesen, sondern auch zu versuchen, die Aufgaben Schritt für Schritt nachzuvollziehen am besten selbständig zu lösen. Entscheidend ist, dass Aufgaben nicht nach Schema, sondern mit Verstand und den Grundgesetzen der Mechanik gelöst werden. Hilfreich ist oft, die Aufgaben und Verständnisfragen zu zweit oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die Lösungen und Antworten zu diskutieren. In der vorliegenden 6. Auflage habe ich zusätzlich zu den ormelsammlungen der Statik und der estigkeitslehre noch eine ormelsammlung der Kinematik und Kinetik aus meinem gleichlautenden Buch aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen ormeln für das Grundlagenfach Technische Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des Verlags Europa-Lehrmittel. Die vollständigen MATLAB-Programme finden Sie auf der Homepage zum Buch Siegen, 014 Gerhard Knappstein

4 Leserkontakt Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str Haan-Gruiten lektorat@europa-lehrmittel.de

5 Inhalt 1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen Der ein- und zweiachsige Spannungszustand lächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normalkraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente Torsion Querkraftschub; Schubmittelpunkt Knickung Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der Elastostatik Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz), Kraftgrößenverfahren Verständnisfragen Antworten zu den Verständnisfragen Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben Programm QUERP Programm BIEGNO Anhang: Einige Grundbegriffe und ormeln der estigkeitslehre A1 Einheiten; Spannungen A Verformungen A3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen A4 Zug und Druck in Stäben A5 lächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente A6 Biegung A7 Torsion A8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen A9 Querkraftschub A10 Knickung

6 VI Inhalt A11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck.... A1 estigkeitshypothesen, Vergleichsspannung A13 Zugfestigkeit R m, Streckgrenze R p0, und Bruchdehnung A 5 einiger Werkstoffe A14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke A15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte A16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben Schematischer Verlauf einer estigkeitsberechnung Gegenüberstellung von neuen und alten Werkstoffbezeichnungen (Auswahl) Einige Grundlagen und ormeln aus der Statik S1 Kräfte, Lagerungen, reimachen, Axiome, Schnittprinzip S Zentrales Kräftesystem S3 Allgemeines Kräftesystem S4 Ebenes achwerk S5 Schnittgrößen am Balken S6 Schwerpunkt S7 Haftung und Reibung S8 Biegeschlaffes Seil Das griechische Alphabet Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten Einheitennamen und Einheitenzeichen Einige ormeln aus der Mathematik Häufig benutzte ormelzeichen orscher und Lehrer auf dem Gebiet der estigkeitslehre Zusammenstellung von ormeln aus der Kinematik und Kinetik K1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes K Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes K3 Kinematik des starren Körpers K4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme K5 Kinetik starrer Körper K6 Schwingungen K7 Stoßvorgänge K8 Relativbewegung Literatur Sachwortverzeichnis

7 Inhalt / Übersicht der Aufgaben VII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 1 1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen 1.1 Dehnung und Verlängerung eines Seiles; Reißlänge 1. Dehnung von Stäben aus unterschiedlichem Material Spannungsverläufe σ in einem Stab mit veränderlichem Querschnitt infolge Eigengewicht und äußerlicher Belastung 1.4 Abgesetzter Stahlzylinder unter Temperaturbelastung (Kräfte und Verschiebung) 1.5 Verschiebungen in einem Stabwerk (Stäbe mit unterschiedlicher Dehnsteifigkeit) Lagerungsstäbe (verschiedene Querschnitte) eines starren Trägers (statisch unbestimmt); Stabkräfte, Spannungen, Verschiebungen 1.7 Stabkräfte und Verschiebungen in einem achwerk (statisch unbestimmt) achwerk unter Temperaturbelastung (Stäbe mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten) Dehnung und Spannung in einem fliehkraftbeanspruchten Stab Spannungen in den drei Seilen einer Lastaufhängung (mit ehlmaß) (statisch unbestimmt) 4

8 VIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 1.11 Lastaufnahme bei Druckstab aus unterschiedlichen 9 Materialien (statisch unbestimmt) 1.1 Dehnungen und Spannungen bei einem zweiachsigen Spannungszustand Dehnung von Schrauben (Dehnschrauben) 33 p Der ein- und zweiachsige Spannungszustand 35.1 Spannungen in der Schweißnaht eines Blechstreifens (einachsiger Spannungszustand) 36. Spannungen in der Schnittfläche eines Quaders (einachsiger Spannungszustand und zweiachsiger Hauptnormalspannungszustand) 38.3 Allgemeiner ebener Spannungszustand 41 3 lächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente 3.1 Drei Querschnitte mit gleichem lächeninhalt im Vergleich Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt (Hauptträgheitsmomente, Hauptachsen) Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt Gedrehter Rechteckquerschnitt Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Querschnitt 57

9 Inhalt / Übersicht der Aufgaben IX Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 3.6 Aus Grundflächen zusammengesetzter Querschnitt Trapezförmiger Querschnitt 65 4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normalkraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente 4.1 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Biegespannungsverteilung Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung Schiefe Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung Biegelinie Durchbiegung am freien Ende (mit Überlagerung) Biegeverformung (mit Überlagerung) Biegelinie Durchbiegung, Neigungswinkel 9

10 X Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 4.11 Auflagerreaktionen, Neigungswinkel, Differentialgleichung der elastischen Biegelinie (statisch unbestimmtes System) Auflagerreaktionen, Differentialgleichung der elastischen Biegelinie, Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes System) 4.13 Auflagerreaktion, Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes System) Verschiebungen (Superposition) Auflagerreaktion bei elastischem Lager, Durchbiegung, Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes System) 4.16 Auswirkungen der schubfesten Verbindung zweier Träger auf die Biegespannung und die Durchbiegung Verformungen eines Biegeträgersystems (unterschiedliche Biegesteifigkeiten) 4.18 Verformungsberechnung bei schiefer Biegung (Kragträger) 4.19 Verformungen bei durch einen Stab gekoppelte Biegeträger (statisch unbestimmtes System) 5 Torsion 5.1 zulässige Schubspannung und zulässiger spezifischer Verdrehungswinkel 5. Torsionsstäbe mit Vollquerschnitt und kreisrundem Rohrquerschnitt abgesetzter Drillstab (Reihenschaltung) Parallel geschaltete Torsionsfedern (einfach statisch unbestimmt) 15

11 Inhalt / Übersicht der Aufgaben XI Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 5.5 Torsionsstab mit dünnwandigem geschlossenen 17 Querschnitt (BREDTsche ormeln) 5.6 Torsionsstäbe mit dünnwandigem geschlossenen und offenen Querschnitt 19 Schlitz 5.7 Torsionsstab mit unterschiedlichen Querschnitten 13 6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt 6.1 Schubspannungen infolge Querkraft Schubspannungsverlauf infolge Querkraft, Schubmittelpunkt Schlitz Dünnwandiger Träger mit C-Profil Schubspannungen in Verbindungsmitteln (Schweißnähte) 7 Knickung 7.1 EULER-all ; Belastbarkeitsrechnung (kreuzförmiger Querschnitt) EULER-all 1; Entwurfsrechnung (Rohrquerschnitt) EULER-all ; Belastbarkeitsrechnung (Winkelstahl) Vergleich der Knicksicherheiten zweier achwerke Grundfall ; Belastbarkeitsrechnung (Rechteckquerschnitt); TETMAJER und EULER 153

12 XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 7.6 Grundfall 1; Entwurfsrechnung (Ellipsenquerschnitt); 154 EULER und TETMAJER 7.7 Druckstab mit 4 verschiedenen Querschnitten gleichen lächeninhalts; EULER Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der Elastostatik 8.1 Anwendungen aus den Gebieten: Zug, Druck, Biegung, Knickung. Statisch unbestimmtes System Auf Zug, Biegung und Torsion belastetes Rohr; MOHRscher Spannungskreis Auf Biegung und Torsion belasteter abgewinkelter Träger; Verschiebungen Dimensionierung einer Welle (Gestaltänderungsenergiehypothese) 8.5 Auf Druck, Biegung und Torsion belastete Säule; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Auf Innendruck und Torsion belastetes dünnwandiges, geschlossenes Rohr; Kesselformeln; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Auf Biegung und Torsion beanspruchter Stab; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 17

13 Inhalt / Übersicht der Aufgabe XIII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 8.8 Auf Biegung und Torsion beanspruchte Blattfeder; Durchsenkung; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Auf Biegung und Torsion beanspruchter Träger; erforderlicher Durchmesser; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Normalkraft, Biegung und Torsion; maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Schrumpfring auf Vollwelle; Wärmedehnung; erforderliche Temperaturerhöhung 8.1 Schrumpfring auf Ring; Wärmedehnung; Berührungskreisdurchmesser und Spannungen 9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz), Kraftgrößenverfahren 9.1 Durchbiegung und Neigungswinkel mit dem Satz von CASTIGLIANO Verschiebung eines abgewinkelten Trägers mithilfe des Satzes von CASTIGLIANO Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktionen mithilfe des Satzes von CASTIGLIANO Durchbiegung mithilfe des MOHRschen Arbeitsintegrals (Arbeitssatz) 187

14 XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 9.5 Verschiebung mithilfe des MOHRschen Arbeitsintegrals 189 (Arbeitssatz) 9.6 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktion mithilfe des Kraftgrößenverfahrens 190 Beispiel zu QUERP Aufgabe zu QUERP Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben; Programme QUERP und BIEGNO Querschnittswerte (Schwerpunkt, lächenträgheitsmomente) Querschnittswerte (Schwerpunkt, lächenträgheitsmomente) Beispiel zu BIEGNO Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung 9 Aufgabe zu BIEGNO Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung 30 Aufgabe zu BIEGNO Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung 31

15 1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen

16 Zug und Druck in Stäben / Verlängerung Aufgabe 1.1: ür das Stahlförderseil einer Schachtförderanlage (Bild 1.1), welches durch sein Eigengewicht und die Kraft am Seilende belastet ist, sind zu berechnen: 1. der metallische Querschnitt des Seiles für die zulässige Spannung σ zul,. die Verschiebung des Seilendes mit dem unter 1. berechneten Querschnitt (nur den vertikal hängenden Teil des Seiles berücksichtigen), 3. die Länge l Reiß (Reißlänge) des Seiles für die Zugfestigkeit R m, bei der das Seil nur unter der Wirkung seines Eigengewichtes reißt. An welcher Stelle reißt das Seil? Gegeben: = 110 kn; Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s ; Dichte ρ = 7850 kg/m 3 ; l = 1150 m; σ zul = 00 N/mm ; R m = 1600 N/mm ; E = N/mm (Lösung erst mit allgemeinen Größen herbeiführen, dann Zahlenwerte einsetzen!) l Bild 1.1: Schachtförderanlage mit örderseil Lösung: zu 1. Den metallischen Querschnitt des Seiles erhalten wir aus der Bedingung, dass die zulässige Normalspannung σ zul nicht überschritten werden darf. σ zul = N max A ; A N σ zul = max B x l ρ ga x N(x) l-x a) b) G(x)=ρ g A(l-x) Bild 1.1.1: a) Seil durch Eigengewicht und remdlast belastet b) reikörperbild des abgeschnittenen unteren Seilstücks

17 Verlängerung 3 Σ = 0 : (Bild 1.1.1b) N( x) G( x) =0 N( x) = + ρ ga( l x) (1) Die maximale Normalkraft N max tritt bei x = 0 an der Stelle B (Bild 1.1.1a) im Seil auf: Nach A aufgelöst: Nmax = N( x = 0) = + ρ gal A = Nmax = + ρ gal. σ σ σ A = σ zul zul zul zul ρgl Mit den Zahlenwerten ergibt sich für den metallischen Querschnitt: zu A = , / mm = 987mm Merke: 1N=1kg m s x l ρ ga x σ(x) u dx dx dx+du Δ l u+du σ (x)+dσ a) b) Bild 1.1.: a) Verschiebung des Seilendes b) Verlängerung eines herausgeschnittenen Elements Verformung eines Elements (Bild 1.1.b): ( dx + du) dx ε = = dx σ Elastizitätsgesetz: ε = ( x) E du Es gilt also: dx du dx σ( x ) ergibt sich mit Gleichung (1) zu: N( x) + ρga( l x) σ( x) = = A A x = σ( ) () E.

18 4 Zug und Druck in Stäben / Reißlänge Aus () folgt die Verlängerung du: 1 du = g l x dx E + ρ ( ) A. Die Summe aller Verlängerungen du muß die Verschiebung Δl des Seilendes (Bild 1.1.a) ergeben. l x= 0 1 du = E l x= 0 + ρ g( l x) dx A 1 x u( l) u(0) = x g( lx ) E + ρ A l 1 Δl = u( l) = + ρgl. E A l Dabei ist l EA der Verschiebungsanteil aus der remdlast und ρ gl E dem Eigengewicht. Mit Zahlenwerten: Δl = , /10 mm Δl = 610, 3mm + 4,5mm = 85,8mm. 0 der Verschiebungsanteil aus 610,3 mm ist der Verschiebungsanteil aus der remdlast und 4,5 mm der Verschiebungsanteil aus dem Eigengewicht. Hinweis: Die Verlängerung Δl wurde nur mit der Dehnung des Werkstoffes ermittelt und so getan, als wäre ein Seil eine homogene Stange. In Wirklichkeit ist die Verlängerung eines Seiles wegen der Verschiebbarkeit der einzelnen Seillitzen gegeneinander größer. zu 3. Aus Gleichung (1) erkennen wir, daß die maximale Normalkraft an der Stelle x = 0 am Aufhängepunkt B (Bild 1.1.1a) auftritt. olgedessen zerreißt das Seil bei Erreichen der Zugfestigkeit R m an der Stelle B. Mit = 0 und x = 0 folgt aus Gleichung (1): Nmax = ρ ga l. Eig Die Reißlänge, daß ist diejenige Länge, bei der lediglich infolge des Eigengewichts der Bruch am oberen Aufhängepunkt (Stelle B, Bild 1.1.1a) eintreten würde, erhalten wir aus der folgenden Gleichung: NmaxEig ρgalreiß Rm = =. (Die Querschnittsfläche A verliert ihren Einfluß.) A A R Reißlänge: lreiß = m ρ g Mit Zahlenwerten: l Reiß = mm = 0, mm = 0, 777km , 81 10

19 Dehnung (unterschiedliche Materialien) 5 Aufgabe 1.: Ein starrer Balken ist an zwei parallelen Stäben aufgehängt und mit einer Kraft belastet (Bild 1.). Die beiden Stäbe sind aus unterschiedlichem Material (E 1 und E ) gefertigt und haben den gleichen Querschnitt A. 1. In welchem Abstand e von der Mitte aus muss die Kraft angreifen, damit der starre Balken in horizontaler Lage hängt?. Wie groß sind dann die Spannungen in den Stäben? (Anmerkung: Annahme E 1 >E ). E A a a E A 1 l e Bild 1.: Starrer Balken, aufgehängt an zwei Stäben aus unterschiedlichem Material Lösung: zu 1. Wir schneiden die beiden Stäbe durch, zeichnen ein reikörperbild für den starren Balken (Bild 1..1) und bearbeiten die Gleichgewichtsbedingungen: Statik (Gleichgewicht, Bild 1..1): = 0 : S1+ S = 0 = S1+ S (1) ( M) B = 0 : S1a S a e = 0 a e = ( S 1 S ) () Da keine horizontalen Kräfte vorhanden sind, ist die Gleichgewichtsbedingung = 0 sowieso erfüllt. Zur Berechnung der drei Unbekannten S 1, S und e benötigen wir drei Gleichungen. Die dritte noch fehlende Gleichung erhalten wir aus der Verträglichkeitsbedingung und den Stabverlängerungen. Geometrische Verträglichkeitsbedingung: Δ l = Δ l Stabverlängerung: S1 l Δ l1 = EA und Δ l 1 S l = EA 1 Mit den Stabverlängerungen folgt aus der Verträglichkeitsbedingung: Sl 1 S l E1 = S1 = EA EA E S (3) 1 Das gesuchte Maß e erhalten wir dann mit (1) und (3) aus (): e a E 1 = E E + E 1 a S 1 B S e a Bild 1..1: reiköperbild des Balkens; Schnitt durch die Stäbe

20 6 Zug und Druck in Stäben / Spannungen zu. Die Stabkräfte erhalten wir aus (1) und (3): S1 = und S =. E E E E 1 Damit liegen die Spannungen vor: S1 1 S σ 1 = = und σ A A E = = 1+ A E 1 A 1 E 1+ E 1. Aufgabe 1.3: Ein Maschinenteil (Bild 1.3) mit konstanter Dicke t wird durch sein Eigengewicht und eine Kraft belastet. Man ermittle den Spannungsverlauf σ( x ). Außerdem berechne man die Spannungsverläufe in Abhängigkeit von x mit folgenden Zahlenwerten - für die Belastung nur aus dem Eigengewicht - für die Belastung nur aus der Kraft - für die Belastung aus Eigengewicht und der Kraft und trage jeweils die Spannungsverläufe getrennt auf: = 150kN, γ = 0, 077 Ncm -3 (spez. Gewicht), a = 50mm, h = 4000mm, t = 160mm. h R a a S γ A(x) x R - S b(x) Bild 1.3: Maschinenteil durch Eigengewicht und Kraft belastet t Lösung: Normalspannung σ( x) = N ( x) Ax ( ) ür die Querschnittsfläche A( x) = b( x) t folgt mit Hilfe des Strahlensatzes (Bild 1.3.1): b( x)= a+ e ; bx ( )= a a + h x A( x) = b( x) t x Ax ( ) = at( 1 + ) h e x a a = h e b(x) a a Bild 1.3.1: Zur Ermittlung der Breite b(x) e x h