Informationen über die Vorlesung, Material, Zusammenfassungen: Link über Vorlesungsseite des FB

Transkript

1 Zusammenfassung vom Infomatonen übe de Volesung, Mateal, Zusammenfassungen: Lnk übe Volesungssete des FB Hypephyscs web page: Zusammenfassungen fnden Se übe de Volesungssete. Übungsguppen: Mttwoch Uh: Stefan Hoppe, SR E2 (1.1.53) Donnestag Uh: Ka Schwnge SR E1 (1.1.26) Fetag Uh: Geogos Ctsts SR E2 (1.1.53) Übungsbegnn: nächste Woche

2 Zusammenfassung vom Defnton de Physk als messende Wssenschaft Messpozess und we veglecht man de Messung mt de Theoe? Datenpunkte müssen m Rahmen Ihe Messfehle dskutet weden. Bespel: Elektonenmasse als Funkton de Zet m 20. Jahhundet. Defnton de Gundenheten: Länge: uspünglch 1/ des Edquadanten, jetzt ndekt übe Vakuumlchtgeschwndgket. Zet: Atomae Nveauabstand (Cs-Uh, d.h. elatv komplexe Maschne) Masse: zu zet noch übe Refeenzmasse. Wd n Zukunft vemutlch duch atomae Defnton esetzt weden. Abgeletete Enheten: Stoffmenge mol (Masse 12 C Isotop), Tempeatu Kelvn (Tpelpunkt des Wasses), Stomstäke Ampèe (Kaft zwschen Leten) MKSA-System (Mete, Klogamm, Sekunde, Ampèe)

3 Zusammenfassung vom Punktmechank Begffe: Massenpunkt, Bahnkuve Geschwndgket v und Beschleungung a: v = d dt = a = d v dt = v ode auch a = d v dt = d 2 dt 2 = Glechmäßg beschleungte Bewegung: x(t) = 1 2 at 2 + v 0 t + x 0 Bewegungen können n Enzelkomponenten elegt weden. Bespel: schefe Wuf.

4

5 Zusammenfassung vom Punktmechank Gundglechungen de Mechank (Newtonsche Axome) 1. Ohne äußee Käfte vehat jede Köpe n Ruhe ode n de glechmäßg geadlngen Bewegung. 2. Wkt ene Kaft F auf enen Köpe, so esultet ene Impulsändeung. F = d p mt p = mv dt 3. Wechselwken zwe Köpe mtenande, abe ncht mt enem dtten, so st de Kaft de Köpe 1 auf Köpe 2 ausübt genau so goß we de de von Köpe 2 auf Köpe 1 ausgeübt wd. Raketenglechung und Integaton ene Bewegungsglechung

6 Zusammenfassung vom Punktmechank Käfte snd axale Vektoen Hangabtebskaft F A, Nomalkaft F N Zwangskäfte wken senkecht zu Bewegungschtung Abet st de Wkung ene Kaft entlang enes Weges Wenn glt: Dann heßt de Kaft konsevatv. Wete glt dann: E p ( ) W = Ú F d = 0 st de potentelle Enege W = W = Ú 2 F d = E p Enegesatz de Mechank: De Summe von knetsche und potentelle Enege st ehalten. E k = 1 2 mv Ú 2 1 F d ( ) - E p ( ) 2

7 Zusammenfassung vom Punktmechank Enegeehaltung, d.h. Umwandlung potentelle n knetsche Enege E kn E pot = 1 2 mv 2 mgh 2 d m = t 2 2mgh = d 2 2ght 2 Gavtatonsgesetz F G = -G m 1 m 2 2 Wnkelgeschwndgket, Wnkelbeschleungung be Kesbewegung Fadenpendel: v = dj dt = w, a = d 2 j dt vektoell : v = w 2 F R = -mgsnj F T = ml d d 2 j 2 j Æ dt + g 2 l snj = 0 dt 2 Ncht-lneae Dffeentalglechung 2. Odnung (seh schweg zu lösen) -> andee Weg st nötg

8 Zusammenfassung vom Punktmechank Fü Feden glt fü klene Auslenkungen das Hookesche Gesetz, d.h. zwschen Kaft und Auslenkung glt en lneae Zusammenhang F = -kx Fedependel: F = ma und F = -kx f d 2 x dt 2 + k m x = 0 Bewegungsglechung st Dffeentalglechung 2. Odnung Allgemene Lösung lautet: x( t) = Asnwt + Bcoswt Koeffzenten A und B weden bestmmt aus Anfangsbedngungen: x( t = 0) = Asn0 + Bcos0 = B und v(t = 0) = x ( t = 0) = Aw cos0 - Bw sn0 = Aw De Bewegung heßt hamonsch. En Schwnge, de de entspechenden DGL gehocht hamonsche Oszllato. Egenfequenz: n = f = w 2p = 1 2p Fequenz unabhängg von de Ampltude! k m

9 Zusammenfassung vom Punktmechank Wedeholung: Hamonsche Schwngung Lneaseung von Glechungen übe Tayloentwcklung f ( x) =  s= 0 1 s! f ( s) ( x 0 )( x - x 0 ) s Bcht man de Entwcklung nach dem Tem s ab, so glt fü das Restgled: R n ( ) x - x 0 ( x) = 1 n +1! f ( n +1) x 0 + n( x - x 0 ) ( Lagange Restgled) ( ) n +1, n Œ ( 0,1) De Fehle kann abgeschätzt weden, d.h. man weß we gut ode schlecht de Appoxmaton st.

10 Zusammenfassung vom Dehmpuls und Dehmoment L = p, d L dt = F =: D Im Zentalkaftfeld st dahe de Dehmpuls mme ehalten! Schwepunkt s enes Systems von Massenpunkten m mt Schwepunktsgeschwndgket v s und Gesamtmpuls P = s + s, s =  m  m, M = m Â, v s = P M mt P = Knetsche Enege spaltet auf n E kn des Schwepunkts und E kn m Schwepunktsystem E kn = 1 2 M v 2 s m 2 v s Dehmpuls spaltet auf n Dehmpuls des Schwepunkts und Dehmpuls m Schwepunktsystem L = m v = M s v s + m s v s    p

11 Zusammenfassung vom Ehaltungssätze n de Mechank: Impulsehaltung, Dehmpulsehaltung und Enegeehaltung d P = F, d L = F, d ( E pot + E kn ) = 0 Mechank stae Köpe dt dt dt d En stae Köpe st en System von Massenpunkten fü das glt: dt - Man kann übegehen zu Massen- und Volumenelementen M und V mt V = Â V = De stae Köpe hat sechs Fehetsgade (de de Rotaton und de de Tanslaton) v = v s + w s Tanslaton bescheben duch Punktmechank. Enege de Rotaton: 1 E ot = Â 2 m 2 w 2 = 1 ^ 2 w 2 Ú dv und M = Â M = Ú ( )dv V Ú ( ) 2 ^ dv = 1 2 Iw 2 I heßt Täghetsmoment. I hängt von de Dehachse des Köpes und de Fom des Köpes selbst ab. I = V Ú V V ( ) ^ 2 dv ( j ) = 0

12 Zusammenfassung vom Mechank stae Köpe Dehmpuls lässt sch übe das Täghetsmoment ausdücken: Satz von Stene: I = Ú 2 dm = M Ú M 2 ( s + a) dm = Is + Ma 2 Täghetsmoment Vollzylnde und hohle Zylnde: L = I w E ot = 1 2 Iw 2 E kn = 1 2 mv 2 Dehung um fee Achsen: I voll = MR2 2, I hohl = MR 2 Das Täghetsmoment st egentlch en symmetsche Tenso 2. Stufe. Das wedeum bedeutet, e kann auf Hauptachsenfom gebacht weden. -> Jede Köpe wd duch de Täghetsmomente I a, I b und I c und de de Haupttäghetsachsen a, b, und c chaakteset (I a <=I b <= I c ). Snd zwe I glech legt en symmetsche Kesel vo, snd de glech, en sphäsche. Jede otatonssymmetsche Köpe st en symmetsche Kesel, abe ncht umgekeht. En Wüfel st en sphäsche Kesel.

13 Zusammenfassung vom Eulesche Glechungen bescheben de Bewegung des Kesels m Hauptachsensystem des Köpes dt Ohne äußees Moment D blebt de Kesel be Rotaton um ene Hauptachse m Raum fest oentet. En Kesel auf den kene äußeen Momente wken heßt käftefe. Rotet en symmetsche Kesel um zwe Haupttäghetsachsen, otet de Wnkelgeschwndgket w mt de Fequenz W um de Fguenachse. W = I - I c a w c I c Dese Bewegung heßt Päzesson. De zugehöge Bewegung de Fguenachse heßt Nutaton. (De Ehaltungsgöße st de Dehmpuls.) Wkt en äußees Moment auf den Kesel ehält man de pseudoeguläe Päzesson, be de de Dehmpulsvekto mt de Fequenz w p otet. I a dw a dt I b dw b dt I c dw c + ( I c - I b )w b w c = D a + ( I a - I c )w c w a = D b + ( I b - I a )w a w b = D c w p = D L = D Iw c

14 Zusammenfassung vom Stöße Stöße zwschen Telchen können behandelt weden we de Dynamk m System von Massentelchen. De Stoß selbst wd dabe ncht dskutet, nu de Bewegung vo und nach dem Stoß. 1) Ohne äußee Käfte bewegt sch de Schwepunkt des Systems glechfömg. F = P P = Â p 2) De Dehmpuls st ehalten. 3) De Gesamtenege st ehalten. Es gbt de Aten von Stößen: elastsche Stoß DE kn =0 nelastsche Stoß DE kn <0 supeelastsche Stoß DE kn >0 Es gbt zwe möglche Wahlen fü das Koodnatensystem: Schwepunktsystem E ges = E kn + E nnee Uspung n enem de beden Stoßpatne

15 Zusammenfassung vom Bewegte Bezugssysteme: 1. Bewegen sch zwe Bezugssysteme S und S glechfömg mt ene konstanten Relatvgeschwndgket, so snd alle Beobachtungen (Expemente) n beden Systemen glech. Bede System snd a = a F = F Intetalsysteme. (Dese snd so defnet.) 2. Bewegen sch zwe Bezugssysteme glechmäßg beschleungt (Beschleungung a 0 ) zuenande, so snd de wkenden Käfte n den beden Systemen unteschedlch. a = a + a 0 F = F + m 3. Roteen de beden Bezugssysteme elatv zu enande mt de Wnkelgeschwndgket w, so glt a = a + 2v w -w ( w ), a Cools = 2v w, a Zentfugal = -w ( w ) De Coolskaft st fü ene Velzahl von Effekten m oteenden Bezugssystem Ede veantwotlch. Vele Infomatonen zum Foucaultschen Pendel: a 0

16 Zusammenfassung vom Gedämpfte hamonsche Oszllato Man ehält Lösungen de Fom: De Fälle: d 2 dt 2 x + 2g d dt x + w 0 x = 0 x(t) 1,2 = x 0 e -gt m g 2 -w 0 2 t g 2 -w 2 0 < 0 Schwngfall z.b.: x(t) = x 0 e -gt È e w 0 2 -g 2 t + e - w 0 Î Í g 2 -w 2 0 > 0 Kechfall z.b.: x(t) = x 0 e -gt È e g 2 -w 2 t 0 + e - g 2 -w 2 0 t Î Í g 2 -w 2 0 = 0 apeodsche Genzfall z.b.: x(t) = ( a +bt)e -gt De Egenfequenz w des gedämpften hamonschen Oszllatos st mme klene als de des ungedämpften w 0. w = w g 2 Getebene gedämpfte hamonsche Oszllato d 2 dt x + 2g d 2 dt x + w 0x = F 0 m coswt d 2 dt x + 2g d 2 dt x + w 0x = F 0 m ewt x = x hom ogen + x spezell 2 -g 2 t x spezell = x o e Wt, x o = F 0 m w W 2 + 2gW

17 Zusammenfassung vom Getebene gedämpfte hamonsche Oszllato d 2 dt x + 2g d 2 dt x + w x = F 0 0 m coswt d 2 dt x + 2g d 2 dt x + w 0x = F 0 m ewt x = x homogen + x spezell x spezell = x o e Wt, x o = F 0 m w W 2 + 2gW Ampltude de Schwngung bestmmt duch äußee Kaft und de Fequenz: (Ampltudenspektum ncht symmetsch) x o 2 = F 0 2 m 2 ( w W 2 ) 2 + 4g 2 W 2 Phase zwschen Ampltude und Eegung Maxmale Ampltude be W max = w 0 2-2g 2 tanj = -2gW w W 2 Im hamonschen Oszllato absobete (deponete) Lestung st symmetsch um w 0 P = F 0 2 m g ( w W 2 ) 2 W 2 + 4g 2

18 Zusammenfassung vom Reale Köpe (fest + flüssg) Reale Stoffe kommen n de Aggegatfomen vo: fest, flüssg, gasfömg. Vefomung feste Köpe: Kompesson Hookesches Gesetz s= Ee E Elastztätsmodul s=f/a Spannung e=dl/l Quekontakton Dd d DL L = m, DV V = ( 1-2m) s E Scheung: t=f/a Schespannung t=g*a Toson: auf Scheung zuück zu fühen: D = p 2 G R4 L j aus df = t2pd und t = Ga Begung: Summaton (Integaton) übe de auftetenden Käfte füht auf Flächentäghetsmomente

19 Zusammenfassung vom Mechansche Hysteese: Im System deponete spezfsche Abet entspcht de Fläche de Hysteeseschlefe. Ruhende Flüssgketen Gute Defnton fü Flüssgket st veschwndendes Schubmodul. Statsche Duck sotop und übeall glech. p = 0 Schweeduck p = gh Wechselwkung de Flüssgketstelchen unteenande st attaktv. -> Obeflächenspannung s. Man kann zegen s=e mt e Obeflächenenege. Flüssgketsobeflächen snd Mnmalenegeflächen. Obeflächenspannungen bestmmen Kontaktwnkel Obeflächen- und Genzflächenenegen veusachen Kapllatätseffekte, d.h. an Genzflächen gbt es zusätzlche Käfte und Enegen.

20 Zusammenfassung vom Stömende Flüssgketen F = F p + F G + u(,t) st Stömungsgeschwndgket. Wenn u(,t)=u() st de Stömung statonä. Ist =const, so glt de Kontnutätsglechung A 1 u 1 = A 2 u 2 Fü kompessble Stömungen glt: t + ( u) = 0 De Benoull-Glechung beschebt de Enegeehaltung n de Stömung p hesst statsche Duck, 1/2u 2 Stauduck. Ist u goß genug, kann p negatv weden (Kavtaton)! De Effekt ttt m Wasse häufg auf. (Schffsschauben, spn-out bem Sufen) Waum Flugzeuge flegen: Physcs Educaton 38, 497 (2003) How do wngs wok? Holge Babnsk F R ( ) = m p u 2 1 = p u 2 2 ode p u2 = p 0 = const = DV d u dt

21 Zusammenfassung vom Randschchten und Genzschchten Wd en Köpe langsam duch ene Flüssgket bewegt, bldet sch ene Randschcht mt enem lneaen Geschwndgketsgadenten aus. In enem Roh bzw. zwschen zwe Platten bldet sch en paabolsches Geschwndgketspofl aus. Flüssgketsduchsatz fü Roh: I = p R 4 8 h Dp Stömungsfelde snd enande ähnlch, wenn se de gleche Reynoldszahl Re bestzen. Re = L2 ht = LU h Gastheoe Ideale Gasglechung -> Dchte enes Gase st Duckabhängg Baometsche Höhenfomel pv = nrt ode pv = Nk B T p = p 0 e - 0 ( h-h 0 ) p 0